DMDI_U3_EJERCICIOS

Matemáticas discretas Unidad 2. Teoría de gráficas y relaciones

Universidad Abierta y a Distancia de México

Programa de la asignatura: Matemáticas discretas

Unidad 3. Discretización

Actividades 1 – Foro y Actividades de aprendizaje

Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Matemáticas

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Unidad 3. Discretizacion Presentación del Foro - Para Publicar en el Foro Bienvenidos a la Unidad 3 – Discretización. En esta unidad revisarás un tema muy importante para el modelado y el manejo de la información: la discretización.

Actividades del Foro – Para Estudiantes 1. Revisar la historia del problema de la distancia más corta entre dos vértices de una digráfica pesada, y el algoritmo de Dijkstra. ¿Cuál es la correspondencia entre la gráfica y el modelado de ciudades y distancias? 2. Proporcionar tres ejemplos de estructuras físicas que puedas entender, relacionar o abstraer como “entes discretos” . Ejemplo: Las Redes, las imágenes. 3. ¿El planteamiento del problema de encontrar el árbol recubridor de peso

mínimo tiene un enfoque continuo o discreto? ¿Por qué? 4. Investiga en que consiste el método de la ruta crítica o CMP por sus siglas en ingles. 5. Investiga en que consiste la técnica de programación dinámica.

Indicaciones 1. Investiga los conceptos que tu docente en línea te brindará en el documento a través del foro planeación didáctica. 2. Realiza la actividad sugerida por el docente a través de la base de datos. Comparte tu documento en el foro DMDI_U2_A1_XXYZ.pdf, donde XXYZ son las primeras letras de tu nombre y apellidos. 3. Tomando como herramienta el software propuesto por tu docente (por ejemplo OpenProj) y de acuerdo a sus indicaciones realiza las gráficas siguiendo los comandos asignados por dicho programa.


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4. Recuerda que toda la información proporcionada deberá tener las referencias de tus fuentes de consulta. 5. Guarda tu archivo a través de la herramienta de bases de datos.

Programas para CMP, Algoritmos de Dijkstra y de Floyd-Warshall

https://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmo_de_Dijkstra https://en.wikipedia.org/wiki/Floyd%E2%80%93Warshall_algorithm Programación Dinámica 1 Programación Dinámica 2 Software para CMP OpenProj Planner Mathematica Gannt http://www.wolfram.com/mathematica/new-in-8/graph-and-networkanalysis/index.es.html?footer=lang

Webs Los conceptos básicos de CMP, algoritmos de Dijkstra y Floyd-Warshall, con las distintas aplicaciones y su importancia dentro del software y la computación. http://www.cobdc.net/programarilliure/3-aplicaciones-libres-para-la-gestion-deproyectos/


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Actividad 2. Método de la ruta crítica El propósito de esta actividad es que te familiarices con la metodología de representación gráfica a partir de condiciones matriciales de un problema planteado para su posterior resolución mediante el método de la ruta crítica. Método de la ruta crítica

Revisa el contenido nuclear correspondiente a la representación gráfica y el archivo que se recomienda sobre el cálculo numérico y discretización.

Desarrollo: En esta actividad resolverás planteamientos de problemas, mediante su interpretación y su representación gráfica, para ello investigarás la metodología de representación esquemática, realizando los ejercicios incluyendo la interpretación gráfica y explicativa. El documento que realices deberás subirlo a la plataforma a través de la herramienta de tareas. Se recomienda que utilices paquete de cómputo para hacer uso de la simbología y darle mayor formalidad, que puedes localizar en office Recursos

Cálculo numérico y discretización

Control de proyectos

Para reforzar y contribuir a la resolución de esta actividad, revisa el documento “Cálculo numérico y discretización” que se encuentra en la carpeta material de apoyo dentro del aula virtual. Revisa el siguiente vídeo que es un ejemplo de control de proyectos tomado de TheOiram96 (archivo de vídeo) recuperado de


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Indicaciones: Realizar un problema prototipo que contenga lo que se pide. Desarrollo: Nombre del proyecto: Proyecto de entrega de actividades del cierre de materias de la UNADM Formulación del problema: Planeación de las Actividades por entregar de las Materias Cursadas en la UNADM para las 3 semanas restantes. Sistematización: Definir el proyecto con todas las actividades a desarrollar de todas las materias. Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar antes y cuál debe seguir después: tabla matricial de las actividades.

Tabla matricial de actividades Actividad

Descripción

Actividad Predecesora

Duración (días)

A B … … … … Traducción: Dibujar el diagrama de red de actividades conectando las diferentes actividades en base a sus relaciones de precedencia: Expresar en forma de gráfica, en forma de diagrama de flujo de red. Definir tiempo estimado para cada actividad.

Ruta crítica Determina la ruta crítica del proyecto e interpreta el resultado de la misma.


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Apóyate en los recursos recomendados en el contenido nuclear de la unidad, en otros que tu docente te pueda brindar en el foro de planeación didáctica y en tu propia investigación. Recuerda siempre poner la referencia de tu investigación. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura DMDI_U3_A2_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la de tu apellido materno. El trabajo se deberá entregar bajo la calendarización que el docente brindará y deberás entregarlo en un documento de texto o PDF si utilizas algún editor de texto científico. Envía tu documento a tu docente en línea y espera su retroalimentación. Criterios de evaluación Será importante para presentar tu reporte de esta sección: 1. Las respuestas deben ser objetivas y claras. 2. Escribe el procedimiento detallado de cada una de las acciones encaminadas a la representación del ejercicio. 3. Deberás de sustentar cada una de tus respuestas, haciendo referencia a por lo menos bibliografía consultada.


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Actividad 3. Método de la Ruta Crítica (Aplicación)

Propósito: familiarizarse con la metodología de la ruta crítica a partir de condiciones del problema prototípico y para su resolución

El método de la ruta crítica o CPM (Critical Path Method) es ampliamente utilizado ya que proporciona la información necesaria para determinar el orden de las actividades, cuántas y cuáles pueden ser realizadas al mismo tiempo sin afectar al resto, cuánto tiempo puede haber de retraso, duración, costo, entre otras. Cabe mencionar que éste método se relaciona con los algoritmos Dijkstra y Floyd – Warshall ya que hacen uso de pesos, análisis, rutas, grafos y comparaciones para identificar las distintas rutas posibles de acuerdo al objetivo buscado. Los grafos son usados para modelar los proyectos ya que muestran la relación de las actividades y el orden en el que se deben realizar. En un digrafo, la flecha puede representar la actividad o su duración, lo mismo sucede con los vértices.

Método de la ruta crítica Revisa el contenido nuclear correspondiente a la representación gráfica y los ejemplos en forma de presentación con diapositivas.

Desarrollo: Esta actividad desarrollarás ejercicios de interpretación del problema a partir de la redacción del mismo y su representación por medio de gráficas. Para realizar esto investigarás la metodología de representación esquemática y realizarás los ejercicios incluyendo la interpretación metodológica y explicativa. Se recomienda que utilices paquete de cómputo para hacer uso de la simbología y darle mayor formalidad, la puedes localizar en office para plasmar su resolución.


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Recursos:

Recursos Método de la ruta crítica

Para reforzar la resolución de esta actividad, se te recomienda revisar la presentación de Power Point llamada Método de la ruta crítica, que se encuentra en la sección Material de apoyo dentro del aula virtual.

Aquí se muestra un video de un ejemplo de cómo encontrar la ruta crítica.

Ruta crítica

https://www.youtube.com/watch?v=0BhDUkzW1c

Material de apoyo: http://algoritmodefloyd.blogspot.com/ https://www.youtube.com/watch?v=UFZN0NmY1jQ https://www.youtube.com/watch?v=h-nmexY9gtA https://prezi.com/yd2whxwostgz/algoritmo-de-dijkstra-floyd-warshall/ https://www.youtube.com/watch?v=bwuNCIB8SMk https://www.youtube.com/watch?v=T_eGloMib1w https://www.youtube.com/watch?v=CVa4gtQOlzk

Indicaciones: En un documento Word resuelve los siguientes planteamientos presentando el procedimiento de forma clara y ordenada, resaltando el resultado final y presentando la justificación de este. Deberás aplicar el método de la ruta crítica o el algoritmo de Floyd – Warshall según corresponda.


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Planteamiento 1:

Un grupo de estudiantes está organizando su fiesta de graduación, para ello debe realizar las siguientes actividades en los tiempos señalados:  



Encontrar el salón adecuado (4 días). Una vez elegido el salón, contratar el grupo musical que amenizará el evento (2 días) a la vez que se elige el menú (3 días) y se reparten las invitaciones (1 día). Ya contratado el grupo musical y entregadas las invitaciones, se realizarán los ensayos de la ceremonia de entrega de títulos profesionales (5 días).

Aplicar el método de la ruta crítica y obtener lo siguiente: a) Rellenar la tabla matricial con los datos necesarios (puedes aumentar o disminuir filas según lo requieras): Actividad

Descripción

Predecesor

Duración (días)

Arista

Inicio

Fin

b) Diseñar la red de actividades

c) Calcular los 4 tiempos

ES

EF

LS

LF

d) Calcular las holguras e) Presentar la ruta crítica con su respectiva justificación.


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Planteamiento 2:

Considerando el siguiente grupo de ciudades para formar una red de comunicación, realizar lo solicitado.

2

4

1 3

a) b) c) d)

Determinar la matriz de adyacencia Determinar la matriz de incidencia Determinar la matriz de pesos Aplicar el algoritmo de Floyd – Warshall para obtener los posibles caminos de comunicación entre las 4 ciudades y determinar la ruta menor para conectarlas iniciando en 1 y finalizando en 4. Deberá presentar la matriz correspondiente a cada iteración, así como el resaltado de los cambios realizados en cada una de ellas. Al final, presentar la ruta encontrada, su distancia y la interpretación del resultado. Consideraciones:   

Para cada iteración, se selecciona el mismo número de fila y columna. Para el cálculo de las distancias o pesos se utiliza la fórmula C ij = min {Cij, i+j}. Los valores para i se eligen considerando los números de la columna seleccionada diferentes de ∞ y de cero (es decir, que no estén en la diagonal principal) y los valores para j corresponderán a los números de la fila que sean distintos de ∞ y de cero.


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

Guarda tu archivo con la nomenclatura DMDI_U3_A3_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la de tu apellido materno. No enviar carpetas comprimidas.

Criterios de evaluación: Es importante que tu reporte de actividad cumpla con las siguientes características: 1. Representa la matriz de planteamiento del problema prototípico planteado por tu Docente en línea. 2. Plantear la gráfica de flujo resultante del planteamiento con respecto a la matriz de etapas. 3. Aplicar el método de la ruta crítica para encontrar la solución óptima. Fuentes de consulta: Grimaldi, R. (1990). Matemática discreta y combinatoria. 3ª edición. México: Editorial Pearson. Johnsonbaugh, R. (2005). Matemáticas Discretas. 6ª Edición. México: Editorial Pearson.


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Actividad 4. Evidencia de aprendizaje. Método de la ruta crítica Objetivo.

El propósito de esta actividad es encontrar la ruta más crítica con un método CPM que se desarrolla mediante intervalos determinísticos, lo cual lo diferencia del método PERT (Project Evaluation and Review Techniques) que supone tiempos probabilístico. A continuación, deberás de desarrollar con el método de CPM dos ejercicios donde determinaras la ruta más crítica de cada proyecto. Ejercicio. C ons trucci ón de una mes a de madera.

Encontrar la ruta más crítica para llevar un control y optimizar de los costos mediante la programación y planeación de acuerdo a las actividades que se establecen en la tabla. Se solicita que estime la duración total del proyecto a través del método CPM. El método de la ruta crítica usa tiempos ciertos o estimado s y consiste prácticamente en: -Identificar todas las actividades que involucra el proyecto -Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar antes y cuál debe seguir después. -Construir una red o diagrama conectando las diferentes actividades a sus relaciones de precedencia. -Definir el tiempo estimado para cada actividad. -Identificar la ruta crítica y las holguras de las actividades que componen el proyecto. -Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el proyecto.

Actividad A B C D E

Descripción Cortar Lijar Pintar Armar Empacar


Predecesor A A A B,C

Duración(semanas) 4 2 3 1 5

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A continuación, te describo los puntos a desarrollar. 1.-Realizar el diagrama de red del proyecto. Es una representación gráfica de todas las tareas del Proyecto. Incluye ciertos atributos en cada uno de los nodos, en cada una de las tareas del Proyecto. Define muy claramente las precedencias y las relaciones entre las tareas. 2.-Calcular la duración de las actividades. Para conocer la ruta crítica tenemos que analizar todos los caminos posibles desde la actividad inicial A hasta la actividad final, por ello deberás de desarrollar el cálculo de cada nodo, donde a continuación te detallo el significado de cada sigla.

Tiempo de inicio más cercano (IC): Que significa lo más pronto que se puede comenzar una actividad. o

o

o

Tiempo de terminación más cercano (TC): que significa lo más pronto que se puede terminar una actividad. Tiempo de inicio más lejano (IL): que significa lo más tarde que se puede comenzar una actividad sin retrasar todo el proyecto. Tiempo de terminación más lejana (TL): Que significa lo más tarde que se puede terminar una actividad sin retrasar todo el proyecto.

3.-Calcular la holgura de cada nodo, Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que consiste en el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una actividad sin que esto retrase la finalización del proyecto. La holgura de una actividad se puede obtener con la siguiente fórmula: Holgura = IL - IC = TL - TC

4.-Calcular la ruta crítica, bajo los términos que has trabajado en los puntos anteriores. En este punto deberás de mencionar la ruta mas critica (el camino mas largo) y el tiempo que durar.

Ejercicio 2

El propósito de este ejercicio es desarrollar los diferentes procesos donde determines la ruta más crítica del proyecto, y donde calcularas lo siguiente, el diagrama de red, los tiempos, la holgura y realizando estos procesos deberás de determinar la ruta más crítica del proyecto. Se solicita que estime la duración total del proyecto a través del método CPM


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El método de la ruta crítica usa tiempos ciertos o estimado s y consiste prácticamente en: -Identificar todas las actividades que involucra el proyecto -Establecer relaciones entre las actividades. Decidir cuál debe comenzar antes y cuál debe seguir después. -Construir una red o diagrama conectando las diferentes actividades a sus relaciones de precedencia. -Definir el tiempo estimado para cada actividad. -Identificar la ruta crítica y las holguras de las actividades que componen el proyecto. -Utilizar el diagrama como ayuda para planear, supervisar y controlar el proyecto.

Actividad

A B C D E

Tiempo de la actividad(días) 4 1 3 2 3

Predecesor(es) Inmediato(s) A B C,D

A continuación, te describo los puntos a desarrollar. 1.-Realizar el diagrama de red del proyecto. Es una representación gráfica de todas las tareas del Proyecto. Incluye ciertos atributos en cada uno de los nodos, en cada una de las tareas del Proyecto. Define muy claramente las precedencias y las relaciones entre las tareas. 2.-Calcular la duración de las actividades. Para conocer la ruta crítica tenemos que analizar todos los caminos posibles desde la actividad inicial A hasta la actividad final, por ello deberás de desarrollar el cálculo de cada nodo, donde a continuación te detallo el significado de cada sigla.

Tiempo de inicio más cercano (IC): Que significa lo más pronto que se puede comenzar una actividad. Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Matemáticas

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o

o

o

Tiempo de terminación más cercano (TC): que significa lo más pronto que se puede terminar una actividad. Tiempo de inicio más lejano (IL): que significa lo más tarde que se puede comenzar una actividad sin retrasar todo el proyecto. Tiempo de terminación más lejana (TL): Que significa lo más tarde que se puede terminar una actividad sin retrasar todo el proyecto.

3.-Calcular la holgura de cada nodo, Adicionalmente se define el término Holgura para cada actividad que consiste en el tiempo máximo que se puede retrasar el comienzo de una actividad sin que esto retrase la finalización del proyecto. La holgura de una actividad se puede obtener con la siguiente fórmula: Holgura = IL - IC = TL - TC

4.-Calcular la ruta crítica, bajo los términos que has trabajado en los puntos anteriores. En este punto deberás de mencionar la ruta más crític a (el camino más largo) y el tiempo que durar.

Criterios de evaluación :

Para evaluar esta sección de actividades, debes de tomar en cuenta las siguientes recomendaciones:

1. El planteamiento de cada ejercicio debe ser claro en el desarrollo y

planteamiento de la respuesta que presentaras. 2. Describe claramente el procedimiento de cada ejercicio. 3. Debe contar con una presentación de los datos de la actividad y datos personales.

Referencias. (Documentación) https://todopmp.com/metodo-de-la-ruta-critica/ http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/dominguez_g_as/capitulo3.pdf (Buscar el diagrama de flechas) Ciencias Exactas, Ingeniería y Tecnología | Matemáticas

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https://www.lucidchart.com/pages/es/ruta-critica-del-diagrama-de-pert Material de apoyo (Videos) https://www.gestiondeoperaciones.net/proyectos/como-obtener-la-ruta-critica-de-unproyecto-critical-path-method/ https://es.smartsheet.com/la-ultima-guia-del-metodo-de-ruta-critica https://www.sinnaps.com/blog-gestion-proyectos/pasos-calcular-la-ruta-critica


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Autorreflexiones. Unidad 3 El propósito de esta actividad, es que analices el proceso de aprendizaje que has tenido durante la unidad. Desarrollo: Seguramente durante la unidad, te encontraste con conceptos, o contenidos que tenías poco o nulo conocimiento, pero debido a tu capacidad de aprendizaje, pudiste adquirirlos y resolver las diversas actividades que te propusieron. Es por ello, que a través de esta actividad se pretende buscar y reflexionar sobre esos procesos por los cuales tú como estudiante aplicaste y lograste concluir esta unidad de manera satisfactoria. Indicaciones: Contesta lo que se te pide. 1.

¿En el contexto de la materia que significa discretizar un problema?

2.

¿Qué es modelar un problema de forma discreta?

3.

¿En qué consiste el algoritmo de Dijkstra? ¿Cuáles son sus entradas? Y ¿Cuáles sus salidas?

4.

¿Cuál es la diferencia entre el algoritmo de Dijkstra y el algoritmo de FloydWarshall? ¿Qué problemas resuelven cada algoritmo?

5.

¿En que consiste la técnica de programación dinámica?

6.

Narra tu experiencia en 200 palabras al cursar la materia de matemáticas discretas.

7.

¿Cuáles competencias o habilidades has adquirido en ésta unidad?

8.

¿Consideras de utilidad los temas revisados?

2. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura DMDI_U3_ATR_XXYZ, sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la de tu apellido materno. 3. El trabajo se deberás entregarlo bajo la calendarización que el docente brindará y deberás entregarlo en un documento de texto o PDF. 4. Envía tu documento a tu docente en línea y espera su retroalimentación.


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Cierre de la unidad Recordarás en este curso de matemáticas discretas podrás sensibilizarte para reconocer la importancia de la representación de cambios de bases numéricas como parte de la primera unidad, luego en la segunda unidad las cantidades se mostraron como entidades matemáticas susceptibles de expresarse como elementos que integran conjuntos, además de poderse expresar en forma matricial y ciertas operaciones asociadas con los conjuntos matriciales y además las propiedades que hacen posible esas operaciones. Conocidos esos aspectos la tercer unidad nos brindó elementos del porque aplicar la discretización en casos prácticos y la relación de las matrices y la resolución de problemas prototípicos donde se involucra el uso de gráficos y algoritmos de resolución de problemas asociados a los conocimientos adquiridos que los hacen significativos.

Fuentes de consulta Grimaldi. R. (1990). Matemática discreta y combinatoria. 3ª edición. México. Editorial Pearson Johnsonbaugh, R. (2005). Matemáticas Discretas. (6ª Edición), México. Editorial Pearson


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DMDI_U3_EJERCICIOS

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