Distribución Logarítmica

Distribución Logarítmica-Normal La distribución logarítmica natural es una probabilidad utilizada para expresar el comportamiento de observaciones con asimetría positiva, en donde la mayoría de los valores ocurren las proximidades de un valor mínimo. También es conocida como Ley de Galton-Mac. Aliester o ley del efecto proporcional, según Calot (1988). Esta distribución es característica en conjuntos de datos donde existe mayor frecuencia de valores pequeños. Por lo cual la media se desplaza hacia la derecha y esto hace que el mejor estadígrafo e stadígrafo de posición sea la moda y no la media aritmética. Esta consideración se valora pero no se comparte en lo referen te a la valoración de los datos por considerarse que el mismo puede hallarse con más exactitud en el valor de la mediana lo cual no ocurre ocu rre con la moda, también se dice que otra medida de posición válida para esta distribución es la media geométrica. Una condición para que sea válida esta distribución es que x sea la resultante de un número elevado de causas independientes con efectos positivos, que se forma de manera multiplicativa y cada una de estas causas tiene un efecto despreciable. Puede comprobarse que la mediana está comprendida entre la moda y la media y más cerca de la media que de la moda de tal forma que la mediana está casi dos veces más cerca de la media que de la moda. Ejemplo Los ahorros de los estudiantes de la UAM siguen una distribución logarítmica normal de parámetros 3 y 2. Calcular la probabilidad de estudiantes que se encuentran entre 70 y 150 mil. La probabilidad de que los estudiantes ahorren entre 70 y 150 mil es de 11.04% 11.04 % La densidad de probabilidad de una variable log x es: X = N (µµµu, o) Y = e^X.  Ahora la variable queda: Función de distribución: G (y) = P (Y<=≤y) ( Y<=≤y) = P (e^X<= (e^X<= ≤y) = P(X<=≤log y) = F (log y) Función de densidad: g (y) = G’ (y) (y) = F’ (log (log y) * (1/y)

La distribución log normal se caracteriza por las siguientes propiedades: 

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Asigna valores a las tasas y probabilidades de fallo que sólo pueden ser positivas. Como depende de dos parámetros se ajusta bien a un gran número de distribuciones empíricas. Es utilizada para parámetros que son a su vez producto de numerosas cantidades aleatorias (múltiples efectos que influyen sobre la fiabilidad). La esperanza matemática o media es mayor que su mediana, por lo que da más importancia a los valores grandes de las tasas de fallo que una distribución normal con los mismos percentiles del 5% y 50% teniendo en cuenta que son malos.

Gráfica

Función de densidad.

Función de distribución

 Aplicación La distribución logarítmica natural se ajusta a ciertos tipos de fallos (fatiga de componentes metálicos) vida de los aislamientos eléctricos, procesos continuos y datos de reparación además de ser buena representación en los tiempos de reparación. La distribución logarítmica natural es importante en la representación de fenómenos de efectos proporcionales tales como cambios en la variable en cualquier punto de un proceso y en fallas de mantenimiento. Es aquella en que el logaritmo de la variable está distribuida normalmente, por consiguiente la función densidad de probabilidad se p uede obtener de la distribución normal mediante a transformación de su ecuación.