Universidad del Norte Norte ´ ticas y estad Depart Departamento de matematicas a estad´ ısticas Ecuacion Ecuaciones es diferenc diferenciale iales s - Examen Examen Final
Fila A Semestre 2016-10 02 de junio de 2016
Nombre: C´odigo: odigo: C. Dominguez
R. Prato
B. Barraza
E. Alvarez
El ex´ amen amen tiene una duraci´on de 90 min (1h. 30 min.) . Es prohibido prohibido el pr´ pr´ estamo estamo de cualquier tipo tip o de material.
El uso y/o posesi´ on de celular(es) y/o calculadora(s) durante el examen es on causal de anulaci´ on. on. La correc correcta ta justificac justificaci´ i´ on o n de su resp respue uest sta a es part partee inte integr gral al de la cali calific ficac aci´ i´ on, o n, esto esto es: es: Respuesta sin la debida justificaci´on on no ser´ an an tomadas en cuenta.
Cuestionario (50 (50 points) points) El examen consta de dos puntos. Desarrolle la justificaci´on on de su respuesta en la hoja cuadriculada. Sea organizado en la presentaci´ on on de sus respuestas
1. (30 pts) pts)
Masa
Un sistema masa-resorte se compone de una masa de 1 Kg y de un resorte que posee una constante de elasticidad de 10 N/m. El sistema es sumergido en un medio que proporciona una resistencia num´ num´ericamente ericamente igual a 2 veces la velocidad instantanea. En todo momento a este sistema se le ejerce una fuerza externa (en N) dada por
F (t)
F (t) =
30, 0 ≤ t < π, 60, t ≥ π.
Utilizando unicamente u ´ nicamente argumentos de transformada de Laplace encuentre la posici´on o n del cuerpo x(t), si la masa en el instante t = 0 parte del reposo y se encuentra a una distancia de 3 on de equilibrio . m por encima de la posici´on
E.Final/EDO/
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Nombre:
2. (20 pts) pts) Determine la soluci´on on de la ecuaci´on on integro-diferencial t
′
f (t) + 16
t
(x) dx = 32 f (
0
(t − x) · cos cos (4 x) dx,
f (0) = 1
0
Tabla de Transformada de Laplace
L
eat =
n
L {t
} =
′
L {f (t)} = L {f (t − a)U (t − a)} =
1 s−a
,
n!
, sn+1
L {sin at} =
s > 0
sF (s) − f (0+) e−asF (s),
L {cos at} =
s>a
L
a > 0
donde L {f (t)} =
F (s)
s s2 + a2 a s2 + a2
,
s > 0
,
s > 0
eatf (t) = F (s − a)
L {f ∗ g } = L {f (t)} L {g (t)}
Barranquilla, Noviembre 25 de 2015 Universidad del Norte ´ ticas y estad´ Departamento de matem a ısticas Ecuaciones diferenciales - Examen Final ˜o ⋆ C. Dominguez R. Prato * E. Bolan C De Oro
Nombre :
C´odigo:
El ex´amen tiene una duraci´on de 100 min (1h. 40 min.) . Justifique cada una de sus respuestas. La presentaci o´ n de los pasos necesarios para obtener los resultados es parte integral de la nota, en caso de no existir tal desarrollo se valuara con 0.0 el punto. Es prohibido el pr´estamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales solo ´ con permiso del profesor) El uso y/o posesi´on de celular y/o calculadoras durante el examen es causal de anulaci´on. Cuestionario
Total: 20points
Pregunta 1
Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial usando el m´etodo de coeficientes indeterminados y (iv) − y
′′′
−
′′
2y = 80 cos(2 x) − 12 x
Total: 20points
Pregunta 2
Determine f (t) de manera que satisfaga la ecuaci´on ′
f (t) + 36
0
con f (0) = 1
t
f ( x) dx = 3 sin (6 t) + 36 U (t − 3)
Total: 20points
Pregunta 3
Masa
Un sistema masa-resorte se construye con un resorte que cumple la ley de Hooke y posee una constante de elasticidad de 10 N/m y con una masa de 2 Kg. El sistema es sumergido en un medio que proporciona una resistencia num´ericamente igual a 4 veces la velocidad instantanea. En todo momento a este sistema se le ejerce una fuerza externa (en N) dada por
F (t)
F (t) =
20,
0 ≤ t < 2,
−20,
t ≥ 2.
π
π
Utilizando u ´ nicamente argumentos de transformada de Laplace encuentre la posici´on del cuerpo x(t), si la masa en el instante t = 0 se encuentra en la posici´on de equilibrio y parte del reposo.
Tabla de Transformada de Laplace
L
eat = n
L {t
} =
1 s−a
,
n!
s>a s > 0
, sn+1
′
L {f (t)} = sF (s) − f (0 L {f (t − a)U (t −
a)} = e −asF (s),
+
)
a > 0
L {cos at} = L {sin at} = L
s s2 + a2 a s2 + a2
,
s > 0
,
s > 0
eat f (t) = F (s − a)
L {f ∗ g } = L {f (t)} L {g (t)}
donde L {f (t)} = F (s)
Universidad del Norte ´ ticas y estad´ Departamento de matem a ısticas Ecuaciones diferenciales - Examen Final
Fila A Semestre 2015-10 25 de Mayo de 2015
Nombre y C´odigo: C. Dominguez R. Prato
E. Bola˜ nos
El ex´ a men tiene una duraci´ on de 105 min (1h. 45 min.).
Justifique cada una de sus respuestas. Es prohibido el pr´ estamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´ olo con permiso del profesor)
El uso y/o posesi´ on de celular y/o calculadoras durante el examen es causal de anulaci´ on.
Parte 1 (100 points) En cada caso justifique su respuesta 1. (40 pts) Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 . 1 Un resorte que cumple la ley de Hooke se estira m luego de aplicarle una fuerza de 6 N . Un 9 sistema masa-resorte se construye con este resorte y con una masa de 3 Kg y es sumergido en un medio que proporciona una resistencia num´ ericamente igual a 18 veces la velocidad instantanea. En todo momento a este sistema se le ejerce una fuerza externa (en N) dada por 54, 0 ≤ t < 3, F (t) = 27 e 3 t+ + 54, t ≥ 3 .
Masa
F (t)
π
−
π
π
Utilizando u ´ nicamente argumentos de transformada de Laplace encuentre la posici´ on del cuerpo x(t), si la masa en el instante t = 0 se encuentra en la posici´on de equilibrio con una velocidad de +3 m/s .
2. (30 pts) Determine la soluci´ on general de la EDO ′′′
′′
′
y + 2y + 9y + 18y =
−5
−2
cos (2 x) + 13 e
x
− 18 x
3. (30 pts) Determine la funci´ on f (t) que satisface la ecuaci´on t
′
f (t) + 16
f (y)dy = 2 cos(4t) + 16 U (t − 2)
f (0) = 0
0
Tabla de Transformada de Laplace
L
eat =
L { t L
n
} =
1
,
s>a
,
s > 0
s−a n! s
n+1
f (t) = sF (s) − f (0+ )
′
L {f (t − a)U (t − a)} = e
−as
F (s),
L {cos at} =
s , s + a2
s > 0
L {sin at} =
a , s + a2
s > 0
L
a > 0
donde L { f (t)} = F (s)
2
2
eat f (t) = F (s − a)
L { f ∗ g } = L { f (t)} L { g(t)}
Fila A
Barranquilla, 1 de marzo de 2015
Universidad del Norte ´ ticas y estad´ Departamento de matem a ısticas Ecuaciones diferenciales - Examen Final
Nombre y C´odigo:
, Profesor:
El ex´ amen tiene una duraci´ o n de 105 min .
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 4 1 . 1 1 . 4 2 l a n i F n e m a x E
Justifique cada una de sus respuestas. Es prohibido el pr´ estamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´ olo con permiso del profesor)
El uso y/o posesi´on de celular y/o calculadoras durante el examen es causal de anulaci´ on. Cuestionario
Punto 1: Valoraci´ on 20 ptos Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 A un resorte con constante el´astica de 12 N/ m se le coloca una masa de 2 Kg y se sumerge en un medio que imparte una fuerza viscosa de 2 N cuando la velocidad de la masa es 15 . Si en el instante inicial t = 0 la masa parte del reposo desde la posici´ on de equilibrio y sobre este sistema masa-resorte act´ ua una fuerza externa F (t) (en N) dada por
72 t, F (t) = 144 t 72, 72 t + 72, −
0 ≤ t < 1 1 ≤ t < 2 t≥2
determine la soluci´on del problema de valor inicial que des´nicamente arcribe el movimiento de la masa utilizando u gumentos de transformada de Laplace.
Masa
F (t)
4 6 3 3 3 6 3 3 2 6 3 3 1 6 3 3 : C R N
Punto 2: Valoraci´ on 15 ptos Resuelva la siguiente ecuaci´on diferencial usando el m´etodo de coeficientes indeterminados y (iv) − 5y ′′′ + 8y′′ − 4y′ = 8 x + 4 + 25 cos (x)
Punto 3: Valoraci´ on 15 ptos Determine f (t) de manera que satisfaga la ecuaci´on t
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 4 1 . 1 1 . 4 2 l a n i F n e m a x E
f (t) + 3
t
f (y)sin(t − y) dy =
−3
0
sin(2 y)sin(t − y) dy
0
Tabla de Transformada de Laplace
L
at
e =
1
s−a n! n L {t } = , sn+1
,
′
s > 0
L {f (t)} = sF (s) − f (0 L {f (t − a)U (t − a)} = e
−as
F (s),
s , s2 + a2 a L {sin at} = , s2 + a2
L {cos at} =
s>a
+
)
L
a > 0
donde L {f (t)} = F (s)
at
e f (t) = F (s
− a)
L {f ∗ g } = F (s)G(s)
s > 0 s > 0
4 6 3 3 3 6 3 3 2 6 3 3 1 6 3 3 : C R N
Fila A
Barranquilla, 16 de julio de 2014
Universidad del Norte ´ ticas y estad´ Departamento de matema ısticas Ecuaciones diferenciales - Examen Final
Nombre y C´odigo:
, Profesor:
El ex´amen tiene una duraci´on m´axima de 90 min.
Justifique cada una de sus respuestas.
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 4 1 0 2 . 7 0 . 7 1 l a n fi n e m a x E
Es prohibido el pr´estamo de cualquier material (casos excepcionales s´ olo con permiso del profesor)
El uso y/o posesi´ on del celular y/o calculadora durante el examen es causal de anulaci´ on. Cuestionario
Punto 1: (10 puntos) Aplicando el m´etodo de coeficientes indeterminados, obtenga la soluci´ on general de la EDO y (4) − 2y (3) + y ′′ − 2y ′ = 12 x + 4 + 30 cos (x)
Punto 2: (15 puntos) Resuelva (Utilizando argumentos de la transformada de laplace ) el PVI y ′′ − y ′ − 2y = g (t),
donde g (t) =
y (0) = 0; y ′(0) = 0
60 − 60 sin (t) ,
0 ≤ t < 3
240 − 60 t − 60 sin (t) , t ≥ 3
Tabla de Transformada de Laplace L
eat =
n
L {t
} =
1 s−a
,
s>a
n!
s
, n+1
′
s > 0
L {f (t)} = sF (s) − L {f (t −
a)U (t − a)} = e
−as
f (0+)
F (s),
L {cos at} =
s , s2 + a2
s > 0
L {sin at} =
a , s2 + a2
s > 0
L
a > 0
donde L {f (t)} = F (s)
eatf (t) = F (s − a)
l a n o i c a c a V : C R N
Fila A
Barranquilla, 4 de junio de 2014
Universidad del Norte ´ ticas y estad´ Departamento de matem a ısticas Ecuaciones diferenciales - Examen Final
Nombre y C´odigo:
, Profesor:
El ex´amen tiene una duraci´on de 105 min.
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 4 1 0 2 . 6 0 . 4 0 l a n fi n e m a x E
Justifique cada una de sus respuestas. Es prohibido el pr´estamo de cualquier material (casos excepcionales s´ olo con permiso del profesor)
El uso y/o posesi´ on del celular y/o calculadora durante el examen es causal de anulaci´ on. Cuestionario
Punto 1: (35%)
Asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2 .
1 Un resorte que cumple la ley de Hooke se estira m luego de colgarle una masa 5 1 de Kg. Un cuerpo de 50 N se cuelga al resorte y a este sistema masa-resorte se 2 le ejerce una fuerza externa (en N) dada por t
F (t) = 30 (π − t) U (t − π) + 20
x (α) (α − t) d α
0
utilizando u ´ nicamente argumentos de transformada de Laplace encuentre la posici´on del cuerpo x(t), si el peso en el instante t = 0 se encuentra en la posici´on de equilibrio con una velocidad de +3 m/s. Punto 2: (35%) Determine la funci´on f (t) que satisface la ecuaci´on: cos (t) U
3 t− π 2
t
−
0
f ( y) (t − y ) dy = f ( t) − 2t
9 0 9 8 1 0 9 8 : C R N
Punto 3: (30%)
Calcule la transformada de laplace L
e−2tf (t)
donde f (t) es la funci´on peri´odica cuya gr´afica esta dada por:
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 4 1 0 2 . 6 0 . 4 0 l a n fi n e m a x E
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
Tabla de Transformada de Laplace L
eat =
L {t
n
} =
1 s − a
,
n!
, sn+1
′
−as
F (s),
L {sin at} =
s > 0
L {f (t)} = sF (s) − f (0 L {f (t − a )U (t − a)} = e
L {cos at} =
s>a
+
)
L
a > 0
donde L {f (t)} = F (s)
at
s s2 + a2 a s2 + a2
,
s > 0
,
s > 0
e f (t) = F (s − a)
L {f ∗ g } = L {f (t)} L {g (t)}
9 0 9 8 1 0 9 8 : C R N
Fila A
Barranquilla, 20 de noviembre de 2013
Universidad del Norte ´ ticas y estad´ Departamento de matema ısticas Ecuaciones diferenciales - Examen Final
Nombre y C´odigo:
, Profesor:
El ex´amen tiene una duraci´on de 110 min. Justifique cada una de sus respuestas. Es prohibido el pr´estamo de cualquier material (casos excepcionales s´olo con permiso del profesor) Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simb´olico.
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 3 1 . 1 1 . 0 2 l a n fi n e m a x E
El uso y/o posesi´ on del celular durante el examen es causal de anulaci´on. Cuestionario
En este problema asuma (la constante de gravedad) g = 10 m/s2.
Punto 1: (35%)
Un resorte que cumple la ley de Hooke se estira 0,9 m luego de colgarle una masa de 0,27 Kg . Un cuerpo de se cuelga al resorte y a este sistema masa-resorte se le ejerce una fuerza externa (en N ) dada por F (t) =
−6
3 − 3t
si si
10 N 3
0≤t≤3 t > 3
utilizando u ´nicamente argumentos de transformada de Laplace encuentre la posici´on del cuerpo x(t), si el peso en el instante t = 0 se encuentra a 1 m por encima de la posici´on de equilibrio con una velocidad de +1 m/s. Punto 2: (35%) Determine la funci´ on f (t) que satisface la ecuaci´on: t
f (t) − 2
f (y)sin2(t − y) dy = t − cos t U t −
0
π
2
Punto 3: (30%) Determine: 1.
L
−t
te
cos(3 t)
2.
−1
L
5 s + 10 2 s (s + 4 s + 5)
Tabla de Transformada de Laplace
L
eat =
L { t
n
} =
1
,
s>a
L {cos at} =
s , s + a2
s > 0
,
s > 0
L {sin at} =
a , s + a2
s > 0
s−a n! s
n+1
+
′
L {f (t)} = sF (s) − f (0 L {f (t − a)U (t − a)} = e
−as
F (s),
)
a > 0
donde L { f (t)} = F (s)
L
2
2
eatf (t) = F (s − a)
L {f ∗ g } = L {f (t)} L { g(t)}
5 6 3 3 4 6 3 3 3 6 3 3 2 6 3 3 1 6 3 3 : C R N
Fila A
Barranquilla, 29 de mayo de 2013
Universidad del Norte ´ ticas y estadistica Departamento de matema Examen Final - Ecuaciones Diferenciales
Nombre y C´odigo:
, Profesor:
El ex´ amen tiene una duraci´ o n de 110 min. Justifique cada una de sus respuestas.
Es prohibido el pr´ estamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´ olo con permiso del profesor) Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simb´ olico. El uso del celular durante el examen es causal de anulaci´ on. Tabla de Transformadas de Laplace
at
L {e
n
L {t
} = } =
1 s−a
,
n!
, sn+1
L {f (t)} = sF (s) − f (0 at
L {sin at} =
s > 0
′
L {e
L {cos at} =
s>a
f (t)} = F (s − a)
+
s s2 + a2 a s2 + a2
)
L {f (t − a)U (t − a)} = e
y
s > 0
,
s > 0
dn F (s) L {t f (t)} = (−1) dsn n
n
−as
donde L {f (t)} = F (s)
,
U (t − a)
:=
0, 0 ≤ t < a 1, t ≥ a
F (s)
Punto 3: (30%)
Calcule la transformada de laplace L
−3t
e
f (t)
donde f (t) es la funci´on peri´odica cuya gr´afica esta dada por:
s e l a i c n e r e f i d s e n o i c a u c E 4 1 0 2 . 6 0 . 4 0 l a n fi n e m a x E
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
Tabla de Transformada de Laplace L
eat =
L {t
n
} =
1 s − a
,
n!
, sn+1
′
−as
F (s),
L {sin at} =
s > 0
L {f (t)} = sF (s) − f (0 L {f (t − a )U (t − a)} = e
L {cos at} =
s>a
+
)
L
a > 0
donde L {f (t)} = F (s)
s s2 + a2 a s2 + a2
,
s > 0
,
s > 0
eat f (t) = F (s − a)
L {f ∗ g } = L {f (t)} L {g (t)}
9 0 9 8 1 0 9 8 : C R N
Cuestionario
1. 2 puntos Resuelva el siguiente PVI y′′ + 9y = f (t) y ′ (0) = y(0) = 0
donde f (t) =
2. 1 punto Evalue
cos(3t) + 2 0 ≤ t ≤ π π < t ≤ 2π 2 t > 2 π 1
−1
L
s + 2 s(s2 + 4 s + 5)
3. 1 punto Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
t
′
y (t) −
cos(t − θ)y(θ) dθ = t sin t,
0
y (0) = 0 .
4. 1 punto Calcule la transformada de laplace funci´on peri´odica cuya gr´afica esta dada por:
L {f (t)} ,
donde f (t) es la
f (t) = t (2 − t) 0≤t≤2 1
2
4
6
8
10
Barranquilla, 16 Octubre de 2009 Universidad del Norte ´ n de ciencias ba ´ sicas Divisio ´ ticas y estadisticas Departamento de matema Ecuaciones diferenciales Profesor: Ricardo Prato T.
´ sicas” Transformadas de Laplace para funciones “b a
L [1]
L [t
n
at
s > 0
s
]=
L [cosh at]
L [e
1 = ,
=
]=
n!
s
s > 0
, n+1 s
s2
−
a2
1 s−a
s > 0
,
,
L [cos at]
=
L [sin at]
=
L [sinh at]
=
s 2
s + a2 a s2 + a2 a s2
− a2
,
s > 0
,
s > 0
,
s > 0
s>a
´ s tenga en cuenta: Adema
L [f + g ] L [αf ]
= L [f ] + L [g ],
= αL [f ],
′
L [f (t)]
(1)
s > s0
(2)
s > s1
= s L [f (t)] − f (0+ ) entonces
L [t
(3) n
f (t)] = (−1)n
dn
Si
L [f (t)] = ϕ (s)
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a ∈ R entonces L [eat f (t)] = ϕ (s − a)
(5)
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a ∈ R+ entonces L [f (t − a)U (t − a)] = e −as ϕ(s)
(6)
donde U (t − a) :=
0, 1,
dsn
ϕ(s)
(4)
0≤t
Ejercicios
1. Calcule (con ayuda de la tabla de arriba) las transformadas de Laplace de las siguientes funciones (a) f (t) = 3e2t sin t cos t
(b) f (t) = t 3 e2t
1
(c) f (t) =
sin t, t < 2 π 0, t > 2 π
2. Calcule (con ayuda de la tabla de arriba) las transformadas inversas de las siguientes funciones (a) ϕ(s)
=
2s 2s2 + 1
(b) 3e 2s ϕ(s) = 3s2 + 1 −
(c) ϕ(s)
=
1 (s2 + 4)3
3. Calcule con ayuda de la transformadas de Laplace la soluci´ on de las siguientes EDOs (a) y ′′′ − y ′′ + 4y ′ − 4y = −3et + 4e2t ; y (0) = 0; y ′ (0) = 5; y ′′ (0) = 3
(b) y ′′ − 2y ′ + y = te t sin t; y(0) = 0; y ′ (0) = 0
2
Barranquilla, 21 de Noviembre de 2012 Universidad del Norte ´ n de ciencias ba ´ sicas Divisio ´ ticas y estadisticas Departamento de matema Examen final de ecuaciones diferenciales
Nombre y C´odigo:
, Profesor:
1. (a) Calcule la siguiente Transformada inversa de Laplace: −1
L
(b) Calcule la transformada de laplace cuya gr´afica esta dada por:
s−2 (s2 − 4s + 9)2
L {f (t)} ,
donde f (t) es la funci´on peri´odica
1 π
2π
3π
f (t) = t cos2t 0≤t≤π 2. Resuelva la siguiente ecuaci´ on integrodiferencial:
dy + 2y + dt
y (0) = 0 .
t
y (θ) dθ = g (t),
0
donde g (t) es la funci´on cuya gr´afica esta dada por: y
1
t
1
2
3 1
4
3. Resuelva el siguiente problema de valor inicial:
t
y (t) − ′
(t − θ)y (θ) dθ =
−t,
0
y (0) = 0 .
on: 3/5.00 1. Cada punto tienen la misma valoraci´ aximo para el desarrollo del examen final: 90 Minutos 2. Tiempo m´ on de las respuestas es uno de los factores m´as importante para 3. La justificaci´ la calificaci´ on del presente ex´ amen. 4. Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´ olo con permiso del profesor) y el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simb´ olico.
Transformadas de Laplace
L [e
at
n
L [t
]= ]=
1 s−a
,
n!
L [f (t)] = s ϕ(s) − at
s > 0
, sn+1
′
L [e
s>a
=
L [sin at]
=
s s2 + a2 a s2 + a2
,
s > 0
,
s > 0
dn L [t f (t)] = ( −1) ϕ(s) dsn
+
n
f (0 )
f (t)] = ϕ (s − a)
L [cos at]
L [f (t −
n
a)U (t − a)] = e
−as
ϕ(s)
donde L [f (t)]
= ϕ (s)
y
U (t − a)
2
= H (t − a) :=
0, 0 ≤ t < a 1, t ≥ a
Barranquilla, 12 de Noviembre de 2009 Universidad del Norte ´ n de ciencias b a ´ sicas Divisio ´ Departamento d e matem aticas y estadisticas Ecuaciones diferenciales ´ sicas” Transformadas de Laplace para funciones “ba
at
L [e
n
L [t
]= ]=
1
,
s>a
L [cos at] =
n! , sn+1
s > 0
L [sin at] =
s−a
s
,
s > 0
a , s2 + a2
s > 0
2
s + a2
´ s tenga en cuenta: Adema
+
′
L [f (t)] = s L [f (t)] − f (0
)
Si
L [f (t)] = ϕ (s)
L [t
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a ∈ R entonces L [eat f (t)] = ϕ (s − a)
(3)
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a ∈ R+ entonces L [f (t − a)U (t − a)] = e −as ϕ(s)
(4)
entonces
(1) n
f (t)] = (−1)n
donde U (t − a)
= H (t − a) :=
dn ϕ(s) dsn
(2)
0, 0 ≤ t < a 1, t ≥ a
1. Una masa que pesa 18 libras se cuelga a un resorte y le produce una elongaci´ on de 9 pies. Posteriormente la masa se reemplaza por otra de 1 slug y se coloca en la posici´ on de equilibrio, en este momento una fuerza externa f (t) = cos t se aplica al sistema. Encuentre la ecuaci´ o n de movimiento si el medio circulante ofrece una fuerza de amortiguamiento num´ericamente igual a 3 veces la velocidad instant´ anea. ´ n: El P.V.I. resultante deb e ser resuelto v´ Observacio ıa Laplace.
2. Calcule, seg´ un el caso, la Transformada de Laplace o la Transformada inversa en los siguientes ejercicios.
(a)
L
t(sin2t − e3t )2 + g (t) , con g (t) =
(b) −1
L
3. Obtenga la soluci´ on del siguiente P.V.I.
1, 0,
t≤2
2 < t ≤ 4 −1, 4 < t ≤ 6 0, t > 6
(1 + e 2s )2 s + 3 −
y ′′ + 4 y ′ + 3y = g (t),
donde g (t) es la funci´ on definida en el punto 2(a).
1
−
8s e 2 s +9
−
π
2
s
y (0) = y ′ (0) = 0
Barranquilla, 20 de mayo de 2010 Universidad del Norte ´ n de ciencias ba ´ sicas Divisio ´ Departamento de matematicas y estadisticas Ecuaciones diferenciales Cuestionario
1. Calcule, seg´un el caso, la Transformada de Laplace o la Transformada inversa en los siguientes ejercicios. (a)
L
4
(t
−e
3t 2
) + g (t) , con g (t) =
1,
t≤1
−t,
1 < t ≤ π
sin2t, t > π
(b)
−1
L
(e2s + e 2s )2 s + 7 −
−
5s e s2 + 4
−
2. Obtenga la soluci´ on del siguiente P.V.I.
y ′′′ + 6 y ′′ + 8y ′ = h (t),
donde h (t) =
e−3t ,
t≤1
0,
1 < t
π
4
s
y (0) = y ′ (0) = 0
.
´sicas” Transformadas de Laplace para funciones “ba
at
L [e
n
L [t
]= ]=
1
,
s>a
L [cos at] =
,
s > 0
L [sin at] =
s−a n! n+1
s
s 2
s + a2 a 2
s + a2
,
s > 0
,
s > 0
´ s tenga en cuenta: Adema
+
′
L [f (t)] = s L [f (t)] − f (0
)
(1) at
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a∈
R entonces L [e
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a∈
R
+
entonces L [f (t − a)U (t − a)] = e
donde U (t − a)
f (t)] = ϕ (s − a)
= H (t − a) :=
1
0, 0 ≤ t < a 1, t ≥ a
(2) −as
ϕ(s)
(3)
Barranquilla, 12 de Mayo de 2010 Universidad del Norte ´ n de ciencias b a ´ sicas Divisio ´ticas y estadisticas Departamento d e matem a Ecuaciones diferenciales ´ sicas” Transformadas de Laplace para funciones “ba
at
L [e
n
L [t
]= ]=
1
,
s>a
L [cos at] =
,
s > 0
L [sin at] =
s−a n! s
n+1
s , s2 + a2 a s + a2 2
s > 0 s > 0
,
´ s tenga en cuenta: Adema
+
′
L [f (t)] = s L [f (t)] − f (0
)
Si
L [f (t)] = ϕ (s)
L [t
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a ∈ R entonces L [eat f (t)] = ϕ (s − a)
(3)
Si
L [f (t)] = ϕ (s),
a ∈ R+ entonces L [f (t − a)U (t − a)] = e −as ϕ(s)
(4)
entonces
(1) n
f (t)] = (−1)n
donde U (t − a)
= H (t − a) :=
dn ϕ(s) dsn
(2)
0, 0 ≤ t < a 1, t ≥ a
1. Calcule, seg´ un el caso, la Transformada de Laplace o la Transformada inversa en los siguientes ejercicios. (a) −1
L
2. Obtenga la soluci´ on del siguiente P.V.I. ′′
′
y + 7y − 10y =
(1 + e 2s )2 s + 3 −
−
8s e 2 s +9
−
1, t≤1 −1, 1 < t ≤ 3 , 0, t > 3
π
5
s
y (0) = y ′ (0) = 0
3. Calcule la Transformada Laplace para la funci´ on peri´ odica cuya gr´ afica esta dada por: y
1
t
0
1
2
3
4
1
5
6
