Embragues.pdf

C A P Í T U L O

Zapata larga que expande el aro interno del embrague. (Cortesía de Bucyrus Erie)

 N a da tie ne ta l p o d e r p a ra a m p lia li a r  la mente como la habilidad de investigar  sistemática sistemática y verdaderam ente todo lo que llega bajo la observación en la vida . Marco Aurelio, emperador romano

PAOTE 2 

7 B 2 

©

E l e m e n t o s d e m á q ui uin a s

s ím b o l o s

A a b C  c  D d  d\} cij, ij, d3, dA d5, d 6, dJ  d%, d9, d 9, d ]Q F  Ft  Fi K  ¡vi ¡vi  N  «5 P P Po  R r  T  T  t,n 11

w

área, m2; constante distancia, m cono o ancho de la cara, m costo constante diámetro más grande del cono, m diámetro más pequeño del cono, m distancias usadas para frenos de zapata corta, m distancias usadas para frenos de tambor de zapata larga, m distancias utilizadas para frenos de banda, m fuerza de fricción, N fuerza de reacción del perno para frenos de banda, N fuerza de accionamiento para frenos de banda, N trabajo o razón de la conversión de la energía, W momento, N-m número dé conjuntos de discos factor de seguridad fuerza normal, N  presión  pres ión de co ntacto , Pa  presión  pres ión uniforme, unifo rme, Pa fuerza de reacción, N radio, m  par de to rsión, N-m  par de torsión to rsión aaim ension ens ional, al, T/(2\iPr0) temperatura, °C velocidad de deslizamiento, m/s fuerza de accionamiento, N

1 7® 1

a P |30 5 0 0n 0¡ 02

 ji (() oo

ángulo de la mitad del cono del embrague cónico, grados razón del radio, rjr0 razón óptima del radio profundida d de desgaste, m coordenad a circunferencial, grados ángulo don de p  =  p miK, grados loca locallizac izaciión dond dondee comi comien enza za la zapa apata, ta, gra grados dos localización donde termina la zapata, grados coeficiente de fricción ángulo áng ulo cubier cub ierto, to, grados grad os velocidad veloc idad angular, rad/s

Subíndices  B di F   H  i m máx o P P s V  w X, y

frenado desenergizante fuerza de fricción horizontal interior  medio m á x im o exterior  fuerza normal  presió n unifo rme autoenergizante vertical desgaste uniforme co o rd en ad as

In t r o d u c c i ó n

Los frenos y los embragues son ejemplos de elementos de máquinas que utilizan fricción en una forma útil. Los embragues se requieren cuando los ejes se deben conectar y desconectar con frecuen cia. La función de un embrague es doble: primero, primero, debe proporcionar un incremen to gradual en la velocidad angular del eje impulsado, de manera que su velocidad se pueda llevar hasta la velocidad del eje impulsor sin impacto; segundo, para actuar como un acopla miento sin deslizamiento o pérdida de velocidad en el eje impulsor, cuando los dos ejes giran a la misma velocidad angular. Un freno es un dispositivo que se usa para llevar al reposo un sistema en movimiento, para bajar su velocidad o para controlar su velocidad hasta un cierto valor en condiciones cambiantes. La función del freno consiste en convertir energía mecánica en calor. calor. El diseño de frenos y embragues depende de incertiaumbres sobre el valor del coe fi ciente de fricción, el cual se de be usar necesariamente. Se deberán recordar recordar los los materiales que se estudiaron en las secciones 3.5 y 3.7 ya que se 'mencionan en este capítulo. En la figura 17.1 se muestran cinco tipos de frenos y embragues, que se estudian en este capítulo. Entre ellos se incluye el tipo de tambor que tiene zapatas internas en expansión y externas externas en contracc contracción, ión, el freno de ban da, el disco de em puje y el disco cónico. En la figura figura también se indican las fuerzas de accionamiento que se aplican a cada freno o embrague. Los frenos y los embragues son similares, pero difieren de otros elementos de máquinas en que constituyen sistemas tribológicos, en los cuales se desea que la fricción sea elevada. Por lo tanto, se ha realizado un gran esfuerzo dirigido hacia la iden tificación y desarrollo desarrollo de mate-

PAOTE 2 

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E l e m e n t o s d e m á q ui uin a s

s ím b o l o s

A a b C  c  D d  d\} cij, ij, d3, dA d5, d 6, dJ  d%, d9, d 9, d ]Q F  Ft  Fi K  ¡vi ¡vi  N  «5 P P Po  R r  T  T  t,n 11

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área, m2; constante distancia, m cono o ancho de la cara, m costo constante diámetro más grande del cono, m diámetro más pequeño del cono, m distancias usadas para frenos de zapata corta, m distancias usadas para frenos de tambor de zapata larga, m distancias utilizadas para frenos de banda, m fuerza de fricción, N fuerza de reacción del perno para frenos de banda, N fuerza de accionamiento para frenos de banda, N trabajo o razón de la conversión de la energía, W momento, N-m número dé conjuntos de discos factor de seguridad fuerza normal, N  presión  pres ión de co ntacto , Pa  presión  pres ión uniforme, unifo rme, Pa fuerza de reacción, N radio, m  par de to rsión, N-m  par de torsión to rsión aaim ension ens ional, al, T/(2\iPr0) temperatura, °C velocidad de deslizamiento, m/s fuerza de accionamiento, N

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a P |30 5 0 0n 0¡ 02

 ji (() oo

ángulo de la mitad del cono del embrague cónico, grados razón del radio, rjr0 razón óptima del radio profundida d de desgaste, m coordenad a circunferencial, grados ángulo don de p  =  p miK, grados loca locallizac izaciión dond dondee comi comien enza za la zapa apata, ta, gra grados dos localización donde termina la zapata, grados coeficiente de fricción ángulo áng ulo cubier cub ierto, to, grados grad os velocidad veloc idad angular, rad/s

Subíndices  B di F   H  i m máx o P P s V  w X, y

frenado desenergizante fuerza de fricción horizontal interior  medio m á x im o exterior  fuerza normal  presió n unifo rme autoenergizante vertical desgaste uniforme co o rd en ad as

In t r o d u c c i ó n

Los frenos y los embragues son ejemplos de elementos de máquinas que utilizan fricción en una forma útil. Los embragues se requieren cuando los ejes se deben conectar y desconectar con frecuen cia. La función de un embrague es doble: primero, primero, debe proporcionar un incremen to gradual en la velocidad angular del eje impulsado, de manera que su velocidad se pueda llevar hasta la velocidad del eje impulsor sin impacto; segundo, para actuar como un acopla miento sin deslizamiento o pérdida de velocidad en el eje impulsor, cuando los dos ejes giran a la misma velocidad angular. Un freno es un dispositivo que se usa para llevar al reposo un sistema en movimiento, para bajar su velocidad o para controlar su velocidad hasta un cierto valor en condiciones cambiantes. La función del freno consiste en convertir energía mecánica en calor. calor. El diseño de frenos y embragues depende de incertiaumbres sobre el valor del coe fi ciente de fricción, el cual se de be usar necesariamente. Se deberán recordar recordar los los materiales que se estudiaron en las secciones 3.5 y 3.7 ya que se 'mencionan en este capítulo. En la figura 17.1 se muestran cinco tipos de frenos y embragues, que se estudian en este capítulo. Entre ellos se incluye el tipo de tambor que tiene zapatas internas en expansión y externas externas en contracc contracción, ión, el freno de ban da, el disco de em puje y el disco cónico. En la figura figura también se indican las fuerzas de accionamiento que se aplican a cada freno o embrague. Los frenos y los embragues son similares, pero difieren de otros elementos de máquinas en que constituyen sistemas tribológicos, en los cuales se desea que la fricción sea elevada. Por lo tanto, se ha realizado un gran esfuerzo dirigido hacia la iden tificación y desarrollo desarrollo de mate-

C&PÉTOLQ C&PÉTOLQ í 7

©

F

renos y embragues

F ig u ra 1 7 .1 C i n c o t ip ip o s d e f re re no no s y embragues, a) Tipo de tambor interno de expansión; b)  tipo de tambor externo de contracción; c) freno de banda; cfj disco de empuje; e) disco cónico.

ríales que den como resultado coeficientes de fricción altos y desgaste bajo, de manera que se obtenga una vida de servicio razonable. En años anteriores los materiales de los frenos y em  br ag ue s eran er an co m pu es to s qu e co n tení te ní an fibr fi br a de as be sto; st o; no ob stan st an te, te , las p artí ar tícu cu las la s de d es g as  te asociadas con estos materiales resultan peligrosas en exceso para la salud del personal de mantenimiento. En los frenos y embragues modernos se emplean materiales 4\semimetáÍicos" (es decir, metales que se producen mediante técnicas de pulvimetalurgia) en la interfaz tribológica; aunque se puede obtener una vida más larga usando los viejos recubrimientos con  ba se de as be sto. st o. E sta st a su stitu st itu ción ci ón co n st itu y e un bu en ejem ej em pl o del d iseñ is eñ o m ul tidi ti di sc ip lina li na rio, ri o, ya que una consideración totalmente fuera de la ingeniería mecánica ha eliminado el uso de un tipo de material. El diseño común de frenos y embragues también implica la selección de componentes de tamaño y capacidad suficiente para obtener vidas de servicio razonables. Muchos de los pro  ble  b lem m as está es tánn or ient ie nt ad os ha cia ci a la m ec án ica ic a de só lido li do s; la teor te oría ía resp re sp ec tiv ti v a se es tu di ó en los capítulos 4 a 7 y no se repetirá en este capítulo. Debido a que en este capítulo se estudia  pri  p rinc nc ip alm al m en te la op erac er ac ió n de los sist si stem em as ue fren fr en o y em b ragu ra gu e, la aten at en ción ci ón se ce n tra tr a en las fuerzas de accionamiento y de los pares de torsión resultantes. No se atenderá al tamaño del componente. Un punto primordial en el diseño de los componentes de freno y embrague es la tempera tura. tura. C uando se activan activan los'frenos los'frenos o los embragues, un material de alta fricción fricción se desliza sobre otro con una fuerza normal grande. Las grandes cantidades de energía que se crean se deben disipar en forma de calor calor.. Si los compon entes se calientan dem asiado, se reducirá severamen te su vida y rendimiento. Por ejemplo, cuando los frenos se sobreusan, las superficies se llegan a vitrificar o hacerse ‘‘vidriosas" y tendrán una notoria reducción de la fricción. La superficie vitrificada se debe remover, ya sea reemplazando el componente o lijando la superficie daña da. Además, el sobrecalentamiento de las zapatas y rotores de los frenos puede causar marcas de calor (pequeñas grietas provocadas por temperaturas locales extremadamente altas), alabeo e incluso agrietamiento del componente. Obviamente, se deben.evitar tales circunstancias, que, sin embargo sólo se pueden descubrir por medio de inspecciones periódicas. Por lo tanto.

7 S4

P A &T &T E 2

•

Elementos

d e m á q u in a s

como los frenos y embragues tienen un desgaste inevitable asociado con esas circunstancias, resulta esencial un mantenimiento regular de los sistemas de frenos y embragues, cuyas vidas de servicio con frecuencia son mucho más bajas que las de otros elementos de máquinas.

1 7 , 2

E m b r a g u e s d e d is c o d e e m p u je

El eje de rotación de un disco de empuje es perpendicular a las superficies ue contacto, como se observa en la figura 17.Id). La figura 17.2 muestra los diferentes radios del embrague de disco de empuje. El procedimiento de diseño consiste en obtener la fuerza axial  P necesaria para producir un cierto ciert o par de torsión torsi ón ÜT, la presión pres ión de conta co ntacto cto resulta r esultante nte p  y la profundidad de desgaste desgas te 5. Para Para un área elemental ¿LA = (rd&)dr

f 17.1 f 

La fuerza normal y el par de torsión se expresan de la forma siguiente  dP  =  pd A  =  prdQd  pr dQd r

C17.2J

T -  j  rdF  rd F = j ¡irdP =  j j jipr2drdQ

Se usarán dos métodos de análisis. Sólo se analizará un conjunto de discos; pero el par de torsión para un conjunto de discos sencillo se multiplica por  N  para   para obtener el par de torsión para N  conjuntos de discos.

1 7 . a L

I

M o d e lo d e p re sió n u n ifo rm e

Para discos nuevos completamente planos y alineados la presión será uniforme  o p = p 0. Si esto se sustituye en las ecuaciones (17.2) y (17.3) se obtiene P p = K p 0 ( ro ro - r , 2 )

T   Áp

Ï

n

1 7.21

Superficie de

un embrague de disco de empuje con varios radios.

_ 2/KiipQ 2/KiipQ =

^_  2\lPp ( r03 -

(17.4) 117.5)

CAPÍTULO 17

Frenos y embragues

De esta forma, las expresiones para la carga normal y el par de torsión se determinan por medio de la presión uniforme, la geometría (r0 y r,) y el coeficiente de fricción |ll.

1 7 . 2 .2

M o d el o de d e sg a s t e u n i f o r m e

Si las superficies de acoplamiento del embrague son suficientemente rígidas, se puede suponer que ocurrirá un desgaste uniforme. Generalmente esta suposición se mantiene como válida después de algún asentamiento inicial. Después de que el desgaste inicial ha ocurrido, los discos se han desgastado hasta el punto en que se posibilita el desgaste uniforme. De esta forma, para el disco de la figura 17.2 el d esgaste es constante sobre el área de la superficie r¡ <  r < r0y alrededor de la circunferencia del disco. Si se supone una razón de desgaste proporcional al trabajo o energía, la tasa de conversión es  hp =  Fu = ¡iPu = ¡ipAu donde  F = fuerza de fricción, N \i = coeficiente de fricción  P = fuerza normal, N u = velocidad, m/s  A = área, m2

Un embrague nuevo se desgasta más rápidamente en el radio exterior, donde la velocidad u es la mayor. Don de las superficies se desgastan más, la presión disminuye en igual magnitud. Así, la multiplicación de la presión por la velocidad produce un trabajo constante o transformación de la energía, lo que implica que el desgaste debe ser uniforme en cualquier radio. Entonces, ¡ipAu permanece constante; y si j±A es constante,  p es inversamente proporcional a u y de aquí  para cualquier radio r  p = c/r

1 1 7 . 7   } 

Cuando se sustituye la ecuación (17.7) en la (17.2) se obtiene {I 7.B)

 P„. = 2nc( r0 - r¡) Como p = p nrÁX en  r ~ rb con base en la ecuación (17.7) se deduce que

Í17.9) Al sustituir la ecuación (17.9) en la (17.8) se obtiene {17 .1 OÎ

Pw 27tpm.'lx }j( t(l / ¡)

Con la sustitución de la ecuación (17.7) en la (17.3) se llega a (17.1 !J

Al sustituir la ecuación (17.9) en la (17.11) resulta Tw ~~

iPmáxfy.o

)

785

7S 6

PAKfe %

®

E l e m e n to s d e m áq u in a s

Cuando se sustituye la ecuación (17.10) en la (17.12) se obtiene TK =  Fwra =

(17.13)

Por coincidencia, la ecuación (17.13) proporciona el mismo resultado que si el par de torsión se hubiera obtenido al multiplicar el radio medio  rm= (rQ+ r¡)/2 por la fuerza de fricción  F. Las ecuaciones (17.5) y (17.13) se expresan como el par detorsión adimensional para la presión uniforme Tp y para el desgaste uniforme Twmediante las ecuaciones siguiéntes:

T„ = T. /2n pwr0= (1+ P)/4

( 1 7 . 1 4)

Tp = Tp/ 2\l Pp r0 = ( l - P ) / 3 ( l - $ 2) 

(17.15)

donde |3 = razón del radio,  r / r 0

(17.16)

En la figura 17.3 se indica el efecto de la razón del radio sobre el par de torsión adimensional para los modelos de presión uniforme y desgaste uniforme. La diferencia más grande entre estos mod elos se presenta en un radio cero, y la más pequeña se presenta en un radio 1. Asimis mo para el mismo par de torsión adimensional el modelo de desgaste uniforme requiere una razón del radio más grande que el que requiere el modelo de presión uniforme. Esta razón del mayor implica que se necesita un área más grande para el modelo de desgaste uniforme. De esta forma, el modelo de desgaste uniforme se puede considerar como el enfoque más seguro. Esta seguridad sumada a su simplicidad con frecuencia la convierten en la ecuación preferida. En la tabla 17.1 se proporciona el coeficiente de fricción para varios materiales que se friccionan contra hierro fundido liso o acero en condiciones secas. También se proporciona la presión de contacto máxima y la temperatura volumétrica máxima para estos materiales. En la tabla-17.2 aparece el coeficiente de fricción de varios materiales, incluyendo los de la tabla 17.1, que se friccionan contra hierro fundido liso o acero en aceite. Como se esperaría, los coeficien tes de fricción son mucho menores en aceite que en condiciones secas.

Razón del radio, p = r¡/r0 1 !F&S Efecto de la razón del rad io sobre el par de torsión adimen sional p ara los modelos de presión uniforme y  desgaste uniforme.

CAPÍTULO 17

Tabla 17.1

•

Fren os y embragues

Prop ¡edades rep resentativas de m ateriales de contacto que ope ran en seco.

Presión de contacto m áx im a, 1' p mis

Temperatura volumétrica máxima, tmjnáx

Coeficiente de fricción, [x

psi

kPa

°F

Moldeado

0.25-0.45

150-300

1 030-2 070

400-500

204-260

Tejido

0.25-0.45

50-100

345-690

400-500

204-260

Metal sinterizado

0.15-0.45

150-300

1 030-2 070

400-1 250

232-677

Corcho

0.30-0.50

8-14

55-95

180

82

Madera

0.20-0.30

5 0-90

.3 4 5-6 20

200

93

Hierro fundido; acero duro

0.15-0.25

100-250

690-1720

500

260

Material de fricción'1

°C

Cuando se frota contra hierro fundido liso o acero. 11E! uso de los valores más bajos p roporc ionará una vida más larga.

¥cab¡es 1 7 . 2

Coeficientes de fricción para materiales en contacto que trabajan en aceite.

Ma teria! de fricc ión 1'

Coeficiente de fricción,  jl

Moldeado

0.06-0.09

Tejido

0.08-0.10

Metal sinterizado

0.05-0.08

Papel

0.10-0.14

Gra filado

0.12 (prom.)

Polimérico

0.11 (prom.)

Corcho

0.15-0.25

Madera

0.12-0.16

Hierro fundido, acero duro

0.03-0.16

I ;l Cua nd o se frota contra hierro fundido liso o acer o.

EMfeTOS Un conjunto sencillo de embragues de discos de empuje se diseñará para un motor con un par | l¡eBtup i@ 1 7 .1 de torsión máximo de 150 N-m. Un material tejido hará contacto con acero en un medio seco. Se supone un factor de seguridad de 1.5 para considerar el deslizamiento en el par de torsión máximo del motor. El diámetro exterior debe ser lo más pequeño posible. r¡ y P. HALLAR Detei•mine los valores apropiados de Solycién En la tabla 17. Kpara un material tejido en contacto con acero en un medio seco, se obtiene el coeficie nte de fricción como ja = 0.35 y la presión de co ntacto máxima pm:ix= 345 kPa = 0.345 MP a. Se ha utilizado el coeficiente de fricción promedio para la presión más pequeña. Considerando lo anterior y utilizando la ecuación (17.12) se obtiene = J t Z L . = _ . . 1 .'-W 5 0) 7r ji/? mi-lx

Resolviendo el radio exterior r, se llega a

7c (0 .3 5 )( 0 .3 4 5 )( 1 0 6 )

= „ 5 93| x •

787

PACTI 2

7 Z B 

•  E l e m e n t o s d e m á q u in a s

El radio exterior mínimo se obtiene tomando la derivada del radio exterior con respecto al radio interior e igualando a cero, dr0 

0.5

5.931x10^

+ 2r¡ = 0

rf  = 2.966 x 10"4 = 0.2966 x 10"3 m 3 r¡ = 0.06669 m = 66.69 mm

Al sustituir la ecuación (b) en la (a) se obtiene

'•= J f ^ í p H

6-669^ 10^ = °'1155 m = 1115

La razón del radio es

i = 66;69 =05774 rQ

115.5

La razón del radio que se requiere para maximizar la capacidad del par de torsión es la misma que la razón del radio necesaria para minimizar el radio exterior de una capacidad del par de torsión dada. De esta forma, la razón del radio para maximizar la capacidad del par de torsión o para minimizar el radio exterior es = 0.5774 De acuerdo con la ecuación (17.13), la fuerza normal máxima que se puede aplicar ai embrague es  p __ 2ns Tw ^   2(1.5)(150) - 70 57 N  \i(r0 + r ¡) (0.35)(0 .1155 + 0.06669)

13

Las ecuaciones (17.4) y (17.5) del modelo de presión uniforme y las ecuaciones (17.1 0) y (17.13) del modelo de desgaste uniforme son aplicables a embragues de disco de empuje, así  como a frenos de disco de empuje, con la condición de que la forma del disco sea similar a la que se muestra en la figura 17.2. Un análisis detallado de los frenos de disco proporciona ecuaciones de las que resultan pares de torsión ligeramente mayores que los de las ecuaciones del embrague. En este libro se asume que las ecuaciones para los frenos y los embragues son idénticas.

1 7 .3

E m b r a g u e s c ó n ic o s

En los embragues cónicos se utiliza la acción de acuñamiento para incrementar la fuerza nor mal sobre el recubrimiento, incrementando de esta forma la fuerza de fricción y el par de torsión. En la figura 17.4 se observa una superficie cónica con las fuerzas que actúan sobre un elemento. El área del elemento y la fuerza normal sobre el mismo son dA = (rdQ)(dr/sen a)

C A P ÍT U LO 1 7

•

Frenos y embragues

dr

Fig ure s 1 7 . 4 cónico.

Fuerzas que actúan sobre los elementos de un embrague

dP  =  pd A  

(17.18)

donde a = ángulo de la mitad del cono, grados La fuerza de accionamiento es la componente del empuje d W  de la fuerza normal d P , o dW = dP sen a =  pd A  sen a =  prdrdQ

Por medio de la ecuación (17.2) se obtiene la fuerza de accionamiento W  =

 JJ*  pr drdQ = 2%

prdr 

f 1 7.1

En forma similar la ecuación (17.3) proporciona el par de torsión

T  = f ¡írdP =

1 7 .3 . 1

 f°[2(.ip r2 dr

sen a íl¡-

{1 7 . 2 0 )

M o d e l o d e  p r e s i ó n u n i f o r m e

Como se analizó en la sección 17.2.1, se supone que la presión de un embrague de disco de empuje es uniforme sobre las superficies o  p = p 0.  Al sustituir esto en la ecuación (17.19) se obtiene la fuerza de accionamiento como W

~ d2)

{I 7.21 í

789

P A R T I 2 

7 9 Ú 

•

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

En forma similar, el par de torsión es

3senav8y

12sena

La ecuación (17.21) permite que la ecuación (17.22 ) se pueda volver a escribir como

 _

1 7 .3 . 2

[iW(¿>3 - d 3) 3sena (D 2 - d 2) 

(17.23)

Mo d el o d e d e sg a st e u n i f o r m e

Cuando se sustituye la ecuación (17.7) en la (17.19) se obtiene la fuerza de accionamiento como W = 2 % c j ^ dr = n c ( D - d )

fl 7.24$

De forma similar, sustituyendo la ecuación (17.7) en la (17.20) se obtiene el par de torsión 2 3 1C J « sen a  Jd ¡2

4 sen a

2_fl

[17.25!

Con la ecuación (17.24) la ecuación (17.25) se vuelve a escribir como T=~

li W 

4 sen a

I

(D + d)

f 17.26 }

Un embrague cónico similar al que se muestra en la figura 17.4, tiene las dimensiones siguien tes:  D = 330 mm, d  = 306 mm y b = 60 rara. Se supone que el coeficiente de fricción es igual a 0.26 y el  par de torsión que se transmite es 200 N-m. Mm LLm ü Determine la fuerza de accionamiento y la presión de contacto usando los modelos de pre sión y desgaste uniforme.

 Desg asfe im ifo nn e : De acuerdo con la figura 17.4, el ángulo de la mitad del cono del embrag ue cónico es

tana =  D - d  = 165-153 = 12 — = noAAn 0.200 0 2b 60 60   -------

  --------------

a = 11.31° La presión es máxima cuando r - di2. De esta forma, por medio de las ecuaciones (17.25) y (17.7) se obtiene T=

n . _

8  sen

a ■

8 7-sena ^ 8(20Q)sen 11.31° Pa n \i d( D 2 - d 2) tc(0.26)(0.306)(0.3302 -0 .3 0 6 2)

C A PÍ TU L O 1 7

•

Frenos y embragues

Por medio de la ecuación (17.26) la fuerza de accionamiento se escribe como w = 47-se na = .._j(^?£)_sg!lLLj.1- l - = 94 8 8 N  \i(D -r d) (0.26)(0.330 + 0.306) Presión uniforme: Según la ecuación (17.23), la fuerza de accionamiento, se expresa como

Vi/ =

37sen a (D 2 - d 2) 3(200)sen 11.3I°(0.3302- 0 .3 06 2)  L  L = 94 8  4 N 1 1 1  \  (0.26)(0.3303-0.3063)  x (D j  - í P )  

  ----------- ----------

----------- ---------------------

A partir de la ecuación (17.21), la presión uniforme, que también constituye la presión máxima, es  p m,n = pn  = . T ~ p - ■■■■■■ =, — Pa = 79.11 kPa  ji;(D2- c!2) 7t(0.3302- 0.306-)

1 7 ¿4

F re n o s d e b lo q u e o d e z a p a ta

c o r t a

Un freno de bloque o de zapata corta se puede guiar para moverse radialmente contra un tambor cilindrico, como se muestra en la figura 17.5. Una fuerza normal P   desarrolla una fuerza de fricción F = \iP  sobre el tambor, donde ¡i es el coeficiente de fricción. En la misma figura 17.5 también se observa la fuerza de accionamiento W jun to con las dime nsiones c ríti cas del perno ue bisagra ¿7¡, d 2, c/3 y d4.  La fuerza normal P  y la fuerza de fricción ¡iP son las fuerzas que actúan sobre el freno. Para frenos de bloque o de zapata corta se supone una  pres ió n co nstan te so br e la su pe rficie del fro tad or. Mientras qu e el frota dor sea co rto en re la  ción con la circunferencia del tambor, esta suposición es relativamente exacta. Un freno se considera autoenergizante si el momento por fricción asiste al momento de accionam iento al aplicar el freno. Esto imp lica que los signos de la fricción y mom entos de accionamiento son iguales. Los efectos desenergizantes ocurren si el momento de fricción equilibra el momento de accionamiento al aplicar el freno. La figura 17.5 ilustra los efectos autoenergizantes y desenergizantes.

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F lcf tiri f IT « 5 configuraciones.

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Freno de bloque o de zapata corta, con dos

791

7 9 2 

PARTE 2 

•

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

Cuando se suman los m omentos respecto a la bisagra en C (véase la figura 17.5) y la suma se iguala a cero, se obtiene  d4W + iiPd l - d 3P =  0  .

Como los signos de la fricción y de los momentos de accionamiento son iguales, el freno abisagrado en C es autoenergizante. Resolviendo para la fuerza normal se llega a n

d*w

El par de torsión de frenado en C (véase la figura 17.5) es n \xrd4w T = Fr = \irP = -  ---- — ¿¿3

 \Xui

( Í 7.2 S J

donde  r  = radio del tambor, m

Sumando los momentos respecto a la bisagra en D (véase la figura 17.5) y haciendo la suma igual a cero, se obtiene - W d A + \ iP d 2 + d 3P ^ 0

como los signos de la fricción y de los momentos de accionamiento son opuestos, el freno abisagrado en D es desenergizante. Resolviendo para la fuerza normal se tiene  P  = Wd4/(d3+ \id2)

{1 7 . 2 9 )

El par de torsión del freno abisagrado en D en la figura 17.5 es T=(vd4rW)/(d3+Hd2)

(17.30)

Se considera que un freno es  aut obloque ant e  si la fuerza de accionamiento (W e n la figura 17.5) es igual a cero. Los frenos autobloqueantes no resultan deseables, puesto que se traban o agarran, operando de forma insatisfactoria e incluso peligrosamente.

Ejemplo 1 7.3

DATOS El tambor de un freno con radio de 14 pulg hace contacto con una zapata corta sencilla, como se muestra en la figura 17.6, y mantiene un par de torsión de 2 000 Ibf-pulg a 500 rpm. Suponga que el coeficiente de fricción para la combinación de tambor y zapata es 0.3. HALLAR Determine lo siguiente: a) b) c) d)

La fuerza normal que actúa sobre la zapata. La fuerza de accionamiento W  que se requiere cuando el tambor tiene una rotación en el sentido de las manecillas del reloj. La fuerza de accionamiento W   que se requiere cuando el tambor tiene una rotación en sentido con trario a las manecillas del reloj. El cambio que se requiere en la dimensión de 1.5 pulg (figura 17.6) para que ocurra el autobloqueo si las otras dimensiones no cambian.

CAPÍTULO 17

Ficg jw a 1 7 * 6

•

Freno s y embragues

Freno de zapata corta empleado

para e¡ ejemplo 17.3.

5© !

a)

El par de torsión del freno es T -r F —r\iP P =L =

 p-

2000

(0.3)(14)

MP = (0.3)(476.2) = 142.9 lbf  b)

Para rotación en el sentido de las manecillas del reloj, sumando los momentos respecto al perno de  bisagra e igualando la suma a cero, resulta (1.5)(142.9) + 36 W -14 (47 6.2 ) = 0

(a )

: . W = 179.2 lbf 

Como los signos de la fricción y de los momentos de accionamiento son iguales, el freno es autoenergizante. c) Para rotación en el sentido contrario a las manecillas del reloj, sumando los momentos respecto ai  perno de bisagra y haciendo la suma igual a cero, resulta (1.5)(142.9) - 36W + 14(476.2) = 0 : . W =   191.1 lbf 

Como los signos de la fricción y de los momentos de accionamiento no son iguales, el freno es desenergizante. d) Si en la ecuación (a) W=  0 y x  se hace igual a 1.5,

 x

(14)(476.2)  L -  46.6d pul2 142.9 ^

-------------

Por lo tanto, el autobloqueo ocurrirá si la distancia de 1.5 pulg en la figura 17.6 se cambia a 46.65 pulg. Como el autobloqueo no es un efecto deseable en un freno y 1.5 pulg es una distancia muy diferente de 46.65 pulg, no se esperaría que el freno tuviera un efecto de autobloqueo.

793

7 9 4 

P A RTE 2

©

Elementos

de máquinas

&&QÍ№G3ción de freno imfern®

¡Figures 1 7 * 7 Freno de tambor de zapa ta larga interno de expansión con dos zapatas.

17.5

F r e n o s d e ta m b o r d e z a p a ta la r g a , INTERNOS Y DE EXPANSIÓN

En la figura 17.7 se presenta un freno de tambor de zapata larga interno de expansión con dos frotadores. En la figura 17.7 el pasador de bisagra para la zapata derecha está en A. El  talón del frotador es la región más cercana al perno de bisagra y la punta  es la región más cercana a la fuerza de accionamiento W. Una diferencia importante entre una zapata corta (figura 17.5) y una larga (figura 17.7) es que la presión se considera constante para una zapata corta pero  no para una zapata larga. En una zapata larga se aplica poca o ninguna presión en el talón, y la presión se incrementa a medida que se aproxima a la punta. Esta clase de variación de la presión sugiere que la presión varía en forma sinusoide. Así, una relación de la presión de contacto p  en términos de la presión máxima  p máx se escribe así   P = Pn

senG sen 9 ClJ 

(17.31)

donde 0, = ángulo donde p - p máx Observe en la ecuación (17.31) que  p   = pmáx cuando 0 = 9 0° y que para cualquier alcance angular de la zapata menor que 90° (en la figura 17.7, 0 2 < 90°)  p  =  p mix cuando, por ejemplo, efl = e 2.

También observe en la figura 17.7 que la distancia  d6 es perpendicular a la fuerza de accionamiento W. En la figura 17.8 se muestran las fuerzas y dimensiones críticas de un freno de tambor de zapata larga interno y expansión. En la figura 17.8 la coordenada 0 comienza con una línea trazada desde el centro del tambor y el centro del perno de bisagra. Asimismo, el recubrimiento de la zapata no comienza en 0 = 0o sino en Q{ y se extiende hasta 02. En cual quier ángulo 0 del recubrimiento la fuerza normal diferencial  dP  es  dP  =  phrdQ  

donde b =

ancho de la cara, m

117.311

CAPÍTULO 17

Fscpsirca 1 7 . 8

•

795

Freno s y embragues

Fuerzas y dimensiones de un freno de tambor de zqpa ta

larga interno de expansión..

u El ancho de la cara es la distancia perpendicular a la hoja. Al sustituir la ecuación (17.31) en la (17.32) se obtiene  dP--

 p múxbr sen QdQ sen <

{!7.33|

De acuerdo con la ecuación (17.33), el momento de la fuerza normal con brazo de momento dn sen 0 es  M p = \ d 1sen 0 dP = - 7^/^>má3C f02sen2 QdQ J sen 0„ J0i  brd-,pmi> 2(0-> - 0 |‘') v 4sen(

1 8 o°

sen20? +sen 20¡

(17.34)

donde 0, y 0: están en grados. Según la ecuación (17.33) el momento de la fuerza de fricción con brazo de momento r  - d-, eos 0 es  M F = f (r - d-¡ eos 0W /P = —  1

 — f6'( r - d- eos 0 ) sen 0<¿0

sen0„ 01

sen 0 „

-r(cos02- eos

(sen202 -se n 20,)

.2 SI

«I

7 9 ú 

PA ETE 2 

17.5.1

*

E l e m e n t o s d e m á q u i n as

Z a p ata a u t o e n e r g iz a n t e

Sumando los momentos respecto al perno de bisagra e igualando la suma con cero se llega a -Wd 6~ M F+ MP= 0

1 1 7. %$ }

Como los momentos de accionamiento y de fricción tienen el mismo signo en la ecuación (17.3 6), la zapataque se muestra en la figura 17.8 es autoenergizante. También sepuede con cluir de la figura17.8 que la zapata es autoenergizante porque Wx y  xdP  j sen 0 están en la misma dirección. Al resolver la ecuación (17.36) para la fuerza de accionamiento se obtiene W = (M p - M

f )/¿4

(1 7.3 7)

De acuerdo con la ecuación (17.33) el par de torsión de frenado es r =J ^ =

^

w ’- ^ r i f s e i 9 ¿ e

sen0„

9|

m á x ^ 2 (c o s 0 , -C O S 0 2 )

T = ----------  -------  --------------sen0a

(1 7.3S)

En la figura 17.8 se observan las fuerzas de reacción, así como la fuerza de fricción y la fuerza normal.Sumando las fuerzas en la d irecció n x y haciendo la suma igual a cero se obtiene  Rxs + Wx -  j eos QuP + j ¡i sen QuP = 0

f 1 7 .39 )

Cuando se sustituye la ecuación (17.33) en la (17.39) se obtiene la fuerza de reacción en la dirección x para una zapata autoenergizante como  Rxs = A n á x > r6>s e n e c o s Qd Q _   M £ m á x > A s en 2 QdQ _ ^

sen0fl Je' = -W I +

sen 0a

01

 Pméx,sbr

(17.40)

4sen0„

x <2(sen2 02 - sen2 0]) - jJ. 2(09 - 0 \) i) i 8 o  v

sen 202 + sen 20!

donde 0¡ y 02están en grados. Con base en la figura 17.8 y sumando las fuerzas en la dirección 6   i n u a l a r d ow^ * e*n m a i c m a l con r rv n cero r p . rn — rp . — n p .a a a a se llega '■ o jV w  Rys + Wy -  J \idP co s 0 - 1 dP señ0 = 0

(17.411

 4 sen0„ (¥7.42) 2(6 2 - 0 ])

180

sen 2G2 + sen 20¡ + 2¡J,(sen2 02 - sen20¡

C A P ÍT U LO 1 7

•

797

Frenos y embragues

En las ecuacion es (17.39) a (17.42) el sistema de referencia se origina en el centro del tambor. El eje x positivo se tdma mediante el perno de bisagra. El eje y positivo está en la dirección de la zapata.

1 7 .5 .2 

Z a p a ta d e s e n e r g i z a n t e

Si en la figura 17.8 se cam bia la dirección de rotación del sentido de las m anecillas del reloj a la contraria a las manecillas del reloj, las fuerzas de fricción cambian de dirección. De esta forma, sumando los momentos respecto al perno de bisagra y haciendo la suma igual a cero

- Wdt + M F + M P = 0

í 17 .43 J

La ún ica diferencia entre la ecuación (17.36) y la (17.43) es el signo del mom ento por fricción. Resolviendo la ecuación (17.43) para la fuerza de accionamiento se obtiene

W - (M p + M F)/d 6

i 1 7 . 4 4 !

Las evaluaciones del m omento normal en la ecuación (17.34) y del momento por fricción en la ecuació n (17.35) s on iguales sin importar si la zapata es autoenergizante o desenergizante, con la excepción de la presión máxima. Para una zapata desenergizante los únicos cambios de las ecuaciones derivadas para la zapata autoenergizante son que en las ecuaciones (17.40) y (17.42) ocurre un cambio de sig no para los términos que contienen el coeficiente de fricción ji, dando como resultado lo si guiente:  Rxd  = -W, +

    w     s       i     e     c

Pmúx,dbr 

4 se n0 /;

117.45} x | 2 (sen 2 0 2  - s en 2 0  j) + |n 2 (v0 0- - 0 i!)/ ■— 180 - sen 2 0 2 + sen 2 0 ,

 Rr, - - Wv +

Pmáxjbr 

4sen0„

{17.46) 2 (0 2

“ 0 j) Y^O ~ sen 2® 2  + s e n 2 ®i - 2 |u(sen 2 0 2 - s en 2 0  j)

La presión de contacto máxima que se usa'para la evaluación de una zapata autoenergizante se toma de la tabla 17.1. La presión de contacto máxima que se utiliza para la evaluación de una zapata desenergizante es menor que la de una zapata autoenergizante, puesto que la fuerza de accionamiento es igual para ambos tipos de zapata.

DAT©S En la figura 17.9 se presentan cuatro zapatas largas en un freno de tambor de expansión inter- | Ejeesfcjpl© 1 7*4« no. El tambor del freno tiene un diámetro de 400 mm. Cada perno de bisagra (A y B) soporta un par de zapatas. El mecanismo de accionamiento se dispondrá para la producción de la misma fuerza actuante W  • en cada zapata. El ancho de la cara de la zapata es de 75 mm. El material de la zapata y del tambor   produce un coeficiente de fricción de 0.24 y una presión de contacto máxima de 1 MPa. Las dimensiones • son: d   = 50 mm, b = 165 rrnn y ci = 150 mm. • ■

79$

P A RT E 2

•

Elementos de máquinas

Figu ra 1 7

.9 Freno de tam bor con cuatro zapatas largas interno de expansión del ejemplo 17.4.

HALLAR 

a) ¿Qué zapatas son autoenergizantes y cuáles son desenergizantes? b) ¿Cuáles son las fuerzas de accionamiento y los pares de torsión totales para las cuatro zapatas? c) ¿Cuáles son las reacciones del perno de bisagra y cuál es la reacción resultante?

Saludéis Cuando el tambor gira en la dirección de las manecillas del reloj (figura 17.9) las zapatas arriba a la derecha y abajo a la izquierda presentan sus momentos de accionamiento y por fricción actuando en la misma dirección. De esta forma, son zapatas autoenergizantes. Las zapatas arriba a la izquierda y abajo a la derecha presentan sus momentos de accionamiento y por fricción actuando en direcciones opuestas. De esta forma, son zapatas desenergizantes. b ) Las dimensiones dadas en la figura 17.9 correspon den a las dimensiones dadas en las figuras 17.7 y 17.8 como d5 = d  = 50 mm, u 6 ~ b — 165 mm y d1= a=  150 mm. Asimismo, como 6 2< 90°, entonces 02 = 0C. Como los pernos de bisag ra en la fig ura 17.9 están en A y B, 9, = 10° y 02 = 0a = 75°. a)

 Zap atas autoen ergi zan tes : Con lo anterior y la ecuación (17.34) se obtiene el momento de la fuerza normal  M  ps =

brd-¡pmiXiS  - sen 2 0 2 + sen 2 0 ¡ 2 (0 ‘2 - 0 ]) 4se n0 fl 180° ----

 _ (0.075)(0.2)(0.15)(l06 2(75 - 1 0 ) seri 150° + sen 20° ~ 4 sen 75° . v 180 : 1 229 N-m De acuerdo con la ecuación (17.35) el momento por fricción es  M F 

sen Qn

■r(cos 0 2 - eos O í)--—(sen 2 0 2 - sen2 <

CAPÍTULO 17

•

Frenos y embragues

 _ (0.24)(l O6 )(0.075)(0.20) sen 75° F> x j-(0.20)(cos 75° - eos 10o) - 0.075(sen275° - sen2 10o)] = 288.8 N-m Según la ecuación (17.37), Ja fuerza de accionamiento para las zapatas autoenergizantes y desenergizantes es 1229-288.8 = 5 698 N 0.165 De acuerdo con la ecuación (17.38) el par de torsión de frenado para cada zapata autoenergizante es Ts =\LPmáxb r2( COS0[ -COS02)/sen

= (0.24)(l O6 )(0.075)(0.2)2 (eos 10o -

e o s 75°)/sen 7 5 °

= 541.2 N-m

 Zapatas desenergizant.es: El único cambio en el cálculo de los mome ntos normal y por fricción para las zapatas desenergizantes es la presión máxima.  M Pd -  M PspmÁX¿i / /?máx,.v -( 1 229)/?máXií/ /( l 0 6)  M Fíl = M FxpmiU /p m^ s = (288.8)/W

/ ( l 0 6)

De acuerdo con la ecuación (17.44) la carga de accionamiento para las zapatas desenergizantes es

El par de torsión de frenado para las zapatas desenergizantes es

El par de torsión de frenado total de las cuatro zapatas, dos de las cuales son autoenergizantes y las otras dos son desenergizantes, es T   = 2(7; + Td) = 2(541.2 + 335.2) = 1 753 N-m  Zapatas autoen ergizantes:   De la ecuación (17.40)  R u = -W x +

Pmú.sbr  4 se n0 £/

7 9 9 

800

PARTI 2

•

 p

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

= -5 698 +

(l06)(0.075)(0.2) 4 sen75°

x |2(sen 2 75° - sen2 10°) - 0.24 2(75 -1 0 )— — sen 150° + sen 20° v 180 = -654.6 N Según la ecuación (17.42)

*w=-Wv+

4sen 0fl

2(02 - 0!)———- sen 202 + sen 20! + 2ja(sen20 2 - sen20!) 180

= - 0  + -

106)(0.075)(0.2) 4sen75°

2(75 -1 0) ^

- sen 150° + sen 20° + 2(0.24)(sen2 75° - sen2 10o

= 9 878 N  Zap atas desene rgiz ant es : Con base en la ecuación (17.45)

(0.6194)(l06)(0.075)(0.2)  Rx¿ ——5 698 + 4sen75° :|2(sen 2 75o- en 2 10°W 0.24 2 (75 -1 0 V— - sen 150°+ sen 20° ' 180 5 5 60 -5 698 =-137.5 N

De acuerdo con la ecuación (17.46)

 Ryd - ~0 +

(0.6194)(106)(0.075)(0.2) 4sen75°

2(75 - 1 0 ) ^ -se n 150° + sen20° - 2(0.24)(sen2 75° - sen2 10°) = 4 034 N Las fuerzas resultantes de las reacciones en el perno de bisagra en las direcciones horizontal y vertical son  RH = ±654. 6  - 137.5 = 792.1 N  Rv =9  8 78 -4 034 = 5 844N

La fuerza resultante en el perno de bisagra es  R = V r 2 + R l =V (-79 2.1 )2 +(5 844)2 = 5 897 N

C A PÍ TU L O 1 7

1 7 .6

•

Frenos y embragues

F r e n o s d e t a m b o r d e z a pa t a l a r g a , e x t e r n o s

Y DE CONTRACCIÓN En la figura 17.10 se mue stran las fuerzas y dimensione s de un freno de tamb or de zapata larga externo de con tracción. En la figura 17.8 el freno es interno al tambor, m ientras que en la figura 17.10 el freno es externo al tambor. Los símbolos que se emplean en estas figuras son simila res. Las ecuaciones que se desarrollaron en la sección 17.5 para los frenos de zapata interna son exactamente iguales que las de ios frenos de zapata externa, siempre y cuando se identifi que adecuadamente si el freno es autoenergizante o desenergizante. La zapata del freno interno  que se muestra en la figura 17.8 se determinó autoenergizante  pa ra ro ta ci ón en el se ntido de las m an ec illa s de l reloj, ya qu e en la su m a de m om en to s [ecu a ción (17.36)] los momentos de accionamiento y por fricción tienen el mismo signo. La zapata del freno externo   que se presenta en la figura 17.10 es desenergizante  para rotación en el se ootiene W d6 - M F - M P - 0

C1 7 . 4 7 )

Los momentos de accionamiento y por fricción tienen signos opuestos y de esta forma la zapata del freno externo que se observa en la figura 17.10 es desenergizante. Si en las figuras 17.8 y 17.10 la dirección de rotación se cambiara del sentido de las manecillas del reloj al sentido contrario de las mismas, los momentos de fricción en las ecuaciones (17.36) y (17.47) tendrían signos opuestos. Por lo tanto, la zapata del freno interno sería desenergizante y la zapata del freno externo sería autoenergizante.

F if f w c i 1 7* 1 O Fuerzas y dimensiones de! freno de tambor de zapata larga externo de contracción.

801

B Û2 

PAUTE 2 

•

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

D& T0S El costo de un freno de tambor externo de zapata larga se optimizará. Para ello se consideran tres geometrías del recubrimiento: cubriendo por completo los 90° de la zapata, sólo 45° de la parte central de la zapata, o sólo 22.5° de la parte central de la zapata. El par de torsión de frenado debe ser igual para las tres geometrías y el costo de cambiar cualquiera de los recubrimientos del freno es la mitad del costo de un recubrimiento de 22.5°. El costo del material del recubrimiento es proporcional al ángulo cubierto. La razón de desgaste es proporcional a la presión. Los parámetros de entrada para el recubri miento de 90° son d-j = 100 mm, r   = 80 mm, b -  25 mm, 0j = 0o, 02= 90°,  jl x = 0.27 y T= 125 N-m. iiiULL É^ ¿Cuál de los ángulos cubiertos (90°, 45° o 22.5°) será el más económico?

El par de torsión de frenado está dado por la ecuación (17.38) y es el mismo para las tres geometrías. Para el ángulo cubierto de 90° (0, = 0o, 02= 90° y 0„ = 90°)  ,

, T senQfl (I25)sen9 0° x'90 - ^ ( c o s B ! -e o s 02) ~ (0.27)(0.025)(0.08)2(cos0° - eos 90°)

 _____ 

= 2.894 xlO 6 Pa = 2.894 MPa Para el ángulo cubierto de 45° (6, = 22.5°, 9, = 67.5° y 0 = 67.5°) , [Pmáx j45 -

(125)sen 67.5° 27)(o.025)(0 .080)2(eos 22.5° - e os67.5°)

 _  _____________ 

 ____________ 

= 4.940 x 106 Pa = 4.940 MPa Para el ángulo cubierto de 22.5° (0, = 33.75°, 02= 56.25° y 0fl = 56.25°)  ,

,

_  125 sen 56.25° 22.5 - (o.27)(0.025)(0.08)2(cos33 .75°-co s56.2 5°)   _____________ 

 _____________ 

» = 8.720xlO6 Pa = 8.720MPa El costo de cambiar el recubrimiento es C. Los costos de los recubrimientos son 2C para 22.5°, 4C  para el recubrim iento de 45° y 8C para el recubrimiento de 90°. La razón de desgaste es p roporcional a la  presión, o el tiempo que toma para que la zapata se desgaste es inversamente proporcional a la presión. De esta forma, los tiempos para que se desgasten las zapatas de las tres geometrías son Í90 — -,:— — 0 w ) 9O

 — ~t t  — 3.455 x 10 (2.894)(l06)

^ A

donde  A  = constante independiente de las geometrías 45 = 7

1

0 w )45 

=

- V-- V = 2.024 x IO- 7 A (4.940)(106)

CAPÍTULO 1 7 

•

803

Freno s y embragues

Los costos por unidad de tiempo para las tres geometrías son  Ang ulo cubierto de 90°:

8C +C ^26.05 x 106 C/A (3.455)(lO'7)A  Angulo cubierto de 45°: 4r

+C

■= 24.70x 10 6C/A 2.024)(i0-7)A  Ang ulo cubierto de 22.5°:

2 C i C  = 26.16x !0 6 C/ A (1.147)(10 -7)A La zapata con un ángulo cubierto de 45° proporcion a el costo más bajo, 5.6% más bajo que el de la zapata con un ángulo cubierto de 22.5° y 5.2% más bajo que el de la zapata con un ángulo cubierto de 90°.

1 . 7 . 7 

F r e n o s d e z a p a ta c o n p i v o t e c a r g a d o s s im é tr ic a m e n t e

En la figura 17.11 se muestra un freno de zapata con pivote cargado sim étricamente. La m ayor diferencia entre los frenos de tamb or interno y externo de las figuras 17.8 y 17.10, respectiva mente, y el freno de zapata con pivote cargado simétricam ente de la figura 17.11 es la distribu

ant o

o

J

i§

F i g u r a 1 7 .1 1

Freno de zapa ta con pivote simétricamente cargado.

eo4

PARTE 2

Elementos de máquinas

ción de la presión alrededor de la zapata. Recuerde que en la ecuación (17.31) para el freno de tambor interno que la presión máxima fue en 0 - 90° y la distribución de la presión desde el talón hasta la parte superior del freno fue senoidal. Para el freno de zapata con p ivote cargado simétricamente (figura 17.11) la presión máxima es en 0 = 0o, lo cual sugiere que la variación de la presión es  P =  Pmíx eos e/cos 6a = p máx eos 0

(1 7.4 S )

Para cualquier 0 del pivote una fuerza normal diferencial  dP actúa con una magnitud de  dP =  pbrdQ =  Pmáxbr eos QdQ

( 1 7 . 4 9 )

El diseño de un freno de zapata con pivote cargado simétricamente es tal que la distancia d7, la cual se mide desde el centro del tambor hasta el pivote, se elige de tal manera que el momento de fricción resultante que actúa sobre la zapata del freno es cero. D e la figura 17.11 el mo men to por fricción, cuando se iguala a cero, es

 MF = 2Jj2\idP(d7 eos 0 - r) = 0

(1 7. 5 0 )

Cuando se sustituye la ecuación (17.49) en la (17.50) se obtiene l u p ^ b r f 2 ( d i eos2 0 - re os 0) = 0 Esto se reduce a ^ ___

4 rsen 02

202f — ) + sen202 Vi 80 y

(1 7 .5 1 )

Este valor de dnproduce un momento por fricción igual a cero (MF= 0). El par de torsión de frenado es T  = 2 Jj2 ryudP = 2¡ xr2bp mky, Jj2eos QdQ

( 1 7 . 5 2 }

=  xrP = I 2¡i r 2bpmáx sen 02 Observe en la figura 17.11 que para cualquier x las componentes de la fuerza de fricci ón hori zontal de la mitad superior de la zapata son iguales, y opuestas en dirección respecto de las componentes de las fuerzas de fricción horizontal de la mitad inferior de la zapata. Para una  x fija las componentes normal es horizontales de las dos mitades de la zapata son iguales y tienen la misma dirección, de manera que la fuerza de reacción horizontal es

 Rx = 2 f 2dP cosQ = J°

2

202 t ” - I+ sen 202

G §> }

(17.53)

Con la ecuación (17.51) se obtiene  Rx = 2br2p mix sen 0 2/rf7

11 7 .5 4 )

Para una y fija las componentes de la fuer za de fricció n vertical de la mitad superior de la zapata son iguales y tienen la misma dirección que las componentes de la fuerza de fricción

CAPÍTULO 17

•

F r e n o s y e m b r a g u es

vertical de la mitad inferior de la zapata. Para una  y fija las componentes normales verticales de las dos mitades de la zapata son iguales y con dirección opuesta, de manera que la fuerza de reacción vertical es

 Ry = 2jJ2\idP eos 0 =

20J

—

180 )

U s e n 209

(17.55)

Con la ecuación (17.53) se obtiene  Ry = 2| ib r 2p máx se nQ2/d1 = [iRx

S il fO S IJn freno de zapata con pivote cargado simétricamen te tiene la distancia d-¡ que se muestra en la figura 17.11, la cual está optimizada para un ángulo cubierto de 180°. Cuando el recubrimiento del freno se desgasta, se reemplaza con un recubrimiento de ángulo cubierto de 90° colocado simétricamente en la zapata. La fuerza de accionamien to es 11 000 N, el coeficiente de fricción es 0.31, el radio del tambor del freno es 100 mm y el ancho del freno es 45 mm. HALLAR Calcule la distribución de la presión en la zapata del freno y el par de torsión de frenado.

La distancia d1 para el ángulo cubierto de 180° se ex presa a partir de la ecuación (17.51) como 4rsen(

4(0.1) sen 90°

2 0- ,í— | + s en 2 0, A 180J '

2 ( 9 0 ) í ~ | + s en l8 0° v 180 /

(¿7

= 0.1273 m

La distribución de la presión no será simétrica para el ángulo cubierto de 90° en el freno de zapata con  pivote cargado simétricamente. La presión máxima, la cual se presenta en 02, se necesita determ inar por medio del equilibrio de la zapata.  f?rdQ(b)(di sen 0 ) -

 \ip rdü(b )(d i cos 0 - r) = 0

(
Si la razón de desgaste es proporcional a la presión y la presión máxima es en 0 = 0O, la distribución de la  presión es P = Pmáx COS(0 — 6 (,) Sustituyendo la ecuación (b) en la (a) se llega a O

cos(0 - 0 o)sen 0 ¿/0 - J ^ j i c o s ( 0 - 0())(¿/7 cos 0 - r  )¿/0  = 0

Pero

cos(0 - 90) = eos 0 eos 0O+ sen 0 sen 0O .’. d 7

4 [cos 0 (j cos 0  sen 0  +

A1 integrar se obtiene

sen 0 ()sen 2 0 ]
{fa)

S05

806

PARTE 2 

•

E l e m e n t o s d e m á q u i na s

+ \xd1 sen 0 o

sen2—

sen2[ ^ - jar eos 0 0 y / 2 » r sen 0 c

J

1

y/2.

 V 2

Esto se reduce a í/7 sen 6 0|

| = M-cos0 o

* ( M H tan 0O- n_ 1

0.31 o. 1273 Í ~

'

- V ^ (0 . 1 0 0 )

0.1273Í--14 2

4~ 2

.*.0O=10.75°

La fuerza de accionamiento es eos 0~ + J—  / 4 riiprddb sen 0 W = r-x c4/ 44 prd0fe r tc

M

Cuando se sustituye la ecuación (b) en la (c) se obtiene

W  = rbpn

Lrc /4 cos(®“ 9 o) eos 0¿/0 + J ^ / 44cos(0 - 0q ) sen 0¿/0 tc

Perc

r i > os(e - 0 o)cos^

= r i ( cosecos 0 o + s e n 0 sen 0 o)cos 0 J 0 =^ - + ■- ]cos0 o

J*^4cos(0 - 0O) sen 0¿/0 = í ~ - —jse n 0 Al sustituir las ecuaciones (e) y (f) en la (d) y al resolver la presión máxima se obtiene

W   rb f ^ + i ) c° s 0o

9

 Á

|s en 0 o

11 000 (0.100)(0.045)

í f + | ) c o s l0 -7 5° + 0 3 ~ | ) s en 1 0 ' 7 5 °

= 1.911 xlO 6 Pa = 1.911 M Pa

De acuerdo con la ecuación (b) la distribución de la presión se expresa como p— (1.91

l)(lO6)cos(0 -10.75°)

(e|

(f)

CAPÍTULO 17

•

F r e n o s y e m b r a g u es

El par de torsión de frenado es

T  = ,u .pmáxbr2J_^4cos(0 - e0 )dQ

= (0.31)(1.911)(106 )(0.045)(0.1)2 [sen 34.25° + sen 55.75°]

= 370.4 N-m

i 7 *S

F r e n o s d e b a nd a

En la figura 17.12 se muestra un freno de banda, el cual consiste de una banda parcialmente arrollada alrededor de un tambor. El freno se activa jalando firmemente la banda contra el tambor, como se indica en la figura 17.12a). Se supone que la banda está en contacto con el tambor sobre todo el ángulo cubierto, §  en la figura 17.12a). La fuerza de reacción en el perno está dada como  Fl  y la fuerza de accionamiento como  F2. En la figura 17.12a) el talón del freno está cerca de  F{ y la punta está cerca de F2. Como existe alguna fricción entre la banda y el tambor, la fuerza de accionamiento será menor que la fuerza de reacción del perno, o F2 < Fj. En la figura 17.12b) se presentan las fuerzas que actúan sobre un elemento de la banda. Las fuerzas son la fuerza normal P y la fuerza de fricción F. Al sumar las fuerzas en la direc ción vertical   (radial) y de acuerdo con la figura 17.12b) se obtiene

 F sen —

 \ d o L /   / /

 \ 7/  \

e 0

a)

b)

Figpnp^ 1 7*1 2 Freno de banda, a) Fuerzas que actúan sobre la banda; ib) fuerzas que actúan sobre un elemento.

807

sos

PAUTE 2 

•

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

 dP  = 2Fsen^~^-j + dF se Como dF « F,  d P -  2Fsen

■ (?

Como <¿9/2 es pequeño, entonces sen ¿0/2 = ¿/0/2. Por lo tanto,  dP = FdQ 

07.56)

Al sumar las fuerzas en la dirección horizonta l   (tangencial) y de acuerdo con la figura 17.12¿>)  f dQ '1
 dF cos^-^-j - ) i d P = 0 Como <¿0/2 es pequeña, entonces (dQ/2) = 1. Por lo tanto,  dF  - \idP = 0

(17.57)

Mediante la sustitución de la ecuación (17.56) en la (17.57) se obtiene  d F -\iF d Q = 0 i ^ Jf 2

f

= ¡x ¡* d Q = 0

rJo

Al integrar se obtiene In \?2J

)0.7t

780

Ü =

(17.58)

donde <¡) = ángulo cubierto, grados El par de torsión aplicado al tambor es T = r(Fl -F 2)

(17.59)

La fuerza normal diferencial dP que actúa sobre el elemento en la figura 17.12¿), con ancho  b (que sale de la hoja) y longitud rdB, es dP = pbrd%

capítulo 17

•

Fren os y embragues

809

donde  p = presión de contacto, Pa

Cuando se sustituye la ecuación (17.60) en la (17.56) se llega a

P = T~  br 

(17.61)

La presión es proporcional a latensión en la banda. Lapresión máxima se presenta en el talón o cerca de la fuerza dereacción delperno y tiene el valor F{  Anáx ~ “ br 

{17 .62)

Ey&TOS El freno de banda que se muestra en la figura 17.13 tiene r = 4 pulg, >= 1  pulg, d9 = 9 pulg, I E f e m p i © 1 d%= 2 pulg, d xo= 0.5 pulg, <|) = 270°, ja = 0.2 y p máx = 75 psi. HALLAR Determine lo siguiente: a) b) c)

7 , 7 

El par de torsión del freno. La fuerza de accionamiento. El valor de d lQcuando la fuerza del freno bloquea.

De acuerdo con la ecuación (17.62), la fuerza de reacción del perno es F\ ~ Pmí^br  = (75)(1)(4) = 300 Ib f

Cl l í  ¡s t i -

Según la ecuación (17.58), la fuerza de accionamiento es F2 = F ,e -^ K/m  = 300 ^-o.2(27o)7t/l8o _ j 16-9  lbf 

17.7.

1

310

PARTE 2

•

Elem entos de máquinas

De acuerdo con la ecuación (17.59), el par de torsión de frenado es T  = r(Fj - F2) = 4(30 0-11 6.9) = 732.4 lbf-pulg

Al sumar los momentos respecto al perno de bisagra e igualando la suma a cero, se obtiene -dgW + dsFz-dwFx = 0

Cuando se resuelve la fuerza de accionamiento W  se obtiene d i F t - d n Z   . 2(116.9)-(0.5)(300)  _? 3i nbf d9 9

Si W  = 0, el freno se autobloqueará. d%F2—d\QF\  = 0 d w = é l h .  = 21 1.1-^ } = 0.779 3  pulg F¡ 300

El freno se autobloqueará si d,0> 0.7793 pulg.

1 7 .9

E m b r ag u es d e s liz a n t e s

Con frecuencia un embrague se utiliza como un dispositivo limitante del par de torsión para prevenir el daño a maquinaria por un mal funcionamiento o un evento indeseado. Un embra gue deslizante consta de dos superficies que se mantienen juntas por una fuerza constante, de manera que se deslizan cuando se les aplica un nivel predeterminado de un par de torsión. Los embragues deslizantes se encuentran en una variedad de tamaños pero son muy compactos. Están diseñados para ser accionados ocasionalmente y de esta forma los elementos de fricción no se necesitan dimensionar por desgaste. Asimismo, los embragues deslizantes casi siempre son discos de contacto, principalmente porque resulta imperativo prevenir la posibilidad de una zapata autoenergizante (lo cual comprometería el control del par de torsión limitante). Los embragues deslizantes se usan principalmente para proteger elementos de maquinaria y no son confiables para la prevención de accidentes. D espués de que los embragues deslizantes pasan grandes periodos en contacto, las superficies de fricción se pueden pegar o soldar, requi riendo un par de torsión mayor para iniciar el deslizam iento. Por lo general este par de torsión no es suficientemente grande como para romper un engrane, por ejemplo, pero su incremento puede resultar suficiente para provocar un daño serio. No obstante, un embrague deslizante constituye un limitante de par de torsión efectivo, y se usa en lugar de pernos de cortante o cuñas con la ventaja de que no se requiere sión excesiva se ha corregido.

1 7  . 1 ©

C o n s id e r a c io n e s d e te m p e r a t u r a

Como se mencionó en la sección 17.1 los efectos térmicos son importantes en sistemas de frenos y de embragues. Si las temperaturas se vuelven demasiado elevadas pueden resultar en daño a los componentes, lo cual comprometería la vida útil o el rendimiento y la operación de los sistemas de frenos y embragues.

C A P ÍT U LO 1 7

•

Frenos y embragues

La predicción de las temperaturas de los sistemas de frenos y embragues es extremada mente difícil en la práctica, ya que éstos se operan en cond iciones m uy camb iantes. La primera ley de la termodinámica requiere de Aflicción

^conducción

^convección

^almacenamiento

donde fiincción = ene rgía de en trada en el sistem a de freno o de em brag ue d e la fricción entre los elementos deslizantes ^conducción ~ pé rd id a de calo r de la cond uc ció n a través d e los el em en tos de ma qu ina ria ^convección - pé rd ida d e calor de la con ve cció n al med io ci rcu nd an te ^almacenamiento = en erg ía al m ace nad a en los com po nen tes d e fren os y em bra gu es, r esu ltan do en un incremento de la temperatura Si la conducción y la convección son despreciables, el incremento de la temperatura en el material del freno o embrague está dada por  A r,„ = ^ i Cpma

•

donde Cp = calor específico del material, J/kg-°C m u -  masa, kg

Esta ecuac ión es útil para determinar el incremento instantáneo de la tempera tura en el frotador de un freno o de un embrague, ya que la energía de fricción se disipa directamente sobre las superficies en contacto y no tiene tiempo de ser conducida o transportada. Usualmente los frotadores de frenos y embragues tienen un área en contacto que se mueve fuera de contacto y  pu ed e en friarse. La te m per at ura m áx im a de ope ra ción re pre se nta un a fu nc ió n co m plic ad a de entrada de calor y de las razones de enfriamiento. La principal dificultad para predecir las temperaturas de los sistemas de frenos es que el calor que se conduce y el calor que se transfiere dependen de la temperatura ambiente de la máquina y de la geometría del freno o embrague, además de que varían ampliamente. En circunstan cias previas en el libro se realizaría un análisis del escen ario en el p eor de los casos, el cual en esta circunstancia se reduce rápidamente a condiciones en las que obviamente los frenos y embragues se sobrecalientan. Este resultado no es incorrecto: la mayoría de los siste mas de frenos y embragues se sobrecalientan cuando se abusa de ellos y como resultado pue den sufrir serios daños. L a alternativa consiste en usar sistemas masivo s de frenos y embragues  pero hac en qu e la ca rg a ec onó m ica sea in so po rta bl e para los us uario s resp ons ab les. Es muc ho más razonable usar sistemas de frenos que requieran mantenimiento periódico y que se puedan dañar por el abuso, que incu rrir en los costos econó micos de sobrev ivir al análisis del escenario en el peor de ios casos. Esto difiere de circunstancias p revias, en las que un análisis de este tipo aún daba como resultado un producto razonable. Algunos embragues se diseñan para que se usen con un fluido (embragues húmedos) que ayuda a enfriarlos. De forma similar, algunos frotadores o zapatas incluyen acanaladuras de manera que el aire o un fluido entre más fácilmente, d ando como resultado un incremento en la convección calorífica del embrague o freno. La predicción de las temperaturas de los frenos constituye un problema complejo y requiere de métodos numéricos, usualmente del elemento finito. Obviamente, el tamaño adecuado de los componentes del freno es muy difícil de determi nar con seguridad. Para los propósitos de este libro los valores dados por Juvinall y Marshek 

81 1

B 1 2

PA & i a 2  

®

E l e m e n t o s d e m á q uin a s

fcsblfs 1

7m3

Producto de la presión de contacto y   de la velocidad de deslizamiento para frenos y em bragues. Fundamentals o f Mach ine    por Juvinall y Marshek. Copyright ©1 991 por Component Design  Juvinall y Marshek. Reimpreso con autor ización de John Wil ey & Sons.]

 pu Condición de operación

(kPa)(m/s)

(psi)(pies/min)

Continua; pobre disipación de calor

1 050

30 000

Ocasional; pobre disipación de calor

2 100

60 000

Continua; buena disipación de calor como en un baño de aceite

3 000

85 000

(1991) para el producto de la zapata del freno o la presión de contacto del frotador y la veloci dad de deslizamiento pu  se usa para calcular los tamaños de los componentes (tabla 17.3). La mayoría de los fabricantes confía mucho en la verificación experimental de los diseños; la aplicación de estos números en la ausencia de verificación experimental requiere de precau ción extrema.

C eso d e e st u d io

I SELECCIÓN DE UN EMBRAGUE PARA UNA GRÚA HIDRÁULICA MÓVIL

&&T 0S Las grúas hidráulicas móviles son vehículos muy comunes empleados en la construcción y el manejo de mate riales. En este caso de estudio se ilustra la selección de un freno para una de las funciones de la grúa. Por medio de una grúa se realiza una variedad de funciones como subir (arro llando el cable en el polipasto), levantar o bajar el aguilón (arrollando el cab le en la estructura) y girar. Cada una de estas operaciones requiere su propio sistema de control (es decir, frenos y embragues). Este caso de estudio está limitado a un  problem a de fácil manejo: la elección de un freno para la línea de levantamiento. Las capacidades de las grúas se dan en términos de la carga máxima que pueden levantar y sostener, lo cual ocurre cuando el aguilón está en su elevación máxima. En elevacio nes más bajas la grúa se volcará con cargas mucho más bajas, de manera q ue la capacidad de la grúa es la carga máxim a real que ésta experimentará. Este problema trata de la selección de un embrague para una grúa de 30 ton, la cual tiene un tambor de 12 pulg de diámetro para el cable. El diámetro del tambor se ha elegido para proporcionar una vida de servicio razona  ble del cable, tema que se estudiará en el capítulo 18. ü j l i j j y i Seleccione un freno para la línea de levantamiento. §©liP€légi

Una grúa grande alcanza su capacidad total si se usan líneas de levantamiento de partes múltiples. Es decir, la línea de levantamiento se pasa por poleas múltiples, de manera que cada parte lleva una fracción de la carga total. En una grúa de

30 ton se pueden usar o no líneas de levantamiento múltiples. Un análisis del escenario en el peor de los casos sugiere que el freno debe soportar toda la fuerza de la línea de levanta miento. Resulta fundamental que la grúa tenga la capacidad de sostener la carga que se levanta. Las cargas dinámicas tam  bién son posib les. Por ejemplo, en la co nstrucción de presas, se colocan cimbras de madera, el concreto se vacía y entonces la madera se remueve colocando el cable de izaje de la grúa y  jalando las formas del concreto una vez que éste ha fraguado. Si el cable de levantamiento presenta tensión insuficiente, la forma caerá a una cierta distancia hasta que el cable esté apre tado, de esa form a se causa una carga dinámica que se aplica a la línea de levantamiento. Por esta razón se usará un factor de aplicación de 1.5. En la mayoría de los casos esto permite factores de seguridad mayores, ya que el cable de levantamiento rara vez soporta la capacidad de la grúa por el volcamiento, según se indicó antes. El tipo de freno que se usará es el de tambor de zapata larga interno de expansión. Un freno usado para un mecanis mo de giro en una grúa similar se muestra en la ilustración del inicio del capítulo. El freno que usa en esta aplicación es simi lar y se ilustra en la figura 17.14. Las razones p ara utilizar ese tipo de freno son muchas y entre ellas se incluyen: 1.

El espacio no constituy e un problema; la superestru ctura de la grúa cuenta con espacio suficiente para cualquier clase de freno analizado en este capítulo. (continúa)

C A P ÍT U L O 1 7

Cías© d&  estudie

•

813

Frenos y embragues

I (CONTINUACIÓN)  presenten una falla de potencia ni que el combustible de la grúa se consuma. El freno es un sistema a prueba de fallas en este contexto. Además, por medio de un diseño adecuado de enlace ambas zapatas pueden ser autoenergizantes, limitando la fuerza de multiplicación que se requiere en el sistema hi dráulico de accionamiento. El problema de diseño es la necesidad de especificar la fuerza de accionamiento requerida para obtener el par de tor sión de frenado deseado sobre el cable del tambor. Esta fuerza de accionamiento se alcanzará entonces por medio de la ade cuada multiplicación hidráulica de los esfuerzos del operador sobre el control de levantamiento. El par de torsión que se requiere está dado por 

 j = 1.5(60 000)(6)

T  = 1

F ig u ra

1 7 .1 4

F re no d e l a l ín ea d e l ev an ta m ie nt o p a ra

una grúa hidráulica móvil. Se propo rciona la sección transversal del freno con las dimensiones relevantes.

2.

Para maximizar la vida de servicio sin mantenimien to, los candidatos más obvios son los frenos de tambor o de disco. En este punto no se trata de concluir qué vidas largas no son posibles por medio de frenos de banda o similares, sino qué frenos de tambor o de disco tienen vidas largas con zapatas o frotadores fácilmente reem  plazables.

3.

En este caso el comportam iento de autoaccionam iento resulta deseable, de manera que se elige un freno de tam  bor con zapata interna.

4.

En un freno de zapata larga se usa eficientemente el ma terial de frenado, ya que ocurre poca presión cerca del  perno de la bisagra.

Aunque un fabricante de grúas ocasionalmente fabricará sus propios componentes de los frenos, es común que el tra  bajo de diseño se realice en colaboración con el proveedor de los componentes. Se selecciona el tamaño de los compo nentes con base en la experiencia de diseños previos para aplicaciones de grúas, y en análisis de esfuerzos usando rela ciones como la ley del desgaste de Archard. El problema de la síntesis de diseño se ha analizado en casos de estudio ante riores. En este diseño normalmente un resorte mecánico aplica ría los frenos y el cilindro de accionamiento forzaría las zapa  tas alejándolas del tambor. De esta forma, ai accionar los frenos, en realidad un operador desactiva el cilindro hidráulico. La razón de este enfoque es lo imperativo de que las cargas no

= 540 000 lbf-pulg Como ambas zapatas son autoenergizantes, cada una debe de sarrollar la mitad del par de torsión que se requiere. Con la ecuación (17.38) se obtiene ? 7 0  000 =

^ m á > '2(cosei--cose2) sen 0 „

A partir de la geometría definida la presión máxima ocurre en 0„ = 90° donde 0, = 30° y 0 2  = 150°. Grúas similares tienen zapatas de freno de aproximadamente 8 pulg de ancho, por lo tanto b = 8 pulg. Efradio del tambor se ha especificado como de 18 pulg; aunque en un problema de diseño general esta dimensión se puede alterar para asegurar una operación ade cuada. En la tabla 17.1 se proporcionan los coeficientes de fricción, las temperaturas máximas y las presiones para una gran variedad de materiales de fricción. Para aplicaciones ta les como esta grúa móvil usual mente se usan componentes de frenos con polvo metálico sinterizado, porque permiten pre siones más grandes y son más nobles en términos de calenta miento local. Por lo tanto, considerando que el recubrimiento del freno es un metal sinterizado, se utilizará ji = 0.25. El co eficiente de fricción puede ser menor que 0.25, pero para los componentes del freno que se usan en las grúas es un límite razonablemente bajo. Entonces la ecuación (17.38) produce, una vez que se resuelve para 270 000 ~ (0.25)(8)(18)2(eos 30° - eos 150°)  __________ 

 __________ 

= 240.6 psi

(continúa)

814

PARTE 2 

•

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

(CONCLUSIÓN)

Ceas® ele esftedio

La presión máxima también representa un valor razonable, como se puede ver en la tabla 17.1. La fuerza de accionamiento está dada por la ecuación (17.37). De esta forma, 2(09 v -

-0 i) u

1 80

sen 202  +sen20j

= 895 500 Ibf-pulg MF

W=

 MP —A

= 20 700 lbf 

Obviam ente esta gran carga requiere multiplicació n de la fuer za; además de los sistemas de accionamiento hidráulico se emplean enlaces para obtener las fuerzas que se requieren. Asimismo, el valor de diseño sobrepasa los requisitos de to das las aplicaciones, excepto de las poco usuales.

= VPmáxbr  -r(eos 0 2 - e os 0 ¡ ) - — (sen 2 0 2 -sen 2B{) = 270 000 lbf-pulg

1 7 . 1 1

Re s u m e n

En este capítulo se estudiaron dos elementos de máquinas, los embragues y los frenos, los cuales están relacionados con la rotación y tienen la función común de almacenar o transferir energía de rotación. Al analizar el funcionamiento y operación de los embragues y frenos ios puntos de interés en este capítulo fueron la fuerza actuante, el par de torsión que se transmite y la fuerza de reacción en el perno de bisagra. El par de torsión que se transmite está relacionado con la fuerza actuante, el coeficiente de fricción y la geometría del embrague o freno. Éste constituye un problema de estática en el que se estudiaron separa damente diferentes geometrías. Se estudiaron dos teorías para los embragues: el modelo de presión uniforme y el modelo de desgas te uniforme. Se determinó que para el mismo par de torsión adimensional el modelo de desgaste unifor me requiere una razón del radio mayor que la del modelo de presión uniforme para la misma presión máxima. Esta razón mayor del radio implica que se necesita un área mayor para el modelo de desgaste uniforme. De esta forma, el modelo de desgaste uniforme se consideró como un enfoque más seguro.

Pa l a b r a s c l a v e

aut oen ergiz ante

zapata de freno o embrague donde el momento de fricción ayuda al accionamiento

des energ izant e

zapata de freno o embrague donde el momento de fricción dificulta el accionamiento

disco cónico cono

freno o embrague que usa zapatas presionadas contra la superficie convergen te de un

disco de em pu je disco en rotación

freno o embrague en el que se usan zapatas planas, las cuales se empujan contra un

em brag ue desli zante em brag ues de ejes

embrague donde se limita el par de torsión máximo que se transfiere

dispositivos de transferencia de potencia que permiten el acoplamiento y desacoplamiento

fren o dispositivo usado para llevar al reposo los sistemas en movimiento por medio de la disipación de la energía a través del calor por fricción

CAPÍTULO 17

•

Frenos y embragues

freno de banda freno en el que se usa la presión de contacto de una b anda flexible contra la superficie externa de un tambor 

tipo de tambor freno o embrague en que se utilizan zapatas internas, las cuales se expanden hacia la superficie interna de un tambor 

LECTURAS RECOMENDADAS Army (1976)  Ana lysis and Design o f Auto motive Brake Sistems,  U.S. Department of the Army Manual DARCOM-P706-358, Alexandria, Virginia. Baker, A.K. (1986) Vehicle Brakin g , Pentech Press, Londres. Crouse, W.H. y Anglin, D.L. (1983)  Auto motive Brakes, Suspension and Steerin g, 6 a. ed., McGrawHill, Nueva York. Krutz, G.W., Schuelie, J.K, y Claar, P.W. (1994)  Mach ine Design fo r Mobile and Indu strial  Ap lication s, Society of Automotive Engineers, Warrendale, Pennsylvania. Monroe, T. (1977) Clutch and Flywheel Handbook,  H.P. Books, Tucson, Arizona. Mott, R.L. (1985)  Mac hine Elements in Mec hanical D esign , Merril Publishing Co., Columbus, Ohio.  Norton, R.L. (1996)  Machine Design , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Orthwein, W.C. (1986) Clutches and Brakes: Design and Selection , Marcel Dekker, Nueva York. Shigley, J.E. y Mischke, C. R. (1989)  Mech anical E ngineering De sig n , McGraw-Hill, Nueva York.

Re f e r e n c ia

Juvinall, R.C. y Marshek, K.M. (1991) Fundamentals o f Machine Component Design , Wiley, Nueva York.

Pr o bl e m a s

Sección 17.2 17.1

El freno de disco que se muestra en el boceto a tiene frotadores con forma de secciones circulares de radio interno r, radio externo 2 r   y ángulo de la sección tc/4. Calcule el par de torsión del freno cuando se aplican los frotadores con una fuerza normal P.  El freno se desgasta de manera que  pit   es constante, donde p  es la presión de contacto y u es la velocidad de deslizamiento. El coeficiente de fricción es jli.

tt /4

Boceto a del problema 17 .1 

815

PARTE 2 

•

E l e m e n t o s d e m á q u i n as

17.2

Se va a diseñar un embrague automotor con una superficie de fricción simple, cuyo par de torsión máxim o es de 140 N-rn. Los materiales se escogen de manera que ji = 0.35 y p máx= 0.35 MPa. Emplee un factor de seguridad ns = 1.3 con respecto al deslizamiento en el par de torsión total del motor y un diámetro exterior tan pequeño como sea posible. Determine los valores apropiados de r0, r¡ y P  usando los modelos de presión uniforme y desgaste uniforme.

17.3

Los frenos que se utilizan para detener y girar un tanque se construyen como un embrague de discos múltiples, con tres discos sueltos conectados a través de ranuras al eje impulsor, y cuatro anillos planos conectados al bastidor del tanque. El freno tiene un diámetro exterior de contacto de 600 mm, un diámetro interior de contacto de 300 mm y seis contactos de superficie. El desgaste del disco es proporcional a la presión de contacto multiplicada por la distancia de deslizamiento. El coeficiente de fricción de los frenos es 0.12  y la fricción entre las orugas y el suelo es 0.16, lo cual proporciona un par de torsión de frenado de 12 800 N-m, necesario para bloquear una pista de oruga de manera que se deslice por el suelo. Calcule la fuerza que se necesita para presionar los discos del freno con el propósito de bloquear una pista de oruga. También calcule la fuerza cuando el freno es nuevo.

17.4

Un freno de disco usado en una máquina de impresió n se diseña como se muestra en el  boceto b.

El frotador del freno está montado sobre un brazo que puede girar con respecto al punto 0. Calcule el par de torsión de frenado cuando la fuerza P  = 5 000 N. El frotador de fricción es un sector circular cuyo radio interno mide la mitad del radio exterior. También se tiene a = 150 mm, ¿>= 50 mm , D  = 300 mm y ji = 0.25. El desgaste del recubrimiento del freno es  proporcional a la presión y a la distancia de deslizamiento. 17.5

Un freno de disco para un volante se diseña como se muestra en el boceto c.  Los pistones hidráulicos que accipnan el freno se necesitan colocar en un radio rp de manera que los frotadores del freno se desgastan uniformemente sobre toda la superficie de contacto. Calcule la fuerza actuante P y el radio de manera que el volante se pueda detener en 4 s cuando gira a 1 000 rpm y tiene una energía cinética de 5 x 105N-m. Los parámetros de entrada son ji = 0.3, a = 30°, rQ=12 0 mm, r¡ = 60 mm.

CAPÍTULO 17

•

Fren os y embragues

17.6

Tres pares de embragues de disco de empuje están montados sobre un eje. Cada uno tiene un  par de superficies de fricción. Los embragues de acero endurecido son idénticos, con un diámetro interior de 100 mm y un diámetro exterior de 245 mm.¿Cuál es lacapacidad del par  de torsión de estos embragues con base en a) desgaste uniforme y b) presión uniforme?

17.7

Un par de embragues de disco tienen un diámetro interior de 250 mm y un diámetro exterior de 420 mm. Se aplica una fuerza normal de 18,5 kN y el coeficiente de fricción de las superficies de contacto es 0.215. Suponiendo que hay un desgaste uniforme y una presión uniforme, determine la presión máxima que actúa sobre los embragues. ¿Cuál de estas suposiciones dará resultados más reales?

17.8

Un embrague de disco hecho de hierro fundido tiene un par de torsión máximo de 210 N-m. Dadas las limitaciones de espacio el diámetro exterior se debe minimizar. Suponiendo un desgaste uniforme y un factor de seguridad de 1.3. determine a) b)

17.9

los radios interior y exterior del embrague. la fuerza máxima de accionamiento que se necesita.

Un embrague de disco produce un par de torsión de 125 N-m.y una presión m¿ixima de 315 kPa. El coeficiente de fricción de las superficies en contacto es 0.28. Suponga un factor de seguridad de 1.8  y diseñe el embrague de disco más pequeño con los datos proporcionados. ¿Cuál debe ser lá fuerza de accionamiento?

Sección 17.3 17.10 Un embrague cónico con revestimiento de cuero debe transmitir un par de torsión de 1 200 Ibf-puig. El ángulo de la mitad del cono es a = 10°, el diámetro me dio de la superficie’ de fricción es 12 pulg, y el ancho de la cara b  es 2 pulg. Para un coeficiente de fricción ¡i = 0.25 encuentre la fuerza normal P y la presión de contacto máxima  p usando los modelos de presión uniforme y desgaste uniforme. 17.11 El embrague de sincronización para la segunda velocidad de un automóvil tiene un diámetro mayor del cono de 50 mm y un diámetro menor de 40 mm. Cuando la palanca de velocidades se mueve a la segunda velocidad, el embrague sincronizado se acciona con una fuerza axial de 100 N y el momento de inercia de 0.005 kg-m: se acelera 200 rad/'s 2  en 1s para'que sea

817

S IS

PARTE 2 

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E l e m e n t o s d e m á q u in a s

 posible accionar la velocidad. El coeficiente de fricción del embrague cónico es 0.09. Determine el ancho más pequeño del embrague cónico que aún proporcione un par de torsión lo suficientem ente grande. Suponga que los embragues están gastados. , 17.12

Un freno de seguridad para un elevador es un embrague cónico autobloqu eante. El diámetro menor es de 120 mm, el ancho de 60 mm y el diámetro mayor de 130 mm. La fuerza que aplica el freno proviene de un resorte preesforzado. Calcule la fuerza del resorte si el elevador de 2 ton debe parar de una velocidad de 3 m/s en una distancia máxima de 3 m, mientras que el embrague cónico gira cinco revoluciones por metro de movimiento del elevador. El coeficiente de fricción del embrague cónico es 0.26.

17.13

Un embrague cónico se usa en una caja de transmisión automática de un automóvil, para fijar los transportadores de engrane planetario a la carcasa de la caja de velocidades cuando la velocidad está en reversa. El automóvil p esa 1 300 kg con el 53% de la carga en las ruedas delanteras. La razón de engranes desde las ruedas frontales impulsadas hacia el embrague de marcha atrás es 16.3:1 (es decir, el par de torsión en el embrague es 16.3 veces menor que el  par de torsión en las ruedas si se desprecian todas las pérdidas por fricción). El diámetro de la rueda del automóvil es 550 mm, el diámetro mayor del embrague cónico es 85 mm, el diámetro menor es 80 mm y los coeficientes de fricción son 0.3 en el embrague y 1.0 entre la rueda y el suelo. Diseñe el ancho del embrague cónico de manera que no sea autobloqueante. Calcule la fuerza axial que se necesita cuando el embrague está desgastado.

17.14 Un embrague cónico tiene un diámetro mayor de 328 mm y un diámetro menor de 310 mm, un ancho de 50 mm y transfiere un par de torsión de 250 N-m. El coeficiente de fricción es 0.31. Suponiendo presión uniforme y desgaste uniforme, determine la fuerza de accionamiento y la  presión de contacto. 17.15 El coeficiente de fricción de un embrague cónico es 0.25. Puede soportar una presión máxim a de 410 kPa al tiempo que transfiere un par de torsión máximo de 280 N-m. El ancho del embrague es 65 mm. Minimice el diámetro mayor del embrague; determine las dimensiones del embrague y la fuerza de accionamiento.

Sección 17.4 17.16

Un freno de bloque se utiliza para detener y sostener un cable que transporta esquiadores desde un valle hasta la cima de una montaña. La distancia entre los carros transportadores es de 100 m, la longitud del cable desde el valle hasta la cima de la montaña mide 4 km y la diferencia en altitud es 1.4 km. El catíle es impulsado por una rueda de acanaladura en V con

Boceto d   del proble ma 17.1 ó

CAPÍTULO 1 7 

•

Fren os y embragues

819

un diámetro de 2 m. El cable se para y se sostiene con un freno de bloque montado sobre el eje de la rueda de acanaladura en V, como se muestra en el boceto d. Ignore la fricción en las distintas partes del teleférico, excepto la fricción en la polea impulsora y suponga que la  pendiente de la montaña es constante. Diseñe el freno para-20 pasajeros y sus equipos, cada uno de los cuales pesa 10 0  kg y suponga que todos los carros del teleférico que descienden desde la cima están vacíos. La dirección de rotación del motor impulsor se muestra en el  boceto. Calcule la fuerza de frenado W   que se necesita para mantener el cable sin moverse si todos los pasajeros van hacia arriba. Realice el mismo cálculo si todos los pasajeros continúan hacia abajo. El coeficiente de fricción del freno es 0.23. 17.17

El movimiento de un elevador se controla mediante un motor eléctrico y un freno de bloque. En un lado el eje de rotación del motor eléctrico está conectado a la caja de velocidades que impulsa el elevador, y en el otro lado está conectado al freno de bloque. El motor tiene dos polos magnéticos y puede funcionar con electricidad de 60 o 50 Hz (3 600 o 3 000 rpm). Cuando el motor del elevador se acciona con electricidad de 50 Hz, la distancia de frenado necesaria para detenerse es 52 cm cuando va hacia abajo y 3 1cm cuando va hacia arriba con carga máxima en el elevador. Para usarlo con electricidad de 60 Hz y que se detenga exactamente en los diferentes niveles de ios pisos, sin cambiar ia posición dei interruptor de electricidad, se debe cambiar la fuerza de frenado en el motor. ¿Cómo se deberá cambiar  para ir hacia arriba y hacia abajo? La geometría del freno es como la que se muestra en la figura *17.5 con <:/, = 0.030 m,
17.18

Un enrollado r de ancla es impulsado por un motor hidráulico de aceite con un freno de zapata corta, para detener la rotación de la maquinaria de anclaje y no dejar pasar demasiada cadena de anclaje cuando el viento mueve el barco. La fuerza máxima que se transmite desde el ancla a través de la cadena es 1.1 MN en un radio de 2 m. En la figura 17.5 se describe el tipo de freno de bloque que se usa, el cual es autoenergizante. Calcule la fuerza de frenado W   que se necesita cuando las dimensiones del freno son d x= 0.9 m, d} = l.Om, d4 = 6 m, r   = 3 m y p. = 0.31. También calcule la fuerza de contacto entre la zapata del freno y el tambor.

«ass »ama

Boceto e del problema 17.19

17.19

El freno de mano que se muestra en el boceto e tiene una presión promedio de 600 kPa a través de la zapata y tiene un ancho de 50 mm. La rueda gira a 150 rpm y el coeficiente de fricción es 0.25. Las dimensiones se dan en milímetros. Determine lo siguiente: a) b) c) d)

Si .v= 150 mm, ¿cuál debe ser la fuerza de accionamiento? ¿Con qué valor de .v se produce autobio queo? ¿,Cuál es el par de torsión que se transfiere? Si la dirección de rotación se invierte, ¿cómo cambian las respuestas en los incisos ci)-c)l

P A R T E 2 

17.20

®

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

El freno de zapata corta que se muestra en el boce to/t ien e una presión promedio de 1 MPa y . un coeficiente de fricción de 0.32. La zapata tiene una longitud de 250 mm y un ancho de 45 mm. El tambor gira a 310 rpm y tiene un diámetro de 550 mm. Las dimensiones se dan en milímetros. a) b) c) d)

Obtenga el valor de x  para la condición de autobloqueo. Calcule la fuerza de accionamiento si x  = 275 mm. Calcule el par de torsión de frenado. Calcule la reacción en el punto A.

Boceto f del problema 17.20

Sección 17.5 • 17.21

El freno de la rueda trasera de un automóvil es de tipo interno de zapata larga. Las dimensiones del freno de acuerdo con la figura 17.7 son 8 , = 10°, 0 2 = 120°, r -  95 mm, dn = 73 mm, d6 = 120 mm y d5 = 30 mm. El recubrimiento de la zapata del freno es de 38 mm de ancho y la presión de contacto máxima permisible es 5 MPa. Calcule el par de torsión de frenado y la fracción del par de torsión que se produce por cada zapata del freno cuando su . fuerza es 5 000 N. También calcule el factor de seguridad para la presión de contacto que es demasiado alta.

17.22

El volumen máximo del freno de zapata larga interno en un automóvil está dado como 10~3 m3. El freno debe tener dos zapatas iguales, una autoenergizante y la otra desenergizante, de ' manera que se acomode en ambos lados del automóvil. C alcule el ancho y el radio del freno  para potencia máxim a de frenado, si el espacio disponible d entro de la rueda es 400 mm de diámetro y 100 mm de ancho. El material del recubrimiento del freno tiene una presión máxima de contacto permisible de 4 MPa y un coeficiente de fricción de 0.18. Calcule también el par de torsión de frenado máximo.

17.23

Un freno de zapata larga en un automóvil se diseña para proporcionar un par de torsión de frenado tan alto como sea posible para una fuerza dada sobre el pedal del freno. La razón entre la fuerza actuante y la fuerza del pedal está uada por ia razón del área hidráulica entre el cilindro de accionamiento y el cilindro bajo el pedal. Los ángulos de las zapatas del freno son 9¡ = 10°, 02 = 170° y 0a = 90°. La presión máxima de la zapata del freno es 5 MPa, el ancho de ésta mide 40 mm y el radio del tambor es 100 mm. Encuentre la distancia dn que p roporciona la potencia máxima de frenado para un coeficiente de fricción de 0. 2  en cualquier fuerza del  pedal. ¿Cuál es el par de torsión de frenado que resultaría si el coeficien te de fricción fuera 0.25?

17.24

Un freno interno de zapata larga similar al que se muestra en la figura 17.7 se debe optimizar  para vida máxima por desgaste. El desgaste del recubrimiento del freno es proporcional a la distancia de deslizamiento multiplicada por la presión de contacto y por el coeficiente de fricción. La fuerza de accionamiento, aplicada por medio de un cilindro hidráulico, tiene la

CAPÍTULO 17

•

Frenos y embragues

misma magnitud para las dos zapatas. La presión de contacto está limitada a 4 MPa. Las dos zapatas del freno son geométricamente iguales para que frenen en forma adecuada en ambas direcciones de rotación, pero el coeficiente de fricción podría ser diferente. El freno tiene un radio de 120 mm y 30 mm de ancho. El par de torsión del freno que se necesita es de 900 N-m. Suponga que 0, = 20°, 0 2 = 160° y dn = 85 mm.

Boceto

g del

problema 17.25

Sección 17.6 ' 17.25

Un ensamblaje de un freno externo de tambor (véase boceto g) tiene una fuerza norma! P = 200 Ibf que actúa sobre la palanca. Las dimensiones se dan en pulgadas. Suponga que el coeficiente de fricción p = 0.25 y la presión de contacto máxima  p = 100 psi. Determine los cálculos siguientes para una zapata larga: El diagrama de cuerpo libre con las direcciones ue las fuerzas que actúan sobre cada componente b) ¿Qué zapata es autoenergizante y cuál es desenergizante? c) El par de torsión de frenado total a) El ancho del frotador obtenido para la zapata autoenergizante (el ancho de la zapata desenergizante es igual al ancho ue la zapata autoenergizante) e) La presión que actúa sobre la zapata desenergizante a)

17.26

Un freno externo de zapata larga, como el de la figura 17.10, tiene un punto pivote tal que d1 = 4 r, <7(1= 2/; 8 , = 5o y 02 = 45°. Encuentre el coeficiente de fricción que se necesita para hacer el freno autobloqueante, si la rotación lleva la dirección que se muestra en la figura. Si el eje gira en la dirección opuesta, calcule el radio del tambor que se necesita para obtener un par de torsión de frenado de 180 N-m para la fuerza de accionam iento de 10 000 N.

17.27

Una zapata larga de freno externa se monta sobre un brazo elástico. Cuando se aplica una carga, el brazo y el recubrimiento del freno se doblan y redistribuyen la presión. En lugar de la distribución normal de la presión seno, la presión es constante a lo largo deja longitud del recubrimiento. Para una fuerza de accionamiento dada calcule cómo cambia el par de torsión del freno cuando la distribución de la presión cambia de senoidal a presión constante. Suponga que d- =110 mm, r = 90 mm. b = 40 mm. 0, = 20°?02 = 160°, db.= 220 mm, ji = 0.25 y W  = 12 kN.

821

P A R T E 2 

•

E l e m e n t o s d e m á q u in a s

17.28

Un freno externo de zapata larga tiene dos zapatas idénticas acopladas en serie, de manera que la fuerza en la periferia de la primera zapata se transfiere directamente a la segunda.  No se transmite fuerza radial entre las zapatas. Cada una de las cuales cubre 90° de la circunferencia, y los recubrimient os de los frenos cubren los 70° centrales de cada zapata, . dejando 10° en cada extremo sin recubrimiento, como se observa en el boceto h. La fuerza de accionamiento se aplica tangencialmente al tambor del freno en el extremo de la zapata suelta, a 180° desde el punto fijo de la bisagra de la otra zapata. Calcule ios pares de torsión de frenado para ambas direcciones de rotación cuando  d7 = 150 mm, r = 125 mm, b = 50 mm, W= 14 000 N y |i = 0.2. También muestre un diagrama de cuerpo libre de estas fuerzas sobre las dos zapatas.

17.29

Un tipo especial de freno se utiliza en una fábrica de automóviles para sostener los paneles de acero durante la operación de perforación, de manera que las fuerzas de las brocas de  perforación no muevan los paneles. El freno se presenta en el boceto i. Calcule la fuerza de frenado PB sobre el panel de acero cuando se mueve a la derecha con la velocidad ub entre las operaciones de perforación. La fuerza de accionamiento es P M. El recubrimiento del freno es delgado en relación con las otras dimensiones.

17.30

Repita el problema 17.19 para una zapata larga. La presión de contacto promedio ocurre en 40°. Determine la presión de contacto máxima y su localización. Suponga que la distancia  x

CAPÍTULO 17

•

Freno s y embragues

es 150 mm. ¿Cuál es el par de torsión de frenado? También repita este problema inviniendo la dirección de rotación. Analice los cambios en los resultados.

Sección 17.7 17.31

Un freno de zapata con pivote simétricamente cargado tiene un ángulo cubierto de 180° y la distancia óptima dn, proporcionando una distribución de presión simétrica. El coeficiente de fricción del recubrimiento del freno es 0.30. Se considera un nuevo diseño que incremente el par de torsión de frenado sin incrementar la fuerza de accionamiento. El ángulo cubierto disminuye a 80° (+40° a -40°) y la distancia d7 disminuye de manera que aún  proporciona una distribu ción de la presión simétrica. ¿Cuál es el cambio del par de torsión, del freno?

Sección 17.8 17.32

El freno de banda que se muestra en el boceto j  se activa por medio de un cilindro de aire comprimido con diámetro dc. El cilindro del freno se impulsa por presión de aire  p  = 0.7 MPa. Calcule el momento del freno máximo posible si el coeficiente de fricción entre la banda y el tambor es 0.25. La fuerza de la masa sobre el brazo del tambor se desprecia, dr   = 50 mm, r -  200 mm, /, = 500 mm, l2 = 200 mm y /3 = 500 mm.

17.33

El freno de banda que se muestra en el boceto k   tiene un ángulo cubierto (j) = 225° y radio del cilindro r = 80 mm. Calcule el par de torsión del freno cuando la  palanca se carga con 100 N y el coeficiente de fricción ji = 0.3. ¿Cuál es el tiempo de frenado desde 1 2 00  rpm si el momento de inercia de la masa del rotor es 2.5 kg-nr?

Boceto k    del problema 17.33

B24

PAÉTI %

17.34

•

E l e m e n t o s d e m á q u i na s

El freno de banda que aparece en el boceto / tiene un ángulo cubierto d>= 215° y un radio del cilindro r   = 60 min. Calcule el par de torsión del freno cuando el coeficiente de fricción |LL= 0.25. ¿Cuál es el tiempo de frenado desde 1 500 rpm si el momento de inercia del rotor es / = 2  kg-m2?

17.35

El freno del boceto m consta de un tambor con una zapata de freno que lo presiona. El radio del tambor r -  80 mm. Calcule el par de torsión del freno cuando P - 1  000 N, jlí = 0.35 y el ancho del frotador del freno b -  40 mm. El desgaste es proporcional a la presión de contacto  por la distancia de deslizamiento.

17.36

Para el freno de banda que se presenta enel boceto n se tienen las condiciones .siguientes: d  = 350 mm,  p mÁX = 1.2 MPa, ji = 0.25 y b= 50 mm. Todas las dimensiones se dan en milímetros. Determine lo siguiente: á) b) c)

El par de torsión de frenado La fuerza de accionamiento Las fuerzas que actúan en la bisagra 0

Boceto

n del

problema 1 7.36