EJERCICIOS-RESUELTOS.docx

EJERCICIOS RESUELTOS DISTRIBUCIONES DISTRIBU CIONES DE VARIABLE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA

Ejemplo 1. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras exactamente, al lanzar 6 veces una moneda correcta? Solución: n = 6 lanzamientos o pruebas. X = 2 caras (éxitos  p = ! (probabilidad de obtener cara " = # $ p = ! (probabilidad de %racaso.

&plicando 'ernoulli 2

*

 #    #   = # #    #   = # = +,2)**            2-(6 − 2-  2    2    *   #6   6* 6-

(X = 2 = Ejem Ejempl plo o . a probab probabilid ilidad ad de un estudi estudiante ante "ue in/resa in/resa a la unive universid rsidad ad lo/re lo/re /raduarse es +,*. ¿Cuál es la probabilidad "ue de  estudiantes nuevos, se /rad0en )? Solución: &plicando 'ernoulli n= ( +,* ) ) ( +,6 ) 2  P ( X  = ) = )- 2 x = ) /raduados  p = +,* (/raduarse = #+(+,+6*(+,)6 = +,2)+* " = # $ p = +,6 (no /raduarse (X = ) Ejemplo Ejemplo !. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos * caras, al lanzar 6 veces una moneda? Solución: (X ≥ * = (X = * 1 (X = 1 (X =6

 6    x 6− x      p q ∑ i = *  x   n

 

(X ≥ * =

 6   #  *  #  2  6   #    #  #  6   #  6  #  +  P ( X  ≥ * =         +         +                   *   2    2       2    2    6   2    2    P ( X 

≥ * =

# 6*

+

6 6*

+

# 6*

=

## )2

Ejemplo Ejemplo ". n recipiente contiene  bolas3 una blanca 4 * ne/ras. 5e extrae una bola 4 se reemplaza después de cada extraccin. 5i se extrae ) veces al azar una bola, con reemplazamiento3 ¿cuál es la probabilidad "ue las extracciones ten/an7

a exactamente ) bolas blancas?  b 8xactamente una bola blanca? Solución. a n = )3 X = )3 p = #9 3 " = # $ p = *9 )

+

)

 #    *   =  #   = # = +,++:          ) - + -             #2 )-

∴

 b n = )3

(X = ) = X =#

)#- 2 -

#

2

 #    *   = )   #6  = *: = +,):*                   #2   #2

(X = # = Ejemplo #. 5e conoce "ue los tornillos producidos por cierta compa;remplazar un pa"uete = (X @ # = # $  (X ≤ # (X @ # = # $ >(X = + 1 (X = #  P ( X 

 #+    #+   + #+ # A    > # = # −    + ( + , +#  ( + , AA  ( + , +#  ( + , AA      #   +          

(X @ # = # $ >+,A+*): 1 +,+A#) = +,++*266 or tanto, solamente +,*) B de pa"uetes tendrán "ue ser remplazados. Ejemplo $. n estudiante de la 8scuela de sicolo/ia tiene la certeza de aprobar una asi/natura cual"uiera con probabilidad +,:. si lleva 6 asi/naturas7 a ¿Cuál es la probabilidad de "ue sal/a mal en todas las asi/naturas?.  b ¿Cuál es la probabilidad de "ue apruebe menos de 2 asi/naturas o más de * asi/naturas? c ¿Cuál es la probabilidad de "ue apruebe exactamente 2 asi/naturas, sabiendo "ue al menos aprueba una asi/natura? Solución: 5ea X la v. a. "ue denota al n0mero de asi/naturas "ue el estudiante aprueba, entonces la distribucin es binomial. a a probabilidad de "ue el estudiante no aprueba nin/una de las asi/naturas es7

 6   + 6 ( + , :  ( + , 2  = +,++++6*  P ( X  = + =       +    b 5ean los sucesos7 & 7 estudiante aprueba menos de 2 asi/naturasD '7 estudiante aprueba más de * cursosD   ue/o7

(&∪ ' = (& 1 (' = (X ≤ # 1 (X ≥  (&∪ ' = (X = + 1 (X = # 1 (X =  1 (X = 6  P ( A

 6   + 6 ∪  B =    (+,: (+,2    +  

 6    6    6   #   # 6 +       +    + + ( + , :  ( + , 2  ( + , :  ( + , 2  (+,: (+,2         #        6  

(&∪ '  = +,++++6* 1 +,++#)6 1 +,)A)2#6 1 +,262#** = +,66A6 c a probabilidad de "ue apruebe exactamente 2 asi/naturas, dado "ue al menos aprueba # asi/natura, es7

 6   2    (+,: (+,2 *    P ( X  = 2  P ( X  = 2  2   ]  P [ X  = 2 = = =  X  ≥ #  P ( X  ≥ # # −  P ( X  = +  6   + 6 # −    ( + , :  ( + , 2     +      

[

+#)6 ] = ++,,AAAA)6 = +,+#)6+A:

 P  X  = 2  X  ≥ #

Ejemplo %. Calcular la probabilidad de "ue al lanzar una moneda correcta ) veces resulten7 a ) caras 3 b 2 sellos 4 # cara 3 c al menos una cara Solución: tilizando un primer método7 nE  = 2 ) = : . 8l espacio muestral asociado al experimento es7 Ω =

F ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss G

⇒

n(Ω = : n( A

 P ( A =

n( Ω 

a 5ea el evento & 7 resulten tres carasD  P ( B 

=

 P (C 

=

) :

 b 5ea el evento ' 7 resulten dos sellos 4 una caraD

c 5ea C 7 resulten al menos una caraD tilizando la %rmula de distribucin. Como datos se tiene7

n=)3

p=! 3 )

"=#$p=! +

 #    #   = #  #  (# = #  P ( X  = ) =          ) - + -  2    2   :  :   )-

a ara X = )

H :

=

# :

2

#

 #    #   = )  #   #  = )  P ( X  = 2 =            2 - #-  2    2    *   2   : )-

 b ara X = 2 c ara X ≥ # o ( X ≥ # = (X =# 1 (X = 2 1 (X = )

 )   #  #  #  2  )   #  2  #  #  )   #  )  #  +  P ( X  ≥ # =         +         +          #   2    2    2   2    2    )   2    2                P ( X 

)

)

#

H

:

:

:

:

≥ # = + + =

Ejemplo &. Calcular la probabilidad de "ue en  lanzamientos de un dado correcto aparezca el )7 a dos veces3 b máximo una vez3 c al menos dos veces. Solución: a probabilidad de obtener un ) en un solo lanzamiento, es p = #96 3 de no obtener ) en un solo lanzamiento es, " = # $ #96 = 96. a () ocurra dos veces7

    #  2    )   #   #2  = #2+ = +,#6+H  P ( X  = 2 =         = #+       2   6    6   )6 2#6         HHH6      b () ocurra máximo una vez7

    #  +         #  #    *  P ( X  ≤ # =  P ( X  = + +  P ( X  = # =         +          +   6    6    #   6    6            P ( X 

≤ # =

)#2 HHH6

+

)#2 HHH6

=

62+ HHH6

= +,:+)6

c () ocurra al menos dos veces7  P ( X  ≥ 2 =  P ( X  = 2 +  P ( X  = ) +  P ( X  = * +  P ( X  = 

    #  2    )     #  )    2     #  *    #     #      +  P ( X  ≥ 2 =       +       +       +         6     6     6     6   6 6 6                      6   2 ) *                   P ( X 

≥ 2 =

62 ):::

+

#2 ):::

+

2 HHH6

+

# HHH6

=

H6) ):::

= +,#A62

Ejemplo '. Calcular la probabilidad de "ue en una %amilia de * IiJos7 a al menos uno sea ni;o3 b al menos uno sea ni;o 4 al menos una sea ni;a. 5uponer "ue la  probabilidad del nacimiento de ni;o es !. Solución:  P ( X  ≥ # =  P ( X  = # +  P ( X  = 2 +  P ( X  = ) +  P ( X  = * a (al menos un ni;o =

 *   #  #  #  )  *   #  2  #  2  P ( X  ≥ # =         +         +  #   2    2    2   2    2            P ( X 

#

)

#

#

*

:

*

#6

≥ # = + + +

=

# #6

 *   #  )  #  #          +    )   2    2  

 *   #  *  #  +             *   2    2  

= +,A)H

 b (al menos un ni;o 4 al menos una ni;a = # $ (nin/0n ni;o $ (nin/una ni;a. # # H  P ( X  ≥ # 4 X  ≥ # = # − − = = +,:H #6 #6 :