UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
TRABAJO FINAL TEMA:
DETERMINACIÓN DEL RESISTOR APROPIADO EN UN CIRCUITO RLC PARA DISIPAR ENERGÍA A UNA RAZÓN ESPECIFICADA UTILIZANDO EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN CURSO: METODOS NUMERICOS PROFESOR: ING. SAMANIEGO MANRIQUE, JAVIER J AVIER INTEGRANTES: ACARLEY LEYVA HANDERLEY GERSON
1413220175
GARCIA GARCIA PABLO ALEXIS
1413210025
ROMANI VASQUEZ MARCO ANTONIO
1413220293
2017 -A
DISEÑO DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO RLC Método de la Bisección. Supongamos que se tiene una función continua en el intervalo [a,b] y de tal manera que f(a)*f(b) < 0 esto quiere decir que f(x) tiene un cero en el intervalo abierto (a,b). Por la razón que el producto del valor de la función en a y b es negativo es decir cambia de signo en el intervalo [a,b], lo que afirma es una consecuencia del teorema del valor medio. Pues el método en análisis explota el hecho anterior para su fundamento, pues dicho método determina c = (a+b)/2 y averigua si f(a) f(c) <0 si esto resulta siendo cierto entonces f(x) tiene una raíz en el intervalo [a,c]. En seguida tomamos el valor de c como b y realizamos el mismo análisis anterior. Si ocurriera que f(a) f(c) >0 entonces f(c) f(b) < 0 en este caso redefinimos a c =a En ambos caso a sucedido que se a determinado un nuevo intervalo que contiene una raíz de la función y el proceso puede repetirse. Si f(a)* f(c) = 0, o f(c)* f(b) = 0; entonces f(c) = 0 y con esto se ha determinado una raíz del polinomio, pero vale aclarar que este caso no sucede en general puesto que los redondeos en una computadora difícil es cero. Por esta razón es que para concluir se debe realizar con una tolerancia de 10-3. Este método también se le conoce con el nombre de método de la bipartición, pero debemos destacar este método es el más sólido y seguro que los otros métodos para encontrar una raíz en un intervalo.
INTERPRETACIÓN GRÁFICA
f(a) f(b) a a
c
f(c)
caso a) f(a)*f(c)<0¸
c
b
b
f(b)
f(a)
Caso b) f*(c)f(b)<0
Antecedentes. Los ingenieros eléctricos y electrónicos emplean las leyes de Kirchhoff para estudiar el comportamiento de los circuitos eléctricos en estado estacionario (que no varía con el tiempo). Otro problema importante tiene que ver con circuitos de naturaleza transitoria, donde súbitamente ocurren cambios temporales. Esta situación se presenta cuando se cierra el interruptor como se muestra en la figura 1. En tal caso, existe un periodo de ajuste al cerrar el interruptor hasta que se alcance un nuevo estado estacionario. La longitud de este periodo de ajuste está íntimamente relacionada con las propiedades de almacenamiento de energía, tanto del capacitor como del inductor. La energía almacenada puede oscilar entre estos dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la resistencia en el circuito disipará la magnitud de las oscilaciones. El flujo de corriente a través del resistor provoca una caída de voltaje (V R) dada por: VR = i.R Donde i = la corriente y R = la resistencia del resistor. Si las unidades de R e i son ohms y amperes, respectivamente, entonces las unidades de V R son voltios. De manera semejante, un inductor se opone a cambios de corriente tales que la caída del voltaje a través del inductor V L es VL = L
Donde L = la inductancia. Si las unidades de L e i son henrios y amperes, respectivamente, entonces las de V L son voltios, y las de t son segundos. La caída del voltaje a través del capacitor (V C) depende de la carga (q) sobre éste: VC =
Donde C = la capacitancia. Si las unidades de carga se expresan en coulombios, entonces la unidad de C es el faradio. La segunda ley de Kirchhoff establece que la suma algebraica de las caídas de voltaje alrededor de un circuito cerrado es cero. Así que, después de cerrar el interruptor se tiene L
+ R.i +
=0
Sin embargo, como la corriente se relaciona con la carga de acuerdo con i=
Por lo tanto, L
+R
+
=0
… (1.1)
Ésta es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden que se resuelve usando métodos de cálculo Esta solución está dada por
−/ = cos
…(1.2)
Fig . 1. Un circuito eléctrico. Cuando se cierra el interruptor, la corriente experimenta una serie de Oscilaciones hasta que se alcance un nuevo estado estacionario.
Si en t = 0, q = q 0 = V0C y V0 = el voltaje de la batería. La ecuación (1.2) describe la variación de la carga en el capacitor.
Problema de diseño. Un problema de diseño típico en ingeniería eléctrica consistiría en la determinación del resistor apropiado para disipar energía a una razón especificada, con valores conocidos de L y C. En este problema, suponga que la carga se debe disipar a 1% de su valor original (q/q 0 = 0.01) en t = 0.05 s, con L = 5 H y C = 10 –4F.
Solución. Es necesario despejar R de la ecuación (1.2) con valores conocidos para q, q 0, L y C. Sin embargo, debe emplear una técnica de aproximación numérica, ya que R es una variable implícita en la ecuación (1.2). Se usará el método de bisección para dicho propósito. Los otros métodos estudiados también son apropiados; aunque el método de Newton-Raphson tiene el inconveniente de que la derivada de la ecuación (1.2) es un poco complicada.
Reordenando la ecuación (1.2)
1 − = cos (2) =−. cos√ 20000.01 0.050.01
Utilizando los valores numéricos dados,
Un examen de esta ecuación sugiere que un rango inicial razonable para R es 0 a 400 Ω (ya que 2 000 – 0.01R2 debe ser mayor que cero).
= 12 [0+400]=200 = 0,1630918657 ∈[ 200 ;400] = 12 [200+400]=300 = 0,2950255687 ∈[ 300 ;400] = 12 [300+400] =350 = 0,02091493846 ∈[ 300 ;350] = 12 [300+350] =325 = 3,154640296 × 10− ∈[ 325 ;350] = 12 [325+350]=337,5 = 9,149457424 × 10−
∈[ 0 ;400]
∈[ 325 ;337,5] = 12 [325+337,5] =331,25 = 3,066427791 × 10− ∈[ 325 ;331,25] = 12 [325+337,5]=328,125 = 2,630694132 × 10− ∈[328,125;331,25] = 12 [328,125+331,25]=329,6875 = 1,524668534 × 10− ∈[328,125;329,6875] = 12 [328,125+329,6875] =328,90625 = 7,50273964 × 10− ∈[328,125 ;328,90625] = 12 [328,125+328,90625] =328,515625 = 3,622572581 × 10− ∈[328,125 ; 328,515625] = 12 [328,125+328,515625]=328,3203125 = 1,680436523 × 10− ∈[328,125 ;328,3203125]
= 12 [328,125+328,3203125 ] =328,2226563 = 7,088553589 × 10− ∈[328,125 ;328,2226563] = 12 [328,125 +328,2226563] =328,1738282 = 2,22936306× 10− ∈[328,125 ;328,1738282] = 12 [328,125+328,1738282]=328,1494141 = 2,00558436× 10− ∈[328,1494141;328,1738282] = 12 [328,1494141+328,1738282]=328,1616212 = 1,014434062× 10− ∈[328,1494141;328,1616212] = 12 [328,1494141+328,1616212]=328,1555176 = 4,069395302× 10− ∈[328,1494141;328,1555176] = 12 [328,1494141+328,1555176] =328,1524654 = 1,031971971× 10− ∈[328,1494141;328,1524654] = 12 [328,1494141;328,1524654] =328,15094 =4,868020125× 10−
∈[328,15094 ;328,1524654] = 12 [328,15094 +328,1524654] =328,1517029 =2,725362603× 10− ∈[328,15094 ;328,1517029] = 12 [328,15094+328,1517029]=328,151315 =1,135525× 10− ∈[328,151315 ;328,1517029] = 12 [328,151315 ;328,1517029] =328,151509 =7,9541714× 10− ∈[328,151509 ;328,151509]
Al hacer veintiún iteraciones con el método de bisección se obtiene una raíz aproximada R = 328.1515 Ω , con un error menor al 0.0001 por ciento. De esta forma, se especifica un resistor con este valor para el circuito mostrado en la figura 1 y se espera tener una disipación consistente con los requisitos del problema. Este problema de diseño no se podría resolver eficientemente sin el uso de los métodos numéricos vistos en clases.
Fig . 2. Gráfico de la ecuación 1.2, usado para obtener los valores iniciales de R que contienen a la raíz.
SIMULACION DEL PROBLEMA APLICANDO EL METODO DE LA BISECCION CON MATLAB. %PROGRAMA EN MATLAB DE DETERMINACIÓN DEL RESISTOR APROPIADO EN UN CIRCUITO... ...RLC PARA DISIPAR ENERGÍA A UNA RAZÓN ESPECIFICADA UTILIZANDO EL MÉTODO DE LA BISECCIÓN %FIEE UNAC - METODOS NUMERICOS. clear; clc; syms R t1=10; cuenta=0; %Función de un circuito RLC fR=(exp(-0.005*R)*cos(sqrt(2000-(0.01*R^2))*0.05)-(0.01)); %Rango inicial del resistor Ra=input('Ingrese el valor Inicial= '); %Valor Inicial Rb=input('Ingrese el valor Final= '); %Valor Final t0=input('tolerancia= '); %Tolerancia interacciones=input( 'Numero de interacciones= ' ); %Numero de interacciones Rr=Ra; while(t1>t0) Rra=Rr; Rr=(Ra+Rb)/2; fRr=subs(fR,R,Rr); fRa=subs(fR,R,Ra); if((fRr*fRa)>0) Ra=Rr; end if((fRr*fRa)<0) Rb=Rr; end t1=abs(Rr-Rra); cuenta=cuenta+1; if(cuenta==interacciones) break; end end disp('El valor aproximado del resistor es: ' ) disp(Rr)
