Estadística y Probabilidades
INDEPENDENCIA
PROBLEMA 2 Se entrevistó a 120 personas que visitaron B&B, una nueva tienda por departamentos, durante el fn de semana pasada. Se sabe que ueron entrevistados 84 mueres ! que "0 de las personas entrevistadas ten#an la tareta de $r%dito de la tienda tambi%n se sabe que un ter$io de los 'ombres ten#an la tareta de $r%dito de la tienda.
'ombre muer total
si tareta 12 18 "0
no tareta 24 (( )0
total "( 84 120
a. *al$ule la probabilidad de que una de las personas personas entrevista entrevistadas, das, ele+ido al aar, sea muer o ten+a tareta de $r%dito de la tienda. - sea muer Bsi tareta / -B / - 3 / B / - 5B / -B 0.630.1270.17 / -B 0.(67 b. Se sele$$iona sele$$iona uno de los entrevista entrevistados dos al aar aar ! se verif$a que tiene la tareta de $r%dito de la tienda, 9$u:l es la p robabilidad robabilidad de que el $liente entrevistado sea muer; / muer
el $liente $liente sele$$ionado tiene tareta tareta de $r%dito de la tienda. Son = ! > eventos independientes; ?ustifque $laramente su respuesta. / = 5 > / = @ / > / = 0." / > 0.27 / = 5 > 0.1 0."@0.27 A 0.1 0.67 A 0.1 o son independientes. PROBLEMA 3 Curante el primer aDo de uso un amplif$ador de radio puede repetir " tipos de repara$iones ! las probabilidades $orrespondientes son 0.07, 0.04 ! 0.02 9*u:l es la probabilidad que un amplif$ador sele$$ionado al aar requiera repara$ión durante su primer aDo de uso; *ada tipo de repara$ión es independiente de los 2. Eepara$ión >ipo 1 >ipo 2
/robabilidad 0.07 0.04
Estadística y Probabilidades >ipo "
0.02
Fl amplif$ador puede requerir repara$ión de $ada uno de los tipos, de 2 de ellos o de todas las probabilidades respe$tivas ser:nG >ipo 1G x =
0.05
0.05 + 0.04 + 0.02
= 0.45
>ipo 2G x =
0.04
0.05 + 0.04 + 0.02
= 0.36
>ipo "G x =
0.02
0.05 + 0.04 + 0.02
= 0.19
>ipo 1 ! 2G x =
0.05 + 0.04 0.05 + 0.04 + 0.02
= 0.81
>ipo 1 ! "G x =
0.05+ 0.02 0.05 + 0.04 + 0.02
= 0.63
>ipo 2 ! "G x =
0.04 + 0.02 0.05 + 0.04 + 0.02
= 0.54
>ipo 1, 2 ! "G x =
0.05 + 0.04 + 0.02 0.05 + 0.04 + 0.02
=1
PROBLEMA 4 H- /er tiene 7 vuelos diarios de Hima a *'i$la!o. Supon+a que la probabilidad de que $ualquier vuelo lle+ue tarde sea de 0.2 a) ¿C!l es la "robabilidad de #e $i$%$o de los &elos lle%e tarde 'oy( -pli$amos / 00."26(8 b) ¿C!l es la "robabilidad de #e eacta*e$te $o de los dos &elos lle%e tarde 'oy( -pli$amos / 00.40)(
PROBLEMA + na $ompaD#a desea a$tualia su sistema de $ omputa$ión ! una parte importante de la a$tualia$ión es un sistema operativo. Ha $ompaD#a 'a pedido a un in+eniero que evalu% el sistema operativo. Supon+a que la probabilidad de una evalua$ión avorable es 0.(7. Si la probabilidad de que la $ompaD#a a$tuali$e su sistema dada una evalua$ión avorable es 0.87, 9 $u:l es la probabilidad de que la $ompaD#a a$tuali$e su sistema ! re$iba una evalua$ión avorable; -avorable Ba$tuali$e / - 5 B / -@ /B<-0.([email protected]0.7727
Estadística y Probabilidades
PROBABILIDAD CONDICIONAL PROBABILIDIDAD ,O,AL DE BA-E.
PROBLEMA / Fn una universidad el 60J de los estudiantes son de $ien$ias ! el "0J de letras de los estudiantes de $ien$ia el (0J son varones ! los de letras son varones el 40J. Si se eli+e aleatoriamente un estudiante, $al$ular la probabilidad queG 01 Cie$cias
01
Estdia$tes 013
&ar$
014
M5er
014
&ar$
Letras 01
M5er
a. Sea una estudiante varón / Karón0.74 b. Sea un estudiante varón si es de $ien$ias / Karón<$ien$ias0.( $. Sea un estudiante de $ien$ias, si es varón / $ien$ias
20 250
= 0.08
Hue+o, para el se+undo art#$ulo $onsiderando que no 'a! reemplaoG P (2 )=
19 249
= 0.076
Estadística y Probabilidades
Ha probabilidad ser:G P ( a ) = P ( 1 )∗ P ( 2 )=0.08 ∗0.076 =0.00608
a /ara el primer art#$uloG P (1 ) =
20 250
= 0.08
Hue+o, para el se+undo art#$ulo $onsiderando que 'a! reemplaoG P (2 )=
20 250
=0.08
Ha probabilidad ser:G P ( a ) = P ( 1 )∗ P ( 2 )=0.08∗0.08 =0.0064
PROBLEMA 3 n 'ombre tiene 2 $arros vieos, - ! B estos tienen problemas para arran$ar las maDanas r#as. Ha probabilidad de que ambos arranquen es 0.1 la probabilidad arran$a B ! - no es de 0.2, la probabilidad que nin+uno de ellos arranque es 0.4. =allar la probabilidad queG a1 Fl $arro - arran$a -G LFl $arro a arran$aM BG LFl $arro b arran$aM / N-5BO 0.1 / N-P5BO 0.2 / N-P5BPO 0.4 -P -P5B -P5BP / N-PO / N-P5B Q -P5BPO0.2 3 0.4 0.( Ra que los eventos -P5B ! -P5BP son mutuamente e@$lu!entes. Hue+oG / N-O 1 / N-PO 1 0.( 0.4 b1 -rran$a -, dado que arran$o B Cebemos $al$ular antes / NBO. bserve que B -5B Q -P5B, / NBO -5B Q -P5B 0.1 3 0.2 0." Ra que los eventos -5B ! -5B son mutuamente e@$lu!entes. Fnton$esG / N-
Estadística y Probabilidades re+resa al d#a si+uiente ! el 2J in+resan a un 'ospital pero vuelven al trabao al d#a si+uiente. Si un obrero se sele$$ionaG a. =alle la probabilidad que in+resara en un 'ospital para re$ibir tratamiento o que re+resara al d#a si+uiente. -G in+rese a un 'ospital BG re+rese al trabao al d#a si+uiente / -B0.1230.1(0.020.2( b. *al$ule la probabilidad de que in+rese a un 'ospital pero no re+rese al trabao al d#a si+uiente / in+rese
uan
error
0.))
no error
0.0"
error
Estadística y Probabilidades
0.2
$esar
0.7
ed+ar
0.)6
no error
0.2 0.)8
error no error
a =alle la probabilidad de que el error +rave sea de ?uan al estimar el $osto de li$ita$ión. P ( juan / error )=
0.3∗0.01 0.3∗0.01 + 0.2∗0.03 + 0.5∗0.02
=0.16
b Si una li$ita$ión en parti$ular se in$urre en un error +rave al estimar los $ostos del trabao. 9*u:l es la probabilidad de que el in+eniero 2 'a!a $ometido el error;
P ( cesar / error ) =
0.2∗0.03 0.3∗0.01 + 0.2∗0.03 + 0.5∗0.02
=0.32
$ Si en una li$ita$ión en parti$ular no se in$urre en un error +rave al estimar los $ostos del trabao 9*u:l es la probabilidad de que el in+eniero " 'a!a 'e$'o el trabao; P ( c )=
0.5∗0.98 0.3∗0.99 + 0.2∗0.97 + 0.5∗0.98
=0.49
PROBLEMA Supon+a que las maquinas -,B ! * produ$en respe$tivamente 70J, "0J ! 20J, del nmero total de art#$ulos produ$idos por la empresa F>FEI>, ! que los por$entaes de unidades dee$tuosas produ$idos por estas m:quinas sonG"J,4J ! 7J respe$tivamente. Si se eli+e un art#$ulo al aar ! no es dee$tuoso. =allar la probabilidad que 'a!a sido produ$ido por la maquina -. P
(
)
A 0.5∗0.97 = =0.5036 0.3∗0.96 + 0.5∗0.97 + 0.2∗0.95 no defectuoso
PROBLEMA 6 na $ompaD#a de desarrollo urbano est: $onsiderando la posibilidad de $onstruir un $entro $omer$ial en un se$tor de lima. n elemento vital en esta $onsidera$ión es un pro!e$to de una autopista que unes este se$tor $on el $entro de la $iudad. Si el muni$ipio aprueba esta autopista, 'a! una posibilidad de 0.)0 de que la $ompaD#a $onstru!a el $entro $omer$ial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de 0.2. Bas:ndose en la inorma$ión disponible, el presidente de la *ia estima que 'a! una probabilidad de 0.( que la autopista sea aprobada. Sean los eventosG -G la autopista es aprobada
Estadística y Probabilidades BG el $entro $omer$ial es $onstruido
a. 9$u:l es la probabilidad que la $ompaD#a $onstru!a el $entro $omer$ial; / B / - / B<- 3 / -P / B<-P / B0.(@0.)[email protected]0.(2 b. Cado que el $entro $omer$ial ue $onstruido, 9$u:l es la probabilidad de que la autopista 'a!a sido aprobada; /-E -CI no se presente a ella en tanto que es de solo 0.2 si T>E -CI se presenta. Fl +erente +eneral de *-E/FE estima que 'a! una probabilidad de 0.80 que T>E -CI se presente. TG T>E -CI presente li$ita$ión TPG T>E -CI no presente li$ita$ión *G *-E /FE +ane a 9*u:l es la probabilidad que *-E/FE +ane la li$ita$ión; / */ T @ /*E -CI se 'a!a presentado a ella; / T<*[email protected]<0."40.46
PROBLEMA /0 Hos re+istros de los delitos en una $uidad muestran que 20J de ellos son violentos ! 80J son no violentos. Se seDala tambi%n que son denun$iados )0J de los delitos violentos ! solo el 60J de los delitos no violentos. a Fstime la propor$ión +lobal de delitos que se denun$ian en la $uidad, es de$ir, $al$ule la probabilidad de que un delito sea denun$iado en esta $iudad.
Estadística y Probabilidades b Si no se denun$ia un delito ante la poli$#a, 9$u:l es la probabilidad de que el delito sea violento; .OL a sando el teorema de Ba!esG P ( a )=
0.2∗ 0.9 + 0.8∗ 0.7 1
= 0.74
b sando el teorema de Ba!esG P ( b )=
0.2∗0.1 0.2∗0.1+ 0.8∗ 0.3
=0.077
PROBLEMA // Fs una :bri$a de motores 'a! " m:quinas para pistones. Ha m:quina produ$e el 70J de los pistones la maquina B el "2J ! la maquina * el resto. Se 'a observado que el 6J de los pistones produ$idos por la maquina - salen auera de espe$if$a$iones, al i+ual que el 8J de los produ$idos por la maquina B, ! el (J de los produ$idos por la maquina *. si sele$$ionamos al aar un pistón del lote +eneral de produ$$ión de las tres m:quinas 9*u:l es la probabilidad de que este uera de espe$if$a$iones; P ( fuera )=0.5 x 0.07 +0.32 x 0.08 + 0.18 x 0.06 = 0.1086
PROBLEMA /2 Fn una l#nea de inspe$$ión, un supervisor, es$o+e las pieas las $uales deben pasar por una inspe$$ión $ompleta, el 12J de todos los art#$ulos produ$idos son dee$tuosos 7(J de todos los art#$ulos dee$tuosos ! "0J de los no dee$tuosos pasan por una inspe$$ión $ompleta 9$u:l es la probabilidad de que un art#$ulo sea dee$tuoso dado que paso por una inspe$$ión $ompleta; 0.12 x 0.56 defectuoso P = =0.2 0.12 x 0.56 + 0.88 x 0.30 pasainspeccion
(
)
PROBLEMA /3 >*. Uo@, +erente de $omer$ialia$ión de la produ$tora de pel#$ulas Tetro Voldmine Totion, $ree que el pró@imo estreno de los estudios tiene (0J de posibilidades de ser un %@ito de taquilla, 27J de $onse+uir un %@ito moderado ! 17J de ser un ra$aso. /ara probar la inspe$$ión, los espe$tadores $alif$an la pel#$ula en una es$ala del 1 al 10. Se du lar+a e@perien$ia en la industria $inemato+r:f$a. >.* , sabe que (0J de las ve$es una pel#$ula de +ran %@ito re$ibir: $alif$a$ión de 6 o ma!or "0J de las ve$es, obtendr: $alif$a$iones de 4,7 o ( ! 10J de las ve$es re$ibir: una $alif$a$ión de " o menor. /ara una pel#$ula de %@ito modera, las respe$tivas probabilidades son 0."0 ,0.47 ! 0.27, para una pel#$ula sin %@ito, las probabilidades son 0.17, 0."7 ! 0.70, respe$tivamente. a Si en la primera pro!e$$ión de prueba se tiene un resultado de (, 9$u:l es la probabilidad de que la pel#$ula ten+an +ran %@ito;
Estadística y Probabilidades
P
(
gran exito 6
)
=
0.3 x 0.60 0.3 x 0.6 + 0.45 x 0.25 + 0.15 x 0.35
=0.5217
b Si la primera pro!e$$ión de prueba produ$e un resultado de ( ! la se+unda de 2, 9$u:l es la probabilidad de que la pel#$ula sea un ra$aso suponiendo que los resultados de $ada pro!e$$ión son independiente entre s#; Pri*era "royecci$8 P
(
fracaso 6
)
=
0.35 x 0.15
0.3 x 0.6 + 0.45 x 0.25 + 0.15 x 0.35
= 0.152
.e%$da "royecci$8 fracaso 0.5 x 0.15 = =0.3797 P 2 0.6 x 0.1 + 0.25 x 0.25 + 0.15 x 0.5
(
)
E5ercicios 1 Fn un salón de $lases 'a! 20 mueres ! 12 'ombres. Si se es$o+e uno de ellos al aar 9*u:l es la probabilidad de que la persona es$o+ida sea 'ombre; /W
12 32
2 Fn una $omida 'a! 28 'ombres ! "2 mueres. =an $omido $arne 1( 'ombres ! 20 mueres, $omiendo el resto. Si se eli+e una de las personas al aar 9*u:l es la probabilidad de que la persona es$o+ida sea 'ombre; /@
28 60
" Fn un $urso de "0 alumnos 18 son mueres 9*u:l es la probabilidad de que al es$o+er una persona esta no sea muer; /@
12 30
4 9*u:l es la probabilidad de +anar en una ria de 1000 nmeros en total, si se $ompran los " $ent%simos de tal $antidad; /@
3 1000
Probabilidad co$ e&e$tos co*"le*e$tarios 7 Se lana dos ve$es una moneda 9*u:l es la probabilidad de no obtener dos $aras; /@
3 4
( Ce un +rupo de 40 alumnos las notas de estad#sti$a tienen la si+uiente distribu$ión otas
=asta 2.0
Fntre ".0 ! ".)
Fntre 4.0 ! 6.0
Estadística y Probabilidades *antidad de alumnos
2
8
"0
-l ele+ir un alumno del $urso al aar, la probabilidad de que no ten+a una nota entre ".0 ! ".) esG /@
32 40
6 Fn un $urso de 70 alumnos las notas de in+l%s tienen la si+uiente distribu$ión notas *antidad de alumnos
=asta 2.) 17
Fntre ".0 ! ".) 10
Fntre 4.0 ! 6.0 27
-l ele+ir un alumno del $urso al aar, la probabilidad de que no ten+a una nota entre ".0 ! ".) /@
40 50
8 Se $al$ula que la probabilidad de que un utbolista $onvierta un penal es 0.8) 9*u:l es la probabilidad de que no $ometa el penal; /@1 0.8)0.11 Probabilidad de $i$ de e&e$tos E&e$tos eclye$tes ) Fn la tabla adunta, W representa el nmero de 'ios por amilia en un +rupo de 20 amilias ele+idos al aar. Si de este +rupo se eli+e al aar una amilia 9*u:l es la probabilidad de que ten+a uno o dos 'i os; @ X de amilias /@
0 )
6 20
3 +
20
1 (
2 "
" 2
9 =
20
10 Fn una bolsa se tienen " bolitas verdes, 2 amarillas ! 4 naranas, 9*u:l es la probabilidad de que al sa$ar una bolita esta sea verde o narana; /@
3 9
+
4 9
=
7 9
11 Se tienen una tómbola $on bolitas numeradas de 10 al 27. 9*u:l es la probabilidad de e@traer dos bolitas, sin reposi$ión, de modo que la suma de los nmeros obtenidos sea par; /@
7 15
12 9*u:l es la probabilidad de obtener la suma de 7 o 6 al lanar simult:neamente dos dados; />/73/6
4 36
+
6 36
=
10 36
1" Se lanan simult:neamente dos dados. Ha probabilidad de obtener dos nmeros $u!a suma ser: 7 o 12 />
4 36
+
1 36
=
5 36
Estadística y Probabilidades 14 -l lanar un dado roo ! uno aul. 9*u:l es la probabilidad de que el puntae sea menor que 4 o ma!or que 11; />
2 36
+
2 36
=
4 36
17 -l lanar dos dados $omunes 9*u:l es la probabilidad de obtener 10 $omo m#nimo, en la suma de los puntos de una sola tirada; />
6 36
