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TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador

Capítulo III SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 3.1

INTRODUCCIÓN:

La resolución de las Ecuaciones Diferenciales persigue encontrar expresiones equivalentes que, prescindiendo de derivadas o diferenciales, satisfagan las condiciones de esas ecuaciones. En otros términos, la determinación de las “Funciones Primitivas ” constituye la parte fundamental de la solución de las ecuaciones diferenciales. Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación diferencial: dy = 2x − 1 dx

La resolución de dicha ecuación consiste en encontrar la función que, sin contener derivadas o diferenciales, sea equivalente a la expresión anterior. Inmediatamente se cae en cuenta que, para encontrar la solución, solamente se requiere integrar la expresión previa, obteniéndose la siguiente función primitiva: y = x2 − x + C Donde: C:

Constante de integración arbitraria

La última expresión constituye una familia de curvas parabólicas, con eje focal paralelo al eje “y”, coincidente con la recta “x=1/2”, cuyo gráfico se presenta a continuación.

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La posición vertical del foco de cada parábola de la familia dibujada (también la posición vertical del vértice de las curvas especificadas) depende del valor asignado a la constante arbitraria de integración “C”. La tabla que sirve de base para la generación del gráfico anterior se la puede elaborar en una hoja electrónica con un contenido similar al siguiente:

En ocasiones, la solución de las ecuaciones diferenciales puede basarse en procesos de simple integración como el que se presentó en el ejemplo previo; alternativamente se puede recurrir a procesos de derivación; en otras circunstancias se pueden utilizar artificios matemáticos que dependerán de la forma general de las ecuaciones, y en otras ocasiones se utilizarán propiedades especiales de las ecuaciones diferenciales. Cuando no es factible determinar las funciones primitivas correspondientes a una ecuación diferencial, puede resultar conveniente la utilización de métodos numéricos que nos permitan entender su comportamiento, e inclusive pueden favorecer la obtención de una representación gráfica.

Problema Resuelto 1*: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. y = 2e 3x + 1 Función solución dy = 3y − 3 Ecuación diferencial dx

Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: dy = 6e 3x dx

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial.

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dy = 3y − 3 dx dy dx8 67 3x

( 6e

y 647 4 8 3x ) = 3( 2e + 1) − 3

Simplificando: 6e 3x = (6e 3x + 3) − 3 6e 3 x = 6e 3 x + 3 − 3 6e 3x = 6e 3x Verificado

NOTA 1: Se ha verificado que la función es solución de la ecuación diferencial mediante derivación de la función y reemplazo de la función y su derivada en la ecuación diferencial. Al obtenerse una identidad se verifica la hipótesis del problema. NOTA 2: Es importante notar que la función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. Cualquier valor que preceda a la expresión exponencial “e 3x ” cumplirá con la ecuación diferencial, por lo que una solución general sería: y = A.e 3x + 1 Función solución general Donde: A:

Constante arbitraria

Problema Resuelto 2: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. y = 2x

Función solución

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dy y = 2 Ecuación diferencial dx x

Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: dy =2 dx

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial: dy y =2 dx x dy dx }

y } ( 2 x) ( 2) = 2 x

Simplificando: 2=4 2 ≠ 4 No se verifica

NOTA: La función presentada no es solución de la ecuación diferencial propuesta.

Problema Resuelto 3: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. y = x2

Función solución

dy y = 2 Ecuación diferencial dx x

Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: dy = 2x dx

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial: dy y =2 dx x

( 2x ) = 2

(x 2 ) x

Simplificando: 2 x = 2 x Verificado

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NOTA: La función presentada no es la única solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general: y = A. x 2 Función solución general Donde: A:


Problema Resuelto 4*: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. y = x−1

Función solución

dy y = Ecuación diferencial dx x − 1

Solución: Calculando la primera derivada de la función solución: dy =1 dx

Reemplazando la función solución y su derivada en la ecuación diferencial. dy y = dx x − 1 dy dx }

y 67 8 ( x − 1) (1) = x −1

Simplificando:

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1 = 1 Verificado

NOTA: La función presentada no es la única que es solución de la ecuación diferencial. La siguiente es la solución general: y = A( x − 1) Función solución general

Donde: A:


3.2

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES:

Consiste en colocar, en expresiones separadas de la ecuación diferencial, las funciones de cada variable con su respectivo diferencial y proceder a la integración. Los detalles característicos de la ecuación diferencial son los que definen los mecanismos para lograr la separación de las variables. Problema Resuelto 5: Resolver la siguiente ecuación diferencial y representarla gráficamente: y ′ − 3x 3 + 6 x 2 − x − 1 = 0 Solución: Despejando la primera derivada de “y”: y′ = 3x 3 − 6 x 2 + x + 1 La derivada se puede expresar como: y′ =

dy dx

Reemplazando:

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dy = 3x 3 − 6x 2 + x + 1 dx

Separando las diferenciales del miembro izquierdo: dy = (3x 3 − 6x 2 + x + 1) dx Integrando ambos miembros:

∫ dy = ∫ (3x

3

− 6 x 2 + x + 1) dx

Ejecutando las integrales: y=

3 4 6 3 1 2 x − x + x +x+C 4 3 2

Simplificando: y=

3 4 1 x − 2x 3 + x 2 + x + C Solución 4 2

Donde: C:

Constante de integración arbitraria

La hoja electrónica que permite graficar la función puede ser la siguiente:

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Verificación: El punto de partida es la función solución: y=

3 4 1 x − 2x 3 + x 2 + x + C 4 2

La derivada de “y” respecto a “x” es: y′ =

12 3 2 x − 6x 2 + x + 1 4 2

Simplificando: y′ = 3x 3 − 6 x 2 + x + 1 La ecuación diferencial original es: y′ − 3x 3 + 6 x 2 − x − 1 = 0 Reemplazando la derivada “y′ ” en la ecuación diferencial se tiene: ′

y 64447 444 8 3 2 (3x − 6 x + x + 1) − 3x 3 + 6 x 2 − x − 1 = 0

Simplificando:

0 = 0 Verificado NOTA 1: Se ha conseguido resolver la ecuación diferencial mediante su transformación en un proceso de integración. Para el efecto se han realizados manejos algébricos que permiten la separación de las variables y de sus diferenciales. NOTA 2: La presencia de la constante de integración arbitraria dentro de la solución de la ecuación diferencial da lugar a una familia de curvas que cumplen con la ecuación diferencial.

Problema Resuelto 6: Resolver la siguiente ecuación diferencial y representarla gráficamente: y ′ − 2e 3x = 0

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Solución: Despejando la primera derivada de “y”: y′ = 2e 3x La derivada se puede expresar como: y′ =

dy dx

dy = 2e 3 x dx

Separando las diferenciales del miembro izquierdo: dy = 2e 3x dx Integrando ambos miembros:

∫ dy = ∫ 2e

3x

dx

Ejecutando las integrales: y=

2 3x e + C Solución 3

Donde: C:

Constante de integr ación arbitraria

La hoja electrónica que dio origen al gráfico es:

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Verificación: La función solución es: 2 3x e +C 3

y=

La derivada de “y” respecto a “x” es: y′ =

6 3x e 3

Simplificando: y′ = 2e 3x La ecuación diferencial original es: y′ − 2e 3x = 0 Reemplazando la derivada “y′ ” en la ecuación diferencial se tiene: ′

y 67 8 3x ( 2e ) − 2e3x = 0

Simplificando:

0 = 0 Verificado Problema Resuelto 7: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y ′′ + 4x 2 − 3x − 5 = 0 Solución: Despejando la segunda derivada de “y”: y′′ = −4 x 2 + 3x + 5

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La segunda derivada normalmente se la expresa como:

y′′ =

d 2y dx 2

Pero la segunda derivada es también “la derivada de la primera derivada ”: y′′ =

dy ′ dx

Reemplazando: dy′ = − 4x 2 + 3x + 5 dx

Separando las diferenciales del miembro izquierdo: dy ′ = ( −4x 2 + 3x + 5)dx Integrando ambos miembros:

∫ dy′ = ∫ (−4x

2

+ 3x + 5)dx

Ejecutando las integrales: 4 3 y′ = − x 3 + x 2 + 5x + C1 3 2

Reemplazando “y′ ” por su expresió n equivalente: y′ =

dy dx

dy 4 3 = − x 3 + x 2 + 5x + C1 dx 3 2

Separando las diferenciales:  4 3 3 2  dy =  − x + x + 5x + C1 dx 2  3 

Integrando ambos miembros:  4 3

∫ dy = ∫  − 3 x

+

3 2  x + 5x + C1  dx 2 

Ejecutando las integrales: y=−

4 4 3 3 5 2 x + x + x + C1x + C 2 12 6 2

Simplificando: 1 1 5 y = − x 4 + x 3 + x 2 + C 1x + C 2 Solución 3 2 2

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Donde: C1 : C2 :

Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria

Verificación: La función solución es: 1 1 5 y = − x 4 + x 3 + x 2 + C1x + C2 3 2 2

La primera derivada de “y” respecto a “x” es: 4 3 10 y′ = − x 3 + x 2 + x + C 1 3 2 2

Simplificando: 4 3 y′ = − x 3 + x 2 + 5x + C1 3 2

La segunda derivada de “y” es: y′′ = −

12 2 6 x + x+5 3 2

Simplificando: y′′ = −4 x 2 + 3x + 5 La ecuación diferencial original es: y′′ + 4 x 2 − 3x − 5 = 0 Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial y simplificando se tiene: ′′

y 6447 448 2 ( − 4x + 3x + 5) + 4x 2 − 3x − 5 = 0

Simplificando:

0 = 0 Verificado NOTA 1: La resolución de la ecuación diferencial de segundo orden ha sido transformada en un doble proceso de integración, lo que produjo 2 constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un doble proceso de derivación. NOTA 2: Con el objeto de facilitar la realización de las 2 integraciones requeridas, ejecutándolas de manera separada, la segunda derivada se expresó como “la derivada de la primera derivada”.

Problema Resuelto 8: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

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y ′′ + 3x 2 − 2x + 5 = 0 Solución: Despejando la segunda derivada: y′′ = −3x 2 + 2x − 5 La segunda derivada es la derivada de la primera derivada de la función: y′′ =

dy ′ dx

dy′ = − 3x 2 + 2x − 5 dx

Separando las diferenciales del miembro izquierdo: dy ′ = ( −3x 2 + 2 x − 5)dx Integrando ambos miembros:

∫ dy′ = ∫ (−3x

2

+ 2x − 5) dx

Ejecutando las integrales: 3 2 y′ = − x 3 + x 2 − 5x + C1 3 2

Simplificando: y′ = − x 3 + x 2 − 5 x + C1 Reemplazando “y′ ” por las diferenciales correspondientes: dy = − x 3 + x 2 − 5x + C1 dx

Separando las diferenciales del miembro izquierdo: dy = ( −x 3 + x 2 − 5x + C1 )dx Integrando ambos miembros:

∫ dy = ∫ (− x

3

+ x 2 − 5x + C1 )dx

Ejecutando las integrales: 1 1 5 y = − x 4 + x 3 − x 2 + C1 x + C 2 Solución 4 3 2

Donde: C1 : C2 :


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Verificación: La función solución es: 1 1 5 y = − x 4 + x 3 − x 2 + C1x + C 2 4 3 2

La primera derivada de “y” respecto a “x” es: 4 3 10 y′ = − x 3 + x 2 − x + C1 4 3 2

Simplificando: y′ = − x 3 + x 2 − 5x + C1 La segunda derivada de “y” es: y′′ = −3x 2 + 2 x − 5 La ecuación diferencial original es: y′′ + 3x 2 − 2x + 5 = 0 Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial se tiene: ′

y 6447 448 2 ( − 3x + 2x − 5) + 3x 2 − 2 x + 5 = 0

Simplificando:

0 = 0 Verificado Problema Resuelto 9: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 2 y ′′ + 3Cos ( 2x) − 7 = 0

Solución: Despejando la segunda derivada de “y”: 2 y ′′ = −3Cos( 2x ) + 7 3 7 y′′ = − Cos( 2x ) + 2 2

La segunda derivada es la derivada de la primera derivada: dy ′ dx dy′ 3 7 = − Cos( 2x ) + dx 2 2

y′′ =

Separando las diferenciales del miembro izquierdo:

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7  3 dy ′ =  − Cos( 2 x) + dx 2  2

Integrando ambos miembros: 

3

7

∫ dy′ = ∫  − 2 Cos( 2x ) + 2 dx Ejecutando las integrales: 3 7 y′ = − Sen ( 2x ) + x + C1 4 2

Reemplazando “y′ ” por su expresión equivalente: y′ =

dy dx

dy 3 7 = − Sen ( 2x ) + x + C1 dx 4 2

Separando las diferenciales: 7  3  dy =  − Sen( 2 x) + x + C1 dx 2  4 


3

7



∫ dy = ∫  − 4 Sen ( 2x ) + 2 x + C1 dx Ejecutando las integrales: y=

3 7 Cos( 2 x) + x 2 + C1 x + C 2 Solución 8 4

Donde: C1 : C2 :


Verificación: La función solución es: y=

3 7 Cos( 2x ) + x 2 + C1x + C 2 8 4

La primera derivada de “y” respecto a “x” es: 6 14 y′ = − Sen( 2 x) + x + C1 8 4

Simplificando: 3 7 y′ = − Sen ( 2x ) + x + C1 4 2

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La segunda derivada de “y” respecto a “x” es: 6 7 y′′ = − Cos( 2x ) + 4 2

Simplificando: 3 7 y′′ = − Cos( 2x ) + 2 2

La ecuación diferencial original es: 2 y ′′ + 3Cos( 2x ) − 7 = 0

Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial se tiene: y′ 644 47 444 8 7  3 2 − Cos( 2x ) +  + 3Cos( 2x ) − 7 = 0 2  2

Simplificando: 14   6  − Cos (2 x ) +  + 3Cos( 2x ) − 7 = 0 2  2 [− 3Cos(2 x) + 7] + 3Cos (2 x ) − 7 = 0 0 = 0 Verificado

Problema Resuelto 10: Resolver la siguiente ecuación diferencial y representarla gráficamente: y ′′ − Sen( 3t ) = 0

Solución: Despejando la segunda derivada de “y”: y′′ = Sen (3t )

Por la forma de las expresiones que aparecen en la ecuación diferencial, “y″ ” es la segunda derivada de “y” respecto a “t” (no es la segunda derivada de “y” respecto a “x”).

y′′ =

d 2y dt 2

Pero la segunda derivada es también la derivada de la primera derivada: y′′ =

dy ′ dt

Reemplazando se tiene: dy′ = Sen (3t ) dt

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Separando las diferenciales del miembro izquierdo: dy ′ = Sen (3t ) dt

Integrando ambos miembros:

∫ dy′ = ∫ Sen (3t)dt Ejecutando las integrales: 1 y′ = − Cos (3t ) + C1 3


dy dt

dy 1 = − Cos(3t ) + C1 dt 3

Separando las diferenciales:  1  dy =  − Cos( 3t ) + C1 dt  3 

Integrando ambos miembros:  1



∫ dy = ∫  − 3 Cos (3t) + C1 dt Ejecutando las integrales: 1 y = − Sen( 3t ) + C 1t + C 2 Solución 9

Donde: C1 : C2 :


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NOTA: Las curvas obtenidas son sinusoides que se desarrollan sobre ejes de referencia correspondientes a rectas en diferentes partes del plano y con inclinaciones diferentes. La posición y orientación del eje de referencia depende de los valores de las constantes “C1” y “C2” La tabla que dio origen al gráfico es:

Verificación: La función solución es: 1 y = − Sen(3t ) + C1t + C2 9

La primera derivada de “y” respecto a “t” es: 3 y′ = − Cos(3t ) + C1 9

Simplificando: 1 y′ = − Cos (3t ) + C1 3

La segunda derivada de “y” respecto a “t” es: 3 y′′ = Sen (3t ) 3

Simplificando: y′′ = Sen (3t )

La ecuación diferencial original es: y′′ − Sen( 3t ) = 0

Reemplazando la segunda derivada “y″ ” en la ecuación diferencial se tiene:

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TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador y ′′

6 474 8 Sen( 3t ) − Sen(3t ) = 0

Simplificando:

0 = 0 Verificado Problema Resuelto 11: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y ′′′ + e − x + 12x − 3 = 0 Solución: Despejando la tercera derivada de “y”: y′′′ = −e − x − 12 x + 3 La tercera derivada es la derivada de la segunda derivada: y′′′ =

dy ′′ dx

Reemplazando: dy′′ = −e − x − 12 x + 3 dx

Separando las diferenciales: dy ′′ = ( −e − x − 12 x + 3)dx Integrando ambos miembros:

∫ dy′′ = ∫ (−e

−x

− 12 x + 3)dx

Ejecutando las integrales: y′′ = e − x −

12 2 x + 3x + C1 2

Simplificando: y′′ = e − x − 6x 2 + 3x + C1 La segunda derivada es la derivada de la primera derivada: y′′ =

dy ′ dx

Reemplazando: dy′ = e − x − 6 x 2 + 3x + C1 dx

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Separando las diferenciales: dy ′ = ( e − x − 6 x 2 + 3x + C1 )dx Integrando ambos miembros:

∫ dy′ = ∫ (e

−x

− 6x 2 + 3x + C1 )dx

Ejecutando las integrales: 6 3 y′ = −e − x − x 3 + x 2 + C1x + C 2 3 2

Simplificando: y′ = − e − x − 2x 3 +

3 2 x + C1x + C2 2


dy dx

dy 3 = −e − x − 2 x 3 + x 2 + C 1 x + C 2 dx 2

Separando las diferenciales:  −x  3 3 2 dy =  − e − 2 x + x + C1x + C 2 dx 2  


∫ dy = ∫  − e

−x

3

− 2x +

3 2  x + C1x + C 2 dx 2 

Ejecutando las integrales:

y = e− x −

2 4 3 3 C1 2 x + x + x + C2 x + C 3 4 6 2

Simplificando:

y = e− x −

1 4 1 3 C1 2 x + x + x + C2 x + C3 Solución 2 2 2

Donde: C1 : C2 : C3 :

Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria Constante de integración arbitraria

Verificación: La función solución es:

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y = e− x −

1 4 1 3 C1 2 x + x + x + C2x + C3 2 2 2

La primera derivada de “y” respecto a “x” es:

y′ = −e − x −

4 3 3 2 2C1 x + x + x + C2 2 2 2

Simplificando: y′ = − e − x − 2x 3 +

3 2 x + C1x + C2 2

La segunda derivada de “y” es: y′′ = e − x − 6 x 2 +

6 x + C1 2

Simplificando: y′′ = e − x − 6x 2 + 3x + C1 La tercera derivada de “y” es: y′′′ = −e − x − 12 x + 3 La ecuación diferencial original es: y′′′ + e − x + 12 x − 3 = 0 Reemplazando la tercera derivada “y″′ ” en la ecuación diferencial se tiene: ′′

y 6447 448 −x ( −e − 12x + 3) + e − x + 12 x − 3 = 0 0 = 0 Verificado

NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una familia de parábolas de cuarto grado más una “función exponencial amortiguada ” (exponente con signo negativo) para los valores positivos de “x”. NOTA 2: La resolución de la ecuación diferencial de tercer orden ha sido transformada en un triple proceso de integración, lo que produjo 3 constantes de integración arbitrarias. La verificación se efectuó mediante un triple proceso de derivación. NOTA 3: Para facilitar la realización de las 3 integrales requeridas en la resolución de la ecuación diferencial, ejecutándolas por separado, la tercera derivada se expresó como “la derivada de la segunda derivada ”, y la segunda derivada se describió como la “derivada de la primera derivada ”.


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dy x = dx y Solución: Separamos todas las expresiones en “x” de las expresiones en “y”: y.dy = x.dx


∫ y.dy = ∫ x.dx Ejecutando las integrales:

y2 x2 = +C 2 2 Agrupando las variables en un solo miembro:

y2 x2 − =C 2 2 Multiplicando por “2”: y 2 − x 2 = 2C Reemplazando “2C” por una nueva constante “k”: y 2 − x 2 = k Solución NOTA: Cuando “k” tiene valor positivo, la solución es la ecuación de una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas y eje focal coincidente con el eje de las “x”. Si el va lor de “k” es negativo la solución es también una familia de hipérbolas con centro en el origen de coordenadas, pero el eje focal coincide con el eje de las “y”.

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NOTA: En ambas circunstancias estamos hablando de una relación y no de una función, pues en el primer caso para cada valor de “x” existen 2 valores de “y” (dos puntos, en dos segmentos de curva), y en el segundo caso para cada valor de “y” existen 2 valores de “x”. Verificación: La solución es: y2 − x2 = k Obteniendo diferenciales en la expresión (las reglas de diferenciación son similares a las de derivación): 2 y.dy − 2x.dx = 0

Separando las diferenciales: 2 y.dy = 2 x.dx

Simplificando: y.dy = x.dx

Reagrupando las diferenciales en forma de derivadas: dy x = Verificado dx y NOTA: A diferencia de los problemas anteriores en que la ecuación diferencial solo contenía una de las derivadas de la variable dependiente, pero no la variable “y”, en el presente caso, debido a la presencia simultánea de “y”, “y′ ” y alguna función de la variable independiente “x”, la verificación ha consistido en recuperar la ecuación diferencial original en base a su solución matemática.


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dy y = dx x

Solución: Separamos todas las expresiones en “x” de las expresiones en “y”: dy dx = y x Integrando ambos miembros:

∫

dy dx =∫ y x

Ejecutando las integrales, que claramente conducen a expresiones logarítmicas por presentar en el numerador de las fracciones las derivadas (propiamente las diferenciales) de los correspondientes denominadores: ln( y) = ln( x ) + C

Por facilidad de simplificación posterior se reemplaza la constante “C” por el logaritmo natural de otra constante (“k”), de modo que todas las expresiones sean funciones logarítmicas. ln( y) = ln( x ) + ln( k )

La suma de logaritmos es el logaritmo de un producto: ln( y) = ln( k.x)

Aplicando el antilogaritmo natural a ambos miembros: y = k .x Solución

NOTA 1: Debido a que los procesos de integración condujeron solamente a expresiones logarítmicas, resultó conveniente reemplazar la constante de integración por el logaritmo de otra constante, pues permitió una simplificación importante de la expresión final de la solución. NOTA 2: La solución (la función primitiva) es la ecuación de una familia de rectas que pasan por el origen y tienen una pendiente variable “k” (en Geometría Analítica la ecuación de esa familia de rectas se escribe “y=m.x”).

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Verificación: La solución es: y = k .x

Obteniendo la derivada de “y” respecto a “x”: dy =k dx

En la función solución se despeja “k”: k=

y x

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre sí: dy y = Verificado dx x

NOTA 1: Mientras mayor sea la complejidad de la ecuación diferencial, más artificiosa se puede volver la verificación. NOTA 2: En todos los casos en que aparecen variables y sus derivadas se toma como punto de partida la solución obtenida y como punto de llegada la ecuación diferencial original.

Problema Resuelto 14*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy 1 − x 2 = dx y2

Solución: Separamos todas las expresiones en “x” de las expresiones en “y”:

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y 2 .dy = (1 − x 2 )dx Integrando ambos miembros:

∫y

2

.dy = ∫ (1 − x 2 ).dx


y3 x3 = x− +C 3 3 Multiplicando por “3”: y 3 = 3x − x 3 + 3C Agrupando las variables en un solo miembro: x 3 + y 3 − 3x − 3C = 0 Reemplazando “-3C” por otra constante (“k”): x 3 + y 3 − 3x + k = 0 Solución Donde: k:


NOTA 1: En muchos casos es conveniente el reemplazo de constantes de integración por otras expresiones también constantes para simplificar las expresiones.

NOTA 2: La hoja electrónica es especialmente útil para encontrar valores para las constantes involucradas, de modo que los gráficos de las funciones sean representativos de la solución. Verificación: La solución es: x 3 + y 3 − 3x + k = 0 Derivando respecto a “x” se tiene:

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3x 2 + 3 y 2 .

dy −3 = 0 dx

Simplificando: x 2 + y2 .

dy −1 = 0 dx

Despejando la derivada: y2 .

dy = 1− x2 dx

Despejando la derivada: dy 1 − x 2 Verificado = dx y2

Problema Resuelto 15*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy = Sec( y ).Tan( x ) dx

Solución: Separando las variables: dy = Tan ( x ).dx Sec( y) Colocando las funciones trigonométricas en Senos y Cosenos: Cos( y).dy =

Sen ( x) ⋅ dx Cos( x )

Integrando: Sen ( x )

∫ Cos( y ).dy = ∫ Cos( x ) ⋅ dx Ejecutando las integrales:

Sen( y) = − ln [Cos( x ) ] + C Agrupando las variables en un solo miembro:

Sen( y ) + ln [Cos ( x)] = C Solución Donde: C:

Constante arbitraria de integración

91

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NOTA 1: La solución a la ecuación diferencial es una expresión periódica que tiene valores dentro del campo de los reales en ciertos intervalos y carece de soluciones en otros intervalos. Los intervalos en que no existe solución corresponden a aquellos valores en que el Coseno de “x” adquiere valores negativos y por consiguiente no es factible obtener su logaritmo, lo que se refleja en la hoja electrónica que se utiliza para generar los gráficos.

NOTA 2: Debido a la presencia de funciones Seno y Coseno, cuyos valores fluctúan entre “1” y “+1”, no existe solución real para todos los valores de “C”, pues cuando “C≤-3” o “C≥+1” no existen valores reales que cumplan con la “Función Primitiva”. Verificación: La solución es:

Sen( y) + ln [Cos( x ) ] = C Obteniendo diferenciales de la expresión: Cos( y).dy +

− Sen ( x ) ⋅ dx = 0 Cos ( x)

92

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Simplificando: Cos( y).dy −

Sen( x ) ⋅ dx = 0 Cos( x)

Pero la expresión “Sen(x)/Cos(x)” es igual a “Tan(x)”: Cos ( y).dy − Tan ( x ).dx = 0

Separando las variables: Cos( y).dy = Tan ( x ).dx

Agrupando las diferenciales: dy Tan ( x ) = dx Cos( y ) Reemplazando “Cos(y)” por el inverso de “Sec(y)”: dy = Sec( y ).Tan( x ) Verificado dx

NOTA: Generalmente los pasos seguidos en la resolución de la ecuación diferencial dan la pauta de los artificios requeridos para su verificación.

3.3

FACTORES Y DIVISORES DE INTEGRACIÓN:

Existen determinadas expresiones algébricas que al multiplicar o dividir a las ecuaciones diferenciales las simplifican pues facilitan la separación de variables y posibilitan su integración; tales factores o divisores se denominan factores o divisores de integración, de acuerdo al caso. Problema Resuelto 16*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( 4x + xy 2 )dx + ( y + x 2y )dy = 0 Solución: Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables: x( 4 + y 2 ) dx + y(1 + x 2 ) dy = 0 Dividiendo para el producto “(4+y2 ).(1+x2 )” constituido por las expresiones que impiden la integración directa de los 2 términos de la ecuación diferencial, que es el “divisor de integración”. El inverso de la expresión es el “factor de integración”. x ( 4 + y 2 ) dx + y(1 + x 2 ) dy (4 + y 2 ).(1 + x 2 ) x ( 4 + y 2 ) dx (4 + y 2 ).(1 + x 2 )

+

=0

y(1 + x 2 )dy ( 4 + y 2 ).(1 + x 2 )

=0

93

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Simplificando: x.dx 1+ x

+

2

y.dy 4 + y2

=0

Integrando:

∫

x.dx 1+ x

2

+∫

y.dy 4 + y2

=C

Ejecutando las integrales: 1 1 ln( 1 + x 2 ) + ln( 4 + y 2 ) = C 2 2

Multiplicando por “2”: ln( 1 + x 2 ) + ln( 4 + y 2 ) = 2C Reemplazando “2C” por el logaritmo natural de “k”: ln( 1 + x 2 ) + ln( 4 + y 2 ) = ln( k) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos:

{

}

ln (1 + x 2 ).( 4 + y 2 ) = ln( k ) Aplicando el antilogaritmo a ambos miembros: (1 + x 2 ).( 4 + y 2 ) = k Solución Donde: k:


Verificación: La solución es:

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(1 + x 2 ).( 4 + y 2 ) = k Obteniendo diferenciales de la expresión anterior: (1 + x 2 ).( 2 y).dy + ( 4 + y 2 ).( 2 x ).dx = 0 Simplificando: y(1 + x 2 ).dy + x ( 4 + y 2 ).dx = 0 Efectuando los productos: ( y + x 2 y ).dy + ( 4 x + xy 2 ).dx = 0 Reordenando: ( 4x + xy 2 )dx + ( y + x 2y )dy = 0 Verificado

Problema Resuelto 17*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 4x .dy − y .dx = x 2 .dy Solución: Agrupando las diferenciales: 4 x.dy − x 2 .dy = y.dx ( 4x − x 2 ).dy = y.dx Dividiendo para el producto “(4x-x2 ).y”, que es el “divisor de integración”: (4 x − x 2 ).dy ( 4x − x ).y 2

=

y.dx (4 x − x 2 ).y

Simplificando: dy dx = y 4x − x 2 dy dx = y x( 4 − x ) Descomponiendo el miembro derecho en fracciones parciales y reemplazando: 1 A B = + x( 4 − x ) x 4 − x Obteniendo denominador común en el miembro derecho: 1 A( 4 − x ) + B.x = x( 4 − x ) x( 4 − x ) Destruyendo paréntesis en el numerador:

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1 4 A − Ax + B.x = x( 4 − x ) x( 4 − x ) Agrupando: 1 x( B − A ) + 4 A = x( 4 − x ) x( 4 − x ) Convirtiendo al numerador de la fracción izquierda en un polinomio similar al del numerador derecho. 0.x + 1 ( B − A )x + 4 A = x( 4 − x ) x( 4 − x ) De donde, al igualar los polinomios de los numeradores de las 2 fracciones se tiene: B− A=0 4A = 1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: A= 1/ 4 B = 1/ 4 La fracción original es equivalente a: 1 1/ 4 1 / 4 = + x( 4 − x ) x 4−x

1 1 dx dx dy 4 = + 4 y x 4−x Multiplicando por “4”: 4.dy dx dx = + y x 4−x 4.dy dx dx = − y x x−4 Integrando:

∫

4.dy dx dx =∫ −∫ y x x−4

Ejecutando las integrales: 4. ln( y) = ln( x) − ln( x − 4) + C

Reemplazando “C” por el “ln(k)”: 4. ln( y) = ln( x) − ln( x − 4) + ln( k )

Agrupando los logaritmos:  k .x  4 ln( y ) = ln   x−4

Calculando los antilogaritmos:

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k .x Solución x−4

y4 =

Donde: k:


Problema Resuelto 18*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( 3x 2 y − xy )dx + ( 2x 3y 2 + x 3y 4 )dy = 0 Solución: Factorando la ecuación diferencial para facilitar la separación de variables: y(3x 2 − x )dx + x 3 ( 2 y 2 + y 4 )dy = 0 Dividiendo para el producto “x3 .y”, que es el “divisor de integración”: y (3x 2 − x) dx + x 3 ( 2y 2 + y 4 ) dy x 3 .y y (3x 2 − x) dx x 3 .y

+

x 3 (2 y 2 + y 4 ) dy x 3 .y

=0 =0

Simplificando: (3x 2 − x) dx x3 (3x − 1) dx

x

2

+

( 2 y 2 + y 4 )dy =0 y

+ ( 2y + y 3 )dy = 0

Separando los componentes de la integración y simplificando: 3x.dx x

2

−

dx x

2

+ 2y.dy + y 3 .dy = 0

97

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3dx − x − 2 .dx + 2 y.dy + y 3 .dy = 0 x

Integrando:

∫

3.dx − ∫ x − 2 .dx + ∫ 2 y.dy + ∫ y3 .dy = C x


3. ln( x ) −

x −1 2y 2 y 4 + + =C −1 2 4

Simplificando:

3. ln( x ) + x −1 + y 2 + 3. ln( x ) +

y4 =C 4

1 y4 + y2 + = C Solución x 4

Donde: C:


NOTA: Para graficar la solución podría resultar conveniente representarla como una ecuación de segundo grado en que la variable independiente es “y2 ”, que puede ser representada como una nueva variable “z”. Reordenando la expresión:

y4 1 + y 2 + 3.ln( x ) + = C 4 x 4 y 1 + y 2 + 3.ln( x ) + − C = 0 4 x Reemplazando la constante “-C” por una constante “k”: y4 1 + y 2 + 3.ln( x ) + + k = 0 4 x Agrupando el término independiente de “y2 ”: y4 1   + y 2 +  3.ln( x ) + + k  = 0 4 x   Multiplicando por “4”: 1   4 2 y + 4 y + 4. 3.ln( x ) + + k  = 0 x   Poniendo la expresión en función de “y2 ”: 1   2 2 2 y + 4 y + 4. 3.ln( x ) + + k  = 0 x   Para simplificar el procedimiento puede utilizarse la siguiente ecuación paramétrica:

[ ] [ ]

z = y2 y = ± z Ecuación paramétrica para graficación o Reemplazando la ecuación paramétrica en la expresión previa:

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1   2 z + 4 z + 4. 3.ln( x ) + + k  = 0 x   Resolviendo la ecuación de segundo grado para la variable “z” se tiene:

  1  − 4 ± 4 2 − 4( 1 )4. 3.ln( x ) + + k   x    z= 2( 1 ) Simplificando: 1   − 4 ± 16 − 16  3.ln( x ) + + k  x   z= 2   1  − 4 ± 16 1 −  3.ln( x ) + + k   x    z= 2 Extrayendo el “16” de la expresión radical: 1   − 4 ± 4 1 −  3. ln( x ) + + k  x   z= 2 1 − 4 ± 4 1 − 3.ln( x ) − − k x z= 2 Simplificando: 1 z = −2 ± 2 1 − 3.ln( x ) − − k x Reemplazando “z” en función de “y”: z = y2 y 2 = −2 ± 2 1 − 3. ln( x ) −

1 −k x

Despejando “y”:

1 −k x Para el valor negativo del radical interior no existen valores dentro del conjunto de los números reales por lo que la expresión para la graficación es: y = ± − 2 ± 2 1 − 3.ln( x ) −

y = ± − 2 + 2 1 − 3. ln( x ) −

1 − k Solución para graficación x

Un aspecto que es importante mencionar es que no siempre se podrá obtener con facilidad una representación gráfica de las funciones equivalentes a las ecuaciones diferenciales y condiciones de frontera planteadas.

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Problema Resuelto 19*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: x 2 ( y + 1).dx + y 2 ( x − 1).dy = 0 Solución: Dividiendo para “(y+1).(x-1)”, que son los factores que impiden la integración directa: x 2 ( y + 1).dx + y 2 ( x − 1).dy =0 ( y + 1).( x − 1) x 2 ( y + 1).dx y 2 ( x − 1).dy + =0 ( y + 1).( x − 1) ( y + 1).( x − 1)

Simplificando: x 2 .dx y 2 .dy + =0 x −1 y +1

Separando la parte entera (divisible) de la parte no divisible en las 2 fracciones: La determinación de la parte entera polinómica y la parte fraccionaria polinómica se puede realizar mediante una sencilla división, en la que el cociente es la parte entera y el residuo dividido para el divisor es la parte fraccionaria no divisible. d( x ) D( x ) .............. Q( x ) R( x )

D( x ) R( x ) = Q( x ) + d( x ) d( x )

100

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x2 1 = x +1+ x−1 x−1 x2

x−1

2

x+1

−x +x +x − x +1 +1

y2 1 = y− 1+ y+1 y+1

y2 − y2 − y −y + y +1 +1

y+1 y−1

Reemplazando las equivalencias se tiene:  1  1   .dy = 0  x +1 + .dx +  y − 1 + x −1 y + 1    Separando los componentes de la integración y simplificando: ( x + 1).dx +

dx dy + ( y − 1).dy + =0 x −1 y +1

Integrando: dx

dy

∫ ( x + 1).dx + ∫ x − 1 + ∫ ( y − 1).dy + ∫ y + 1 = C Ejecutando las integrales:

x2 y2 + x + ln( x − 1) + − y + ln( y + 1) = C Solución 2 2 Donde: C:


NOTA: Cuando es difícil o imposible despejar una de las variables, de modo que se pueda construir la representación gráfica de una función (como en la expresión anterior), la hoja electrónica se puede organizar de tal manera que por tanteos convergentes se llegue a una aproximación aceptable de evaluación (que la evaluación del miembro izquierdo sea muy parecida a la evaluación del miembro derecho).

101

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La tabla a través de la cual se pudo construir el gráfico anterior es:

Para cada valor de “x” se asignan diferentes valores de “y”, de modo que en las columnas “C”, “E” y “G” se evalúa el miembro izquierda de la ecuación y se procura que alcance un valor que se aproxime mucho a “200”, “500” y “1000”.

Problema Resuelto 20*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy 4y = dx x( y − 3) Solución: Separando las diferenciales: x( y − 3).dy = 4y.dx

Dividiendo para “x.y”, que son los factores que impiden la integración directa:

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x ( y − 3).dy 4 y.dx = x.y x.y Simplificando: ( y − 3).dy 4dx = y x Separando los componentes del miembro izquierdo: y.dy 3.dy 4dx − = y y x 3.dy 4dx dy − = y x Integrando:

∫ dy − ∫

3.dy 4dx =∫ y x

Ejecutando las integrales: y − 3. ln( y) = 4. ln( x ) + C

Reemplazando “C” por el “ln(k)”: y − 3. ln( y ) = 4. ln( x ) + ln( k)

El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: y − 3. ln( y ) = 4. ln( k .x ) Solución

Donde: k:


NOTA: La solución podría tener una expresión exponencial alternativa que eventualmente podría favorecer su representación gráfica. Introduciendo el valor “3” y el “4” como exponentes de las expresiones logarítmicas: y − ln( y 3 ) = ln( k .x ) 4 y − ln( y 3 ) = ln( k 4 .x 4 ) Reemplazando la constante por otra más simple: y − ln( y 3 ) = ln( k1 .x 4 ) Agrupando las expresiones logarítmicas: y = ln( y 3 ) + ln( k 1 .x 4 ) El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos: y = ln( k 1 .x 4 .y 3 ) La expresión exponencial equivalente es: e y = k 1 .x 4 . y 3 De esta expresión se podría despejar “x” y obtener una expresión de esa variable en función de “y”, lo que facilitaría la graficación.

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e

4

x =

y

k 1 .y 3 La expresión que se puede utilizar para crear gráficos sería:

x = ±4

ey

k 1 .y 3 Esta expresión tiene 2 soluciones dentro del campo de los reales (cuando el argumento del radical es positivo) y 2 soluciones en el campo de los números complejos (cuando el argumento es negativo).

Problema Resue lto 21*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: x .y.dx + (1 + x 2 ).dy = 0 Solución: Dividiendo para “y.(1+x2 )”, que son los factores que impiden la integración directa: x.y.dx + (1 + x 2 ).dy y.(1 + x 2 )

=0

Separando en 2 fracciones: x.y.dx y.(1 + x 2 )

+

(1 + x 2 ).dy y.(1 + x 2 )

=0

Simplificando: x.dx (1 + x ) 2

+

dy =0 y

Integrando:

104

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∫

x.dx (1 + x 2 )

+∫

dy =0 y

Ejecutando las integrales: 1 ln( 1 + x 2 ) + ln( y) = C 2

Multiplicando por “2” y simplificando: ln( 1 + x 2 ) + 2. ln( y) = 2C ln( 1 + x 2 ) + ln( y 2 ) = 2C Reemplazando “2C” por el “ln(k)”: ln( 1 + x 2 ) + ln( y 2 ) = ln( k ) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos:

(

)

ln y 2 .(1 + x 2 ) = ln( k) Aplicando antilogaritmos: y 2 .(1 + x 2 ) = k Solución Donde: k:


Problema Resuelto 22*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: Ctg ( θ).dρ + ρ.dθ = 0

Solución: Dividiendo para “ρ.Ctg(θ)”:

105

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Ctg( θ).dρ + ρ.dθ =0 ρ.Ctg (θ) Separando en 2 fracciones: Ctg( θ).dρ ρ.d θ + =0 ρ.Ctg (θ ) ρ.Ctg (θ ) Simplificando: dρ dθ + =0 ρ Ctg( θ) Pasando la función trigonométrica al numerador: dρ + Tan ( θ).dθ = 0 ρ Integrando:

∫

dρ + Tan (θ).dθ = C ρ ∫


ln( ρ) − ln [Cos (θ) ] = C Reemplazando “C” por el “ln(k)”:

ln( ρ) − ln [Cos( θ) ] = ln( k ) Pasando el logaritmo con signo negativo al miembro derecho:

ln( ρ) = ln( k ) + ln [Cos (θ) ] El logaritmo del producto es la suma de logaritmos:

ln( ρ) = ln [k.Cos(θ )] Aplicando antilogaritmos: ρ = k .Cos ( θ) Solución

Donde: k:


106

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3.4

CAMBIO DE VARIABLES:

Un artificio empleado con bastante frecuencia en ecuaciones diferenciales es el cambio de variables, que significa la introducción de una o varias nuevas variables en función de las variables ya existentes, lo que permite la eliminación de una o algunas de las variables primarias y la simplificación de la ecuación diferencial original. El tipo de expresiones que se utilizan en el cambio de variables depende de la forma general de las ecuaciones planteadas. Son usuales las nuevas variables que se obtienen a partir de operaciones básicas que afectan a las variables originales, a constantes específicas, o a las derivadas de las funciones involucradas en la ecuación diferencial. 3.4.1 Ecuaciones Diferenciales con Funciones Homogéneas: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con funciones homogéneas del mismo orden para las 2 diferenc iales, es conveniente introducir una nueva variable tal que una de las 2 variables iniciales sea igual a la nueva variable multiplicada por la otra variable inicial. Problema Resuelto 23: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x 2 + y 2 ).dx − 2xy.dy = 0 Solución: Debido a que las potencias o las sumas de potencias de todos los componentes dan “2” (“x2 ”, “y2 ”, “x.y”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “2”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La expresión para la sustitución de variables sería: y = v .x Ecuación de cambio de variable

La expresión diferencial correspondiente es:

107

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dy = v.dx + x.dv

Reemplazando en la ecuación diferencial original se tiene:

(x 2 + (v.x )2 ).dx − 2x (v.x ).(v.dx + x.dv) = 0

Resolviendo: x 2 .(1 + v 2 ).dx − 2 x 2 .v.( v.dx + x.dv) = 0 Factorando “x2 ”:

(

)

x 2 (1 + v 2 ).dx − 2v.( v.dx + x.dv) = 0 Simplificando: (1 + v 2 ).dx − 2v.( v.dx + x.dv) = 0 Agrupando las diferenciales: (1 + v 2 ).dx − 2v 2 .dx − 2v.x.dv = 0 (1 − v 2 ).dx − 2 v.x.dv = 0 Dividiendo para el divisor de integración se tiene: (1 − v 2 ).dx − 2v.x.dv (1 − v 2 ).x

=0

Simplificando: (1 − v 2 ).dx

−

2v.x.dv

(1 − v 2 ).x (1 − v 2 ).x dx 2v.dv − =0 x (1 − v 2 )

=0

Integrando ambos miembros: dx 2 v.dv −∫ =C x (1 − v 2 ) dx − 2 v.dv =C ∫ x +∫ (1 − v 2 )

∫

Ejecutando las integrales, que son del tipo logarítmico: ln( x ) + ln( 1 − v 2 ) = C Reemplazando la constante “C” por “ln(k)”: ln( x ) + ln( 1 − v 2 ) = ln( k) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos:

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{

}

ln x.(1 − v 2 ) = ln( k ) Calculando el antilogaritmo: x .(1 − v 2 ) = k Solución intermedia Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v=

y x

  y  2  x .1 −    = k Solución   x  

Donde: k:


Para la representación gráfica es preferible utilizar la expresión en que “y” aparece despejada:

y = ± x 2 − k .x

NOTA 1: Debido a la forma general de la ecuación diferencial original, que tiene factores “x2 +y2 ” y “x.y”, la “Ecuación de Cambio de Variable ” podría ser indistintamente “y=v.x” o “x=v.y”. NOTA 2: Generalizando, las ecuaciones con funciones homogéneas en “x” y “y” pueden ser resueltas mediante cambios de variable de la forma “y=v.x” o “x=v.y”.

Problema Resuelto 24*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x 3 + y 3 ).dx + 3x.y 2 .dy = 0

109

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Solución: Debido a que las potencias o las sumas de potencias de todos los componentes dan “3” (“x3 ”, “y3 ”, “x.y2 ”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “3”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La expresión para la sustitución de variables sería: y = v .x Ecuación de cambio de variable

La expresión diferencial correspondiente es: dy = v.dx + x.dv

Reemplazando “y” y “dy” en la ecuación diferencial original se tiene:

(x 3 + (v.x )3 ).dx + 3x.(v.x ) 2 .(v.dx + x.dv) = 0

Resolviendo: x 3 .dx + v 3 .x 3 .dx + 3v 2 .x 3.( v.dx + x.dv) = 0 x 3 .dx + v 3 .x 3.dx + 3v 3 .x 3.dx + 3v 2 .x 4 .dv = 0

Factorando “x3 ”: x 3 ( dx + v 3 .dx + 3v3 .dx + 3v 2 .x.dv ) = 0 Simplificando: dx + v 3 .dx + 3v3 .dx + 3v 2 .x.dv = 0 dx + 4 v3 .dx + 3v 2 .x.dv = 0

Agrupando de acuerdo a las diferenciales: ( dx + 4v 3 .dx ) + 3v 2 .x.dv = 0 (1 + 4 v3 ).dx + 3v 2 .x.dv = 0 Dividiendo para el divisor de integración se tiene: (1 + 4 v 3 ).dx + 3v 2 .x.dv (1 + 4v 3 ).x

=0

Simplificando: (1 + 4v 3 ).dx (1 + 4 v 3 ).x

+

3v 2 .x.dv (1 + 4 v 3 ).x

=0

dx 3v 2 .dv + =0 x (1 + 4v 3 )


110

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dx 3v 2 .dv + =C ∫x ∫ (1 + 4 v3 )

Ejecutando las integrales: 1 ln( x ) + ln( 1 + 4 v 3 ) = C 4

Multiplicando por “4”: 4 ln( x ) + ln( 1 + 4v 3 ) = 4C Introduciendo el número “4” en la expresión logarítmica: ln( x 4 ) + ln( 1 + 4v 3 ) = 4C Reemplazando la constante “4C” por “ln(k)”: ln( x 4 ) + ln( 1 + 4v 3 ) = ln( k ) Agrupando logaritmos:

(

)

ln x 4 .(1 + 4v 3 ) = ln( k ) Aplicando antilogaritmos: x 4 .(1 + 4 v 3 ) = k Solución intermedia Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: y x 3   y   4  x . 1 + 4  = k  x    v=

Destruyendo los signos de agrupación: 3

y x 4 + 4x 4 .  = k x x4 +

4 x 4 .y 3 x3

=k

Simplificando: x 4 + 4 x.y 3 = k Solución Donde: k:


111

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Problema Resuelto 25*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: x .dy − y .dx − x 2 − y 2 .dx = 0 Solución: Debido a que las potencias simplificadas de todos los componentes dan “1” (“x”, “y”, “ x 2 + y 2 ”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “1”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La expresión para la sustitución de variables sería: y = v .x Ecuación de cambio de variable


Reemplazando “y” y “dy” en la ecuación diferencial original se tiene: x.( v.dx + x.dv) − ( v.x ).dx − x 2 − ( v.x) 2 .dx = 0 Resolviendo: x.v.dx + x 2 .dv − v.x.dx − x 2 (1 − v 2 ) .dx = 0 x 2 .dv − x. 1 − v 2 .dx = 0

Factorando “x”:

x. x.dv − 1 − v 2 .dx  = 0   Simplificando:

112

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x.dv − 1 − v 2 .dx = 0

Dividiendo para el divisor de integración se tiene:

x.dv − 1 − v 2 .dx x. 1 − v

2

=0

Simplificando:

x.dv

−

1 − v 2 .dx

x. 1 − v x. 1 − v dv dx − =0 x 1 − v2 2

2

=0


∫

dv 1− v2

−∫

dx =0 x

Ejecutando las integrales: Sen − 1 ( v) − ln( x ) = C Reemplazando la constante “C” por “ln(k)”: Sen − 1( v ) − ln( x ) = ln( k ) Agrupando logaritmos: Sen − 1( v ) = ln( x ) + ln( k ) El logaritmo del producto es la suma de logaritmos: Sen− 1 ( v ) = ln( k .x) Solución intermedia Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v=

y x

−1  y  Sen   = ln( k .x ) Solución x

Donde: k:


NOTA: Para representar gr áficamente a la función se necesita calcular el Seno de las 2 expresiones.   y  Sen Sen −1    = Sen{ln( k.x )}  x  

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Simplificando: y = Sen{ln( k.x)} x y = x.Sen{ln( k .x)} Solución para graficación

Problema Resuelto 26*: Resolver la siguiente ecuación diferencia l: ( 2x + 3y ).dx + ( y − x ).dy = 0

Solución: Debido a que las potencias de todos los componentes dan “1” (“2x”, “3y”, “y”, “-x”), la ecuación está conformada por funciones homogéneas de grado “1”, por lo que puede ser resuelta mediante sustitución de variables. La expresión para la sustitución de variables sería: y = v .x Ecuación de cambio de variable


Reemplazando “y” y “dy” en la ecuación diferencial original se tiene: ( 2x + 3v.x ).dx + ( v.x − x ).( v.dx + x.dv ) = 0

Agrupando las expresiones con el mismo diferencial: ( 2x + 3v.x ).dx + ( v.x − x ).v.dx + ( v.x − x ).x.dv = 0

( 2x + 3v.x ).dx + ( v 2 .x − v.x ).dx + x 2 ( v − 1).dv = 0 ( 2x + 3v.x + v 2 .x − v.x ).dx + x 2 ( v − 1).dv = 0 Simplificando:

114

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( 2x + 2 v.x + v 2 .x).dx + x 2 ( v − 1).dv = 0 x.(2 + 2v + v 2 ).dx + x 2 ( v − 1).dv = 0 Dividiendo para el divisor de integración: x.( 2 + 2 v + v 2 ).dx + x 2 ( v − 1).dv ( 2 + 2 v + v 2 ).x 2

=0

Separando en 2 fracciones: x.( 2 + 2v + v 2 ).dx (2 + 2v + v 2 ).x 2

+

x 2 ( v − 1).dv ( 2 + 2 v + v 2 ).x 2

=0

Simplificando: dx ( v − 1).dv + =0 x 2 + 2v + v2

Completando en el numerador de la segunda fracción la mitad de la derivada del denominador: dx ( v + 1 − 2).dv + =0 x 2 + 2v + v2

Separando la segunda fracción en 2: dx ( v + 1).dv 2dv + − =0 2 x 2 + 2v + v 2 + 2v + v 2 dx 1 (2 v + 2).dv 2dv + . − =0 x 2 2 + 2 v + v 2 2 + 2v + v 2

Integrando:

∫

dx 1 ( 2v + 2).dv 2dv + .∫ −∫ =C x 2 2 + 2v + v 2 2 + 2v + v 2

Ejecutando las integrales: 1 2dv ln( x ) + . ln( 2 + 2v + v 2 ) − ∫ =C 2 2 + 2v + v 2

Agrupando el denominador en un trinomio cuadrado perfecto: 1 dv ln( x ) + . ln( 2 + 2v + v 2 ) − 2∫ =C 2 ( v 2 + 2 v + 1) + 1 1 dv ln( x ) + . ln( 2 + 2v + v 2 ) − 2∫ =C 2 ( v + 1) 2 + 1 1 ln( x ) + . ln( 2 + 2v + v 2 ) − 2Tan −1 ( v + 1) = C 2

Multiplicando por 2:

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2. ln( x) + ln( 2 + 2 v + v 2 ) − 4Tan −1 ( v + 1) = 2C Reemplazando “2C” por “k”: ln( x 2 ) + ln( 2 + 2v + v 2 ) − 4Tan −1 ( v + 1) = k La suma de logaritmos es el logaritmo del producto:

{

}

ln x 2 .( 2 + 2 v + v 2 ) − 4Tan − 1 ( v + 1) = k Solución intermedia Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v=

y x

2     y   y    2 −1  y ln  x . 2 + 2  +     − 4Tan  + 1 = k  x   x    x    

Simplificando:  y y 2  y  ln 2 x 2 + 2x 2 ⋅ + x 2 ⋅ − 4Tan −1  + 1 = k  x x   x 2   2 2 −1  y ln 2x + 2x.y + y − 4Tan  + 1 = k Solución x 

{

}

3.4.2 Ecuaciones Diferenciales con Relaciones Expresas entre las Variables: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con relaciones expresas ent re las variables puede ser conveniente introducir una nueva variable tal que refleje esas relaciones expresas. Problema Resuelto 27*: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

[1 + 2e

( x / y)

].dx + 2e

(x / y )

 x . 1 −  .dy = 0 y 

Solución: Debido a la presencia de expresiones de la forma “x/y”, la relación para la sustitución de variables es directamente identificable: v=

x y

o

x = v.y Ecuación de cambio de variable

La expresión diferencial correspondiente es: dx = v.dy + y.dv

Reemplaza ndo “x” y “dx”en la ecuación diferencial original se tiene:

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TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador  v.y   v. y      v .y y  y    (1 + 2e ).( v.dy + y.dv ) + 2e (1 − ).dy = 0

y

Simplificando: (1 + 2e v ).( v.dy + y.dv) + 2e v (1 − v).dy = 0 v.dy + y.dv + 2e v .v.dy + 2e v .y.dv + 2e v .dy − 2e v .v.dy = 0 v.dy + y.dv + 2e v .y.dv + 2e v .dy = 0 Agrupando diferenciales: ( v.dy + 2e v .dy ) + ( y.dv + 2e v .y.dv) = 0 Factorando: ( v + 2e v ).dy + ( y + 2e v .y ).dv = 0 ( v + 2e v ).dy + y.(1 + 2e v ).dv = 0 Simplificando mediante el divisor de integración: ( v + 2e v ).dy + y.(1 + 2e v ).dv ( v + 2e v ).y

=0

Separando en 2 fracciones: ( v + 2e v ).dy ( v + 2e v ). y

+

y.(1 + 2e v ).dv ( v + 2e v ).y

=0

Simplificando:

dy (1 + 2e v ).dv + =0 y v + 2e v Integrando:

dy (1 + 2e v ).dv + =0 ∫y ∫ v + 2e v Ejecutando las integrales: ln( y) + ln( v + 2e v ) = C Reemplazando “C” por el logaritmo natural de “k”: ln( y) + ln( v + 2e v ) = ln( k) la suma de logaritmos es el logaritmo del producto:

(

)

ln y.( v + 2e v ) = ln( k ) Aplicando antilogaritmos:

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y.( v + 2e v ) = k Destruyendo el paréntesis: y . v + 2y .e v = k Solución intermedia Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v= y.

x y

x + 2y.e ( x / y) = k y

Simplificando: x + 2 y.e ( x / y ) = k Solución

La información en la hoja electrónica que permite generar la familia de curvas se obtiene asignando valores a “x” y buscando mediante “prueba y error” los valores de “y” que permiten cumplir con la “función primitiva”.

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Problema Resuelto 28*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: (1 − xy + x 2 y 2 ) ⋅ dx + ( x 3 y − x 2 ) ⋅ dy = 0 Solución: La ecuación de cambio de variable es: v = x.y Ecuación de cambio de variable

Equivalente a: y=

v x

La expresión diferencial correspondiente es: dy =

x.dv − v.dx x2

Reemplazando “y” y “dy”: 2   3 v  v 2 v   2   x.dv − v.dx   = 0 1 − x + x      ⋅ dx + x   − x  ⋅   x  x    x    x2 

Simplificando:  x.dv − v.dx  (1 − v + v 2 ) ⋅ dx + ( x 2 .v − x 2 ) ⋅   = 0  x2   x.dv − v.dx  (1 − v + v 2 ) ⋅ dx + x 2 ( v − 1) ⋅   = 0  x2  (1 − v + v 2 ) ⋅ dx + ( v − 1) ⋅ ( x.dv − v.dx ) = 0 Destruyendo paréntesis: ( dx − v.dx + v 2 .dx ) + ( x.v.dv − v 2 .dx − x.dv + v.dx ) = 0 Agrupando diferenciales: ( dx − v.dx + v 2 .dx − v 2 .dx + v.dx ) + ( x.v.dv − x.dv ) = 0 Simplificando: ( dx ) + ( v − 1).x.dv = 0

Dividiendo para “x” que es el divisor de integración: dx + ( v − 1).x.dv =0 x

Separando en 2 fracciones y simplificando:

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dx ( v − 1).x.dv + =0 x x dx + ( v − 1).dv = 0 x

Integrando:

∫

dx + ∫ ( v − 1).dv = C x


v2 ln( x) + − v = C Solución intermedia 2 Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v = x .y

ln( x) +

x 2 .y 2 − ( x .y ) = C Solución 2

Problema Resuelto 29*: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

dy = (x − y )2 dx Solución: Separando las diferenciales de la ecuación se tiene: dy = ( x − y) 2 .dx Las exp resiones que aparecen en la ecuación diferencial sugieren la siguiente transformación:

120

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v = x − y Ecuación de cambio de variable

Equivalente a: x = y+ v La expresión diferencial correspondiente es: dx = dy + dv

Reemplazando “x” y “dx” y simplificando: dy = [( y + v) − y ]2 .( dy + dv) dy = ( y + v − y )2 .( dy + dv) dy = v 2 .( dy + dv) Destruyendo el paréntesis: dy = v 2 .dy + v 2 .dv Agrupando diferenciales: dy − v 2 .dy = v 2 .dv (1 − v 2 ).dy = v 2 .dv Separando variables:

dy =

v2 1 − v2

.dv

Separando la parte entera de la parte no divisible de la fracción:

v2 1− v2 v2

=− =−

v2 v2 −1 ( v2 − 1)+ 1

1− v2 v2 −1 Separando en 2 fracciones: v2 1− v v2

=−

( v2 −1)

−

1

v −1 v −1 1 = −1 − 1− v2 v2 − 1 2

2

2

Reemplazando en la expresión diferencial anterior:

dy =

v2

.dv 1 − v2  1  .dv dy =  − 1 − 2  v − 1

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Factorando el denominador de la fracción:   1 dy =  − 1 − .dv ( v + 1).( v − 1)   Descomponiendo en Fracciones Parciales la expresión fraccionaria: −1 A B = + ( v + 1 ).( v − 1 ) v + 1 v − 1

Obteniendo denominador común en el miembro derecho: −1 A.( v − 1 ) + B .( v + 1 ) = ( v + 1 ).( v − 1 ) ( v + 1 ).( v − 1 )

Destruyendo paréntesis en el numerador derecho: −1 A.v − A + B.v + B = ( v + 1 ).( v − 1 ) ( v + 1 ).( v − 1 ) Agrupando: −1 ( A + B ).v + ( B − A ) = ( v + 1 ).( v − 1 ) ( v + 1 ).( v − 1 ) Al igualar los polinomios de las 2 fracciones se tiene el siguiente par de ecuaciones: A+ B = 0 B − A = −1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: A = 1/ 2 B = −1 / 2 La fracción original es equivalente a: −1 1/ 2 −1 / 2 = + ( v + 1 ).( v − 1 ) v + 1 v − 1 Reemplazando en la expresión diferencial: 1/ 2 1/ 2   dy =  − 1 + − .dv v +1 v −1 

Separando componentes: 1/ 2 1/ 2 .dv − .dv v +1 v −1 1 dv 1 dv dy = −dv + ⋅ − ⋅ 2 v +1 2 v −1 dy = −dv +

Integrando: 1

dv

1

dv

∫ dy = − ∫ dv + 2 ∫ v + 1 − 2 ∫ v − 1 Ejecutando las integrales:

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y = −v +

1 1 ln( v + 1) − ln( v − 1) + C Solución intermedia 2 2

Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v=x−y 1 1 y = −( x − y ) + ln( x − y + 1) − ln( x − y − 1) + C Solución 2 2

3.4.3 Ecuaciones Diferenciales con Funciones Linealmente Dependientes: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con dependencia lineal entre las expresiones que involucran a las variables que afectan a las diferenciales, es apropiado reemplazar una de esas relaciones lineales por una nueva variable. Problema Resuelto 30*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x + y ).dx + ( 3x + 3y − 4 ).dy = 0

Solución: Las expresiones “x+y” y “3x+3y” (el segundo polinomio en función de las variables es un múltiplo del primero por lo que son linealmente dependientes) dejan traslucir la conveniencia de un cambio de variable del tipo:

v = x+ y

o

y = v − x Ecuación de cambio de variable

La expresión diferencial correspondiente es: dy = dv − dx

Reemplazando “y” y “dy” en la ecuación diferencial original se tiene:

( x + v − x ).dx + [3x + 3( v − x ) − 4].( dv − dx ) = 0 Simplificando:

v.dx + (3x + 3v − 3x − 4 ).( dv − dx ) = 0 v.dx + (3v − 4 ).( dv − dx) = 0 Reagrupando:

( v − 3v + 4).dx + (3v − 4 ).dv = 0 ( 4 − 2 v).dx + (3v − 4).dv = 0 Separando variables y diferenciales de esas variables:

( 4 − 2v ).dx = (4 − 3v ).dv Factorando el miembro izquierdo:

2( 2 − v ).dx = (4 − 3v ).dv Trasladando las expresiones en “v” al miembro derecho:

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 4 − 3v  2.dx =  .dv  2−v 

Separando la parte entera de la parte fraccionaria:  ( 6 − 3v) − 2  2.dx =  .dv 2−v   6 − 3v 2 2.dx = .dv − .dv 2−v 2−v 2 2.dx = 3.dv − .dv 2−v

Integrando: 2

∫ 2.dx = ∫ 3.dv − ∫ 2 − v .dv

2 x = 3v + 2 ln( 2 − v) + C

Reemplazando “C” por el logaritmo natural de “k”: 2 x = 3v + ln( 2 − v ) 2 + ln( k ) Agrupando logaritmos:

{

}

2 x = 3 v + ln k .( 2 − v ) 2 Solución intermedia Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v=x+y

{ } 2 x = 3x + 3y + ln {k.( 2 − x − y) 2 } 2 x = 3( x + y ) + ln k.( 2 − x − y ) 2

Pasando todas las expresiones al miembro izquierdo y cambiando de signo:

{ } x + 3 y + ln{k .( 2 − x − y ) 2 } = 0 Solución

3x + 3 y + ln k.(2 − x − y) 2 − 2x = 0

NOTA: Para la utilización del artificio propuesto se han comparado exclusivamente las partes que contienen las variables, dentro de los polinomios que multiplican a las diferenciales; se han ignorado los términos independientes.

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NOTA: La representación gráfica de la solución no es directa sino que requiere la evaluación de la función para algunos valores de la variable independiente “x”, a partir de lo cual se estima el valor aproximado de la variable dependiente “y” que le corresponda.

Problema Resuelto 31: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x + y − 1).dx + ( 2 x + 2 y ).dy = 0

Solución: Las expresiones “x+y” y “2x+2y”, donde la segunda expresión es múltiplo de la primera, determinan la siguiente transformación:

v = x+ y

o

y = v − x Ecuación de cambio de variable

Las diferenciales correspondientes son: dy = dv − dx

Reemplazando en la ecuación diferencial las equivalencias de “y” y “dy”, en función de la nueva variable “v”, se tiene:

{x + (v − x) − 1}.dx + {2 x + 2(v − x )}.( dv − dx ) = 0 Simplificando y agrupando las diferenciales:

{x + v − x − 1}.dx + {2 x + 2v − 2x}.(dv − dx ) = 0 Simplificando: ( v − 1).dx + 2 v.( dv − dx) = 0 v.dx − dx + 2 v.dv − 2v.dx = 0 − v.dx − dx + 2v.dv = 0

Agrupando: − ( v + 1).dx + 2 v.dv = 0

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Separando las diferenciales: 2 v.dv = ( v + 1).dx

Separando las variables: 2v .dv = dx v +1

Integrando ambos miembros: 2v

∫ v + 1 .dv = ∫ dx Reemplazando la fracción de la integral izquierda por su equivalente: 

2 

∫  2 − v + 1 .dv = ∫ dx Ejecutando las integrales: 2 v − 2. ln( v + 1) = x + C

Trasladando “x” al miembro izquierdo: 2 v − 2. ln( v + 1) − x = C 2 v − 2. ln( v + 1) − x = C Solución intermedia

Reemplazando “v” en función de “x” y “y”: v=x+y 2( x + y) − 2. ln( x + y + 1) − x = C

Simplificando: 2 x + 2 y − 2. ln( x + y + 1) − x = C x + 2 y − 2. ln( x + y + 1) = C Solución

126

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3.4.4 Ecuacione s Diferenciales con Funciones Lineales Independientes no Homogéneas: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales con funciones lineales independientes no homogéneas es conveniente encontrar transformaciones lineales de las variables de modo que se pueda obtener una Ecuación Diferencial Equivalente con Funciones Homogéneas. Posteriormente se resuelve la ecuación como se describió en el numeral anterior. Es importante asegurarse que las expresiones de las variables (no se toman en consideración los términos independientes) que acompañan a las 2 diferenciales no sean linealmente dependientes como en los problemas inmediatamente anteriores. Problema Resuelto 32: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x + y − 5 ).dx + ( 2x − 4y + 2 ).dy = 0

Solución: Debido a que los factores que multiplican a las diferenciales no son proporcionales en la parte que corresponde a las variables, no es posible aplicar el artificio anterior. Por tener una ecuación lineal no homogénea es necesario transformarla en una ecuación lineal homogénea. Para encontrar las expresiones que permitan la simplificación de la ecuación diferencial se deben resolver como simultáneas las expresiones que multiplican a las diferenciales, igualadas a cero: x + y −5 = 0 2x − 4y + 2 = 0

La solución al sistema de ecuaciones es:

x=3 y=2 Las variables “x” y “y” deben ser reemplazadas por nuevas variables “s ” y “t”, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas que toman en consideración los valores solución del sistema de ecuaciones:

s= x−3 t =y−2

o o

x = s + 3 Ecuación 1 de cambio de variable y = t + 2 Ecuación 2 de cambio de variable

Las diferenciales correspondientes son:

dx = ds dy = dt Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación diferencial se tiene:

{(s + 3) + (t + 2) − 5}.ds + {2(s + 3) − 4(t + 2) + 2}.dt = 0 Simplificando:

{s + 3 + t + 2 − 5}.ds + {2s + 6 − 4 t − 8 + 2}.dt = 0 {s + t}.ds + {2s − 4t}.dt = 0 Ecuación diferencial intermedia 1

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La nueva ecuación es lineal homogénea. La resolución del sistema de ecuaciones simultáneas, basada en los factores que afectan a las diferenciales “dx” y “dy”, es equivalente a la búsqueda de un nuevo centro de coordenadas que coincide con la intersección de las 2 rectas, por lo que luego de realizar la traslación de ejes al utilizar las nuevas variables, definidas por esa coordenada de intersección, los factores que afectan a las diferenciales carecen de términos independientes, pues las rectas que representan esos factores pasan por el nuevo eje de coordenadas.

Se requiere de un segundo cambio de variable del siguiente tipo: t = v .s

o

v=

t Ecuación 3 de cambio de variable s


dt = v.ds + s.dv Reemplazando “t” y “dt”:

{s + v.s}.ds + {2s − 4 v.s}.( v.ds + s.dv) = 0 Dividiendo para “s”: (1 + v ).ds + (2 − 4 v).( v.ds + s.dv) = 0

Simplificando: ( ds + v.ds ) + ( 2 v.ds + 2s.dv − 4v 2 .ds − 4 v.s.dv ) = 0 Destruyendo signos de agrupación: ds + v.ds + 2v.ds + 2s.dv − 4v 2 .ds − 4 v.s.dv = 0

Agrupando diferenciales:

128

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( ds + v.ds + 2 v.ds − 4v 2 .ds) + (2s.dv − 4 v.s.dv ) = 0 (1 + v + 2v − 4v 2 ).ds + ( 2s − 4 v.s ).dv = 0 Simplificando: (1 + 3v − 4 v 2 ).ds + s ( 2 − 4v ).dv = 0 Factorando: (1 + 4 v)(1 − v ).ds + s ( 2 − 4v).dv = 0

Dividiendo para “s.(1+4v).(1-v)” que es el divisor de integración: (1 + 4 v)(1 − v ).ds + s ( 2 − 4v).dv =0 s.(1 + 4v).(1 − v) Separando en 2 fracciones y simplificando: (1 + 4 v)(1 − v ).ds s ( 2 − 4v).dv + =0 s.(1 + 4v ).(1 − v) s.(1 + 4v ).(1 − v) ds ( 2 − 4v ).dv + = 0 Ecuación diferencial intermedia 2 s (1 + 4 v ).(1 − v ) Descomponiendo la segunda fracción en fracciones parciales y reemplazando: 2 − 4v A B = + ( 1 + 4 v ).( 1 − v ) 1 + 4 v 1 − v Obteniendo denominador común en el miembro derecho: 2 − 4v A.( 1 − v ) + B.( 1 + 4v ) = ( 1 + 4 v ).( 1 − v ) ( 1 + 4v ).( 1 − v ) Destruyendo paréntesis en el numerador: 2 − 4v A − A.v + B + 4 B .v = ( 1 + 4 v ).( 1 − v ) ( 1 + 4v ).( 1 − v ) Agrupando: 2 − 4v ( A + B ) + ( 4 B − A ).v = ( 1 + 4 v ).( 1 − v ) ( 1 + 4 v ).( 1 − v )

De donde, al igualar los polinomios de las 2 fracciones se tiene: A+ B = 2 4 B − A = −4 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene: A = −2 / 5 B = 12 / 5 La fracción original es equivalente a: 2 − 4v − 2 / 5 12 / 5 = + ( 1 + 4 v ).( 1 − v ) 1 + 4 v 1 − v Reemplazando en la Ecuación Diferencial Intermedia 2 se tiene:

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ds (−2 / 5).dv (12 / 5).dv + + =0 s 1 + 4v 1− v ds 2 dv 12 dv − ⋅ + ⋅ =0 s 5 1 + 4v 5 1− v

Integrando:

∫

ds 2 dv 12 dv − ⋅∫ + ⋅∫ =0 s 5 1 + 4v 5 1 − v

Ejecutando las integrales: ln( s ) −

1 12 ln( 1 + 4 v ) − ln( 1 − v ) + C = 0 Solución intermedia 1 10 5

Reemplazando la tercera ecuación de cambio de variable: v=

t s

ln( s ) −

1  4t  12  t ln  1 +  − ln 1 −  + C = 0 Solución intermedia 2 10  s  5  s

Reemplazando las 2 primeras ecuaciones de cambio de variable:

s = x −3 t = y−2 ln( x − 3) −

1  4( y − 2)  12  y− 2 ln 1 +  − ln 1 −  + C = 0 Solución 10  x−3  5  x− 3

Problema Resuelto 33*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x − y − 1).dx + ( 4y + x − 1).dy = 0

Solución: La ecuación es lineal no homogénea y requiere ser transformada en una ecuación lineal homogénea. El sistema de ecuaciones simultáneas que permite esa simplificación es: x − y −1= 0 4y + x −1 = 0

La solución al sistema de ecuaciones es: x=1 y=0

Las variables “x” y “y” deben ser reemplazadas por nuevas variables “s ” y “t”, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

s = x −1

o

x = s + 1 Ecuación 1 de cambio de variable

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t=y

o

y=t

Ecuación 2 de cambio de variable


dx = ds dy = dt Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación diferencial se tiene:

{(s + 1) − (t) − 1}.ds + {4(t) + (s + 1) − 1}.dt = 0 Simplificando:

{s + 1 − t − 1}.ds + {4 t + s + 1 − 1}.dt = 0 (s − t ) ⋅ ds + ( 4t + s ) ⋅ dt = 0 Ecuación diferencial intermedia 1

La nueva ecuación es lineal homogénea. Se requiere de un segundo cambio de variable del siguiente tipo: t = v .s

o

v=



dt = v.ds + s.dv Reemplazando “t” y “dt”:

{s − (v ⋅ s)}⋅ ds + {4(v ⋅ s ) + s}⋅ (v ⋅ ds + s ⋅ dv) = 0 Dividiendo para “s”: (1 − v) ⋅ ds + ( 4v + 1) ⋅ ( v ⋅ ds + s ⋅ dv) = 0

Simplificando y destruyendo signos de agrupación: ( ds − v.ds ) + ( 4v 2 .ds + 4v.s.dv + v.ds + s.dv) = 0 ds − v.ds + 4 v 2 .ds + 4 v.s.dv + v.ds + s.dv = 0

Agrupando diferenciales: ( ds − v.ds + 4v 2 .ds + v.ds) + (4 v.s.dv + s.dv) = 0 (1 − v + 4v 2 + v).ds + ( 4v.s + s).dv = 0 (1 + 4 v 2 ).ds + ( 4 v.s + s ).dv = 0 Factorando: (1 + 4 v 2 ).ds + s.( 4v + 1).dv = 0 Dividiendo para “s.(1+4v2 )” que es el divisor de integración: (1 + 4v 2 ).ds + s.(4 v + 1).dv s.(1 + 4 v 2 )

=0

Separando en 2 fracciones y simplificando:

131

I-2005


(1 + 4v 2 ).ds

+

s.( 4 v + 1).dv

s.(1 + 4 v 2 ) s.(1 + 4 v 2 ) ds (4 v + 1).dv + =0 s 1 + 4v2

=0

ds 4v .dv dv + + = 0 Ecuación diferencial intermedia 2 s 1 + 4v 2 1 + 4v2 Integrando:

∫

ds 4 v.dv dv +∫ +∫ =0 2 s 1 + 4v 1 + 4v2


ln( s ) +

1 ln( 1 + 4v 2 ) + Tan − 1 ( 2.v ) + C = 0 Solución intermedia 1 2

Reemplazando la tercera ecuación de cambio de variable: v=

t s

ln( s ) +

1  4t 2   2t  ln 1 + + Tan − 1   + C = 0 Solución intermedia 2 2   s  s 2 

Reemplazando las 2 primeras ecuaciones de cambio de variable:

s = x −1 t=y ln( x − 1) +

1  4y 2 ln 1 + 2  ( x − 1) 2

  + Tan −1  2 y  + C = 0 Solución   x − 1 

NOTA: Para enfrentar la resolución de nuevas formas de ecuaciones diferenciales se busca una aproximación a esquemas cuya solución ya se conoce, a través de manejos algébricos. El cambio de variables es uno de los mecanismos más apropiados para lograr esa aproximación.

3.4.5 Ecuaciones Diferenciales No Convencionales: Cuando se dispone de ecuaciones diferenciales no convencionales es apropiado realizar reemplazos por nuevas variables que conduzcan a la simplificación de la ecuación diferencial, y permitan su aproximación hacia las formas convencionales. Problema Resuelto 34*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( 2x 2 + 3y 2 − 7 ).x.dx − ( 3x 2 + 2y 2 − 8 ).y .dy = 0

132

I-2005


Solución: Por la forma de las expresiones y de sus diferenciales es conveniente realizar los siguientes reemplazos de variables: u = x 2 Ecuación 1 de cambio de variable

v = y 2 Ecuación 2 de cambio de variable Las diferenciales correspondientes son:

du = 2 x.dx dv = 2 y.dy Reemplazando “x” y “y”, “dx” y “dy” en la ecuación diferencial: ( 2u + 3v − 7).

du dv − ( 3u + 2 v − 8). =0 2 2

Multiplicando por “2”: ( 2u + 3v − 7 ).du − ( 3u + 2 v − 8).dv = 0 Ecuación diferencial intermedia 1

La ecuación es lineal no homogénea y requiere ser transformada en una ecuación lineal homogénea mediante otro cambio de variables. El sistema de ecuaciones simultáneas que permite esa simplificación es:

2 u + 3v − 7 = 0 3u + 2v − 8 = 0 La solución al sistema de ecuaciones es:

u=2 v =1 Las variables “u” y “v” deben ser reemplazadas por nuevas variables “s” y “t”, mediante las siguientes ecuaciones paramétricas:

s= u−2 t = v −1

o o

u = s + 2 Ecuación 3 de cambio de variable v = t + 1 Ecuación 4 de cambio de variable


du = ds dv = dt Reemplazando las expresiones anteriores en la ecuación diferencial intermedia 1 se tiene:

{2(s + 2) + 3(t + 1) − 7}.ds − {3(s + 2) + 2(t + 1) − 8}.dt = 0 Simplificando:

{2s + 4 + 3t + 3 − 7}.ds − {3s + 6 + 2t + 2 − 8}.dt = 0 {2s + 3t}.ds − {3s + 2t}.dt = 0 Ecuación diferencial intermedia 2 La nueva ecuación es lineal homogénea. Se requiere de un nuevo cambio de variables del siguiente tipo:

133

I-2005


t = w .s

o

w=



dt = w.ds + s.dw Reemplazando “t” y “dt”:

{2s + 3(w.s)}.ds − {3s + 2(w.s )}.( w.ds + s.dw) = 0 ( 2s + 3w .s).ds − (3s + 2 w.s ).( w .ds + s.dw ) = 0 s( 2 + 3w ).ds − s( 3 + 2 w ).( w.ds + s.dw ) = 0

Dividiendo para “s”: ( 2 + 3w ).ds − (3 + 2w ).( w .ds + s.dw ) = 0

Simplificando y destruyendo signos de agrupación: ( 2ds + 3w.ds ) − (3w.ds + 3s.dw + 2 w 2 .ds + 2s.w.dw ) = 0 2ds + 3w .ds − 3w .ds − 3s.dw − 2w 2 .ds − 2s.w .dw = 0

Agrupando diferenciales: ( 2ds + 3w.ds − 3w.ds − 2w 2 .ds) − (3s.dw + 2s.w.dw ) = 0 ( 2 + 3w − 3w − 2 w 2 ).ds − (3s + 2s.w).dw = 0 ( 2 − 2w 2 ).ds − s (3 + 2w ).dw = 0 Factorando: 2(1 − w )(1 + w ).ds − s(3 + 2 w ).dw = 0

Dividiendo para “s.(1-w).(1+w)” que es el divisor de integración: 2(1 − w).(1 + w).ds − s.(3 + 2w ).dw =0 s.(1 − w ).(1 + w ) Separando en 2 fracciones y simplificando: 2(1 − w).(1 + w).ds s.(3 + 2w ).dw − =0 s.(1 − w ).(1 + w) s.(1 − w).(1 + w) 2ds (3 + 2w ).dw − =0 s (1 − w).(1 + w) Descomponiendo en fracciones parciales la segunda expresión: − 3 − 2w A B = + ( 1 − w ).( 1 + w ) 1 − w 1 + w Obteniendo denominador común: − 3 − 2w A( 1 + w ) + B( 1 − w ) = ( 1 − w ).( 1 + w ) ( 1 − w ).( 1 + w ) Destruyendo paréntesis:

134

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− 3 − 2w A + A.w + B − B.w = ( 1 − w ).( 1 + w ) ( 1 − w ).( 1 + w ) Agrupando en un polinomio al numerador derecho: − 3 − 2w ( A + B ) + ( A − B ).w = ( 1 − w ).( 1 + w ) ( 1 − w ).( 1 + w ) Igualando los polinomios de los numeradores se tiene el siguiente sistema de ecuaciones: A + B = −3 A − B = −2 La solución al sistema de ecuaciones es: 5 A=− 2 1 B=− 2 Reemplazando en la expresión general de las fracciones parciales se tiene: − 3 − 2w A B = + ( 1 − w ).( 1 + w ) 1 − w 1 + w 5 1 − − − 3 − 2w = 2 + 2 ( 1 − w ).( 1 + w ) 1 − w 1 + w Reemplazando las fracciones parciales en la ecuación diferencial: 2ds (3 + 2w ).dw − =0 s (1 − w).(1 + w) 5 1 2ds 2 2 − ⋅ dw − ⋅ dw = 0 s 1− w 1+ w 2ds 5 dw 1 dw − ⋅ − ⋅ = 0 Ecuación diferencial intermedia 2 s 2 1− w 2 1 + w Integrando:

∫

2ds 5 dw 1 dw − ∫ − ∫ =C s 2 1− w 2 1+ w

Ejecutando las integrales: 5 1 2 ln( s) − ln( 1 − w ) − ln( 1 + w ) = C 2 2

Pasando los logaritmos negativos al miembro derecho: 2 ln( s) =

5 1 ln( 1 − w ) + ln( 1 + w ) + C 2 2

Multiplicando por “2”: 4 ln( s) = 5 ln( 1 − w ) + ln( 1 + w ) + 2C

135

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Reemplazando “2C” por el “ln(k)”: 4 ln( s) = 5 ln( 1 − w ) + ln( 1 + w ) + ln( k )

Introduciendo los coeficientes en los logaritmos: ln( s 4 ) = ln (1 − w )5 + ln (1 + w ) + ln( k ) Agrupando los logaritmos:

{

}

ln( s 4 ) = ln k.(1 − w )5 .(1 + w ) Calculando antilogaritmos:

s 4 = k .(1 − w )5 .(1 + w) Solución intermedia 1 Reemplazando la quinta ecuación de cambio de variable: w=

t s 5

t   s = k . 1 −  . 1 + s   4

t  Solución intermedia 2 s

Reemplazando la tercera y la cuarta ecuaciones de cambio de variable:

s= u−2 t = v −1 5

v −1   v −1  (u − 2) = k . 1 −  . 1 +  Solución intermedia 3 u−2  u − 2  4

Reemplazando la primera y segunda ecuaciones de cambio de variable: u = x2

v = y2  ( x − 2) = k . 1 −   2

4

5

y 2 − 1   y 2 − 1  . 1+ Solución x 2 − 2   x 2 − 2 

136

I-2005


3.5

RESOLUCIÓN BASADA EN PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES:

3.5.1 Ecuaciones Diferenciales Lineales Exactas: Dada la ecuación diferencial de la forma: M ( x, y ).dx + N ( x, y ).dy = 0

La ecuación es una diferencial exacta de una función primitiva “F(x, y)” si se cumple que: ∂M ∂N = ∂y ∂x Cuando se menciona que la ecuación “M(x,y).dx+N(x,y).dy=0” es una diferencial exacta de una función primitiva se hace referencia al hecho de que al diferenciar la función “F(x,y)”, antes de eliminar cualquier expresión factorada, se obtiene exactamente la ecuación diferencial propuesta. La ecuación diferencial, en función de la expresión primitiva, se puede escribir como: M.dx + N .dy = dF( x, y) = 0

Donde “dF” es una diferencial exacta cuya solución es:

∫ dF(x, y) = C

F ( x , y) = C

El diferencial de la función primitiva “F” se puede calcular como: dF( x, y) =

∂F ∂F .dx + .dy ∂x ∂y

Donde:

137

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dF( x, y) =

∂F ∂F .dx + .dy = M ( x, y).dx + N( x , y).dy ∂x ∂y

Claramente se puede determinar que: ∂F .dx = M( x , y ).dx ∂x

De donde: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y )

Donde:

∫

x

:

Integración respecto a “x” tratando a “y” como constante

φ(y): Constante de integración respecto a “x”. Obteniendo la derivada parcial de la expresión anterior, respecto a “y”: ∂F ∂  x  dφ = N( x , y ) = ∫ M ( x, y).dx  +  dy ∂y ∂y  ∂F ∂  x  = ∫ M ( x, y).dx  + φ ′( y) = N( x , y)   ∂y ∂y La expresión previa nos permite determinar la expresión de “φ ′ ”: φ ′( y) = N( x , y) −

∂  x   M( x , y ).dx   ∂y  ∫

Lo que por integración nos permite calcular “φ (y)” y por consiguiente determinar “F(x, y)”. Es importante notar que las derivadas parciales cruzadas también pueden ser representadas de la siguiente manera: ∂M ∂  ∂F  ∂ 2 F =  = ∂y ∂y  ∂x  ∂y.∂x

∂N ∂  ∂F  ∂ 2 F =  = ∂x ∂x  ∂y  ∂x.∂y Con las 2 expresiones anteriores se evidencia la razón por la que las derivadas parciales cruzadas deben ser iguales. ∂2F ∂ 2F ∂M ∂N = → = ∂y.∂x ∂x.∂y ∂y ∂x

Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación diferencial: ( 2x 3 + 3y ).dx + ( 3x + y − 1).dy = 0 Las funciones definidas en la propiedad de originarse en una diferencial exacta son:

138

I-2005


M = 2x3 + 3y N = 3x + y − 1 Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas: ∂M ∂( 2x 3 + 3y) = =3 ∂y ∂y ∂N ∂( 3x + y − 1) = =3 ∂x ∂x

Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la ecuación diferencial es exacta, y su solución podría obtenerse mediante separación de variables o utilizando las ecuaciones descritas anteriormente (las metodologías básicas se presentan en los siguientes problemas resueltos).

Ejemplo 3: Dada la siguiente ecuación diferencial: ( x 2 + 4 y + 7).dx + ( 2x − y 3 + 1).dy = 0 Las funciones definidas en la propiedad anterior son: M = x2 + 4y + 7 N = 2x − y 3 + 1 Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas: ∂M ∂ ( x 2 + 4 y + 7) = =4 ∂y ∂y

∂N ∂( 2x − y3 + 1) = =2 ∂x ∂x Debido a que las 2 derivadas parciales son diferentes, la ecuación diferencial, tal como está planteada, no proviene de una diferencial exacta de una función primitiva.

Problema Resuelto 35*: Resolver la ecuación diferencial del Ejemplo 2: ( 2x 3 + 3y ).dx + ( 3x + y − 1).dy = 0 Solución 1: En el Ejemplo 2 se demostró que la ecuación diferencial propuesta proviene de una diferencial exacta pues las derivadas cruzadas son exactamente iguales. Destruyendo los signos de agrupación en la ecuación diferencial se tiene: 2 x 3 .dx + 3y.dx + 3x.dy + y.dy − dy = 0

139

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Reagrupando los términos de la ecuación diferencial en función de que sean integrables directamente o no lo sean: ( 2x 3.dx + y.dy − dy) + (3y.dx + 3x.dy) = 0 Integrando:

∫ (2x .dx + y.dy − dy) + ∫ (3 y.dx + 3x.dy) = C 3 ∫ 2 x .dx + ∫ y.dy − ∫ dy + ∫ (3y.dx + 3x.dy) = C 3


2x 4 y 2 + − y + ∫ ( 3y.dx + 3x.dy ) = C 4 2 La integral que queda pendiente es la derivada de la expresión “3y.x”, por lo que:

x4 y 2 + − y + 3 y.x = C Solución 1 2 2 Solución 2: Se van a aprovechar las propiedades obtenidas para las ecuaciones diferenciales exactas. La ecuación básica es: ( 2x 3 + 3y).dx + (3x + y − 1).dy = 0 Las funciones “M ” y “N” son: M = 2x3 + 3y N = 3x + y − 1 La expresión para el cálculo de la función primitiva es: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y ) x

F( x , y) = ∫ ( 2x 3 + 3y).dx + φ( y)

Ejecutando la int egral respecto a “x”:

F( x, y ) =

2 4 x + 3y .x + φ ( y ) Función primitiva 4

“φ (y) ” es una función exclusiva de “y” cuyo valor aún se desconoce. Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”: ∂F = 3x + φ′( y) ∂y Pero: ∂F = N( x, y) ∂y

140

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De donde: 3x + φ′( y) = 3x + y − 1

Simplificando: φ′( y) = y − 1

Integrando “φ ′ ” se obtiene “φ ”:

φ( y) = ∫ ( y − 1).dy φ( y) =

1 2 y −y 2

La función primitiva es: F( x , y ) =

2 4 x + 3 y.x + φ( y ) 4

Reemplazando “φ (y)”: F ( x, y ) =

1 4 1 x + 3y .x + y 2 − y Función primitiva 2 2

La ecuación primitiva es: F ( x , y) = C

x4 y 2 + − y + 3 y.x = C Solución 2 2 2

NOTA 1: Los dos métodos de solución proporcionan respuestas idénticas. NOTA 2: A pesar de existir varias etapas en que se realizan integraciones, en la segunda alternativa la Constante Arbitraria de Integración solamente se la aplica en la última instancia.

141

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NOTA 3: Los pasos requeridos en la metodología para utilizar las propiedades de las ecuaciones diferenciales que son diferenciales exactas de una Función Primitiva son: Ø

Determinar las funciones “M(x,y)” y “N(x,y)” a partir de la ecuación diferencial original M ( x , y).dx + N ( x , y ).dy = 0

Ø

Verificar que la ecuación diferencial propuesta provenga de una diferencial exacta de una “Función Primitiva” mediante el cumplimiento de que: ∂M ∂N = ∂y ∂x

Ø

Obtener la función primitiva “F(x,y)” de la ecuación diferencial, mediante una integración con respecto a “x”, incluyendo una función “φ (y)” aún desconocida. x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y )

Ø

Calcular la derivada parcial de la función primitiva “F(x,y)”, con respecto a “y” e igualar a la función “N(x,y)”. ∂F ∂  x  dφ = N( x , y ) = ∫ M ( x, y).dx  +  dy ∂y ∂y 

Ø

Determinar el valor de la derivada de “φ ” con respecto a “y”. φ ′( y) =

Ø

dφ ∂ x = N( x, y) − ∫ M ( x , y).dx   dy ∂y 

Integrar la expresión obtenida para calcular “φ ”.

φ( y) = ∫ φ′.dy Ø

Una vez conocido “φ (y)” determinar la función primitiva completa mediante la expresión: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y )


{

}

( 6e 3x + 2 + 4x.y 2 ).dx + 4 x 2 .y + Sen( y + 1) − 1 .dy = 0 Solución 1: En primer lugar se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: M = 6 e 3 x + 2 + 4 x. y 2 N = 4 x 2 . y + Sen( y + 1 ) − 1 Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas:

142

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∂M ∂( 6 e 3x + 2 + 4 x. y 2 ) = = 8 x. y ∂y ∂y

(

)

∂N ∂ 4 x 2 . y + Sen( y + 1 ) − 1 = = 8 x. y ∂x ∂x Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la ecuación diferencial tiene solución exacta. Destruyendo los signos de agrupación en la ecuación diferencial se tiene: 6e 3x + 2 .dx + 4 x.y 2 .dx + 4 x 2 .y.dy + Sen ( y + 1).dy − dy = 0 Reagrupando los términos de la ecuación diferencial en función de que sean integrables directamente o no lo sean:

(6e3x + 2 .dx + Sen (y + 1).dy − dy )+ (4x.y 2 .dx + 4 x 2 .y.dy ) = 0

Integrando:

.dx + Sen ( y + 1).dy − dy ) + ∫ (4 x.y .dx + 4 x .y.dy) = C ∫ (6e 3x + 2 .dx + ∫ Sen ( y + 1).dy − ∫ dy + ∫ (4 x.y 2 .dx + 4 x 2 .y.dy ) = C ∫ 6e 3x + 2

2

2


(

)

(

)

6 3x + 2 e − Cos ( y + 1) − y + ∫ 4 x.y 2 .dx + 4 x 2 .y.dy = C 3

Simplificando:

2e 3x + 2 − Cos( y + 1) − y + ∫ 4x.y 2 .dx + 4x 2 .y.dy = C La integral que queda pendiente es la derivada de la expresión “2x2 .y2 ”, por lo que: 2e 3 x + 2 − Cos ( y + 1) − y + 2x 2 .y 2 = C Solución 1 Solución 2: La ecuación diferencial básica es:

{

}

( 6e3x + 2 + 4x.y 2 ).dx + 4 x 2 .y + Sen ( y + 1) − 1 .dy = 0 Las funciones “M ” y “N” son: M = 6e 3x + 2 + 4x.y 2 N = 4x 2 .y + Sen ( y + 1) − 1 La expresión para el cálculo de la función primitiva es: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y ) F( x , y ) = ∫ ( 6e 3x + 2 + 4x.y 2 ).dx + φ( y ) x

Ejecutando la integral respecto a “x”:

143

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F ( x , y) =

6 3x + 2 4 2 2 e + x .y + φ( y ) 3 2

Simplificando: F( x, y ) = 2e 3x + 2 + 2 x 2 .y 2 + φ( y ) Función primitiva Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”: ∂F = 4 x 2 .y + φ ′( y) ∂y Pero: ∂F = N( x, y) ∂y De donde: 4 x 2 .y + φ′( y ) = 4 x 2 .y + Sen ( y + 1) − 1 Simplificando: φ′( y) = Sen ( y + 1) − 1

Integrando “φ ′ ” se obtiene “φ ”:

φ( y) = ∫ {Sen ( y + 1) − 1}.dy φ( y) = −Cos ( y + 1) − y La función primitiva es: F( x , y) = 2e 3x + 2 + 2x 2 .y 2 + φ( y) F( x , y) = 2e 3x + 2 + 2 x 2 .y 2 − Cos ( y + 1) − y La ecuación primitiva es: F ( x , y) = C

2e 3 x + 2 − Cos ( y + 1) − y + 2x 2 .y 2 = C Solución 2 NOTA: A pesar de la complejidad de la ecuación diferencial cuya solución se estaba buscando, el procedimiento empleado en la Solución 2, que aprovecha las propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales exactas, es menos complicado.

Problema Resuelto 37*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: 2

2

( y 2 .e x. y + 4x 3 ).dx + ( 2x.y .e x.y − 3y 2 ).dy = 0 Solución 1: Se debe verificar si la ecuación diferencial es exacta.

144

I-2005


Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: 2 M = y 2 .e x. y + 4 x 3 2

N = 2 x. y .e x . y − 3 y 2 Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas: 2

2 2 2 2 ∂M ∂( y 2 .e x . y + 4 x 3 ) = = y 2 .e x. y ( 2 x. y ) + e x. y ( 2 y ) = 2 x .y 3 .e x . y + 2 y .e x. y ∂y ∂y

2

2 2 2 2 ∂N ∂( 2 x .y .e x. y − 3 y 2 ) = = 2 y  x.e x. y ( y 2 ) + e x . y ( 1 )  = 2 x .y 3 .e x . y + 2 y .e x. y ∂x ∂x   Debido a que las 2 derivadas parciales son iguales, la ecuación diferencial es exacta.

Destruyendo los signos de agrupación en la ecuación diferencial se tiene: 2

2

y 2 .e x.y .dx + 4x 3 .dx + 2 x.y.e x.y .dy − 3y 2 .dy = 0 Reagrupando los términos de la ecuación diferencial en función de que sean integrables directamente o no lo sean: 2

2

( 4x 3.dx − 3y 2 .dy) + ( y 2 .e x.y .dx + 2x.y.e x. y .dy) = 0 Integrando: 2

2

2

2

∫ ( 4x

3

∫ 4x

.dx − ∫ 3y 2 .dy + ∫ ( y 2 .e x.y .dx + 2 x.y.e x. y .dy) = C

3

.dx − 3y 2 .dy) + ∫ ( y 2 .e x. y .dx + 2 x.y.e x.y .dy ) = C

2 2 4x 4 3y 3 − + ∫ ( y 2 .e x.y .dx + 2x.y.e x. y .dy) = C 4 3 2

2

x 4 − y 3 + ∫ ( y 2 .e x.y .dx + 2 x.y.e x.y .dy) = C

Se debe resolver la integral que queda pendiente: La integral es:

∫( y

2

2

2

.e x .y .dx + 2 x. y .e x . y .dy )

Es conveniente utilizar un cambio de variable: z = x . y 2 Ecuación de cambio de variable Que es equivalente a: z x= o x = z. y −2 2 y La expresión diferencial equivalente es: dx = z .( −2 ). y −3 .dy + y −2 .dz dx = −2 z . y − 3 .dy + y −2 .dz Reemplazando “x” y “dx” en la integral:

145

I-2005


∫ (y

2

2

2

.e x. y .dx + 2x.y.e x.y .dy ) =

2 ( z.y − 2 ). y 2 −3 −2 −2 ( z.y −2 ).y 2 ( y . e .( − 2 z . y . dy + y . dz ) + 2 ( z . y ). y . e .dy) ∫

Simplificando: 2

2

2 x. y x .y ∫ ( y .e .dx + 2 x. y .e .dy ) =

∫( y

2

.e z .( −2 z .y − 3 ).dy + y − 2 .dz ) + 2( z .y − 2 ). y .e z .dy )

∫( y

2

.e x .y .dx + 2 x. y .e x . y .dy ) = −2 ∫ y − 1 .z .e z .dy + ∫ e z .dz + 2 ∫ ( z . y − 1 .e z .dy

∫( y

2

.e x .y .dx + 2 x. y .e x . y .dy ) = + ∫ e z .dz − 2 ∫ y − 1 .z .e z .dy + 2 ∫ ( z .y − 1 .e z .dy

∫( y

2

.e x . y .dx + 2 x .y .e x. y .dy ) = e z

2

2

2

2

2

2

Reemplazando “z” en función de “x” y “y”:

∫( y

2

2

2

.e x . y .dx + 2 x .y .e x. y .dy ) = e x . y

2

Reemplazando la integral obtenida en la solución de la ecuación diferencial: 2

2

x 4 − y 3 + ∫ ( y 2 .e x.y .dx + 2x.y.e x. y .dy) = C 2

x 4 − y 3 + e x. y = C Solución 1 Solución 2: La ecuación diferencial básica es: 2

2

( y 2 .e x. y + 4x 3 ).dx + ( 2x.y.e x. y − 3y 2 ).dy = 0 Las funciones “M ” y “N” son: 2 M = y 2 .e x. y + 4x 3 2

N = 2x.y.e x. y − 3y 2 La expresión para el cálculo de la función primitiva es: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y ) 2

x

F( x , y) = ∫ ( y 2 .e x. y + 4x 3 ).dx + φ( y) Ejecutando la integral respecto a “x”: F ( x , y) =

1 y2

2

.y .e

x. y 2

+

4x 4 + φ( y) 4

Simplificando: 2

F( x, y ) = e x.y + x 4 + φ( y ) Función primitiva Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”:

146

I-2005

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2 ∂F = 2 x.y.e x. y + φ ′( y) ∂y

Pero: ∂F = N( x, y) ∂y De donde: 2

2

2 x.y.e x. y + φ ′( y) = 2 x.y.e x. y − 3y 2 Simplificando: φ ′( y) = −3 y 2 Integrando “φ ′ ” se obtiene “φ ”:

φ( y) = − ∫ 3y 2 .dy φ( y) = −y 3 La función primitiva es: 2

F( x , y ) = e x. y + x 4 + φ( y) Reemplazando “φ (y)”: 2

F( x, y ) = e x.y + x 4 − y 3 Función primitiva La ecuación primitiva es: F ( x , y) = C 2

e x. y + x 4 − y 3 = C Solución 2

147

I-2005


3.5.2 Ecuaciones Diferenciales Lineales No Exactas: Dada la ecuación diferencial de la forma: M ( x, y ).dx + N ( x, y ).dy = 0

Si las derivadas parciales cruzadas de las funciones no son iguales, la ecuación se denomina Lineal No Exacta. ∂M ∂N ≠ ∂y ∂x Para convertirla en Ecuación Diferencial Lineal Exacta, en algunos casos se puede obtener un factor de integración “µ ” tal que: µ.M ( x, y).dx + µ.N ( x, y).dy = 0

“Ecuación Diferencial Equivalente” en la que deberá cumplirse que: ∂(µ.M ) ∂( µ.N) = ∂y ∂x Una vez obtenida la nueva expresión se puede resolver la ecuación mediante los procedimientos para Ecuaciones Diferenciales Exactas. Para obtener los factores de integración se pueden utilizar las siguientes reglas: Condición ∂M ∂N − ∂y ∂x = f (x ) N ∂M ∂N − ∂y ∂x * = −g ( y) M ∂N ∂M − ∂x ∂y * = g ( y) M M ( x , y).dx + N ( x , y ).dy = 0 es homogénea

Factor de Integración µ = e ∫ f ( x). dx

µ = e ∫ g( y).dy

µ = e ∫ g( y).dy

1 M.x + N.y Si la ecuación M ( x , y).dx + N ( x , y ).dy = 0 puede escribirse en la 1 µ= forma y.f ( x .y).dx + x.g ( x.y).dy = 0 , y f ( x.y) ≠ g ( x.y) M.x − N.y * Las 2 expresiones corresponden al mismo tipo de solución µ=

Problema Resuelto 38*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x 2 + y 2 + x).dx + x.y .dy = 0 Solución: En primer lugar se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta.

148

I-2005


Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: M = x 2 + y2 + x N = x .y Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas: 2

2

∂M ∂( x + y + x ) = = 2y ∂y ∂y ∂N ∂ ( x.y) = =y ∂x ∂x

Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta. A pesar de que la ecuación diferencial no es exacta, una rápida inspección de las derivadas parciales cruzadas revela que la diferencia entre las 2 derivadas, dividida para “N” es una función de “x”.

∂M ∂N − ∂y ∂x 2 y − y = N x.y Simplificando: ∂M ∂N − ∂y ∂x y = N x .y ∂M ∂N − ∂y ∂x 1 = N x De donde: f (x ) =

1 x

El factor de integración “µ” es: µ = e ∫ f ( x). dx Reemplazando la función “f(x)”: dx µ=e x ∫

Ejecutando la integral: µ = e ln( x) Por la relación entre el logaritmo natural y la función exponencial se tiene: µ= x

149

I-2005


Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración “x” se tiene una “Ecuación Diferencial Equivalente”:

{

}

x. ( x 2 + y 2 + x).dx + x.y.dy = 0 ( x 3 + x.y 2 + x 2 ).dx + x 2 .y .dy = 0 Ecuación diferencial equivalente Para la nueva ecuación se deben redefinir las funciones “M” y “N”: M = x 3 + x.y 2 + x 2 N = x 2 .y Obteniendo las derivadas parciales cruzadas: ∂M = 2 x.y ∂y ∂N = 2 x .y ∂x Debido a que las 2 expresiones son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta. En este punto existen 2 caminos para resolver la ecuación diferencial: se pueden agrupar los términos de modo que las funciones sean directamente integrables, o se pueden aprovechar las propiedades matemáticas de las ecuaciones diferenciales exactas. En el presente caso escogeremos la primera alternativa. Destruyendo los signos de agrupación en la ecuación diferencial equivalente se tiene: x 3 .dx + x.y 2 .dx + x 2 .dx + x 2 .y.dy = 0 Reagrupando los términos de la ecuación diferencial en función de que sean integrables directamente o no lo sean: ( x 3.dx + x 2 .dx ) + ( x.y 2 .dx + x 2 .y.dy ) = 0 Integrando:

∫x

3

.dx + ∫ x 2 .dx + ∫ ( x.y 2 .dx + x 2 .y.dy) = C

Ejecutando las 2 primeras integrales:

x 4 x3 + + ( x.y 2 .dx + x 2 .y.dy) = C 4 3 ∫ La integral que queda pendiente proviene de la derivación de “x2 .y2 ”:

x 4 x 3 x 2 .y 2 + + =C 4 3 2 Multiplicando por “12”: 3x 4 + 4x 3 + 6x 2 .y 2 = 12C Reemplazando “12C” por “k”:

150

I-2005


3 x 4 + 4x 3 + 6x 2 .y 2 = k Solución

Problema Resuelto 39*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( 2x.y 4 .e y + 2x.y 3 + y ).dx + ( x 2 .y 4 .e y − x 2 .y 2 − 3 x).dy = 0 Solución: Se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: M = 2 x.y 4 .e y + 2 x.y 3 + y N = x 2 .y 4 .e y − x 2 .y 2 − 3x Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas: ∂M ∂ ( 2x.y 4 .e y + 2 x.y 3 + y) = ∂y ∂y

Ejecutando las derivadas: ∂M = 2 x y 4 .e y + e y .( 4 y 3 ) + 6 x. y 2 + 1 ∂y Destruyendo paréntesis: ∂M = 2 x .y 4 .e y + 8 x. y 3 .e y + 6 x. y 2 + 1 ∂y

(

)

∂N ∂( x 2 .y 4 .e y − x 2 .y 2 − 3x) = ∂x ∂x Ejecutando las derivadas: ∂N = 2 x .y 4 .e y − 2 x .y 2 − 3 ∂x Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta. Una inspección de las derivadas parciales cruzadas revela que la diferencia entre las 2 derivadas, dividida para “M ” es una función de “y”.

∂M ∂N − ∂y ∂x ( 2x.y 4 .e y + 8x.y 3 .e y + 6x.y 2 + 1) − ( 2x.y 4 .e y − 2 x.y 2 − 3) = M 2x.y 4 .e y + 2x.y 3 + y Eliminando paréntesis: ∂M ∂N − ∂y ∂x 2 x. y 4 .e y + 8 x. y 3 .e y + 6 x. y 2 + 1 − 2 x. y 4 .e y + 2 x. y 2 + 3 = M 2 x .y 4 .e y + 2 x .y 3 + y

151

I-2005


Simplificando: ∂M ∂N − ∂y ∂x 8 x. y 3 .e y + 8 x .y 2 + 4 = M 2 x .y 4 .e y + 2 x .y 3 + y Factorando: ∂M ∂N − ∂y ∂x 4( 2 x .y 3 .e y + 2 x. y 2 + 1 ) = M y( 2 x. y 3 .e y + 2 x .y 2 + 1 ) Simplificando: ∂M ∂N − ∂y ∂x 4 = M y De donde: 4 y 4 g ( y) = − y − g ( y) =

El factor de integración es: µ = e − ∫ g( y ).dy Reemplazando la función “g(y)”:

µ=e

−∫

4dy y

=e

− 4∫

dy y

Ejecutando la integral: µ = e −4 ln(y) Introduciendo el “-4” en el logaritmo: −4 µ = e ln( y ) 4 µ = e ln(1 / y )

Por la relación entre el logaritmo natural y la función exponencial se tiene: µ=

1 y4

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración se tiene una ecuación diferencial equivalente: (2 x.y 4 .e y + 2 x.y 3 + y).dx + ( x 2 .y 4 .e y − x 2 .y 2 − 3x ).dy y4

152

=0

I-2005


Separando en 2 fracciones: (2 x.y 4 .e y + 2 x.y 3 + y).dx y4

+

( x 2 .y 4 .e y − x 2 .y 2 − 3x ).dy y4

=0

Simplificando: 2      2x .e y + 2 x + 1  .dx +  x 2 .e y − x − 3x .dy = 0 Ecuación diferencial equivalente   y y 3  y 2 y 4   

Para la nueva ecuación se deben redefinir las funciones “M” y “N”: M = 2 x.e y + 2 2

y

N = x .e −

x 1 + y y3

x2 y2

−

3x y4

Obteniendo las derivadas parciales cruzadas: ∂M x 1 = 2 x.e y + 2( −1) + ( −3) 2 ∂y y y4 Simplificando: ∂M 2x 3 = 2 x.e y − − 2 ∂y y y4 ∂N 2x 3 = 2x.e y − − ∂x y2 y 4 Debido a que las 2 expresiones son iguales, la nueva ecuación diferencial es exacta. Dada la complejidad de expresión de la ecuación diferencial es preferible aprovechar las expresiones matemáticas relacionadas con la propiedad de ser exacta. La ecuación diferencial básica equivalente es: 2      2x.e y + 2 x + 1 .dx +  x 2 .e y − x − 3x .dy = 0   y y3  y 2 y 4   

Las funciones “M ” y “N” son: M = 2 x.e y + 2 2

y

N = x .e −

x 1 + y y3

x2 y2

−

3x y4

La expresión para el cálculo de la función primitiva es: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y )

153

I-2005

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador x

F( x , y) = ∫ ( 2x.e y + 2

x 1 + ).dx + φ ( y) y y3

Ejecutando la integral:  x2 x  F( x, y ) =  x 2 .e y + + + φ ( y ) Función primitiva  3 y y   Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”: ∂F  2 y x2 x  = x .e + ( −1) + ( −3) + φ′( y ) 2 4 ∂y  y y  Simplificando: 2 ∂F 3x 2 y x = x .e − − + φ ′( y) ∂y y 2 y4

Pero: ∂F = N( x, y) ∂y De donde: 2

y

x .e −

x2 y2

−

3x y4

+ φ ′( y) = x .e − 2

y

x2 y2

−

3x y4

Simplificando: φ′( y) = 0

Integrando “φ ′ ” se obtiene “φ ”, que es una constante:

φ( y) = k 1 La función primitiva es:  2 y x2 x  F( x , y ) =  x .e + + + φ ( y)  y y3   Reemplazando “φ (y)”:  x2 x  F( x, y ) =  x 2 .e y + + + k 1 Función primitiva 3  y y   La ecuación primitiva es: F( x , y ) = k

 2 y x2 x   x .e + + + k1 = k  3 y y  

154

I-2005


Simplificando constantes: 2

y

x .e +

2

x x + = C Solución y y3

Problema Resuelto 40*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( 2x 3 .y 2 + 4x 2 .y + 2x.y 2 + x .y 4 + 2y ).dx + 2( y 3 + x 2 .y + x).dy = 0 Solución: Se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: M = 2 x 3 .y 2 + 4x 2 .y + 2x.y 2 + x.y 4 + 2 y N = 2 y 3 + 2 x 2 .y + 2 x Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas: ∂M ∂ ( 2x 3.y 2 + 4x 2 .y + 2x.y 2 + x.y 4 + 2 y) = ∂y ∂y

Ejecutando las derivadas: ∂M = 4 x 3 .y + 4 x 2 + 4 x .y + 4 x .y 3 + 2 ∂y

∂N ∂( 2 y 3 + 2 x 2 .y + 2 x) = ∂x ∂x Ejecutando las derivadas: ∂N = 4 x .y + 2 ∂x Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta. Una inspección de las derivadas parciales cruzadas revela que la diferencia entre las 2 derivadas, dividida para “N” es una función de “x”.

∂M ∂N − ∂y ∂x ( 4 x 3 .y + 4 x 2 + 4x.y + 4x.y 3 + 2) − ( 4x.y + 2) = N 2 y 3 + 2 x 2 .y + 2 x Eliminando paréntesis: ∂M ∂N − ∂y ∂x 4 x 3 .y + 4 x 2 + 4 x .y + 4 x. y 3 + 2 − 4 x. y − 2 = N 2 y 3 + 2 x 2 .y + 2 x Simplificando:

155

I-2005


∂M ∂N − ∂y ∂x 4 x 3 . y + 4 x 2 + 4 x .y 3 = N 2 y 3 + 2 x 2 .y + 2 x Factorando: ∂M ∂N − ∂y ∂x 4 x( x 2 .y + x + y 3 ) = N 2( y 3 + x 2 .y + x ) Simplificando: ∂M ∂N − ∂y ∂x 4 x = N 2 ∂M ∂N − ∂y ∂x = 2x N De donde: f (x ) = 2 x

El factor de integración es: µ = e ∫ f ( x). dx Reemplazando la función “f(x)”: µ = e ∫ 2x.dx Ejecutando la integral:

µ = ex

2

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración se tiene una ecuación diferencial equivalente: 2

( 2x 3 .y 2 + 4x 2 .y + 2x.y 2 + x.y 4 + 2 y ).e x .dx +2( y + x .y + x ).e 3

2

x2

Ecuación diferencial equivalente

.dy = 0

Para la nueva ecuación se deben redefinir las funciones “M” y “N”:

M = ( 2x 3.y 2 + 4x 2 .y + 2 x.y 2 + x.y 4 + 2 y).e x N = 2( y 3 + x 2 .y + x ).e x

2

2

Por la complejidad de expresión de la ecuació n diferencial es preferible aprovechar las expresiones matemáticas relacionadas con la propiedad de ser exacta. La expresión para el cálculo de la función primitiva es: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y )

156

I-2005

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2

x

F( x , y) = ∫ ( 2x 3.y 2 + 4x 2 .y + 2x.y 2 + x.y 4 + 2 y).e x .dx + φ( y) Separando en 3 integrales: 2

x

2

x

2

x

F( x , y) = ∫ ( 2x 3.y 2 + 2x.y 2 ).e x .dx + ∫ ( 4x 2 .y + 2y ).e x .dx + ∫ x.y 4 .e x .dx Las 2 primeras integrales provienen de la derivación parcial de un producto: 2

2

2

x

F( x , y) = ( x 2 .y 2 ).e x + (2 x.y).e x + ∫ x.y 4 .e x .dx + φ( y) Resolviendo la integral que está pendiente: 2

2

F( x , y) = ( x 2 .y 2 ).e x + (2 x.y).e x +

1 4 x2 y .e + φ( y) Función primitiva 2

Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”: 2 2 2 ∂F  2 =  2x .y.e x + 2x.e x + 2y 3 .e x ∂y 

 + φ ′( y)  

Pero: ∂F = N( x, y) ∂y De donde:

 2x 2 .y.e x 2 + 2x.e x 2 + 2 y 3 .e x 2  + φ′( y) = 2( y 3 + x 2 .y + x ).e x 2     Destruyendo paréntesis: 2

2

2

2

2

2 x 2 .y.e x + 2 x.e x + 2 y 3.e x + φ ′( y) = 2 y 3 .e x + 2x 2 .y.e x + 2x.e x

2



φ( y) = k 1 La función primitiva es: 2

2

1 4 x2 y .e + φ( y) 2

2

1 4 x2 y .e + k 1 Función primitiva 2

F( x , y) = ( x 2 .y 2 ).e x + (2 x.y).e x +

Reemplazando “φ (y)”: 2

F( x, y ) = ( x 2 .y 2 ).e x + ( 2x.y ).e x +

La ecuación primitiva es: F( x , y ) = k

157

I-2005

TEORÍA Y PROBLEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Marcelo Romo Proaño Escuela Politécnica del Ejército - Ecuador 2

2

( x 2 .y 2 ).e x + ( 2 x.y).e x +

1 4 x2 y .e + k1 = k 2

Multiplicando por “2”: 2

2

2

2 x 2 .y 2 .e x + 2 x.y.e x + y 4 .e x + 2k 1 = 2k Simplificando constantes: 2

2

2

2 x 2 .y 2 .e x + 2x .y.e x + y 4 .e x = C Solución

Problema Resuelto 41*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( x 4 + y 4 ).dx − x.y 3 .dy = 0 Solución: Se debe verificar si la ecuación diferencial planteada es exacta. Las funciones definidas para las ecuaciones diferenciales exactas son: M = x 4 + y4 N = − x.y3 Se pueden obtener las derivadas parciales cruzadas: ∂M ∂ ( x 4 + y 4 ) = ∂y ∂y

Ejecutando las derivadas: ∂M = 4y3 ∂y

∂N ∂ ( −x.y 3 ) = ∂x ∂x Ejecutando las derivadas: ∂N = −y3 ∂x Debido a que las 2 derivadas parciales no son iguales, la ecuación diferencial no es exacta. Una inspección de la ecuación diferencial revela que es homogénea, y por tanto el inverso de la suma de las 2 derivadas parciales, multiplicado por las variables básicas, es un factor de integración. µ=

1 M.x + N.y

158

I-2005


µ=

1 ( x 4 + y 4 ).x + ( −x.y 3 ). y

Simplificando: µ= µ=

1 x 5 + x.y 4 − x.y 4 1 x5

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración se tiene una ecuación diferencial equivalente: ( x 4 + y 4 ).dx − x.y 3.dy x5

=0

Separando en 2 fracciones: ( x 4 + y 4 ).dx x5

−

x.y 3.dy x5

=0

Simplificando: 1  + x 

y 4  y3 .dx − .dy = 0 Ecuación diferencial equivalente x 5  x4

Para la nueva ecuación se deben redefinir las funciones “M” y “N”: 1 y4 + x x5 y3 N=− x4

M=

Por la complejidad de expresión de la ecuación diferencial es preferible aprovechar las expresiones matemáticas relacionadas con la propiedad de ser exacta. La expresión para el cálculo de la función primitiva es: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y ) 4 x  1 y  F( x , y) = ∫  + .dx + φ ( y)  x x5   

Ejecutando las integrales: 1 F( x, y ) = ln( x ) − ⋅ 4

y4 x4

+ φ( y ) Función primitiva

Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”:

159

I-2005


∂F  1 4 y3  = − ⋅ + φ ′( y) ∂y  4 x 4  ∂F y3 =− + φ′( y ) ∂y x4 Pero: ∂F = N( x, y) ∂y De donde: −

y3 x4

+ φ′( y) = −

y3 x4



φ( y) = k 1 La función primitiva es: F( x , y) = ln( x ) −

1 y4 ⋅ + φ( y ) 4 x4

Reemplazando “φ (y)”:

1 y4 F( x, y ) = ln( x ) − ⋅ + k 1 Función primitiva 4 x4 La ecuación primitiva es: F( x , y ) = k

1 y4 ln( x ) − ⋅ + k1 = k 4 x4

Simplificando constantes:

ln( x) −

y4 4x 4

= C Solución

160

I-2005


Problema Resuelto 42*: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y .( x 2 .y 2 + 2 ).dx + x.( 2 − 2x 2 .y 2 ).dy = 0 Solución: Las funciones M y N de la ecuación diferencial son: M = y.( x 2 .y 2 + 2) = x 2 .y 3 + 2 y N = x.( 2 − 2x 2 .y 2 ) = 2x − 2 x 3 .y 2 Las derivadas parciales cruzadas son: ∂M = 3x 2 .y 2 + 2 ∂y ∂N = 2 − 6 x 2 .y 2 ∂x Debido a que las dos derivadas parciales son diferentes, la ecuación diferencial original no es exacta. Sin embargo, la ecuación diferencial corresponde a la forma: y.f ( x.y ).dx + x.f ( x.y).dy = 0

Por consiguiente tiene un factor de integración del siguiente tipo: µ= µ=

1 M.x − M.y 1 ( x 2 .y 3 + 2 y).x − (2 x − 2x 3 .y 2 ).y

Simplificando:

161

I-2005


1

µ= µ=

x 3 .y 3 + 2 x.y − 2 x.y + 2 x 3.y 3 1 3x 3.y 3

Multiplicando la ecuación diferencial por el factor de integración se tiene una ecuación diferencial equivalente: 1

[y.(x .y 2

3

3x .y

3

2

]

+ 2).dx + x.(2 − 2 x 2 .y 2 ).dy = 0

Eliminando signos de agrupación: 1 3

[(x .y 2

3x .y

3

3

]

+ 2y ).dx + ( 2x − 2x 3.y 2 ).dy = 0

( x 2 .y 3 + 2 y).dx + ( 2x − 2 x 3 .y 2 ).dy 3 x 3 .y 3

=0

Separando en 2 fracciones: ( x 2 .y 3 + 2 y).dx 3 x 3 .y 3

+

( 2x − 2x 3 .y 2 ).dy 3 x 3 .y 3

=0

Simplificando:  1 2  +  3x 3 x 3 .y 2 

  2  .dx +  2 − .dx = 0 Ecuación diferencial equivalente   3 x 2 .y 3 3 y    

Para la nueva ecuación se deben redefinir las funciones “M” y “N”: 1 2 + 3x 3x 3.y 2 2 2 N= − 3x 2 .y3 3y

M=

Por la complejidad de expresión de la ecuación diferencial es preferible aprovechar las expresiones matemáticas relacionadas con la propiedad de ser exacta. La expresión para el cálculo de la función primitiva es: x

F( x , y ) = ∫ M ( x , y).dx + φ( y ) x 1 2  F( x , y) = ∫  + .dx + φ( y)  3x 3x 3 .y 2   

Separando en 2 integrales:

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F( x , y) = ∫

x dx

3x

+∫

2.dx

x

3x 3 .y 2

+ φ( y)

Ejecutando las integrales: F ( x , y) =

−3 ln( x ) x 2.x dx +∫ + φ( y ) 3 3 .y 2

F( x , y ) =

ln( x ) 2.x −2 − + φ ( y) 3 6 .y 2

F ( x, y ) =

ln( x) 1 − + φ( y ) Función primitiva 3 3 .x 2 .y 2

Obteniendo la derivada parcial de “F” respecto a “y”: ∂F 2 = + φ ′( y) ∂y 3.x 2 .y3 Pero: ∂F = N( x, y) ∂y De donde: 2 3.x 2 .y 3

+ φ ′( y) =

2 3x 2 .y 3

−

2 3y

Simplificando: φ ′( y) = −

2 3y

Integrando “φ ′ ” se obtiene “φ ”, que es una función logarítmica: 2 dy ∫ 3 y 2 φ( y) = − ln( y) 3 φ( y) = −

La función primitiva es: F( x , y) =

ln( x ) 1 − + φ( y) 3 3.x 2 .y 2

Reemplazando “φ (y)”: F( x, y ) =

ln( x ) 1 2 − − ln( y ) Función primitiva 3 3.x 2 .y 2 3

La ecuación primitiva es:

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F ( x , y) = C ln( x ) 1 2 − − ln( y) = C 2 2 3 3 3.x .y

Multiplicando por “3”: 1

ln( x ) −

x 2 .y 2

− 2 ln( y) = 3C

Reemplazando “3C” por la constante “k”: ln( x) −

3.6

1 2

x .y 2

− 2 ln( y ) = k Solución

PROBLEMAS PROPUESTOS:

Problema Propuesto 1: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. y = x 3 + x + 1 Función solución dy = 3x 2 + 1 Ecuación diferencial dx Solución: si verifica Problema Propuesto 2: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. y = e − 1 / x Función solución dy y = Ecuación diferencial dx x 2 Solución: si verifica Problema Propuesto 3: Verificar si la función detallada a continuación es solución de la ecuación diferencial planteada. y = 3Sen( 2x ) Función solución y ′′ + 4y = 0 Ecuación diferencial

Solución: si verifica

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Problema Propuesto 4: Resolver la siguiente ecuación diferencial y representarla gráficamente: y′ −

1 =0 x

Solución: y = ln( x) + C Problema Propuesto 5: Resolver la siguiente ecuación diferencial y representarla gráficamente: y ′ − x 2 + 3x = 0 Solución: y =

x 3 3x 2 − +C 3 2

Problema Propuesto 6: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y ′ + e −x = 0 Solución: y = e − x + C Problema Propuesto 7: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y ′′ − 4x 2 + 6 = 0 Solución: y =

x4 − 3 x 2 + C1 .x + C 2 3

Problema Propuesto 8: Resolver la siguiente ecuación diferencial: y ′′ + 4x 3 − 7 = 0 Solución: y = −

x 5 7x 2 + + C1 .x + C2 5 2

Problema Propuesto 9: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

d 2y dx 2

− Sen( x) − Cos ( 2x ) = 0

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Solución: y = Sen ( x ) +

Cos( 2x ) + C1 .x + C 2 4

Problema Propuesto 10: Resolver la siguiente ecuació n diferencial: y ′′′ + 6t − 5 = 0

Solución: y = −

t 4 5t 3 + + C1 .t 2 + C2 .t + C3 4 6

Problema Propuesto 11: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy y = dx x 2 Solución: y = A.e − 1 / x Problema Propuesto 12: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy 2y = dx x

Solución: y = A.x 2 Problema Propuesto 13: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy 5 y = dx x

Solución: y = A.x 5 Problema Propuesto 14: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy 1 + x 2 = dx y2

Solución:

y 3 x3 − −x+C= 0 3 3

Problema Propuesto 15: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

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( 2x.y 3 + 4 x)dx + ( 3 x 2 .y 2 + 3y 2 )dy = 0 Solución: x 2 + 1 + k( y 3 + 2 ) = 0 Problema Propuesto 16: Resolver la siguiente ecuación diferencia l: x 3 ( y 2 + 3 x + 2 ).dx + y 2 ( x + 1).dy = 0 Solución:

x3 x2 − + x − ln( x + 1) + y + ln( y + 1) − ln( y + 2) 4 + C = 0 3 2

Problema Propuesto 17: Resolver la siguiente ecuación diferencial: dy y = dx ( x − 1)( y + 1)

 y  Solución: y + ln =C  x −1 Problema Propuesto 18: Resolver la siguiente ecuación diferencial:

6x 2 .( y − 2 ).dx + y .( 2x 3 + 3).dy = 0

{

}

Solución: ln ( 2x 3 + 3 ).( y − 2) 2 + y + C = 0 Problema Propuesto 19: Resolver la siguiente ecuación diferencial: Tan ( θ).dρ = ρ.dθ

Solución: ρ = A .Sen(θ ) Problema Propuesto 20: Resolver la siguiente ecuación diferencial: ( 3x + y ).dx + ( x + 3 y ).dy = 0

 y2  y Solución: x 2  3 2 + 2 + 3  = C x  x  Tip: y = u.x

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3.7

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

Ø

Tagle R. Kent, Saff Edward B. y Zinder Artur David, “Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera”, Pearson Educación, Tercera Edición, 2001. Spiegel Murria R., “Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias”, Mc Graw Hill, Primera Edición, 2001. Campbell Stephen L. y Haberman Richard, “Introducción a las Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valor de Frontera”, Mc Graw Hill, Primera Edición, 1999. Ayres Frank, “Ecuaciones Diferenciales”, Mc Graw Hill, Primera Edición, 2000.

Ø Ø Ø

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