Ejercicios Capítulo 1
1. Simbolice completamente las proposiciones siguientes, utilizando los símbolos correspondientes a cada término de enlace. Indique l as proposiciones simples sustituidas por cada letra mayúscula.
•
En el hemisferio sur, julio julio no es un mes de verano. verano.
•
Si dos pulsaciones se atraviesan, continúan conservando la forma original.
•
Jaime no es puntual o Tomás llega tarde.
•
Ni Antonio ni Ana estudian en la universidad.
•
Pedro es presidente y Juan es tesorero, o Jaime es tesorero.
•
Si este cuadro es negro, entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.
•
A la vez, si este cuadro es negro, entonces aquel cuadro es rojo y su rey está sobre el cuadro rojo.
•
Patinaremos si y sólo si el hielo no es demasiado delgado.
2. Sean P, Q, R y S fórmulas. Si se sabe únicamente que P es verdadero, ¿qué puede afirmarse del valor de verdad de cada una de las proposiciones siguientes?
P ∧ Q
R
R ∨ P
P→ Q
R
∧P
∨ S
P
¬P
→P
S
R → (S → P)
→ P ∨ S
¬P →Q ∧
→ ¬P
P ∨ S R
Q∧
→ (Q ∧ ¬ P)
¬ P → R ∧ Q
3. ¿Qué puede concluirse de cada una de las proposiciones anteriores, en los siguientes casos?
4.
•
Si P es falsa.
•
Si P es falsa, Q verdadera y R verdadera.
Sean P, Q y R fórmulas, entonces:
•
∨ P Si R
•
Si Q ⇒ Q ∧ P es verdadera y P es falsa, falsa, ¿qué puede afirmarse afirmarse de Q?
•
Si R
•
∨ R) Si (Q
→ Q ∧ P es falsa y P es falsa, ¿qué puede afirmarse de R y de Q?
∧ P ⇒ Q ∧ P
es falsa, ¿qué puede afirmarse afirmarse de P, Q y R?
→ (P ∧ Q) ∨ R
es falsa, ¿qué puede afirmarse afirmarse de P, Q y R?
Si (P ⇒ Q)
• 5.
⇒
(R ∨ P ⇒ R ∨
Q) es verdadera, ¿qué puede afirmarse de P, Q y R?
Sean P, Q y R fórmulas. Determine cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías:
∧ Q → P ∧ R P
( ¬ P → Q)
P→P ∧ Q
(P
∧ P
P
¬ (Q ∨ P)
∨ ¬ P)) → ¬ Q
(P → (Q
→ ( ¬ Q → P)
↔ Q) ∧ (P ∧ ¬ Q) ∧ ¬ ((P ∨ Q) ∨ R)
∨ ( ¬ P ∨ R) P
6. Simbolice los siguientes enunciados:
•
No hace frío, pero llueve.
•
O se protege la flora y la fauna, o se quebrará el equilibrio ecológico.
•
La deserción escolar disminuirá si y sólo si se mejoran las condiciones de la población y se moderniza la educación.
7. Para cada enunciado escriba su recíproco, su contrarrecíproco y su contrario.
•
Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en dicho punto.
•
Si una figura plana es un cuadrado, entonces es un rectángulo.
•
Si una matriz cuadrada tiene inversa, entonces su determinante es distinto de cero.
8. Demuestre que los siguientes enunciados son teoremas:
•
((P
→ Q) ∧ ((R → Q)) ↔ ((P ∨ R) → Q).
•
((P
→ Q) ∧ (P → R)) ↔ (P → (Q ∧ R)).
9. Justifique cada regla de prueba:
•
Si P
→ Q es verdadera, entonces
•
Si P
∨ Q → R
•
Si Q
•
Si P
R
∧ P → Q es verdadera.
es verdadera, entonces Q
→ R es verdadera.
∧ ¬ Q es verdadera, entonces P es verdadera. ∨ Q y ¬ P son verdaderas, entonces Q
es verdadera.
10. Demuestre los siguientes teoremas:
11.
•
(P
→ (Q ∨ R) ↔ ((P ∧ ¬ Q) → R).
•
(P
→ Q) → ((Q → R) → (P → R)).
•
P
•
(P
•
((P
→ (Q → P ∧ Q). → (Q → R)) ∴ ↔ ((P ∧ Q) → R) → Q) ∧ (P → R)) ↔ (P → (Q ∧ R)).
En cada una de las siguientes listas de premisas escriba los pasos que conducen a la conclusión, justificando cada uno de ellos.
T
→ ¬S
P
∧ Q → R
F
→ ¬T
S
∨ ¬R
S
∨ F
T
∧ ¬S
∴ ¬T
∴ ¬ (P ∧ Q)
¬ (P ∧ Q) → R
P ∨ (Q
∧ R)
¬ (R ∨ S) ∴ P
S
∨ T
S
→ ¬ (P ∨ Q)
¬ (P ∨ ¬ Q)
¬Q → ¬P
R
Q
→ (R ∧ S)
Q
→ (R → S) ∴ S
¬R ∴ ¬P
P
→R
P
→ S
P
→Q
P
∧ Q
S
∧ R → ¬ T
Q
→R ∴ ¬T
¬ Q ∨ ¬ R
∴ ¬ P
∴T
12. Demuestre que los siguientes conjuntos de premisas son inconsistentes, deduciendo una contradicción para cada caso.
¬ Q → R
T
→ P
T∨
¬R
¬ R ∨ S
T
∧ R
¬ (R → S)
¬ (P ∨ Q)
Q
→ ¬R
T
¬ P → ¬ S
(P
∨ S) → Q → (R ∧ Q)
x = 1
→ y < x
R
y < x
→ y
¬ S ∨ R
= 0
¬ ( y = 0 ∨ x ≠ 1)
→S
¬ T ∨ ¬ Q S
∧ T
13. Simbolice el siguiente razonamiento y demuestre la conclusión dada a partir de las siguientes premisas:
•
Si el partido A gana las elecciones, tendrá mayoría en el congreso.
•
Si tiene mayoría en el congreso, el presidente podrá cumplir el programa de gobierno propuesto.
•
O el presidente no podrá cumplir el programa propuesto o la o posición lo atacará duramente.
•
Pero la oposición no lo atacará duramente.
Conclusión: el partido A no ganará las elecciones.
14. Use cualquier método de demostración para probar los siguientes teoremas:
•
El producto de un número par por otro impar es un número par.
•
Se dice que el entero t divide al entero a y se escribe t a si y sólo si a = kt para algún K Demuestre que si t a y t b, entonces t (ma + nb), siendo m y n enteros arbitrarios.
•
Si q es un número racional, demuestre que q +
2 es un número irracional.
15. Demuestre que si P ⇒ Q es verdadera, entonces:
∨ R P ∨ R ⇒ Q P ∨ R ⇒ R ∨ Q R ∨ P
⇒
R ∨ Q
∨ R R ∨ P ⇒ Q son verdaderas.
16. Demuestre que si P ⇒ Q y R ⇒ S son verdaderas, entonces:
∨ S P ∨ R ⇒ Q ∧ S P ∧ R ⇒ Q
∈ Z .
son verdaderas.
17. Demuestre que:
a. Si P
⇔ Q
es verdadera, entonces, son verdaderas:
•
¬P⇔ ¬Q
•
R ∨ P ⇔ R ∨ Q
•
R
•
⇔ (R ⇒ Q) (R ⇒ P)
•
(P ⇒ R) ⇔ (Q ⇒ R)
•
(P ⇔ R) ⇔ (Q ⇔ R)
•
Q ⇔ P
∧ P ⇔ R ∧ Q
y Q ⇔ R son verdaderas, entonces P ⇔ R es verdadera. b. Si P ⇔ Q 18. Demuestre los siguientes teoremas:
•
P ⇔ P
•
P⇔
•
P
•
P ∨ P ⇔ P (idempotencia).
•
⇔ (P ∨ Q) ∨ R (ley asociativa). P ∨ (Q ∨ R)
•
⇔ (P ∧ Q) ∧ R (ley asociativa). P ∧ (Q ∧ R)
•
⇔ ( ¬ Q ⇒ (P ⇒ Q)
•
P
∨ Q ⇔ Q ∨ P
•
P
∧ Q ⇔ Q ∧ P (ley conmutativa)
•
P
∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) (distributivitividad).
•
⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (distributivitividad). P ∨ (Q ∧ R)
•
¬ (P ∨ Q) ⇔ ¬ P ∧ ¬ Q
(ley de Morgan).
•
¬ (P ∧ Q) ⇔ ¬ P ∨ ¬ Q
(ley de Morgan).
•
¬ (P ⇒ Q) ⇔ P ∧ ¬ Q
•
P ∨ Q ⇔ ( ¬ P ⇒ Q)
¬ ¬P
(doble negación).
∧ P ⇔ P (idempotencia).
¬ P) (ley del contrarrecíproco).
(ley conmutativa).
