Samuel Nicol G. A.
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Ejemplo de ajuste hiperbólico Supóngase las 8 observaciones siguientes:
̂
La función del ajuste Hiperbólico será del tipo:
, y las predicciones vendrán dadas por:
(NOTA: Se omite la demostración por considerarse innecesaria) A) OPCIÓN 1: CÁLCULO “MANUAL” Se confecciona la tabla siguiente con columnas que serán útiles posteriormente:
, teniendo en cuenta que en la última fila se presentan las sumas (totales) de cada columna.
Samuel Nicol G. A.
[email protected] Aplicando el método de los mínimos m ínimos cuadrados se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
{ , luego bastará sustituir:
Arreglando un poco el sistema:
, que es un S.C.D. con solución:
, luego el modelo Hiperbólico resulta ser:
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[email protected] Para el cálculo del error del modelo modelo puede tabularse como sigue:
Para calcular el error estimado al asumir este modelo basta calcular:
∑ ∑
, dado que se está asumiendo el criterio del error mínimo cuadrático.
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B) OPCIÓN 2: SEGÚN SPSS Primeramente se insertan los datos:
Analizar
Regresión Estimación Estimación curvilínea. curvilínea.
Variable dependiente: Y. Variable independiente: X. Modelos: Inverso.
Finalmente se acepta y se obtiene la tabla que resume el modelo: Resumen del modelo
R ,968
R cuadrado R cuadrado corregida Error típico de la estimación ,938
,927
1,314
La variable independiente es X.
, donde se aprecia que
(el modelo parece ajustarse bien a los datos) y un
(que permitirá también establecer comparaciones con otros posibles
modelos que se ajustaran a los datos). Nótese que este error es bastante cercano al obtenido en el apartado anterior (
).
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Además devuelve la tabla de los lo s coeficientes:
Coeficientes
Coeficientes no estandarizados Coeficientes estandarizados B
Error típico
1/X
-6,688
,705
(Constante)
17,651
,563
Beta
t -,968
Sig.
-9,494 ,000 31,335 ,000
, con lo que el modelo Hiperbólico resulta ser:
, y puede comprobarse que ambos coeficientes son significativos ya que su p valor (sig) es
; esto es, a un nivel de confianza del
.
También se obtiene un gráfico de cómo resulta el modelo ajustado a los datos:
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C) OPCIÓN 3: SEGÚN R Primeramente se insertan los datos. Una opción asequible es crear un fichero de texto que los contenga: X
Y
0.5
5
1
10
4
15
5
15
10
17
25
17
50
18
100
20
Lo usual es separar los elementos usando la tecla Tab (tabulador), y revisar que se
utilizan puntos para indicar decimal. Guardar, por ejemplo, en la raíz del disco duro (
) con el nombre
, y así, una vez abierto
, ordenar:
> datos=read.table("c:\\hiper.txt",header=TRUE) > datos X Y 1 0.5 5 2 1.0 10 3 4.0 15 4 5.0 15 5 10.0 6 25.0 7 50.0 8 100.0
17 17 18 20
Nótese que
documento es segunda:
). Se guarda como
la primera columna, así como por
> x=datos[,1] > x [1]
0.5
1.0
4.0
5.0
> y=datos[,2] > y [1]
indica que contiene cabecera (la primera línea del
5 10 15 15 17 17 18 20
10.0
25.0
50.0 100.0
a la
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El modelo hiperbólico ha de definirse, como se indica a continuación. Nótese que se ordena un método iterativo donde
y
se inicializan utilizando los resultados de los
apartados anteriores, redondeando al entero más cercano.
Así,
y
y
. Aunque también pudo inicializarse con
, pero en algunas o casiones necesitará de un número alto de iteraciones.
Por consiguiente:
> nls(y~a+b/x nls(y~a+b/x,start=list ,start=list(a=18,b=-7)) (a=18,b=-7)) Nonlinear regression model model: y ~ a + b/x data: parent.frame() a b 17.651 -6.688 residual sum-of-squares: 10.35 Number of iterations to convergence: 1 Achieved convergence tolerance: 8.065e-09
, con lo que el modelo Hiperbólico resulta ser:
