Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Prriscila Vizuete October 2015
1
Ejer Ejerc cicio icioss d del el 10 al 20 20 1. La razo´on on de cam cambio bio en la tempera temperatur turaa T del caf´ e en el instan instante te t, es proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instante t y la temperatura temp eratura del cafe´ e en el instante t. dN dt
= k (T
− − M )
2. Alison Alison y Kevin participan participan en una carrera de ”piques”.Pa ”piques”.Parten rten de reposo y luego aceleran a una raz´on on constante. Kevin cubre la ultima u ´ ltima cuarta parte del recorrido en 3 segundos, mientras que Alison cubre la ultima tercera parte de la distnacia distnacia en 4 segundos¿Q segundos¿Qui´ ui´ en en gana la carrera carrera y por cu´ anto anto tiempo? d2 x dt2
= a
INTEGRANDO dx dt
= at + C
La velocidad instantanea v, de un objeto viene dado por la derivada de la distancia x, con respecto a tiepo t. al inicio de la carrera el tiempo es igual a cero y ambos corredores tienen una velocidad de cero.‘pr lo tanto C=0 integrando de nuevo queda x = 1 2=
tk
dy dx
at2 + C......C = 0
−t
ak =
3 4
=3= − 2(
√
2L ak
√ )
( 2− 9
3 2
3L 4
)
ak
2
L
1
tk =
2 √ ) L
√
3 2
( 2−
2 L 2
)
tk = 22, 39seg.
Alison cubre el ultimo tercioc de la distancia, L en 4 seg. tA
−t
2 3
=4= − 2( √ )
√
ak =
( 2− 16
tA =
4 3
2L
2L 3
aA
aA
)
2
L
2 √ ) L
√
( 2−
4 3
2
L 16
)
tA = 21, 80seg.
El tiempo de Alison esmenor que el de Kevin, gana Alison la carrerra por aproximadamente 0,594 segundos 3. Muestre que φ = x x es una solucion explicita de
||
dy dx
=
| | en (-∞ ∞) y
φ(x) = x x
||
y ‘ = 2x
reemplazando t = x 2 ; x =
√ y
√
y = 2 y
√
√
2 y = 2 y 4. Muestre que φ = e x φ(x) = e x y ‘ = e x
−x
− x es una soluci´on explicita en (-∞, ∞).
−1
reemplazando y ‘ = e x
− 1 en
dy dx
+ y =e2 x + (1
2
− 2x)e
x
+ x2 + 1
,
.
dy + y =e2 x + dx
x
(1
− 2x)e
+ x2 + 1
ex
− 1 + (e − x)2 + y =e2x + (1 − 2x)e
ex
− 1 + e2x − 2xe
x
x
x
+ x2 + y = e2 x + (1
+ x2 + 1 x
− 2x)e
+ x2 + 1
0= 0 5. Muestre que xy 3 xy 3 senx = 1 es una solucion implicita en ecuacion +senx −1)y dy = (xcosx dx 3x(1−senx)
En los ejercicios 15 a 18, determine si la funcion o relacion es una solucion explicita o implicita de la ecuacion dada. 6. y = senx + x2 ;
d2 y = dx2
x2 + 2
y = cosx + 2x y” =
−senx + 2
reemplazo en d2 y dx2
d2 y dx2
= x 2 + 2
= x 2 + 2
−senx + 2 + senx + x2 = x 2 + 2 0 = 0es soluci´on
3
7. exy + y = x
−1 ;
dy ) + y ) + exy (x dx
dy e−xy −y = dx (e−xy +y)
dy dx
− 1 = 0
dy reemplazo en exy (x dx ) + y +
dy dx
− 1 = 0
−xy y e−xy −y exy ( (ee−xy − y + )+ y + ) (e−xy +y )
− 1 = 0
8. y y
− lny = x2 + 1 ;
xy = y2− 1
dy dx
− lny = x2 + 1
dy dx
dy dxy
− − 2x = 0
2xy y−1
−
2xy y(y−1)
2xy y−1
− 2x = 0
− ( 2−1) − 2x = 0 x
y
2xy −2x−2x(y −1) - (y2−x1) y −1
− 2x= 0
0 = 0 es soluci´on 9. x = 2e3t
d2 x dt2
− e2 ; − 4 x‘ = 6 e3 − 2e2 x” = 18e3 − 4e2 t
t
dx dt
+ 3x= e 2 t
t
t
t
reemplazo 18e3t
− 4e2 − 4(6e3 − 2e2 ) + 3(2e3 − e2 ) =e2 t
t
t
18e3t 4e2t 24e3t + 8e2t + 6e3t 0 = 0 es soluci´on
−
−
t
t
− 3e2
t
t
=e2t
10. Verifique que x2 + cy 2 = 1, donde c es una constante no nula, familia uniparametrica de soluciones implicitas de dy = x xy−1 y grafique varias dx curvas solucion usando los mismos ejes. 2
x2 + cy 2 = 1 y =
√ 2 −x 1√ c
−x y ‘ = √ √ c −x 1
2
reemplazo
4
x
√
−x 2 √
1
√ √ x
=
√ √ x
x √ 1−x = √ c 1−x
c
c
1−x2 1−x2
c
x2 −1
√
2 2
√ 2 √ 1 2 = 1−x2 1−x 1−x √ 1 2 = √ 1 2 1−x 1−x
es soluci´on 11. Si c ¿ 0 demuestre que la funcion φ = (c2 x2 )− 1 es una solucion del dy problema de valor inicial dx = 2xy 2 , y (0) = c1 en (-c, c). Analice esta solucion cuando x tiende a +-c.
