Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo
Docente ADRIANA ADRIANA DEL PILAR PILAR NOGUERA NOGUERA
Integrantes Zuleika Vanessa Fernandez de Castro Salas Santiago Rafael Palacio Miguel Angel Jiménez Freylis Rivera Suarez
Grupo: 243005_37
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD Escuela de ciencias básicas, tecnología e ingeniería. Sistemas Dinámicos
03 Octubre 2018
INTRODUCCIÓN
En el presente trabajo estaremos realizando un análisis mediante un modelo matemático, donde vemos que es una herramienta para que el estudiante plantee soluciones a los problemas planteados. Se hace la introducción a este campo de conocimiento que permite al estudiante unadista tener una opción de especialización en su formación profesional, iniciando con el modela miento matemático en función del tiempo
OBJETIVOS
Modelar sistemas físicos reales por medio de modelos matemáticos en el dominio del tiempo.
Expresar modelos matemáticos que representan el comportamiento de un sistema dinámico en el dominio del tiempo utilizando ecuaciones diferenciales y variables de estado.
Aplicar el análisis de su modelo matemático y obtener la simulación en la herramienta de Matlab®.
Aplicar conocimientos para analizar el sistema dinámico en el dominio del tiempo.
RECONOCIMIENTO CONTENIDOS DEL CURSO LISTADO DE CONCEPTOS CONOCIDOS Definición del sistema:
•
Abarca con precisión precisión como está conformada conformada la subestación subestación configuración configuración interruptor y medio explicando nomenclatura, diagrama unifilar y funciones específicas del sistema.
Planos y diagramas eléctricos:
•
Esboza de manera general los planos y diagramas eléctricos típicos que hacen parte de la S/E, como símbolos y convenciones, diagramas de principio, diagramas del sistema de control, diagramas de protección, diagramas de cableado de control y fuerza, diagrama de servicios auxiliares y diagramas de la compensación serie.
Metodología para la elaboración de consignas de falla:
•
Se desarrolla el planteamiento metodológico para elaborar procedimientos para la atención de fallas no destructivas en la S/E.
Resultados:
Se presenta la aplicación de la metodología propuesta en diversos escenarios para la S/E configuración Interruptor y Medio con sus respectivos resultados.
Interfaz animada de una consigna de falla:
•
Se presenta una propuesta sobre un caso particular, como fase inicial de la automatización de las consignas de falla, proporcionando una interfaz amigable para ayudar a acelerar la toma de decisiones ante la contingencia presentada.
Función de transferencia:
•
Para hallar la función de transferencia, se debe aislar la función de entrada y la función de salida en términos de (s).
Modelamiento matemático:
En ciencias aplicadas, un modelo matemático es uno de los tipos de modelos científicos que emplea algún tipo de formulismo matemático para expresar relaciones, proposiciones sustantivas de hechos, variables, parámetros.
Sistema:
Es un arreglo o combinación de elementos conectados de manera que constituyen un todo y que tienen un objetivo determinado a cumplir.
Control:
Es las elecciones de elementos, parámetros, funciones o configuraciones que se pueden aplicar a un sistema fijo para que se comporte de manera predeterminada.
LISTADO DE CONCEPTOS DESCONOCIDOS Modelamiento Modelamiento en el tiempo Modelamiento en la Frecuencia Diseño de sistemas de monitoreo y fallas. Controlabilidad Observabilidad
DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se matemático o del equipo industrial; de requiere conocer de forma precisa el modelo matemátic esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas.
Se presentan cinco (5) modelos diferentes diferente s sobre el equipo industrial que se requiere modelar, cada estudiante selecciona un modelo diferente del sistema eléctrico para ser analizado. Por lo tanto, se requiere que indique en el for o colaborativo el modelo a usar, con el fin de no repetir modelos, es importante aclarar que no se aceptan modelos repetidos.
S is temas temas E léctri cos co s
A continuación, se presenta un diagrama simplificado simplificado del nuevo equipo industrial, alimentación ón en el cual se tiene como variable de entrada entr ada el voltaje de alimentaci y como bobin a L variable de salida el voltaje en la bobina
.
1. Circuito mixto RLC
1 = 8
1=1Ω
= 3
= 2
Para cada modelo seleccionado, el estudiante desarrolla las siguientes actividades:
1. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal mediante una ecuación diferencial.
A
Para este caso, se expresará el modelo matemático por medio de ecuaciones diferenciales, pero para ellos debemos introducir variables de estado;
==
Para la corriente que varía en función funci ón del tiempo, su dirección se expresa en flechas fl echas y cuando pasa por cada elemento, la identificamos con la escritura , de igual forma identificamos 3 mallas, entre R y C, R1 y L, y R1, V, y el paralelo entre R y C. Al estar en paralelo paralelo la malla malla número comprendida comprendida entre R y C, tenemos tenemos que: que:
=
Definimos el condensador, al ser una variable de estado, para el voltaje en el condensador queda definida como integral, se realiza su función contraria:
1 1 1 = → → 2 → → 2 ∫ = = 12 =0→ = = = = → 3 = 3 = = 3 → 3 3 =
Para la malla 2, comprendida entre la fuente DC, el condensador y la resistencia R1, procedemos a definir su ecuación por ley de Kirchhoff:
Para el voltaje de la bobina, tenemos que:
Por lo tanto:
Despejamos el voltaje de la bobina, tenemos que:
Y para la malla 3, al estar en paralelo, La bobina L y la resistencia R1 tiene el mi smo voltaje, procedemos a definir la ecuación:
= = → 3 = = ∗ → = ∗1Ω= =
Entonces definimos la ecuación de la resistencia y reemplazamos
Ahora hallemos , utilizando la ecuación de la corriente por el nodo A, reemplazamos y tenemos:
Despejamos
18 = 3 = 3 18 = 12 → = 12 3 18 = 12 33 3 3 18 = 12 333 33 18 = 12 18 = 2 2 2 161 = 3 3 = 2 2 2 161 , nos queda:
Ahora reemplazam reemplazamos os dicha expresión expresión en la primera ecuación ecuación que que corresponde corresponde a la la primera malla:
Y a su vez, reemplazamos el equivalente de el voltaje de la bobina L hallada en la segunda malla, (la derivada de la corriente en L):
Por lo tanto, tenemos que:
2. Exprese el modelo matemático del sistema no lineal en el espacio de estados mediante variables de estados. Para este caso, debemos primero establecer cuáles son las variables de estados, para eso definamos las entradas y salidas;
3 = 3
Entrada:
Salida:
= 3 3
Ecuaciones del sistema:
= 3 3 = 2 2 2 161 21== 3 =
Ahora definimos definimos las variables variables de estado: estado:
Sustituimos:
2 161 2 = 2 2̇ 2 3 2=1 2̇ ̇ 2 1 3 = 2 312=3 2̇ 2 3̇ 12 ̇ 2̇ 2 1 3 = 1 312 3 ̇ 1 = 3 3 = ̇ 2
(1)
(2) se multiplica por -1
(3)
Reemplazamos (2) y (3) en (1), nos queda:
Simplificamos, despejamos
Armamos la la ecuación ecuación de estado: estado:
y nos queda:
(1)
1 1 0 ̇ 1 → 12 31116 ̇ 2 → 312 3 ó . 2.
1 = 2√ 1 = 2Ω
= 2
= C1= 2
= = = 1 = = 12 = ∫ = =
Definir las variables de estado. Las cuáles serán:
=
En la malla 1 : R Y C están en paralelo el cual nos indica que la tensión es la misma para hallar la corriente en el capacitor por medio de la integral siguiente.
Esta expresión está en término de integral la cual eliminamos con su contrario que es la derivada en los dos términos de la expresión. (1)
La malla 2 C, C1 Y R1 por LVK se tiene:
= 0
= +∗ = ==1 = = = = 2 2 = 2 = = = → = ∗ → = = 2 = ∗2Ω=2
R1 Y L están en paralelo lo cual tienen el mismo voltaje el capacitor en serie con la resistencia es un acumulador.
(2)
En la malla 3 R1 y L están en paralelo por el cual tienen el mismo voltaje
Utilizamos la ecuación de la corriente en el nodo donde entran dos y salen dos corrientes las cuales son: Reemplazamos valores de las corrientes.
= → = 2√ 1 = 2
= 2 → = 2 2√ 1
Despejamos
Se reemplaza en la primera ecuación:
= = 2 √ = 2 2 √ → = √ (3)
= 12 2√ 1 → = 2 2 2 4√ 1 = 2 2 2 4√ 1 = 2 2 Ecuaciones diferenciales del sistema
Ecuación de salida
= = = 2 = 2 2 2 = 22 22 = ′ = = ′ = = [ ] = [ ] VARIABLES DE ESTADO
= [ ] 3.
= 0 []
Circuito mixto RLC
== 12 ΩΩ == 14 = 32
Primero definimos las variables de estado de nuestro circuito.
==
Como el capacitor está en paralelo con una resistencia tenemos la siguiente ecuación.
=
∫ = ∫
Procedemos a eliminar el integral
= 1 ∫ = 14 = = =1 1 = 1 = = ==∗ ∗= ∗ =00 = = = =1
= 14
Como todo número divido entre no da el mismo número nos queda.
Como la bobina está en serie con R2 y en paralelo con R1 por LBK
Remplazamos en la primera ecuación
=
= = 1 = 1 = 1 = En la ecuación dos de
, se remplaza en 1.
Ecuaciones diferenciales del sistema
= = = = = =1( ) = =
Ecuación de salida:
Variables de estado SNL
= =
̇ = ̇ =
Ecuación uno
Ecuación dos
Tenemos las variables de estado que son dos acumuladores R y L:
==
Variables de estado
== ̇̇ = = = ̇ = = ̇ − = − − = − 0 = 0
Derivadas
Entrada
Elemento no que lo hace no lineal
Hallamos la derivada de de elemento y lo igualamos a cero
Evaluamos en cero
Ecuación diferenciales lineales
= = 5. Circuito mixto RLC
== 21 ΩΩ == 22 = 34
== =
Definimos las variables de estado de nuestro circuito.
Como el capacitor está en paralelo con una resistencia tenemos la siguiente ecuación.
1 12 = = 1 ∫ = 12 = 12 =
= =1 1 = 1 = = ==∗ ∗= ∗=0 0 = = = =1 =
Como la bobina está en serie con R2 y en paralelo con R1 por LBK
Remplazamos en la primera ecuación
= = 1 En la ecuación dos de
, se remplaza en 1.
= 1 = 1 = = = ==== =1( ) = =
Ecuación de salida:
Variables de estado SNL
̇ = = ̇ =
Ecuación uno
Ecuación dos
Tenemos las variables de estado que son dos acumuladores R y L:
== == ̇̇ = = = ̇ = = ̇ − = − − = − 0 = 0
Variables de estado
Derivadas
Entrada
Elemento no que lo hace no lineal
Hallamos la derivada de elemento y lo igualamos a cero
Evaluamos en cero
Ecuaciones diferenciales lineales
= = CONCLUSIONES
Podemos concluir en la fase 1 de sistemas dinámicos que se trabajó sobre el modela miento matemático en función del tiempo para un sistema eléctrico desarrollado mediante la metodología de investigación propuesta por el grupo colaborativo.
BIBLIOGRAFIAS
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