Instrucciones: 1.- Lee detenidamente el material de la unidad visto hasta ahora.
2.- Revisa los ejemplos 1, 2, 3 y 4 del contenido de la unidad.
3.- En un documento de texto, explica cuál es la distribución de probabilidad y describe cómo se determina un intervalo de confianza en cada uno de los ejemplos que se presentaron.
4.- Por último, integra en el documento anterior, los resultados con tus conclusiones.
5.- Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura: ESP_U3_A1_XXYZ. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.
6.- Envía, a través de esta sección, el documento a tu docente en línea para que lo revise y te retroalimente en los siguientes días.
ACTIVIDAD 1 INTRODUCCION LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD Una distribución de probabilidad es aquella que permite establecer toda la gama de resultados probables de ocurrir en un experimento determinado. Es decir, describe la probabilidad de que un evento se realice en el futuro. La distribución de probabilidad es una herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que con ella es posible diseñar un escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos. Las características más importantes por considerar en una distribución de probabilidad son: La probabilidad de un resultado específico está entre cero y uno. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es 1. Toda distribución de probabilidad se genera por una variable debido a que puede tomar diferentes valores) aleatoria x (porque el valor que se toma es completamente al
azar.
https://www.esan.edu.pe/apuntes-empresariales/2016/10/conoce-las-
principales-distribuciones-de-probabilidad/
CÓMO SE DETERMINA UN INTERVALO DE CONFIANZA Un intervalo de confianza es un rango de valores, derivado de los estadísticos de la muestra, que posiblemente incluya el valor de un parámetro de población desconocido. Debido a su naturaleza aleatoria, es poco probable que dos muestras de una población en particular produzcan intervalos de confianza idénticos. Sin embargo, si usted repitiera muchas veces su muestra, un determinado porcentaje
de los intervalos de confianza resultantes incluiría el parámetro de población desconocido. El intervalo de confianza se determina calculando una estimación de punto y luego determinando su margen de error. Estimación de punto Este valor individual estima un parámetro de población usando los datos de la muestra. Margen de error Cuando usted utiliza estadísticos para estimar un valor, es importante recordar que, sin importar lo bien que esté diseñado su estudio, su estimación está sujeta a error de muestreo aleatorio. El margen de error cuantifica este error e indica la precisión de la estimación. https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-and-how-to/statistics/basicstatistics/supporting-topics/basics/what-is-a-confidence-interval/
EJEMPLOS QUE SE PRESENTAN Ejemplo (1) Cierto grupo de abogados tienen dos despachos representativos en casos de niños, uno en la periferia de la ciudad (T 1) y otro en un centro comercial (T 2). El gerente regional ha observado que casos que se llevan a término excelente en uno, no lo son en el otro y él cree que esa situación se debe a ciertas diferencias entre los clientes de los dos despachos, por ejemplo, edad, educación, ingreso, etc. Para corroborar su idea, pide que se investigue la diferencia entre las medias de las edades de los clientes de los dos despachos. De acuerdo con datos de estudios anteriores sobre los clientes, se sabe que las desviaciones estándar poblacionales de cada una de las tiendas son ó1 = 9 años y ó 2 =10años. Solución: Si se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n1 clientes de la población 1 y una muestra aleatoria simple de tamaño 2 n clientes de la población 2, y se calculan las dos medias muestrales, los valores obtenidos son:
T1
T2
Tamaño de la muestra
n1=36
n2=49
Media muestral
x1=40
x2=35
Con esta información, la estimación por intervalo de 1 2 con 95% de confianza se encuentra haciendo:
Para determinar el intervalo de confianza para dos medias: µ1 - µ2, donde X1 - X2 pueden ser aproximadas mediante una distribución normal. Si nos basamos en los valores de su fórmula de la siguiente manera:
x1 ─ x2 = 40─35= 5
es la diferencia de medias poblaciones
ɑ= 1-p ɑ = 1.- 0.95 valores
ɑ=0.5
Z0.5/2 = Z0.025=1.96
Formula que nos sirve para calcular la varianza con un intervalo para dos medias.
(40 – 35) – 1.96
√9
2
36
49
---
µ2 ≤ (40 – 45) +1.96
49
5-1.96 √ 81 + 100 ≤ µ1 36
≤ µ1
+ 102
√ 9
2
36 ---
µ2 ≤ (40 – 45) +1.96
√ 81 +
100
36
49
5-1.96 √ 2.25 + 2.04 ≤ µ1 ─ µ2 ≤ 5 + 1.96 √ 2.25 + 2.04
+ 102 49
5 ─ 1.96 (2.07) ≤ µ1 ─ µ2 ≤ 5 + 1.96 (2.07) 5 ─ 4.06 ≤ µ1 ─ µ2 ≤ 5 + 4.06 0.94 ≤ µ 1 ─ µ2 ≤ 9.06 Interpretación:
Tomando en cuenta que la estimación por intervalo del 95% de confianza de la diferencia entre las medias poblaciones en este ejemplo va desde el 0.94 0.96 año s. En cuanto a la edad promedio de clientes que van al despacho de la periferia (T 1) se encuentra entre 1 y 9 años que la edad promedio de los clientes que frecuentan el despacho del centro de la ciudad (T 2).
Ejemplo (2) Un investigador privado de casos difíciles asegura que la vida media de sus asuntos excede en más de 1000 horas la vida media de los casos de uno de sus competidores. Para contrastar la afirmación, con un nivel de confianza del 95%, se probaron nueve casos del investigador y siete de su competidor. En la tabla se muestra la duración de los asuntos para ambos muestreos, en miles de horas:
investigador
66.4
61.6
60.5
59.1
63.6
61.4
62.5
58.2
60.4
55.2
62.0
57.3
58.7
56.1
64.4
60.7
privado competidor
a) Calcular la media y la varianza de cada muestra. b) Explicar qué tipo de modelo de probabilidad sigue la diferencia de medias. c) Determinar el intervalo de confianza. Solución: A continuación, se presentan los cálculos necesarios para dar respuesta a cada uno de los incisos. Como no se conocen las varianzas de las poblaciones en el siguiente ejemplo emplearemos la distribución de t de student remplazando la z por la t con la siguiente formula:
a). - calcular la media y la varianza de cada muestra
x1 = 66.4 + 61.6+ 60.5+ 59.1+ 63.6+ 61.4+ 62.5+ 64.4+ 60.7 9 Para calcular la media y la varianza se sumaran las muestras para dividirse entre la cantidad de muestras que son para que se obtenga el promedio resultado.
Para la muestra del investigador privado, se tiene:
La media se va a calcular en base a la suma de las 9 muestra s que se tomaron se calcula sumando las 9 muestras que se tomaron del investigador entre la cantidad de veces que se tomó la muestra. x1 = 66.4 + 61.6+ 60.5+ 59.1+ 63.6+ 61.4+ 62.5+ 64.4+ 60.7 9 x1 =
560.02 = 62.24 9
Se calcula la varianza la cual se estima para el investigador (66.4 - 62.24)2 + (61.6 – 62.24)2 + (60.5 – 62.24)2 + (59.1 – 62.24)2 + (63.6 – 62.24)2 + (61.4 – 62.24)2 + 1 = (62.5 – 62.24)2 + (64.4 – 62.24)2 + (60.7 – 62.24)2
9 – 1
1 (4.16)2 + (-0.64)2 + (-1.74)2 +(-3.14)2 + (-1.36)2 +(-0.84)2 + (-0.26)2+(-2.16)2+(-1.54)2
8 1 =17.30+ 0.40+ 3.02+9.85+1.84+ 0.70+0.06+4.66+2.37
8 1 = 5.03
Para la muestra del competidor. x1 = 58.2 + 60.4 + 55.2 + 62.0 + 57.3 + 58.7 + 56.1 7 x1= 407.9 7
= 58.27
Los siguientes resultados son para calcular la varianza del competidor (58.2-58.27)2+(60.4-58.27)2+(55.2-58.27)2+(62.02-58.27)2 1 = (57.3-58.27)2+(58.7-58.27)2+(56.1-58,27)2
9 ─ 1 1 = (0.07)2 + (2.13)2 + (3.07)2 + (3.73) 2 + (0.97)2 + (0.43)2 + (2.17)2
8 1 = 5.61
b). - Explicar qué tipo de modelo de probabilidad sigue la diferencia de medias.
Nos pudimos dar cuenta que las varianzas poblacionales son desconocidas, por tal caso para este ejemplo debemos aplicar la distribución t de student, considerando que la diferencia de medias se distribuye como t de student n 1 + n2 – siendo estos los grados de libertad. c). - determinar el intervalo de confianza.
Sustituir los datos de la formula DATOS
n1 = n2 = s1 = s2 =
(9-1) (5.03) + (7-1) (5.61) 9 + 7 – 2 (40.24) + (33.66) 14 5.28 sp = √ 5.28 = 2.29
9 muestra del investigador 7 muestra del competidor 5.03 5.61
Para poder determinar el intervalo de confianza hay que sustituir los valores que fueron calculados por la fórmula:
Resultado de lo que se obtiene (62.24 – 58.27) ─ t 0.05 . 9 + 7 – 2 (2.29) √ 1 + 1 ≤µ1 - µ2 9
3.97 + t 0.025.14 ( 2.29)
7
√ 0.2539 ≤ µ 1 - µ2
3.97 – (2.145) (2.28) (0.5038) ≤ µ1 - µ2 3.97 + (2.145) (2.28) (0.5038) 3.97 – 2.484 ≤ µ1 - µ2 3.97 + 2.484 1.486≤ µ1 - µ2 ≤ 6.454 La diferencia de las medias poblaciones se encuentra entre 1.486 y 6.454 horas se llega a la conclusión de lo que asegura el investigador privado sobre la vida media de sus asuntos si se excede en más de 1000 horas la vida de los casos en comparación con su competidor.
Valor critico dado:
t0˃ t0.5.14
