Pauta Guía 6 – PEP 3 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA
1.- Sea una muestra aleatoria de , distribuida según , con desconocido. Donde representa el tiempo máximo necesario para terminar un proceso, en segundos:
1.1) Determine el estimador estimador máximo máximo verosímil de . 1.2) En base a una muestra muestra aleatoria de , determine la estimación máximo verosímil de , donde la muestra está constituida por los siguientes datos: 0,7; 0, 7; 0,9; 0,6; 0,8; 0,9; 0 ,9; 0,7; 0,9; 0,8. Estime la probabilidad del tiempo máximo necesario para terminar un proceso, no exceda los 0,5 segundos, ni supere los 0,75 segundos. 1.3) Determine el estimador estimador máximo máximo verosímil de: a)
. b)
c)
1.1) Solución: Determinamos la “ función función de verosimilitud ”: ”:
En seguida, calculamos el logaritmo natural de
:
Derivamos e igualamos a cero:
1.2) Solución: Determinamos el estimador máximo verosímil de entrega el ejercicio:
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, con los datos de la muestra que nos
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–– ––
Luego, estimamos que la probabilidad de
Respuesta: En base a una muestra aleatoria de
, que nos otorga el ejercicio, el estimador máximo verosímil de , corresponde a 3,0271, y al estimar que la probabilidad del tiempo máximo necesario para terminar un proceso, no excede los 0,5 segundos, ni supera los 0,75 segundos, es igual 0,3102. 1.3) Solución: Debido a que determinamos , que corresponde al estimador máximo verosímil de por lo tanto, las expresiones pedidas las calculamos por medio de propiedades: a)
b)
c)
,
2.- Una empresa se provee de componentes electrónicos provenientes de dos fábricas. El interés del dueño está centrado en el tiempo de vida útil de tales componentes. Al recibir una gran partida de cada fábrica, decide inspeccionar una muestra aleatoria de cada partida, las cuales somete a experimentación con el propósito de recabar los tiempos de vida útil en horas. Los resultados obtenidos se muestran en la siguiente tabla: Vida Útil (En Horas) [0, 300] (300, 500] (500, 1000] (1000, 1500]
Fabrica 1 4 12 23 6
Fabrica 2 6 16 19 4
2.1) Se sabe que los componentes electrónicos, para que se les otorgué certificado de calidad deben tener una vida útil mayor a 500 horas. Estime con una confianza del 99%, la proporción de componentes certificados de la fabrica 1. 2.2) Si la proporción estimada en 2.1) disminuye en un 10%, y a su vez mantiene el mismo error probable que tenía antes de la modificación, ¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra, si se utiliza un 95% de confianza? 2.3) Si en la fabrica 2 se realiza un ajuste tecnológico en el proceso de elaboración, tiene como consecuencia el aumento de la vida útil en un 15% ¿Cuál sería la estimación de la varianza con un 10% de significación? Página 2
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2.4) Estime el mínimo tamaño de muestra que se debe considerar para estimar la duración promedio de los componentes electrónicos de la fábrica 1, considerando un error de estimación de a lo más 5 horas con 23 minutos, y una confianza de 95%. 2.5) El supervisor de la empresa, le solicita al encargado de producción de la fábrica 1, un reporte con la duración media de los componentes electrónicos que elabora su fábrica. El encargado, debido a que es mal remunerado, estima el reporte pedido por el supervisor, con un 5% de significación, para esto utiliza una muestra de 45 componentes electrónicos, con una media de 600 horas y una varianza de 90000 horas2. 2.6) Luego de la situación ocurrida en 2.5) el encargado de producción de la fábrica 2, encuentra en su oficina un documento que contenía estudios previos de dicha fábrica, donde se detallaba que la desviación estándar es de 222 minutos, por lo que decide volver a estimar la media de la duración de los componentes electrónicos, con .
2.1) Solución: Sean:
“Componentes electrónicos elaborados por la fabrica 1” “Componentes electrónicos elaborados por la fabrica 2”
Debido a que el problema habla de proporción, debemos utilizar la siguiente fórmula para determinar el intervalo confidencial:
Con:
Nota: El valor de
se calcula dividiendo la número de datos de la muestra que cumplen la característica que nos da el problema, en este caso, los componentes electrónicos que tienen una vida útil mayor a 500 horas. Reemplazando, obtenemos:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo
tiene un 99% de contener a la proporción de los componentes electrónicos que tienen una vida útil mayor a 500 horas, es decir certificados.
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2.2) Solución: Lo primero que debemos hacer en este ítem es determinar una nueva variable, como se ve a continuación: "Proporción de componentes electrónicos certificados disminuido en un 10%”
En seguida, calculamos el error probable de p que se mantiene, con la siguiente fórmula:
Luego de esto, ya tenemos lo necesario para determinar el tamaño de la muestra, lo que se realiza despejando la fórmula que sigue:
Respuesta: El tamaño de la muestra debe ser 28, si la proporción disminuye en un 10% y se mantiene
el error probable antes de la modificación, con un 95% de confianza.
2.3) Solución: Sea:
“Muestra aumenta su duración en un 15%”
Por propiedades determinamos el valor de la desviación estándar de y ’ , la que se encuentra dada por:
Después procedemos a definir el intervalo confidencial como se ve a continuación:
Con: Finalmente, reemplazando obtenemos el intervalo confidencial:
Respuesta: Existe una probabilidad del 90% de que el intervalo
contenga a la varianza poblacional de los componentes electrónicos luego de aumentar su duración en un 15%.
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2.4) Solución: El problema nos otorga la siguiente información:
Debido a que estamos trabajando con la duración promedio de los componentes electrónicos, y que desconocemos la varianza ( , la fórmula del error está dada por:
Reemplazando:
Respuesta: El mínimo tamaño de la muestra que se debe utilizar si se desea estimar la duración
promedio de los componentes electrónicos de la fábrica 1, es igual a 13.132
2.5) Solución: Sea: “ Muestra de componentes electrónicos elaborados fabrica 2 considerada por el encargado ” Del enunciado del ejercicio se desprenden los siguientes datos:
Debido a que desconocemos la varianza poblacional, utilizaremos la siguiente fórmula para obtener el intervalo de confianza:
Reemplazando:
Finalmente, el intervalo de confidencialidad queda dado por:
Respuesta: El intervalo
tiene un 95% de contener la duración media de los componentes electrónicos elaborados por la fábrica 2. 2.6) Solución: Para empezar exponemos los datos expuestos por el problema:
Debido a que conocemos la varianza poblacional, el intervalo confidencial esta dado por:
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Evaluando:
Respuesta: El intervalo
tiene un 99% de probabilidad de contener la duración media de los componentes electrónicos elaborados por la fábrica 2, con una desviación estándar poblacional igual a 222 minutos.
3.- En el mercado existen dos tipos de plásticos (A y B), los que son utilizados en la fabricación de diversos artículos. Una variable importante que se maneja es su tensión de ruptura (en psi) y por lo tanto se ha diseñado un experimento para medir la variable en ambos tipos. Los resultados en 41 ensayos del plástico A fueron los siguientes: Tensión de Ruptura
144 a 150 5
150 a 156 12
156 a 162 16
162 a 168 8
Por otro lado, en 25 ensayos realizados para registrar la tensión a la ruptura en el plástico B, se obtuvo un promedio de 154 psi con desviación estándar de 5,2 psi. 3.1) Considerando un nivel de significación del 5% y la información que entregan los datos. ¿Hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, quién señala que el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi? 3.2) El German Professional Institute certifica a los plásticos que posean una tensión media a la ruptura mayor a 159 psi. Si de estudios anteriores se sabe que la desviación estándar de la ruptura del plástico A es 7,3 psi ¿El plástico A será certificado por el German Professional Institute, con ? 3.3) Con un 95% de nivel de confianza, ¿es posible corroborar que más de un 30% de las unidades del plástico A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi? 3.4) Con un nivel de significación del 2,5% ¿Muestran los datos la evidencia suficiente para corroborar que efectivamente la distribución de probabilidad de la tensión a la ruptura del plástico tipo A es de tipo normal con media 155,5 psi y varianza 25 (psi) 2?
3.1) Solución: Sea:
144 – 150 150 – 156 156 – 162 162 – 168
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“Tensión de ruptura del tipo de plásticos A, en psi” “Tensión de ruptura del tipo de plásticos B, en psi”
147 153 159 165
5 12 16 8 41
Para :
Para :
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Las hipótesis a contrastar son:
Luego, como desconocemos la varianza el estadístico de prueba se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica (Con
):
Respuesta: Debido a que
, no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula, es decir, no hay evidencia suficiente para cuestionar lo especificado por el fabricante, el que señaló que el valor medio de la tensión a la ruptura del plástico A es de 155,5 psi, con un 5% de significación. 3.2) Solución: Las hipótesis a contrastar son:
Luego, como conocemos la varianza, el estadístico de prueba se determina de la siguiente forma:
La Región Crítica (Con
):
Respuesta: Debido a que
, no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula, con un 5% de significación, es decir, el plástico A no será certificado por el German Professional Institute. 3.3) Solución: Sea: “Proporción de las unidades del plástico A que presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi” Estimaremos el valor de , lo que lo llevamos a cabo por medio de fórmula de percentil, como se ve a continuación:
144 – 150 150 – 156 156 – 162 162 – 168
5 12 16 8 41
5 17 33 41
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Luego, las hipótesis a contrastar son:
El estadístico de prueba esta dado por:
La Región Crítica (Con
:
Respuesta: Como
, no existe suficiente información para rechazar la hipótesis nula con un 5% de significación, es decir, no se puede corroborar que más de un 30% de las unidades del plástico tipo A presentan una tensión a la ruptura superior a 160 psi. 3.4) Solución: Las hipótesis a contrastar son:
Con
Luego, como queremos probar que se distribuye normalmente, se crea una tabla con los intervalos que abarcan todos los números del conjunto de los reales, es decir, desde el al , donde también se adiciona la frecuencia absoluta y la probabilidad de cada uno de ellos:
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En seguida, se sabe que cuando estamos haciendo bondad de ajuste se debe cumplir que , por lo tanto, se procede a modificar la tabla, lo que se lleva a cabo sumando las dos primeras filas y las tres últimas filas, quedando expresado de la siguiente forma:
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que no se utiliza ningún estimador, el valor de es igual a cero y el número de filas después de la modificación corresponde a tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como
, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que la tensión a la ruptura del plástico tipo A se distribuye normalmente con una media de 155,5 psi y una varianza de 25 psi 2 , con un nivel de significación de 0,025.
4.- En una empresa de acuicultura se quiere hacer un estudio sobre el nivel de parásitos en la producción de doradas. Para ello, se tomó una muestra de 5 individuos cada día, repitiendo el experimento durante 550 días. De cada muestra se analizaron los peces determinando cuantos de ellos contenían parásitos. ¿Se ajusta a un modelo de distribución Binomial con 5% de significación?
Nº de individuos con parásitos Frecuencia Observada
0 17
1 81
2 152
3 180
4 104
5 16
4) Solución: Sea:
“Número de individuos con parásitos”
Luego, como el ejercicio no nos entrega el valor de
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, procedemos estimar el valor:
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Además, de la tabla de distribuciones discretas sabemos que la media de la distribución binomial está dada por la siguiente fórmula, teniendo cuidado con el es el número de veces que se repite el experimento, es decir, en este caso toma el valor de 5:
Las hipótesis que nos interesan contrastar son:
Con
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si de forma binomial, como se ve a continuación:
se distribuye
Ya que todos los sucesos cumplen con condición , la tabla no se modifica. Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que utilizamos el estimador de por lo tanto, reemplazando tenemos:
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, el valor de es igual a uno, y el número de filas es seis,
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Respuesta: Como
, en consecuencia no existe evidencia suficiente para rechazar la hipotesis nula, es decir, el número de individuos con parásitos se distribuye en forma binomial, con un nivel de significación de 0,05.
5.- Se propone que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson. Se reúne una muestra aleatoria de 60 tarjetas de circuito impreso y se observa el número de defectos. Los resultados obtenidos son los siguientes:
Número de defectos 0 1 2 3 o más
Frecuencias observadas 32 15 9 4
Evalúe si estos datos muestran suficiente evidencia para decir que provienen de una distribución Poisson, con un nivel de significación igual a 0,05. 5) Solución:
Sea:
“Número de defectos en las tarjetas de circuito impreso”
Las hipótesis a contrastar son:
Ya que el ejercicio no nos entrega el valor de lambda, procedemos a estimarlo a partir de los datos tabulados:
Luego, la probabilidad se determina de la siguiente manera, ya que se quiere probar si distribución Poisson, como se ve a continuación:
tiene una
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Puesto que la frecuencia esperada en la última celda es menor que 5, se combinan las dos últimas filas.
Posteriormente, se aplica la fórmula para calcular el estadístico de prueba:
Además, la región crítica está definida de la siguiente forma:
Con:
Debido a que ocupamos el estimador , el valor de es igual a uno, y el número de filas después de la modificación es tres, por lo tanto, reemplazando tenemos:
Respuesta: Como
, se concluye que no existe evidencia suficiente para rechazar que el número de defectos en las tarjetas de circuito impreso sigue una distribución Poisson.
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