Vasile NEAMȚU
ELECTROTEHNICĂ Suport de curs
U.T.PRESS CLUJ-NAPOCA, 2013
Editura U.T.PRESS Str. Observatorului nr. 34 C.P. 42, O.P. 2, 400775 Cluj-Napoca Tel.:0264-401999; Fax: 0264 - 430408 e-mail:
[email protected] http://www.utcluj.ro/editura Director: Consilier editorial:
Prof.dr.ing. Daniela Manea Ing. Călin D. Câmpean
Recenzia:
Prof.dr.ing. Eugeniu Man
Copyright © 2013 Editura U.T.PRESS Toate drepturile asupra versiunii în limba română aparţin Editurii U.T.PRESS. Reproducerea integrală sau parţială a textului sau ilustraţiilor din această carte este posibilă numai cu acordul prealabil scris al editurii U.T.PRESS. Multiplicarea executatăn la Editura U.T.PRESS.
ISBN 978-973-662-838-2 Tiraj: 100 exemplare
Editura U.T.PRESS Str. Observatorului nr. 34 C.P. 42, O.P. 2, 400775 Cluj-Napoca Tel.:0264-401999; Fax: 0264 - 430408 e-mail:
[email protected] http://www.utcluj.ro/editura Director: Consilier editorial:
Prof.dr.ing. Daniela Manea Ing. Călin D. Câmpean
Recenzia:
Prof.dr.ing. Eugeniu Man
Copyright © 2013 Editura U.T.PRESS Toate drepturile asupra versiunii în limba română aparţin Editurii U.T.PRESS. Reproducerea integrală sau parţială a textului sau ilustraţiilor din această carte este posibilă numai cu acordul prealabil scris al editurii U.T.PRESS. Multiplicarea executatăn la Editura U.T.PRESS.
ISBN 978-973-662-838-2 Tiraj: 100 exemplare
ELECTROTEHNICǍ şi MAŞINI ELECTRICE (2 ore curs + 1 ore laborator / sǎptǎmînǎ) • Respon Responsab sabilil discip disciplin linǎ: ǎ: prof.d prof.drr.ing. .ing. Vasile asile NEAM NEAMŢU ŢU - departamentul: Electrotehnicǎ şi Mǎsurǎri - facultatea: Inginerie Electricǎ
[email protected]
• Bibliografie Bibliografie obligatorie pentru curs: R. Morar ş.a., Electrotehnicǎ şi maşini electrice, electrice, curs, curs, vol. vol. 1, Litogra Litografia fia UTC-N, UTC-N, 1989; 1989; V. Neamţu, Maşini electrice, electrice, curs, curs, editura editura MEDIAMIR MEDIAMIRA, A, Cluj-Napo Cluj-Napoca, ca, 2007
FIŞA DISCIPLINEI (extras) Curs Semestrul 3
Tipul disciplinei Fundamentala
Aplicaţii
Curs
L
2
2
Studiu indiv.
[ore/semestru]
[ore/săptamina]
C
Aplicaţii
TOTAL
Credite
98
3
Forma de verificare
L 28
28
42
examen
Cunoştinţe teoretrice, (ce trebuie sa cunoasca) Sa cunoasca problemele fundamentale ale electromagnetismului; Sa cunoasca (la nivel de utilizator) principiile de functionare ale principalelor aplicat ii in tehnica a fenomenelor electrice si magnetice; Sa stie sa calculeze valorile marimilor si parametrilor electrici pentru un circuit electric simplu. Abilităţi dobândite: (ce ştie să facă) Sa cunoasca principalele semne conventionale din schemele electrice si electronice; Sa stie sa citeasca o schema electrica desfasurata; Sa stie sa treaca o schema electrica din simbolizarea veche in simbolizarea noua (actuala); Sa utilizeze indicatorul de tensiune si multimetrul (digital sau analogic) la masurarea marimilor si parametrilor electrici, precum si la depanare unui montaj electric simplu; Sa cunoasca construcţia şi funcţionarea principalelor aparate si maşini electrice; Sa poata sa identifice caracteristicilor aparatelor si consumatorilor electrici dupa scala aparatului sau placuta sa indicatoare;
A. Conţinutul cursului C1, C2 C3 – C5 C6 – C8 C9 C10 – C12 C13, C14
- Marimi electrice şi magnetice. (4 ore). - Legile şi teoremele electromagnetismului. (6 ore). - Bazele teoriei circuitelor electrice (6 ore). - Elemente de circuit electric în regim sinusoidal (2 ore). - Rezolvarea circuitelor electrice liniare de c.a. monofazat (6 ore). - Circuite electrice trifazate (4 ore).
B1. Conţinutul aplicaţiilor (lucr ǎri de laborator): vezi: Fişa activitǎţ ii de laborator B2. Sala laborator: C 202
Modul de examinare şi atribuire a notei Modul de examinare
Prezenţa la examen este condiţionatǎ de obţinerea notei L ≥ 5. Examen scris, cu şi f ǎrǎ bibliografie la vedere (50’+50’).
Componentele notei
Nota la examen E este suma punctelor alocate subiectelor de pe bilet. Nota la laborator L este media notelor testelor de laborator plus bonificaţia de activitate şi susţinere mapǎ.
Nota finalǎ
Nota finalǎ: N = 0,5(E + L) + Bonificaţia de prezenţ ǎ la curs* _______ *Bonificatia (max. 1 punct) se acorda la o prezenta ≥ 7 cursuri.
Fişa activitatii de laborator Sapt. nr. data
Denumirea lucrarii de laborator
1
Aparate de masura analogice si numerice. Indicatoare de tensiune. Masurarea marimilor si parametrilor electrici cu un multimetru.
2
Norme privind securitatea muncii in laboratoarele de Electrotehnica. Masurarea rezistentei electrice a corpului uman.
3
Reguli de intocmire si citire a schemelor electrice: STAS 7070/78 si 1590.
4
Principii de intocmire si citire a schemelor electrice: SR EN 60.617 si SR EN 61.082 -1: 2007.
5
Scheme electrice comentate. Repartizarea temelor testului nr. 1. Fig. ……. / B3. Detalii B1: p…………..
6
Bibliografie
Conspect prealabil
Tema de casa
Observatii
B1: p.18-36
NU
T1: Calculul unui aparat de masura
B1: p.1-7
NU
T2: 5 concluzii justificate
B1: p.254-259
NU
T3: Puneti intrebari si raspundeti
NU
T4: Completati tab. 1.3 / B3: p.14-15
B3: p.35 - 43
NU
NU
L 2.1 Primul montaj practice cu un contactor. Aparate electrice de conectare, comutatie si protectie.
B1: p.37-46
NU
T5: Schema electrica transpusa
lucrare realizata la 3 standuri
7
L 2.5 Actionarea unui motor electric reversibil.
B1 p.58-62
XEROX B3: p.36
T6:Completare lista echipament
lucrare comuna cu semigrupa
8
Testul nr.1: Citirea unei scheme electrice. Identificarea aparatelor unui montaj electric realizat in laborator.
9
L 2.6 Comanda unui motor electric cu doua turatii.
B3: p.5-28 / sau B2: p.7-30
Schema desenata de candidat, conform standardelor SR EN 60.617 si SR EN 61.082 -1: 2007 – vezi precizarile atasate prezentei fise. B1: p. 62-70
DA
Schema electrica in SR EN 60.617
L 2.7 Pornirea automata Y/Δ a motorului electric asincron trifazat.
B1: p.70-76
DA
Schema electrica in SR EN 60.617
11
L 2.4 Studiul rezonantei electrice (L3).
B2: p.54-60
XEROX p.54-60
Diagrama fazoriala (un regim de funct.)
12
L 3.4 Imbunatatirea factorului de putere la consumatori prin condensatoare.
B1: p.135-142
DA
Schema electrica in SR EN 60.617
10
13 / 14
Testul nr. 2: Test teoretic si practic. Prezentarea mapei lucrarilor de laborator
lucrare comuna cu semigrupa
ciclu de 4 lucrari, realizate pe grupe de 3 4 studenti, prin permutari, pe parcursul saptaminilor 912
Intrebari teoretice si test practic ( verificarea, corectarea si experimentarea unui montaj): lucrarile de laborator din ciclu de lucrari
Facultatea Stiinta si Ingineria Materialelor Nume si prenume/grupa: ………………………………………/…......... An II Specializarile: Ingineria si Protectia Mediului in Industrie; Stiinta Materialelor Disciplina: Electrotehnica si Masini Electrice Tematica activitatii de laborator An universitar 2011/2012; semestrul 1
Nr. sedintei 1 2
3 4 5 6
Tematica lucrarii de laborator
Bibliografie*
Aparate de masura analogice si numerice. Indicatoare de tensiune. Masurarea marimilor si parametrilor electrici. Norme privind sanatatea si securitatea muncii in laboratoarele de Electrotehnica. Masurarea rezistentei corpului uman. Principii de intocmire si citire a schemelor electrice: STAS 12120/83 si 11381. Scheme electrice commentate. L 2.1 Primul montaj practic cu un contactor. Aparate electrice de conectare si comutatie. L 2.5 Actionarea unui motor electric reversibil. L 2.6 Comanda unui motor electric cu doua turatii. L 3.4 Imbunatatirea factorului de putere la consumatori. L 2.4 Studiul rezonantei electrice.
B1 p.18-36;294 B1 p.1-7 B3/B2 p.5 -43 B1 p.37-46 B1 - p.58-62 B1 - p. 62-70 B1 - p.135-142 B2 - p.54-60
Conspect prealabil NU
Tema de casa DA
NU
DA
NU
DA
NU
DA
XEROX
NU
XEROX
NU
Observatii lucrare comuna cu semigrupa lucrare comuna cu semigrupa lucrare comuna cu semigrupa lucrare realizata la 2 standuri ciclu de 4 lucrari, realizate pe grupe de 2 - 3 studenti, prin permutari circulare
7 TEST - citirea unei scheme electrice (intocmita de student) – obligatoriu si prezentarea mapei lucrarilor de laborator - facultativ NOTA LA ACTIVITATEA DE LABORATOR: nota testului + bonificatia de teme si activitate pe parcursul sedintelor de laborator BIBLIOGRAFIE B1: R. Morar; Electrotehnica si masini electrice – lucrari practice, vol. 1; 621.3/M89.1 B2: R. Morar; Electrotehnica si masini electrice – lucrari practice, vol. 2; 621.3/E35. ℓ B3: A. Iuga; Scheme electrice – principii de intocmire, seria M/E; 621.3/ I62.s Responsabil disciplina,
Prof.dr.ing. Vasile NEAMTU
R. Morar ş.a., Electrotehnicǎ şi maşini electrice , curs, editura UTC-N, 1989 621.3 / E35C 521.097
c u r s
B1: R. Morar, ş.a., Electrotehnic ǎ şi maşini electrice – lucr ǎri practice, vol. 1; 621.3 / M89 -1 B2: R. Morar, ş.a., Electrotehnic ǎ şi maşini electrice – lucr ǎri practice, vol. 2
621.3 / E35.ℓ B3: A. Iuga, ş.a., Scheme electrice – principii de întocmire, seria M/E 621.3 / İ62s 621.3 / M89-1 621.3 / E35ℓ
621.3 / I 62s
laborator
V. Neamţ u, Bazele electrotehnicii – probleme; Editura UTPres Cluj-Napoca, 2003
621.3 / E35S
probleme
621.3 / E35S
Bibliografie completǎ şi actualizatǎ
621.3 E 35
621.3 / E35ℓ
621.3 / E35C
probleme
îndrumator de laborator
SUPORT de CURS Cap.1
INTRODUCERE
17 slides
MARIMI ELECTRICE şi MAGNETICE
34 slides
1.1 MARIMI PRIMITIVE 1.2 MARIMI DERIVATE Cap.2
LEGILE ELECTROMAGNETISMULUI 2.1 LEGI de MATERIAL 2.2 LEGI GENERALE
Cap.3
1 problema rezolvata + 4 probleme propuse 39 slides
9 probleme rezolvate + 10 probleme propuse
BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE
50 slides
3.1 TOPOLOGIE şi MARIMI 3.2 ECUATIILE CIRCUITELOR ELECTRICE 3.3 ELEMENTE DIPOLARE 13 probleme rezolvate + 17 probleme propuse Cap.4
CIRCUITE ELECTRICE LINIARE IN REGIM PERMANENT 4.1 CIRCUITE MONOFAZATE 4.2 CIRCUITE TRIFAZATE
46 slides
11 probleme rezolvate + 13 probleme propuse
______________________________________________ 186 slides + 34 probleme rezolvate + 44 probleme propuse
ELECTROMAGNETISM
Studiul aplicaţiilor în tehnicǎ a fenomenelor electrice şi magnetice se face în conformitate cu teoria macroscopicǎ: • se face abstracţie de structura discontinuǎ a materiei; • între corpurile electrizate şi magnetizate se exercitǎ interacţiuni electromagnetice (forţe si cupluri de forte) prin c î mp electromagnetic*;
• interacţiunile se transmit instantaneu (cu viteza luminii**) în timp şi spaţiu. Fenomenele electromagnetice se pot desfǎsura în 4 regimuri: static, staţionar, cvasistaţ ionar şi nestaţionar (variabil). --------------* Cimpul electromagnetic este o forma de manifestare a materiei, diferita de substanta corpurilor, care poseda energie si impus, exista in interiorul corpurilor si in afara lor si constituie suportul fizic al interactiunilor electromagnetice. Cimpul electric si magnetic sint aspecte particulare ale cimpului electromagnetic. ** viteza luminii c = 3·108 [m/s].
MǍRIMI ELECTRICE şi MAGNETICE 1.1 MǍRIMI PRIMITIVE Cap. 1
pag. B1*
2
1.1.1 Sarcina electricǎ şi intensitatea cîmpului electric în vid
2
1.1.2 Momentul electric
5
1.1.3 Inducţia magneticǎ 1.1.4 Intensitatea curentului electric de conducţie
6
1.1.5 Momentul magnetic
8
1.2 MǍRIMI DERIVATE
7
11
1.2.1 Densitǎţi de sarcinǎ electricǎ 1.2.2 Polarizaţia electricǎ şi magnetizaţia 1.2.3 Densitatea curentului electric de conducţie 1.2.4 Tensiune electricǎ, tensiune electromotoare şi flux electric 1.2.5 Tensiune magneticǎ, solenaţie şi flux magnetic
11 12
13 14 19
1 problemǎ rezolvatǎ + 4 probleme propuse ___________ * - R. Morar ş.a.; Electrotehnic ǎ şi maşini electrice
curs, vol. 1;Lito UTC-N; 621.3/E35c
Cap. 2
LEGILE ELECTROMAGNETISMULUI
pag. B1*
2.1 LEGI de MATERIAL 2.1.1 Legea conducţiei electrice (Ohm) 2.1.2 Legea polarizaţiei temporare 2.1.3 Legea magnetizaţiei temporare
24
2.2 LEGI GENERALE 2.2.1 Legile de legǎturǎ (constitutive)
30
24 28
29
30
2.2.2 Legile fluxurilor
32
2.2.3 Legea inducţiei electromagnetice
34
2.2.4 Legea circuitului magnetic
46
2.2.5 Legea conservǎrii sarcinii electrice
51
2.2.6 Legea efectului electrocaloric
54
9 probleme rezolvate + 10 probleme propuse ___________ * - R. Morar ş.a.; Electrotehnic ǎ şi maşini electrice
curs, vol.1; Lito UTC-N; 621.3/E35c
BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE 3.1 TOPOLOGIE şi MĂRIMI Cap. 3
pag. B1*
152
3.1.1 Topologia circuitelor 3.1.2 Clasificarea circuitelor
152
3.1.3 Mǎrimi sinusoidate
155
3.1.4 Caracterizarea dipolului electric pasiv 3.1.5 Puteri electrice în regim permanent sinusoidal
159
153
3.2 ECUAŢIILE CIRCUITELOR ELECTRICE 3.2.1 Teorema lui Joubert 3.2.2 Teoremele lui Kirchhoff
162
164 164 166
3.2.3 Teorema conservǎrii puterilor 3.3 ELEMENTE DIPOLARE 3.3.1 Elemente active (surse, generatoare) 3.3.2 Rezistoare electrice 3.3.3 Bobine electrice 3.3.4 Condensatoare electrice
167
170 170 172 174 177
13 probleme rezolvate + 17 probleme propuse ___________
Cap. 4
CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM PERMANENT
4.1 CIRCUITE MONOFAZATE
pag. B1*
4.1.1 Metode de rezolvare
185
4.1.2 Metode de transfigurare
188
4.1.3 Rezonanţa electricǎ 4.1.4 Imbunǎtǎţirea factorului de putere
213
4.1.5 Circuite electrice simple
216
219
4.2 CIRCUITE TRIFAZATE 4.2.1 Sisteme trifazate
201
4.2.2 Conexiunile circuitelor trifazate
203
4.2.3 Rezolvarea sistemelor trifazate conectate în stea
205
4.2.4 Rezolvarea sistemelor trifazate conectate în triunghi
206
4.2.5 Puteri electrice în reţele trifazate
207
4.2.6 Metoda componentelor simetrice
----
11 probleme rezolvate + 13 probleme propuse ___________
•
• •
•
• •
•
PRECIZARI privind testele de laborator Prezentarea: cu semigrupa, la data si ora programata, saptaminile 13-14; Materiale: fisa activitatii de laborator (obligatoriu), schema electrica repartizata (obligatoriu), mapa lucrarilor de laborator (facultativ); Fiecare student are alocate 10 minute: 7’ la dispozitia studentului si 3’ pentru raspuns la intrebari (daca e cazul); Studentul care a efectuat numai 9 lucrari, nu-si poate incheia activitatea de laborator si nu se poate prezenta la lucrarea scrisa in sesiunea programata – recupereaza cel putin 2 din lucrarile lipsa (cu plata) si se prezinta la examenul scris in sesiunea de restante; Studentul care are mai putin de 9 lucrari efectuate, va contracta disciplina anul universitar viitor; Schema electrica, poate fi sustinuta, dac ǎ indeplineaste conditiile: - desenata pe format A4; - eventualele greseli, gasite in schema, corectate cu rosu; - lista de echipament (legenda), completata – din bibliografie – cu principalele caracteristici ale aparatelor, se trece pe verso-ul formatului; - deasupra schemei electrice se trec, cu pix sau cerneala, numele si semigrupa; - sub schema se trece denumirea acesteia. Programarea sustinerii mapei lucrarilor de laborator se face in data sustinerii testului; ordonarea lucrarilor in mapa se face conform fisei de laborator, iar localizarea (reperarea) tip repertoriu.
Precizǎri privind examenul scris • un singur bilet, cu punctajul afişat; • 50’ - fǎrǎ bibliografie – se predǎ lucrarea (rǎmîne biletul); • 50’ - cu bibliografie: – cǎrti, notiţe, suport de curs etc.; – fǎrǎ PC, notebook sau laptop; – cu calculator profesional de birou – pentru calcule. • • • • •
prezentarea cu grupa, la ora şi sala din planificare; fǎrǎ telefoane active; cu un act de identitate;
nu se împrumutǎ bibliografia (se poate calculatorul); frauda sau încercarea de fraudǎ atrage exmatricularea;
• rezultatele pe SIMAC sau la secretariat (pentru restantieri).
MǍRIMI ELECTRICE şi MAGNETICE 1.1 MǍRIMI PRIMITIVE Cap. 1
pag. B1* 2
1.1.1 Sarcina electricǎ şi intensitatea cîmpului electric în vid 1.1.2 Momentul electric 1.1.3 Inducţia magneticǎ 1.1.4 Intensitatea curentului electric de conducţie 1.1.5 Momentul magnetic
1.2 MǍRIMI DERIVATE
2 5 6 7 8 11
1.2.1 Densitǎţi de sarcinǎ electricǎ 1.2.2 Polarizaţia electricǎ şi magnetizaţia 1.2.3 Densitatea curentului electric de conducţie 1.2.4 Tensiune electricǎ, tensiune electromotoare şi flux electric 1.2.5 Tensiune magneticǎ, solenaţie şi flux magnetic
11 12 13 14 19
1 problemǎ rezolvatǎ + 4 probleme propuse ___________ * - R. Morar ş.a.; Electrotehnic ǎ şi maşini electrice
curs, vol. 1;Lito UTC-N; 621.3/E35c
Cap. 1. MĂRIMI
ELECTRICE şi MAGNETICE
MĂRIMI PRIMITIVE Se introduc pe baza experienţei • fenomen; • relaţie de definiţie; • unitate de mǎsurǎ (UM).
MĂRIMI DERIVATE Se definesc cu ajutorul mǎrimilor primitive, prin operaţii matematice
derivare, sau integrare
mǎrimile electrice şi magnetice caracterizeazǎ atît cîmpul electromagnetic cît şi corpurile (substanţa) componenta electricǎ componenta magneticǎ -
- local: la nivelul unui punct - global: pe o curbǎ, arie sau volum
1.1. MǍRIMI PRIMITIVE Mǎrimile primitive se introduc direct, pe cale experimentalǎ, cu ajutorul forţelor şi cuplurilor de forţe (acţiuni ponderomotoare) Se introduc pe baza experienţei
Caracterizeazǎ global Caracterizeazǎ local CORPURILE CÎMPUL sarcina electricǎ intensitatea cîmpului q [C] stare electric în vid _ ELECTRICǍ Ev [V/m] momentul electric _ p [C·m] intensitatea curentului inducţia magneticǎ stare electric i [A] în _ vid MAGNETICǍ momentul magnetic Bv [T] _ m [A·m2]
1.1.1. SARCINA ELECTRICǍ şi INTENSITATEA CÎMPULUI ELECTRIC în vid F q Ev
linii de cimp electric
r
corp încarcat electric prin frecare
q >0
E v (r )
F
corp de proba, electrizat prin contact
Forţa exercitatǎ de cîmpul electric asupra corpului electrizat Fig. 1.1
q - sarcina electricǎ E v- intensitatea cîmpului electric în vid • caracterizeazǎ global • caracterizeazǎ local cîmpul electric; starea de încǎrcare electricǎ a corpurilor; • [ E v]SI = [ E v ] = V/m; • Ecorona= 31 [kV/cm] = 31·103 / 10-2 [V/m] • [q]SI = [q] = C; = -1,6·10-19
_
Ev
(C) = l.c.
dl
Ev // dl
+
vectori locali
Ev x dl = 0
sensul liniei de cîmp electric = sensul deplasǎrii sarcinii pozitive linii de cîmp
+ Fig. 1.2
Linie de cîmp electric
Ev = const.
Ev
Fig. 1.3
Reprezentarea cîmpului electric prin vectori locali şi linii de cîmp
E1 > E2 > E3 E1
Ev
E2
Ev
linii de cîmp paralele şi echidistante Fig. 1.4
Cîmp electric omogen
E3
intensitatea cîmpului - proporţionalǎ cu densitatea liniilor de cîmp Fig. 1.5
Cîmp electric neomogen
Problema 1.1
Calculaţi forţa exercitatǎ între sarcini electrice punctiforme (forţa Coulomb ). r F21
q1>0
E1(r,q1) F12= q2·E1
q2>0
Fig. 1.6.
Forţa coulombianǎ
Rezolvare:
Cîmpul electric produs, la distanţa r, de sarcina unui corp punctiform: E1 (r , q1 )
q1 r
; (vezi problema 2.3)
4 π ε 0 r q q r Forţa lui Coulomb: F12 q 2 E1 1 2 3 F21 4 π ε 0 r 3
F12 F21
q1 q 2 4 π ε 0 r
Tema 1.1
Utilizînd principiul superpoziţiei spectrelor liniilor de cîmp electric, demonstraţi existenţa cîmpului electric numai în spaţiu dintre armǎturile condensatorului electric plan.
2
Încǎrcare electricǎ prin: • frecare (triboelectrizare); • contact electric;
timp de transfer
• iradiere; • efect corona;
conductoare; corpuri semiconductoare; izolatoare.
descǎrcare corona
+
• încǎlzire. ELECTROTEHNOLOGII (tehnologii bazate pe cîmpuri electrice intese)
• xerocopiere; • filtrarea electrostaticǎ; • vopsire electrostaticǎ; • electroseparare etc
Fig. 1.7
Descǎrcarea corona pozitivǎ vîrfuri - plan
Xerocopierea Fig. 1.8
Fazele xerocopierii pe strat cilindric fotoconductor
1 – strat de seleniu (semiconductor); 2 – cilindru metalic de aluminiu; 3 – electrod corona de incarcare; 4 – original destinat copierii; 5 – cartus de toner - developer 6 – coala de hirtie pentru xerococie; 7 – electrod corona de transfer; 8 – incalzitor pentru fixare; 9 – electrod corona de neutralizare; 10 – perie de stergere. Stratul de seleniu 1 se incarca uniform cu sarcina pozitiva, in cimp corona 3; prin inductie conductiva, suportul de aluminiul 2 obtine sarcina negativa. Printr-un sistem optic, originalul 4 se expune pe suprafata fotoconductoare electrizata; prin fotoconductie se obtine imaginea latenta prin reducerea sarcinii electrice din zonele expuse; Particulele developer - toner 5, incarcate negativ, refac imaginea vizibila a originalului; Transferul imaginii se efectueaza incarcind uniform cu sarcina pozitiva acea fata a hirtiei 6 care nu intra in contact cu cilindru; Imaginea se fixeaza termic 8 (tonerul fiind termoplastic) pe hirtie; Dupa fiecare copiere, suprafata cilindrului rotativ se regenereaza prin neutralizarea sarcinii
Vopsirea electrostaticǎ Fig. 1.9
Principiul vopsirii in cimp electric intens
1 – aer comprimat; 2 – vopsea (lac, email); 3 – ajutaje coaxiale; 4 – electrod corona; 5 – particule de vopsea, electrizate; 6 – piesa de vopsit.
Cimpul electric de descarcare corona, dintre pistolul de vopsit si piesa, incarca cu sarcina negativa particulele de vopsea;
Pulverizarea se face pneumatic prin frecarea intre aer si vopsea; viteza fluxului de aer controleaza dimensiunile particulelor de vopsea;
Traiectoriile particulelor electrizate urmeaza liniile cimpului electric;
Curaţirea gazelor prin electrofiltrare Gazele uzate strabat vertical zona de cimp electric intens produsa intre electrozii 1 si 2, alimentati cu inalta tensiune (mentinuta la nivelul valorii de strapungere) de la sursa 3; Prin bombardament cu electronii generati de firul corona 1, particulele de praf in suspensie se incarca cu sarcina negativa; Sub actiunea fortei electrostatice F = q·E, praful se depune pe electrodul de colectare; Prin scuturare mecanica, praful fixat pe electrodul tubular (de forta imagine F i), praful cade in buncarul de colectare; Comanda prin μP a inaltei tensiuni, permite obtinerea unui efect maxim de electrizare a particulelor si de limitare a descarcarilor in scintei.
Filtru vertical cu scuturare: 1 – electrod corona (de emisie); 2 – electrod de depunere (colectare); 3 sursa de inalta tensiune (IT); 4 dispozitiv de scuturare Fig. 1.10
2
1
Electrosepararea
3
7
Principiul electrosepararii materialelor granulare: 1 – alimentator; 2 – electrod corona cu ace; 3 – electrod electrostatic; 4 – particule conductoare; 5 – particule neconductoare; 6 – perie de stergere; 7 – cilindru purtator. Fig. 1.11
n 6 Fimagine
4
5 neconductor
mixt
conductor
In zona cimpului electric intens, generat cu electrodul corona 2, particulele amestecului granular se incaraca cu sarcina electrica pozitiva, prin bombardament ionic (in cimp electric cu descarcare corona). La iesirea din zona de cimp, particulele conductoare 4 se descarca (cedind sarcina) in contact cu cilindrul metalic legat la pamint 7 si sint deviate de forta centrifuga si forta cimpului electrostatic 3. Particulele neconductoare 5 (care se descarca lent) ramin fixate, prin forta imagine, pe suprafata cilindrului rotitor, fiind desprinde de peria de stergere 6.
1.1.2. MOMENTUL ELECTRIC Cuplul exercitat de cîmpul electric omogen asupra corpului polarizat electric
Fig. 1.12
p
M0 p E v
• mǎrime vectorialǎ ce caracterizeazǎ global starea de polarizare electricǎ a corpurilor; • [ p ] = C·m; • polarizare electricǎ: - temporarǎ - permanentǎ; p p t (E) p p • deformare mecanicǎ – efect piezoelectric
• încǎlzire – efect piroelectric; • solidificare în cîmp electric –efect de electret F ( p grad ) E
Fig. 1.13
Forţa cîmpului electric neomogen
1.1.3. INDUCŢIA MAGNETICǍ în vid F q(v Bv )
F
Bv
q
α
v Fig. 1.14
• mǎrime vectorialǎ ce caracterizeazǎ local cîmpul magnetic; • [ Bv ] =T; produs de
Forţa Lorentz
pol magnetic NORD
• magneţi permanenţi; • bobine electrice parcurse de curenţi electrici.
pol magnetic SUD Fig. 1.15
----------------
Reprezentarea cîmpului magnetic prin vectori locali şi linii de cîmp
Aplicaţiile forţei Lorentz generalizatǎ: FL q(E v B) - comanda fluxurilor de electroni prin cîmp electromagnetic: osciloscop, microscop electronic, accelerator de particule, display; - sonda Hall. 1 - ecran; 2 - tun electronic; 3 – anod de postaccelerare.
a
b
Tub cinescop pentru display şi TV cu deflexie magnetica (CRT- Cathode Ray Tube)
Fig. 1.16
UH = f(I,B)
Fig. 1.17
Efectul Hall (a) şi simbolul sondei Hall (b). 1, 2 – electrozi de comandǎ; 3, 4 – electrozi Hall; U tensiune Hall.
1.1.4. INTENSITATEA CURENTULUI ELECTRIC de CONDUCŢIE F i( l Bv )
F i
Bv
ℓ
• mǎrime scalarǎ ce caracterizeazǎ global starea electrocineticǎ a conductoarelor; • [i] = A.
i Fig. 1.18
Forţa Laplace
Forţa electromagneticǎ (Laplace): interacţiunea cîmpului magnetic asupra curenţilor electrici - aplicaţii: maşini electrice (generatoare, motoare, frine),
difuzoare, pompe electromagnetice; etc.
Fig. 1.19
Principiul motorului c.c.
comutator
Curentul electric de conducţie interpretat ca viteza de transmitere a sarcinii electrice prin conductoare
Fig. 1.20
conductor pamint
[i]
[dq] [dt ]
1C 1s
1A
Efectele stǎrii electrocinetice: • mecanic – forţe şi cupluri de forte (acţiuni ponderomotoare) asupra corpurilor aflate în stare electrocineticǎ; • magnetic – cîmp magnetic propriu în jurul conductoarelor parcurse de curent electric; • termic – dezvoltare de cǎldurǎ la trecerea curentului electric prin conductoare; • optic – emisia de luminǎ prin incandescenţǎ sau descǎrcare în gaze; • chimic – separarea purtǎtorilor de sarcinǎ electricǎ.
1.1.5. MOMENTUL MAGNETIC M0 m Bv
• mǎrime vectorialǎ ce caracterizeazǎ global starea de magnetizare a corpurilor;
• [ m ] = A·m2;
m Fig. 1.21
Cuplul de orientare a corpului magnetizat
Stare de magnetizare: - temporarǎ (electromagneti); - permanentǎ (magneţi permanenţi). m mt (B) m p
CONCLUZII asupra mǎrimilor primitive • Cele 6 mǎrimi primitive se introduc experimental cu ajutorul acţiunilor ponderomotoare (forţe şi cupluri de forţe).
• Corpurile se pot afla în 4 stǎri electromagnetice: - încarcare electricǎ; - electrocineticǎ; - polarizare electricǎ; - magnetizare. • Mǎrimile q, p, i, m descriu global (la nivelul întregului corp) starea corpurilor. • Mǎrimile E, B descriu local (în fiecare punct) starea cîmpului electromagnetic. Tema 1.2.
Utilizînd expresia unei acţiuni ponderomotoare (forţă sau cuplu de forţe)
1.2. MĂRIMI DERIVATE derivare sau integrare
Caracterizeazǎ global CORPURILE stare sarcina electricǎ q ELECTRICĂ momentul electric p stare intensitatea curentului i MAGNETICĂ momentul magnetic m
MĂRIMI DERIVATE
stare ELECTRICĂ
MĂRIMI PRIMITIVE
Caracterizeazǎ local CORPURILE densitǎţi de sarcinǎ electricǎ ρv [C/m3], ρA [C/m2], ρL [C/m]
polarizaţia electricǎ P [C/m2] densitatea curentului electric 2 de conducţie j [A/m ]
stare MAGNETICĂ magnetizaţia
M [A.m]
Caracterizeazǎ local CÎMPUL intensitatea cîmpului electric în vid E v inducţia magneticǎ în vid B v
Caracterizeazǎ global CÎMPUL tensiunea electricǎ u12 [V] eΓ [V] t.e.m. Ψ A [C] fluxul electric tensiunea magneticǎ um12 [A] umm [A] t.m.m. fluxul magnetic Φ A [Wb]
1.2.1. DENSITĂTI de SARCINĂ ELECTRICĂ • densitatea volumetricǎ (de volum): ρV= dq/dv [C/m3] - caracterizeazǎ gazele; • densitatea superficialǎ (de suprafatǎ): ρ A= dq/dA [C/m2] - caracterizeazǎ suprafetele; • densitatea liniara (lineicǎ): ρL= dq/dℓ [C/m] - caracterizeazǎ firele subţiri; q
ρ
v
V
dV
ρ
A
A
dA ρL dl C
n
q
k
k 1
Repartizarea densitaţii de sarcinǎ electricǎ pe suprafaţa corpurilor conductoare. Fig. 1.22
1.2.2. POLARIZAŢIA ELECTRICĂ şi MAGNETIZAŢIA P - Polarizaţia electricǎ d p C m C P [ 3 2] dV m m
• descrie starea de polarizare localǎ (într -un -un punct) din interiorul corpului polarizat electric; P Pt (E) P p
M - Magnetizaţia dm A m 2 A ] M [ 3 m dV m
• descrie starea de magnetizare localǎ (într un punct) din interiorul corpului magnetizat; M Mt (B) M p
1.2.3. DENSITATEA CURENTULUI ELECTRIC de CONDUCŢIE j u j
di dA
2
[ A / m ]
• descrie local starea electrocineticǎ a corpurilor conductoare; • dacǎ acǎ: j = i/A i/A = con const stan ant, t, conductorul se considerǎ filiform;
• mǎrim rime im importantǎ în activitatea de proiectare . i
conductor
i j
i
Fig. 1.23
Densitatea curentului electric de conducţie
j dA intensitatea curentului = fluxul densitǎţii de curent prin sectiunea transversalǎ a conductorului A
______________ ______________
Tab. 2.1
Sectiune standardizatǎ standardizatǎ A[mm2] Diametru d[mm]
0,50
Conductoare de cupru cu izolatie de PVC
0,75
1,00
1,50
2,50
4,00
6,00
10,0
1,00
1,13
1,40
1,80
2,25
2,75
3,57
Curenti maximi admisibili în regim permanent:[A] Conductoare FY in tub
2 conductoare
-
-
14
17
24
31
40
55
3 conductoare
-
-
12
14
20
26
36
49
12
16
18
23
33
43
55
75
-
14
16
20
28
36
45
60
Cablu CYY cu 2 conductoare 3 conductoare
1.2.4. MĂRIMI DERIVATE ale CÎMPULUI ELECTRIC
• în vid, cîmpul electric este descris, la nivel local, de E v ; • în corpuri, starea cîmpului electric este descrisǎ de 2 vectori: D[C/m 2 ] - inducţia electricǎ; E[V/m] - intensitatea cîmpului electric: E Ec (q) Es ;
• în materiale cu neomogenitǎţi fizico-chimice apare şi cîmp electric imprimat , descris local de intensitatea Ei [V/m] 1 • în vid (aer): Dv ε 0 E v , unde: ε 0 [F/m]; 9 4π 9 10 -------------
Tip
Denumire
Cîmpuri electrice imprimate Cauza fizica de aparitie
Cîmpuri imprimate de volum
de concentraţie
Neomogenitatea concentraţiei electrolitului
Tab. 2.2
Cîmpuri imprimate de contact
(de difuzie)
termoelectric
Incǎlzirea neuniformǎ a unui corp metalic
voltaic
Contactul a douǎ metale diferite
termoelectric
Diferenţa de temperaturǎ la capete sudate a douǎ metale diferite (efect Seebeck) Diferenţa dintre presiunile osmotice şi de dizolvare la contactul metal - electrolit Conductibilitatea diferitǎ a contactului metal – semiconductor iluminat
galvanic fotovoltaic
1.2.4 a) TENSIUNEA ELECTRICĂ a
b
u12
u12
2
2
E dl E dl cos
u12
1(C)
;
1
u12 = - u21 ; [u12]= V Definiţia tensiunii electrice: a) - în cazul general; b) – pentru o linie de cîmp electric
Fig. 1.24
2
• interpretare energetica: u 12 = L12/q ;
L12
2
F dl q E dl q u
12
1(C)
1(C)
• valorile tensiunii electrice: milioane V (10+6 V) → microV (μV = 10-6 V) • tensiunea = diferenţǎ de potenţial: u12 = V1 –V2
1.2.4 b) POTENŢIALUL ELECTRIC
E - gradV gradV dV/ dV/ dl P
→ dV - E dl - ecuaţia diferenţialǎ a potenţialului
P
P
P
dV - E dl V(P) - V(P ) E dl V(P) V(P ) - E dl. 0
P 0
a
P0
0
P0
b
P0
V(P0) – potenţial de referinţǎ B
B
A
A
u AB E dl dV VA - VB
Ecuaţia diferenţialǎ a suprafeţei echipotentiale: V(x,y,z) = const. → E dl 0 dV - E dl
Tensiunea ca diferenţǎ de potenţial (a) şi suprafaţa echipotenţialǎ ( b). α = 90º - liniile liniile de cîmp cîmp sint sint normale normale Fig. 1.25
la suprafaţa echipotenţialǎ
Alegerea originii de potenţial electric Potenţialul de referinţǎ, de obicei, se considerǎ nul V(P0) = 0, 0, iar punctul P0 devine origine de potenţial. potenţial. Poziţia originii de pontenţial se alege convenabil aplicaţiei aplicaţiei tehnice: • electr electrost ostati aticǎ cǎ (sarc (sarcini ini pe pe domen domeniiii limita limitate) te):: P0 = ∞; → V(∞) = 0; • trac tracţiţiun une e ele elect ctri ricǎ cǎ:: P0 = calea de rulare (şina); → V(şina) = 0; • energeticǎ: P0 = pǎmîntul ( ); → V( ) = 0; • electronicǎ: P0 = punctul de masǎ (
); → V( ) = 0.
Tema 1.3
Pornind de la interpretarea energeticǎ a tensiunii electrice, calculaţi cîţi W·s = J reprezintǎ eV . Tema 1.4
Arătaţi că dimensional dimensional [B·H] = J/m3 .
1.2.4 c) TENSIUNEA TENSIUNEA ELECTROMOT ELECTROMOTOARE OARE - t.e.m. • stab stabilileş eşte te şi şi men menţiţine ne cure curent ntul ul ele elect ctric ric într într -un -un circuit închis; • cara caracte cteriz rizea eazǎ zǎ sur surse sele le de de ener energi gie e elec electr tric icǎ; ǎ; • definiţie: e (E Ei ) dl ;
• unitate de masurǎ: [eΓ] = V; • inte interp rpre reta tare re ene energe rgeticǎ ticǎ::
L (Fel Fneel ) dl q (E Ei ) dl q e ; eΓ = LΓ /q.
1.2.4 d) FLUXUL ELECTRIC • caracterizeazǎ comportarea cîmpului electric pe o suprafaţǎ; • definiţie: A D dA D dA cos , A
A
• unitate de mǎsurǎ: [Ψ] = C; dA n
Fig. 1.26
dA n
Fluxul electric pentru suprafeţa deschisǎ AΓ
dl dA n dA
Fig. 1.27
Regula burghiului drept (RBD)
1.2.5. MĂRIMI DERIVATE ale CÎMPULUI MAGNETIC
• în vid, cîmpul magnetic este descris local de vectorul B v; • în corpuri, starea cîmpului magnetic trebuie descrisǎ de 2 vectori:
B[T] - inductia magneticǎ; H[A/m]
• în vid (aer) H v
______ H henry
- intensitatea cimpului magnetic; Bv μ0
, unde: μ 0 4π 107[H/m]
1.2.5 a) TENSIUNEA MAGNETICĂ şi TENSIUNEA MAGNETOMOTOARE (t.m.m.) Tensiunea magneticǎ • mǎrime scalarǎ ce caracterizeazǎ global, starea cîmpului magnetic, în lungul unei curbe; 2
u m12
1(C)
2
H dl
H dl cosα.
Tensiunea magnetomotoare • circulaţia vectorului intensitate cîmp magnetic în lungul unei curbe închise Γ;
u mm H dl
1(C)
• caracterizeazǎ sursele de cîmp magnetic – bobinele electrice; • [um12] =[umm] = A um12 Fig. 1.28
Definirea tensiunii magnetice
1.2.5b) FLUXUL MAGNETIC • caracterizeazǎ comportarea cîmpului magnetic pe o suprafatǎ; • definiţie: B dA B dA cos • unitatea de masurǎ a fluxului magnetic este weberul: [Φ] = Wb; • cînd inductia este normalǎ, în fiecare punct, la suprafatǎ B dl: Φ
B dA
• dacǎ inducţia B este constantǎ (cîmp omogen) B = const: Φ = B·A • dacǎ inducţia B este constantǎ şi normala la suprafata A: Φ = B·A [T·m2 = Wb] -------------
CONCLUZII asupra mǎrimilor derivate MĂRIMI DERIVATE
stare ELECTRICĂ
Caracterizeazǎ local CORPURILE densitǎţi de sarcinǎ electricǎ ρv [C/m3], ρA [C/m2], ρL [C/m]
polarizaţia electricǎ P [C/m2] densitatea curentului electric j [A/m2] de conducţie
stare MAGNETICĂ magnetizaţia
M[A·m]
Caracterizeazǎ global CÎMPUL potenţialul electric V [V] tensiunea electricǎ u12 [V] eΓ [V] t.e.m. Ψ A [C] fluxul electric tensiunea magneticǎ um12 [A] umm [A] t.m.m. fluxul magnetic Φ A [Wb]
• Cele 4 stǎri electromagnetice ale corpurilor (încǎrcare electricǎ, electrocineticǎ, polarizare electricǎ, magnetizare) sînt caracterizate local prin mǎrimi derivate. • Cîmpul electromagnetic, cu cele doua componente: electric şi magnetic, este caractezizat global de mǎrimi derivate: tensiuni – în lungul curbelor şi flux – pe suprafeţe.
Cap. 2
LEGILE ELECTROMAGNETISMULUI
pag. B1*
2.1 LEGI de MATERIAL
24
2.1.1 Legea conducţiei electrice (Ohm) 2.1.2 Legea polarizaţiei temporare 2.1.3 Legea magnetizaţiei temporare 2.2 LEGI GENERALE
24 28
29 30
2.2.1 Legile de legǎturǎ (constitutive)
30
2.2.2 Legile fluxurilor
32
2.2.3 Legea inducţiei electromagnetice
34
2.2.4 Legea circuitului magnetic
46
2.2.5 Legea conservǎrii sarcinii electrice
51
2.2.6 Legea efectului electrocaloric
54
9 probleme rezolvate + 10 probleme propuse ___________ * - R. Morar ş.a.; Electrotehnic ǎ şi maşini electrice
curs, vol.1; Lito UTC-N; 621.3/E35c
Cap.2. LEGILE
ELECTROMAGNETISMULUI
•
legile electromagnetismului se introduc axiomatic (nu se
•
material; legile generale sînt valabile în orice regim** electromagnetic
•
Teoremele - cazuri particulare ale legilor, constitue baza
demonstreazǎ); • teoria macroscopicǎ* are la bazǎ un sistem de douǎ categorii de legi: legi generale şi legi de material; • legile de material au în expresia lor constante (parametri) de şi în orice material;
teoreticǎ şi de calcul a aplicaţiilor în tehnica a fenomenelor electrice şi magnetice.
----------------------------------
Teoria macroscopicǎ (fenomenologicǎ) face abstractie de structura atomicǎ, discontinuǎ a materiei şi considerǎ cǎ între corpurile electrizate şi magnetizate se exercitǎ interacţiuni electromagnetice (forţe şi cupluri de forţe). ** Regimurile de desfǎsurare a fenomenelor electromagnetice sînt: static, stationar, cuasistationar şi nestationar (variabil). *
Tab.2.1 Principalele legi ale electromagnetismului
conducţiei electrice (Ohm) polarizaţiei temporare
Pt 0 e E
Legi de material
magnetizaţiei temporare
M t m H
legaturii în cîmp electric
D 0 E P
cîmp magnetic LEGEA
E Ei j
fluxului
electric magnetic
B 0 H 0 M
D dA q B dA 0
d A
inducţiei electromagnetice
e -
circuitului magnetic
u mm A
conservǎrii sarcinii electrice
i
Legi generale
dt dq dt
transformǎrii energetice în p E j
dA dt
2.1 LEGI de MATERIAL 2.1.1 LEGEA CONDUCTIEI ELECTRICE (Ohm) a) forma localǎ - conductor liniar, izotrop, neomogen: E Ei ρ j - conductor liniar, izotrop, omogen ( Ei 0): E ρ j ; j σ E E şi Ei – cîmp electric = cauza stǎrii electrocinetice a corpurilor conductoare; lege = legǎtura dintre cauzǎ şi efect; J – curent electric = efectul stǎrii electrocinetice.
● parametri de material:
ρ[Ω·m] – rezistivitate electricǎ; 1/ρ = σ[S/m] – conductivitate electricǎ
● unitǎţi de mǎsurǎ (U.M.): [Ω] = [V]/[A]; [S] = 1/[ Ω] = [Ω-1]; -12[Ω·m] → ρ +20 [Ω·m]. ρ metal pur = 10 izolator bun = 10 ● valori: σCu = 56·106 [S/m]; σ Al = 34·106 [S/m]; ----------------
b) forma globalǎ (integralǎ) a
dℓ
ei
j
b 2 i
i Ei ≠ 0
A (C)
ei > 0
σ
1
i
uf > 0
Fig. 2.1 Conductor filiform
referinţǎ la scrierea legii conducţiei electrice (b).
j ║dℓ; j = const. = i / A
2
1(C)
(E Ei ) dl
2
1(C)
ρ j dl;
2
E dl u f u12 u;
1(C)
2
2
2
1(C)
Ei dl ei ; 2
● pentru conductorul filiform: 1(C) ρ j dl 1(C) ρ j dl i 1(C) u f ei R i
1
↑u12 = ↑i ;↑ei = ↑i
R
i
ei 2
u12 = uf
şi
neomogen parcurs de curent electric (a); sensurile de
uf + ei = R·i
u12 = uf = u
j = const. = i/A
ρ dl
A
i R
R[Ω] – rezistenţǎ electricǎ parametru de circuit electric
Precizǎri:
• mǎrimi variabile în timp (mǎrimi instantanee): u(t), i(t), e(t), p(t); • mǎrimi constante în timp (curent continuu = c.c.): U, I, E, P. E=0
E
R
I
E
I
R R
U
U + E = R·I
U= 0
E = R·I c b Fig. 2.2 Forme particulare ale legii lui Ohm în c. c. (u → U; ei → E; i →I ): a - laturǎ activǎ; b - circuit închis; c – laturǎ pasivǎ a
I
U U = R·I
Legea lui Ohm pentru o laturǎ pasivǎ de circuit electric în c.c.
Problema 2.1
Sǎ se calculeze lungimea conductorului filiform, din cupru, cu secţiunea 1mm2 care are rezistenţa electricǎ de 1Ω. Rezolvare:
• •
conductor de cupru omogen: σCu = 56·106[S/m]; secţiune constantǎ: A = 1[mm2];
R
2
ρ dl
1(C)
A
ρl A
l σA
;
l σ A R 56 106 1106 1 56[m]
Problema 2.2
Sǎ se deducǎ forma globalǎ a legii conductiei electrice (legea lui Ohm) pentru o ei laturǎ receptoare cu tensiune contraelectromotoare. Rezolvare:
• laturǎ receptoare: ↑u12 = ↑i ;
• tensiune contraelectromotoare (tcem): ↑ei ≠ ↑i;
1
R
i
2
u12 = uf
u f ei R i
Tema 2.1:
Un conductor de lungine ℓ şi sectiune constanta A are, între capete, rezistenţa electricǎ R. Ce valoare are rezistenţa electricǎ a ansamblului dacǎ firul se îndoaie prin înjumǎtǎţirea lungimii acestuia? Justificaţi rǎspunsul ales.
2.1.2 LEGEA POLARIZAŢIEI TEMPORARE ● material dielectric izotrop: Pt ε 0 χ e E χ e - susceptivitate electricǎ: parametru de material:
- dielectric liniar: χ e constant; - dielectric neliniar: χ e (E).
2.1.3 LEGEA MAGNETIZAŢIEI TEMPORARE ● material magnetic izotrop: M t χ m H χ m-
susceptivitate magneticǎ – parametru de material
- diamagnetice:
χ m 0; M t H; Cu : χ m -10 10-6 ;
-6 - paramagnetice: χ m 0; M t H; Al : χ m 22 10 ;
- feromagnetice şi ferimagnetice: χ m (H).
0
a
b
0
c
Fig. 2.3 Legile de material pentru medii liniare: a) -
temporare; c) -
magnetizaţiei temporare.
0
conducţiei electrice, b) - polarizaţiei
Mt
Fig. 2.4
0
H
H
Clasificarea materialelor
dupǎ susceptivitatea magneticǎ
2.2.1 LEGILE de
LEGATURǍ (CONSTITUTIVE)
a) legea legǎturii în cîmp electric: D ε 0 E P
● pentru materiale fǎrǎ polarizaţie permanentǎ ( P p 0 ): D ε 0 E (Pt P p ) ε 0 E Pt ε 0 E ε 0 χ e E ε 0 (1 χ e )E ε 0 ε r E
ε r 1 χ e - permitivitate relativǎ [-];
ε ε 0 ε r - permitivitate absolutǎ a materialului dielectric ● pentru vid (aer): ε r 1; Dv ε r ε 0 E v ε 0 E v .
[F/m];
Tab.2.2 Caracteristici electrice ale materialelor electroizolante
Materialul dielectric
ρ [Ω.m]
ε r [-]
Estr*[MV/m]
Ulei de transformator
1012 … 1013
2,1 … 2,4
15 … 30
Textolit
108 … 1010
6…8
6 … 16
Policlorurǎ de vinil (PVC)
1010 … 1012
6…8
6 … 15
Polietilenǎ (PE)
1013 … 1015
2,2 … 2,4
35 … 60
Aer (vid)
108 … 1010
1
3,1
a) legea legǎturii în cîmp magnetic: B μ 0 H μ 0 M
● pentru materiale fǎrǎ magnetizaţie permanentǎ ( M p 0): B μ 0 H μ 0 (M p M t ) μ 0 H μ 0 χ m H μ 0 (1 χ m )H μ 0 μ r H.
μ r 1 χ m - permeabilitate magneticǎ relativǎ[-]; μ 0 μ r μ - permeabilitate magneticǎ absolutǎ a materialului [H/m];
● valori:μ r 1 pentru aer, materiale dia- şi para-magnerice; μ r 100 -104 f ( H ) pentru materiale fero-
şi feri -magnetice
Fig. 2.5 Caracteristica de magnetizare a
materialelor feromagnetice
Bs - inducţie magneticǎ de saturaţie; Br – inducţie magneticǎ remanentǎ; -Br
Hc – cîmp magnetic coercitiv; 0-1-2-3:
curbǎ de primǎ magnetizare;
3-4-5-6-7-8-3: ciclu de histerezis magnetic.
relativǎ μr
Inducţie de saturaţie Bs
Cîmp coercitiv Hc
Destinaţie
5.000 ÷ 50.000
1,9 ÷ 2,2 [T]
<100 [A/m]
circuite magnetice
Permeabilitate
Materiale feromagnetice moi
Bs
Br
Fig. 2.6 Bucla de histerezis pentru materialele 0
a
Materiale feromagnetice dure
magnetice moi
0
(a) şi magnetice dure (b).
b
Indice de calitate (BH)max
Inducţie
Destinaţie
remanenta Br
Cîmp coercitiv H c
> 2500 [J/m3]
0,7 ÷ 1,1 [T]
> 400 [A/m]
magneţi permanenţi
2.2.2 LEGILE FLUXURILOR a) Legea fluxului electric Σ D dA q Σ - forma integralǎ (globalǎ);
D dA divD dV
qΣ
VΣ
Σ
VΣ
divD dV
VΣ
VΣ
ρ V dV
ρ V dV; orice Σ divD ρ v -
forma localǎ
b) Legea fluxului magnetic
B dA 0 - forma integralǎ (globalǎ); Σ
orice
Σ
div B 0 - forma localǎ.
Fig. 2.7 Liniile cîmpului magnetic sînt linii închise
Problema 2.3
Sǎ se caracterizeze local cîmpul electric coulombian, produs în vid, de un corp punctiform, încǎrcat cu sarcina electricǎ +q. r 0
P0 (C)
P
dA
Ev
r
q
r +q
dr α
Σ = sfera r
dl
r dl r dl cosα r dr E v (r)
q 4
2
r
E v (r)
q r 4 r
3
V(r)
q 4
r
Problema 2.4.
Calculul capacitǎţii condensatorului electric plan +
Legea fluxului electric → D
+q
Σ
u
d
Legea de legaturǎ în cîmp electric → E _
Definiţia tensiunii electrice → u12 C ε r ε 0
Definiţia capacitǎţii electrice → C Element de circuit electric : condendator caracterizat de
A
-q
A
C
d
• proprietǎţile dielectricului: εr ; • dimensiunile geometrice: d, A . • C[F]
Parametru de circuit electric: capacitate Tema 2.2: --------------
Verificaţi dimensional expresia capacitǎţii condensatorulu plan.
Tema 2.3.
Calculul capacitǎţii condensatorului electric cilindric (cablu electric coaxial).
• armǎturi: 2 cilindri coaxiali de
lungime ℓ si raze a, respectiv b; • dielectric omogen şi liniar, de permitivitate relativǎ εr ; • suprafata închisǎ Σ este cilindricǎ,
Σ
εr
ℓ
de raza r (a< r< b);
• tensiunea dintre armǎturi u12 , 2 π ε r ε 0 l calculatǎ în lungul unei linii de cîmp C electric (neomogen).
r
-q
b ln a
b
+q 1 2
a
εr
Calculaţi valoarea fluxului electric prin suprafaţa unei sfere cu r = 1[cm], dacă în centrul sferei se află sarcina punctiformă q = 10[mC]. Cît devine fluxul dacă sarcina electrică se înlocuieşte cu un mic corp polarizat, cu p =1[Cm] ? Tema 2.4
Ce valoarea are fluxul magnetic, produs de un cîmp magnetic omogen, de inductie B = 10 -2[T], prin suprafa ţ a sferei cu raza r = 1[cm] ? Tema 2.5
Tema 2.6
Se pot separa polii magnetici prin sectionarea unui magnet permanent?
2.2.3 LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE
a)
Baza experimentalǎ e
B(t)
indus
inductor N
inductor
Φ(t)
e
i1(t) N1
v
~
S
V N2
indus
a
inductor = MP în mişcare indus = spira – curba închisǎ
Fig. 2.8
b
bobine fixe
Inducţia electromagneticǎ de mişcare (a) şi de transformare (b).
• inductor = sursa de cîmp magnetic variabil in timp; • indus = traseul închis în care apare t.e.m indusǎ; • mişcare: vitezǎ relativǎ v ≠ o translaţie, rotaţie, deformare; • transformare: B(t), respectiv Φ(t).
“Iata cine a fost parintele Electrotehnicii: cel mai mare experimentator pe care la avut vreodata omenirea” Tyndall • fiul unui potcovar; • a invatat la, o scoala elementara, numai sa citeasca, sa scrie si sa faca socoteli simple; • citea noaptea toate cartile aduse la legatoria unde era ucenic; • in primul sau laborator (din podul unui grajd) sia construit singur aparate simple pentru experiente de chimie si electricitate; • niciodata nu a folosit calcule matematice; • nu a vrut sa patenteze nicio descoperire sau inventie, pentru a putea fi folosite de toata lumea; • nu a acceptat nici o distinctie, voind sa ramina mereu “simplul Michael Faraday ”; • a murit sarac.
b) Forma integralǎ nedezvoltatǎ eΓ - t.e.m. indusǎ pe conturul închis Γ ; dΦ AΓ eΓ Φ AΓ – flux magnetic inductor dt
d
E dl - dt B dA Γ
AΓ
c) Regula lui Lenz
RBD Fig. 2.10 Regula burghiului drept
Efectele inducţiei electromagnetice (eΓ → iΓ → flux indus) se opun cauzei care a produs-o (variaţia în timp a fluxului inductor Φ AΓ). Fig. 2.9
d) Forma integralǎ dezvoltatǎ B v div B rot(B v)]dA B dA [ AΓ AΓ t dt d
Teorema rotorului
div B 0
A
rot(B v) dA
(B v) dl
B ΓE dl - AΓ t dA Γ (v B) dl - forma integralǎ B dA; e t - AΓ t
em
t.e.m. de transformare: B(t)
(v B) dl Γ
t.e.m. de mişcare: v ≠ 0
APLICAŢII Transformatoare electrice
Maşini electrice
e) Forma localǎ (diferenţialǎ)
E dl Γ
B ΓE dl - AΓ t dA Γ (v B) dl : - forma integralǎ Teorema rotorului rotE dl (v B) dl rot(v B) dA
A
AΓ
Γ
rotE dl
A
AΓ
[-
B rot(v B)]dA t
B rot(v B). - forma diferenţialǎ rotE t Cazuri particulare: - medii imobile (v=0): rotE -
B t
- a doua ecuaţia a lui Maxwell;
- cîmp constant (B = const.): rotE rot(v B); E (v B).
MAŞINI ELECTRICE
P electricǎ
• Maşinǎ electricǎ = maşinǎ rotativǎ ce transformǎ puterea electricǎ în putere mecanicǎ sau invers (convertor de energie electricǎ). • Funcţioneazǎ pe baza fenomenului de MOTOR inducţie electromagneticǎ. • Parţi componente: - inductor – partea maşinii care produce P electricǎ fluxul magnetic inductor; - indus – partea maşinii în care se induc
P mecanicǎ Mn
n
tensiuni electromotoare şi curenţi electrici. • Regimurile de functionare ale unei maşini GENERATOR electrice sint: motor, generator şi frînǎ. • Clasificarea (dupǎ felul curentului) maşinilor P electricǎ
P mecanicǎ M
electrice :
• maşini de c.c.; • maşini asincrone; • maşini sincrone.
n
FRÎNĂ
P mecanicǎ M
P electricǎ
MOTOR
M[N·m] – cuplu la arbore Ω[rad/s] – vitezǎ unghiularǎ n[rot/s] – turaţie
• Motorul electric converteşte puterea electricǎ, primitǎ pe la bornele de P mecanicǎ alimentare, în putere mecanicǎ la arbore. In reţele trifazate puterea electricǎ absorbitǎ de motor este Pe = 3U·I·cosφ, iar puterea Mn mecanicǎ debitatǎ Pm = M·Ω = M·2π·n. P electricǎ n
• Generatorul electric transformǎ puterea mecanicǎ (primitǎ pe la arbore) în putere electricǎ (debitatǎ la borne).
GENERATOR
P mecanicǎ M
• În cazul maşinii ideale puterea absorbitǎ este egalǎ cu puterea debitatǎ; în masina realǎ au loc pierderi electrice (în înfǎşurǎri şi în miezul feromagnetic) şi mecanice (prin frecare si ventilaţie). Pierderile în maşinǎsint egale cu diferenţa dintre puterea absorbitǎ (primitǎ, consumatǎ) şi puterea debitatǎ (produsǎ, utilǎ). Raportul dintre puterea debitatǎ şi puterea primitǎ reprezintǎ randamentul maşinii electrice. • Majoritatea maşinilor electrice sint reversibile; aceeaşi maşina poate functiona atît ca motor cît şi ca generator
e; i
Problema 2.5.
Bara conductoare, de lungine ℓ, se deplaseazǎ, pe cadrul conductor e; i dreptunghiular, cu viteza constantǎ v, În cîmp magnetic omogen şi invariabil în Γ timp. Sǎ se calculeze forţa de reacţie a sistemului (forţa care se opune mişcǎrii).
ℓ E V
F
B
Solutie:
e; i
• în barǎ se induce t.e.m. de mişcare e: E (v B). e
l
l
0
0
(v B) dl E dl E dl v B dl v B l Γ
Γ
• e produce un curent i, pe traseul închis Γ: iI
• forţa Laplace: F i( l B) Tema 2.7 Utilizînd
e R Γ
vBl R Γ
F ilB
vB2 l 2 R Γ
expresia matematicǎ a unei legi a electromagnetismului sǎ
f) Curenţi turbionari (Foucault) conductor masiv
j σ E legea conducţei E cîmp electric
în
cîmp magnetic variabil: B(t) inducţie electromagneticǎ
B rotE t
Efectele curenţilor turbionari: - încǎlzirea conductorului masiv; - forţe Laplace, datorate interanţiunii acestor curenţi electrici cu cîmpul magnetic inductor.
Fig. 2.11 a) conductor masiv în cîmp magnetic variabil; b)
corp conductor încǎlzit prin
CĂLIREA PRIN INDUCŢIE
• ÎNCĂLZIREA PRIN INDUCŢIE - încǎlzirea în volum a materialelor materialelor electroconductoare, electroconductoare,
prin curenţi turbionari; • CĂLIREA CĂLIREA - tratament termic prin încǎlzire superficialǎ a pieselor feromagnetice; • PRINCIPIUL CĂLIRII: piesa se introduce în .
cîmpul magnetic al inductorului. inductorului.
P [W/kg] = kT·f 2·B2 adîncime de
pǎtrundere: δ[mm]
0,503 f σ μ r
f = 500Hz ÷ 1MHz
C
Instalaţie Instalaţie de cǎlire cǎlire prin inducţi inducţie: e: a) – pǎrţi c
ente; b) – schema electr electricǎ. icǎ.
TRANSFORMATORUL ELECTRIC miez feromagnetic primar
secundar
1
Fig. 2.13
2
Inducţie proprie şi mutualǎ în primarul, respectiv în secundarul transformatorului
• Flux magnetic total: Φ = Φ A-bobina; • Flux magnetic fascicular: Φf = Φ A-spira
Φ AΓ = Φ = N·Φf ; eΓ -
d(NΦ f ) dt
N
dΦ f
• Tensiune electromotoare de dΦ f (i1 ) ; inducţie proprie (autoinducţie): eΓ1 e1 N1 dt • Tensiune electromotoare de dΦf (i1 ) e e N ; inducţie mutualǎ (inducţie reciprocǎ): Γ2 2 2 dt
dt
.
miez feromagnetic izolatori de trecere conservator de ulei
cuvǎ cu ulei a
sistem de rǎcire forţatǎ
bobine concentrice
Pǎrţile electromagnetice (a) şi anexe (b) transformatorului Fig. 2.13
electric de putere b
Tema 2.8 Cînd t.e.m. de contur e = em + et
a) b) c) d)
B = constant şi v = 0; B = constant şi v0; B = B(t) şi v = 0; B = B(t) şi v 0;
este nenulă:
2.2.4 LEGEA CIRCUITULUI MAGNETIC a) Forma globalǎ (integralǎ) u mm Γ Θ AΓ
H dl
u mmΓ H dl; ΘAΓ Γ
dt
j dA
AΓ
Γ
dΨ AΓ
j dA; Ψ AΓ
AΓ
D dA. AΓ
d
D dA dt AΓ
• pentru corpuri în repaus (v = 0): a b D ΓH dl AΓ j dA AΓ t dA Fig. 2.14 Sensuri de referinţǎ (a) şi solenaţia unei bobine electrice (b).
D t
jD -
densitatea curentului electric de deplasare;
D dA jD dA - intensitatea curentului de deplasare. i D AΓ t AΓ
Teorema lui Ampère – legea circuitului magnetic, pentru medii imobile (v=0), în regim cuasistaţionar ( jD << j):
D ΓH dl AΓ j dA AΓ t dA; ΓH dl AΓ j dA Aplicaţii ale teoremei lui Ampère: calculul cîmpului magnetic Problema 2.6.
Sǎ se calculeze cîmpul magnetic, produs în aer, de un conductor filiform, liniar, în regim electrocinetic (parcurs de curentul electric de intensitate i). H
i
dℓ i
r
μ0 i
; B(r) μ r μ 0 H 2π r 2π r
Γ = linie de cîmp
dℓ H
----------------
H(r)
i
Sǎ se calculeze valoarea inducţiei magnetice în aer, la distanta d =1cm faţǎ de conductorul liniar şi filiform, parcurs de 1[kA]. Tema 2.9
Regim cuasistaţionar = regimul în care densitatea curentului de deplasare se poate neglija, în întreg volumul, cu excepţia dielectricilor condensatoarelor, din acel volum
Problema 2.7.
Sǎ se calculeze intensitatea cîmpului magnetic în interiorul şi în exteriorul: a) unui conductor masiv, parcurs de curentul electric i; b) unei bobine electrice, cu miez feromagnetic toroidal.
Hi He
i r 2 2π a
2
i 2π r
H2 Fig. 2.15 Cîmpului magnetic pentru conductorul masiv (a)
N i 2π r
N I l Fe
şi pentru bobina toroidalǎ ( b)
Tema 2.10
La ce distanţǎ de suprafaţa conductorului masiv, cu secţiunea circularǎ, inducţia magneticǎ are valoarea jumatate din valoarea maximǎ. Se dǎ: r = 5[mm]; I = 10[A]; μr = 1.
Problema 2.8.
Calculul inductivitǎţii unei bobine electrice, cu miez feromagnetic toroidal. H H Fe H 2
N i 2π r
N I
linie de cimp magnetic
l Fe
μ r const. B μ 0 μ r H.
H
B μ H μ r μ 0 H μ r μ 0
Φ f
N I l Fe
;
B dA B dA B A spira
A
• proprietǎţile miezului feromagnetic: μr ; Φ N Φ f N A μ r μ 0 L • numǎrul de spire: N; I I l Fe • dimensiunile geometrice: ℓ, A. 2
b) Forma localǎ (diferenţialǎ)
• pentru corpuri în repaus:
H dl rotH dA Γ
AΓ
H dl
Γ
j dA
AΓ
D AΓ t dA
teorema rotorului
D AΓrotH dA AΓ ( j t ) dA orice Γ→ orice A Γ
D - forma localǎ rotH j t Fig. 2.16 Condensator electric în c.a.
prima ecuaţie a lui Maxwell
(regim cuasistationar).
• regim cuasistaţionar (jD<< j):
rotH j
2.2.5 LEGEA CONSERVĂRII SARCINII ELECTRICE a) Forma integralǎ: i Σ
dq Σ dt
iΣ
j dA; D dA q .
• Σ intersecteazǎ numai izolatori: iΣ = 0 →
Σ
Σ
Σ
dq Σ dt
0; sau qΣ = const.
D • Σ intersecteazǎ izolatori şi conductori: Σ j dA Σ dA t
sau
iΣ = -iDΣ. a
c
b
n
n -
0
-
Fig. 2.17 a) – curent de neutralizare; b) - nod electrostatic;
• regim cuasistaţionar (jD<< j):
j dA 0, Σ
teorema continuitǎţii linilor de curent & nod de circuit
sau iΣ=0;
prima teorema a lui Kirchhoff
b) Forma localǎ (diferenţialǎ)
• în regim cuasistaţionar:
j dA 0 teorema divergentei Σ
VΣ
div j dV 0
orice Σ→ orice V Σ Fig. 2.18 Nod electrocinetic
div j 0
2.2.6 LEGEA EFECTULUI ELECTROCALORIC a) Forma localǎ: p
dP dV
conductor omogen
E j;
[p] = [E]·[j] = V/m ·A/m2 = W/m3. J = i/A
E Ei ρ j
Ei 0
i
p ρ j2 σ E 2
u12
b) Forma integralǎ:
p dV V
P
V
V
R
regim electrocinetic
E j dV;
E j dV
1
Fig. 2.19 Conductor filiform în
i ei
2
1(fir)
E j A dl i 2
u12 = uf
2
1(fir)
E dl u f i
u f ei R i
P = R·i2 – i·ei uf ·i = R·i2 – i·ei
P = uf ·i - putere primitǎ de conductor din exterior, de la cîmpul electric; PR = R·i2 – putere transformatǎ ireversibil în cǎldurǎ;
Problema 2.9
Rezistenţa unui conductor filiform este R = 20[Ω ], iar curentul care îl parcurge i=5[A]. Sǎ se calculeze puterea dezvoltatǎ în conductor, precum şi cantitatea de cǎldurǎ produsǎ în timp de o orǎ (în joule1, kilowatt-orǎ2 şi kilocalorii3). Rezolvare: PR = R·i2 = 20·52 = 500 [W]; energie = putere x timp Wa = PR·t = 500·3600 [W·s] = 18·10 5 [J]; Wa = PR·t = 500·1 [W·h] = 0,5 [kWh]; Wa = PR·t = 0,24·500·3600 [cal] = 432 000 [cal] = 432 [kcal].
________ 1
J = Joule; [J] = [W·s]
2
kW·h = 103W·3600s = 3,6·106J
3
kcal = 103·cal; cal = 0,24·Ws = 0,24J
Concluzii
Ecuaţiile lui Maxwell = forma localǎ, pentru medii imobile (v=0), a legilor:
• fluxului electric:
D rotH j t B rotE t divD ρ v
• fluxului magnetic:
div B 0
• circuitului magnetic: • inducţiei electromagnetice:
= cîmp electromagnetic, “desprins de corpuri”, produs prin interacţiunea dintre cîmpul electric variabil în timp şi cîmpul magnetic variabil în timp, ce se propagǎ cu Unde electromagnetice
viteza: v
1
ε μ
c0
ε r μ r
, unde c 0
1
ε0 μ0
3 108 [m/s].
Undele electromagnetice stau la baza telecomunicaţiilor,
Cap. 3 BAZELE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE
3.1 TOPOLOGIE şi M ĂRIMI
pag. B1*
152
3.1.1 Topologia circuitelor 3.1.2 Clasificarea circuitelor 3.1.3 Mǎrimi sinusoidate 3.1.4 Caracterizarea dipolului electric pasiv 3.1.5 Puteri electrice în regim permanent sinusoidal
3.2 ECUAŢIILE CIRCUITELOR ELECTRICE 3.2.1 Teorema lui Joubert 3.2.2 Teoremele lui Kirchhoff 3.2.3 Teorema conservǎrii puterilor
3.3 ELEMENTE DIPOLARE
152 153 155 159 162
164 164 166 167 170
3.3.1 Elemente active (surse, generatoare) 3.3.2 Rezistoare electrice 3.3.3 Bobine electrice 3.3.4 Condensatoare electrice
170 172 174 177
13 probleme rezolvate + 17 probleme propuse ___________
3.1 TOPOLOGIE şi M ĂRIMI 3.1.1 TOPOLOGIA CIRCUITELOR • latur ǎ – por ţ iune neramificat ǎ de circuit, pe care curentul r ǎmîne constant;
• nod – punct de intersec ţ ie a cel puţ in trei laturi, sau punctul în care se unesc extremitǎţ ile unei laturi închise cu ea îns ǎşi; • ochi (buclǎ, ciclu) – o succesiune de laturi formînd o curbǎ închisǎ; • pentru orice re ţ ea conexǎ (oricare douǎ noduri pot fi unite printr-o curb ǎ care trece numai prin laturi),
numǎrul de ochiuri independente: o = ℓ – n + 1; • faţǎ de un sistem dat de ochiuri, un ochi este
independent dacǎ conţ ine cel puţ in o laturǎ necomunǎ la acel sistem. Fig. 3.1 Reţ ea electricǎ (a) şi schema sa topologicǎ (b)
3.1.2 CLASIFICAREA CIRCUITELOR - liniare; a) natura elementelor de circuit: - neliniare. - staţ ionar (c.c.); b) regimul de funcţ ionare: - cuasistaţ ionar (c.a.); - nestaţ ionar (variabil).
frecvenţ a f = 0
- izolate; - dipol (latur ǎ); c) legǎtura cu exteriorul: - neizolate: - cuadripol; - multipol. ce vom studia ?
regimul permanent sinusoidal al circuitelor liniare de c.a. fenomene stabilizate
mǎrimile de stare varieaz ǎ periodic
d) clasificarea laturilor* de circuit - activǎ: e ≠ o • latur ǎ - pasivǎ: e = 0
• latur ǎ
- receptoare: p = u·i > 0 (primeşte putere pe la borne); - generatoare: p = u·i < 0 (cedeazǎ putere pe la borne);
latur ǎ activǎ receptoare: ↑i ≡ ↑u si ↑i ≡ ↑e; u + e = i·R
i R
e
i
i
p = u·i < 0
u
R
e
p = u·i > 0 u
R
e
a
i
p = u·i > 0 u
R
p = u·i > 0 u
c d b Fig. 3.2 Laturi active (a, b, c); pasivǎ (d); generatoare (a); receptoare (b, c, d) ------------
Latur ǎ de circuit electric = circuit electric (neizolat) dipolar
3.1.3 MĂRIMI SINUSOIDATE N
+e
a) producere
γ
ω = constant; B = constant; α (t) = ω t γ .
• flux magnetic total: Φ = Φ A-bobinǎ: Φ AΓ = Φ = N·Φf ; • t.e.m. de mişcare: e N
dt
B
O
• flux magnetic fascicular Φf = Φ A-spirǎ: f B A BA cos(t )
dΦf
ω
A
N
Fig. 3.3 Producerea t.e.m. sinusoidale,
-e
prin rotirea unei bobine într-un cîmp magnetic exterior
NBAω sin(ω t γ) E msin(ω t γ) N·B·A·ω = const. = Em
b) caracterizare
• perioada: T [s] • frecvenţ a: f = 1/T [s-1] = [Hz]
• pulsaţ ia: ω = 2π/T = 2πf • valoarea medie: I med
1 T
Fig. 3.4 Caracterizarea m ǎrimii
periodice i(t)
t1 T
i(t)dt 0 sau 0
t1
• valoarea medie pǎtraticǎ = valoarea efectivǎ (eficace): I
1
T
t1 T t1
i 2 (t ) dt
0 - valoarea indicatǎ de aparatele de m ǎsur ǎ
i I msin(ω t γ); I
I
Im 2
1
T
i (t) dt T 2
0
1
T
I T 0
2 m
sin
2
(ω t γ) dt
Im 2
0,707 I m 0
i 2 I sin(t )
31 3 1 0
21 2 1 0
• faza: ω t γ[rad]
Fig. 3.5 Faze iniţ iale şi defazaje
• faza iniţ ialǎ: (, ] • defazajul: φ12 = -φ21 = γ1 - γ 2 ( , ]
φ = 0: mǎrimi în fazǎ; φ = π: mǎrimi în opoziţ ie de fazǎ.
Problema 3.1.
Caracterizaţ i sinusoida tensiunii re ţ elei monofazate de j.t. dac ǎ valoarea instantanee are expresia: u(t) = √2·220 sin(100π·t) [V]. ω = 100π = 314 [rad/s]; U = 220[V]; f = ω/2π =50 [Hz]; Um= √2·220 =311[V]. u(t) 2U sin(ω t γ) T = 1/f = 0,02 [s] Tema 3.1
Calculaţ i frecvenţ a şi pulsaţ ia mǎrimii sinusoidale dac ǎ T = 20[ms]. Tema 3.2.
Scrieţ i ecuaţ ia şi reprezentaţ i sinusoida tensiunii u(t), dac ǎ T = 2[ms] şi valoarea maximǎ (de vîrf) Um = 331[V] este atinsǎ la t = 0,2[ms]. Tema 3.3
Demonstraţ i cǎ valoarea medie a m ǎrimilor sinusoidale este nul ǎ. Tema 3.4
Scrieţ i expresia sinusoidei curentului electric, dacǎ ampermetrul indicǎ 2[A] iar frecvenţ metrul 100[Hz]. Alegeţ i faza iniţ ialǎ a curentului sinusoidal egal ǎ cu un sfert de perioad ǎ.
c) reprezentarea în complex (prin fazori) valoare efectivǎ → modul
i
2I sin(t )
fazǎ iniţ ialǎ
j
I Ie
1
I I exp(j )
j
i Im{ 2 e j t I}
→ argument
fazor : segment orientat ataşat numǎrului complex I +j
I
I
I I e jγ
I(cosγ j sinγ )
I γ
0
+1
Re2 {I} Im2 {I}
γ arctg
Im{I} Re{I}
Fig. 3.6 Planul complex (planul Gauss). U
Problema 3.2.
u(t) 4,24 sin(ω t π/3)
4,24 2
j
π
π
π
3
3
e 3 3(cos jsin
U 1,52 2,62 γ arctg
Im{I}
) 3(
1 2
j
3 2
) 1,5 j2,6
3
arctg
2,6
600 1,05[rad] π/3[rad]
d) operaţii cu mărimi sinusoidale reprezentate în complex
• ADUNAREA
γ arctg
I1 sinγ1 I 2 sinγ 2 I1 cosγ1 I 2 cosγ 2
i = i1 + i2: 2I sin(t ) 2I1 sin(t 1 ) 2I2 sin(t 2 ) I I12
I Ie jγ
Icosγ jIsinγ I1cosγ1 I 2 cosγ 2 j(I1sinγ1 I 2sinγ 2 ) I1 I 2
+j
I = I1+I2 I2 I1 γ2 0
I 22 2I1 I 2 cos(γ1 γ 2 )
γ1
γ
+1
I1 cos 1 I2 cos 2 I cos I1 sin 1 I 2 sin 2 I sin Fig. 3.7 Adunarea mǎrimilor sinusoidale
reprezentate în complex
• AMPLIFICAREA CU UN SCALAR λ i λ 2I sin(ω t γ)
λI e jγ
λ I
• DERIVAREA di dt
e j /2
π
2I ω cos(ω t γ) 2 Iω sin(ω t γ ) 2 π π (cos j sin ) 0 j 1 j 2 2
ωI e j(γ π/2) jω I
I
• INTEGRAREA
i dt 2I
e
- j /2
1 j /2
e
1 ω
cos(ω t γ) 2
1
j j
I
π sin(ω t γ ) ω 2
ω
e j(γ π/2)
I jω
- amplificare cu scalarul ω şi rotire cu +π/2 [rad] = +900 derivare = - inmultirea fazorului cu jω λ >1 ω >1
+j
jω·I
+π/2
I γ
0
λ· I Fig. 3.8 Operaţ ii cu mǎrimi sinusoidale reprezentate în complex (operaţ ii cu fazori). +1
-π/2 I / jω
- amplificare cu scalarul 1/ω şi rotire cu -π/2[rad] = -900 integrare= - împǎr ţ irea fazorului cu jω
Avantajul operaţ iilor cu fazori: transformarea ecua ţ iilor integro - diferen ţ iale
(funcţ ie de timp) în ecua ţ ii algebrice (cu numere complexe). L R i(t) u(t) u R (t) u L (t) u C (t); di 1 uR uL u R (t) R i(t); u L (t) L ; u C (t) i dt; u(t) C dt di 1 u(t) R i(t) L i dt Fig. 3.9 Circuit RLC serie dt C
C uC
U R I jω L I j
UR=RI I 0
φ U
ωC
I I [R j(ω L
1 ωC
)]
U I
Z R j(ω L
1 ω C
+j
UL=jωCI
+j
1
+1
împǎr ţi re cu fazorul I = I·e j·γi (împǎr ţ ire cu I şi rotire cu - γi) Fig. 3.10 Diagrama fazorial ǎ Fig. 3.11 Semiplanul impedanţ ei Z
jωL
0
R φ<0 Z
+1
-j/ωC
)
Problema 3.3.
Ce valoare indic ǎ ampermetrul, dac ǎ i1(t) = 3√2 sin(314t+π/3)[A] şi i2(t) = 5,65 sin(100 πt+π/6)[A]. Scrieţ i expresia sinusoidei A curentului ce parcurge ampermetrul.
i
i1
i2
Rezolvare
• indentificînd sinusoidele: I1= 3[A]; γ1 = π/3[rad] şi I2= 5,65/√2 = 4[A]; γ2 = π/6[rad]; • fazorii curenţ ilor: I 3 e 1
j
I2
π 3
j
π
π
3 π
3 π
6
6
3(cos jsin
π
4 e 6 4(cos jsin
) 3(
1 2
) 4(
j 3 2
3 2
j
) 1,5 j2,6[A];
1 2
) 3,46 j2[A];
• prima teorema a lui Kirchhoff: i 1 +i2 – i = 0; → I1 I 2 I 0; I I1 I 2
4,96 j4,6 6,76 e
j0,7 4
• i(t) = 6,76·√2 sin(314t+0,74)[A]. Tema 3.5
j430
6,76 e
[A]
I1 I 2 I;
I 4,96 2 4,62 6,76[A] 4,6 γ arctg 0,74[rad] 430 4,96
Determinaţ i, cu ajutorul fazorilor, valoarea efectiv ǎ, faza iniţ ialǎ a curentului i = i1 – i2 şi scrieţ i expresia valorii instantanee i(t), dac ǎ i1(t)= √2I1sin(ωt+π/3), i2(t)= √2I2sin(ωt+2π/3) şi I1 = 2I2 = 3[A]. Tema 3.6
Deduceţ i forma canonicǎ î n sinus a t.e.m. autoinduse în bobina de inductivitate L=3[mH]
3.1.4 CARACTERIZAREA DIPOLULUI PASIV • Caracterizare = cunoaşterea valoriilor parametrilor electrici echivalen ţ i; • Parametri electrici pot fi determina ţ i experimental, prin încerc ǎri electrice (încercarea de mers în gol şi încercarea la scurtcircuit de probǎ).
i u
p
dipol pasiv Fig. 3.12 Dipol electric pasiv (receptor)
ek=0
- excitaţ ie:
u 2U sin(t u )
parametri dipolului:
?
U U e j
u
4 grupe de cîte 2 parametri reali; 2 parametri complexi.
j i i 2 I sin( t ) I I e ǎ - r spuns: i
a) Impedanţǎ Z şi defazaj φ U
i 2 sin(t u ) U Z Z I 0 , [] φ>0 – dipol cu caracter inductiv; u i , , [rad ] φ=0 – dipol cu caracter rezistiv; 2 2 φ<0 – dipol cu caracter capacitiv.
b) Rezistenţǎ R şi reactanǎ X
R Z cos 0, [] X>0 – dipol cu caracter inductiv; X Z sin 0 sau 0, [] X=0 – dipol cu caracter rezistiv; Z R 2 X 2 X arctg R
X<0 – dipol cu caracter capacitiv.
i 2
U 2
R
X
2
sin(t u
arctg
X
) R
c) Impedanţǎ complexa Z Z
U I
Ue
jγ u
Ie
jγ i
U I
j(γ u γi )
e
Nu este fazor, ci operator complex
Ze
j
I
U Z
Z = Z·e jφ = Z(cosφ +j·sinφ) = R + j X
0 0 0
Fig. 3.13 Planul complex al fazorilor tensiune şi curent (a) şi semiplanele
parametrilor impedan ţǎ (b) şi admitanţǎ (c).
I → i(t)
c) Admitanţǎ Y şi defazaj φ
Y I 1 0, [S] U Z γ u γ i π , π , [rad] 2 2
i 2UY sin(t u
)
d) Conductanţǎ G şi susceptanǎ B
G Y cos 0 , [S] B Y sin 0 sau 0, [S] Y G 2 B2 B arctg G
i 2U G
2
B
2
B sin t u arctg G
c) Admitanţǎ complexǎ Y Y
I U
1 Z
I U Y
1 Z e j
Nu este fazor, ci operator complex
Ye j Y cos jY sin G jB I → i(t)
0 0 0
Fig. 3.14 Planul complex al fazorilor tensiune şi curent (a) şi semiplanele
parametrilor impedan ţǎ (b) şi admitanţǎ (c).
Problema 3.4.
Ce caracter (inductiv, capacitiv sau rezistiv) are dipolul electric caracterizat de impedanţa complexǎ Z = 3 + j4[Ω]. Soluţ ie: Z = R +jX = 3 +j4; → R = 3; X = +4 >0 → caracter inductiv. Problema 3.5.
Curentul sinusoidal, de pulsatie ω = 2πf, frecvenţǎ f = 50[Hz] şi valoare efectivǎ I = 2[mA], parcurge rezistorul de rezistenţǎ R = 1500[Ω]. Sǎ se calculeze: • valoarea instantanee a curentului: i(t)=√2·I·sin(ωt+α) = 2,83·10-3sin(314t+ α)[A]; • valoarea instantanee a tensiunii, la bornele rezistorului: u(t)=R·i =√2·I·R·sin(ωt+α) = 4,24·sin(314t+ α)[V]; U = R·I =1500·2·10-3 = 3[V]. • valoarea efectivǎ a tensiunii: Problema 3.6
Sǎ se calculeze curentul prin bobina de inductivitate L = 5[ μH], alimentatǎ la tensiunea sinusoidalǎ cu valoare efectivǎ de 3[V] şi frecvenţa f = 20[kHz]. • valoarea instantanee a tensiunii : u(t) = √2·U·sin(ωt+α) = √2·3·sin(125,7·103t+α)[V]; • admitanţ a bobinei: YL= 1/ ZL= 1/ ω·L =1/(2πf·L) = 1,59[S]; • valoarea instantanee a curentului: /2)[A]. i(t) =√2·U·Y ·sin( t+ π/2) = √2·4,77·sin(125,7·103t+
Tema 3.7
Calculaţ i impedanţ a complexǎ, impedanţ a şi admitanţ a condensatorului cu capacitatea C = 33[nF], la frecven ţ a f = 100[Hz]. Se d ǎ: X = -1/ωC. Tema 3.8
Ce caracter are dipolul electric caracterizat de admitanţ a Y = 3 + j4[S]. Justificaţ i r ǎspunsul.
3.1.5 PUTERI ELECTRICE în REGIM SINUSOIDAL u 2 U sin(t u ) - excitaţ ia; • Se dau: i 2 I sin(t i ) - r ǎspunsul;
• Se definesc:
i u
p
dipol pasiv
ek=0
Fig. 3.15 Dipol
electric pasiv (dipol receptor)
a) Puterea instantanee p(t):
p(t) u(t) i(t) 2Usin(ω t γ u ) 2Isin(ω t γ i )
UI cos(γ u γi ) UI cos(2ω t γ u γi ) φ 2 S U I Z I b) Puterea aparentǎ S:
Y U 2 0, [VA ]
• amplitudinea puterii instantanee; • putere disponibilǎ.
u(t) i(t) p(t) p(t) i(t)
S=U· I P=U·I·cosφ
0
φ>0
ωt u(t)
S=U· I
Fig. 3.16 Puterea instantanee p(t), activǎ P şi aparentǎ S.
Observaţ ii:
• Dacǎ u(t) şi i(t) au frecven ţ a f , puterea p(t) are frecven ţ a dublǎ: 2f . • Dacǎ φ≠0 existǎ momente în care p(t)<0, adicǎ dipolul, deşi este pasiv, cedeazǎ sursei de alimentare o parte din energia înmagazinatǎ în cîmpul magnetic al bobilelor şi/sau energia î nmagazinatǎ în cîmpul electric al condensatoarelor.
c) Puterea activǎ P: P
1
T
t1 T t1
pdt U I cos
Z I 2 cos R I 2 YU 2 cos GU2 0,
[ W]
• P≥0 → absorbitǎ;
• putere utilǎ. • factor de putere: k p
P S
cos , []; k P [0,1];
- factor de utilizare a puterii disponibile; - caracterizeazǎ eficacitatea sistemului de distribu ţ ie a energiei electrice; - distribuitorul de energie electric ǎ doreste kP cît mai mare, adic ǎ kP →1.
d) Puterea reactivǎ Q Q U I sin S2 P 2
Z I 2 sin X I 2 YU 2 sin BU2 0 sau 0, [VAR ] • dipol inductiv: Q > 0, absoarbe putere reactivǎ;
• dipol rezistiv: Q = 0;
transfer între elementele circuitului
• dipol capacitiv: Q < 0, debiteazǎ putere reactivǎ.
d) Puterea complexǎ S S U I
*
Nu este fazor, ci operator complex
Ue jγ I e jγ U I e j(γ u
i
u
γi )
S e j Scos j Ssin P j Q
Z I I* Z I e jγ I e jγ Z I 2 (R jX)I 2 U Y* U* Y* U e jγ U e jγ Y* U 2 (G jB)U 2
S UI
*
i
u
i
u
>0 0 Fig. 3.17 Semiplanul
puterii complexe S.
Problema 3.7.
Un motor asincron monofazat este alimentat la tensiunea de 220[V], frecvenţ a 50[Hz]. Motorul este receptor inductiv, care poate fi reprezentat prin impedanţ a complexǎ Z = R + jX = 42 + j26[Ω]. Calculaţ i puterile electrice absorbite de motor. Rezolvare Z R 2 X 2 422 262 49,4 [Ω ]; I
U Z
220 49,6
P R I 2
4,45[A];
42 4,452 833[W];
Q X I2
S U I 220 4,45 980[VA]; k P
26 4,452 516[var];
cos
P S
833 980
0,85.
Tema 3.9
Problema precedentǎ rezolvatǎ în complex. Calculaţ i şi inductivitatea motorului. Tema 3.10
Rezistorul cu R = 3[ Ω] disipǎ P = 675[W]. Care este valoarea maxim ǎ a curentului şi valoarea efectivǎ a tensiunii la bornele rezistorului? Tema 3.11
Ce caracter (rezistiv, inductiv sau capacitiv) are dipolul care absoarbe atît
Problema 3.8.
O bobinǎ realǎ cu rezistenţ a R = 6[Ω] şi inductivitatea L = 15[mH] este alimentatǎ cu tensiunea u(t) = √2·24·sin(314t)[V]. Calculaţ i parametrii electrici ai bobinei şi puterile electrice absorbite de aceasta. Rezolvare: • Valoarea efectivǎ, pulsaţ ia, frecvenţ a şi faza iniţ ialǎ a tensiunii sînt: U = 24[V]; ω = 100π = 314[rad/s]; f = ω/2π = 50[Hz]; γu = 0. • Reactanţa: X=ωL= 100π·15·10-3 = 4,71[Ω], permite calculul impedanţ ei şi defajazului: Z = (R2+X2)1/2 = 7,63[Ω]; φ = arctgX/R = arctg4,71/6 = 0,66[rad] = 380. • Valoarea efectivǎ, faza iniţ ialǎ şi expresia curentului absorbit: I = U/Z = 24/7,63 = 3,13[A]; γi= γu- φ = -0,66[rad]; i(t) = √2·3,14·sin(314t-0,66)[A]. • Puterile activǎ şi reactivǎ consumate de bobinǎ: P = R·I2 = U·Icosφ = 59,3[W]; Q = X·I2 = U·Isinφ = 46,6[var]. • Utilizînd simbolurile complexe ale mǎrimilor şi parametrilor: U = U·e jγu = 24[V]; I = I·e jγi = 3,14·e-j0,66 = 2,47-j1,94[A]; Z = Ze jφ = R+jX = 6+j4,71[ Ω]; S = Z·I2 = U·I* = 24(2,47+j1,94) = 59,3 + j46,6[VA].
Tema 3.12
Calculaţ i impedanţ a şi admitanţ a unui condensator de capacitate C =47[nF], la frecvenţ a f = 100[kHz]. Repetaţ i calculele pentru bobina cu inductivitatea L = 3,3[μH]. Calculaţi valorile maxime ale tensiunii la bornele acestor elemente ideale de circuit parcurse de curentul sinusoidal de frecvenţa f şi valoare efectivǎ I = 5[mA]. Tema 3.13
La ce tensiune se poate alimenta un rezistor cu caracteristicile: P = 1[W] şi R =10[k]? Tema 3.14
Un motor de c.a. monofazat, alimentat la tensiunea U = 220 [V], absoarbe puterea activǎ P = 2 [kW], la cosφ = 0,8. Sǎ se calculeze parametri dipolului receptor constituit de motor, puterea reactivǎ şi puterea aparentǎ.
3.2.1 FORMA COMPLEXĂ a LEGII lui OHM Teorema lui Joubert legea conducţ iei electrice, în regim cuasistaţ ionar, pentru o latur ǎ de circuit electric. (k+1)
(k)
(
( )
+Uk ↔ ↑uk ≡ ↑ ik; ) +Ek ↔ ↑ek ≡ ↑ ik; E k U k I k Zk
Fig. 3.18 Latur ǎ
E dl e Γ
k
(L k
di k dt
e k u k R k i k L k
);
E dl u
di k dt
Γ
1
t
C k
i 0
k
R
activǎ şi receptoare.
u C u k R k i k
1 C k
t
i 0
k
dt u k
dt
corespondenţ a operatiilor E k U k R k I k jω Lk I k
I k j
C
I k [R k j(ω L k
1 ωC
)] I k Z k
3.2.2 TEOREMELE lui KIRCHHOFF a) prima teoremǎ – nodul (n) i k 0; k (n)
I
k
0;
i1 i 2 i k i n 0
n
n
I1 I 2 I k I n 0
+Ik ↔ ik iese din nod
+I1 - I2 + Ik – In = 0
k (n)
Fig. 3.19 Nod electrocinetic
b) a doua teoremǎ – ochiul (o) u k Vk Vk 1;
u
k
0
k (o)
U
k
0
k (o)
E k U k I k Zk
E Z I k
k(o)
k k
k (o)
+Uk ↔ ↑uk ≡ ↑o; +Ek ↔ ↑ek ≡ ↑o; +Ik ↔ ↑ik ≡ ↑o;
o
APLICAŢIE
U
k
0
k (o)
U BA
U
k
0
k (o)
U AB
U BA
E k U k I k Zk
(Z I
k k
E k )
k (o)
k
Fig. 3.21 Calculul tensiunii între douǎ noduri
Problema 3.9
Aplicati teorema lui Joubert laturii active formate din impedan ţ a Z = R + jX, înseriatǎ cu o sursa de tensiune contraelectromotoare (t.c.e.m.). Soluţ ie 1
Z=R+jX
E
I
2
U12
Uk = +U12 ↔ ↑u12 ≡ ↑ i; Ek = - E ↔ ↑e ≠ ↑ i; E k U k I k Zk
U12 – E = I(R + jX)
3.2.3 TEOREMA CONSERVĂRII PUTERILOR (reţ ea izolatǎ: ℓ -laturi; o -ochiuri independente)
I
j
0;
j( k)
I
* j
0;
V k
I
* j
0;
V k
k 1
j( k)
j( k)
n
* j
I
0;
j( k)
l
U
k
I 0; * k
k 1
k 1
k
Zk R k jXk ; Vk
( )
Fig. 3.22 Latur ǎ
k 1 l
k 1
l
Vk+1 (
)
activǎ şi receptoare
k 1
* k k
E I
*
P 0 - se conservǎ atît puterile active cît şi cele reactive Q 0 k
Sk 0; Sk Pk jQ k
(V k V k 1 )I k 0.
k 1
l
l
l
l
Z k I 2k k 1
3.3. ELEMENTE de CIRCUIT DIPOLARE element
activ (e ≠ 0) pasiv (e = 0)
rezistor; bobinǎ; condensator.
3.3.1. ELEMENTE ACTIVE (SURSE, GENERATOARE) 3.3.2. REZISTOARE ELECTRICE 3.3.3. BOBINE ELECTRICE
3.3.4. CONDENSATOARE ELECTRICE
3.3.1. ELEMENTE ACTIVE (SURSE, GENERATOARE) e
u u = constant
i e
u
i
a 0
b
u = e - i·Rg i
Rg e
u i i = constant i sc ^ ^ i 0 isc
i = isc - u·Gg
u
i
e isc
u
i 0
c
u
^ ^
isc= e/Rg = e·Gg
Gg
u
Fig. 3.23 Generator
ideal de tensiune ( a), ideal de curent ( b) şi generator real (c).
I
Zg
• î n c.a. sinusoidal: - generatorul real are caracter inductiv; - este caracterizat de t.e.m. sinusoidalǎ E = Ee jγ şi de impedanţ a complexǎ Zg = 1/Yg
U
E E
U I Z
3.3.2. REZISTOARE ELECTRICE a) rezistor liniar: R = const. ≠ f(u,i) u R i
U R I
X 0
U
Z R
I
R
Impedanţ a este independent ǎ de f
Z R R;
arctg
X R
0 γu= 0
u(t) i(t)
u
i p = u·i
I
R u
i 0
a Fig. 3.24 Rezistor liniar în c.a.
S P jQ Z I
u
+j
2
φ=0
+1
U c
b
R I Y 2
*
U
2
U2 R
ωt
0
i φ=0
P = R·I2 = U2/R; Q = 0.
b) rezistor neliniar: R ≠ const. = f(u,i) u
i
t0
+
U i
0
-
u
0
termistor a
i
0
-
varistor b
c
Fig. 3.25 Caracteristica volt-amper a rezistoarelor neliniare:
a) termistor; b) varistor; c) diodǎ semiconductoare.
u
diodǎ + semiconductoare
Utilizare: • producerea localǎ unei cǎderi de tensiune; • transformarea energiei electrice în energie termic ǎ (cǎldur ǎ). Tehnologie: • rezistoare chimice; • rezistoare bobinate; • rezistoare cu peliculǎ. Mǎrimi caracteristice: • puterea disipatǎ; • rezistenţ a; • toleranţ a.
culoare a
banda 1
banda 2
banda 3
banda 4
banda 5
Negru
0
0
0
x1
Maro
1
1
1
x 10
1%
Rosu
2
2
2
x 100
2%
Portoca liu
3
3
3
x 1,000
Galben
4
4
4
x 10,000
Verde
5
5
5
x 100,000
0.50%
Albastr u
6
6
6
x 106
0.25%
Violet
7
7
7
x 107
0.10%
Gri
8
8
8
x 108
0.05%
Alb
9
9
9
x 109
Categorii de rezistoare: Auriu x 0.1 5% Argintiu x 0.01 10% • fixe; • variabile; Fig. 3.26 Codul de culori pentru marcarea • neliniare rezistoarelor electronice
3.3.3. BOBINE ELECTRICE a) bobina idealǎ (fǎrǎ pierderi): L = const. ≠ f(Φ,i); R = 0. R = 0; X = +ωL; φ = +π/2; ZL= ωL
• inductivitate = inductanţǎ: L = Φ/i; [H = Wb/A] u e Ri R 0 di e L dt
u
L
di dt
U jL I Z L
• impedanţ a bobinei variaza liniar cu frecventa f; • la f = 0 (c.c.) impedanţ a este nulǎ (scurtcircuit).
p = u·i
+j
Φ
i
L
i
u a
0
U I
jω L
u(t) i(t)
γu= 0 u
U +1
φ = +π/2 I
c
b
i
0
φ=+π/2
ωt
2π
Fig. 3.27 Bobina electricǎ idealǎ în c.a. sinusoidal
S P jQ Z I 2
jL I 2 Y*U 2 j
U2
P = 0; Q = ωL·I2 > 0; absorbita
Bobine f ǎrǎ miez ( cu aer: μr = 1): • inductivitate perfect liniar ǎ; • frecvenţǎ mare, care ar cauza pierderi exagerate în miez feromagnetic. Bobine cu miez feromagnetic (închis, sau cu întrefier): • tolǎ silicioasǎ de oţ el electrotehnic: μr = 103 ÷ 105; • întrefierul liniarizeazǎ caracteristica de magnerizare; • utilizate la frecvenţe industriale (sute Hz): p1,0/50=1[W/kg].
B = 1[T]; f = 50[Hz].
Bobine cu miez ferimagnetic: • ferite = materiale semiconductoare sinterizate: MeO Fe2O3; utilizate la frecven e mari i foa mari (kHz GHz).
b) bobina cu pierderi (realǎ): L ≠ const. = f(Φ,i); R ≠ 0. - în rezistenţ a proprie pR; P = UIcosφ = pR+pH+pT • pierderi: - prin histerezis magnetic pH; pR = pCU : pierderi în înfǎşurare - prin curenţ i turbionari pT pH + pT = pFe: pierderi în miez Zs= Rs+ jωLs
• scheme echivalente:
U =UR+UL= Rs·I+jωLs·I φ = π/2 - α; α = unghi de pierderi.
• metoda celor 3 aparate: P[W]; U[V]; I[A] P = UI·cosφ = UI·sinα a
b Fig. 3.28 Schemele echivalente serie (a) şi paralel (b) ale bobinei reale şi diagramele fazoriale.
R S
P I
2
2
;
LS
U I
2
2
-P
f I
2
2
.
Problema 3.10.
Calculul parametrilor unei bobine reale, prin metoda celor 3 aparate. Se dau valorile mǎsurate: I = 1[A]; U = 100[V]; P = 10[W]; f = 50[Hz]. Soluţ ie: alegem schema echivalenta serie: Z = Rs+ jωLs Rs =
P/I2
= 10[Ω]; Ls
=√U2I2 -
P2
/(2πf·I2)
= 0,316[H];
X = 2πf·L = 99,5[Ω]; kP = cosφ = P/UI = 0,1
I P1
U
P2 V
P3 A
W
Z
Problema 3.11.
O bobinǎ cu miez de fier are rezistenţ a ohmicǎ (în c.c.) R = 6,4[Ω]. Alimentatǎ cu tensiunea sinusoidal ǎ cu valoarea efectiv ǎ U = 220[V] şi frecvenţ a f =50[Hz], bobina absoarbe puterea activ ǎ P = 400[W], la un curent I = 4[A]. Se cer: a) parametri schemei echivalente serie; b) factorul de putere şi puterea reactiv ǎ absorbitǎ; c) pierderile de putere în înf ǎşurarea bobinei şi pierderile în miez. Rezolvare: a) Rs = P/I2 = 400/42 = 25[Ω]; Ls =√U2I2 - P2 /(2πf·I2) = 0,138[H]; De precizat cǎ rezistenţ a echivalentǎ Rs înglobeazǎ atît rezistenţa ohmicǎ cît şi rezistenţa datoratǎ pierderilor în miezul feromagnetic (Rs = R + RFe; 25[Ω] = 6,4[Ω] + RFe).
b) kP = cosφ = P/(UI) = 400/(220·4) = 0,45; Q = √S2-P2 = √ U2I2-P2 = 693[var]. c) - pierderile în înf ǎşur ǎri = pierderi în rezistenţ a ohmicǎ; pCu = R·I2 = 6,4·42 = 102,4[W]; - pierderile în miez: pFe = P - pCu = RFe·I2 = (400 – 102,4) = (18,6·42) = 197,6[W]. Tema 3.14
Care din valorile impedan ţ elor de mai jos, caracterizeaz ǎ o bobinǎ realǎ şi care o bobin ǎ idealǎ: Z=1+j2[Ω], Z= 1- j2[Ω], Z= 1[Ω], Z= +j2[Ω], Z= - j2[Ω]. Justificaţ i alegerea f ǎcutǎ.
3.3.4. CONDENSATOARE ELECTRICE
a) condensatorul liniar (fǎrǎ pierderi): C = const. ≠ f( q,u). • capacitate: C = q/u; [F = C/V] i
dq
dt q Cu C const.
i
dq dt
C ZC
du
dt
U I
I jCU
1 jω C
j
1 ωC
R 0 ; X ZC
1
C
;
1 ωC
• impedanţ a condensatorului variaz ǎ invers propor ţi onal cu frecvenţ a; • la f=0 (c.c.) impedanţ a condensatorului este infinit ǎ ( întrerupere de circuit).
S P jQ Z I 2
j
I2
C
P = 0; Y U 2 jCU2 Q = -ωC·U2 < 0; debitata *
q
i
I
p = u·i u
u
C 0
φ = -π/2
a b Fig. 3.29 Condensator liniar (f ǎrǎ pierderi)
γu=0
u(t) i(t)
+j
+1 U c
i
u
0
φ =-π/2
ωt
2
Clasificarea condensatoarelor dupǎ: • geometria arm ǎturilor: rulate, plane, tubulare, plachete; • tipul dielectricului: aer, hîrtie, ceramic ǎ, micǎ, oxid metalic (Al 2O3; Ta2O5); • domeniu de utilizare: electronic ǎ, electrotehnic ǎ, înaltǎ tensiune. Familii de condensatoare: • fixe neelectrolitice: hîrtie împregnat ǎ, micǎ, film termoplastic (poliester, policarbonat, polipropilen ǎ, poliester), sticl ǎ, ceramicǎ, ulei, gaz; • fixe electrolitice: oxid metalic, polarizate / nepolarizate; • variabile / ajustabile (trimer): aer, ceramic ǎ, film plastic; • neliniare: diode varicap - folosite în automatiz ǎri.
b) condensatorul real (cu pierderi): P ≠ 0; φ ≠ -π /2 - imperfecţ iunilor dielectricului; • pierderi datorate: - polarizǎrii ciclice a dielectricului Yp = 1/Rp +jωC
• scheme echivalente:
I = IR+IC = U/RP+jωCP·U
φ = -π/2 + δ; δ = unghi de pierderi. • metoda celor 3 aparate: P[W]; U[V]; I[A] R P Fig. 3.30 Scheme echivalente serie (a) şi paralel (b)
U2 P
; CP
U2I2 - P2 2π f U
2
.
ale condensatorului real şi diagramele fazoriale .
P UI cos U
IC
sinδ 2π f U 2 C tgδ aplicaţ ii încǎlzirea dielectricǎ
Încǎlzirea dielectricǎ P 2π f U 2 C tgδ ε 0 ε r A C d U Ed
p
P V
E 2 2π ε r ε 0 f tgδ [W/m 3 ]
- uscarea în volum a materialelor izolatoare (lemn, piese abrazive etc.); Utilizǎri: - lipirea maselor plastice ; - cuptorul cu microunde.
Fig. 3.31 Pierderi în dielectricul condensatorul (a). Instala ţ ia de încǎlzire dielectricǎ (b).
Problema 3.12.
Care din valorile admitanţ elor de mai jos, caracterizeazǎ un condensator real şi care un condensator ideal: Y = 1 + j2 [S], Y =1 - j2[S], Y = 1[S], Y = +j2[S], Y = - j2[S]. Justificaţ i r ǎspunsul ales. Problema 3.13
În vederea determin ǎrii experimentale a parametrilor unui condensator, acesta se alimenteaz ǎ cu tensiunea U = 50[V] de frecven ţǎ f = 50[Hz], absorbind curentul I = 0,28[A] şi puterea activ ǎ P = 850[mW]. Sǎ se calculeze unghiul de pierderi în dielectricul condensatorului şi parametrii schemei echivalente paralel. Rezolvare: cosφ = sinδ = P/(U·I) = 0,85/(50·0,28) = 0,061; → δ = arcsin0,061 = 3030’= 0,06[rad]. RP = U2/P = 502/0,85 = 2941[Ω] = 2,941[kΩ]; CP = (U2I2-P2)1/2/(2πfU2) = 17,8·10-6[F] = 17,8[μF].
Caracterizarea elementelor ideale de circuit Rezistor
Bobinǎ
Condensator
u = R·i UR= R·I
u = L·di/dt UL= jωL·I
u =1/C·∫i·dt UC= I / jωC
YR= 1/ R φR = 0
ZL= jωL YL= -j / ωL φL = +π/2
ZC= -j / ωC YC= jωC φR = – π/2
Puterea complexǎ S = P + jQ
ZR= R YR= 1/ R RR= R XR= 0 GR= 1/ R BR= 0 SR= R·I2 + j0
Z L = ωL YL= 1 / ωL RL= 0 (serie) XL= +ωL GL= 0 (paralel) BL= -1 / ωL SL= 0 + jωLI2
Factorul de putere k = cosφ
cosφ = 1
cosφ = 0
ZC= ωL YC= ωC RC= 0 (serie) XC= -1/ωC GC= 0 (paralel) BC= +ωC SC= 0 – jωCU2 cosφ = 0
Element de circuit Ecuaţ ia tensiunii funcţ ie de timp Ecuaţ ia tensiunii în complex
Impedanţ a complexǎ Z = R + jX ZR= R Admitanţ a complexǎ Y = G - jB Defazajul φ Impedanţ a Z Admitanţ a Y Rezistenţ a R Reactanţ a X Conductanţ a G Susceptanţ a B
Tema 3.15
Reprezentaţ i variaţ ia ia rezistenţ ei ei electrice cu frecven ţ a, a, pentru elementele de circuit ideale: rezistor rezistor,, bobin ǎ şi condensator. Tema 3.16
Explicaţ i comportarea bobinei şi condensatorului în c.a., dacǎ frecvenţ a f →∞. →∞. Tema 3.17
Un condensator plan are caracteristicile: suprafa ţ a armǎturilor A = 1[m2], distanţ a dintre armǎturi d = 5[mm], permitivitatea relativ ǎ a dielectricului r = 2,5 şi tangenta unghiului de pierderi în dielectric tg = 10-3. Care sînt capacitatea condensatorului şi pierderile în dielectric, dacă este alimentat cu tensiunea U = 1[kV] şi frecvenţ a f = 1[kHz]?
Cap. 4
CIRCUITE ELECTRICE LINIARE ÎN REGIM PERMANENT
4.1 CIRCUITE MONOFAZA MONOFAZATE TE
pag. B1*
4.1.1 Metode de rezolvare
185
4.1.2 Metode de transfigurare
188
4.1.3 Rezonanţa electricǎ 4.1.4 Imbunǎtǎţirea factorului de putere
213
4.1.5 Circuite electrice simple
216
219
4.2 CIRCUITE TRIFAZATE TRIFAZATE 4.2.1 Sisteme trifazate
201
4.2.2 Conexiunile circuitelor trifazate
203
4.2.3 Rezolvarea sistemelor trifazate conectate în stea
205
4.2.4 Rezolvarea sistemelor trifazate conectate în triunghi
206
4.2.5 Puteri electrice în reţele trifazate
207
4.2.6 Metoda componentelor simetrice
----
11 probleme rezolvate + 13 probleme propuse ___________
4.1. CIRCUITE MONOFAZATE 4.1.1. METODE de REZOLVARE Metoda teoremelor lui Kirchhoff • Etape: 1. Analiza topologicǎ: ℓ = 6; n = 4; o = ℓ-n+1= 3; 2. Alegerea Alegerea arbitrarǎ a sensului curentilor ik, k = 1…ℓ; 3. Calculul fazorilor t.e.m. din laturile active: Ek = Ek·e jγ, k = 1…ℓ; 4. Calculul impedantelor complexe ale laturilor: Zk= Rk+jXk , k = 1…ℓ; 5. Aplicarea Aplicarea teoremei întîi a lui Kirchhoff pentru n-1 noduri;
I
Fig.4.1 Circuit electric izolat
0;
k
k (n)
6. Aplicarea Aplicarea teoremei a doua a lui Kirchhoff pentru o ochiuri;
E Z I k
k k
k(o)
k (o )
7. Rezolvarea modelului matematic (sistem neomogen (ℓ x ℓ) compatibil determinat) determinat) pentru determinarea curentilor I k, k = 1…ℓ;
8. Verificarea soluţiei, aplicînd teorema conservǎrii puterilor: l
E
* k k
I
l
Z k I k 2
• Aplicaţia 1 T1K (1) : 5
T1K (2) : T1K (3) : T2K (o1 ) :
6
T2K (o 2 ) : T2K (o 3 ) :
8
I1 I 2 I 5
0; - I 2 I 3 I 4 0; - I1 I 3 I 6 0; Z1 I1 Z3 I 3 Z 2 I 2 E1 ; Z2 I 2 Z4 I5 E 2 ; Z3 I 3 E 2 - E 3 ;
Z1·I12 + Z2·I22 + Z3·I32 + Z4·I52 = E1·I1* + E2·I4* + E3·I6*
Alte metode – au la bazǎ teoremele lui Kirchhoff, aplicate unor circuite simplificate: Metoda curenţilor ciclici (de buclǎ): Icj, j = 1…(ℓ – n +1);
I k
I
j
j(k)
Metoda potenţialelor la noduri: V j , j = 1…(n -1), Vn=0; I k (V k V k 1 E k )Y k Metoda superpoziţiei: suma curenţilor injectaţi, în retea, de fiecare sursǎ; Metoda generatoarelor echivalente:
• de tensiune (Thevenin) → valoarea tensiunii între 2 noduri; de curent (Norton)
valoarea curentului dintr- o laturǎ
4.1.2. METODE de TRANSFIGURARE a)
transfigurarea serie: I const. I k ;
U
n
U ;
E k U k I k Zk ;
k
k 1
U
n
(I k 1
U
k
n
n
k 1
k 1
Z k E k ) I Z k E k . s
I Zs E s n
n
Zs
• Aplicaţia 2
Z k
Es
k 1
k 1
U I( Z1 Z2 ) U2
I Z2
E k
U2
Z2 Z1 Z 2
Problema 4.1.
Fig. 4.3 Divizorul
Rǎspuns:
s
Fig.4.2 Transfigurarea laturilor active conectate în serie
U
U2 = f(U)
Calculul capacitǎţii echivalente a condensatoarelor conectate în serie. n 1 1 1 1 1
b) transfigurarea paralel: U const. Uk ; E k U k I k Z k I k
I
1 Zk
( U k E k ) Y k ( U k E k ); I
n
Y (U k
k
n
n
k
k 1
k 1
E k ) U Y k Y k E k
n
n
Y p Y k k 1
• Aplicaţia 3
p
p
n
I Y p ( U E p )
Z p
I k 1
k 1
1
n
k 1
1
E p
Z k
Y
k
E k
Fig. 4.4 Transfigurarea laturilor active conectate în paralel
k 1 n
Y
k
k 1
U I1 Z1 I 2 Z2 I I1 I 2
I1
Z2 Z1 Z 2
Problema 4.2. Calculul
Divizorul de curent
Rǎspuns:
I
I1 = f(I)
rezistenţei echivalente a
rezistoarelor conectate în paralel. n 1 1 1 1 1
Problema 4.3.
Circuitul format dintr-un rezistor înseriat cu un condensator ideal are factorul de putere cosφs=0,8. Calculaţi factorul de putere al dipolului format prin conectarea în paralel ale aceloraşi componente, la aceeaşi frecvenţa a tensiunii de alimentare. Care este raportul puterilor active absorbite de cei doi dipoli?
Soluţie
I R U1=R·I
U1
U
φS
C
U2
U
γ i 0 I U2
R +1
j
1 ωC
I
cos P
R
φP I1
U R
1
1 2
R
ωRC
1 (ω RC) 2
0,8; (ωRC) 2
0,64 0,36
ω2C 2
ω 2 R 2
1 1 (ω RC)
1
2
1
0,64
0,6
0,36
U PS
I2=jωC·U PP
R I 2 R I12
R 2 1/(ω C) 2 U2 2
R
+1
C
1/R
0
I
I2
2
γu
I1
R
a
I
U
cos S
U
b
R 2
R 2
1 2
ω C
1
2
1
1 (ω RC) 2
0,64
Problema 4.4.
Calculaţi impedanţa, rezistenţa şi reactanţa dipolului din figura de mai jos, dacǎ frecvenţa are valoarea f = 50 Hz. R1=10[Ω]
L1=16[mH]
R2=33[Ω] L2=42[mH]
C1=353[μF]
Soluţie
Z1 = ZR1+ZL1= R1+jωL1 = 10+j·2π·50·16·10-3 = 10+j5[Ω]; Z2= ZC= -j/ωC1 = -j/(2π
·50·353·10-6)
Z1
= -j9[Ω];
Z3 = ZR2+ZL2= R2+jωL2 = 33+j·2π·50·42·10-3 = 33+j13,2[Ω]; Z12 = Z1·Z2 /(Z1+Z2) =-j9(10+j5)/(-j9+10+j5)=(45-j90)/(10-j4)= = (10+j4)(45-j90)/(10 2+42) = (810-j720)/116 = 7 – j6,2[Ω];
Z3
Z2 Z12
Z3
Z = Z12+Z3 = 17 + j7[Ω]; R = 17[Ω]; X = +7[Ω]. Z Tema 4.1
a) Ce caracter are dipolul din problema 4.4? Justificaţi rǎspunsul. b) Calculaţi valoarea factorului de putere şi valoarea inductivitǎţii echivalente a
Problema 4.5
Sǎ se rezolve circuitul din figura a) şi sǎ se verifice soluţia. Se dǎ: R 1=20[Ω], R2= 30[Ω], L = 45[mH], C = 60[ μF], E = 220[V], f = 50[Hz], γ = π/6[rad]. L
i
R1
i1
C
R2
i2
e
a ZL
I
Z1 U2
E
b
I1
U1
I2
Z2
Rezolvare: ω = 2πf = 100π = 314[rad/s]; E=Eejγ = 220·e j π/6 = 220(√3/2+j/2) = 190,5+j110[V]; ZL= jωL = j·314·45·10-3 = j14,14 = 14,14·e jπ/2[Ω]; Z1 = R1-j/ωC = 20-j/(100π·60·10-6) = 20 - j53,05 = 56,7·e-j0,36[Ω]; Z2 = R2 = 30[Ω]. -I +I1 +I2 = 0 Z1·I1 – Z2·I2 = 0 ZL·I + Z2·I2 = E
-I + I1 + I2 = 0 (20 - j53,05)·I1 – 30·I2 = 0 j14,14·I +30·I2 = 190,5+j110
Z=ZL+Z1Z2/(Z1+Z2) = j14,14+30(20-j53,05)/(20-j53,05+30) = 21,53 +j5,16 = 22,2·e j0,23[Ω]. I = E/Z= 220·e jπ/6 / 22,2·e j0,23 = 9,93·e j0,29 = 9,53+j2,78[A]. U1 = I·ZL = 9,93·e j0,2914,14e j1,57 = 140,47·e j1,86 = - 40 + j134,6[V]; U2 = E - U1 = 190,5+j110 –(-40+j134,6) = 230,5 – j24,6 = 231,8·ej0,1[V]; I1 = U2/Z1= 231,8·e j0,1/56,7·e-j0,36= 4,08·e j0,46[A]; I2 = U2 /Z2= 231,8·e j0,1 /30 = 7,73e j0,1[A];
SG=E·I* = 220·e jπ/6 ·9,93·e-j0,29 = 2184,6·e j0,23 = 2127 +j 498[VA]; P = R1·I12 +R2·I22 = 20·4,082 + 30·7,732 = 2126[W]; Q = X ·I2 +X ·I 2 =14,14·9,932 +(-53,05)·4,082 = 1394 883 = 511[VAR].
Sǎ se calculeze impedanţa complexǎ, rezistenţa şi reactanţa conexiunii serie, respectiv paralel a impedanţelor : Z1 = 1 – j2[Ω] şi Z2 = 3 + j 3 [Ω]. Tema 4.3. Cum conectaţi douǎ rezistoare astfel încît dipolul format sǎ aibǎ resistenţa mai micǎ decît oricare din valorile celor douǎ rezistoare? Calculaţi rezistenţa dipolului astfel obţinut, dacǎ R1=10[Ω] s i R2 =15[Ω]. Tema 4.2.
Tema 4.4. Rezistoarele cu R1
R2. Tema 4.5. Condensatorul ideal de capacitate C = 30[μF] este conectat în paralel cu un dipol format prin legarea în serie a bobinei de inductivitate L= 83[mH] şi a rezistorului cu rezisten ţ a R = 42[Ω]. Reprezentaţ i schema circuitului şi calculaţ i impedanţ a echivalentǎ şi factorul de putere, dacǎ f = 100[Hz]. Tema 4.6. Un divizor de tensiune este format prin înserierea a dou ǎ impedanţ e Z1 si Z2, fiecare formatǎ dintr-un rezistor ideal în paralel cu un
condensator ideal. Reprezentaţ i schema electricǎ a divizorului şi determinaţ i condiţ ia în care raportul tensiunilor la bornele celor dou ǎ impedanţ e U2 / U este egal cu 1/10, indiferent de valoarea frecvenţ e i tensiunii de alimentare. Tema 4.7. Rezistorul cu rezistenţa de 200[] şi condensatorul cu capacitatea de 1,06[mF] sunt legate în serie şi alimentate la reteaua monofazatǎ: 220[V] / 50[Hz]. Sǎ se calculeze: impedanţa echivalentǎ Zs, valoarea efectivǎ a curentului şi valoarea puterii complexe S absorbite de dipol.
Schema electricǎ
R
C
L
L
R
C
R jω L
1 jω C
j(ω L
C
R
1
R jω L
L
R
R
Impedanţa Z = R + jX Admitanţa Y = G - jB
R j
1 ωC
R j(ω L
) j
ωC
R C
1 ω 2 R 2 C 2
ωC
C
j
ωC ω 2 LC - 1
R j(ω L 1/ω C)
)
R 2
1
ω 2 L2 R jω CR 2 1 ω2 R 2 C 2
R 1
j
R
ωL
(ω L 1/ω C) 2
j
1 ωL
jω C
j(ω C
1 ω 2 LC
R L
R jR 2 (ω C 1/ω L)
1
C
1 R (ω C 1/ω L)
R
2
ω2 L2
ωC
R ω 2 L2 jω L R 2
L
R 2
ω 2 RC 2 jω C
R 2
L
R jω L
1
ω 2 LC - 1
1
2
1 ω L
j(ω L
) 1
ωC
)
4.1.3. REZONANŢA ELECTRICĂ
- regim de funcţionare a circuitelor electrice de c.a. - circuitul trebuie sǎ conţinǎ obligatoriu atît bobine cît şi condensatoare
• Condiţia de rezonanţǎ : dipolul nu absoarbe putere reactivǎ Q = XI2 = BU2 = 0
φ=0
X = Z·sinφ = 0; B = Y·sinφ = 0;
• Aplicaţia 4
circuit cu reactanţe compensate
f (R , L, C, ) 0 γu2 = 0
a
b
Fig. 4.6 Dipol pasiv (a) şi diagrama fazorialǎ la rezonanţǎ (b).
Z Zc
Z12 Zc
Z1 Z 2 Z1 Z 2
ω R 2 L 1 j R e j 2 2 2 C ω C R jω L R ω L ω R jω L
1
C
1
L
X =0
• Aplicaţia 5
γi1= 0
Fig. 4.7 Circuit RLC mixt (a) şi diagrama fazorialǎ la rezonanţǎ (b).
Z1 = ZR + ZL= R + jωL; Y1 = 1/Z1 = 1/(R +jωL); Z2 = 1/(jωC); Y2 = 1/Z2 = jωC; Ye = YP = Y1 +Y2
L jC 2 2 2 j 2 2 2 C G e jBe Ye R jL R L R L 1
R
R L/C ω2 L2 ; ω
C
1 CL
L
R 2 2
L
;
;
↔ ω2LC < 1
↔ R2C < L
L ??
Be = 0
4.1.4. IMBUNĂTĂŢIREA FACTORULUI de PUTERE (compensarea puterii reactive) • k P
P S
cos ; îmbunǎtǎţire
• P UI1cos 1 UI2cos 2
kP= 0,93 - 0,97 (de ce nu k P = 1 ?)
I1 > şi cosφ1 < const. transportatǎ la: I < şi cosφ > ; 2 2
• pierderi cît mai reduse în linia de transport: ΔP R L I
2
R L
S
2
U
2
R L
P
2
Q U
2
2
R L
P 2
Utrans >>;
2
U cos
2
<<
Qtrans<<; cosφ >>.
• majoritatea consumatorilor mari sînt inductivi: Q>0 (absorbitǎ):
Q transportatǎ + Q produsǎ local = Qnecesarǎ Qtrans<<
• folosirea condensatoarelor; • supraexcitarea maşinilor sincrone.
a) în reţele monofazate
Q2 < Q1 P2 = P1
I2·sinφ2< I1·sinφ1 |·U
φ2 < φ1 → cosφ2 > cosφ1; sinφ2< sinφ1; I2 < I1; I1·cosφ1 = I2·cosφ2
I2
φ2< 0
I1 IC
>0
IC = jωCU
Fig.4.8 Imbunǎtǎţirea factorului de putere prin condensatoare
C
1
U
IC
1
U
P C ωU Ucos 1
I1 sin 1 I 2 sin 2 ;
sin 1
P Ucos
sin 2 ;
supracompensare C
P
U
2
tg 1 tg 2
b) în reţele trifazate
CΔ
P 3ω U
2
(tg 1 tg 2 )
CY 3
1
UY
CY
3 CΔ
3
UΔ ;
U/√3
U
Fig.4.9 Conectarea condensatoare în stea (a) şi în triunghi (b).
Concluzie: - la conectarea în stea (Y) sînt necesare condensatoare de capacitate mare,
dar cu tensiunea nominalǎ micǎ; - la conectarea în triunghi (Δ) sînt necesare condensatoare de capacitate micǎ, dar cu tensiunea nominalǎ mare.
Problema 4.6 Un motor electric (dipol inductiv) absoarbe, din reteaua monofazatǎ cu U = 220[V] şi f = 50[Hz], puterea P = 1,5[kW], la cosφ1 = 0,7. Sǎ se calculeze: a) valoarea condensatorului care mǎreste factorul de putere la valoarea 0,95; b) valoarea capacitǎţii la care curentul absorbit din reţea este minim. Rezolvare: a) Motorul fiind dipol inductiv, φ1 = 45035’, tgφ1= 1,02, iar I2 I1 IC ansamblul poate rezulta inductiv sau capacitiv: φ2= ±18010’, M tgφ2 = ±0,328. U Pentru a reduce consumul de putere reactiva de la Q 1= P·tgφ1 a la Q = P·tgφ , diferenta de putere reactiva va fi furnizata de 2 2 I2” condensatorul avind capacitatea: IC” Q Q P 1500 φ2” U C 1 2 2 (tg tg ) (1,02 0,328)[F], 1 2 2 2 ωU ωU 2π 50 220 φ2’ I20 I C0 φ1 cu solutiile C’ = 66,9[μF] si C” = 130,3[μF]. In ambele cazuri I2’ curentul absorbit din retea se reduce de la valoarea I 1 = IC’ P/(U·cosφ1) = 1500/(220·0,7) = 9,74[A] la valoarea I1 b I2’=I2”=P/(U·cosφ2) = 1500/(220·0,95) = 7,18[A], cu deosebirea
ca la conectarea capacitatii C’ comportarea circuitului este inductiva (φ2’= +18010’), iar pentru C” intervine supracompensarea, comportarea fiind capacitiva (φ2”= -18010’). b) Curentul absorbit din retea este minim la rezonanta: φ20 = 0; I20 = P/(U·cosφ20) = 1500/220 = 6,82[A] si se obtine la conectarea condensatorului cu capacitatea: P 1500 C (tg tg ) 1,02 98,6[F].
4.1.5. CIRCUITE ELECTRICE SIMPLE a) Circuit RLC serie UL
UL
R
L
UR
I
UC
C
U
UL
UC
φ>0
U
UC
I
UR
a
b
I
UR=U
c
Fig.4.10 Circuit RLC serie (a) şi diagramele fazoriale
în regim inductiv (b), respectiv la rezonanţǎ (c). rezonanţa tensiunilor
u u R u L
u C R i L
di
1
UC = UL >> U
t
i dt; C
0 dt 1 1 U U R U L U C R I jω LI j I I[R j(ω L )]; ωC ωC
Z
U I
R j(ω L
1 ω C
);
Z R 2 (ω L
1 C
)2
ω L
arctg
1 ωC
• condiţia de rezonanţǎ: X = 0;
ωL
1 ωC
0
f L C
• proprietǎţile circuitului RLC serie la rezonanţǎ: - curent maxim: I 0
U Z0
U R
- factor de putere maxim:
NU prin R
max.
0
0; cos 0 cos0 1
- putere activǎ maximǎ: P0 UI0cos 0 U - rezonanţǎ de tensiuni: UL0 = UC0 >> U
U
1
R
U2 R
max .
b) Circuit RLC paralel IR
I
R
U I R
IL
I
IC
IC IL
a
U IC
φ>0
C
L
IR=I
U
IL
b
c
Fig.4.11 Circuit RLC paralel (a) şi diagramele fazoriale (b, c).
rezonanţa curentilor i i R i L
iC
I I R I L
IC
u R
U R
1
L
t
0
j
u dt C
1 ω L
IC = IL >> I
du
;
dt
U jω CU U[
1 R
j(
1 ωL
- ω C)]; 1
Y
I U
1 R
j(
1 L
- ω C); Y
1
( 2
R
1 L
- ω C)2 ;
arctg ω L
ωC
1/R
1
• condiţia de rezonanţǎ: B = 0;
ωL
- ωC 0
• proprietǎţile circuitului RLC paralel la rezonanţǎ: - curent minim: I 0 U Y0
U R
f L C NU prin R
min.
o - factor de putere maxim: 0 0; cos 0 cos0 1 max.
- rezonanţǎ de curenţi : IL0 = IC0 >> I
4. 2. CIRCUITE TRIFAZATE 4.2.1. SISTEME TRIFAZATE
1 B A1 B A1 cos( t 1 ) d 1 e1 N1 dt N1B A1 sin( t 1 )
2E1 sin( t 1 ) Fig.4.12 Producerea sistemului trifazat de tensiuni electromotoare
Em = ωNBA = 2π·f·N·B·A; E = Em/√2 = 4,44·f·N·B·A ;
• sistem trifazat de t.e.m: (3 mǎrimi electrice de acelaşi tip şi aceeaşi frecvenţǎ)
e1 e 2 e 3
2E1 sin( t 1 ) 2E 2 sin( t 2 ) 2E 3 sin( t 3 )
• sistem trifazat simetric (STS):
E1 = E2 = E3 = E; φ12 = φ23 = φ31 = ± 2π/3.
j e 2 E sin( t ) E Ee 1 1 4 j 2 4 e2 2 E sin t 2 E sin t ; E 2 e 3 E 1 . 3 3 2 j E e 3 E 1 2 3 e3 2 E sin t 3
Fig.4.13 Sistem trifazat simetric în valori instantanee (a) şi fazori (b).
j
- operator
2
de rotatie: a e
a3
3
1;
1
j 2
3 2
1 a a2
;a
2
j
4
e
0;
3
1
j 2
a* a 2
- sistem trifazat simetric: direct (rotire spre dreapta): E1 ; E 2 invers (rotire spre stinga): a·E1= E3
0
+j
E1 a3=1
+1
stinga E1
0
+1
a2
dreapta a2·E1= E2
2
a 2 E1 ; E3 a E1 E1 ; E 2 a E1 ; E 3 a 2 E1
a·E1= E2
a +j
3
a2·E1= E3
STSD Fig.4.14 Sistem trifazat simetric direct şi invers.
STSI
• diferenţa a douǎ mǎrimi:
2 e12 e1 e 2 2 E sin( t ) sin t 3 2E 2 sin cos t 2 3E sin t 3 3 6 j 3 3 2 3 E1e 6 E12 E1 E 2 E1 1 a E1 j 2 2 E1, E2, E3 : sistemul mǎrimilor de fazǎ; E12, E23, E31: sistemul mǎrimilor de linie.
• suma mǎrimilor sistemului simetric: E1 E 2 E 3
E1 (1 a a 2 ) 0
Fig.4.15 Sisteme trifazate simetrice
4.2.2. CONEXIUNILE SISTEMELOR TRIFAZATE E1
X
E2
Y
E3
Z
A
I1
1
Z1
1’
B
I2
2
Z2
2’
C
I3
3
Z3
3’
6 conductoate de legaturǎ
Fig.4.16 Sistem trifazat neconectat (3 linii monofazate independente)
Ek
Zk
A-X; faze generatoare: B-Y; C-Z 1-1’; faze receptoare: 2-2’; 3-3’
Receptor trifazat:
• echilibrat: Z1 = Z2 = Z3 = Ze jφ;
X
Y
Z
E1
E2
I1
A U A
U A-UB= U AB I2
B
U12 2
1
A
1’ E1
Z2
Z1
E2 O
2’
N
E3 Z3
UB C
E3
1
Z1
I3
O
3
Z3
3’ N
I0=I1+I2+I3
B
C
Z2
3
2
conexiune stea ( Y):
Fig.4.17 Reţea trifazatǎ în conexiune stea.
Ilinie = Ifaza; Ulinie ≠ Ufaza
A, B, C – bornele generatorului; 1, 2, 3 - bornele receptorului X
E1
I1 A
I1 – I3
Z1
1’
1 Y
E2
U AB=U A I2 – I1
I2
Z
E3
I3 – I2
I3
C
Z2
2’
Z3
3’
2
B
1
A
3
Fig.4.18 Reţea trifazatǎ în conexiune triunghi
E1
C E 3
E2
Z1
B
3
Z2 Z3
conexiune triunghi (Δ):
2
Ilinie ≠ Ifaza; Ulinie = Ufaza
Problema 4.7
Arataţi cǎ tensiunile electrice cu valorile instantanee: u1(t) = 10√2·sin(100πt)[V], u2(t) = u3(t) = 10√2·sin(100π t+π/2)[V] nu formeaza un sistem trifazat simetric. Rezolvare: U1 = U2 = U3 =10[V]; φ12 = γ1- γ2 = 0 - π/2 = -π/2 ≠ 2π/3[rad]; φ23 = γ2 - γ3 = π/2 - π/2 = 0 ≠ 2π/3[rad]. Problema 4.8
Receptorul trifazat caracterizat de: Z 1=3e jπ/2[Ω], Z2 =+j3 [Ω], si (R 3=0, X=3[Ω]), este : Z=Ze jφ a) echilibrat; Z=R + jX
b) dezechilibrat. Justificaţi varianta aleasǎ.
Rezolvare: Z1=3[Ω]; φ1= π/2[rad]; Z2 =3[Ω]; φ2=arctg3/0 =π/2[rad]; Z3 = 3[Ω]; φ3= arctg3/0 =π/2[rad]; Z1 = Z2 = Z3 = 3[Ω]; φ1 = φ2 = φ3 = +π/2[rad];
RTE / varianta (a).
4.2.3. REZOLVAREA SISTEMULUI TRIFAZAT în Y I1
A U A
Z1
1
B
I2
C
I3
2
Z2
3
Z3
0
Z0
• tensiuni de fazǎ: U A= U1; UB= U2; UC= U3; U1’
UB
UC
0
I0
• tensiuni de linie: U AB= U12; UBC= U23; UCA= U31;
U2’ U3’
N U0
Fig.4.19 Circuit trifazat în Y cu nul
• curenţi de linie = curenţi de fazǎ: I1; I2; I3 I1 I 2 I 3 I 0 '
'
U 3' Y 3 U 0 Y 0 U1 U 0 Y1 U 2 U 0 Y 2 U 3 U 0 Y 3 U 0 Y 0 U1 Y1 U 2 Y 2
A≡1
U0 U1 U31
U3
U0
O
U2’ U2
U23
U1 Y1 U 2 Y 2 U 3 Y 3 Y 0 Y1 Y 2 Y 3
U1 U 0 Y1 I 2 U 2 U 0 Y 2 I 3 U 3 U 0 Y 3 I1
N U12 U3’
C≡3
U1’
B≡2
I0
I1 I 2 I3 U 0 Y 0
Circuit trifazat simetric şi echilibrat în conexiune stea U1 ; U 2
U0
I1 I2 I3
a 2 U1 ; U3 a U1
U1 Y1 1 a a 2 Y 0 3Y1
0
I0
Z1
Z 2 Z 3 Ze j
Y1
Y 2 Y3
Y0 U0 0
U1 U 0 Y1 U1 Y1
U1 j e Z
U 2 Y 2 a 2 I1 U 3 Y 3 a I1
sistem trifazat simetric de curenţi U
1 j e Z
I3
φ U3= U3’ U23
I2
φ
+j
U31 U1= U1’
φ
O=N U2= U2’ U12
I1
+1
3Uf ; I If Fig.4.21 Diagrama fazorialǎ a circuitului
4.2.4. REZOLVAREA SISTEMULUI TRIFAZAT în Δ 1≡A I1
A U AB
B
UBC
UCA
Z12
I2 2 I3
C
I23 Z23
1 I12
U31=UCA φ 31
I31
I1
U12=U AB
I3 Z31
φ12>0
I23
I31 3
I12
φ2 3≡C
U AB=U12; UBC=U23; UCA=U31 a
+j
b
+1
2≡B
I2
3
U23=UBC
Fig.4.22 Circuit trifazat în conexiune triunghi (a) şi diagrama sa fazorialǎ (b).
• Se dau: - tensiunile de linie: U AB, UBC (UCA se poate calcula); - impedanţele receptoare: Z12, Z23 si Z31.
• Se calculeazǎ: - curenţii de fazǎ: I12 - curenţii de linie: I1
U12 Z12
; I 23
U 23 Z 23
; I 31
I12 I31; I 2 I 23 I12 ;
I3
U 31 Z31
I31 I 23 ;
Circuit trifazat simetric şi echilibrat în conexiune triunghi U12 ; U 23
U31
I12
a 2 U12
Z12
Z23 Z31 Ze j
U12 U 23 1 a 2 U12 a U12
U12 j e ; I 23 Z
U 23 j e Z
a
2
I12 ; I 31
U 31 j e Z
sistem trifazat simetric de curenţi
I1 I12 I 31 ; I1 3I12
U
Uf
; I
3I f
a I12
Problema 4.9
Douǎ sarcini trifazate nesimetrice sînt conectate la o retea trifazatǎ simetricǎ 380/220[V].
1. Pentru un sistem trifazat simetric direct, care sînt valorile curenţilor de linie şi curentului de echilibrare?
2. In cazul unei întreruperi accidentale a conductorului de nul, calculaţi valoarea tensiunii de deplasare a nulului, precum şi noile valori ale curenţilor de linie. A
Sursa de tensiune B trifazata simetrica C directa O 380/220V
I12
I A IB
Z12 Z23
I23
IC
Z31 I31
IN
Z1
I2
I1
I3
Z2=-j150[Ω]
UNO
Z3
Z2 N
Z1= 260[Ω] Z3= j150[Ω]
intrerupere accidentala
Z12= 190[Ω] Z23= -j38[Ω] Z31= -j38[Ω]
Rezolvare
Fie sistemul trifazat simetric direct al tensiunilor de fazǎ la generator (cu tensiunea U A origine de fazǎ): U A = Uf = 220[V]; UB = a2·Uf = a·220[V]; UC = a·Uf = a·220[V].
Rezultǎ sistemul tensiunilor de linie: U = √3·U ·e jπ/6 = 380·e jπ/6[V]; U
= a2·U ; U
= a·U
I1 = U A/Z1 = 220/260 = 0,846[A] I2 = UB/Z2 = a2·220/-j150 = j·a2·220/150 = j(-1/2 - j√3/2)·1,466 = 1,27 – j0,733[A] I3 = UC/Z3 = a·220/j150 = -j·a·220/150 = -j(1/2 - j√3/2)·1,466 = -1,27 - j0,733[A] I12 = U AB/Z12 = 380·e jπ/6/190 = 2·(√3/2 + j/2) = 1,732 + j1[A] I23 = UBC/Z23 = a2·380·e jπ/6/-j38 = (-1/2 - j√3/2)·10j·(√3/2 + j/2) = 10[A] I31 = UCA/Z13 = a·380·e jπ/6/j38 = (1/2 - j√3/2)·(- j10) ·(√3/2 + j/2) = -5(1+j√3)[A] I A = I1+ (I12 – I31) = 0,846+ √3 + j1+ 5(1+j√3) = 7,578 +j2,732[A]; I 1 = 8,055[A] IB = I2+ (I23 – I12) = 1,27+ – j0,733 +10 - √3 - j = 9,538 -j1,732[A]; I2 = 9,848[A] IC = I3+ (I31 – I23) = -1,27-j0,733 -5(1+j√3) -10 = -16,27 – j9,4[A]; I3 = 18,79[A] IN =I1+I2+I3= 0,846 – j1,766[A]; IN = 1,958[A].
U NO
U A Y1 U B Y 2 U C Y 3 Y1 Y 2 Y 3
220(1/260 a 2 / j150 a/j150) 1/260 1/ j150 1/j150
220 j380[V]
UNO = 439[V] Tema 4.8
O casǎ este alimentatǎ la reţeaua trifazatǎ de joasǎ tensiune 380/220[V], 50[Hz]. Urmǎtorii consumatori monofazaţi sînt conectati în stea cu nul accesibil: • pe faza 1, o plitǎ electricǎ cu puterea activǎ 1980[W] şi cosφ = 1; • pe faza 2, o masinǎ de spǎlat cu puterea aparentǎ 3300[VA] şi cosφ = 0,8 (inductiv); • pe faza 3, ansamblul de prize şi corpuri de iluminat. Iluminatul (incandescent şi fluorescent) consumǎ o putere activǎ de 1320[W], la cosφ = 0,6 (inductiv). 1.Desenaţi schema de principiu a instalaţiei. 2.Calculaţi tensiunile de fazǎ, curentii de fazǎ, impedanţele echivalente ale sarcinilor. 3.Calculaţi curentii de linie şi reprezentaţi diagrama fazorialǎ a tensiunilor şi curenţilor.
4.2.5. PUTERI ELECTRICE în RETELE TRIFAZATE a) Reţea cu conductor neutru (reţea cu 4 conductoare) * P1
A U A
*
B
* P2
*
I2
*
UB C UC Z U1’ 0
I1
*
U2’
U3’
1 2
P3 I3 3
Z1
Z3
I0
I0
U0
*
S U 1 I1
reţele trifazate cu 4 conductoare
Z2
N
0
Fig.4.23 Mǎsurarea puterii active în
I1 I 2 I3 ;
*
I0
I1* I*2 I*3
U 2 I *2 U 3 I *3 U 0 I *0
U1 U 0 I1* U 2 U 0 I *2 U 3 U 0 I *3 U1' I1* U '2 I *2 U 3' I *3 P U1' I1cos U1 , I1 '
U'2 I 2cos U '2 , I 2 U3' I3cos U3' , I3
P1 P2 P3 . Observatii:
• putere activǎ se absoarbe numai pe faze (nu şi prin conductorul de nul);
lǎ este suma puterilor pe cele trei faz
b) Reţea fǎrǎ conductor neutru (reţea cu 3 conductoare) U AB = U12; UBC = -U32
Fig.4.24 Mǎsurarea
* P1 UCA
A U AB B UBC C
* U12
I1
I2
1 2
U32
3
*
P2 I3
*
S U1 I1 U 2 I 2 U3 I3 *
puterii active în reţele trifazate fǎrǎ conductor neutru
*
*
Y sau Δ
I1 I 2 I 3
0 ; I1* I*2 I*3 0
U1 U 2 I1* U3 U 2 I*3 U12 I1* U32 I*3
P U12I1cosU12 , I1 U32I3cosU32 , I3 P1 P2 Observaţii:
• P1 si P2 au semnificaţia unor puteri active (dar nu sînt puteri active); • P1 si P2 pot avea şi valori negative; • wattmetrele sînt prevazute cu comutator de semn.
Reţea trifazatǎ simetricǎ şi echilibratǎ U1f U f ; U 2f a 2 U f ; U3f aU f
Z1 Z 2
Z3 Ze j
*
* U U f j * j 1f I1f e I e f Z Z 1 *
U 2f 2 * a I 2f Z 2
U f j e Z
*
aI f e j
*
* U U f j * 3f 2 j I 3f a e a I e f Z Z 3 *
*
*
S U1f I1f U 2f I 2f U 3f I 3f
U f I f e j a 2 U f aIf e j aU f a 2 I f e j 3U f I f e j . P 3Uf I f cos 3P1 Concluzie: reţelele
simetrice şi echilibrate au fazele uniform încarcate
* P1 L1
*
If
* P1
Z L1
*
If
Z L2
RTE
L2 Z
L3
a
L3
Uf
Z0
N
C C C
Uf
b
N’
N’ – nul artificial
Fig.4.25 Mǎsurarea puterii active în reţele simetrice şi echilibrate
cu (a) şi fǎrǎ (b) conductor neutru.
Υ 3 U I cos 3 P 3U f I f cos 3U I cos Δ 3U I cos mai utilizatǎ, deoarece nu totdeauna 3
este accesibil nulul reţelei Notatii: Uℓ=U şi Iℓ=I:
P 3UI cos , [ W], Q 3UI sin [VAR ] ; S 3UI [VA ].
Problema 4.10
Un receptor trifazat, conectat in triunghi, cu impedanta de faza Z, caracterizata de R = 15[ Ω] si L= 32[mH], este alimentat la reteaua trifazata si simetrica, cu tensiunea de linie de 380[V] si frecventa 50[Hz]. Sa se calculeze puterea activa absorbita. Rezolvare: Pentru conexiunea Δ: Uℓ = Uf ; Iℓ = √3·If =√3·Uf /Z; si cosφ = R/Z, unde: Z =√R2+X2= √R2+(ωL)2 = √R2+(2πfL)2 Inlocuid valorile cunoscute rezulta: Z = √152+(2π·50·32·10-3)2=10[Ω]; If = 380/18 = 21,1[A]; Iℓ = √3·21,1 = 36,6[A]; cosφ = 15/18 = 0,83; Reteaua fiind simetrica si echilibrata si cunoscindu-se marimile de linie: P = √3·Uℓ·Iℓ ·cosφ = √3·380·36,6·0,83 = 19994[W] ≈ 20[kW].
Tema 4.9
Pentru receptorul trifazat din problema 4.9, calculati puterea reactiva si justificati ca aceasta putere este absorbita (nu debitata) de receptor. Tema 4.10
Daca sarcina trifazata, din problema 4.9, este conectata in stea in loc de triunghi, calculati valoarea curentului si o puterii active absorbite.
Tema 4.11
O sarcina echilibrata, conectata la o retea trifazata simetrica, cu tensiunea de linie de 6[kV], absoarbe o putere activa de 48[kW], la un factor de putere cosφ = 0,94. Calculati valoarea efectiva a curentului de linie. Repetati calculul in cazul in care sarcina ar fi conectata in triunghi (aceeasi putere activa consumata si la acelasi cosφ) si determinati si valoarea efectiva a curentului prin fazele consumatorului. Tema 4.12
Impedanta de faza a unui consumator trifazat echilibrat este formata dintro rezistenta R = 15[ Ω] in serie cu o capacitate C = 185[μF]. Acest consumator, in conexiune stea, este alimentat la o retea de 50[hz], a carei tensiuni de linie are valoarea 380[V]. Calculati tensiunea de faza, curentul de faza, defazajul, puterile active si reactive ce caracterizeaza acest receptor trifazat. Tema 4.13
La o retea trifazata si simetrica directa, cu tensiunea de 380[v], este legat in stea, o sarcina dezechilibrata formata dintr-un condensator C, o bobina L si un rezistor R. Neutrul stelei N este legat la nulul sursei O. Cunoscind ca ωL=1/ ωC = R =100[Ω], se cere sa reprezentati diagrama fazoriala a tensiunilor si a curentilor pe fazele receptoare, precum si curentul prin conductorul de nul INO. In cazul intreruperii conductorului de nul, care este tensiunea UNO si care sint curentii prin fazele receptoare? Repetari calculele pentru aceeasi sarcina dar alimentata la o retea trifazata simetrica inversa.
4.2.6 CONVERSIA TRIUNGHI → STEA Modificarea conexiunii impedantelor din triunghi in stea este utilizata pentru:
• reducerea temporara a puterii (exemplu – pornirea motoarelor asincrone); • alimentarea consumatorului trifazat la o retea cu tensiunea de √3 mai mare. a) Reducerea puterii absorbite Daca tensiunea retelei si impedanta sarcinii ramin nemodificate, conversia conexiunii din triunghi in stea, conduce la urmatoarele modificari:
• tensiunea de faza se reduce de √3; • curentul de faza se reduce de √3 ori; • curentul de linie se reduce de 3 ori. Ca atare puterea obsorbita de sarcina devine de 3 ori mai mica: PY
1
PΔ 3
b) Adaptarea la o tensiune mai mare In SUA tensiunea de linie are valoarea de 220V (tensiunea de faza 127V). Daca consumatorul are conexiunea Δ va putea fi utilizat in UE, unde tensiunea de linie are valoarea 380V ( tensiunea de faza 220V), prin modificarea conexiunii din Δ in Y. Tensiunea, curentul si puterea de faza nu se modifica, deci consumatorul nu este suprasolicitat.
4.2.7 METODA COMPONENTELOR SIMETRICE Studiul regimurilor nesimetrice in retele cu numar mare de linii de transport, transformatoare, generatoare si motoare trifazate se face dificil prin metode clasice, in special datorita prezentei cuplajelor magnetice intre elementele mobile (rotor si stator) ale masinilor electrice.
Metoda componentelor simetrice, recomandata pentru rezolvarea regimurilor trifazate nesimetrice ale circuite liniare, consta in calculul a trei regimuri simetrice.
a) descompunerea sistemului nesimetric in trei sisteme simetrice Eh1 = Eh2= Eh3= Eh simetric homopolar
E1 = Eh1+ Ed1+ Ei1 E2 = Eh2+ Ed2+ Ei2 E3 = Eh3+ Ed3+ Ei3
nesimetric
&
Ed1 = Ed Ed2 = a2·Ed simetric Ed3 = a· Ed direct Ei1 = Ei Ei2 = a· Ei E = a2·E
simetric invers
E1 = Eh +
Ed +
Ei
E2 = Eh+ a2·Ed2+ a·Ei2 E3 = Eh+ a·Ed3+ a2·Ei3
1
1
Δ1 a 1
2
a
1 a a
2
3 3 j
E1 Ed1= Ed
Eh1= Eh2= Eh3= Eh
E3
≡ E2
nesimetric
Eh
+
E3
Ei1= Ei
simetric invers
Ed2= a2·Ed
Ei1 Eh
Ei3
Ed1 = Ed Ed2 = a2·Ed Ed3 = a· Ed
E1
Ei1 = Ei Ei2 = a· Ei Ei3 = a2·Ei
E2
Ed3
E1 = Eh1+ Ed1+ Ei1 E2 = Eh2+ Ed2+ Ei2
+
simetric direct
simetric homopolar
Ed1
Ei3= a2·Ei Ei2= a·Ei
Ed3= a·Ed
Eh Ed2
Ei2
E3 = Eh3+ Ed3+ Ei3 Fig.4.26 Reprezentarea
geometricǎ a descompunerii sistemului trifazat nesimetric
în componente trifazate simetrice
b) calculul componentelor simetrice • se cunosc marimile sistemului trifazat nesimetric: E 1, E2 si E3; • componentele sistemelor simetrice Eh, Ed si Ei se calculeaza cu relatiile: 1 Eh =3 ( E1 + E2 + E3 ) 1 Ed = 3 ( E1+ a·E2+ a2·E3) 1 Ei = 3 ( E1+ a2·E2+ a·E3) Problema 4.11
Sa se calculeze componentele simetrice ale sistemului nesimetric de tensiuni electrice cu valorile instantanee: u 1(t) = 10√2·sin(100π t)[V], u2(t) = u3(t) = 10√2·sin(100πt+π/2)[V]. Rezolvare: Fazorii acestor tensiuni sint: U1= 10[V]; U2 = U3 = 10·e jπ/2 = j10[V]. Valorile complexe (fazorii) componentelor simetrice ale tensiunilor sint:
Uh = 1/3·(10 +j10 +j10) = 10/3·(1+j2) [V]; Ud = 1/3·(10 +a·j10 +a 2·j10) = 10/3·[1+(- 1/2+j√3/2)·j+ (-1/2- j√3/2)·j] = 10/3·(1- j) [V]; Ui = 1/3·(10 +a2·j10 +a·j10) = 10/3·[1+(a 2+a)·j] = 10/3·(1- j) [V];
c) calculul puterilor cu ajutorul componentelor simetrice S = U1·I1* + U2·I2* + U3·I3*, unde: U1, U2, U3 sint tensiunile de faza, iar I 1, I2, I3 curentii de faza. Functie de componentele simetrice: U1 = Uh+ Ud+ Ui; U2 = Uh+ a2Ud+ aUi; U3 = Uh+ aUd+a2Ui, expresia puterii compleze devine:
S = Uh(I1* + I2* + I3*) + Ud(I1* + a2·I2* + a·I3*) + Ui(I1* + a·I2* +a2·I3*). Deoarece; a* = a 2 si a2* = a, rezulta: S = 3Uh·Ih* + 3Ud·Id* + 3Ui·Ii*.
d) transformator de nul O retea de joasa tensiune (j.t.) este alimentata printr-un transformator trifazat T1 alimentat la o retea de inalta tensiune (i.t.). Ambele infasurari sint conectate in stea, cu nul accesibil in secundar (j.t.) si cu nulul izolat in primar (i.t.). Aceasta ultima conditie implica:
I A + IB + IC = 0. Conform teoriei transformatorului, curentii din infasurarile corespunzatoare ale primarului (i.t.) si secundarului (j.t.) sint proportionali, diferind numai prin numarul de spire. Ca atare relatia este adevarata si pentru curentii de linie din reteaua de j.t. :
IR+ IS+ IT = 0. Deoarece suma curentilor de linie este nula, obligatoriu si componenta homopolara va fi tot nula. Astfel, in cazul conectarii unei sarcini dezechilibrate, nu se poate garanta mentinerea tensiunii de faza. In cazul particular al conectarii unei sarcini monofazate Z (de exemplu intre faza T si nulul N), conditia I R = IS = 0 conduce la IT = 0 si UTN = 0. Pentru garantarea unei alimentari corecte a sarcinii trebuie conectat, in reteaua de joasa tensiune, un al doilea transformator, numit transformator de nul, cu primarul in stea cu nul accesibil si secundarul in triunghi. Acest transformator este capabil sa furnizeze componenta homopolara I h ceruta. Conexiunea in triunghi a secundarului transformatorului T2 asigura egalitatea curentilor din primar. In cazul sarcinii monofazate unice Z, curentii ceruti sint I1 = I2 = 0 si I3 = I = UTN/Z. Descompunerea in componente simetrice arata ca transformatorul T2 se comporta ca un circuit deschis (impedanta infinita) pentru componentele directa si inversa si ca un
