EJERCICIOS RESUELTOS
1. Dos partícula partículas s alfa, que que considerare considerareos os car!as car!as puntuales puntuales fi"as, fi"as, est#n separadas 1$%11 . Calcula la fuer&a electrost#tica con que se repelen ' la !ra(itatoria con la que se atraen, ' cop#ralas. Datos) * + .-1$ %11 SI/ 0 + 1$ SI/ e + 1.$1$ %1 C/ 2 + .31$ %4- 5!.
Respuesta
Aplicando Aplican do las leyes leyes de Coulomb Coulomb y de la gravitación gravitación universal, universal, y teniendo teniendo en cuenta que la carga de una partícula α es dos veces la carga elemental:
Por tanto, la fuerza electrostática de repulsión es muco más intensa que la gravitatoria de atracción:
4. Dos car!as car!as 6 ' 7, separadas separadas 8 c, c, se atraen con una fuer&a fuer&a de 9$ :;.
Aplicando Aplicand o la ley de de Coulomb, Coulomb, la fuerza fuerza pedida pedida es:
!a fuerza que nos indican es:
"e esta e#presión se tiene que el producto $ustituyendo en la primera ecuación se tiene:
8. Deterinar el (alor del potencial el>ctrico creado por una car!a puntual q1+14 ? 1$ % C en un punto u@icado a 1$ c. del iso coo indica la fi!ura.
Respuesta
Para dar respuesta respuesta a lo solicitado debemos aplicar el cálculo del potencial en un punto debido a una carga puntual cuya e#presión es
y por lo tanto el valor sería
el potencial es una magnitud escalar, por lo tanto tan sólo debe ser indicado su signo y su valor num%rico&
Respuesta) 'l potencial en A vale ( )&*+* 9. Dos car!as puntuales q 1+14 ? 1$% C ' q 4+%14 ? 1$ % C est#n separadas 1$ c. coo uestra la fi!ura. Calcular la diferencia de potencial entre los puntos a@, @c ' ac.
Respuesta
Para poder allar la diferencia diferencia de potencial potencial entre puntos, debemos primero allar el potencial en cada punto debido al sistema de cargas planteado
potencia ciall en a es debido a la acción de dos Aotencial en punto a) 'l poten cargas cargas puntuales puntuales q1 y q4 por lo tanto deberemos calcular cada uno de dicos potenciales y establecer la diferencia& como el potencial en un punto debi debido do a una una carg carga a puntu puntual al se calcu calcula la como como ya vimos vimos en el e-erc e-ercici icio o
anterio anteriorr como como
entonce entonces s deberem deberemos os repetir repetir este cálculo cálculo para para
cada una de las cargas&
'n
consecuencia
por
lo
que
como como se obse observ rva a el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q ) y el potencial negativo creado por la carga q .& /potencial de q )0
( )&+** y potencial de q . 0 1 .&2** de allí surgen la diferencia diferencia que es a favor del potencial positivo en 13** 4&
5epeti timo mos s lo esta establ blec ecid ido o para para el punt punto o a Aote Aotenc ncia iall en punt punto o @) 5epe simplemente simplemente que aora debemos calcular calcular las distancias distancias para el punto b por lo
que
la
e#presión
nos
queda
como como se obse observ rva a el resultado corresponde a la diferencia entre el potencial positivo creado por la carga q ) y el potencial negativo creado por la carga q .& /potencial de q )0 ( .&2** y potencial de q . 0 1 22) de allí surgen la diferencia que es a favor del potencial positivo en )&3.3 4&
Aotencial en punto c) 'n el punto c no es necesario realizar el cálculo
num%rico dado que como las distancias entre c y las cargas son iguales y las cargas son iguales y de signos contrarios, los potenciales que provocan son de igual valor y signo opuesto, por lo que el potencial en c vale * /c0*4&
Cálculo de los potenciales solicitados Ba@0 b1a0 )&3.3 1 /13** 4 0 4.34 B
B@c0 c1b0 * 1 )&3.3 0 % 1.4 B
Bac0c1a0 * 1 /13** 4 0 $$ B Respuesta) Ba@ + 4.34 B
B@c+% 1.4 B
Bac+ $$ B
. So@re una circunferencia teneos un arco de $ situado en el prier cuadrante en el que Fa' una distri@uciGn lineal de car!a H,
capo crear# en el centro de la circunferencia de radio a=.
. Calcular la diferencia de potencial entre O ' A de una distri@uciGn de car!as forada por q en 1,$ ' %q en $,1. E?plicar el resultado o@tenido.
Respuesta
el resultado obtenido indica que los dos puntos 6 y P están sobre la línea equipotencial 0*& 'sto no implica que el campo en 6 y en P sea nulo 1 que no lo es1& !a situación se refle-a en la siguiente figura, en la que se debe observar que las líneas equipotenciales siempre son perpendiculares a las líneas de campo el%ctrico&
'n casos de distribución continua de carga el potencial el%ctrico se calcula
mediante la e#presión:
-. Cuatro car!as puntuales est#n enla esquina de un cuadrado de lado a, coo en la fi!ura. a Deterine la a!nitud ' direcciGn del capo el>ctrico en la posiciGn de la car!a 4q.
@ Calcule el potencial el>ctrico en el centro del cuadrado.
Respuesta
a4 'n la figura se ilustra la dirección de los campos debido a las cargas q, 7q y 8q, es decir, 'q, '7q y '8q, con
3. De nue(o el capo de@ido a un disco laina infinita.
Calculemos el campo el%ctrico en un punto P que se encuentra a lo largo del e-e de un disco circular de radio 5 a una distancia z de su centro y que tiene una carga uniforme por unidad de área /fig4&
Respuesta
"e la simetría de la figura y,
Podemos allar
integrando sobre la superficie, entre los límites,
esto es ,
9aciendo
5esulta,
'l resultado anterior es válido para todos los valores de z, a medida que el radio 5 crece sin límite es decir, 5;, el segundo t%rmino dentro del par%ntesis de la ecuación tiende a cero, y queda
$e puede observar que se obtiene el mismo resultado si acemos
&
's decir que para puntos cercanos el disco se comporta como si fuera de e#tensión infinita&
. Dos car!as puntuales %4K ' K se Fallan so@re el e"e ?. a Calcule el capo el>ctrico en el punto A. @ Encuentre la distancia de separaciGn entre las car!as para la cual la coponente del capo (ale cero. Respuesta
'l campo total en el punto P es:
"onde emos escrito el campo rectangulares 5eescribiendo:
, en t%rminos sus componentes
Aora si e#iste alg
Por lo tanto
6 sea:
pero
y entonces
1$. Calcule el potencial el>ctrico de@ido a la distri@uciGn de car!as ostrada en la fi!ura. E(alMe el potencial en el punto $, 4a.
Respuesta
Con:
9emos tomado en cuenta que el potencial el%ctrico es aditivo& 'n particular en el punto $, 4a:
11. Una (arilla de lon!itud L tiene una car!a positi(a por unidad de lon!itud ' una car!a total K. deterine el capo el>ctr ico ' el potencial en el punto A a lo lar!o del e"e de la (arilla, a una distancia @ de un e?treo.
Respuesta
'l cálculo del campo se obtiene de: =enemos que,
14. 6la@re infinito .En la fi!ura se uestra una secciGn de un ala@re de car!a infinita. Deseaos Fallar el capo el>ctrico a una distancia R del ala@re.
Respuesta
Como se trata de una distribución lineal de carga utilizaremos la e#presión
, con
"e acuerdo con la figura, la >agnitud del campo el%ctrico está dada por
Con componentes: y,
Pero por simetría, para un elemento de carga como el indicado, e#iste un elemento opuesto de modo que las componentes del campo e n la dirección # se cancelan&
9agamos aora el cálculo de
:
"ebido a que las contribuciones al campo debido a cada mitad de la barra son iguales& pero ,
,
que
al
sustituir
nos
queda
18. Deterinar el capo el>ctrico !enerado por un dipolo, en un punto lo suficienteente ale"ado del iso. Respuesta
?n dipolo el%ctrico está constituido por dos cargas el%ctricas de igual magnitud
y
signo
contrario,
situadas
a
peque@a
distancia&
$abiendo que en cualquier punto del campo, la componente del campo en cierta dirección es igual al gradiente, cambiado de signo, del potencial en dico punto, vamos a calcular primero el potencial en un punto P, para determinar despu%s el
campo& $ea r la distancia del punto P al centro del e-e del dipolo y con
el ángulo que forma r
dico
e-e&
$i el punto P está lo suficientemente ale-ado, podemos considerar que r es paralelo a r ) y r . y, por lo tanto, dicas distancias de P a cada una de las cargas valen:
$abiendo que el potencial, como función de una distribución de cargas puntuales, viene dado por la e#presión :
$i r es muy grande frente a la separación de las cargas, puede despreciarse el sustraendo del denominador& Por otro lado, el producto q&l se denomina momento dipolar y se representa por p& $eg
emos entonces que el potencial del punto P depende de las coordenadas polares
ry
&
amos a calcular aora las componentes de ' en las direcciones de los vectores unitarios intrínsecos asociados a r y
respectivamente&
"erivando respecto a cada una de las variables, tenemos :
!a longitud de los elementos diferenciales en la dirección en que r y
crecen son,
respectivamente dr y r& d por lo tanto, sabiendo que ' es el gradiente, cambiado de signo, del potencial, podemos poner :
'n un punto cualquiera, la intensidad resultante ', será :
Podemos determinar tambi%n el ángulo que ' forma con la dirección radial& Con la ayuda de figura ad-unta, podemos ver que se tiene:
19. Una corte&a esf>rica del!ada de radio R tiene una car!a total K distri@uida Uniforeente so@re su superficie. Deterine el capo el>ctrico para puntos a r N R, es decir, fuera del cascarGn @ r R, es decir, dentro del cascarGn
Respuesta
'n la figura se muestran las líneas de campo y los elementos de superficie supuesta la corteza cargada positivamente& $i construimos una superficie gaussiana esf%rica de radio
D despe-amos '& tenemos
r
B R , como se muestra en la figura, la ley de auss
5
Eue es igual al campo debido a una carga puntual E colocada en el centro de la corteza&
5
, en este caso la carga encerrada por la superficie gaussiana es cero, y
la ley de gauss dice que&
, de donde '0* es decir,el campo ' es cero en todos los puntos interiores&
1. Dada la superficie del elipsoide)
a Calcular el (ector unitario noral en cada punto de la superficie del elipsoide. @ Calcular la inte!ral ) so@re el elipsoide, siendo ) Respuesta
"ada una superficie cualquiera, sabemos que el gradiente en un punto de la función que representa a dica superficie nos determina un vector normal a ella en el punto considerado&
Para que el vector sea unitario, lo multiplicamos por el inverso de su módulo:
!a segunda parte del problema consiste en calcular el flu-o del vector r a trav%s
de
$&
Para
resolver
esta
parte
del
problema
aplicamos la fórmula de auss F 6strogradsGy:
'n nuestro caso tenemos
Con lo que nos quedará:
$iendo el volumen encerrado en la superficie /H4 del elipsoide& $i realizamos un cambio de variable en la forma:
'l -acobiano y los límites de integración quedarán:
con lo que la integral resultará:
1. So@re una capa seiesf>rica de radio R, teneos una distri@uciGn de car!a unifore
+ 1 CP 4. Calcular el capo
en el centro de la esfera coincidente con la car!a.
Respuesta
amos a considerar que dividimos la semiesfera en meridianos y paralelos, de tal modo que se forme una red constituida por elementos como el representado en la figura ad-unta& Por la simetría del problema, las componentes perpendiculares al e-e 6A se anulan dos a dos y sólo tendrán efecto
las
componentes tangenciales a dico e-e& Podemos suponer entonces que el valor del campo el%ctrico en el punto 6 será : )&
$iendo 5 el radio de la esfera coincidente con el emisferio y dq la carga contenida en el elemento diferencial d$, que vale:
donde esfera&
y
son, respectivamente, el ángulo polar y la colatitud de la 'n
esas
condiciones,
sustituyendo
en
la
anterior e#presión, tendremos:
y considerando que los límites de integración para las variables que estamos considerando son:
nos queda:
que es el valor del campo el%ctrico en el punto 6& $ustituyendo los valores de la densidad de carga y de la constante diel%ctrica se obtiene el resultado num%rico buscado& 1-. Dada
la
si!uiente
distri@uciGn
de
car!a)
a Calcular las distri@uciones de potencial ' capo en funciGn de r 6 + 1$ CP, R$ + 8 c /
@ Suponiendo la car!a e?istente a partir de una distancia r + R, calcular el (alor de R para que la relaciGn entre el capo calculado en a ' @ sea E @ + $,.E a a una distancia r + 1$ c del centro de la distri@uciGn. Respuesta
Para resolver este problema vamos a obtener primero el campo el%ctrico y para ello consideraremos independientemente las dos densidades de carga, es decir, que desglosaremos el problema en dos& )I4 Calcularemos el campo el%ctrico para una distribución de carga dada por:
.I4 Calcularemos el campo el%ctrico para una distribución de carga dada por:
Para el primer caso, tomando una esfera de radio r y aplicando el teorema de auss, tenemos:
de donde se deduce con facilidad que el campo el%ctrico viene dado por
:
y la e#presión se cumple para puntos en los que r es estrictamente menor que 5*& Análogamente, para puntos en los que r es mayor o igual que 5 * obtenemos:
y en este caso el campo el%ctrico valdrá:
$i consideramos la segunda distribución, para los puntos en que r es estrictamente menor que 5 * obtenemos que el campo es
nulo por serlo la densidad de carga en esa región& Para los puntos en
los
que
r
es
mayor
o
igual
que
5 *
tenemos:
y a partir de aí resulta:
Considerando que el problema tiene simetría radial podemos sumar las soluciones obtenidas con cada distribución para llegar a :
Para calcular el potencial acemos de igual modo /desglosar en dos el problema inicial4 y aplicamos la ecuación de Poisson en coordenadas esf%ricas, teniendo en cuenta que la distribución de carga solo depende de r& Para la primera
distribución,
en
r
menor
que
5 *:
Para la segunda distribución de carga, en r mayor o igual que 5 *:
!a solución al problema para el caso del potencial vendrá dada por la suma de las dos soluciones parciales& Para obtener el valor de las constantes tenemos en cuenta que el gradiente cambiado de signo del potencial es igual al campo el%ctrico y, por tanto en r menor que 5*:
D, análogamente, en r mayor o igual que 5 *:
$eg
Para determinar las constantes C 7 y C8 necesitamos dos condiciones pero no podemos acer uso del eco de que el potencial tiende a cero cuando r tienda a infinito puesto que tenemos un t%rmino de la forma !n r& $olo podemos considerar, entonces, que el potencial a de ser continuo en r 0 5 * y obtener una de las constantes a partir de la otra&
"ándole
y, finalmente:
a
C.
el
valor
*
resulta
para
C 8:
Para calcular el campo ' b aplicamos el teorema de auss:
y puesto que se a de cumplir que ' b 0 *,3&'a tendremos:
y aciendo operaciones resulta R + 13,8 c.
13. Teneos un sistea de car!as constituido por una distri@uciGn unifore de una car!a K so@re una esfera de radio R $ ' otra car!a QK distri@uida uniforeente so@re una capa esf>rica conc>ntrica con la esfera, de radio interior R + R $ P8.1$ ' de espesor
.
a Calcular la distri@uciGn de capo en funciGn de la distancia r al centro. @
Calcular
la
ener!ía
electrost#tica
del
sistea
c Si por al!Mn procediiento quitaos la itad de la car!a QK de la capa esf>rica,
Respuesta
Para calcular la distribución del campo el%ctrico tenemos varias regiones& Para r J 5 *, por el teorema de auss podemos colocar:
pero el valor de q puede obtenerse a partir de
y, finalmente:
Para los puntos en los que r está comprendido entre 5 * y 5 tenemos :
Para los puntos situados dentro o e#teriormente a la capa esf%rica, podemos suponer que dica capa es superficial puesto que tenemos:
y, por lo tanto, solo emos de considerar el campo el%ctrico para puntos fuera de la capa esf%rica en los que se tendrá ' 0 *, ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie de la esfera interior& Para obtener la energía electrostática del sistema tenemos en cuenta que a partir de r mayor o igual que 5 el campo el%ctrico se ace nulo por no e#istir carga efectiva& Por todo ello, la energía del sistema la obtendremos a partir de la e#presión:
y la calculamos como sigue:
y simplificando y teniendo en cuenta el valor de 5:
$i quitamos la mitad de la carga FE de la capa esf%rica es como si sobre los puntos situados a una distancia r 5 actuara una carga de valor EK. situada en el centro de una esfera de radio
& 'n estas condiciones, el campo
para puntos situados a una distancia r 5 será:
y al valor de la energía el%ctrica anteriormente determinado abrá que sumarle el t%rmino:
1. CalcMlese el potencial ' el capo el>ctrico en la re!iGn del espacio coprendido entre dos l#inas planoparalelas car!adas a potenciales B 1 ' B4. SupGn!ase que Fa' una distri@uciGn de car!a unifore entre las dos placas.
Respuesta
Para resolver el problema aplicamos la ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas:
Por la naturaleza del problema podemos considerar que el potencial sólo dependerá de la coordenada # y tendremos:
!as constantes C ) y C. las obtenemos a partir de las condiciones de contorno:
con lo que tenemos:
y de aí
Por otra parte, el campo el%ctrico viene dado por el gradiente cambiado de signo del potencial con lo que en nuestro caso tendremos:
4$. Aor Inte!raciGn de la ecuaciGn de Aoisson, encontrar el potencial ' el capo en todo el espacio por efecto de una car!a q uniforeente distri@uida en el interior de una esfera de radio R. Respuesta
$i consideramos que la permitividad de la esfera es
, la ecuación de
Poisson en coordenadas esf%ricas se e#presa:
$i la carga está distribuida uniformemente en el interior de la esfera, tendremos:
y a partir de aí :
Por otro lado, en los puntos fuera de la esfera se cumple que la carga es nula y, por lo tanto, tambi%n es nula la densidad de carga& Así pues, tendremos:
$abemos que el campo el%ctrico es igual al gradiente cambiado de signo del potencial, por lo que en cada caso tendremos:
Para determinar las cuatro constantes arbitrarias tenemos las siguientes condiciones:
"e la primera y la
con lo cual :
Por todo ello tenemos, siendo:
41. Encontrar las soluciones con (aria@les separadas de la ecuaciGn de Laplace en coordenadas cartesianas rectan!ulares en un espacio @idiensional. 6plicar el resultado al c#lculo del potencial en el interior de un rect#n!ulo de 8 ? 4 c en el cual tres lados est#n a potencial nulo ' el cuarto a cuatro (oltios.
Respuesta
Para
resolver
el
problema
por lo cual:
ensayamos
soluciones
de
la
forma
'l primer miembro de la ecuación final depende de #& 'l segundo es independiente de #& 'n esas condiciones podemos igualar ambas e#presiones a una constante y escribir lo puesto& "ependiendo del parámetro obtenemos distintas soluciones para la ecuación del enunciado& !a forma de dicas soluciones depende del dominio sobre el que está definida la ecuación& 'n el caso que nos ocupa tenemos el contorno * J # J . * J y J 7 con las siguientes condiciones /#,*4 0 8
/., y4 0 *
/#, 74 0 *
/*, y4 0 *&
Consideramos entonces soluciones para la ecuación en L que satisfagan las condiciones:
"adas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar valores
*, con lo que podemos poner:
L/*4 0 * nos da M 0 *& "e la segunda obtenemos sea id%nticamente nula podemos tomar:
y para que L/#4 no
Con ese valor de
, encontramos para la ecuación en D :
'n esas condiciones tenemos para
las soluciones particulares
por lo que podemos intentar representar la solución general mediante la serie de funciones:
y emos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función f/#4 0 8& Para ello tenemos:
y, finalmente:
44. Calcular
la
densidad
superficial de car!a inducida so@re un plano a potencial cero so@re el que se encuentra una car!a lineal indefinida con una densidad de car!a
.
Respuesta
'l desplazamiento el%ctrico en un punto cualquiera, P, debido a
la
carga
lineal
dada,
lo
podemos obtener por el teorema de auss:
Análogamente, el desplazamiento el%ctrico en el mismo punto P, a causa de la carga imagen de la línea, vale:
Pero, seg
Por otro lado, las componentes normales del campo de desplazamiento, viene dadas por:
'n el plano /sobre el que
y recordando que la densidad superficial de carga inducida vale
,
tendremos :
puesto que " )n 0 * por tratarse de un conductor&
48. Sean dos cilindros de radio a separados una distancia d a. Calcular la capacidad del sistea '
la
fuer&a
entre
a@os
conductores. Los cilindros est#n car!ados con car!a
' %
,
respecti(aente.
Respuesta
$abemos que la superficie de un conductor es equipotencial por lo tanto, podemos acer el sistema equivalente cuyas
a
superficies
uno equipotenciales
sean cilindros circulares de e-es paralelos& 'ste es el caso de dos rectas
paralelas
separadas por una distancia .s y cargadas
con
cargas
iguales
y
contrarias& Para obtener el potencial debido
a
cada
uno
de
los ilos, calculamos antes el campo aplicando el teorema de auss a un
cilindro de
longitud
! cuyo
coincida
con
el
cilindro
positivo
y
e-e
del negativo,
respectivamente&
A partir de estos valores, las intensidades del campo y los potenciales, valdrán:
'l potencial total será la suma de ambos y, además, por la simetría del problema, será nulo cuando r ) 0 r .& "e ese modo C )) ( C . 0 N 0 * y nos quedará:
Para conocer la distancia .s, tomamos uno de los conductores& Considerando el esquema ad-unto y teniendo en cuenta que los puntos P y E del cilindro
an
de
ser
equipotenciales:
Por lo demás, el potencial debido a cada uno de los cilindros, valdrá:
y de aí, sustituyendo s por su valor:
!a e#presión del logaritmo puede simplificarse aciendo lo siguiente:
y despreciando 8&a . frente a d ., resulta finalmente:
Para obtener la fuerza sabemos que viene dada por O 0 dKd#, siendo la energía del sistema que vale tenemos q 0
& 'n el caso que estamos considerando
0 cte y, por lo tanto:
49. Calcula el capo el>ctrico creado por una car!a K + 4 :C en un punto A situado a 8$ c de distancia en el (aco. Calcula ta@i>n la fuer&a que actMa so@re una car!a q + %9 :C situada en el punto A.
1 Calculamos el campo el%ctrico en el punto P:
1 Calculamos la fuerza el%ctrica que actctrico en un punto A situado so@re el se!ento que une las dos car!as ' a 1$ c de K 1.
1 Calculamos el campo el%ctrico creado por E ) en P:
') 0 3&)* R&u) SKC 1 Calculamos el campo el%ctrico creado por E . en P:
'. 0 ),2&)*R&u. SKC 'l campo el%ctrico resultante en el punto Pes la suma vectorial de '
)
y '.& Para
allarlo tendremos en cuenta que u . 0 1u)& ' 0 ') ( '. 0 3&)*R&u) SKC ( ),2&)* R&u. SKC ' 0 3&)*R&u) SKC 1 ),2&)* R&u) SKC ' 0 2,7&)* R&u) SKC $u módulo es ' 0 2,7&)* R SKC
4. Las tres car!as el>ctricas de la fi!ura est#n en el aire. Calcula) a El potencial el>ctrico en el punto A. @ La ener!ía potencial que adquiere una car!a q + 4, :C al situarse en el punto A.
a4 Calculamos el potencial el%ctrico creado por cada una de las cargas en el punto P:
'l potencial el%ctrico en el punto P es la suma algebraica de los potenciales el%ctricos creados por cada una de las tres cargas: 0 ) ( . ( 7 0 /3 1 .,.R ( 34T)* R 0 )R,2RT)* R b4 Calculamos la energía potencial el%ctrica que adquiere una carga q 0 (.,R UC al situarse en el punto P: 'p 0 q& 'p 0 .,RT)*1Q CT)R,2RT)* R Ep + 8, J
4-. Una car!a el>ctrica puntual K + 4 :C se encuentra en el a!ua r + 3$. Calcula)
a4 'l potencial el%ctrico a una distancia de 7* cm y a una distancia de )R* cm de la carga& b4 !a energía potencial el%ctrica que tendría una carga puntual q 0 17 UC situada en esos puntos& c4 'l traba-o que deberíamos realizar para trasladar la carga q desde el primer punto asta el segundo& 1 "atos:
a4 Calculamos el potencial el%ctrico en los puntos A y M& =endremos en cuenta que en el agua el valor de N es:
b4 Calculamos la energía potencial el%ctrica de la carga q en ambos puntos: 'pA 0 q& A 0 17T)*1Q CT2R* 0 1.,.RT)* 17 V 'pM 0 q& A 0 17T)*1Q CT)R* 0 1*,8RT)* 17 V c4 'l traba-o que realiza el campo el%ctrico para trasladar la carga q desde A asta M es igual a la diferencia de energía potencial el%ctrica entre estos puntos: 0 q&/ A 1 M4 0 'pA 1 'pM
0 1.,.RT)* 17 V 1 /1*,8RT)* 17 V4 + %1,31$%8 J
'l traba-o que realiza el campo el%ctrico es negativo& 'sto significa que debemos efectuar un traba-o de ),+T)* 17 V en contra del campo para trasladar la carga q& 43. Dos car!as puntuales de 4.1$ % ' %1$% C est#n situadas, respecti(aente, en el punto 1,$ ' en el punto $,4 de un sistea de e"es cartesianos cu'a escala est# esta@lecida en centíetros. Calcula) a El capo el>ctrico en el punto 4,1. @ El potencial el>ctrico en el iso punto.
a4 'l campo el%ctrico en un punto debido a una distribución de cargas es la suma de los campos que crearían cada una de las cargas en el punto se estivieran solas& 'l módulo del campo creado por una carga el%ctrica puntual viene establecido por: ' 0 N&EKrW
b4 'l potencial el%ctrico en el punto es la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas el%ctricas& 'l potencial debido a una carga puntual viene e#presado por: 0 N&EKr 0 ) ( .
0 +,Q8&)* R
EJERCICIOS AROAUESTOS)
1 =res cargas puntuales están sobre el e-e L q ) 0 1Q&* mC está en # 0 17&* m, q .
0 8&* mC está en el origen y q 7 0 1Q&* mC está en # 0 7&* m& 9alla la fuerza el%ctrica sobre q )&
Resp . /)&R* X )* 1. S4i&
4 =res cargas, cada una de 7&* nC están en los v%rtices de un cuadrado de lado
R&* cm& !as dos cargas en los v%rtices opuestos son positivas y la otra es negativa& "etermina la fuerza e-ercida por estas cargas sobre una cuarta carga de 7&* nC situada en el v%rtice restante&
5esp& .&3Q X )* 1R S, a lo largo de la diagonal, dirigida desde la carga de F7&* nC&
8 ?na carga puntual de R&* mC está localizada en # 0 )&* m, y 0 7&* m y otra de
F8&* mC está en # 0 .&* m, y 0 1.&* m& "etermina la magnitud y dirección de la fuerza sobre un protón en # 0 17&* m, y 0 )&* m&
Resp . 7&*8 X )* 1)Q S, q 0 .78&R *&
9 ?na carga puntual de 1.&R mC está localizada en el origen& ?na segunda carga
puntual de Q&* mC se encuentra en # 0 )&* m, y 0 *&R m& "etermina la posición /#, y4 en la cual un electrón estaría en equilibrio&
Resp& # 0 1)&+. m, y 0 1*&3)* m&
"os cargas positivas iguales q están en el e-e D una está en y 0 a y la otra en
y 0 1a& ?na carga de prueba q * situada en el origen estará en equilibrio& /a4 'studia la estabilidad del equilibrio para una carga de prueba positiva considerando desplazamientos peque@os del equilibrio a lo largo del e-e L y desplazamientos peque@os a lo largo del e-e D& /b4 5epite la parte /a4 para una carga de prueba negativa& /c4 9alla el valor de la carga prueba que puede situarse en el origen de modo que la fuerza neta sobre cada una de las tres cargas sea cero& /d4 Considera qu% ocurre si cualquiera de las tres cargas se desplaza ligeramente del equilibrio&
Resp& /c4 q* 0 1qK8&
"os cargas positivas iguales q están en el e-e D una está en y 0 a y la otraen y
0 1a& ?na cuenta de collar de masa m con carga negativa Fq se desliza a lo largo de una cuerda situada sobre el e-e L& /a4 >uestra que para peque@os desplazamientos de #JJa, la cuenta e#perimenta una fuerza de restitución
proporcional a #, y por lo tanto, e#perimenta un movimiento armónico simple& /b4 "etermina el periodo del movimiento&
Resp& /a4 Y.q.K8pe*a.Z# /b4 .p Y.pe *a.Kq.Z)K.&
- ?n electrón se mueve en una órbita circular alrededor de un protón
estacionario& !a fuerza centrípeta surge de la fuerza electrostática de atracción entre el protón y el electrón& 'l electrón posee una energía cin%tica de .&)+ X )*1)+ V& /a4 [Cuál es la rapidez del electrón\ /b4 [Cuál es el radio de la órbita del electrón\
Resp& /a4 .&)Q X )* Q mKs /b4 R&.+ X )* 1)) m&
3 Considere un anillo de radio 5 con carga total E distribuida uniformemente
sobre su perímetro& [Cuál es la diferencia de potencial entre el punto en el centro del anillo y un punto sobre su e-e a una distancia .5 del centro\
Resp. ?n conductor esf%rico tiene un radio de )8 cm y una carga de .Q
& Calcule el
campo el%ctrico y el potencial el%ctrico a .* cm del centro& Resp. E + .399.-8,$ ;PC / B + 1.13.89,1 B
1$ !a intensidad del campo el%ctrico terrestre cerca de su superficie es )7* SKC y
apunta acia aba-o& [Cuál es la carga de la =ierra, suponiendo que este campo sea causado por tal carga\& Resp. Q ?1$ C 11 ?na esfera metálica ueca de paredes delgadas y de radio a tiene una carga qa& Conc%ntrica a ella ay otra esfera metálica ueca de paredes delgadas de
radio @ /ba4, con una carga q@& ?tilizar la !ey de auss para encontrar el campo el%ctrico en puntos que se encuentran a una distancia r del centro de las esferas cuando: rJa aJrJb rb& 14 "os cargas el%ctricas de q ) 0 )R* ues/q4 y q . 0 .** ues/q4 están a una
distancia r 0 )* cm& '#presar en S, dyn y gf la fuerza V con que se repelen& Respuesta) 7** dyn, 7&)* 1] S y *,7*Q gf&
18 Calcular la distancia r a que debe colocarse una carga q ) 0 R** ucgs/q4 de
otra carga q . 0 7*** ucgs/q4, para que la fuerza de repulsión sea O 0 7 gf& Respuesta) ..,R+ cm& 19 !a intensidad en un punto de un campo el%ctrico es ' 0 )**** dynKC& $i la
fuerza en el mismo punto es O 0 )*** gf, [cuál es el valor de la carga K que origina el campo el%ctrico\ Respuesta) .38&)*+ues/q4
1 [Cuál es el potencial B en un punto de un campo el%ctrico que está a 7* cm
de una carga puntual q 0 .R** ucgs, y en otro colocado a .* cm\ Respuesta) +7,7 ucgs/4 y ).R ucgs/4
1 Calcular la carga de un conductor, si provoca un campo de R** 6e en un
punto ubicado a R mm& Respuesta) ).R ucgs
1- [Cuál es la fuerza V que aparece sobre una carga q 0 7&)* 1+ C, colocada en
un punto de un campo el%ctrico en el cual la intensidad es ' 0 R SKC\ Respuesta) )R&)*1+ S&
