SITUACIÓN 1: Una empresa que se dedica a la fabricación de muebles de comedor, planeando producir dos (2) nuevos productos: sillas tipo A y mesas tipo B. Para esto se tienen como recursos disponibles, 800 pies de madera de caoba y 900 horas de tiempo de trabajo (HM). El supervisor sabe que, para fabricar cada una de las sillas, se requiere de 5 metros de madera y 10 HM, con lo que se obtiene una ganancia de $40.000. Mientras que en la fabricación de cada mesa se utilizan 20 metros de madera y 15 HM, con una ganancia de $75.000. ¿Cuál es el plan de producción que maximiza las utilidades?
SOLUCIÓN: Primero se organizan los datos en la siguiente tabla:
Producto
Madera
Tiempo de trabajo
Ganancia
Silla de tipo A
5 metros
10 HM
40000
Mesa de tipo B
20 metros
15 HM
75000
TOTAL QUE POSEE LA EMPRESA
800 metros
900 HM
Ahora vamos a definir las variables: Sea el número de sillas que se deben fabricar y vender para maximizar las ganancias. Sea el número de mesas que se deben fabricar y vender para maximizar las ganancias. Sea la función de utilidad. Luego la función objetivo es:
= 400 40000 + 750 75000
Ahora estableciendo cada una de las condiciones del problema se tiene:
5 + 20 ≤ 800 Desigualdad de la madera
10 + 15 ≤ 900 Desigualdad de las horas de trabajo
≥ 0 como ≥ 0 ya que, tanto la cantidad de madera como de horas de trabajo
deben ser cantidades positivas.
Las ecuaciones asociadas a las anteriores desigualdades son:
− 40000 − 75000 = 0
5 + 20 = 800
→
5 + 20 + ℎ = 800
10 + 15 = 900
→
10 + 15 + = 900
=0
=0
Ahora aplicando Gauss – Jordán en la tabla se tiene:
Z x y
h 0 1 0
t 0 0 1
0 800 900
Z 1 0 0
x -40000 10 5
y -75000 15 20
h 0 0 1
t 0 1 0
0 900 800
Z 1 0 0
x -40000 10 0
y -75000 15 25/2
h 0 0 1
t 0 1 1/2
0 900 350
y -75000 15 1
h 0 0 1
t 0 1 1/25
0 900 28
h 0 -15 1
t 0 8/5 1/25
0 480 28
Multiplico fila 3 por 2/25:
Z y x
y -75000 20 15
Divido fila 2 entre 2 y resto a fila 3:
Z y x
x -40000 5 10
Intercambio fila 2 con fila 3
Z y x
Z 1 0 0
Z 1 0 0
x -40000 10 0
Multiplico fila 3 por 15 y resto a la 2:
Z y x
Z 1 0 0
x -40000 10 0
y -75000 0 1
Multiplico fila 3 por 7500 y sumo a 1
Z y x
x -40000 10 0
y 0 0 1
h 7500 -15 1
t 300 8/5 1/25
210000 480 28
x -40000 1 0
y 0 0 1
h 0 -1.5 1
t 0 4/25 1/25
210000 48 28
h 60000 -1.5 1
t 640 4/25 1/25
402000 48 28
Divido fila 2 entre 10:
Z y x
Z 1 0 0
Z 1 0 0
Multiplico fila 2 por 4000 y sumo a fila 1:
Z y x
Z 1 0 0
x 0 1 0
y 0 0 1
RTA/ Se deben fabricar 48 mesas y 28 sillas para obtener un máximo de utilidad de $4´020.000 en la empresa.
SITUACIÓN 2: El gerente de una empresa está revisando las finanzas, tiene en un fondo de pensiones 200 millones de pesos, y piensa invertir todo o una parte. Él tiene dos (2) posibles inversiones que ha estudiado: en primer lugar, bonos con índice de riesgo bajo, que producen 5% anual, y una inversión en bolsa, que es más riesgosos, que producen 8% anual. Su contador le indica que no más del 20% de la cantidad invertida puede estar en bolsa. Además, se debe invertir al menos $25.000.00 en bonos. Determine las cantidades de las dos (2) inversiones que maximizarán los ingresos por intereses. SOLUCIÓN: Veamos los datos y condiciones que nos da el problema: Para obtener los máximos intereses y el problema indica que puede invertirse la totalidad de los fondos, se invertirá el total de los fondos de la siguiente manera: Nos dice que solo el 20% puede estar en bolsa y es de mayor riesgo, es decir, tomaremos la mayor cantidad de dinero que se puede invertir en bolsa:
200´000.000 × 20% = 40´000.000
Nos dice que en bonos hay menor riesgo, por tanto, la mayor cantidad que puede invertir en ellos es: 200´000.000 − 40´000.000 = 160´000.000
Ahora veamos cuales son los intereses ganados en un año para bolsa y bonos:
Por tanto, la máxima cantidad de intereses que gana en un año con la mayor cantidad de dinero invertida en bolsa y la máxima en bonos es de: 11´200.000 Veamos por método simplex: Sea la cantidad en bolsa que se debe invertir para maximizar las ganancias. Sea la cantidad en bonos que se debe invertir para maximizar las ganancias. Sea la función de utilidad.
