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EQUILIBRIO. Un cuerpo está en equilibrio cuando se encuentra en reposo o tiene un movimiento uniforme. Analíticamente se expresa cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula, se afirma así que el sistema de fuerzas no produce efecto alguno sobre el cuerpo y se dice que el sistema de fuerzas está en equilibrio. R = ∑ F = 0

Para evaluar la situación de equilibrio en un cuerpo determinado, se hace un gráfico del mismo llamado Diagrama de cuerpo libre. Este diagrama consiste en aislar completamente el cuerpo o parte del mismo y señalar todas las fuerzas ejercidas sobre él, ya sean por contacto con otro cuerpo o por su propio peso. Luego se aplican las condiciones de equilibrio, las cuales se pueden expresar en forma de ecuaciones que se denominan ecuaciones generales de equilibrio, también llamadas ecuaciones básicas de la estática: 1. La suma algebraica de fuerzas en el eje X que se denominan Fx, o fuerzas con dirección horizontal, es cero. ΣFx = 0 → Σ Fh = 0 2. La suma algebraica de fuerzas fuerzas en el eje Y denominadas Fy, o fuerzas con dirección vertical, es cero. ΣFy = 0 → ΣFv = 0 3. La suma algebraica de de momentos M, o tendencias de giro respecto respecto a un punto determinado en equilibrio, es cero. ΣM = 0 (Beer y Johnston, 1979; Orozco, 2000; Parker y Ambrose, 1995) Es importante recordar que la convención de signos adoptada, en el presente material, para la aplicación de las ecuaciones generales de equilibrio para fuerzas y momentos, en todos los casos y ejemplos, es la siguiente:

Figura 1. Convención de signos.

Bibliografía Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica vectorial para ingenieros. Estática. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.

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Prof. Jorge O. Medina

Orozco, E. (2000). La estática en los componentes constructivos. San Cristóbal, Venezuela: FEUNET Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y constructores. México D.F., México: Editorial Limusa, S.A. de C.V.

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Definición Viga Una viga es un miembro estructural donde las cargas aplicadas son principalmente perpendiculares al eje, por lo que el diseño predominante es a flexión y corte (véase Figura 1); si las cargas no son perpendiculares se produce algo de fuerza axial, pero esta no es determinante en el diseño.

Figura 1. Flexión (a) y corte en vigas (b) y (c) (Nota: Según Ingeniería Simplificada. Para Arquitectos y Constructores. (p. 92) , por Parker, H. y Ambrose, J. 1995. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.) Pórtico Se conoce como pórtico al conjunto de vigas y columnas en el cual las uniones son rígidas y su diseño está gobernado por flexión en las vigas y flexocompresión en las columnas (véase Figura 2).

Figura 2. Pórtico

Ecuaciones de equilibrio El equilibrio es uno de los requisitos que debe cumplir una estructura, lo cual implica que la resultante de las fuerzas externas es cero y no existe un par de fuerzas; al descomponer en un plano cada fuerza y cada par en sus componentes rectangulares, se encuentra las condiciones necesarias y suficientes para el equilibrio de un cuerpo rígido se pueden expresar también por las tres ecuaciones siguientes:

∑ F x = 0 ; ∑ F y = 0 ; ∑ M pto = 0

(Ec. 1)

Estas ecuaciones expresan el hecho de que las componentes de las fuerzas externas en las direcciones x y y, así como los momentos de las fuerzas externas están en equilibrio. Por tanto, el sistema de fuerzas externas no impartirá ni movimiento de traslación ni de rotación al cuerpo rígido considerado (Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).

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El uso de la condición de equilibrio en una estructura permite realizar el proceso analítico esencial en un problema estructural. En la etapa inicial se pueden conocer las fuerzas que se generan en los apoyos para hacer que la estructura este en equilibrio.

Tipos de apoyos Los apoyos de vigas, son los elementos que le proporcionan la estabilidad a la viga y por lo general, se encuentran en los extremos o cerca de ellos. Las fuerzas en los apoyos que se generan son productos de las cargas aplicadas y se llaman reacciones y equilibran las cargas aplicadas. Analíticamente estas reacciones representan las incógnitas de un problema matemático. Las reacciones se pueden dividir en tres grupos que corresponden al tipo de apoyo que se está empleando (Das, Kassimali y Sami, 1999).

Reacciones formada por una fuerza de dirección conocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: rodillos, balancines, superficies lisas, bielas y cables cortos. Estos apoyos solo impiden el movimiento en una dirección. Las reacciones de este grupo solo proporcionan una incógnita, que consiste en la magnitud de la reacción y se pueden dirigir en uno u otro sentido a lo largo de la dirección conocida.

Apoyo

Esquema del apoyo y reacciones

Número de incógnitas 1

R 1

R

2

R2 R

α

R1

3 Par R

α

R2

R3 R1

Figura 3. Tipos de apoyos



Reacciones formada por una fuerza de dirección desconocida Los apoyos y conexiones que causan reacciones de este tipo son: articulaciones, bisagras y superficies rugosas. Estos pueden impedir la traslación del cuerpo libre en todas las direcciones pero no impiden la rotación del cuerpo alrededor de la conexión. En las reacciones de este grupo intervienen dos incógnitas que se representan generalmente por sus componentes x y y.

Reacciones formada por una fuerza y un par Estas reacciones son producidas por apoyos fijos o empotramientos que impiden cualquier movimiento inmovilizándolo por completo la viga. En las reacciones de este grupo intervienen tres incógnitas, que son generalmente las dos componentes de la fuerza y el momento del par. Cuando no se ve claramente el sentido de la fuerza o del par de las reacciones, no se debe intentar su determinación. El sentido de la fuerza o del par se puede suponer arbitrariamente y el signo de la respuesta indicará si la suposición fue conecta o no (Beer y Johnston, 1979).

Estructuras estáticamente determinadas o isostáticas Se considera que una viga es estáticamente determinada o isostática cuando se pueden determinar las reacciones mediante la aplicación de las ecuaciones de equilibrio; esto implica que el número de reacciones en la viga sea igual a tres. Esta condición es necesaria pero no suficiente para que la viga este completamente inmovilizada1; por ello antes de resolver una viga isostática se debe analizar la estabilidad. Cuando el número de reacciones en una viga es menor a tres, se dice que la viga está parcialmente inmovilizada o inestable, porque las reacciones no son suficientes para impedir todos los posibles movimientos y por lo tanto no estaría en equilibrio. Por otra parte, al tener mas de tres reacciones la viga es estáticamente indeterminada o hiperestática, para analizar estas vigas se requiere considerar las deformaciones que van a proporcionar las ecuaciones adicionales para que el sistema sea determinado 2. Las vigas hiperestáticas tienen más reacciones de las necesarias para que el cuerpo esté en equilibrio, por lo cual queda restringida la posibilidad de movimiento (Beer y Johnston, 1979; Das, Kassimali y Sami, 1999).

Tabla 1. Condiciones de la viga Número de ecuaciones de equilibrio

Número de incógnitas

Condición de viga

3

<3

Parcialmente inmovilizada o inestable

3

3

Estáticamente determinada o isostática3

3

>3

Estáticamente indeterminada o hiperestática

Tipos de vigas Las vigas empleadas en una estructura pueden clasificarse según su número de reacciones en dos grupos: isostática e hiperestáticas, dentro de cada grupo hay una variedad de formas que varían según el tipo y posición de los apoyos. De manera general, encontramos dos tipos de vigas isostáticas, mientras que las hiperestáticas pueden ser de 5 (véase Figura 4). La figura muestra en forma esquemática los diferentes tipos y también la forma que cada viga tiende a adoptar a medida que se deforma bajo la carga (Parker y Ambrose, 1995).

1

Condición requerida para la realización de un análisis estructural, al ser la estabilidad el segundo requisito que debe cumplir una estructura. 2

Estas ecuaciones se obtienen del estudio de la mecánica de los sólidos deformables o resistencia de materiales. 3

Condición necesaria pero no suficiente para considerar que la viga sea estable.



Isostáticas

Simplemente apoyada

Volado o cantilever

Figura 4a. Tipos de vigas según los apoyos y la ubicación además las formas típicas que toma al deformarse Hiperestáticas

Doblemente articulada

Empotrada y rodillo

Empotrada y articulada

Doblemente empotrada

Continua

Figura 4b. Tipos de vigas según los apoyos y la ubicación además las formas típicas que toma al deformarse

Cargas Definición Las cargas en una estructura son las fuerzas que actúan en ella y producen cambios en el estado de tensiones y deformaciones de los elementos que conforman edificación. Los efectos de las cargas son similares a los efectuados por los asentamientos, efectos de temperatura, reología, etc, (COVENIN, 1988).

Tipos de cargas Una viga esta sometida a dos grupos de cargas denominadas concentradas o puntuales y distribuidas. El primer grupo está formado por fuerzas actuando en un punto definido, como por ejemplo, una fuerza aplicada o un momento aplicado. Están expresadas en unidades de fuerza o de momento (N, lb, kgf, N*m, lb*pie, kgf*m, etc.). En cuanto al segundo grupo, la carga distribuida es aquella que actúa sobre una longitud de la viga. La magnitud de la carga distribuida puede ser constante por unidad de longitud o variable y se expresa en unidades de fuerza sobre unidades de longitud (N/m, lb/pie, kgf/m). La magnitud de la fuerza originada por esta carga es igual al área de la forma generada por la carga y se ubica en el centroide de la mencionada forma (Beer y Johnston, 1979; Parker y Ambrose, 1995).



Tipo

Representación

Fuerza concentrada P

Unidades

Magnitud

Unidades de fuerza

P

N, lb, kgf, etc..

P

Momento aplicado M

Unidades de momento N*m, lb*pie, kgf*m, etc..

M

Carga distribuida w

Unidades de fuerza / longitud

P

X

M

W

Magnitud (P)=w*l Posición (x) = l/2

N/m; lb/pie; kgf/m, etc.

l

P

X

Magnitud (P)= Area de la figura

W

Posición (x) = En el centroide de la figura

l

Figura 5. Tipos de cargas

Correa Excéntrica

Columna

Correa

P

P

P

M

Peso aplicado en una superficie

Peso propio de la viga

W1

W2

Figura 6. Representación de acciones reales en cargas sobre una viga.



Representación de cargas Los vectores son las herramientas matemáticas que permiten figurar una carga sobre una viga y son la representación de una acción que ocurre en la estructura real; por ejemplo una columna que descansa sobre una viga sería un caso de carga puntual (véase Figura 6). Un ejemplo para cargas distribuidas sería el peso propio de los elementos o una losa de piso de concreto soportada por una viga (véase Figura 6 y 7).

Losa Viga

Losa Viga

Figura 7. Representación de la losa sobre una viga.

Procedimiento de análisis de reacciones Para determinar las reacciones de una vig mediante un análisis estático en dos dimensiones se debe proceder de la siguiente manera: −

Determinar el diagrama de cuerpo libre, en el cual se aísla la viga de sus apoyos, sustituyéndolas por las fuerzas que se generan en los apoyos o reacciones, así como las fuerzas externas aplicadas en la viga.

−

Determinar si el cuerpo es estáticamente determinado. Si el número de reacciones es menor de tres (r<3) es inestable; por otra parte si el número es mayos a tres (r>3) la estructura es indeterminada y el análisis estático finaliza. Si la estructura es isostática (r=3) se verifica la estabilidad, de no ser estable, el análisis igualmente finaliza, solo el procedimiento continua si la estructura es isostática y estable.

−

Se determinan las reacciones usando la Ecuación 1, de manera que en cada ecuación exista una sola incógnita o reacción. El signo positivo de la respuesta para la magnitud de la fuerza indica que el sentido supuesto inicialmente en el diagrama de cuerpo libre era correcto, el signo negativo indica que el sentido correcto de la reacción es contrario al supuesto inicialmente.

−

Se deben determinar las tres reacciones usando tres ecuaciones de equilibrio.

−

Los resultados deben ser verificados con las ecuaciones que no hayan sido utilizadas (Das, Kassimali y Sami, 1999).



Bibliografía −

Beer, F. y Johnston, E. (1979). Mecánica Vectorial para Ingenieros I, Estática. Bogotá, Colombia: McGraw-Hill Latinoamericana, S.A.

−

COVENIN (1988). COVENIN 2002-88 Criterios y Acciones Mínimas para el Proyecto de Edificaciones. Caracas, Venezuela: Fondonorma.

−

Das, B., Kassimali, A. y Sami, S. (1999). Mecánica para Ingenieros, Estática. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.

−

Parker, H. y Ambrose, J. (1995). Ingeniería Simplificada. Para Arquitectos y Constructores. México D.F., México: Editorial LIMUSA, S.A. de C.V.



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