Iden Identi tifi fica ca el Conc Concep epto to de Prog Progra rama maci ción ón no li line neal al.. Re Revi visa sa en 3 fuen fuente tess de información formal, escribe las definiciones (no olvides poner la fuente donde la obtuviste) analízalas, enumera ! palabras claves de las 3 definiciones, con ellas forma tu propia definición del concepto de programación no lineal " e#plícalo. 1. La programación programación no lineal lineal se ocupa ocupa del problema de optimizar optimizar una función objetivo objetivo con la presencia de restricciones tipo de igualdad y/o desigualdad. Si todas las funciones funciones son lineales tenemos un programa lineal de lo contrario, el programa es no line lineal al y su reso resolu luci ción ón es el prob proble lema ma de estu estudi di.. La popu popula lari rida dad d de la programación lineal puede atribuirse a muchos factores, incluyendo su habilidad para modelar problemas grandes y complejos, así como la de su resolución en un inte interv rval alo o razo razona nabl ble e de tiem tiempo po medi median ante te el uso uso del del mto mtodo do Simp Simple le!. !. "#s "#s recientemente recientemente del mtodo de $armar%ar $armar%ar y de las computadoras, computadoras, por parte de los usuarios. Se consi conside dera& ra&co como mo tal tal al conju conjunto nto de mtod mtodos os utili utiliza zados dos para para optim optimiza izarr una una función objetivo, sujeta a una serie de restricciones en los 'ue una o m#s de las variables incluidas es no lineal. (omo ejemplo considere el siguiente problema de programación no lineal)
"inimizar f*!+ sujeta a g*!+ - i & 1, m h*!+& j & 1, 1 0amón (ant (uellar. *1223+. 4rogramación no Lineal. San 5icolas de los 6arza) Sin. . 7n modelo modelo de 4rogram 4rogramac ación ión 5o Lineal Lineal *45L+ *45L+ es a'uel a'uel donde donde las variab variables les de decisión se e!presan como funciones no lineales ya sea en la función objetivo y/o restricciones de un modelo de optimización. 8sta característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde e!isten economías o des econ econom omía ías s de esca escala la o en gene genera rall dond donde e los los supu supues esto tos s asoc asocia iado dos s a la proporcionalidad no se cumplen. 9nvestigación de :peraciones.net. *1;+ <=u es la 4rogramación 5o Lineal> ?ebrero , 1@, de 9nvestigación de :peraciones.net Sitio Aeb B. "uchas "uchas aplicacio aplicaciones nes industria industriales les de optimizació optimización n implican una modeliza modelización ción 'ue se apro!ima m#s a la física. 8n optimización del diseCo por ejemplo, se optimizan meta&modelos o espacios de respuesta 'ue provienen de un modelo estadístico, 'ue no son lineales. Dsí mismo, la optimización topológica o la optimización de forma recurren a modelos no lineales y adem#s de tamaCo muy grande, como en este ejemplo.
?ormalmente, un programa matem#tico no lineal se enuncia) "in f*!+ gj*!+ -E j E 1,F,m ! vector de nmeros reales 'ue representan las variables de decisión
8urodecision. *1;+. La programación no lineal . @&B&1@, de 8urodecision Sitio Aeb) http)//AAA.eurodecision.es/optimisation&lineaire
Identifica los tipos de m$todos de programación no lineal. % de cada tipo de m$todo de programación no lineal, revisa en & fuentes de información formal, escribe las definiciones " procesos (no olvides poner la fuente donde la obtuviste) analízalas, enumera ! palabras claves de cada uno, con ellas forma tu propia definición del concepto de programación no lineal de cada m$todo, e#plica el tipo de problemas " el proceso de solución de cada m$todo " crea un diagrama de flu'o de cada uno. Los tipos de problemas de programación no lineal son)
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:ptimización no restringida.
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:ptimización linealmente restringida.
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4rogramación cuadr#tica
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4rogramación conve!a.
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4rogramación separable.
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4rogramación no conve!a.
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4rogramación geomtrica.
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4rogramación fraccional.
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4roblema de complementariedad.
Información recuperada de https)//%arenbandala.Aordpress.com/unidad&iii/B&B& programacion&no&lineal/
problemas&no&restringidos&
P*I+I-CI/ / R01*RI/2I-
Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo 'ue la función objetivo es sencillamente "a!imizar f*!+
sobre todos los valores !E *!1, x 2, …,x n+. Segn el repaso del apndice B, la condición necesaria para 'ue una solución específica ! E !G sea óptima cuando f*!+ es una función diferenciable es
(uando f *!+ es cóncava, esta condición tambin es suficiente, con lo 'ue la obtención de !G se reduce a resolver el sistema de las n ecuaciones obtenidas al establecer las n derivadas parciales iguales a cero. 4or desgracia, cuando se trata de funciones no lineales f *!+, estas ecuaciones suelen ser no lineales tambin, en cuyo caso es poco probable 'ue se pueda obtener una solución analítica simult#nea. <=u se puede hacer en ese caso> Las secciones 1B.; y 1B.H descri& ben procedimientos algorítmicos de búsqueda para encontrar !G primero para n E 1 y luego para n > 1. 8stos procedimientos tambin tienen un papel importante en la solución de varios tipos de problemas con restricciones, 'ue se describir#n en seguida. La razón es 'ue muchos algoritmos para problemas restringidos est#n construidos de forma 'ue se adaptan a versiones no restringidas del problema en una parte de cada iteración. (uando una variable Ij tiene una restricción de no negatividad, !& J , la condición necesaria *y tal vez+ suficiente anterior cambia ligeramente a
para cada j de este tipo. 8sta condición se ilustra en la figura 1B.11, donde la solución óptima de un problema con una sola variable es x E aun cuando la derivada ahí es negativa y no cero. (omo este ejemplo tiene una función cóncava para ma!imizar sujeta a una restricción de no negatividad, el 'ue su derivada sea menor o igual a en K E , es una condición necesaria y suficiente para 'ue x= sea óptima.
7n problema 'ue tiene algunas restricciones de no negatividad y 'ue no tiene restricciones funcionales es un caso especial (m E + de la siguiente clase de problemas.
P*I+I-CI/ 4I/0-4+0/*0 R01*RI/2I-
Los problemas de optimización linealmente restringida se caracterizan por restricciones 'ue se ajustan por completo a la programación lineal, de manera 'ue todas las funciones de restricción g *!+ son lineales, pero la función objetivo es no lineal. 8l problema se simplifica mucho si sólo se tiene 'ue tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de programación lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en una extensión del mtodo símple! para analizar la función objetivo no lineal.
7n caso especial importante descrito a continuación es la programación cuadr#tica.
PR2R-+-CI/ C5-R6*IC-
e nuevo los problemas de programación cuadr!tica tienen restricciones lineales, pero ahora la función objetivo /*!+ debe ser cuadr!tica" 8ntonces, la nica diferencia entre stos y un
problema de programación lineal es 'ue algunos trminos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de dos variables.
PR2R-+-CI/ C/708-
La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos especiales, est#n todos los tipos anteriores cuando /*!+ es cóncava. Las suposiciones son
1. f*!+ es cóncava. . (ada una de las g*!+ es conve!a.
PR2R-+-CI/ 10P-R-940
La programación separable es un caso especial de programación conve!a, en donde la suposición adicional es Modas las funciones f*!+ y g(x# son funciones separables. 7na función separable es una función en la 'ue cada t$rmino incluye una sola variable, por lo 'ue la función se puede separar en una suma de funciones de variables individuales. 4or ejemplo, si f*!+ es una función separable, se puede e!presar como
son cada tina funciones de una sola variable !1 y ! , respectivamente. 7sando el mismo razonamiento, se puede verificar 'ue la función considerada en la figura 1B.@ tambin es una función separable.
8s importante distinguir estos problemas de otros de programación conve!a, pues cual'uier problema de programación separable se puede apro!imar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente mtodo símple!.
son cada tina funciones de una sola variable !1 y ! , respectivamente. 7sando el mismo razonamiento, se puede verificar 'ue la función considerada en la figura 1B.@ tambin es una función separable.
8s importante distinguir estos problemas de otros de programación conve!a, pues cual'uier problema de programación separable se puede apro!imar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente mtodo símple!.
PR2R-+-CI/ / C/708-
La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no lineal 'ue no satisfacen las suposiciones de programación conve!a. 8n este caso, aun cuando se tenga !ito en encontrar un m!ximo local , no hay garantía de 'ue sea tambin un m!ximo global" 4or lo tanto, no se tiene un algoritmo 'ue garantice encontrar una solución óptima para todos estos problemasN pero sí e!isten algunos algoritmos bastante adecuados para encontrar m!ximos locales, en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de a'uellas 'ue se supusieron para programación conve!a. 8n la sección 1B.1 se presenta uno de estos algoritmos.
(iertos tipos específicos de problemas de programación no conve!a se pueden resolver sin mucha dificultad mediante mtodos especiales. os de ellos, de gran importancia, se presentar#n m#s adelante.
PR2R-+-CI/ 20+:*RIC(uando se aplica programación no lineal a problemas de diseCo de ingeniería, muchas veces la función objetivo y las funciones de restricción toman la forma
8n tales casos, las c i % a ty representan las constantes físicas y las x & son las variables de diseCo. 8stas funciones por lo general no son ni cóncavas ni conve!as, por lo 'ue las tcnicas de programación conve!a no se pueden aplicar directamente a estos problemas de programacióngeo' m$trica" Sin embargo, e!iste un caso importante en el 'ue el problema se puede transformar en un problema de programación conve!a e'uivalente. 8ste caso es a'uel en el 'ue todos los
coeficientes c en cada función son estrictamente positivos, es decir, las funciones son polinomios positivos generali)ados *ahora llamados posinomiales+, y la función objetivo se tiene 'ue minimizar. 8l problema e'uivalente de programación conve!a con variables de decisión y !, % 2, …, % n se obtiene entonces al establecer
en todo el modelo original. Dhora se puede aplicar un algoritmo de programación conve!a. Se ha desarrollado otro procedimiento de solución para resolver estos problemas de programación posinomial, al igual 'ue para problemas de programación geomtrica de otros tipos. 1
PR2R-+-CI/ ;R-CCI/-4 Suponga 'ue la función objetivo se encuentra en la forma de una fracción, esto es, la razón o cociente de dos funciones,
8stos problemas de programación fraccional surgen, por ejemplo, cuando se ma!imiza la razón de la producción entre las horas&hombre empleadas *productividad+, o la ganancia entre el capital invertido *tasa de rendimiento+, o el valor esperado dividido entre la desviación est#ndar de alguna medida de desempeCo para una cartera de inversiones *rendimiento/riesgo+. Se han formulado algunos procedimientos de solución especiales 1 para ciertas formas de f1*!+ y f *!+
(uando se puede hacer, el enfo'ue m#s directo para resolver un problema de programación fraccional es transformarlo en un problema e'uivalente de algn tipo est#ndar 'ue disponga de un procedimiento eficiente. 4ara ilustrar esto, suponga 'ue f(x# es de la forma de programación fraccional lineal
donde c y d son vectores renglón, # es un vector columna y c * y d + son escalares. Mambin suponga 'ue las funciones de restricción g (#) son lineales, es decir, las restricciones en forma matricial son -# < b y # = !.
(on algunas suposiciones dbiles adicionales, el problema se puede transformar en un problema e'uivalente de programación lineal si se establece
'ue se puede resolver con el mtodo símple!. 8n trminos generales, se puede usar el mismo tipo de transformación para convertir un problema de programación fraccional con >?(#) cóncava, f 2 (#) conve!a y g (#) conve!as, en un problema e'uivalente de programación conve!a.
Información recuperada de http)//AAA.eurodecision.es/optimisation&lineaire 6eneralidades sobre la programación no lineal "uchas aplicaciones industriales de optimización implican una modelización 'ue se apro!ima m#s a la física. 8n optimización del diseCo por ejemplo, se optimizan meta& modelos o espacios de respuesta 'ue provienen de un modelo estadístico, 'ue no son lineales. Dsí mismo, la optimización topológica o la optimización de forma recurren a modelos no lineales y adem#s de tamaCo muy grande, como en este ejemplo. ?ormalmente, un programa matem#tico no lineal se enuncia)
Min f ( x ) gj ( x )≤0 j=1, … , m ! vector de nmeros reales 'ue representan las variables de decisión
Las tcnicas para resolver los problemas matem#ticos y los resultados de los algoritmos de optimización dependen de la naturaleza de la función objetivo y de las restricciones. •
La programación lineal trata los casos en los 'ue f*!+ y g j*!+ son lineales. 8l algoritmo del Simple! o los mtodos del punto interior permiten resolver problemas de
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gran tamaCo *algunos con miles o millones de variables y decenas de miles de restricciones+. La programación cuadr@tica trata el problema en el 'ue la función objetivo f*!+ es cuadr#tica, y las restricciones g j*!+ son lineales. 8!isten algoritmos eficaces para tratar este caso particular, por ejemplo en las problem#ticas de optimización de carteras financieras. La programación estoc@stica y la optimización robusta tratan situaciones en las 'ue algunos par#metros son variables aleatorias o imprecisas *marco de la optimización robusta+. La programación din@mica es un mtodo til para los casos en los 'ue una solución óptima se divide en sub&soluciones optimales *propiedad utilizada por ejemplo para buscar los caminos m#s cortos en los gr#ficos+ y de caminos m#s cortos con restricciones *algoritmos utilizados en los mtodos de generación de columnas para resolver sub&problemas asociados en componentes como L4&Shift4lanner +. La programación no lineal analiza la problem#tica general en la 'ue el objetivo f*!+ o las restricciones g j*!+ *o los dos+ son funciones no lineales.
La mayoría de los mtodos de programación no lineales utilizan el concepto de gradiente de las funciones f*!+ y g j*!+ para calcular direcciones de descenso, es decir de mejora de la función objetivo. (uando las funciones son conve!as *caso por ejemplo de la programación lineal continua+, los algoritmos de descensos convergen hacia un óptimo global. 8n general, estos algoritmos y los softAare correspondientes convergen solamente hacia un óptimo local. Siempre 'ue sea posible, es importante ejecutar estos algoritmos a partir de varias soluciones iniciales diferentes con el fin de seleccionar la mejor solución entre todas las encontradas. 7na problem#tica no lineal con restricciones puede convertirse en un problema sin restricciones con la ayuda del multiplicador de Lagrange) este mtodo consiste en efecto en introducir en la función objetivo variables de holgura y un coste 'ue aumenta cuando disminuye la desviación *es decir, restricción saturada+.
Solver e implementación inform#tica 8!isten varios solver para resolver problemas de programación no lineal. 870:8(9S9:5 ha probado los siguientes) • • • • • • •
:4MOO ?S=4 $59M0: ?D94D 6L4$ L4S:LP8 (oin&:0) 94:pt, :Q:8
(onclusión Si un modelo de 4rogramación 5o Lineal admite solución óptima, sta se puede encontrar en cual'uier punto del dominio de soluciones factibles. 4or ejemplo, si la función objetivo estuviese centrada en la coordenada *I,R+E*,1+ sta ya sería la solución óptima del problema. 5otar 'ue esta situación *solución en un punto interno del dominio factible+ 5: sería posible en la resolución de un modelo de 4rogramación Lineal. 8n los artículos de la categoría de 4rogramación 5o Lineal analizamos algunos algoritmos especializados para la resolución de modelos no lineales como tambin herramientas computacionales para enfrentar este tipo de problemas.
D diferencia de la programación lineal *4L+, la estructura del problema puede ser muy variada, segn las funciones 'ue en l intervengan donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas. ?uentes) 9nvestigación de :peraciones.net. *1;+ <=u es la 4rogramación 5o Lineal> ?ebrero , 1@, de 9nvestigación de :peraciones.net Sitio Aeb 8urodecision. *1;+. La programación no lineal . @&B&1@, de 8urodecision Sitio Aeb) http)//AAA.eurodecision.es/optimisation&lineaire 0amón (ant (uellar. *1223+. 4rogramación no Lineal. San 5icolas de los 6arza) Sin.
