INVESTIGACION DE OPERACIONES Guía de Ejercicios Modelación Matemática
Ramón Elizondo Uribe
Ing. Civil Industrial
2005
1.- Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete. Marca
K P
N
Precio
A
4
6
1
15
B
1
10
6
24
¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo precio un abono que contenga, al menos, 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?. N?. 2.Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La administración ha decidido definir 6 cambios de turno al día para minimizar las distracciones y los problemas de comunicación que ocurren en los cambios de turno. El hospital ha realizado un análisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis períodos del día. Las características de cada período son las siguientes: HORA DEL DIA
Período
Número Mínimo Enfermeras
2 AM - 6 AM
1
25
6 AM - 10 AM
2
60
10 AM - 2 PM
3
50
2 PM - 6 PM
4
35
6 PM - 10 PM
5
55
10 PM - 2 AM
6
40
Las enfermeras que empiezan a trabajar en los períodos 2, 3 y 4 ganan US$ 40 al día, y aquellas que comienzan en los períodos 1, 5 y 6 ganan US$ 50 al día. ¿Cuántas enfermeras deben empezar a trabajar en cada turno para minimizar los costos por salarios? 3.- Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá? 4.- Un autobús Talca - Linares ofrece plazas para fumadores al precio de 10.000 y a no fumadores al precio de 6.000. Al no fumador se le deja llevar 50 kgs. de peso y al fumador 20 kgs. Si el autobús tiene 90 plazas y admite un equipaje de hasta 3.000 kg. ¿Cuál ha de ser la oferta de plazas de la compañía para cada tipo de pasajeros, con la finalidad de optimizar el beneficio?
5.- A una persona le tocan 10 millones m illones en una lotería y le aconsejan que las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo 6 millones en la compra de acciones A y por lo menos, 2 millones en la compra de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que el beneficio anual sea m áximo? 6.- Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120 y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá que repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 7.- Un comerciante acude al mercado popular a comprar naranjas con 50.000. Le ofrecen dos tipos de naranjas: las de tipo A a 50 el kg. y las de tipo tipo B a 80 el kg. Sabiendo que sólo dispone de su camioneta con espacio para transportar 700 kg. de naranjas como máximo y que piensa vender el kg. de naranjas tipo A a 58 . y el kg. de tipo B a 90:
¿Cuántos kg. de naranjas de cada tipo deberá comprar para obtener máximo beneficio? ¿Cuál será ese beneficio máximo? 8.- Un sastre tiene 80 m 2 de tela de algodón y 120 m 2 de tela de lana. Un traje requiere 1 m 2 de algodón y 3 m 2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m 2 de cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se venden al mismo precio. 9.- Un constructor va a edificar dos tipos de viviendas A y B. Dispone de 600 millones y el costo de una casa de tipo A es de 13 millones y 8 millones una de tipo B. El número de casas de tipo A ha de ser, al menos, del 40 % del total y el de tipo B, el 20 % por lo menos. Si cada casa de tipo A se vende a 16 millones y cada una de tipo B en 9. ¿Cuántas casas de cada tipo debe construir para obtener el beneficio máximo? 10.- Cierta persona dispone de 10 millones como máximo para repartir entre dos tipos de inversión (A y B). En la opción A desea invertir entre 2 y 7 millones. Además, quiere destinar a esa opción, como mínimo, tanta cantidad de dinero como a la B. ¿Qué cantidades debe invertir en cada una de las dos opciones? Sabiendo que el rendimiento de la inversión será del 9 % en la opción A y del 12 % en la B, ¿Qué cantidad debe invertir en cada una para optimizar el rendimiento global? 11.- Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T), mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4 barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de 900 barriles de G, 800 barriles de C y 500 barriles de T. Hallar las cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus necesidades al costo mínimo.
12.- La empresa Sunco Oil produce dos tipos de gasolina (NORMAL y SUPER), cada una de ellas mezclando dos tipos de crudo (Liviano y Pesado). Los precios de venta de cada barril de gasolina son 7.000 y 6.000, respectivamente. Por su parte, los precios de compra de los dos tipo de crudo son de 4.500 y 3.500 por barril, respectivamente. Se pueden comprar hasta 5.000 barriles de cada crudo diarios. Los dos tipos de gasolina difieren en su índice de octano y en su contenido en azufre. La mezcla del petróleo crudo que se utiliza para obtener la gasolina SUPER ha de tener un índice de octano promedio de al menos 10 y a lo sumo un 1% de azufre. La mezcla que se obtiene para la gasolina NORMAL ha de tener un índice promedio de octano de por lo menos 8 y a lo sumo un 2% de azufre. Los índices de octano y el contenido en azufre de los dos tipos de crudo son Crudo LIVIANO: Octano =12 Azufre =0.5% Crudo PESADO: Octano =6 Azufre =2% La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 400, y la refinería de Sunco puede producir diariamente, hasta 9.000 barriles de gasolina. Los clientes de Sunco actualmente demandan 3.000 barriles de la gasolina Normal y 2.000 de la gasolina Super. Sin embargo, Sunco tiene la posibilidad de estimular la demanda mediante la publicidad, de modo que por cada unidad monetaria invertida en la publicidad de cada tipo de gasolina, aumenta la demanda diaria de ese tipo de gasolina en 0,1 barriles (si por ejemplo gasta 1000 en la gasolina Super, aumenta la demanda de gasolina Super en 1000*0,1=100 barriles). Formular el problema de programación lineal que permita a SUNCO OIL maximizar sus ganancias diarias 13.- La fábrica LA MUNDIAL S.A., construye mesas y sillas de madera. El precio de venta al público de una mesa es de 2.700 y el de una silla 2.100. LA MUNDIAL S.A. estima que fabricar una mesa supone un gasto de 1.000 de materias primas y de 1.400 de costos laborales. Fabricar una silla exige 900 de materias primas y 1.000 de costos laborales. La construcción de ambos tipos de muebles requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.). Para fabricar una mesa se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso final de acabado. Una silla necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso de acabado. LA MUNDIAL S.A. no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del marcado, LA MUNDIAL S.A. fabrica, como máximo, 40 mesas a la semana. No ocurre así con las sillas, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número de unidades fabricadas. Determinar el número de mesas y de sillas que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. 14.- Una campaña para promocionar una marca de productos lácteos se basa en el reparto gratuito de yogurt con sabor a limón o a fresa. Se decide repartir al menos 30.000 yogurt. Cada yogurt de limón necesita para su elaboración 0,5 gr. de un producto de fermentación y cada yogurt de fresa necesita 0,2 gr. de ese mismo producto. Se dispone de 9 kgs. de ese producto para fermentación. El costo de producción de un yogurt de fresa es el doble que el de un yogurt de limón. ¿Cuántos yogurt de cada tipo se deben producir para que el costo de la campaña sea mínimo? 15.- Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene 2 naves. En la nave A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para fabricar la de un auto se precisan 2 días-operario. En la nave B se invierten 3 días-operario tanto en carrocerías de camión como de auto. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días-operario, y la nave B de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6 millones y de 3 millones por cada auto. ¿Cuántas unidades de cada clase se deben producir para maximizar las ganancias?
16.- Un pastelero fabrica dos tipos de tartas T 1 y T2, para lo que usa tres ingredientes A, B y C. Dispone de 150 kgs. de A, 90 kgs. de B y 150 kgs. de C. Para fabricar una tarta T 1 debe mezclar 1 kgs. de A, 1 kgs. de B y 2 kgs. de C, mientras que para hacer una tarta T 2 se necesitan 5 kgs. de A, 2 kgs. de B y 1 kgs. de C. a. Si se venden las tartas T1 a 1.000 la unidad y las T 2 a 2.300. ¿Qué cantidad debe fabricar de cada clase para maximizar sus ingresos? b. Si se fija el precio de una tarta del tipo T1 en 1.500 ¿Cuál será el precio de una tarta del tipo T2 si una solución óptima es fabricar 60 tartas del tipo T 1 y 15 del tipo T2? 17.- Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usar durante tres horas, la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón. ¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo? 18.- Un supermercado quiere promocionar una marca desconocida D de aceites utilizando una marca conocida C. Para ello hace la siguiente oferta: "Pague sólo a 250 el litro de aceite C y a 125 el litro de aceite D siempre y cuando: 1) Compre en total 6 litros o más, y 2) La cantidad comprada de aceite C esté comprendida entre la mitad y el doble de la cantidad comprada de aceite D". Si disponemos de un máximo de 3.125 y acogiéndonos a la oferta, ¿Cuál el la mínima cantidad de aceite D que podemos comprar? ¿Cuál es la máxima de C? 19.- La empresa FORD lanza una oferta especial en dos de sus modelos, ofreciendo el modelo A a un precio de 1,5 millones de y el modelo B en 2 millones. La oferta está limitada por las existencias, que son 20 autos del modelo A y 10 del B, queriendo vender, al menos, tantas unidades de A como de B. Por otra parte, para cubrir gastos de esa campaña, los ingresos obtenidos en ella deben ser, al menos de 6 millones ¿Cuántos automóviles de cada modelo deberá vender para maximizar sus ingresos? 20.- En una explotación agrícola de 25 Ha pueden establecerse dos cultivos A y B. El beneficio de una Ha de A es de 20000 ptas. y el de una Ha de B de 30000 ptas. Las disponibilidades de trabajo de explotación son de 80 jornadas, una Ha de A precisa 4 jornadas, mientras que una de B precisa sólo 2 jornadas. La subvención de la Unión Europea es de 5 euros por Ha. de A y de 10 euros por Ha. de B, siendo la subvención máxima por explotación agrícola de 200 euros. Calcular el beneficio máximo. 21.- Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como máximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, además, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 $/kg y el precio del rape es de 1.500 $/kg, ¿qué cantidades debe pescar para obtener el máximo beneficio? 22.- Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos. a. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b. ¿Qué mezcla hace q mínimo?
23.- En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un costo mínimo? 24.- La compañía ESPECIAS INDIAN S.A., tiene un stock limitado de dos hierbas que se utilizan en la producción de aderezos. INDIAN usa los dos ingredientes, HB1 y HB2, para producir ya sea curry o pimentón. El departamento de mercadotecnia informa que aunque la empresa puede vender todo el pimentón que pueda producir, sólo puede vender hasta un máximo de 1500 botellas de curry. Las hierbas no utilizadas se pueden vender a $375 la onza de HB1 y a $167 la onza de HB2. Determine el consumo de especias que maximice el ingreso de la Empresa. Aderezo
Ingredientes
(Onzas/Bot)
Demanda
Precio de Venta
HB1
HB2
Botellas)
por botella ($)
Curry
5
3
1500
2750
Pimentón
2
3
Ilimitada
1300
10000
8500
Disponibilidad (Onzas)
25.- Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿Cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo? 26.- Un fabricante de cemento produce dos tipos de cemento, a saber en gránulos y polvo. Él no puede hacer más de 1600 bolsas al día debido a una escasez de vehículos para transportar el cemento fuera de la planta. Un contrato de ventas establece que él debe producir 500 bolsas al día de cemento en polvo. Debido a restricciones del proceso, se requiere el doble del tiempo para producir una bolsa de cemento granulado en relación al tiempo requerido por el cemento en polvo. Una bolsa de cemento en polvo consume para su fabricación 0.24 minutos/bolsa y la planta opera un 8 día de la hora. Su ganancia es 4 por la bolsa para el cemento granulado y 3 por la bolsa para el cemento en polvo. Formule el problema de decidir cuánto se debe producir de cada tipo de cemento para maximizar las ganancias de la Empresa. 27.- SONY fabrica dos productos: (1) el Walkman un radiocasete portátil y (2) el Shader TV, un televisor en blanco y negro del tamaño de un reloj de pulsera. El proceso de producción de ambos productos se asemeja en que los dos necesitan un número de horas de trabajo en el departamento de electrónica, y un cierto número de horas de mano de obra en el departamento de montaje. Cada Walkman necesita cuatro horas de trabajo de electrónica y dos en el taller de montaje. Cada televisor necesita tres horas de electrónica y una en montaje. Durante el actual período de producción se dispone de doscientas cuarenta horas en el departamento de electrónica y de cien horas en el de montaje. Cada Walkman vendido supone un beneficio de 7 dólares, mientras que para un televisor el beneficio unitario es de cinco dólares. El problema de
SONY es determinar la mejor combinación posible de Walkman y televisores que debe producir para alcanzar el máximo beneficio. 28.- Un agricultor posee un campo de 70 hectáreas y puede cultivar ya sea trigo o cebada. Si siembra trigo gasta US$ 30 por cada hectárea plantada. En cambio si siembra cebada, su gasto es de US$ 40 por hectárea. El capital total disponible es de US$ 2.500. Por otra parte, también existen restricciones en la disponibilidad de agua para los meses de octubre y noviembre, según se indica:
Mes
Consumo m3 / Ha.
Consumo m3 / Ha.
Disponibilidad
Trigo
Cebada
m3
Octubre
900
650
57.900
Noviembre
1.200
850
115.200
Una hectárea cultivada rinde 30 Tm de trigo o 25 Tm de cebada según sea el caso. los precios vigentes por Tm son de US$ 4,5 para el trigo y US$ 6,0 para la cebada. Determinar la cantidad de hectáreas de trigo y de cebada que debe sembrar el agricultor para que maximice su beneficio. 29.- Una compañía de transportes posee 2 tipos de camiones. El camión tipo A tiene 20 m3 de espacio refrigerado y 40 m3 no refrigerado. El camión tipo B tiene 30 m3 refrigerados y 30 m3 no refrigerados. Una fábrica de productos alimenticios debe embarcar 900 m3 de productos refrigerados y 1200 no refrigerados. ¿Cuántos camiones de cada tipo debe alquilar la fábrica par minimizar costos si el tipo A se alquila a 0,3 US$/Km y el B a 0,4 US$/Km? 30.- Una compañía de transportes tiene 10 camiones con capacidad 40.ton., y 5 camiones de 30.000 ton.. Los camiones grandes tienen un costo de 0,30 US$/Km y los pequeños de 0,25 US$/Km. En una semana debe transportar la empresa 400.000 ton. en un recorrido de 800 km.. La posibilidad de otros compromisos recomienda que por cada dos camiones pequeños mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. ¿Cuál es el número de camiones de ambas clases que deben movilizarse para ese transporte de forma óptima y teniendo en cuenta las restricciones descritas? 31.-La empresa CHANNEL produce el perfume Versay. Este perfume requiere de químicos y trabajo para su producción. Dos procesos están disponibles. El proceso A transforma 1 unidad de trabajo y 2 unidades de químico en 3 onzas de perfume. El proceso B transforma 2 unidades de trabajo y 3 unidades de químico en 5 onzas de perfume. Cada unidad de trabajo le cuesta a CHANNEL 1.000 y cada unidad de químico le cuesta 1.500. Se tiene una disponibilidad máxima de 20.000 unidades de trabajo y un máximo de 35.000 unidades de químico para este período de planificación. En ausencia de publicidad CHANNEL cree que puede vender 1.000 onzas de perfume. Para estimular la demanda de ese perfume CHANNEL puede contratar una modelo famosa a quien se le pagará 50.000 la hora, hasta por un máximo de 25 horas. Cada hora que la modelo trabaje para la empresa se estima que incrementará la demanda de Versay en 200 onzas. Cada onza de Versay se vende a 60.500. Determine el volumen óptimo de la producción y venta del perfume.
32.- Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 en salarios y 1.800.000 en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 y 50 por cada unidad de B. El costo salarial, y energético que acarrea la elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla: A
B
Costo
200
100
Costo energético
100
300
Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo. 33.- La empresa de computadoras COMPAQ toma las decisiones trimestral sobre la fabricación de su mezcla de productos. Mientras toda sus líneas productivas incluyen una gran variedad de artículos de computación, solamente se considerará un problema más simple con sólo dos productos: las computadoras portátiles y las computadoras del escritorio. A COMPAQ les gustaría saber cuántos de dichos productos deben fabricar para obtener máximas ganancias en el primer trimestre. Hay varios límites del proceso que definen la capacidad productiva tanto de la computadora portátil como la de escritorio: 1.- Cada computadora (portátil o escritorio) requiere un microprocesador. Debido a la escasez de estos productos en el mercado, INTEL les ha asignado solamente 10,000 unidades trimestrales.. 2.- Cada computadora requiere de memoria RAM. La memoria viene en 16 MB por tarjeta. Una computadora portátil requiere 16 MB de memoria instalada (es decir, necesita 1 tarjeta RAM) mientras una computadora de escritorio tiene 32MB (ó sea, requiere 2 tarjetas RAM). COMPAQ dispone en inventario 15.000 tarjetas RAM para el próximo trimestre. 3.- Cada computadora requiere un tiempo de ensamblaje. Debido a las estrechas tolerancias para ensamblar una computadora portátil, esta tarda un tiempo de 4 minutos contra 3 minutos para una computadora de escritorio. Hay 25,000 minutos disponibles de tiempo de ensamblaje para el próximo trimestre Bajo las actuales condiciones del mercado, costos de los materiales y sistema productivo, la venta de cada computadora portátil genera US$ 750 de ganancia y cada computadora de escritorio produce $1000 ganancia. Determinar la respuesta a las siguientes preguntas: ¿Cuántas computadoras de cada tipo debe fabricar COMPAQ en el próximo trimestre para maximizar sus beneficios?, ¿Cuánto estaría dispuesta a pagar COMPAQ por una memoria RAM adicional? ¿Qué efecto tiene sobre la ganancia , la perdida de 1,000 minutos de tiempo de ensamblaje por fallas en una de sus máquinas? ¿Que ganancia se requiere para justificar la fabricación de una computadora portátil con 32 MB de RAM? 34.La empresa COMPAQ necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes (grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los próximos 4 trimestres. Actualmente COMPAQ tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los próximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. COMPAQ tiene el material y la Capacidad de producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador. Empleando sobre tiempo del personal se pueden producir hasta 2500 computadores más a un costo individual de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados
para satisfacer la demanda de ese período, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador en inventario tiene un costo adicional de US$ 100 por período para reflejar los costos de almacenaje. ¿Como puede satisfacer COMPAQ su demanda a costo mínimo? 35.- Un ejecutivo de una empresa tiene $100.000 para invertir. Tiene dos inversiones: A y B. El Plan A garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $0,70 al final de un año (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). El Plan B garantiza que por cada dólar invertido, se obtendrán $2,00 al final de un período de dos años (se entiende que no puede fraccionarse este lapso de tiempo). Aplicando el método SIMPLEX, asesore al ejecutivo para obtener el mejor rendimiento por su dinero durante un período de tres años. 36 La empresa McDonald’s vende hamburguesas de un cuarto de libra y hamburguesas con queso. La hamburguesa de un cuarto de libra obviamente utiliza ¼ de libra de carne y la hamburguesa con queso sólo utiliza 0,2 libras. El restaurante empieza cada día con 200 libras de carne. La utilidad neta es la siguiente: $ 0,20 por cada hamburguesa de cuarto de libra y $0,15 por cada hamburguesa con queso. El gerente estima además que no venderá más de 900 hamburguesas en total. Aplicando el método SIMPLEX, determine la máxima utilidad que obtiene McDonald's. 37.- Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 y el de cada uno de los pequeños, 6000 ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuantos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible? 38.- A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No de be tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir más de 100 g de A Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías, utilizando el método SIMPLEX: a) ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado más rico en vitaminas? b) ¿Y el más pobre en calorías? 39.- Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos está definida por las siguientes condiciones: La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La producción total es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Utilizando el Método SIMPLEX, determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio.
40.- Una compañía petrolífera requiere diariamente 9 Tm, 12 Tm y 24 Tm de petróleo de calidad alta, media y baja respectivamente. La compañía tiene dos refinerías. La refinería A produce diariamente 1 Tm, 3 Tm y 4 Tm de calidades alta, media y baja respectivamente. La refinería B produce 2 Tm de cada una de las tres calidades. El costo diario de cada una de las refinerías es de 20.000.000 ¿Utilizando el método SIMPLEX, ccuántos días debe de trabajar cada refinería para que el costo sea mínimo?. 41.- Un laboratorio farmacéutico desea elaborar un reconstituyente de manera que cada frasco contenga al menos 4 unidades de vitamina A, 23 unidades de vitamina B y 6 de vitamina C. Para suministrar estas vitaminas se emplea un aditivo M que cuesta 100 el gramo, el cual contiene 4 unidades de vitamina A, 6 de B y 1 de C y un aditivo H a un costo de 160 por gramo que contiene 1 unidad de vitamina A, 10 de B y 6 de C. ¿Utilizando el Método SIMPLEX, cuántos gramos de cada aditivo se deben incluir en cada frasco para minimizar el costo? 42.- Un expendio de carnes acostumbra a preparar la carne para hamburguesas con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80% de carne y 20% de grasa, y le cuesta a la tienda 800 por kilo. La carne de cerdo contiene 68% de carne y 32% de grasa, y le cuesta 600 el kilo. El expendio no desea que el contenido de grasa de un kilo de hamburguesa preparada sea superior al 25%. Aplicando el método SIMPLEX, ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda para preparar un kilo de hamburguesas a fin de minimizar los costos?. 43.- Para producir 2 toneladas de trigo se requieren 4 hectáreas, 2 bolsas de semillas de trigo por hectárea y 5 meses/hombre. Para producir 3 toneladas de centeno se requieren 2 hectáreas, 1.5 bolsas de semillas de centeno por hectárea y 9 meses/hombre. El precio del trigo y del centeno por tonelada asciende a $300 y $230 respectivamente. El costo de la bolsa de semillas de cada uno de estos productos es $20 la de trigo y $30 la de centeno. El empresario que espera maximizar sus beneficios dispone de 120 hectáreas y de 270 meses/hombre. Asimismo cuenta de un contrato que le otorga la opción de arrendar un campo lindero de 80 hectáreas a razón de $30 la hectárea utilizada. La ley laboral, por otra parte, le brinda el beneficio de contratar mano de obra adicional a un costo de $50 por meses/hombre, sin limitación. a) Formule el problema en términos de programación lineal. b) Utilizando el Método SIMPLEX, determine cuál será la solución óptima del empresario y el correspondiente nivel que adoptará cada una de las actividades. c) Formule el programa dual correspondiente. 44.- Una ama de casa, típico ejemplo de la economía informal, hace en sus ratos domésticos libres dos tipos de salsa de tomate que vende en jarras de barro al supermercado de la zona. La primera salsa, requiere utilizar 3 Kg. de tomates y 4 tazas de vinagre por jarra de salsa. La segunda requiere 5 Kg. de tomates y 2 tazas de vinagre. La primera salsa le produce un beneficio de 40 por jarra y la segunda 50. El supermercado que remite su producción casera hacia los circuitos comerciales (no sabemos con qué beneficio relativo) le impone a la ama de casa las siguientes condiciones: • Que produzca como mínimo 3 jarras de salsa a la semana. • Que le compre como máximo 24 kg de tomate y 3 botellas de vinagre a la semana. Sabiendo que una botella de vinagre equivale a 16 tazas y que el supermercado monopoliza la venta de tomate y vinagre en la región. Utilizando el método SIMPLEX, determinar los precios a los que estaría dispuesta a pagar el tomate y el vinagre la ama de casa a otro comerciante de la economía informal, para minimizar sus costos.
45.- La compañía Minas Universal opera tres minas en Puerto Ordaz, el mineral de cada una se separa, antes de embarcarse, en dos grados. La capacidad diaria de producción de las minas así como sus costos diarios de operación son los siguientes: Mineral de Grado alto
Mineral de grado bajo
Costo de operación
ton/día
Ton/día
miles/día
Mina I
4
4
20
Mina II
6
4
22
Mina III
1
6
18
La Universal se comprometió a entregar 54 toneladas de mineral de grado alto y 65 toneladas de mineral de grado bajo para fines de la siguiente semana. Además, tiene contratos que garantizan a los trabajadores de ambas minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina esté abierta. Utilizando el método SIMPLEX, determinar el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si Minas Universal ha de cumplir su compromiso a un costo total mínimo. 46.- La empresa Batisa S.A. fabrica camisas para ejes, estando especializada en dos productos: Camisas con endurecimiento superficial mediante tratamiento térmico (Camisa tipo 1) y camisas con recubrimiento cerámico (Camisa tipo 2), productos de alta aceptación en el mercado por su alto rendimiento a la abrasión. Ambos productos se producen mediante el mecanizado de una aleación denominada Inconel, siendo necesario 1 kg de material para fabricar una camisa tipo 1 y 2 kg de aleación para las camisas tipo 2. Al ser necesario un mejor acabado superficial para recibir el tratamiento térmico, las camisas tipo 1 necesitan un tiempo de mecanizado de 4 horas por pieza mientras que las camisas tipo 2 se mecanizan en 2 horas. Tanto el tratamiento térmico como el recubrimiento cerámico se realizan en el mismo departamento (Departamento de Acabado), siendo necesarias 3 y 2 horas respectivamente. El acuerdo de suministro de material con nuestro proveedor garantiza el aprovisionamiento de 50 kg de material a la semana. La plantilla de la empresa está compuesta por 4 personas que trabajan en conjunto 92 horas semanales. Las 92 horas se reparten 32 en el departamento de mecanizado y 60 en el departamento de Acabado. El coste de estas personas es de 400 € /hora siendo su contrato en función de la carga de trabajo pudiendo ser rescindido a discreción de la empresa Conociendo que el kg de Inconel cuesta 800 $ ( 1$=1,25 €) y que los precios de venta de las camisas tipo 1 y 2 es 3920 € y 3700 € respectivamente: Se pide: a) Plantear y resolver el problema de Programación lineal que maximice el beneficio de la compañía. b) Plantear y resolver el problema dual en función del resultado del problema Primal. c) Justificar adecuadamente el valor del “costo de oportunidad” de las horas de mecanizado. d) Indicar justificadamente cual sería el punto optimo de producción, si el precio de las camisas tipo 1 subiera 50 € y el de las camisas tipo 2 bajara 5 €.
47.- La empresa Polipen S.A. tiene como objeto la fabricación de material de oficina, destacando su división de útiles de escritura. Su línea de fabricación contempla tres productos : Lápices, Bolígrafos y Plumas. El esquema de fabricación se indica a continuación:
La línea de ensamblaje está compuesta por 5 operarios a jornada completa y 15 operarios a media jornada, cuyos salarios son de 400 €/ hora y 450 €/hora respectivamente. Todo el personal de este departamento tiene un contrato de trabajo fijo. Se ha llegado a un acuerdo con el comité de empresa para dotar de flexibilidad a la plantilla de forma que se permite contratar al personal de la línea de empaquetado en función de la carga de trabajo. Su coste es de 500 €/hora para un máximo de 200 horas de trabajo contratadas por semana. El horario de la fábrica es de Lunes a Viernes de 8:30 a 13:30 por la mañana y de 15:00 a 18:00 por la tarde. La tabla siguiente indica el número de minutos necesarios para ensamblar y empaquetar cada uno de los productos:
Lápices
Bolígrafos
Plumas
Ensamblaje
300
240
120
Empaquetado
60
240
180
El precio de venta de los lápices, bolígrafos y plumas es respectivamente de 506 €/unidad, 2010 €/unidad y 1505 €/unidad respectivamente 1.- Plantear el problema de Programación Lineal que optimice la producción de la compañía 2.- Se quiere negociar el aumentar la capacidad de empaquetado hasta un máximo de 550 horas a la semana. ¿Cuántas horas aumentaría? ¿Cuál sería el punto óptimo en ese caso? ¿Cuál sería el salario máximo que estaría dispuesto a negociar? 3.- ¿Cuál es el aumento de precio necesario para que merezca la pena invertir recursos en fabricar plumas? 4.- Indicar cual es la bajada de precios que se puede soportar en los lápices sin que varíe el punto óptimo. 48.- La Refinería Isla S.A., produce gasolina tipos regular y primera. La refinería fabrica los productos mezclando 3 componentes de petróleo. La empresa quiere determinar cómo mezclar los 3 componentes en los 2 productos de gasolina para alcanzar el máximo de ganancias. La gasolina regular se vende a $0.50 por el galón y la de primera se vende a $0.54 por el galón. Cinco mil galones están disponibles de Componente 1 cuyo costo es de $0.25 por el galón, 10000 galones están disponibles de Componente 2 con costo de $0.30 por el galón, y 10000 galones están disponibles de Componente 3 que cuesta $0.42 por el galón. Los compromisos actuales a distribuidores exigen a la compañía producir 10000 galones de gasolina regular por lo menos. Además, las especificaciones del producto requieren a lo siguiente: regular - a lo sumo 30% de
Componente 1, por lo menos 40% de Componente 2, y a lo sumo 20% de Componente 3; la de primera - por lo menos 25% de Componente 1, a lo sumo 40% de Componente 2, y por lo menos 30% de Componente 3. 49.- Una empresa proveedora de alimentos balanceados generadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:
CONTENIDO
PRODUCTO
DE:
1
2
3
FIBRAS
20%
30%
5%
PROTEÍNAS
60%
50%
38%
MINERALES
9%
8%
8%
PRECIO POR KG.
$10
$15
$8
Determine: a) ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el com puesto óptimo ? b) ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: Fibras, Proteínas y Minerales 50.- La empresa MADERAS S.A. es un fabricante de muebles independiente. Hace tres estilos diferentes de mesas, A, B, C. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas, su montaje y pintura. MADERAS S.A., puede vender todas las unidades que fabrica. Es más, el modelo B se puede vender sin pintar. Utilizando los datos indicados. Determine la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa.
Requerimiento de Horas Hombre por mesa Modelo
Utilidad por mesa
Corte
Ensamblado
Pintura
A
$ 17.500
1
2
4
B
$ 20.000
2
4
4
B sin pintar
$ 10.000
2
4
0
C
$ 25.000
3
7
5
Disponibilidad mensual de HH
200
298
148
51.- Una Empresa metalmecánica, puede fabricar cuatro productos diferentes (A, B, C, D) en cualquier combinación. La producción de cada producto requiere emplear las cuatro máquinas. El tiempo que cada producto requiere en cada una de las cuatro máquinas, se muestra en la tabla anexa Cada máquina está disponible 80 horas a la semana. Los productos A, B, C y D se pueden vender a $8, $6, $5 y $4 por kilogramo, respectivamente. Los costos variables de trabajo son de $3 por hora para las máquinas 1 y 2 y de $1 por hora para las máquinas 3 y 4. El costo del material para cada kilogramo de producto A es de $3. El costo de material es de $1 para cada kilogramo de los productos B, C y D. Determinar la máxima utilidad mensual que puede obtener la Empresa.
Tiempo de máquina (Minutos por kilogramo de producto) Producto
Máquina
Demanda
1
2
3
4
Máxima
A
10
5
3
6
100
B
6
3
8
4
400
C
5
4
3
3
500
D
2
4
2
1
150
52.- DELL COMPUTER necesita satisfacer la demanda de computadoras portátiles de su Cliente Corporativo (PDVSA), así como de sus Clientes del Sector Educativo (USM), para los próximos cuatro trimestres. DELL COMPUTER dispone en inventario de 5,000 computadoras portátiles. La demanda esperada de computadoras portátiles para cada uno de los trimestres es la siguiente, 7,000; 15,000; 10,000; y 8,000 respectivamente. DELL COMPUTER tiene la capacidad productiva y los componentes requeridos para fabricar 10,000 computadoras portátiles en cada trimestre, a un costo unitario de $2000 por el computadora ensamblada. Usando horas extras de sobre tiempo, DELL COMPUTER , pudiera fabricar adicionalmente hasta 2,500 computadoras portátiles trimestrales pero a un costo de $2200 cada una ó también pueden disponerse de computadoras fabricadas en un trimestre para satisfacer la demanda de otro trimestre , manteniendo las mismas en inventario . Cada computadora portátil en inventario genera un sobrecosto de almacenamiento y despacho de $100 la unidad almacenada. Indicar como puede DELL COMPUTER satisfacer la demanda de sus clientes al mínimo costo. 53.- Una institución bancaria se encuentra en proceso de formular su política de préstamos para el próximo mes. Para este fin, se asigna un máximo de $12.000.000. Siendo una institución de servicios integrales, debe otorgar préstamos a todos los tipos de clientes. La tabla que sigue señala los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la cantidad porcentual de pagos no cubiertos estimado por experiencia. TIPO DE PRÉSTAMO
TASA DE INTERÉS
PORCENTAJE DE PAGOS NO CUBIERTOS
Personal
14%
10%
Automóvil
13%
7%
Casa
12%
3%
12,5%
5%
Agrícola
Comercial
10%
2%
Se supone que los pagos no cubiertos son irrecuperables y por lo tanto no producen ingresos por concepto de interés. La competencia con otras instituciones bancarias exige que cuando menos el 40% de la asignación de fondos sea para préstamos agrícolas y comerciales. El banco tiene, así mismo, una política que especifica que el porcentaje total de pagos irrecuperables no debe exceder el 4%. Determinar las condiciones para las cuales se optimizan las ganancias netas de la institución bancaria. 54.- Un restaurante de autoservicio, está abierto los siete días de la semana. Basado en la experiencia del pasado, el número de empleados requeridos en un día particular se da como sigue:
DIA No. OBREROS
LUN.
MAR.
MIE.
JUE.
VIE.
SAB.
DOM.
14
13
15
16
19
18
11
De acuerdo a la norma laboral, cada obrero trabaja cinco días consecutivos, con dos días de descanso, repitiéndose este proceso para todos los obreros. Indicar como se puede minimizar el número de obreros requeridos por el restaurante? 55.- Una firma financiera tiene $500,000 disponible para invertir y busca determinar cuánto de esa cantidad debe ser invertida en cada una de las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa Y, bonos X y bonos Y, en el lapso de un año. Un máximo de $105,000 puede ser invertido en bonos de tipo X y un máximo de $100,000 puede ser invertido en bonos del tipo Y. La inversora sabe que existe un riesgo considerable asociado con la inversión en la bolsa X. Por lo tanto, ha determinado que no invertirá más de un cuarto de su inversión total en la bolsa X. También la cantidad total invertida en la bolsa Y debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X. Además, la inversora requiere que la inversión en bonos sea al menos tan grande como la mitad de sus inversiones en las bolsas. Los retornos netos anuales son:
Bolsa X
20%
Bolsa Y
10%
Bonos X
9%
Bonos Y
11%
56.- Una compañía de inversiones tiene que elegir entre cuatro proyectos que compiten por un presupuesto de inversión fijo de US$1,500,000. En la la tabla anexa, se muestran la inversión neta y los rendimientos estimados de cada proyecto. A cada uno de estos proyectos se le pueden asignar fondos en cualquier nivel fraccional menor o igual al 100%. La compañía requiere de un rendimiento mínimo del 25% y desea minimizar el riesgo. Supóngase que el riesgo es aditivo. Por ejemplo, el riesgo de asignar fondos para aceites al 20% y para edificio de oficinas al 50% será (0,2)(9) + (0,5)(4) = 3,8. Elabore un modelo de PL donde las variables de decisión sean las fracciones de cada proyecto que se debe llevar a cabo.
Proyectos de inversión Proyecto
Monto de inversión (US$)
la Retorno estimado (US$)
Riesgo
Centros Comerciales
550.000
700.000
6
Aceite
400.000
900.000
9
Edificios de Oficinas
450.000
550.000
4
Viviendas para Bajos Ingresos
500.000
600.000
2
57.- En la empresa PROLINEAL S.A., el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del m ismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3. En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes. 58.- La empresa avícola PROTINAL, desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. PROTINAL está estudiando el uso de maíz, soya, avena y alfalfa, cuya información dietética se muestra en la Tabla anexa, en miligramo por libra de oleaginosa. (por ejemplo, 1 libra de maíz proporciona 15 miligramos de proteína). Resuelva el modelo de programación lineal para determinar la mezcla dietética que satisfará los requisitos diarios a un costo mínimo. Nutriente
Maíz
Soya
Avena
Alfalfa
Necesidades diarias
Proteína (mg)
15
30
15
7
Mínimo 50 mg
Calcio (mg)
40
10
40
45
Mínimo 150 mg
Grasas (mg)
20
50
8
25
Mínimo 25 mg Máximo 120 mg
Calorías
850
1500
1200
4000
Costo por Libra ($)
70
45
40
90
Mínimo 5000 calorías
59.- Al gerente de cartera de un fondo de pensiones se le ha pedido invertir $1.000.000 en un gran fondo de pensiones. El Departamento de Investigación de Inversiones ha identificado seis fondos mutuales con estrategias de inversión variables, resultando en diferentes rendimientos potenciales y riesgos asociados, como se resume en la tabla siguiente. FONDOS
Retorno (%) Categoría riesgo
de
1
2
3
4
5
6
30
20
15
12
10
7
Alto
Alto
Alto
Mediano
Mediano
Bajo
La administración ha especificado las siguientes pautas: · La cantidad total invertida en fondos de alto riesgo debe estar entre el 50% y el 75% de la cartera. ·
La cantidad total invertida en fondos de mediano riesgo debe estar entre el 20% y el 30% de la cartera.
· La cantidad total invertida en fondos de bajo riesgo debe ser de al menos el 5% de la cartera. · La cantidad invertida en los fondos de alto riesgo 1,2 debe estar en relación proporcional de 1:2. · La cantidad invertida en los fondos de mediano riesgo 4 y 5 debe estar en la proporción 1:2. Determine los fondos mutuales que maximicen el beneficio al final del período 60.- Una compañía petrolera produce dos tipos de gasolina, normal y super, que vende a sus estaciones de servicio a 120 y 140 por litro respectivamente. Ambos tipos de gasolina se realizan mezclando combustible nacional y extranjero de sus almacenes y debe cumplir las siguientes especificaciones:
Presión de
Octanaje
Demanda
Despachos
Vapor
Mínimo
Máxima
Mínimos
Máxima
(Lts/semana) (Lts/semana)
NORMAL
23
88
100.000
50.000
SUPER
23
93
20.000
5.000
Las características del combustible disponible en el almacén son:
Presión de
Octanaje
Almacén
Costo
Vapor
Mínimo
(litros)
(Bs/Lit)
NACIONAL
25
86
40.000
80
IMPORTADA
15
98
60.000
150
Determinar: ¿Qué cantidades de combustible nacional y extranjero deben mezclarse para producir las dos gasolinas y obtener los máximos beneficios semanales? NOTA: Los componentes de la mezcla contribuyen al octanaje (y a la presión de vapor) de acuerdos a su porcentaje en la mezcla. 61.- Un industrial agrícola fabrica alimentos para vacas, ovejas y pollos. Esto se hace mezclando los siguientes ingredientes: maíz, piedra caliza, soja y harina de pescado. Estos ingredientes contienen los siguientes nutrientes: vitaminas, proteína, calcio y grasa. Los contenidos de los nutrientes en cada kg de los ingredientes se resumen en la tabla:
Nutriente Ingrediente
Vitamina
Proteína
Calcio
Grasa
Maíz
8
10
6
8
Piedra caliza
6
5
10
6
Soja
10
12
6
6
Harina de Pescado
4
8
6
9
El industrial es contratado para producir 10, 6 y 8 tons métricas de los tres tipos de alimentos. Debido a escasez, una cantidad limitada de los ingredientes está disponible, concretamente: 6 tons de maíz, 10 tons de piedra caliza, 4 tons de soja y 5 tons de harina de pescado. El precio por kilogramo de estos ingredientes es, respectivamente, $0,20, $0,12, $0,24 y $0,12. Las unidades máximas y mínimas de nutrientes permitidas por kg de alimento se detallan en la siguiente tabla:
Nutriente VITAMINA PRODUCTO
min
max
PROTEÍNA min
max
CALCIO min
max
GRASA min
max
Al. vaca
6
6
7
4
8
Al. oveja
6
6
6
4
6
Al. pollo
4
6
6
4
6
6
Determinar la composición del alimento que minimice su costo total.
62.- Una compañía produce tres tamaños de tubos: A, B y C, que son vendidos, respectivamente en $10, $12 y $9 por metro. Para fabricar cada metro del tubo A se requieren de 0.5 minutos de tiempo de procesamiento sobre un tipo particular de máquina de modelado. Cada metro del tubo B requiere de 0.45 minutos y cada metro del tubo C requiere 0.6 minutos. Después de la producción, cada metro de tubo, sin importar el tipo, requiere 1 kg de material de soldar. El costo total se estima en $3, $4 y $4 por metro de los tubos A, B y C respectivamente. Para la siguiente semana, la compañía ha recibido pedidos excepcionalmente grandes de sus clientes, que totalizan 2000 metros de tubo A, 4000 metros de tubo B y 5000 metros del tubo C. Como sólo se dispone de 40 hrs. Del tiempo de máquina esta semana y sólo se tienen en inventario 5,500 kgs de material de soldar el departamento de producción no podrá satisfacer la demanda la cual requiere de 11,000 kgs de material para soldar y más tiempo de producción. No se espera que continúe este alto nivel de demanda. En vez de expandir la capacidad de las instalaciones de producción, la gerencia esta considerando la compra de algunos de estos tubos a proveedores de Japón a un costo de entrega de $6 por metro del tubo A, $6 por metro del tubo B y $7 por metro del tubo C. Estos diversos datos se resumen en la tabla 1. A Usted como Gerente del Departamento de producción, se le ha pedido hacer recomendaciones respecto a la cantidad de producción de cada tipo de tubo y la cantidad de compra a Japón para satisfacer la demanda y maximizar las ganancias de la Compañía.
Tabla 1: Datos referentes al problema: Tubo tipo
Precio de Venta ($/metro)
Demanda (metros)
Tiempo de Material Costo de Máquina para soldar Producción (min/metro) (kg/metro) ($/metro)
Costo de compra a Japón ($/metro)
A
10
2,000
0.50
1
3
6
B
12
4,000
0.45
1
4
6
C
9
5,000
0.60
1
4
7
Formule el modelo de PL 63.- La empresa REPSOL-YPF, obtiene 4 tipos de petróleo crudo de sus reservas en Argentina, Norte de África, Indonesia y Oriente Medio. La gasolina obtenida de estos petróleos crudos se mezcla junto con dos aditivos para obtener el producto final. Estos petróleos crudos y aditivos contienen azufre y fósforo, según se muestra en la tabla adjunta:
Argentina Indonesia África AZUFRE (%) FÓSFORO (%) COSTO (US$/galon)
Oriente
Aditivo A Aditivo B
0,07
0,08
0,1
0,06
-
-
-
-
-
-
0,025
0.020
0,55
0,47
0,33
0,45
0,08
0,15
Debido a los residuos e impurezas, cada galón de petróleo de Argentina da lugar a 0.35 galón de producto final, cada galón de Norte de Africa da lugar a 0.3 galón de producto final, cada galón de Indonesia da lugar a 0.4 galón de producto final y cada galón de Oriente Medio da lugar a 0.45 galón de producto final. La gerencia ha establecido las siguientes especificaciones técnicas para controlar las cantidades de azufre y fósforo en la gasolina: * Cada galón debe tener a lo más 0.07% de azufre. * Cada galón debe tener entre 0.0025 y 0.0045 gr. de fósforo. * La cantidad total de aditivos no puede exceder del 20% de la mezcla. Plantee un modelo de programación lineal que le permita determinar un plan de mezclado que produzca una gasolina aceptable al mínimo costo.
64.- La empresa PARMALAT tiene dos máquinas distintas para procesar leche pura y producir leche descremada, mantequilla o queso. La cantidad de tiempo requerido en cada máquina para producir cada unidad de producto resultante y las ganancias netas se proporcionan en la siguiente tabla:
LECHE
MANTEQUILLA
QUESO
DESCREMADA MAQUINA #1 (min/galón)
0,2
0,5
1,5
MAQUINA #2 (min/galón)
0,3
0,7
1.2
GANANCIA NETA (US$/Galon)
0,22
0,38
0,72
Suponiendo que se dispone de 8 horas en cada máquina diariamente, como Gerente del Departamento de Administración formule un modelo para determinar un plan de producción diaria que maximice las ganancias corporativas netas y produzca un mínimo de 300 galones de leche descremada, 200 libras de mantequilla y 100 libras de queso. 65.- Considere un presupuesto de publicidad de $30,000 para un nuevo producto ligeramente caro. Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisión, y por lo menos deben localizarse 50,000 compradores potenciales durante la campaña. También, un máximo de $18,000 pueden gastarse los anuncios en la televisión. ¿Dado los datos incluidos en la Tabla anexa determinar el plan de medios de comunicación de publicidad óptimo que aumentará al máximo las compras esperadas? Tipo de
Familias
Costo
Máximo
Expectativa
medio
Encuestadas
Por aviso
disponible
de compra
TV-de día (1 min.)
1,000
$1,500
15
65
TV-tarde. (30 sec.)
2,000
$3,000
10
90
Periódico semanal
1,500
$400
25
40
Periódico domingo
2,500
$1,000
4
60
300
$100
30
20
Radio (30 sec.)
66.- Knoxville Survey S.A. se ha contratado para dirigir la puerta-a-puerta las entrevistas personales para obtener la información de ambas casas con y sin niños para un estudio de mercado. Además, las entrevistas se realizaran mañana y tarde para permitir incluir una variedad de actividades de trabajo de la casa. La empresa debe dirigir 1,000 entrevistas bajo las pautas siguientes: 1. Por lo menos se entrevistarán 400 casas con los niños. 2. Por lo menos 400 casas se entrevistarán sin niños. 3. El número total de entrevistas de la tarde será por lo menos tan grande como el número total de entrevistas del día. 4. Por lo menos se dirigirán 40% de entrevistas para las casas con niños durante la tarde. 5. Por lo menos 60% de entrevistas para las casas sin niños durante la tarde.
Los costos de la entrevista son $20 durante niño-día, $25 por niño-tarde, $18 durante ningún niñodía, y $20 durante ningún niño-tarde. ¿ Determinar cuántas entrevista de cada tipo debe hacerse para minimizar los costos del estudio de mercado? 67.- Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Determine: a) ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado? b) ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué porcentaje ? 68.- Unos grandes almacenes necesitan entre 6 y 15 vigilantes cuando están abiertos al público y entre 4 y 7 vigilantes nocturnos. Por razones de seguridad, debe haber más vigilantes cuando están abiertos. Si el salario nocturno es un 60% más alto que el diurno, ¿cómo debe organizarse el servicio para que resulte lo más económico posible? 69.- La Constructora Casas Ltda., se ha adjudicado la construcción de 100 casas. El contrato la obliga a construir dos tipos de casas. Para los beneficiarios las casas tienen el mismo costo, pero para Constructora Casas, éstas tienen un margen de utilidad diferente, así las casas tipo campo arrojan $ 5.100.000 y las de tipo rancho $ 5.000.000. El contrato obliga a entregar las casas dentro de los nueve meses de firmado el contrato. Otra información relevante se resume en la siguiente tabla: Requerimiento de horas por tipo de Disponibilidad de horas casa Campo
Rancho
200
100
12000
Carpintero
50
120
13000
Albañil
a) Formule el problema de programación lineal. b) Encuentre la solución óptima gráficamente. c) Suponga que se desea agregar un nuevo tipo de casa denominada “Colonial” que da un margen de utilidad de 4.900.000/casa y que requiere de 150 hr-carpintero/casa y 80 hralbañil/casa. Explique si conviene o no fabricar las casas. 70.- Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:
CONTENIDO DE:
PRODUCTO 1
2
3
FIBRAS
20%
30%
5%
PROTEÍNAS
60%
50%
38%
MINERALES
9%
8%
8%
PRECIO POR KG.
$10
$15
$8
Conteste: a) ¿ Cuál será la proporción de cada producto en el com puesto óptimo ? b) ¿ A cuánto ascenderá el precio sombra (por gramo) de: - Fibras, Proteínas y Minerales ? c) ¿Cómo cambiaría su respuesta a cada uno de los puntos anteriores si se exige que cada unidad de compuesto pese un kilo exactamente? 71.- En el zoológico municipal, se requiere un compuesto de carne para alim entar a los leones, que contenga igual cantidad de proteínas y de grasa. Según un estudio de mercado, los distintos tipos de carne tienen las siguientes características y los siguientes precios:
CONTENIDO DE:
CARNE TIPO: A
B
C
GRASAS
16%
18%
25%
PROTEÍNAS
22%
20%
16%
PRECIO POR KG.
$70
$90
$100
Si se desea minimizar el costo de la alimentación de las fieras: a) Plantee el problema en términos de programación lineal. b) Plantear el programa dual al planteado por usted. c) Encontrar la combinación óptima de tipos de carne a adquirir que minimiza el costo de la dieta por kilogramo de ración. 72.- En la empresa PROLINEAL, el departamento de ingeniería señala que cuando se produce el bien 1 solamente, se obtiene como máximo una producción de 200 unidades del mismo; utilizando a pleno la capacidad instalada de máquinas del tipo A, no utilizando un 25% de la capacidad de las máquinas B y usando el 50% de las máquinas C. En cambio, cuando sólo se produce el bien 2 se utiliza el 100% de la capacidad instalada de máquinas C y sólo el 12.5% de la capacidad instalada de las A y el 75% de las B; obteniéndose un máximo de 100 unidades del bien en cuestión. El beneficio neto por unidad del bien 1 y del 2 es, respectivamente, $1 y $3.
En base a los datos aportados por el departamento de ingeniería, el gerente de producción argumenta que como sobraría capacidad instalada del parque de maquinarias B, convendrá ofrecerlas en alquiler. El gerente técnico opina, en cambio, que bajo las circunstancias, lo que realmente conviene es introducir un nuevo producto, el bien 3, que requiere 2% de capacidad de A, 10% de B y 0.5% de C, para obtener una unidad de este bien; que puede venderse en el mercado con un beneficio neto unitario de $14. Como el presidente de la empresa sabe que usted tiene buenos conocimientos de programación lineal y que las condiciones en las que opera Prolineal son aptas a tal planteo, le pide que dé su opinión acerca del mejor curso de acción a seguir, respondiendo críticamente a los planteos de los dos gerentes. 73.- En una economía lineal, se requiere por hectárea 2 hombres, 6 bolsas de semillas y 3 de fertilizantes; para obtener un rendimiento por hectárea de 3 toneladas de trigo candeal. Por otra parte, para obtener un rendimiento por hectárea de 2 toneladas de cebada se necesitan, en cambio, por hectárea; 4 bolsas de semillas, 2 de fertilizantes y 3 hombres. (producción). Una vez cosechada la producción, ésta debe almacenarse en silos del tipo A, B y/o C, cuyas capacidades son de 100 toneladas de cereales cada uno ( alternativamente, debe venderse a un precio de $100 la tonelada de cereal sea cual fuere el producto). Los silos del tipo A sólo almacenan trigo; los del tipo B sólo cebada, mientras que los del tipo C pueden almacenar ambos productos simultánea o indistintamente. (almacenamiento). Los valores pertinentes a los enunciados anteriores son: - Costo por bolsa de semilla de trigo $5 - Costo por bolsa de semilla de cebada $10 - Costo por bolsa de semilla de fertilizantes $10 - Precio por tonelada de trigo $190 - Precio por tonelada de cebada $160 - Cantidad de silos: uno de cada tipo. - Cantidad de hombres: 320 - Cantidad de Hectáreas: 120 (Los precios rigen para la venta después del período de almacenamiento). a) Plantee el problema global (de producción y de almacenamiento) en términos de programación lineal, si el objetivo es maximizar los beneficios. b) Plantee y resuelva únicamente el problema de producción. c) Plantee el dual de a) y la primera tabla de simplex. 74.- En una fábrica de guardapolvos se pueden producir tres tipos de prendas. - La primera de ellas requiere dos horas hombre del taller de cortado y cuatro horas hombre del taller de cosido. - El segundo artículo se fabrica utilizando una hora hombre del taller de cortado y cinco del de cosido. - La confección de la última especie de prenda requiere tres horas hombre de cada uno de los talleres señalados. Cada una de las prendas que es factible producir consume respectivamente, por unidad; dos, tres y cinco metros cuadrados de tela cuyo costo por metro cuadrado es de $3. Si la empresa dispone
en cada taller respectivamente de 100 cortadores y de 350 cosedores, operarios que deben cumplir con 200 horas de trabajo mensual cada uno, y se verifican las condiciones necesarias para la aplicación de la programación lineal: a) Determine cuál será la asignación óptima de la mano de obra entre las distintas actividades si el precio de los tres tipos de guardapolvos -al que pueden venderse cantidades ilimitadas de los mismos- es de $20, $26 y $40 cada uno, respectivamente. b) Conteste: ¿produciría una nueva prenda cuyo precio es de $52 y que requiere 4 horas hombre de cortado y 5 de cosido, consumiendo 6 metros cuadrados de tela? c) Plantee el problema en términos de programación lineal si cada operario del plantel de cortadores pudiera trabajar 20 horas extras mensuales a un costo de $4 la hora adicional. 75.- Una firma productora de detergentes cuenta con dos procesos productivos para fabricarlos. Cada actividad utiliza enzimas, capacidad de planta de producción y capacidad de planta de envasado. Las enzimas se pueden comprar en el mercado en cantidades ilimitadas a $100 por unidad. Las plantas de envasado y producción tienen una capacidad máxima de procesado fija. El precio del detergente es de $4 por unidad y se puede vender toda la cantidad que se pueda fabricar. El primero de los procesos utiliza dos unidades de enzimas, 4% de la capacidad de la planta de producción y 8% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. El segundo proceso requiere dos unidades de enzimas, 2% de la capacidad de la planta de producción y 12% de la de envasado, por cada 100 unidades de detergente. Conteste: a) ¿Cuál es el programa óptimo de producción y a cuánto ascenderá el beneficio esperado? b) ¿Cuál planta aconsejará usted ampliar, si ello fuera posible y de muy bajo costo, y en qué porcentaje ? 76.- En una economía lineal, para producir 3 unidades de trigo se requieren 6 unidades de tierra, $8 en semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidades de centeno se requieren 5 unidades de tierra, $10 de semillas y 6 trabajadores. El precio por unidad de trigo y centeno es $15 y $20,5 respectivamente, siendo las cantidades disponibles de tierra y de trabajo de 100 y 130 unidades respectivamente. Si el empresario desea optimizar el resultado de su explotación, interprete la solución del dual. 77.- Usted, como vendedor de FERRETERIA S.A. tiene que decidir cómo asignar sus esfuerzos entre los diferentes tipos de clientes de su territorio. Usted debe visitar comerciantes mayoristas y clientes que compran al detalle. Una visita a un comerciante mayorista usualmente le produce $20 en ventas, pero la visita en promedio dura 2 horas y debe manejar también en promedio 10 Km. En una visita a un comprador al detalle, le vende $50 requiere de unas 3 horas y 20 Km manejando su carro aproximadamente. Usted planifica viajar como máximo 600 Km por semana en su carro y prefiere trabajar no más de 36 horas a la semana. Encuentre la combinación óptima de visitas a comerciantes y clientes al menudeo que le permitan maximizar sus ganancias 78.- El grupo ANTAR, S.A. está analizando la posibilidad de diversificar sus inversiones, hacia sectores diferentes de donde se encuentra operando actualmente. El presupuesto disponible para inversiones de esta naturaleza se ha fijado en $100,000,000. Tomando en cuenta las áreas de inversión actuales, el director de finanzas ha recomendado que las nuevas inversiones sean en la INDUSTRIA PETROLERA, LA INDUSTRIA SIDERÚRGICA Y EN CETES. Específicamente, el director ha identificado siete oportunidades de inversión, así como las tasas de rendimiento esperadas de las mismas. Dicha información se da a continuación.
OPCIONES DE INVERSIÓN
TASA DE RENDIMIENTO (%)
Petróleo y Derivados, S.A.
50
Industria Petrolera, S.A.
75
Petróleos del Norte, S.A.
40
Aceros Monclova, S.A.
70
Siderúrgica Nacional, S.A.
45
Hierro y Acero, S.A.
55
CETES
60
El consejo de Administración ha impuesto, por su parte, la siguiente estrategia de inversión: 1. No se debe destinar más del 50% del total de la inversión a una industria en particular. 2. La inversión en CETES debe ser por lo menos el 25% del total invertido en siderurgia. 3.
La inversión en Industria Petrolera S. A., la cual resulta ser la de mayor rendimiento aunque también la de más alto riesgo, no puede exceder al 50% del total a invertir en el sector petrolero.
4. El total a invertir en siderúrgica debe ser por lo menos igual al invertido en petróleo. 1. Formular el modelo como uno de PL 2. Desarrollar el modelo Matemático 79.- Texas Instruments Inc. está estudiando la posibilidad de agregar nuevos minicomputadores a su línea con el fin de incrementar sus utilidades. Tres nuevos computadores han sido diseñados y evaluados. Cada uno requerirá de una inversión de $300,000. El computador 1 tiene un valor esperado en las ventas de 50,000 unidades por año, con una contribución en las utilidades de $20 por unidad. Los computadores 2 y 3 tienen un valor esperado de ventas de 300,000 y 100,000 unidades, respectivamente, con contribuciones en la utilidad de $5 y $10. La TEI ha asignado 800 horas mensuales de tiempo de planta técnica para estos nuevos productos. Los computadores 1, 2 y 3 requieren 1, 0.2 y 0.5 horas técnicas por unidad respectivamente. El sistema de empaque y despachos serán los usados actualmente por la compañía. Este sistema puede empacar y despachar como máximo 25,000 cajas de los minicomputadores 1, 2 y 3. El computador 1 es empacado en 1 caja; los computadores 2 y 3 son empacados, cada uno, 4 computadores por caja. Formule un modelo de programación lineal para determinar las decisiones que aporten la máxima utilidad a la TEI. 80.- En un contexto que usted puede asumir como lineal, una fábrica de jeans produce varios modelos de pantalones: - El modelo "Basic" (B), que requiere 2 m2 de tela denim, 3 minutos hombre del taller de cortado para cortar las distintas piezas y 6 minutos hombre del taller de cosido. El empaque se hace en un minuto y cada prenda esta lista para ser despachada previo desembolso de tres pesos por prenda en concepto de caja de embalaje y apliques varios en cada pantalón. - El modelo "Basic plus" (BP) no es otra cosa que el modelo anterior al que se le agrega un bordado muy bonito cuya confección requiere de 1 m inuto de la utilización del taller de bordado.
- El modelo "Basic plus ultra" (BPU) es igual al modelo Basic plus pero esta confeccionado previo planchado de la tela -que requiere de un lapso de 2 minutos por prenda de la concurrencia de Juanita, la planchadora-. - Los modelos B largo, BP largo y BPU largo son variantes de los modelos comunes descriptos, pero requieren un 10% más de cada uno y de todos los insumos por prenda. Existe, sin embargo, una limitación dado que no es posible producir más de 30 de estas prendas en total, limitación que no rige para las prendas comunes. Los parámetros relevantes son los siguientes: - Costo de la tela por m2 $10. - Capacidad máxima disponible mensual en horas hombre del taller de cortado 2000; del taller de cosido 800; del taller de bordado 250; del taller de empaque 70. Juanita sólo trabaja 100 horas efectivas mensuales. - Los jeans comunes B, BP y BPU se pueden colocar en cantidades ilimitadas a $30, $40 y $50 respectivamente y los modelos BL, BPL y BPUL de igual modo, a $34, $43 y $56 respectivamente. a) Formule el problema en términos de programación lineal. b) Si fuera posible obtener un 50% de horas adicionales del taller de cortado a un precio de $1 por minuto, ¿cómo modificaría su planteo? 81.- Un complejo industrial produce dos productos, A y B, los que comercializa en mercados perfectamente competitivos a $120 y $630 por unidad respectivamente. Para producir cada uno de estos bienes se requieren respectivamente por cada 100 unidades, 4 y 8 horas/operario y, 1 y 3 horas/supervisor. También se necesita de máquinas tipo X y de tipo Y para el procesamiento de estos productos. El parque de máquinas tipo X tiene una capacidad para procesar 40 y 60 unidades de cada uno de los productos citados respectivamente por minuto y en forma simultánea. Mientras que el parque de máquinas de tipo Y utiliza igual tiempo de procesamiento por producto pero en forma secuencial, de modo que, por ejemplo, si se procesa A al máximo admisible por minuto no se puede procesar unidad de B alguna en igual lapso. El producto B requiere a su vez como insumo de 2 unidades de A por cada unidad de B. La materia prima indispensable para producir A es de 2 kg. por unidad cuyo costo por kg. es de $10, en la medida en que no se excedan las 10 toneladas de consumo por período y de $15 por el excedente de dicho tonelaje, si lo hubiera. La empresa considerada dispone de 10 operarios y de 3 supervisores y, en cada período, de 7 horas-máquina tipo X y de 13 horas-máquina del otro tipo. Las horas efectivas de trabajo suman 9 horas por período y por trabajador. Es posible disponer horas/operario extra a un costo de $60 la hora. El equipo de ventas puede comercializar hasta un máximo de 3000 y 8000 unidades de A y B respectivamente por período. Cuando no se especifica la duración, el período se asume de una duración de 9 horas. Suponiendo que se cumplen los supuestos para la aplicación de la programación lineal: a) Plantee en términos de programación lineal el problema de optimización que enfrenta la Dirección del complejo industrial. b) Plantee e interprete el problema dual si no existieran horas extras ni precios diferenciales por insumos, ni restricciones a la comercialización. 82.- Si Q1, Q 2; U 1, U 2, U 3 denotan respectivamente a las variables funcionales y de holgura de un programa lineal y V1, V2, V3; L1, L2 simbolizan respectivamente a las variables funcionales y de holgura del correspondiente programa dual, ¿puede el siguiente conjunto de valores constituir un par de soluciones óptimas? Q1 = 12, Q2 = 0, U 1 = 3, U2 = 4, U3 = 0, L1 = 0, L2 = 4, V1 = 6, V2 = 0, V3 = 4. Fundamente su respuesta.
83.- Una empresa productora de pepinos envasados que dispone de 100 horas operario y dos plantas ubicadas en distintos puntos geográficos del país debe satisfacer los pedidos diarios de tres comerciantes en distintas zonas. Los costos de transporte de cada planta a cada cliente por paquete de envasados se resume en la siguiente tabla :
Tarifa por paquete desde planta hasta el comercio
Planta I
Planta II
Comerciante A
$4
$7
Comerciante B
$6
$5
Comerciante C
$5
$8
La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere de 1/2 hora operario, 4/3 % de utilización de la capacidad de la maquinaria para envasado y de $ 2 en concepto de insumos varios. La planta II-cuya tecnología es menos eficiente- requiere un 50% mas de todos los insumos por unidad de producto . El precio uniforme por paquete es de $ 13 y las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es respectivamente de 50 , 60 y 40 paquetes a) Plantee el problema de optimización que se le presenta al empresario en términos de PL. b) Si cada planta, en el planteo anterior, produjera 50 y 100 paquetes respectivamente, obtenga un plan de transporte óptimo, independientemente de los costos de producción. 84.- Asuma que debe programar la producción de una empresa agrícola en cada uno de los siguientes cuatro periodos en los que son elegibles tres cultivos posibles- el A, el B y el C -, existe una restricción de tierra (T), los coeficientes de insumo producto son conocidos e i guales para cada cultivo en los distintos periodos pero diferentes entre sí (a, b y c) y los precios netos (Pat, Pbt y Pct) son datos en todos los periodos. Existen además las siguientes restricciones de rotación: i) no se puede cultivar el mismo producto en la tierra en que se lo cultivó en el periodo anterior y ii) no se puede cultivar C en más de dos periodos en la misma tierra. Formule el programa lineal a resolver. 85.- Una empresa proveedora de alimentos balanceados y maximizadora de beneficios ha obtenido una orden de compra para producir un compuesto con, por lo menos, 100 gramos de fibras, 300 gramos de proteínas y 70 gramos de minerales pero que no excedan respectivamente de 150, 400 y 90 gramos. En el mercado puede obtener los siguientes productos con las siguientes características:
CONTENIDO
PRODUCTO
Si el compuesto no puede pesar más de 500 gramos- o si lo hace se debe pagar una multa de 20 centavos por gramo excedente por los primeros 50 grs y de 30 centavos si excede de 50 grsformule el problema de optimización que enfrenta el empresario en términos de PL si debe producir 10.000 unidades del compuesto. 86.- Una persona tiene suficiente arcilla para hacer 24 vasos pequeños o 6 vasos grandes. Tiene suficiente de un compuesto especial (materia prima del vidrio) que le permitiría hacer 16 de los vasos pequeños u 8 de los vasos grandes. Haciendo X1 = número de vasos pequeños y X2 = el número de vasos grandes. Los vasos más pequeños se venden a $3 cada uno, y los más grandes a 9$. (a) Formular el problema (b) Resolver gráficamente 87.- La empresa LAVAELECTRO S.A. es fabricante de dos componentes mecánicos para una gran compañía de lavadoras de ropa. La compañía fabricante de lavadoras hace pedidos trimestrales a LAVAELECTRO S. A. Los requerimientos mensuales varían de un mes a otro, dedo que a venta de lavadoras se ve afectada por cierta estacionalidad, LAVAELECTRO S. A. acaba de recibir una orden para el siguiente trimestre, la cual se detalla a continuación.
MES
Componente
Enero
Febrero
Marzo
X-126 A
30,000
20,000
40,000
X-112 C
10,000
20,000
30,000
Después que se procesa la orden, se envía una requisición al departamento de control de producción, en donde elaboran una programación trimestral para ambos componentes. El gerente de producción opina que lo mejor es fabricar en promedio 30,000 = (30,000 + 20,000 + 40,000)/3 unidades por mes del primer componente, y 20,000 = (10,000 + 20,000 + 30,000)/3 unidades por mes del segundo componente, con lo cual se tendría un nivel de producción constante. Por otra parte, el gerente de finanzas no opina lo mismo que el de producción, dado que con una producción constante, el nivel de inventarios para los componentes sería alto, redundando en un alto costo financiero. Específicamente, el inventario que se generaría con una producción constante es:
Mes
Inventario Inicial
Producción Ventas
Inventario Final
0
30,000
30,000
0
1
0
30,000
20,000
10,000
2
10,000
30 ,000
40,000
0
1
0
20,000
10,000
10,000
2
10,000
20,000
20,000
10,000
3
10,000
20,000
30,000
0
X-126A
Y-112C
Por tanto, el gerente de finanzas sugiere que se produzca únicamente lo que se va a vender en cada mes. A esta sugerencia, el gerente de producción ha contestado que sería muy costoso para la compañía tener tiempo ocioso en la maquinaria durante ciertos meses al variar el nivel de producción; y además, que sería aún más costoso para la empresa, disponer de diferentes niveles de mano de obra de un mes a otro. El gerente de control de la producción ha decidido conciliar los objetivos en conflicto de los gerentes de producción y de finanzas, para la cual ha obtenido la siguiente información:
Capacidad en maquinaria Mes
(horas)
Enero
Capacidad en mano de obra
Capacidad en almacén
(horas)
(m2)
800
1,000
300
Febrero
1,000
1,000
300
Marzo
1,500
1,000
300
Componente
Horas-máquina unidad
por Horas-hombre por unidad
Espacio unitario (m2)
X-126A
0.10
0.05
0.30
Y-112C
0.15
0.05
0.25
Adicionalmente, se sabe que el costo de producción es $3,000 para el primer componente y $2,000 para el segundo; el costo de mantener una unidad en inventario se estima en 5% del costo de producción y actualmente se tienen en inventario 10,000 unidades del primer componente y 5,000 unidades del segundo; el costo por hora-hombre contratada adicionalmente es $1,000 y por horahombre no utilizada es $500. ¿Qué programa de producción debe establecer el gerente de control de producción? 88.- Una hiladora ha recibido una orden para producir un hilo que debe contener al menos 45 onzas de algodón y 25 onzas de seda. La orden puede ser conformada para cualquier mezcla posible de dos tipos de Hilo (A y B). El Material A cuesta $3 por onza y el B cuesta $2 por onza. Contienen las proporciones de algodón y seda que se presentan en la siguiente tabla:
Algodón
Seda
A
30 %
50 %
B
60 %
10 %
¿Qué cantidades (onzas) de hilos A y B deberían ser usadas para minimizar el costo de esta orden?
89.- Una persona acaba de heredar $6000 y que desea invertirlos. Al oír esta noticia dos amigos distintos le ofrecen la oportunidad de participar como socio en dos negocios, cada uno planeado por cada amigo. En ambos casos, la inversión significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano, al igual que invertir efectivo. Con el primer amigo al convertirse en socio completo tendría que invertir $5000 y 400 horas, y la ganancia estimada (ignorando el valor del tiempo) sería $4500. Las cifras correspondientes a la proposición del segundo amigo son $4000 y 500 horas, con una ganancia estimada de $4500. Sin embargo, ambos amigos son flexibles y le permitirían entrar en el negocio con cualquier fracción de la sociedad; la participación en las utilidades será proporcional a esa fracción. Como de todas maneras esta persona está buscando un trabajo interesante para el verano (600 horas a lo sumo), ha decidido participar en una o ambas propuestas, con la combinación que maximice la ganancia total estimada. Es necesario resolver el problema de obtener la mejor combinación. a)
Formule el modelo de programación lineal para este problema.
b)
Resuelva este modelo con una gráfica. ¿Cuál es la ganancia total estimada?
c)
Indique por qué parece que cada una de las cuatro suposiciones de programación lineal se satisface razonablemente en este problema. ¿Está en duda alguna de las suposiciones? Si así es, ¿Qué puede hacerse para tomar en cuenta esto?
90.- Una compañía manufacturera descontinuó la producción de cierta línea de productos no redituable. Esto creó un exceso considerable en la capacidad de producción. La gerencia quiere dedicar esta capacidad a uno o más de tres productos, llámense productos 1, 2 y 3. En la siguiente tabla se resume la capacidad disponible de cada máquina que puede limitar la producción.
Tipo de máquina
Tiempo disponible (en horas-máquina por semana)
Fresadora
500
Torno
350
Rectificadora
150
El número de horas-máquina que se requiere para cada producto es: Coeficiente de productividad (en horas-máquina por unidad)
Tipo de máquina
Producto 1
Producto 2
Producto 3
Fresadora
9
3
5
Torno
5
4
0
Rectificadora
3
0
2
El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería de $50, $20 y $25, respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal para este problema. 91.- Un granjero cría cerdos para venta y desea determinar qué cantidades de los distintos tipos de alimento debe dar a cada cerdo para cumplir requisitos nutricionales a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada clase de ingrediente nutritivo básico contenido en un kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos nutricionales diarios y los costos de los alimentos:
Ingrediente nutricional
Maíz (Kg)
Grasas (Kg)
Carbohidratos
90
20
40
200
Proteínas
30
80
60
180
Vitaminas
10
20
60
150
Costo US$
42
Alfalfa (Kg.)
36
Requerimiento (mín./dia)
30
Formule y resuelva el modelo de programación lineal. 92.- La compañía UNITECH tiene tres plantas con un exceso en su capacidad de producción. Las tres pueden fabricar un determinado producto y la gerencia ha decidido usar parte de la capacidad adicional para esto. El producto puede hacerse en tres tamaños: grande, mediano y chico, que darán una ganancia neta de $420, $360 y $300, respectivamente. Las plantas tienen capacidad de mano de obra y equipo para producir 750, 900 y 450 unidades diarias cada una, sin importar el tamaño o la combinación de tamaños de que se trate. La cantidad de espacio disponible para almacenar material en proceso impone también una limitación en las tasas de producción del nuevo producto. Se cuenta con 13000, 12000 y 5000 pies cuadrados de espacio en las plantas 1, 2 y 3, para los materiales en proceso de la producción diaria de este producto. Cada unidad grande, mediana y chica que se produce requiere 20, 15 y 12 pies cuadrados, respectivamente. Los pronósticos de mercado indican que se pueden vender 900, 1200 y 650 unidades diarias, correspondientes a los tamaños grandes, mediano y chico. Con el fin de mantener una carga de trabajo uniforme entre las plantas y para conservar alguna flexibilidad, la gerencia ha decidido que la producción adicional que se les asigne emplee el mismo porcentaje de la capacidad adicional con que cuentan. El gerente quiere saber cuántas unidades de cada tamaño debe producir en cada planta para maximizar la ganancia. Formule y resuelva el modelo de programación lineal. 93.- Una familia campesina es propietaria de 125 acres y tiene fondos por $40,000 para invertir. Sus miembros pueden producir un total de 3500 horas-hombre de mano de obra durante los meses de invierno (mediados de Mayo a mediados de Septiembre) y 4000 horas-hombre durante el verano. En caso de que no se necesite una parte de estas horas-hombre, los jóvenes de la familia las emplearán para trabajar en un campo vecino por $5. la hora durante los meses de invierno y por $6 la hora en el verano. Pueden obtener el ingreso en efectivo a partir de tres tipos de cosecha y dos tipos de animales de granja: vacas lecheras y gallinas ponedoras. Para las cosechas no se necesita inversión, pero cada vaca requerirá un desembolso de $1,200 y cada gallina costará $9. Cada vaca necesita 1.5 acres, 100 horas-hombre durante el invierno y otras 50 horas-hombre en el verano; cada una producirá un ingreso anual neto de $1000 para la familia. Las cifras correspondientes para cada gallina son nada de terreno, 0.6 horas-hombres en el invierno, 0.3 horas-hombre en el verano y un ingreso anual neto de $5. Caben 3000 gallinas en el gallinero y el corral limita el ganado a un máximo de 32 vacas. Las estimaciones de las horas-hombres y el ingreso por acre plantado con cada tipo de cosecha son:
Soya
Maíz
Avena
Horas-hombre en invierno
20
35
10
Horas-hombre en verano
50
75
40
Ingreso neto anual ($)
600
900
450
La familia quiere determinar cuántos acres debe sembrar con cada tipo de cosecha y cuántas vacas y gallinas debe mantener para maximizar su ingreso neto. Formule el modelo de programación lineal para este problema. 94.- Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar: delantero, central y trasero. Estos compartimientos tienen un límite de capacidad tanto en peso como en espacio. Los datos se resumen enseguida:
Compartimiento
Capacidad de peso (toneladas)
Capacidad de espacio (pies cúbicos)
Delantero
12
7000
Central
18
9000
Trasero
10
5000
Para mantener el avión balanceado, el peso de la carga en los respectivos compartimientos debe ser proporcional a su capacidad. Se tienen ofertas para los siguientes envíos en un vuelo próximo ya que se cuenta con espacio:
Carga
Peso (toneladas)
Volumen (pies cúbicos/tonelada)
Ganancia ($/tonelada)
1
20
500
320
2
16
700
400
3
25
600
360
4
13
400
290
Se puede aceptar cualquier fracción de estas cargas. El objetivo es determinar qué cantidad de cada carga debe aceptarse (si se acepta) y cómo distribuirla en los compartimientos para maximizar la ganancia del vuelo. Formule y resuelva el modelo de programación lineal. 95.- Se va a mezclar mineral proveniente de 4 minas diferentes para fabricar bandas para un nuevo producto de la GMC. Los análisis han demostrado que para producir una banda con las cualidades adecuadas de tensión y los requerimientos mínimos se debe contar con 3 elementos básicos: A, B, C. En particular, cada tonelada de mineral debe contener, por lo menos, 5 libras de elemento básico A, por lo menos 100 libras del elemento B y al menos 30 libras del elemento C. El mineral de cada una de las 4 minas contiene los 3 elementos básicos, pero en distintas proporciones. Sus composiciones en libras/toneladas, y los costos de extracción de los minerales de cada mina son:
Elemento Básico
MINA 1
2
3
MINA 4
1
Costos mineral
en
U$/Ton
800
de
A
10
3
8
2
2
400
B
90
150
75
175
3
600
C
45
25
20
37
4
500
GMC desea hallar la combinación (mezcla) de costo mínimo para fabricar la banda. 96.- Un proveedor debe preparar con 5 bebidas de fruta en existencias, al menos 500 galones de un ponche que contenga por lo menos 20% de jugo de naranja, 10% de jugo de toronja y 5% de jugo de arándano. Si los datos del inventario son los que se muestran en la tabla siguientes, indicar ¿Qué cantidad de cada bebida deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo total mínimo?
Jugo de Naranja
Jugo de Toronja
Jugo de Arándano
Existencia Costo [gal] [$/gal]
Bebida A
40
40
0
200
1,50
Bebida B
5
10
20
400
0,75
Bebida C
100
0
0
100
2,00
Bebida D
0
100
0
50
1,75
Bebida E
0
0
0
800
0,25
Nota: Las tres primeras columnas indican el porcentaje de un tipo de jugo dentro de una determinada bebida.
97.- Un pequeño taller arma dispositivos mecánicos, ya sea como un producto terminado que entrega al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran fábrica. Trabajan 3 personas en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0.4 por hora, y el tercero, un obrero calificado, recibe $0.6 por hora. Los tres están dispuestos a trabajar hasta 10 horas adicionales a la semana con un salario 50% superior durante este período. Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operación variables son de $1.0 por hora de trabajo de obrero no calificado y $2.4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mecánicos sin acabar son vendidos a la planta a $6.5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar 100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El dueño del taller tiene como política el producir no más de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato. Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado. Se requieren 0.5 horas de obrero no calificado y 0.25 horas de obrero calificado para producir un dispositivo sin acabar listo para entregar a la empresa. Uno de estos dispositivos puede ensamblarse y dejarlo terminado agregándole 0.5 horas de trabajador calificado. Un dispositivo acabado listo para entregar al mercado se puede producir con 0.6 horas de obrero no calificado y 0.5 horas de obrero calificado. Plantear el modelo de programación lineal que permita responder la consulta e indicar ¿cómo y cuánto producir para cumplir el contrato de modo de maximizar las utilidades? 98.- Un producto se puede formar de 4 unidades del componente A1 junto con 3 unidades del componente B1, o se pueden utilizar 3 unidades del componente A2 junto con 4 unidades del componente B2. En cualquiera de las dos opciones, usted puede suponer que la calidad del
producto es la misma. Las componentes A1 y B1 se fabrican en la Fábrica UNO y las componentes A2 y B2 se fabrican en la Fábrica DOS. Cada componente necesita 3 materiales P, Q y R. Sin embargo, se utilizan en diferentes proporciones. Las cantidades usadas dependen del lugar y del tipo de componente a elaborar. Actualmente se dispone de 400 unidades de P, 300 de Q y 500 de R. Plantear el problema de programación lineal asociado que permita determinar el número de corridas de producción en cada fábrica, tal que maximice la producción total del producto terminado, si se conoce la siguiente tabla:
Fábrica
Unidades requeridas por corrida
Unidades producidas por corrida
Material
P
Q
R
A1
B1
A2
B2
UNO
7
3
10
5
6
0
0
DOS
5
6
5
0
0
7
8
99.- Un inversionista tiene oportunidad de realizar las actividades A y B al principio de cada uno de los próximos 5 años (llámense años 1 al 5). Cada dólar invertido en A al principio de cualquier año retribuye $1.40 (una ganancia de $0.40) 2 años después (a tiempo para la reinversión inmediata). Cada dólar invertido en B al principio de cualquier año retribuye $1.70, 3 años después. Además, la actividad C estará disponible para inversión una sola vez en el futuro. Cada dólar invertido en C al principio del año 2 da $1.90 al final del año 5. La actividad D estará disponible sólo 2 veces, al inicio del año 1 y del año 5. Cada dólar invertido en D al principio de año retribuye $1.30 al final de ese año. El inversionista tiene $60000 para iniciar y desea saber ¿cuál plan de inversión maximiza la cantidad de dinero acumulada año principio del año 6? 100.- Una compañía química produce cuatro productos químicos diferentes (A, B, C y D) usando dos procesos de reacción diferentes (1 y 2). Por cada hora que se realiza el proceso 1 éste entrega 400 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de C. El proceso 2 entrega 100 lbs de A, 100 lbs de B y 100 lbs de D por hora. El departamento de marketing ha especificado que la producción diaria debe ser no más de 500 lbs de B y 300 lbs de C y al menos 800 lbs de A y 100 lbs de D. Una corrida del proceso 1 tiene un costo de US$ 500 y una corrida del proceso 2 tiene un costo de US$ 100. Suponga que una libra da cada químico A, B, C y D se pueden vender en 1, 5, 5 y 4 dólares, respectivamente. Formule un modelo de programación lineal y encuentre la solución óptima (todas en caso de existir óptimos alternativos). 101.- Una empresa de arriendo de vehículos desea establecer la flota de automóviles, camionetas y jeeps para el presente año. Para tales efectos, estudia la adquisición de vehículos de los tres tipos. Todos los vehículos comprados son depreciados y pagados en un período de 2 años, después del cual son vendidos. La tabla siguiente muestra el precio de compra y los ingresos del período para los tres tipos de vehículos (los ingresos para el segundo año incluyen el valor de salvamento).
Vehículo
Costo [US$]
Ingresos primer año [US$]
Ingresos segundo año [US$]
Automóvil
7000
3000
5400
Camioneta
6500
2300
5300
