Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Kiseliov, krasnov, Makarenko (Problemas resueltos) D´ıaz ıa z Gonz Go nz´ alez a ´lez Edgar 10 de octubre de 2009
Este es un solucionario del libro Problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (Kiseliov, Krasnov, Makarenko). Se resuelven los problemas impares de la secci´on on indicada, se omite la soluci´on on de integrales, he revisado cada problema y agradecer´ e los comentarios y sugerencia sugerenciass acerca de errores que se pudieran pudieran encontrar. encontrar. . .
Ecuaciones con variables separables y ecuaciones reducibles a ellas 81.
(1 + y2 )dx + (1 + x2 )dy = 0 Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera (1 + y2 )dx = as´ı tenemos tene mos que
−(1 + x2)dy
− 1 +dxx2 = 1 +dyy2
integrando en ambos lados, l ados, con el m´ etodo etodo de sustituci´on on trigonom´ trig onom´etrica etri ca C
− arctan(x arctan(x) = arctan( arctan(yy)
as´ı y = tan[C tan[C 83.
− arctan(x arctan(x)]. )].
(y 2 + xy2 )y + (x (x2 yx2 ) = 0 Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera
−
(y2 + xy 2 )dy + (x (x2
− yx2)dx = 0
factorizando factori zando t´ erminos erminos comunes (1 + x)y 2 dy = (y as´ı
− 1)x 1)x2 dx
y 2 dy x2 dx = y 1 x+1
−
integrando en ambos lados, tenemos que 2 ln 85.
√
− y 1 x+1
+ y2
− x2 + 2y 2y + 2x 2x = C
x 1 + y2 + y 1 + x2 y = 0 Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera
−x
1 + y 2 dx = y
1
1 + x2 dy
as´ı
− √1xdx = + x2
ydy
− −
1 + y2
integrando de ambos lados, tenemos que C
1 + x2 =
1 + y2
elevando ambos lados al cuadrado
1 + x2 )2 = 1 + y 2
(C
escribiendo la soluci´on on en forma explicita y (x) = 87.
y
−
e
−
1 + x2 )2
(C
− 1.
(1 + y ) = 1 Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera 1 + y = ey
as´ı
y = ey
entonces
−1
dy
− 1 = dx
ey integrando de ambos lados ln
ey 1 ey
−
= x + C
aplicando aplicando la funci´ on exponencial de ambos lados on
− e1y = Ke x.
1 dy 89. dx
= ax ay (a > 0, a = 1) Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera
−
dy = ax dx ay as´ı
y
−
a
dy = ax dx
integrando de ambos lados
−1
ay ln(a ln(a) 2
=
ax + C ln(a ln(a)
reescribiendo la ecuaci´on on
−1 = ax + K 0 ay
as´ı
k = ax + a
y
−
91.
.
(1 + ex )yy = ey , y (0) = 0 Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera
(1 + ex )ydy = ey dx as´ı
ydy dx = ey 1 + ex
integrando de ambos lados
−(y + 1) = ln ey
ex 1 + ex
+ C 0
reescribiendo la ecuaci´on on y+1 = ln ey
1 + ex ex
+ C
1 + ex 2
+1
de la condici´on on inicial, inicial, y(0) = 0, (1 + y )e 93.
y
−
= ln
− x.
(xy 2 y2 + x 1)dx 1)dx + (x (x2 y 2xy + x2 + 2y 2y 2x + 2)dy 2)dy = 0 Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera
−
−
−
[(y [(y 2 + 1)(x 1)(x as´ı (1
−
− 1)]dx 1)]dx + [(x [(x2 − 2x + 2)(y 2)(y + 1)]dy 1)]dy = 0
− x)(y )(y 2 + 1)dx 1)dx = (x2 − 2x + 2)(y 2)(y + 1)dy 1)dy
agrupan agru pando do t´erminos ermi nos (1 x)dx (y + 1)dy 1)dy = 2 2 x 2x + 2 y +1
− −
integrando de ambos lados C 0 as´ı
ln(x2 − 2x + 2) ln(y ln(y2 + 1) − ln(x = + arctan(y arctan(y ) 2 2 (x2
arctan(y ) − 2x + 2)(y 2)(y 2 + 1)e 1)e2 arctan( = C.
3
95.
y = ax + by + c, (a, b y c constantes) Soluci´ on: Podemos reescribir la ecuaci´on on: on utilizando la sustituci´on on siguiente dα = a + by dx
α = ax + by + c, as´ı y =
dα bdx
dα bdx
− ab = α
− ab
reescribiendo la ecuaci´on on
por lo tanto
dα = bα + a dx
agrupan agru pando do t´erminos ermi nos
dα = dx bα + a
integrando de ambos lados ln(bα ln(bα + a) = x + C 0 b entonces
97.
b(ax + by + c) + a = Ke bx 2
y (1 y)ey y + x ln(x ln(x) = 0 Soluci´ on: on: Podemos reescribir reescribir la ecuaci´ ecuaci´on on de la siguiente manera
−
2
(y
y dx − 1)e 1)ey dy = x ln(x ln(x)
(y
− 1)e 1)ey dy =
reagrupa reag rupando ndo t´erminos ermi nos y2
dx x ln(x ln(x)
integrando de ambos lados ey = ln(ln(x ln(ln(x)) + C y 99.
xy2 (xy + y) = a2 Soluci´ on: on: Escribi E scribimos mos la ecuaci´on on como sigue
(xy + y ) =
4
a2 xy 2
utilizamos el cambio de variable y = u/x, u/x, y =
u x−u x2 ,
u2 u x u u x 2( + ) = a2 , x x x
simplificando tenemos
−
u2 (u x) = a2 , x2
as´ı
u = reagrupa reag rupando ndo t´erminos ermi nos
a2 x , u2
u2 du = a2 xdx,
integrando ambos lados u3 a2 x2 = + C, 3 2 por lo tanto
y 3 x3 a2 x2 = + C, 3 2
as´ı 100.
2x3 y 3 = 3a2 x2 + K.
(x2 y2 + 1)dx 1)dx + 2x 2x2 dy = 0 Hacemos la siguiente sustituci´on on t tx t ,y = , x x2
y= as´ı 2
(x
−
t2 tx t + 1) + (2x (2x2 ) =0 2 x x2
·
−
simpli sim plifica ficando ndo t´erminos ermi nos (t2 + 1) + 2t 2t x
agrupan agru pando do t´erminos ermi nos 2
dt x = 2t 2t dx dt 2t t 2 1
t por lo tanto
−1 1
1
− t 2 − 1,
− −1
integrando de ambos lados
− xy
− 2t = 0,
=
dx , 2x
1 2
= ln x + C,
+
5
1 ln x = K. 2
para obtener
101.
(1 + x2 y 2 )y + (xy (xy 1)2 xy = 0. Utilizamos la sustituci´on on siguiente, xy = t
−
[1 + x2 (
t2 t t )]( ) + [x [ x ( ) x2 x x
− 1]2x[ t xx−2 t )] = 0
simplificando la ecuaci´on on t (1 + t2 )( ) + (t (t x
− 1)2[ t xx− t ] = 0
desarrol desa rrolland landoo t´erminos ermi nos (t
− 1)2t x + 2t 2t2 = 0
simplificando
2
− (t −2t21)
dt =
dx x
integrando de ambos lados ln t as´ı ln xy
− 2t + 21t = ln l n x + K
1 − xy2 + 2xy = ln l n x + K
reescribendo la soluci´on on ln
2 2
Cx 1 = xy 2xy
x y − xy2 = 1 −2xy
aplicando aplicando la funci´ on exponencial de ambos lados on Cx = exp xy por lo tanto
1
C exp = y exp 103.
x2 y 2 2xy
− 1 2xy xy 2
.
(x6 2x5 + 2x 2x4 y 3 + 4x 4x2 y)dx + (xy (xy2 4x3 )dy = 0 Utilizamos la siguiente sustituci´on, on, y = tx, tx, y = t x + t, as´ı
−
−
(x6
−
− 2x5 + 2x 2x4 − t3 x3 + 4x 4x3 t) + (t (t2 x3 − 4x3 )(t )(t x + t) = 0
simplifi simp lificand candoo t´erminos ermi nos x4 (t2
− 4)t 4)t
= 2x 2 x5
6
− x6 − 2x4
agrupando agrupand o t´erminos erminos comunes y simplificando simpli ficando t´ erminos erminos (t2
− 4)dt 4)dt = (2x (2x − x2 − 2)dx 2)dx
integrando de ambos lados t3 3 por lo tanto
105.
y3 3x3
3
− 4t = x2 − x3 − 2x + C 3
− 4xy = x2 − x3 − 2x + C.
(ln x + y3 )dx 3xy 2 dy = 0 Utilizamos el siguiente cambio de variable u = y 3 , du = 3y 3 y2 dy
−
(ln x + u)
− xu
=0
agrupand agru pandoo t´erminos ermi nos
ux
u ln x − u = ln x, osea, osea, u − = x x
obtenemos una ecuaci´on on diferencial lineal, tomamos P ( P (x) =
1 1 P ( P (x)dx = ln l n , exp ln x x
=
as´ as´ı el e l factor integrante es 1 /x [u
· x1 ]
=
ln x x2
integrando en ambos lados u = x
ln xdx = C x2
− lnxx − x1
as´ı por lo tanto 107.
u = Cx
− ln x − 1
y 3 = Cx
− ln x − 1.
y xy = a(1 + x2 y ) Desarrollando de ambos lados
−
= a + ax2 y
y
− xy
y
− a = y (x + ax2)
agrupand agru pandoo t´erminos ermi nos
7
1 x
− x1
dx dy = x + ax2 y a
−
integrando de ambos lados ln
Cx ax + 1
= ln(y ln(y
− a)
aplicando aplicando la funci´ on exponencial de ambos lados on Cx =y ax + 1 por lo tanto
Cx + a. ax + 1
y= 109.
−a
y x y y + sen x+ 2 = sen 2 Agrupand Agru pandoo t´erminos ermi nos −
y = sen
x
− y − sen x + y = − 2
2
x+y sen 2
− sen
haciendo el siguiente cambio de variable, a = x2 , b =
y =
y 2
− [sen a + b − sen a − b]
utilizando utiliz ando identidades identidad es trigonom´ trigono m´ etricas etricas
y =
−2cos a sen b = −2cos x2 sen y2
as´ı
dy = dx
agrupand agru pandoo t´erminos ermi nos
−2cos x2 sen y2
dy = sen y2
−2 · cos x2 · dx
integrando de ambos lados 2 ln csc
y 2
− cot y2
= C 0
ln csc
y 2
− cot y2
= C
por lo tanto
137.
x2 y cos y + 1 = 0, y Agrupand Agru pandoo t´erminos ermi nos
− 2sen x2 .
→ 163 π, x → +∞
y cos y =
8
− 4sen x2
− x12
x
−y 2
as´ı cos(y cos(y)dy =
− dx x2
integrando de ambos lados sen y = C + C + como y
→ 163 π, cuando x → +∞ tenemos que sen
16 π 3
as´ı
= C, por tanto tanto,,
1 sen y = x
−
y = sen
1
−
1 x
√3
−
2
= C
√3
por lo tanto
139.
1 x
−
2
√3 2
.
x3 y sen y = 1, y 5π , x . Reescribiendo la ecuaci´on on dada
−
→
→∞
x3 y = 1 + sen y
separando variables tenemos que dy dx = 3 1 + sen y x integrando de ambos lados
− sec y = C − 2x1 2 tomando en cuenta que cuando x → ∞, y → 5π, tenemos que tan5π tan5π − sec5π sec5π = C − 0 tan y
as´ı tenemos tene mos que C = 1, por lo tanto tan y 141.
− sec y = 1 − 2x1 2 .
ey = e4y y + 1, y es acotada acotada para x Reescribiendo la ecuaci´on on
ey
→ +∞.
dy − 1 = e4y dx 9
agrupando agrupand o t´erminos erminos comunes dx =
e4y dy ey 1
−
integrando de ambos lados (tomando u = ey ) tenemos que x + C =
u3 du u 1
as´ı
−
3y
2y
− 1) + e3 + e2 como y es acotada para x → +∞, tenemos que x + C = ln ln (ey
+ ey
y = 0. 0. 143.
y = 2x 2 x(π + y), y es acotada para x . Tenemos que dy = 2x 2 x(π + y ) dx agrupand agru pandoo t´erminos ermi nos dy = 2xdx 2 xdx π+y
→∞
integrando de ambos lados ln (y + π ) = x2 + C como y es acotada para x
→ ∞, tenemos que y = −π.
eneas eneas y reducibles a ellas § 6 Ecuaciones Homog´ 145.
4x 3y + y (2y (2y 3x) = 0. Tomemos y = ux, ux, y = u x + u, as´ı tenemos tene mos que
−
−
(4x (4x
− 3xu) xu) + (−3x + 2xu 2xu)( )(u u x + u) = 0
agrupand agru pandoo t´erminos ermi nos x(4
− 6u) + x2u (2u (2u − 3) + 2xu 2xu2 = 0
simplificando (4
− 3u) + (2u (2u − 3)(u 3)(u x + u) = 0
as´ı (2u (2u
− 3)(u 3)(u x + u) = 3u − 4. 10
desarrollando
3u 2u
ux= as´ı
−4 −u −3
(2u (2u 3) du dx = 2u2 + 6u 6u 4 x integrando de ambos lados, utilizando el m´ etodo etodo de fracciones f racciones parciales, tenemos que
−
−
−
− 12 ln (u − 2) − 12 ln (u − 1) = lnln (x) + C 0 as´ı
√ − 2√u − 1)
C = ln ln (x u o sea
K = x2 (
Por lo tanto 146.
y x
K = y 2
− 2)( xy − 1)
− 3xy + 2x 2x2 .
−
xy = y + y 2 x2 . Tomemos el siguiente cambio y = ux, ux, y = xu + u, adem´as as
− − − y2 x2
y y = + x
as´ı
xu + u = u + tenemos que
xu = separando variables
u2
1
u2
1
1
dx √udu = 2−1 x
integrando de ambos lados ln simplificando
− u2
ln
1 + u = ln Cx
√u2 − 1 + u Cx
=0
aplicando aplicando la funci´ on on exponencial
− u2
1 + u = Cx
sustituyendo u = xy , tenemos que y2 x2
− 1 + xy = Cx 11
simplificando tenemos que
− y2
por lo tanto 147.
x2 + y = Cx 2
2Cy = C 2 x2 + 1. 1.
4x2 xy + y2 + y (x2 xy + 4y 4y 2 ) = 0. Tomemos el siguiente cambio y = ux, ux, y = u x + u, as´ı
−
(4x (4x2
−
− x2u + x2u2) + (u ( u x + u)(x )(x2 − x2 u + 4x 4x2 u2 ) = 0
factorizando y eliminado x2 (4
− u + u2) + (u ( u x + u)(1 − u + 4u 4u2 ) = 0
as´ı
ux+u=
u 4 u2 1 u + 4u 4u2
− − −
simplificando simpli ficando t´ erminos erminos comunes
ux=
4 + 4u 4 u3 u 1 4u3
− −
separando variables comunes (u
− 1 − 4u2)du = dx 4u3 + 4
x
integrando de ambos lados tenemos que
− 14 ln[(u ln[(u + 1)2 (u2 − u + 1)] 1)] = ln (Cx) Cx ) aplicando aplicando la funci´ on exponencial de ambos lados y reescribiendo on Cx[( Cx [(u u + 1)2 (u2
− u + 1)]1/4 = 1
sustituyendo u = y/x Cx
− y +1 x
y x
2
y +1 x
2
1/4
=1
elevando a la cuarta potencia 4 4
C x
− y +1 x
2
y x
2
y +1 x
=1
desarrollan desarrollando do y factorizan factorizando do tenemos, tenemos, por p or lo tanto, tanto, que (x + y )(x )(x3 + y 3 ) = K. 12
149.
y = 3x2xyy . Tomemos el siguiente cambio de variable, y = ux, ux, y = u x + u, as´ı
2
−
2
2x2 y u x+u = 2 3x x2 u2
−
simplificando tenemos que
ux=
u3 u 3 u2
− −
separando variables tenemos que (3
− u2)du = dx u3 − u x
integrando de ambos lados ln
(u
− 1)(u 1)(u + 1) u3
= ln ln (Cx) Cx )
aplicamos aplicamos la funci´ on exponencial de ambos lados y sustituyendo u = y/x on 2
y x
−
1 = Cx
y3 x3
por lo tanto, tenemos que K (y 2 151.
− x2) = y3.
−
xy = y2 x2 . Tomemos la siguiente sustituci´on on y = ux, ux, y = u x + u, reescribiendo la ecuaci´ on on y2 x2 y2 y = = 1 x x2 as´ı u x + u = u2 1
− − −
agrupand agru pandoo t´erminos ermi nos
√ 2 −du1 − = dxx u u
integrando de ambos lados u2 2
− −
√
u u2 2
− 1 + ln(u ln(u +
√
u2
2
− 1) = ln Kx
agrupand agru pandoo t´erminos ermi nos ln
√ −1
u + u2 K 0 x2
13
−
= u2 + u u2
1
sustituyendo u = y/x, y/x, y simplificando, tenemos que ln
− y+
y2 Cx 3
x2
=
y2 + y
− y2
x2
x2
,
aplicando aplicando la funci´ on exponencial de ambos lados on y+
− y2
x2 = Cx 3 exp
14
− y2 + y
y2
x2
x2
.
