Ejercicios Física IV Ejercicios Unidad 1 1. Dos vehículos de propulsión fónica se aproximan uno al otro en direcciones paralelas y opuestas con velocidades de 0.8 c y 0.7 c con respecto a un observador en re p poso oso a lo largo de la línea de acción. Calcule la velocidad relativa de los dos vehículos (a) medida según la mecánica clásica, y (b) medida según la mecánica relativista. Compare resultados. 2. Un hombre en un carro que se mueve a la velocidad de 60 km/hr lanza una pelota en la misma dirección en que se mueve el carro. Si la velocidad de la pelota con respecto al carro es de 80 km/hr. calcule la velocidad de la pelota con respecto al piso usando (a) ecuaciones relativistas y (b) Galileanas. Compare resultados. 3. Una barra de 1 m que se mueve paralelamente a su longitud es medida cuando su velocidad es 0.98 c. ¿Cuál es la longitud de esta barra comparada con su longitud de reposo? 4. La vida media de un mesón pi cargado, medida en reposo es de 2.6 X 10-8 seg. Si la partícula viaja a la velocidad de 0.98 c con respecto a la tierra, ¿cuál será su vida media medida por un observador terrestre? 5. La distancia de una estrella dada a la tierra es alrededor de 105 años luz. Suponiendo que el tiempo de vida de una persona es de 70 años, ¿a qué velocidad debe viajar para llegar a la estrella en su tiempo de vida?
Ejercicios Unidad 2 1. Si la función de trabajo para el zinc es 4.3 eV, ¿cuál es la energía cinética máxima de los electrones expulsados de una superficie pulida de zinc por la línea ultravioleta de 2537Å del mercurio? 2. El níquel tiene una función de trabajo de 5.0 eV. (a) ¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones expulsados de una su perficie de níquel por una fuente de luz ultravioleta de 1.0 mW a 2000 Å? (b) ¿Cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones expulsados por una fuente laser de argón de 15 W a una longitud de onda de 4658 Å? 3. Se requiere una longitud de onda máxima de 5450 Å para expulsar fotoelectrones de un metal de sodio. (a) Determine la máxima velocidad de los electrones expulsados por una luz de longitud de onda igual a 2000 Å. (b) ¿Cuál es el potencial de frenado para los fotoelectrones expulsados del sodio por luz de longitud de onda de 2000 Å? 4. El potencial de frenado para los electrones expulsados de una superficie de zinc es de 2.42 V para la línea ultravioleta del mercurio de 1849 Å. ¿Cuál es el potencial de frenado para la línea de 2537 Å del mercurio? 5. En un experimento se recolectaron los siguientes datos sobre potenciales de frenado de los fotoelectrones producidos por prominentes longitudes de onda del espectro del mercurio: LONGITUD DE ONDA (Å) POTENCIAL DE FRENADO (V) 5460 0.40 4920 0.60 4360 0.90 4050 1.20 3690 1.50 3130 2.10 Use estos datos para hacer una gráfica, y en base a ella determine los valores para la constante de Planck y la función de trabajo del metal usado en este experimento. 6. La función de trabajo para el efecto fotoeléctrico en el potasio es de 2.3 eV. Si luz que tiene una longitud de onda de 250 nm incide al potasio, encuentre: a) El potencial de frenado; b) La energía cinética en eV de los electrones expulsados con mayor energía; c) La rapidez de estos electrones.
Ejercicios Unidad 3 1. Compare la energía de la línea K α del tungsteno (W-74) a 0.0210 Å con la línea pulsante de un láser infrarrojo de CO2 a 10.6 μ. 2. La línea K α del tulio (Tm-269) tiene una longitud de onda de 0.246 Å. Compare la energía de este fotón K α con la energía de la masa de reposo de un electrón. 3. Determine el voltaje aplicado a un tubo de rayos x que dará un límite de 1.0 Å a las longitudes de onda corta. 4. (a) ¿Cuál es el rayo X más energético emitido cuando un blanco de metal es bombardeado por electrones de 40 KeV? (b) ¿Cuál es la máxima frecuencia de los rayos x producidos por electrones acelerados a través de una diferencia de potencial de 20 000V? 5. Una reflexión de Bragg de primer orden ocurre cuando un rayo x monocromático incidente, a un ángulo de 30°, es reflejado por un terrón de sal (NaCI). Determine la longitud de onda del rayo x incidente. 6. Encuentre los ángulos rasantes sobre la cara de un cristal de cloruro de potasio (KCl), d = 2.82 Å, que corresponden a los máximos de primero y segundo orden de la reflexión de Bragg, para rayos x de longitud de onda λ = 0.58 Å. 7. Los cristales de NiO con un pesos molecular M = 74.69 Y una densidad ρ = 7.45 gm/cm3 tienen una estructura cúbica simple como la del NaCI. Determine el ángulo a que debe estar orientado un cristal de NiO con respecto a un rayo x incidente cuya longitud de onda es λ = 2 Å para producir una reflexión de Bragg de primer orden. 8. Los electrones acelerados a través de una diferencia de potencial de 35 kV producen rayos X que son analizados por un espectrómetro de cristal de Bragg usando un cristal de calcita (CaCO3). Si el espaciamiento es de 3.03 Å entre los planos de la calcita, ¿cuál es el ángulo más pequeño entre el haz incidente y el plano de cristal para el cual se encontrará un intenso haz reflejado. 9. Rayos X de longitud de onda 0.040 Å son dispersados por un bloque de carbón. Determine: (a) el momento de un fotón dispersado a un ángulo de 30°, y (b) la energía cinética del electrón en retroceso. 10. Un fotón incidente de rayos X con una longitud de onda de 0.09 nm se dispersa en la dirección hacia atrás al chocar con un electrón libre que esta inicialmente en reposo. a) ¿Cuál es la magnitud del momento lineal del fotón dispersado? b) ¿Cuál es la energía cinética del electrón despues de que se dispersa?
Ejercicios Unidad 4 1. ¿Cuál es la energía y la longitud de onda de un fotón que escasamente alcanza a crear un par protón-antiprotón? 2. Determine la energía cinética total del electrón y del positrón formados por producción de pares por un rayo γ de longitud de onda 0.00247 Å. 3. ¿Cuál es el momento de los fotones creados en la aniquilación de un protón y de un antiprotón, cada uno con energía cinética original de 1.00 MeV? 4. Un fotón crea un par electrón-positrón, cada uno con energía cinética de 0.5 MeV. Compare la longitud de onda del fotón incidente con la longitud de onda de de Broglie de una de las partículas producidas (La longitud de onda de de Broglie asociada con una partícula está dada por λ = h/p. donde p es el momento de la partícula.). 5. Un fotón entra a una cámara de nubes localizada en un campo magnético de 0.03 teslas para producir un par electrón-positrón. Los radios de las trayectorias curvas perpendiculares al campo magnético del electrón y el positrón son de 2.00 cm y 1.50 cm, respectivamente. ¿Cuál es la energía en MeV del fotón incidente? 6. Un electrón y un positrón, cada uno viajando a 0.80 c. en direcciones opuestas, chocan y se aniquilan en forma de radiación. Calcule (a) la longitud de onda de de Broglie del electrón, (b) la longitud de onda de los fotones formados, y (c) el momento de cada uno de los fotones. 7. La radiación de los láseres de CO2 (λ = 10.6 μm) alcanza valores típicos de 100 W/cm2 normalmente a una superficie. (a) ¿Cuál es el flujo de fotones, o sea, el número de fotones incidentes sobre un área unitaria en la unidad de tiempo? (b) ¿Cuál sería el flujo de fotones de rayos γ de longitudes de onda igual a 5 x 10-3 Å que produciría la misma intensidad? 8. El coeficiente de absorción de rayos γ de baja energía en el plomo es 1.50 cm-1. ¿Qué espesor de plomo se requiere para reducir la intensidad de los rayos γ (a) a la mitad de la intensidad original y (b) a 0.01 de su intensidad original? 9. Para rayos γ de una longitud de onda dada, el coeficiente de absorción para el plomo es 0.9 cm-1 y para el aluminio 0.280 cm-1. Para la absorción de estos rayos γ. qué espesor de aluminio tendrá la misma absorción que 1 cm de plomo. 10. Un láser de rubí (λ = 6983 Å) produce un pulso de 50 J a la razón de 96 pulsos/min. ¿Cuántos fotones hay en un solo pulso?
Ejercicios Unidad 5 1. ¿Cuál es la longitud de onda asociada con (a) un electrón de 100 eV? (b) una pelota de golf (1.65 oz) con una velocidad de 60 m/seg? 2. ¿Qué velocidad tendrá un electrón con una longitud de onda asociada de 2 Å? 3. Determine el momento y la energía para (a) un fotón de rayos X, y (b) un electrón, cada uno con longitud de onda de 1 Å. 4. Un acelerador Van de Graaff acelera los núcleos desnudos de los átomos de litio a través de una diferencia de potencial de 5 x 106 V. ¿Cuáles son la velocidad y la longitud de onda de estos núcleos? 5. (a) ¿Cuál es la masa relativista de un electrón con una longitud de onda de 0.042 Å? (b) De E = hc/ λ = mc2, se puede calcular una masa efectiva para un fotón m* = h/λc. ¿Cuál es la masa efectiva de un fotón con longitud de onda de 0.042 Å? 6. Si un acelerador le da a un electrón una energía cinética de 0.511 MeV, ¿cuál es su longitud de onda de de Broglie? 7. Un haz de neutrones producidos por una reacción nuclear incide sobre un cristal con un espaciamiento de 1.50 Å entre planos. Determine la velocidad de estos neutrones si una reflexión de Bragg de primer orden tiene lugar a un ángulo de 30°. 8. (a) Calcule la mínima in certidumbre en la determinación de la velocidad de un camión cuya masa es de 2000 kg si se requiere determinar la posición de su centro de masa dentro de un intervalo de 2 Å. (b) Calcule el porcentaje de incertidumbre del momento para el mismo caso. 9. La velocidad de una partícula nuclear (protón o neutrón) que marcha en la dirección x se mide con una exactitud de 10-6 m/seg. Determine el límite de exactitud con que puede localizarse su posición: (a) a lo largo del eje x, y (b) a lo largo del eje y. Resuelva el mismo problema siendo la partícula un positrón. 10. La incertidumbre en la posición de un electrón que se mueve en línea recta es de 10 Å. Calcule la incertidumbre en (a) su momento (b) su velocidad, y (c) su energía cinética.
Ejercicios Unidad 6 Datos de referencia para resolver los ejercicios: ρoro = 1.93x104 kg/m3 Z = 79 M = 197 kg/kg-mol 1. ¿Cuál es la velocidad de una partícula α con una energía cinética de 7.68 MeV? 2. (a) Si la distancia de máximo acercamiento de una partícula α dirigida contra un núcleo de oro es de 3 x 10-13 m, calcule la energía cinética en MeV de la partícula α. (b)¿Cuál es la energía potencial del sistema a la distancia de máximo acercamiento? 3. (a) Para partículas α de 7.68 MeV dirigidas contra una hoja de oro de 3 x 10-7 m de espesor, encuentre la fracción de partículas α cuyos ángulos de dispersión están entre φ1 = 10° y φ2 =12°. (b) Si el número total de partículas α dirigidas contra la hoja de oro es 1 x 106, ¿cuántas serán dispersadas entre los ángulos de 10° y 12°? 4. Si un blanco de sodio (Z = 11, M = 23) dispersa 1 x 104 partículas α en una dirección dada, (a) ¿cuántas serán dispersadas a través del mismo ángulo si el blanco de sodio se remplaza por una hoja de oro (Z =79, M = 197) del mismo espesor? (b) ¿cuántas serán dispersadas en la misma dirección si el espesor del blanco de sodio se reduce a la mitad de su valor original? La densidad del sodio es 0.93 x 104 kg/m3. 5. ¿Qué fracción de partículas α de 7.68 MeV dirigidas contra una hoja de oro de 5 μm de espesor serán dispersadas a través de un ángulo de 10°? 6. Una partícula α de 8.00 MeV es dispersada a un ángulo de 45° por un núcleo de oro. (a) Calcule el parámetro de impacto b. (b) Si la hoja de oro tiene un espesor de 0.4 μm, ¿qué fracción de partículas α es dispersada a un ángulo mayor de 45°? (c) ¿Qué fracción es dispersada a un ángulo menor de 45°?
Ejercicios Unidad 7 1. Suponga que el modelo planetario describe el movimiento del electrón en el átomo de hidrógeno. Si el radio de la órbita del electrón es de 0.53 Å, calcule (a) la frecuencia angular del electrón, (b) su velocidad lineal (c) su energía cinética en electrón volts, (d) la energía potencial del átomo en electrón volts, y (e) su energía total en electrón volts ¿Cuál es la energía mínima en electrón volts necesaria para ionizar el átomo (energía d! enlace)? 2. Encontrando la razón de la fuerza de atracción gravitacional entre un electrón y un protón y la fuerza de atracción de Coulomb entre las mismas dos partículas, muestre que la fuerza gravitacional puede despreciarse en el estudio del átomo de hidrógeno. (Si sólo estuvieran implicadas las fuerzas gravitacionales, ¡el radio de la primera órbita de Bohr sería r 1 = 1 x 1026 millas!). 3. En el modelo planetario del átomo, el radio de la órbita es 0.53 Å y la velocidad lineal es aproximadamente 2.2 x 106·m/seg. Encuentre (a) la aceleración centrípeta, (b) la fuerza. centrípeta, y (c) la fuerza de atracción electrostática entre el electrón y el protón. (d) Compare las fuerzas calculadas en las parte; (b) y (c). ¿Cuál es su conclusión? 4. La luz de un tubo de descarga de hidrógeno usada por un espectroscopio incide normalmente sobre una red de difracción de 15 000 líneas/plg. Si el espectro de primer orden de la serie de Balmer muestra la línea Hα difractada a un ángulo θ = 23°, calcule (a) la longitud de onda de la línea Hα (línea roja en la serie de Balmer), y (b) la constante de Rydberg en metros recíprocos (m-1). 5. Un electrón en un átomo de hidrógeno efectúa una transición desde n = 5 hasta n = 1, el estado base. (a) Encuentre la energía y el momento del fotón emitido. (b) Encuentre la velocidad y el momento del electrón en retroceso. 6. El tiempo de vida de un estado excitado es alrededor de 10-8 seg. Calcule cuantas revoluciones efectuará un electrón en el estado excitado n = 4 antes de regresar al estado base. 7. Calcule las primeras tres longitudes de onda para la serie de Paschen del hidrógeno. En qué región del espectro yacen las líneas de la serie de Paschen. 8. (a) Para un electrón que gira en la primera órbita (n = 1) alrededor de un protón. determine la frecuencia de revolución. (b) ¿Cuál es el valor en amperes de la corriente equivalente? (c) Calcule el campo magnético B (en teslas = Wb/m2 ) en el centro de esta trayectoria circular. ¿Cómo está alineado el campo magnético con respecto al momento angular orbital? 9. En el átomo de hidrógeno, un electrón experimenta una transición de un estado cuya energía de enlace es 0.54 eV a otro estado, cuya energía de excitación es 10.2 eV. (a) ¿Cuáles son los números cuánticos de estos estados? (b) Calcule la longitud de onda del fotón emitido. (e) ¿A qué serie pertenece esta línea? 10. Un fotón de energía 12.1 eV absorbido por un átomo de hidrógeno, originalmente en el estado base, eleva al átomo a un estado excitado. ¿Cuál es el número cuántico de este estado?
Ejercicios Unidad 8 1. Una función de onda
A sen
x
n
2n x
, 0 x L . Use la condición de
L
normalización para evaluar la constante An. 2. Determine la constante An para la función de onda n x x, t Ansen e ,0 x L. L n x 3. Para la función x, t Ansen e , 0 x L , la probabilidad de encontrar a L i
i
E0t
E0t
b
la partícula dentro del rango (a, b) (0 < a < b < L) es
*
dx . (a) Determine la
a
probabilidad de encontrar la partícula dentro de las dimensiones x = 0 a x = L/4, (b) ¿Cuál es el promedio de la probabilidad por unidad de longitud? 4. Muestre si x t Asen kx t es o no una solución de la ecuación de Schrödinger. 5. ¿Son x, t A1e cos k1x y x, t A2e senk2 x , cada una solución de la ecuación de Schrödinger? 6. Muestre que para una partícula libre E E x, t A cos kx t iAsen kx t ,
i 1t
Donde
k
2mE 2
i 2t
es una solución de la ecuación de Schrödinger.
7. Para un electrón con una longitud de inda de de Broglie de 1 Å, determine, (a) la velocidad de grupo, (b) la velocidad de fase (de Broglie), y (c) la velocidad de fase (Schrödinger). 8. La función de onda de un electrón es
x, t iCe
x x0
i
e
t
,
a) Normalizar la función b) Calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en
x0
x
x
0
.
Ejercicios Unidad 9 Dato:
34
1.054 10
J seg
1. Suponga que la partícula es un electrón confinado dentro de un pozo de potencial con una dimensión de L = 2 Å. Determine para esta partícula: (a) la más pequeña energía posible E 1 que puede tomar en electrón volts, (b) la diferencia en energía entre la energía más pequeña E 1 y la siguiente energía más elevada E 2, E E E y (c) la 2
longitud de onda de un fotón con energía
1
E .
2. Para un electrón confinado dentro de una dimensión de L = 2 Å, calcule (a) el valor más pequeño del momento, y (b) el porcentaje de incertidumbre en el momento de un electrón dentro de la caja. 3. Si la partícula en el pozo de potencial es un gramo de arena, con una masa de 1 x 10-7 Kg confinada dentro de una dimensión de L = 1 mm, determine (a) la energía más pequeña E 1 en electrón volts, y (b) la diferencia de energía entre E 1 y la siguiente energía más elevada E2, E E E . 4. Encuentre un valor aproximado de n para (a) un electrón que se mueve a una velocidad de 7.3 x 106 m/seg dentro de una caja de longitud L = 5 Å, (b) una molécula de oxígeno (m = 5.3 x 10-26 kg) que se mueve a la velocidad de 460 m/seg. dentro de una caja de 10 000 Å de longitud, y (c) una partícula de 1 x 10-6 kg de masa que se mueve a la velocidad de 0.0010 m/seg dentro de una caja de 1 mm de longitud. 5. (a) Para un pozo de potencial infinito, se tiene la función de onda 2 n x x i sen L L para determinar la probabilidad de encontrar un electrón en las situaciones dadas abajo 2
1
n
Numero cuántico n 1 1 2 2
Intervalo 0 1 4
L
0 1 4
L
1 2
1 2
L 3 4
L
L 3 4
L
(b) Encuentre la probabilidad por unidad de longitud correspondiente a los puntos medios de los intervalos para los números cuánticos dados. 6. Calcule el valor esperado del momento de una partícula que se halla dentro de una caja de longitud L, si su función de onda es n
x i
2
L
sen
n x L
7. Se produce un foton de 495 nm en la transición de cuarto estado excitado al primer estado excitado. Determinar la longitud del pozo y la energía del estado base.
