Facult acultad de Ingenieria Ingenieria y Ciencias Ciencias ´ sicas Basicas a C´ alcu al culo lo I I
Proyecto Proyecto de Aula Aula
Tercer Fase
Algunos Algunos
de los ejercicios ejercicios se pueden resolver resolver con ayuda de Mathematica
10
Nota: Todos los c´alculos alculos deben deb en realizarse empleando el software
1. Si p Si p > 1, 1, evalue la expresi´on on 1+ 1
−
Figura 2
1 1 1 + p + p + p 2 3 4 1 1 1 + p + p 2 3 4 p
−
··· ···
2. Supongase que circulos de igual diametro son ambalados en filas dentro de un tri´ angulo angulo equilatero (La figura 1 ilustra el caso n = 4.) Si A es el ´area are a del tri´angulo ang ulo y An es el ´area area total ocupada por las n filas de circulos, muestre que lim
n→∞
4. La siguiente familia familia de triangulos triangulos construidos construidos como se muestran en la figura 3. Cada triangulo tiene altura 1 y 1 y su base es la hipotenusa hipotenusa del triangulo triangulo anterior. anterior. Muestre Muestre que esta sucesi´ sucesi´on on de triangulos da indefinidas vueltas alrededor de P P probando que θn es una serie dvergente.
An π = . A 2 3
√
Figura 3
Figura 1
3. Empez Empezand ando o con con los los vert vertic icee P 1 (0, (0, 1), 1), P 2 (1, (1, 1), 1), P 3 (1, (1, 0), 0), (0, 0) de un cuadrado, construimos adem´as P 4 (0, as puntos como muestra la figura 2: P 5 es el punto medio de P 1 P 2 , P 6 es el punto medio de P 2 P 3 , P 7 es el punto medio de P 3 P 4 , y as´ı sucesivame sucesivamente. nte. La sucesi´ sucesi´ on de puntos de la espiral poligonal on P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 . . . se aproxima a un punto P P dentro del cuadrado.
5. Cuando el dinero dinero se gasta en bienes y servicios, servicios, los que reciben el dinero dinero tambi´ tambi´en en gastan un poco de ´el. el. Las personas personas que reciben algo del dinero dinero gastado gastado dos veces, veces, gastar´ gastar´ an an algo de dicho dinero y as´ı sucesivamente. Los economistas llaman a esta reacci´on on en cadena efecto multiplicador h ipot´ t´etico etic o multiplicador . En un hipo pueblo aislado, el gobierno local inicia el proceso gastando D d´olares olares.. Suponga Suponga que cada persona persona que recibe dinero dinero gasta 100 100cc % y ahorra 100 100ss % del dinero dinero.. Los valor valores es c y s se denominan propensi´on on marginar al consumo y propensi´on on marginal al ahorro y, naturalmente c naturalmente c + s = 1. (a) Sea S Sea S n el total de lo gastado que ha sido generado despu´ sp u´es es de n transacciones. Determine una ecuaci´on on para S n . (b) Demuestre que el lim n S n = kD = kD donde k donde k = 1/s. /s. La cantidad k se llama multiplicador ¿Cu´al al es el multiplicador si la propensi´on on marginal al consumo es 80 es 80 %? →∞
(i) Si las coo coorde rdenad nadas as de P n son (xn , yn ), most mostra rarr que que 1 x + x + x + x = 2 y encontrar una ecuaci´ on on n+1 n+2 n+3 2 n similar para las coordenadas y coordenadas y.. (ii) Encontrar las coordenadas de P de P ..
6. Una cierta pelota tiene la caracterist caracteristica ica de que cada vez que se cae desde una altura h altura h sobre sobre una superficie nivelada y dura, rebota hasta una altuta r h, donde 0 < r < 1. 1 . Suponga Suponga que que la pelota cae desde una altura inicial de H metros H metros (a) Suponga que la pelota continua rebotando de manera indefinida. indefinida. Calcule Calcule la distancia distancia total que recorre. recorre. (use el 1 2 hecho de que la pelota cae 2 gt metros en t en t segundos). (b) Calcule en tiempo total que la pelota viaja. (c) Suponga que cada vez que la pelota golpea la superficie con velocidad v rebota con velocidad kv, kv , donde 0 < k < 1. 1 . ¿Cu´anto anto tiempo le tomar´a a la pelota pelot a llegar al reposo?
−
7. En la siguiente figura se ilustran dos circulos C y D de radio 1 que se tocan en P , T es una tangente com´un; C 1 es el circulo que toca C , D y T ; C 2 es el punto que toca C , D y C 1 ; C 3 es el punto que toca C , D y C 2 . Este procedimiento puede continuar en forma indefinida y produce una sucesi´on infinita de circulos C n . Determine una expresi´ on para el diametro de C n y, de ese modo, proporcione una demostraci´ on geom´etrica 1 de n=1 n(n+1) = 1.
{ }
∞
8. Un triangulo rectangulo ABC est´a definido con
∠A
= θ y
|AC | = b. CD se traza perpendicular a AB , DE se traza en forma perpendicular a BC , EF ⊥AB, y este procedimiento continu´ a en forma indefinida como se ilusta en la figura. Determine la longitud total de las perpendiculares
|CD | + |DE | + |EF | + |F G| + ·· · en t´erminos de b y θ.
