Diseño de Experimentos

30. En un centro escolar se ha ha venido aplicando aplicando una campaña contra el uso del tabaco por parte de los estudiantes. Antes de la campaña, 30% de los alumnos eran fumadores activos, para para invest investiga igarr si dismin disminuyo uyo esta esta propor proporció ción n se toma toma una muestra aleatoria de 10 estudiantes y se detecta !ue 3 de ellos son fumadores.  Datos :

n = 150  p=0.30

 y =35 ❑

^

 p=

35 150

=0.23

a" #ormule la hipótesis pertinente al problema. $usti!ue.  H 0 : p =0.30  H 1 : p < 0.30

Como Como se desea desea conoc conocer er si el porcen porcentaj tajee de fumad fumador ores es activo activoss dismun dismunuyo uyo se palant palantea ea una una  Prueba de Hipotesis de la proporcion , la hipotesis nula es que la proporcion es igual al30

mientras mientras quela que la hipotesis hipotesis alternati alternativa va esquela es quela propor proporcion cion esmen es menor or queel que el

30

b" &on una sign ignicanc ancia de % veri!ue la hipótesis planteada.  Estadistico de Prueba

 z obs =

 p − p ^

√

 pq n

 z obs =

  0.23− 0.30

√

 ( 0.30 ) ( 0.70 ) 150

 z obs =−1.87  Region de rechazo

 z obs <− z α  z α = z 0.05=1.64  z obs =−1.87 <− z α =−1.64  Desicion : erechaz erechaza a H o enfavor enfavor de de H 1 conunnivel conunnivel deco de confi nfianz anza a de 95 ! e conc conclu luye ye que que el porcent porcentaje aje de estudian estudiantes tes fumador fumadores es activos activos es menor menor a 30

c" '(a conclusión anterior se mantiene si se !uiere tomar una decisión con una conan)a del **%+ Argumente. Con Con un nive nivell de signi signifi fica canci ncia a α =0.01

 Regionde  Region de rechazo rechazo  z obs <− z α  z α = z 0.01=2.32  z obs =−1.87 >− z α =−2.32  Desicion : eacep e acepta ta H o e con con unnivel unnivel de conf confia ianz nza a de 99 ! econcl econcluy uyee que que la propor proporcio cion n de estudia estudiante ntess fumador fumadores es act ivos ivos es igual igual al30

No se mantiene la misma conclusión anterior ya que con un 99% de confanza se determina que el porcentaje de estudiantes es igual al 30%; mientras que con un 95% de confanza se concluyó que el porcentaje de estudiantes umadores activos era menor al 30%

3. -e desea comprar una gran cantidad de bombillas y se tiene !ue elegir entre las marcas A y . /ara ello, lo, se compraron 100 focos de cada marca y se encontró !ue las bombillas probadas de la marca A tuvieron un tiempo de vida medio de 1 10 horas, con una desviación estndar de 

horas2 mientras !ue las de la marca  tuvieron un tiempo de vida medio de 1 04 horas, con una desviación estndar estndar de 5 horas. a" 'Es signicativa la diferencia entre los tiempos medios de vida+ 6se 7 8 0.0. Apli!ue la prueba 9 de -tudent suponiendo igualdad de varian)as.  Datos :

α =0.05  "arca #

n = 100  $ : 1120 1120

s =75  "arca %

n = 100  $ :1064

s =82 uponiendo uponiendo varianzas varianzas iguales

 H 0 : & 1= &2  H 1 : &1 ' & 2  Estadistico de Prueba

t obs=

$ 1− $ 2 p

√

1

+

1

n1 n 2

p=

√

( n − 1 ) s + ( n −1 ) s 2

1

1

2

n1+ n2− 2

2 2

2

¿ ¿ ¿ 100 + 100− 2 75 ¿ + ( 100−1 ) ¿ ( 100−1 ) ¿ ¿   1120 −1064 82

2

t obs=

78.58

√

1 100

+

1

p =√ ¿

100

t obs=5.03  Regionde  Region de rechazo rechazo

|t obs|> t α  ( n + n −2 ) t α = z 1

2

2

0.025

( 198 )= 2.25

2

|t obs|=|5.03|>t α  ( 198 )=2.25 2

 Desicion : erechaz erechaza a H o enfavor enfavor de de H 1 conunnivel conunnivel deco de confi nfianz anza a de 95 ! e conc conclu luyequelas yequelas medi mediasno asno sonigu sonigual ales es !

b" :epita lo anterior pero sin suponer igualdad de varian)as. uponiendo uponiendo varianzas varianzas distintas distintas

 H 0 : & 1= &2  H 1 : &1 ' & 2  Estadistico de Prueba

t obs=

$1− $ 2

√

2

2

 s 1 s 2 + n1 n2

2

¿ ¿ 82 ¿ ¿ ¿ 100 ¿ ¿ ¿ √ ¿ 1120 −1064 t obs= ¿ 75

2

t obs=5.03  Regionde  Region de rechazo rechazo :

¿ ¿ 82 ¿ ¿ 75 ¿ ¿ 75

2

2

2

2

( ¿ 100 ¿ ) ¿ 82 ¿ ¿ ( ¿ 100 ¿ ) ¿ ¿ 101 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ |t obs|> t α  , v v =¿ 2

2

2

t α = z0.025 ( 198 )=2.25 2

|t obs|=|5.03|>t α  ( 198 )=2.25 2

 Desicion : erechaz erechaza a H o enfavor enfavor de de H 1 conunnivel conunnivel deco de confi nfianz anza a de 95 ! e conc conclu luyequelas yequelas medi mediasno asno sonigu sonigual ales es !

34. -e prueban 10 partes en cada nivel de temperatura y se mide mide el enco encogi gimi mien ento to sufr sufrid ido o en un unid idad ades es de porc porcen enta ta;e ;e multiplicado por 10. (os resultados fueron los siguientes< 9E=/E:A96:A A$A

9E=/E:A96:A A(9A

!"# #"& !"5 #0"9 $" 9"$ 5"9 #0"& "& #0" !"3 #"0 "$ #0"$ $"& 9"9 "! #" !" #0"3  'ntes de realizar los literales a y ( se realizó una prue(a de igualdad de varia varianz nzas as para para comp compro ro(a (arr si las las vari varian anza zas s son son igua iguale les s o no y decidir con que ormula tra(ajar"  Datos :

(emperatura baja n =10

 $ =17.24 s =0.84

(emperatura alta n =10

 $ = 20.62 s =0.52

a" '(a temperatura tiene alg>n efecto en el encogimiento+ /lantee las hipótesis estad?sticas !ue corresponden a esta interrogante.  H 0 : & 1= &2

 H 1 : &1 < &2

)a temperatura si tiene eecto en el encogimiento ya que a mayor temperatura mayor es el nivel de encogimiento"

b" /or medio de la prueba 9 de -tudent pruebe la hipótesis formulada con a8 0 .0.  Es tadistico de Prueba

t obs=

$ 1− $ 2 p

√

1

+

p=

1

n1 n 2

√

( n − 1 ) s + ( n −1 ) s 2

1

1

2

2 2

n1+ n2− 2

2

0.52 ¿

t obs=

¿ ¿ 10 + 10− 2 2 0.84 ¿ + ( 10 −1 ) ¿ ( 10−1 ) ¿ ¿   17.24 −20.62 0.742

√

1 10

+

1

p =√ ¿

10

t obs=−10.18  Region de rechazo

t obs<−t α ( n1 + n 2−2 ) t obs=−10.18 <−t 0.05 ( 18 ) =−1.746  Decision : erechaz erechaza a H 0 enfavor enfavor de de H 1 ! e concl concluyeque uyeque el encogi encogimie mientomedi ntomedio o de la temperat temperatura ura alta esmayo es mayorr queel que el encogimi encogimiento entomedi medio o de la temperat temperatura ura baja

c" '&ul temperatura temperatura provoca un encogimiento menor+ )a temperatura (aja provoca un encogimiento menor"

d" =edi =edian ante te un una a prue prueba ba #, comp compar are e las las vari varian an)a )as s de las las temperaturas y comente.

2

2

2

2

 H 0 : ) 1=) 2  H 1 : ) 1 ' ) 2  Estadistico de Prueba 2

 * obs=

0.84

¿ 0.52

s1 2

s2

¿

2

¿

2

¿ ¿  * obs= ¿  * obs= 2.60  Regionde  Region de rechazo rechazo  * obs > * α  ( n1 − 1 + n 2−1 ) 2

 * obs= 2.60 < * 0.05 ( 9 + 9 )= 4.03 2

 Desicion : eacepta H o conun conun nivel nivel deconfian deconfianza za de 95  ! e concl concluy uyee quelas vari varian anzas zas son son iguale igualess !

)as varianzas de las temperaturas son las mismas"

e" @ibu;e los diagramas de ca;as simultneos. 9E=/E:A96:A A$A

9E=/E:A96:A A(9A

3. -e tienen dos proveedores de una pie)a metlica, cuyo dimetro ideal o valor ob;etivo es igual a 0. cm. -e toman dos dos mu mues estr tras as de 14 pie) pie)as as a cada cada prov provee eedo dorr y los los dato datos s obtenidos se muestran a continuación< /:BEE@: 

@CD=E9:- @E (A- /CEA@E &A@A

#"3$* #0"3* #0"5&* $"00* ##"#&* $"0* #"$9* ##"0* # #"5* ##"##* #"5#* ##"0* ##"!* ##"5* #"9#* #0"$# +e realizó el literal ( en primer lugar" lugar"  Datos : α =0.05

 Proveedor  Proveedor 1 n =14

 $ = 20.19 s =1.58

 Proveedor  Proveedor 2

9"#* 9"$5* #"9&* 9"0!* $"0* 9"#5 #"&9* #"9* #"5* #"#9* #"53* ##"##*

n =14

 $ = 21.81 s =0.53

a" /ruebe la hipótesis de igualdad de los dimetros de los proveedores en cuanto a sus medias.  H 0 : & 1= &2  H 1 : &1 ' & 2  Estadistico de Prueba

t obs=

$1− $ 2

√

2

2

 s 1 s 2 + n1 n2

1.58 ¿

2

0.53 ¿

2

¿ ¿

¿ 14 ¿ ¿ ¿ √ ¿ 20.19 −21.81 t obs= ¿ t obs=−3.64

1.58

¿ 0.53

2

¿

2

¿

¿ ¿ 14 +(¿ +( ¿ 14 ¿ ) ¿ 1.58 ¿ ¿ ( ¿ 14 ¿ ) ¿ 0.53 ¿ ¿ ( ¿ 14 ¿ ) ¿ ¿ 15 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿  Regionde  Region de rechazo rechazo |t obs|> t α  , v v = ¿ 2

2

2

2

2

2

t α = z0.025 ( 9 )=2.262 2

|t obs|=|−3.64|> t α  ( 9 )=2.262 2

 Desicion : erechaz erechaza a H o enfavor enfavor de de H 1 conunnivel conunnivel deco de confi nfianz anza a de 95 ! e conc conclu luyequelas yequelas medi mediasno asno sonigu sonigual ales es !

b" /ruebe la hipótesis de igualdad de varian)as. 2

2

2

2

 H 0 : ) 1=) 2  H 1 : ) 1 ' ) 2  Estadistico de Prueba 2

 * obs=

s1 2

s2

1.58

¿ 0.53

¿

2

¿

2

¿ ¿  * obs= ¿  * obs= 8.89  Region de rechazo

 * obs > * α  ( n1 − 1 + n 2−1 ) 2

 * obs= 8.89 > * 0.05 ( 7 + 79 ) =4.99 2

 Desicion : erechaz erechaza a H o conun nivel nivel deco de confi nfianz anza a de 95  ! e concl concluyeque uyeque lasva las varia rianza nzass no son son iguale igualess !

c" -i las especicaciones para el dimetro son 0. mm F . mm, 'cul proveedor produce menos pie)as defectuosas+  EPEC*C#C-.E  EPEC*C#C-.E

 E= 22.50 E =18  /"(E RE#/E

 Proveedor  Proveedor 1  /R=20.19 + 3 ( 1.58 ) =23.35  /R, = 20.19 −3 ( 1.58 ) =17.03  Proveed∨2

 /R=21.81 + 3 ( 0.53 ) =23.40  /R = 21.81−3 ( 0.53 )= 20.22

)os dos proveedores tienen piezas deectuosas puesto que ninguno cump cumple le con con las las espe especif cifca caci cion ones es"" ,ero ero se podr podr-a -a af afrm rmar ar que que el proveedor # tiene mas deectuosos de(ido a sus limites reales"

d" '&on cul proveedor se !uedar?a usted+ .e(i .e(ido do a que que ning ningun uno o de los los dos dos prov provee eedo dorres cump cumple le con con las las especifcaciones no me quedar-a con ning/n proveedor" proveedor"