DISEÑO DE ELEMENTOS DE MÁQUINAS
DISEÑO DE EJES
EJES • DEFINICIÓN • Un eje es un elemento rotatorio generalmente de sección transversal circular cuya función es transmitir movim vimiento nto y po pottencia cia. • Contituye elemento de rotación de dispositivos como engranes, poleas, volantes, manivelas, ruedas, catarinas y otros elementos
EJES • DEFINICIÓN • Un eje es un elemento rotatorio generalmente de sección transversal circular cuya función es transmitir movim vimiento nto y po pottencia cia. • Contituye elemento de rotación de dispositivos como engranes, poleas, volantes, manivelas, ruedas, catarinas y otros elementos
PARÁMETROS A CONSIDERAR EN EL DISEÑO DE EJES • DEFORMACIÓN Y RIGIDEZ – Defo Deform rmac ació iónn por por flex flexió iónn – Defo Deform rmac ació iónn por por tors torsió iónn – Inclinaci Inclinación ón en en cojinetes cojinetes y elemento elementoss soport soportados ados por los los ejes – Defo Deform rmac ació iónn por por cor corta tant ntee
• ESFUERZO Y RESISTENCIA – Resi Resist sten enci ciaa está estáti tica ca – Resi Resist sten enci ciaa a la la fat fatig igaa – Confia nfiabi bili lida dadd
CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA • Barra cilindrica escalonada • Los escalones u hombros son utilizados para localizar axialmente algunos elementos • Generalmente son maquinados, para poder colocar con presición los elementos mecánicos
CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA • Muchos casos en el diseño de ejes implican el problema de transmitir momento de torsión de un elemento a otro en el eje. • Elementos mutilizados para transmisión de momento rotacional (ver figura): – – – –
Cuñas Conectores ranurados Tornillos de fijación (opresores) Pasadores
MATERIALES PARA EJES • Tipicamentes son maquinados o estirados en frio a partir de placas de acero al carbón rolada en caliente • Para aplicaciones de alta resistencia, se utilizan aceros especiales • Algunas aplicaciones donde se requiera de buena resistencia a la corrosión pueden utilizas bronces, titanio u otros elementos • El aluminio no es comunmente utilizado por su baja resistencia mecánica y baja dureza superficial
DISEÑO POR DEFORMACIÓN Y POR RESISTENCIA • El análisis de deformaciones y pendientes, no puede realizarse hasta que hayan sido definidas las características geométricas de todo el eje • LA DEFORMACIÓN ES FUNCIÓN DE LA CONFIGURACIÓN GEOMÉTRICA DE TODAS LAS PARTES • EL ESFUERZO EN UNA SECCIÓN DE INTERÉS ES FUNCIÓN DE CONDICIONES GEOMÉTRICAS Y CARGAS LOCALES •
***EN NUESTRO CASO, NOS INTERESA SOLAMENTE EL ANÁLISIS DE ESFUERZOS***
CARGAS • Para determinar los esfuerzos en un punto especifico del eje, solo es necesario conocer las cargas aplicadas en ese punto • Para esto utilizaremos los diagramas de momento flexionante y torque aplicado. (Figura)
ESFUERZOS • Entonces los esfuerzos aplicados EN LA SUPERFICIE del eje de diámetro “d” estan determinados por: • AXIAL (F):
• FLEXIÓN (M):
• CORTANTE (T):
P
σ =
σ =
A
=
Mc
σ =
I Tc J
4 F
d 2
π
=
32 M
d 2
π
=
16 T
d 3
π
CARGA ESTÁTICA • Utilizando el circulo de mhor, se puede calcular: 2
τ máx =
´
σ =
3
d
π
4 3
d
π
[(8 M
[(8 M
+
+
Fd )
Fd )
2
2
+
+
(8T )
( 48T )
2
2
1
]
1
]
2
2
• ¿CUÁL SERÍA EL FACTOR DE SEGURIDAD DE ACUERDO A LA TEORÍA DEL CORTANTE MÁXIMO Y ENERGÍA DE DISTORSIÓN?
CARGA ESTÁTICA (FLEXIÓN + TORSIÓN) • Típicamente la carga axial en un eje es pequeña comparada con el momento flexionante M y el torque aplicado T, y generalmente es despreciada.
τ máx =
´
σ =
16 3
d
π
16
d 3
π
[ M
[( 4 M )
2
2
+
+
T
2
1
]
(3T )
2
2
1
]
2
CARGA ESTÁTICA (FLEXIÓN + TORSIÓN) • Generalmente, cuando se diseña una eje, se desea saber el diámetro adecuado para un factor de seguridad determinado, o viceversa, para un diámetro seleccionado, conocer su factor de seguridad. • Evaluando las ecuaciones anteriores para el diámetro y factor de seguridad tenemos: TEORÍA DEL ESFUERZO CORTANTE MÁXIMO 32n 2 2 1 2 d = ( M + T ) π S y 1
32
( M
2
+
2
1 3
T )
1
2
TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN 16n 2 2 12 d = (4 M + 3T ) π S y 1
=
16
( 4 M
2
+
2
1 3
3T )
1
2
CARGA ESTÁTICA (FLEXIÓN + TORSIÓN) TEORÍA DEL ESFUERZO
TEORÍA DE LA ENERGÍA DE DISTORSIÓN
CORTANTE MÁXIMO
32n 2 2 1 2 ( M +T ) d = π S y 1
n
=
32 3
d S y
π
( M
2
+
2
T )
1 3
1
2
16n 2 2 12 d = (4 M + 3T ) π S y 1
n
=
16 3
d S y
π
( 4 M
2
+
2
1 3
3T )
1
2
EJEMPLO 1 EJES • 2.- Un eje está cargado por un par de torsión de 40,000 lb-in. El material tiene una resistencia de cedencia de 50,000 psi. Si se requiere que el diseño tenga un factor de seguridad de 2, calcule el diámetro requerido del eje de acuerdo a: • Teoría del cortante máximo • Teoría de la energía de distorsión
EJEMPLO 2 EJES • 3.- El eje que se muestra, esta empotrado a la pared y esta hecho de aluminio 6061-T6, con Sy=40,000 psi y Su=45,000 psi. • La carga F aplicada es de 350 lb. ¿Cuál es el factor de seguridad?
CARGA VARIABLE • Cualquier eje rotatorio cargado por momentos de flexión y torsión varibles, producirá un estado de esfuerzos con cargas variables • Además, se debe considerar el efecto de los factores de concentración de esfuerzos a la fatiga para las cargas flexionantes y de torsión • ¿CÓMO RESOLVERIAMOS EL PROBLEMA PARA UN EJE CON ESTAS CONDICIONES DE CARGA?
CARGA VARIABLE • APLICANDO LOS CRITERIOS DE FALLA PARA CARGAS FLUCTUANTES
• SODERBERG • GOODMAN • GERBER • ECUACIÓN DE LA ASME
σ a
Se σ a
Se
+
+
σ m
S y σ m
Su
=
=
1
n 1 n 2
nσ m = 1 + Se Su 2 2 nσ a nσ m =1 + S e S y nσ a
CARGA VARIABLE
• ¿ COMO INCLUIMOS EL EFECTO DE LA COMBINACIÓN DE LAS CARGAS?
SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO
• SODERBERG ENERGÍA DE DISTORSIÓN
CORTANTE MÁXIMO
d n
2 M m M a 32n 2 + K fs2 T m d = K f + S y S e π S y
+
T a
S e
M M 2 1 32 2 2 T m m a = + + K K f fs 3 n π d S y S e S y
2
+
1
2
d
1 3
T a S e
2
1
2
n
M 48n 2 d = K f m π S y
+
M a
S e
2
+
T m S y
K fs 2
+
T a
2
S e
M M 2 1 48 2 2 T m m a = + + K fs K f 3 S n π d S y S e y
+
1
2
T a S e
MOMENTO COMPLETAMENTE ALTERNANTE Y PAR CONSTANTE (M m=Ta=0) ENERGÍA DE DISTORSIÓN CORTANTE MÁXIMO
d n
1 2 2 2 T m 32n M a K f + K fs d = S e S y π
1
=
32 M a K
2
T m + K 2
d
1 3
1
2
n
1 2 2 2 M a T m 48n K f + K fs d = S e S y π
1
=
2 2 T m 48 M a K f + K fs
1 3
1
2
1 3
2
1
2
SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO CORTANTE MÁXIMO
M n 32 K f 2 m d = S y π
+
M 1 32 2 m K = f 3 n π d S y
M a
2
T m + K S y S e
+
M a
2 fs
+
T a
2
S e
2
T m + K S S e y 2 fs
+
1
2
T a
S e
1 3
2
1
2
SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO
• GOODMAN (ENERGIA DE DISTORSION)
d n
1 1 16n 1 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] 4 + 3 + 4 + 3 d = K M K T K M K T f a fs a f m fs m π S S u e
1
n
=
16 1
[4(K f M a ) 3 π d S e
2
+
3(K fsT a )
2
1
]
2
+
1
Su
[4(K M )
2
f
m
+
1 3
3(K fsT m )
2
1
]
2
MOMENTO COMPLETAMENTE ALTERNANTE Y PAR CONSTANTE (M m=Ta=0)
d n
16n K f M a 2 d = Se π 16 K f M a 2 = 3 n π d S
1
+
+
3
K fsT m Su
3
1 3
K fsT m S
SOLUCIONES PARA FACTOR DE SEGURIDAD Y DIAMETRO
• GERBER (ENERGIA DE DISTORSION)
d n
1 2 8nA 2 BSe 2 d = 1 + 1 + π S e AS u
2 8 A 2 BSe = 1 + 1 + 3 n π d S e ASu
1
1 3
1
2
A =
4( K f M a )
2
B =
4( K f M m )
2
2
+
3( K fsT a )
+
3( K fsT m )
2
MOMENTO COMPLETAMENTE ALTERNANTE Y PAR CONSTANTE (M m=Ta=0)
d n
16nK f M a d = π S e
2 K fsT m S e 1 1 3 + + K M S f a u 1 2 2 16 K M K T S 1 f a fs m e = 1 + 1 + 3 3 π d S n K M S 1 2
1 3
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS 1. Realizar el diagrama de cuerpo libre, reemplazando los elementos de máquina montados en el eje por sus cargas estáticas equivalentes y torques 2. Dibujar los diagramas de momentos flexionanes en los planos x-y , x-z. El momento resultante en cualquier sección del eje esta determinado por: M x
=
2
2
M xy + M yz
**En caso de que se produzcan momentos de flexión en 2 planos**
3. Dibujar el diagrama de torque
PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS 4. Identificar el punto crítico donde el momento y torque sean máximos, ó 5. Seleccionar el (los) punto(s) a analizar 6. Calcular: Mm, Ma, Tm, Ta, Kf , Kfs, y Se (corregido) 7. Aplicar las ecuaciones de diseño para diámetro y factor de seguridad, según se requiera
Concentradores de esfuerzos • Cuñeros
r/d=0.02 r- Radio del filete cuñero d- Diámetro del eje Con la cuña colocada Kt = 2.2 Kts = 3 Sin la cuña colocada Kt = 2.14
Concentradores de esfuerzos • Anillos de retención
Concentradores de esfuerzos • Factores de concentración de esfuerzos estimados. • Se pueden utilizar como primera aproximación, cuando las dimensiones son desconocidas
Ejercicio 2 (Tareas) • La figura muestra una porción de eje de acero AISI 1040, forjado y tratado térmicamente, que tiene superficies maquinadas con dimensiones D= 1.875 in y d = 1.5 in. El proceso de tratamiento con calor da por resultado resistencia mínimas a la tensión de Su= 100 Kpsi y Sy= 70 Kpsi. La sección del eje en el hombro se somete a un momento flexionante con inversión completa de 1000 lb-in y a una torsión constante de 500 lb-in. Determine el factor de seguridad para duración infinita con base a la relación de Goodman y teoría de energía de distorsión
EJEMPLO 3. EJES 3.- La figura muestra un eje no rotatorio con una carga P que varía de 4,500 a 13,500 N. La prueba del material da: q = 1; Su=500 MPa, Sy=290 MPa y Se=130 MPa (corregido). Se desea diseñar el eje para un factor de seguridad de 2. Encuentre el valor de permisible para D, si las condiciones del esfuerzo en los filetes deben ser satisfactorias para una operación continua
EJEMPLO 4. EJES 4.- Un eje de acero AISI 1040 (Su= 750 MPa, Sy= 552 MPa) tiene la configuración geométrica que se muestra en la figura. El eje gira y soporta una carga transversal de 7KN y un momento de torsión de 110 N-m. El cuñero tiene un Kf de 2.14 y Kfs de 2.62. Revise el factor de seguridad para: – La parte que tiene el cuñero – Las secciones de 40 mm – Las secciones de 35 mm UTILICE EL CRITERIO DE GODMAN T.E.D.
