Facultad de Ingeniería de Sistemas Curso
:
Tema Tema en la
:
Matemática I Aplicación de Límites Lí mites y funciones Ingeniería de Sistemas
Docente
:
Lic. orge Luis !i"as #arcía
Alumno
:
$illiam A%el &eralta Torres
Ciclo
:
II
Piura – Perú
2016
FUNCIONES MATEMATICAS QUE SE USAN EN INGENIERIA ' Los ingenieros durante su preparación y durante su "ida profesional utili(an todos o casi todos los m)todos de la matemática clásica. &ero el resultado de%e ser efecti"o: un n*mero o una función+ ,ue in"olucre a las magnitudes relacionadas con el o%-eto de estudio. La argumentación o la estructura lógica le parecen al ingeniero eentos de importancia+ pues )l confía en las matemáticas y en ,ue sus leyes y m)todos no entra/an contradicciones. &or otra parte+ muc0os conceptos de funciones matemáticas se 0an con"ertido en elementos indispensa%les de la cultura general y en particular del ingeniero. Incluso en la "ida cotidiana+ los conocimientos referentes a la "elocidad de "ariación de una magnitud 1deri"ada2 o al efecto sumario producido por alg*n factor son su3cientemente *tiles. 4llos ensanc0an el 0ori(onte intelectual y son aplica%les en numerosas situaciones.
4n la Ingeniería es frecuente el uso de las funciones la cual re,uiere la creación de nue"as estructuras matemáticas. La reali(ación de simulaciones acertadas desem%oca a "eces en una más profunda comprensión de fenómenos físicos y %iológicos fundamentales. 4sa comprensión luego se contrasta con datos reales+ lo cual crea una interacción dinámica entre la matemática y las otras ciencias. La eistencia de computadoras poderosas y %aratas 0a permitido ,ue los matemáticos dispongan de una amplia gama de soft5are. 4l acceso a esos instrumentos se está generali(ando y resulta esencial en la comunidad internacional de todas las ramas de la matemática.
Se ad"ierte en estos momentos ,ue están emergiendo nue"as e interesantes áreas matemáticas 1la %iomatemática+ computología2
I.
INTRODUCCION
4n todas las ingenierías se encuentra presente el cálculo diferencial+ cada una de ellas esta relacionada a la solución de pro%lemas y a la inno"ación. 4n ingeniera en Sistemas una de las ramas en las ,ue más se utili(a los límites es en la reali(ación de grá3cos. 4l cálculo diferencial e integral se utili(a en todo lo ,ue tenga una grá3ca y ,uieras sa%er el área o la pendiente de manera ,ue te d) unos resultados ,ue
los
Los
límites
puedas
aplicar
matemáticos+
en
sa%emos
un ,ue
pro%lema son
para
en
particular.
6predecir6
el
comportamiento de una función matemática cuando tiende a un n*mero o al in3nito.
II. FUNCIONES O!INOMICAS 4l álge%ra es %ásica para la solución de cual,uier pro%lema+ y la utili(as a lo largo de toda la carrera+ como:
III.
II.'. II.7. II.8.
Alge%ra de polinomios &roductos nota%les y factori(ación Solución de ecuaciones polinomiales
FUNCION DE SISTEMAS DE ECUACI"N
Son las funciones &12+ donde & es un polinomio en x + es decir una com%inación 3nita de sumas y productos entre escalares 1n*meros2 y la "aria%le x . 9sualmente+ los escalares son n*meros reales+ pero en ciertos contetos+ los coe3cientes pueden ser elementos de un campo o un anillo ar%itrario 1por e-emplo+ fracciones+ o n*meros comple-os2. 4-emplo: .; x 8 < x .
III.'. III.7. III.8.
Funci#n c$nstante% f12= a Funci#n lineal% f12= a > % es un %inomio del primer grado. Funci#n cuadr&tica% ?12= a@ > % > c es un trinomio del
segundo grado. 4-emplo: 8 x 7 < ; x > ' Funci#n raci$nal% Son funciones o%tenidas al di"idir una III.. función polinomial por otra+ no id)nticamente nula.
I'.
FUNCIONES TRASCENDENTA!ES
Cual,uier función ,ue no se puede epresar como una solución de una ecuación polinómica se le llama función trascendental.
I'.(.
Funci#n e)*$nencial
Se llaman así a todas a,uellas funciones de la forma f12 = % + en donde la %ase %+ es una constante y el eponente la "aria%le independiente. 4stas funciones tienen gran aplicación en campos muy di"ersos como la %iología+ administración+ economía+ ,uímica+ física e ingeniería.
I'.+.
Funci#n l$garítmica
Las in"ersas de las funciones eponenciales se llaman ,unci$nes l$garítmicas . Como la notación f ' se utili(a para denotar una función in"ersa+ entonces se utili(a otra notación para este tipo de in"ersas. Si f12 = %+ en lugar de usar la notación f '12+ se escri%e l$g- )/ para la in"ersa de la función con %ase %. Leemos la notación log%12 como el 0l$garitm$ de ) c$n -ase -1 + y llamamos a la epresión log%12 un l$garitm$.
I'.2.
Funci$nes trig$n$m3tricas
La trigonometría es indispensa%le para los ,ue ,uieran estudiar las carreras de ingeniería ci"il+ mecánica y electrónica. Al estar de3nidos los senos+ cosenos y tangentes para cual,uier ángulo 1Blas tangentes eisten para cual,uier ángulo2+ dan lugar al concepto de funciones trigonom)tricas: seno+ coseno+ tangente secante+ cosecante+ cotangente Arcoseno+ Arcocoseno+ Arcotangente.
I'.4.
Funci$nes
5i*er-#licas%
sen$
5i*er-#lic$6
c$sen$
5i*er-#lic$6 tangente 5i*er-#lica. Las funciones 0iper%ólicas son análogas a las funciones trigonom)tricas ordinarias o funciones circulares.
'. !imites '.(.
De7nici#n de !imites
4n matemáticas+ se usa el concepto del límite para descri%ir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es ,ue una sucesión o una función tiene un límite si progresi"amente alcan(a un n*mero+ ,ue se llama el límite
4l límite de una función es un concepto fundamental del cálculo diferencial matemático. Informalmente+ el 0ec0o ,ue una función f tiene un límite L en el punto p+ signi3ca ,ue el "alor de f puede ser tan cercano a L como se desee+ tomando puntos su3cientemente cercanos a p+ pero distintos de p.
'.+.
Te$remas de !ímites
'. 7. 8. . ;. E.
F. G.
H.
'. ''.
1al igual ,ue su recíproca2
'7.
1al igual ,ue su recíproca2
'8.
1al igual ,ue su recíproca2
'.
J=K f12 acotada y g12 in3nit)simo
';. 'E.Asíntotas !erticales: &untos donde la imagen de la función tiende a in3nito ori(ontales: %licuas: y = m > n
'.2.
Us$ de l$s !ímites
Se usa el límite en cálculo 1por lo ,ue tam%i)n se usa en el análisis real y matemático2 para de3nir con"ergencia+ continuidad+ deri"ación+ integración+ y muc0as otras cosas.
'.4.
Te$remas de C$ntinuidad Si las funciones f y g so%re
los
inter"alos
respecti"amente
y
si
entonces: a. es
continua
so%re
el
inter"alo 9 %. es continua so%re 9 c. es
continua
so%re
1&roducto de dos funciones2 d.
9
es
continua
ecepto
so%re
9+
para
Te$rema La función f de3nida por real+
es
1Necuerde
continua
+ donde para
todo
es un polinomio n*mero
real.
,ue para
2
Seg*n el teorema son e-emplos de funciones continuas las siguientes:
4-emplos '.
La función
de3nida por
es continua para todo
+ ya ,ue el polinomio en el denominador se 0ace cero cuando se e"al*a en
+
o
7.
La función ,ue
y
de3nida por
es continua para
tal
Te$rema d Sean
y
Además
dos
y
funciones
g
es
tales
continua
en
,ue
d.
4ntonces
4-emplo: Sean
y dos funciones tales ,ue:
+ Como
y g es continua para
pues
+ entonces
Te$rema e Si
es una función continua en
y
es una función continua en
+ entonces la composición de funciones
es continua en .
Oota: La continuidad de la composición de funciones es "álida para cual,uier n*mero 3nito de funciones+ siempre y cuando se cumpla ,ue cada función sea continua en su respecti"o argumento.
4-emplo '. Sean
y
dos funciones de3nidas por las siguientes ecuaciones +
.
Oote ,ue es una función polinomial y por lo tanto continua para todo . La función f es continua para
Luego la función
será continua
para los "alores de x tales ,ue Como
sea mayor o igual ,ue cero.
y
+ entonces la función h
será continua para todo "alor real. 7. Consideremos las funciones de3nidas por + La función
. es continua para
+ y la función
es continua
para todo "alor real por ser función polinomial. Luego la función
siempre 8.
+ dada por
+ es decir+ siempre ,ue
sea continua
.
La función h de3nida por
es continua siempre ,ue
sea mayor ,ue cero. 4sta *ltima condición se satisface cuando
Te$rema , La función seno de3nida por dominio+ o sea. so%re todo
es continua so%re todo su
.
4-emplo
La función f de3nida por
es continua siempre ,ue sea
diferente de cero+ pues en
se tiene ,ue
no está de3nida.
Te$rema g La función coseno denotada por dominio
es continua so%re todo su .
4-emplo La función
puede considerarse como la composición de las
funciones con ecuaciones continua para
+
. Como la función f es
y la función g es continua para todo x en
función h es continua siempre ,ue sucede cuando: +
+
par.
+ entonces la
sea mayor o igual a cero+ lo ,ue
4stos son algunos de los teoremas más importantes so%re funciones continuas. Teorema de $eierstrass: Si f es continua en Pa+bQ entonces presenta máimos y mínimos a%solutos. Teorema de Rol(ano: Si f es continua en P a+bQ y f 1a2 K y f 1b2 J + entonces tal ,ue f 1c2 =
Teorema del "alor intermedio: Si f es continua en P a+bQ y f 1a2 J k J f 1b2 entonces tal ,ue f 1c2 = k
'I. A*licaci$nes de límites en la ingeniería de sistemas 'I.(. O89ETI'OS% 'I.+. General% Demostrar la aplicación de límites matemáticos en la ingeniería de sistemas a tra")s de los conocimientos ad,uiridos en clase y consultas precias en la 5e% para la futura aplicación en la carrera.
'I.2.
Es*ecí7c$s%
4stimar desempe/o máimo de procesadores cuando reci%en O cantidad de datos.
'I.4.
!ímite%
4l límite es la tendencia de una sucesión o una función+ a medida ,ue los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado "alor. Se dice ,ue el límite es el "alor al ,ue tiende una función cuando la "aria%le independiente tiende a un n*mero determinado o al in3nito y para comprenderlo me-or se dice ,ue tender a un límite signi3ca aproimarse a una meta+ ,ue no siempre se logra alcan(ar. 4n la imagen se aprecia ,ue la función f 12 tiene límite L en el punto = a+ si se puede aproimar f 12 a L tanto como se ,uiera cuando se aproima inde3nidamente a+ siendo distinto de a.
lim
f ( x )
=
1
x → x 0
Sa%emos ,ue los límites son para 6predecir6 el comportamiento de una función cuando tiende a un n*mero o al in3nito. Durante esta presentación "amos a tratar de dar a entender 7 de las posi%les aplicaciones de límites en la ing. de sistemas. '2 Calcular la ganancia de "elocidad glo%al del sistema al me-orar o aumentar el rendimiento de una parte del computador. 729sando la de3nición para encontrar el n*mero de %its de direcciones ,ue puede gestionar un microprocesador y dise/ar una memoria ,ue cumpla con características pre"iamente planteadas.
'II.
Ganancia de :el$cidad
&ara calcular el aumento de rendimiento ,ue puede o%tenerse al me-orar alguna parte de un computador se utili(a la Ley de Amda0l: La me-ora o%tenida en el rendimiento glo%al de un computador al utili(ar alg*n modo de e-ecución más rápido está limitada por la fracción de tiempo ,ue se puede utili(ar ese modo más rápido. La ganancia de "elocidad glo%al de un sistema se de3ne por el siguiente cociente:
gv global =
ejecucion con tiempo¿ sin mejora ( Tsin ) tiempo ¿ de ¿ mejora ( Tcon )
Si llamamos fm a la 1fracción de tiempo ,ue puede utili(arse el modo de e-ecución con me-ora2+ y g" me-ora la ganancia de "elocidad propia del elemento o modo me-orado+ la ganancia de "elocidad glo%al del sistema "endrá dada por la siguiente epresión:
gv global=
Tsin 1 = Tcon ❑
'III. C$ne)i$nes del micr$ *r$cesad$r dise;$ de mem$rias% 4l espacio de direccionamiento lógico identi3ca la máima capacidad de memoria con la ,ue puede tra%a-ar un micro procesador1CM2 Cada c0ip de memoria tiene asignado un rango de direcciones lógicas. Dic0o rango es igual a la capacidad del c0ip de memoria epresada en %ytes. Cual,uier dirección lógica 1DL2 ,ue est) incluida en dic0o rango pro"ocara el acceso a un c0ip del con-unto. Mientras ,ue los restantes c0ips están inacti"os.
Rus de datos 1RD2: determina el Tama/o de la pala%ra.
D??? CI& ' NM ' '7A
CI& 7 NAM
7???
E U
Rus de direcciones 1AR2: determina las coneiones del microprocesador AD= direccionesfísicas
2
4S&ACI D4 M4MNIA LIRN4
I<. C$nclusi$nes% Tras el estudio de las nom%radas funciones
n =direcciones físicas
lim 2 →
n= tama/o en %its de AR
matemáticas+ podemos concluir en ,ue son muy importantes tanto para las matemáticas como para muc0as otras ciencias+ en especial la física y la ,uímica. 4l o%-eti"o planteado en la introducción se cumplió+ ya ,ue se pudo o%ser"ar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la "ida diaria. Al 3nali(ar la presentación podemos concluir ,ue el límite nos ayuda a predecir cuál será el porcenta-e de aumento de un sistema si se me-ora el rendimiento de uno de sus componentes.
Se pudo concluir ,ue los limites nos ayudan a encontrar el máimo de direcciones ,ue puede gestionar un microprocesador para el dise/o de memorias.
Rec$mendaci$nes &ara poder resol"er los pro%lemas es necesario sa%er aplicar límites y resol"er los mismos+ los e-ercicios se "uel"en menos comple-os con la práctica por lo cual se recomienda reali(ar "arios e-ercicios de límites.
