GUIA NRO. 2 PROBABILIDADES Estadística Empresarial Módulo 4 1. Suponga dos cajas. La caja I contiene 10 ampolletas, de las cuales 4 son defectuosas. La caja II contiene 6 ampolletas con 1 defectuosa. Si se escoge una caja y luego se saca una ampolleta:
Buenas 6 5 11
Caja 1 Caja 2 Totales
a) b) c)
Defectuosas 4 1 5
Totales 10 6 16
¿Cuál es la posibilidad de que la ampolleta sea defectuosa? ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja la caja I y luego una ampolleta buena? Si el artículo es defectuoso ¿cuál es la probabilidad que sea de la caja II?
2. En un experimento para estudiar la relación entre entre la hipertensión y el hábito de fumar, se reunieron los siguientes datos en 180 individuos.
Hipertenso No hipertenso
a)
No fumadores 21 48
Fumadores moderados 36 26
Fumadores empedernidos 30 19
Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad de que: i) Experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido. ii) Sea un un no fumador, dado que no ha presentado un problema de hipertensión. iii) Sea un fumador moderado o un fumador empedernido. empedernido.
b)
¿Si se eligen aleatoriamente 2 de estos individuos, ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea hipertenso y el otro no hipertenso?
c)
Si se eligen al azar 3 de estos individuos en forma sucesiva, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un no fumador, el segundo sea un fumador moderado y el tercero sea un fumador empedernido?
3. Los siguientes diagramas representan las ciudades A y B unidas por puentes. Cada puente es independiente y tiene probabilidad 0.1 de estar cortado. Determine la probabilidad de que A y B estén incomunicadas:
a) 1 A
B 2
b) 1
2 B
A 3
4.
En una gran empresa hay 12 postulantes a un cargo. De los cuales 4 son ingenieros y el 8 son contadores auditores. El gerente de la empresa desea entrevistar a dos postulantes al azar.
PORTULANTES
a)
Ingenieros 4
Contadores 8
¿Cuál es la probabilidad de que ambos entrevistados sean ingenieros? - La probabilidad que el primer encuestado sea ingeniero es: - El segundo sea ingeniero es: - Por lo tanto la probabilidad que ambos sean ingenieros es:
b)
¿Cuál es la probabilidad de que el segundo entrevistado sea contador auditor?
5.
Se realiza un congreso de delegados de diferentes institutos de educación superior del país. Se sabe que el 25% de los delegados provienen de la zona norte, el 40% de la región metropolitana y el resto de la zona sur. Además, se sabe que el 15% de los delegados de la zona norte son mujeres y el 60% de los delegados de la región metropolitana son hombres y el 10% de la zona sur son mujeres. Se elige un delegado al azar.
TABLA EN %
HOMBRES MUJERES TOTALES
6.
SUR 31.5 3.5 35
R.M. 24 16 40
TOTALES 76.75 23.25 100
a)
¿Cuál es la probabilidad que resulte elegida una mujer?
b)
¿Si el elegido es un hombre, cuál es la probabilidad que provenga de la zona sur?
En una empresa que se dedica a la elaboración y venta de productos dietéticos, el departamento de investigación de mercado sabe que de la población de consumidores de un determinado sector el 60% son hombres. De las mujeres se sabe que el 34% prefiere la marca A y de los hombres se sabe que el 12 % prefiere la marca A.
HOMBRES MUJERES TOTALES
7.
NORTE 21.25 3.75 25
MARCA A 7.2 13.6 20.8
MARCA B 52.8 26.4 79.2
60 40
a)
Si se elige un consumidor, ¿cuál es la probabilidad que prefiera la marca A?
b)
Si se elige un consumidor y no prefiere la marca A, ¿cuál es la probabilidad que sea hombre?
En una empresa consultora trabajan especialistas en recursos humanos, administración de empresas y especialistas en informática. Se sabe que en un año, esta empresa se presenta a propuestas que en un 30% corresponden a recursos humanos, 20% a administración de empresas y 50% a informática. De años anteriores se sabe que las probabilidades de adjudicarse las propuestas son del 0.35 para recursos humanos, 0.72 en administración y 0.75 en informática.
a)
Si la consultora se presenta a una propuesta y no se lo adjudica, ¿cuál es la probabilidad de que la propuesta sea de informática?
b)
¿Qué porcentaje de veces la empresa se adjudica una propuesta cualquiera?
8.
Si el proceso de producción de una fábrica se encuentra bajo control se descubre que el 5% de los artículos producidos son defectuosos. Si el proceso no está bajo control, los defectuosos son el 30%. Se sabe que la probabilidad de que el proceso esté bajo control es de 0,8.
CONTROL
DEFECTUOSO 0.05*0.8=0.04
NO DEFECTUOSO 0.95*0.08=0.76
SIN CONTROL TOTALES
0.3*0.2=0.06 0.1
0.7*0.2=0.14 0.9
0.8 0.2
a) Encuentre la probabilidad de que un artículo elegido al azar sea defectuoso. b) ¿Si un artículo elegido al azar está bueno, cuál es la probabilidad de que el proceso esté bajo control? 9.
Considerando la posibilidad de descubrir petróleo, una compañía ha clasificado las formaciones geológicas en dos tipos. De acuerdo con la experiencia, al sitio donde la compañía pretende perforar un pozo se le asigna un 20% de posibilidad que sea tipo I, un 60% de que se descubra petróleo y un 70% de descubrir petróleo si es una formación geológica tipo II.
a)
Calcule la probabilidad de que en este sitio se descubra petróleo y sea tipo II.
b)
¿Dado que el sitio es tipo I, cuál es la probabilidad que se descubra petróleo?
10. Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 0.001. En cambio, la probabilidad de que un cliente sin fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 0.1. Se sabe que el 90% de los clientes tienen fondos. En caja se recibe un cheque con fecha equivocada, ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?
11. Se presume que una prueba para diagnosticar una enfermedad tiene 90% de exactitud; es decir, que si una persona posee la enfermedad, la prueba la detectará con una probabilidad de 0.9. De la misma manera, si no lo padece, la prueba lo señalará con probabilidad de 0.9. Sólo 1% de la población padece esa enfermedad. Si se elige una persona al azar y el diagnostico indica que padece la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad que la tenga realmente?
SOLUCION EJERCICIOS GUIA 2 PROBABILIDADES Estadística Empresarial Módulo 4 1.- son defectuosas. La caja II contiene 6 ampolletas con 1 defectuosa. Si se escoge una caja y luego se saca una ampolleta:
Buenas 6 5 11
Caja 1 Caja 2 Totales
Defectuosas 4 1 5
Totales 10 6 16
a) ¿Cuál es la posibilidad de que la ampolleta sea defe ctuosa?.
1 4
1 1
2 10 2 6 4 1 48 20 20
12
240
68 240
0.28
b) ¿Cuál es la probabilidad de que se escoja la Caja I y luego una ampolleta buena?
1 6
2 10
1 3
2 5
3 10
c) Si el artículo es defectuoso ¿cuál es la probabilidad que sea de la Caja II? A= De la caja 2 B = Defectuosos P ( A / B )
P ( A B) P ( B)
1 P ( A / B)
16 5 16
1 16
16 5
1 5
2. En un experimento para estudiar la relación entre la hipertensión y el hábito de fumar, se reunieron los siguientes datos en 180 individuos.
Hipertenso No hipertenso
No fumadores 21 48
Fumadores moderados 36 26
Fumadores empedernidos 30 19
a) Si se selecciona aleatoriamente a uno de estos individuos, encuentre la probabilidad de que: i) Experimente hipertensión, dado que es un fumador empedernido.
A = Experimente hipertensión B = Fumador Empedernido
P ( A / B)
P ( A B)
P ( B)
P ( A B) P ( B )
30 180
49 180
30 P ( A / B)
180 49 180
P ( A / B)
30 180
180 49
30 49
ii) Sea un no fumador, dado que hipertensión.
no ha presentado un problema de
A= Sea no fumador B = no Presenta problema de hipertensión P ( A / B)
P ( A B) P ( B)
P ( A B)
P ( B)
48 180
48 26 19 180
P ( A / B)
iii)
48 180
180 93
93 180
48 93
Sea un fumador moderado o un fumador empedernido.
36 26 30 19 180
111 180
b) ¿Si se eligen aleatoriamente 2 de estos individuos, ¿Cuál es la probabilidad de que uno sea hipertenso y el otro no hipertenso?
Total hipertensos = 87 Total no hipertenso = 93
87
93
93
87
180 179 180 179
8091 32220
8091 32220
2 * 0.2511 0.502
c) Si se eligen al azar 3 de estos individuos en forma sucesiva, ¿cuál es la probabilidad de que el primero sea un no fumador, el segundo sea un fumador moderado y el tercero sea un fumador empedernido?. No fumadores = 69
Fumador moderado = 62 Fumador empedernido = 49
69
62
49
180 179 178
209622 5735160
0.036
3. Los siguientes diagramas representan las ciudades A y B unidas por puentes. Cada puente es independiente y tiene probabilidad 0.1 de estar cortado. Determine la probabilidad de que A y B estén incomunicadas:
a)
1 A
B 2
Calculemos la probabilidad que estén comunicados: P(Prim.bueno*seg.malo)+P(Prim.malo*seg.bueno)+P(Prim.bueno*Seg.bueno) 0.9 * 0.1 0.09
+ 0.1 * 0.9
+ 0.9 * 0.9
+ 0.09
+ 0.81
0.99
La probabilidad de estar incomunicados es: 0.01
b) 1
2
A
B 3
Para que estén comunicados: A.- P1* P2 * P3 = Buenos B.- P1* P2 BUENOS * P3 Malo
C.- P1 * P2 MALOS *P3 BUENO Calculemos P(A) = 0.9*0.9*0.9=0.729 P (B) = 0.9*0.9* 0.1=0.081 P(C) = 0.1*0.1*0.9=0.009
La probabilidad de estén comunicados es: 0.729+0.081+0.009= 0.819 Por lo tanto la probabilidad de estar incomunicados es: 1-0.819=0.18
4.-En una gran empresa hay 12 postulantes a un cargo. De los cuales 4 son ingenieros y el 8 son contadores auditores. El gerente de la empresa desea entrevistar a dos postulantes al azar.
Ingenieros 4
PORTULANTES
Contadores 8
a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos entrevistados sean ingenieros? La probabilidad que el primer encuestado sea ingeniero es:
4 12 El segundo sea ingeniero es:
3 11 Por lo tanto la probabilidad que ambos sean ingenieros es:
4
3
12 11
12 132
1 11
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el segundo entrevistado sea contador auditor? P (2CON
4
8
1ING)+ P(2CON
8
132
1CON)
7
12 11 12 11 32 56 88 132
132
0.66
5.- Se realiza un congreso de delegados de diferentes Institutos de educación superior del país. Se sabe que el 25% de los delegados provienen de la zona norte, el 40% de la región metropolitana y el resto de la zona sur. Además, se sabe que el 15% de los delegados de la zona norte son mujeres y el 60% de los delegados de la región metropolitana son hombres y el 10% de la zona sur son mujeres. Se elige un delegado al azar.
TABLA EN % NORTE 21.25 3.75 25
HOMBRES MUJERES TOTALES
SUR 31.5 3.5 35
R.M. 24 16 40
TOTALES 76.75 23.25 100
a) ¿Cuál es la probabilidad que resulte elegida una mujer? 23.25 b) ¿Si el elegido es un hombre, cuál es la probabilidad que provenga de la zona sur? A = Hombre B = Zona sur P ( A / B)
P ( A B) P ( B)
31.5 P ( A / B)
100 76.75 100
31.5 76.75
0.41
6.- En una empresa que se dedica a la elaboración y venta de productos dietéticos, el Departamento de Investigación de Mercado sabe que de la población de consumidores de un determinado sector el 60% son hombres. De las mujeres se sabe que el 34% prefiere la marca A y de los hombres se sabe que el 12 % prefiere la marca A.
MARCA A 7.2 13.6 20.8
HOMBRES MUJERES TOTALES
MARCA B 52.8 26.4 79.2
60 40
a) Si se elige un consumidor, ¿cuál es la probabilidad que prefiera la marca A?. 20.8 b) Si se elige un consumidor y no prefiere la marca A, ¿ cuál es la probabilidad que sea hombre?. P ( A / B)
P ( A B) P ( B )
A = Hombre B = Prefiera B
P ( A / B)
52.8 79.2
7.- En una empresa consultora trabajan especialistas en recursos humanos, administración de empresas y especialistas en informática. Se sabe que en un año, esta empresa se presenta a propuestas que en un 30% corresponden a recursos humanos, 20% a administración de empresas y 50% a informática. De años anteriores se sabe que las probabilidades de adjudicarse las propuestas son del 0.35 para recursos humanos, 0,72 en administración y 0.75 en informática.
0.35 ADJ
0.3 RRHH
0.65 NO ADJ. 0.72 ADJ
0.2 ADMIN. 0.28 NO ADJ. 0.5 INF. 0.75 ADJ 0.25 NO ADJ
a) Si la consultora se presenta a una propuesta y no se lo adjudica, ¿cuál es la probabilidad de que la propuesta sea de informática?
P ( INF / NOADJ .)
P ( INF / NOADJ .)
P ( INF NOADJ .)) P ( NOADJ .)
0.5 * 0.25 0.25 * 0.5 0.2 * 0.28 0.3 * 0.65
0.125 0.376
0.34
b) ¿Qué porcentaje de veces la empresa se adjudica una propuesta cualquiera? 1-0.376=0.624
8.- Si el proceso de producción de una fábrica se encuentra bajo control se descubre que el 5% de los artículos producidos son defectuosos. Si el proceso no está bajo control, los defectuosos son el 30%. Se sabe que la probabilidad de que el proceso esté bajo control es de 0,8.
CONTROL SIN CONTROL TOTALES
DEFECTUOSO 0.05*0.8=0.04 . 0.3*0.2=0.06 0.1
NO DEFECTUOSO 0.95*0.08=0.76 0.7*0.2=0.14 0.9
0.8 0.2
a) Encuentre la probabilidad de que un artículo elegido al azar sea defectuoso. 0.05*0.8+0.3*0.2=0.1 b) ¿Si un artículo elegido al azar está bueno, cuál es la probabilidad de que el proceso esté bajo control? P (CONTROL / BUENA)
P (CONTROL / BUENA) P ( BUENA)
P (CONTROL / BUENA)
0.76 0.9
0.84
9.- Considerando la posibilidad de descubrir petróleo, una compañía ha clasificado las formaciones geológicas en dos tipos. De acuerdo con la experiencia, al sitio donde la compañía pretende perforar un pozo se le asigna un 20% de posibilidad que sea tipo I, un 60% de que se descubra petróleo y un 70% de descubrir petróleo si es una formación geológica tipo II.
0.6 SI DESC.
T.1 0.2
0.4 NO DESC.
0.7 SI DESC. 0.8 T.2 0.3 NO DESC.
a) Calcule la probabilidad de que en este sitio se descubra petróleo y sea tipo II. P ( SI DES . T 2)
0.7 * 0.8 0.56
b) ¿Dado que el sitio es tipo I, cuál es la probabilidad que se descubra petróleo?
P (TIPO
1/ DESC . PET .)
P (TIPO1 DESC .) P ( DESC .)
0.2 * 0.6 0.2 * 06 0.8 * 0.7
0.12 0.68
0.176
10.- Un banco ha comprobado que la probabilidad de que un cliente con fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 0.001. En cambio, la probabilidad de que un cliente sin fondos extienda un cheque con fecha equivocada es 0.1. Se sabe que el 90% de los clientes tienen fondos. En caja se recibe un cheque con fecha equivocada, ¿Qué probabilidad hay de que sea de un cliente sin fondos?
0.001 M.F
C.FO 0.9 0.999 B.F 0.1
0.1 M.F S.FO
0.9
P ( S.FO/
MF)=
0.1* 0.1 0.001* 0.9 0.1* 0.1
0.01 0.0109
B.F
0.917
11.- Se presume que una prueba para diagnosticar una enfermedad tiene 90% de exacti tud; es decir, que si una persona posee la enfermedad, la prueba la detectará con una probabilidad de 0.9. De la misma manera, si no lo padece, la prueba lo señalará con probabilidad de 0.9. Sólo 1% de la población padece esa enfermedad. Si se elige una persona al azar y el diagnostico indica que padece la enfermedad, ¿cuál es la probabilidad que la tenga realmente?,
0.9 POS.
Enf. 0.01
0.1 NEG. 0.99
0.1 POS. S /ENF.
0.9 NEG.
P ( ENF / POS )
P ( ENF POS ) P (( POS )
0.01* 0.9 0.01* 0.9 0.99 * 0.1
0.009 0.09 0.099
0.009 0.189
0.047
