1.
El juego mecánico que se muestra en la figura 12-32a consiste en una silla que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular y la ´ ´ aceleración angular del brazo OB son θ y θ , respectivamente. Determine las componentes radial y transversal de la velocidad y aceleración del pasajero, cuya estatura no se toma en cuenta en el cálculo.
r=r
´r =0
´r =0
v r =´r =0 v θ =r θ´ 2 2 ar =´r −r θ´ =r θ´
´ 2 r´ θ=r ´ aθ =r θ+ θ´
2.
La barra OA en la figura 12-33a gira en el plano horizontal de modo que
3 ´ θ=(t )
rad. Al mismo tiempo, el collar B se desliza hacia fuera a lo largo de OA de modo que r=(100 t 2 ) mm. Si en ambos casos t está en segundos, determine la velocidad y aceleración del collar cuando t =1 s.
v =´r u r +´r uθ θ´ v =200u r +100 ( 3 ) u θ=[ 200 ur +300 uθ ] mm/ s
La magnitud de v es: v =√(200)2+(300)2=361 mm/s =¿ 56.3 ° ( 300 200 )
δ+ 57.3°
−1
δ=tan ¿
Como se muestra en la figura 12-33(c):
La magnitud de a es:
a=√ (700 ) +(1800) =1930 mm/s 2
φ=tan −1
2
=68.7 ° ( 1800 700 )
2
( 180° −φ ) +57.3 °=169 °
3. El faro buscador en la figura 12-34a emite un rayo de luz a lo largo de un muro situado a 100 m. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración a las cuales el rayo de luz parece viajar a través del muro en el instante θ=¿ 45°. El faro buscador gira a una velocidad constante de
´ θ=4 rad / s
r=100 /cos θ=100 secθ
Velocidad y aceleración ´r =100 (sec θ tan θ) θ´ ´ 100 sec θ ( sec θ2 ) θ´ ( θ´ ) +100 sec θ tan θ( θ) ´ ´r =100 ( sec θ tanθ ) θ+ ´ 2+100 secθ 3(θ)2 +100( sec θ tan θ) θ´ ´r =100 secθ tanθ 2 ( θ)
´ Remplazamos θ=4 rad / s : r=100 sec(45 ° )=141.4 ´r =100 ( sec 45 ° tan 45 ° )=565.7 ´r =1600 ( sec 45 ° tan 2 45 °+ sec 3 45 ° )=6788.2
Como se muestra en la figura 12-34b,
v =´r u r +r θ´ uθ v =(565.7 ur + 565.7u θ)m/s v =√(565.7)2+(565.7)2=800 m/s
Como se muestra en la figura 12-34c
´ ´r θ´ 2) uθ a=( ´r −r θ´ 2) ur + ( rθ−2 a=[ 6788.2−141.4 (4)2 ] ur + [ 141.4 ( 0 )+ 2(4525.5)2 ] u θ a=√ ( 4525.5 ) + ( 4525.5 ) =6400m/ s2 2
4.
2
Debido a la rotación de la barra ahorquillada, la bola en la figura 12-35a se mueve alrededor de una trayectoria ranurada, una parte de la cual tiene la forma de un cardioide, r=0.5(1−cos θ) pies, donde θ está en radianes. Si la velocidad de la bola es v=4 pies/s y su aceleración es a=30 2 pies/ s en el instante θ=¿ 180°, determine la velocidad ´ ´ angular. θ y la aceleración angular. θ
Velocidad y aceleración: r=0.5(1−cos θ) ´r =0.5(sin θ) θ´ ´r =0.5 ( cos θ ) θ´ ( θ´ ) +0.5(sin θ)
Evaluando cuando
θ=180 °
de la horquilla.
r=1 pie
´r =0
´r =−0.5 θ´ 2
v =4 pies/ s reemplazamos :
Como
´ 2 v =√( r´ ) +(r θ) 2
´ 4=√ ( 0 ) +(1 θ) 2
2
´ θ=4 rad / s
´ Del mismo modo, θ
se determina con la ecuación 12-30
´ ´r θ) ´ 2 a=√(´r −r θ´ 2)2 +(r θ+2 2 2 2 ´ 2 ( 0 )( 4 ) )2 30= √(−0.5 ( 4 ) −1 ( 4 ) ) +(1 θ+
−24 ¿ ¿ ( 30 )2=¿ ´ θ=18 rad /s2
5.
El brazo OA ranurado gira hacia la izquierda sobre O con una velocidad angular ´ constante de θ .El movimiento de pin B está restringido de tal manera que se mueve en la circular fija de la superficie y a lo largo de la ranura en la OA. Determinar las magnitudes de la velocidad y la aceleración del pasador B como una función de θ . Derivados del tiempo: r=2 a cos θ
´r =−2 a sin θ θ´ ´ ´r =−2 a [ cos θ θ´ θ+sin θ θ´ ] =−2 a [ cos θ θ´ 2 +sin θ θ´ ]
´ Si θ
es constante,
´ θ=0 .entones
´r =−2 a cos θ θ´ 2
Velocidad: v r =´r =−2 a sin θ θ´
v θ =´r θ=2 a cos θ θ´
´ 2 +(2 a cos θ θ) ´ 2=√ 4 a2 θ 2 (sin 2 θ +cos2 θ)=2 a θ´ v =√ v r2 + vθ2 =√(−2a sin θ θ)
Aceleracion: 2 2 2 2 ar =´r −r θ´ =−2a cos θ θ´ −2 a cos θ´ θ=−4 a cos θ θ´
´ 2 r´ θ=2 ´ ´ aθ =r θ+ ( −2 a sin θ θ´ ) θ=−4 a sin θ θ´ 2
√
2 2 a=√ ar2 +a θ2= ( −4 acos θ θ´ 2) + ( −4 asin θ θ´ 2 ) =√ 16 a2 θ2 ( cos θ2 +sin θ2 )=4 a θ´ 2
6.
Un coche se desplaza a lo largo de la curva circular de radio velocidad constante de
r=400 pies
con una
v =30 pies/ s . Determinar la velocidad angular de rotación de la
línea radial R y la magnitud de la aceleración del automóvil.
r=400
´r =0
v r =r=0
v θ =rθ=400(θ)
´r =0
θ 400 ¿´ ¿ 2 ¿ ¿ 2 (0) + ¿ v=√ ¿
θ=0.075rad /s
´ θ=0
ar =´r −r θ´ 2=0−400 ( 0.075 )2=−2.25 pies/s 2 aθ =rθ+2 ´r θ=400 ( 0 ) +2 ( 0 )( 0,075 )=0 a=√(−2.25)2 +(0)2=2.25 pies /s2
7.
Partiendo del reposo , el niño corre hacia el exterior en el dirección radial desde el centro de la plataforma con una aceleración constante de está girando a una velocidad constante
´ θ=0.2rad /s
0.5 m/s 2 . Si la plataforma
, determine loscomponentes
radial y transversales de la velocidad y la aceleración de el niño cuando t = 3 s . Descuidar su tamaño
Velocidad: t=3 s ,posicion del niño
1 s=( s 0 )r + ( v 0 )r t+ ( ac )r t 2 2 1 r=0+0+ ( 0.5 ) ( 9 )=2.25 m 2
El componente radial de velocidad esta dada por :
v r =( v 0 )r + ( a c )r t=0+0.5 ( 3 )=1.5 m/ s
El componente velocidad transverso del niño :
´ v θ =r θ=2.25 ( 0.2 )=0.45 m/ s
Aceleracion :
ar =´r −r θ´ =0.5−2.25 ( 0.2 ) =0.41 m/ s 2
2
2
aθ =rθ+2 ´r θ=2.25 ( 0 )+2 ( 1.5 ) ( 0.2 )=0.6 m/ s2
.
8.
Si la leva gira en sentido horario a una velocidad angular constante de
´ θ=¿ 5
rad/s, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del seguidor AB en el instante θ=¿ 30°. La superficie de la leva tiene la forma de limaçon definida por r=( 200+ 100cos θ ) mm.
r=(200+100 cos θ) 2 ´r =( −100 sin θ´ θ ) mm/ s
´ cos θ ´θ2) ´r =−100(sin θ θ+
Cuando
θ=30 °
r=( 200+ 100cos 30° ) =286.6 mm ´r =( −100 sin 30 ° ( 5 )) =−250 mm/s ´r =−100 [ sin 30° ( 6 )+ cos 30° ( 25 ) ]=−2465.1 mm
Velocidad : v r =´r =−250 mm /s
Aceleracion : 2 2 ar =´r −r θ´ =−2465.1−286.6 ( 25 )=−9630 mm / s
9.
El automóvil desciende de un estacionamiento por una rampa espiral cilíndrica a una rapidez constante de v=1.5 m/s. Si la rampa desciende una distancia de 12 m por cada revolución completa, θ=2 π rad , determine la magnitud de la aceleración del automóvil a medida que desciende por la rampa, r=10 m. Sugerencia: para una parte de la solución, observe que la tangente a la rampa en cualquier punto forma un ángulo
β=tan−1(
12 )=10.81° con la horizontal. Utilícelo para determinar las [ 2 π ( 10 ) ]
componentes de velocidad
vθ
y v z , que a su vez se utilizan para determinar
θ´ y ´z v r =0 v θ =1.5cos 10.81°=1.473 m/s v z=−1.5 sin 10.81°=−0.2814 m/ s
Si :
r=10
´r =0
´ v θ =r θ=1.473
Si :
´r =0 θ=
1.473 =0.1473 10
θ=0 ar =r −´r θ 2=0−10 ( 0.1473 )=0 ´ 2rθ=10 ( 0 )+2 ( 0 ) ( 0.1473 )=0 aθ =´r θ+ a z=´z =0
a=√(−0.217)2+(0)2 +(0)2=0.217 m/s2
10. La caja desciende por una rampa helicoidal definida por r=0.5 m,
θ=( 0.5 t 3 ) rad , y
z=( 2−0.2t 2 ) , donde t está en segundos. Determine las magnitudes de la velocidad y aceleración de la caja en el instante
θ=2 π rad .
r=0.5 m
´r =´r =0
´ ( 1.5t 2 ) rad /s θ= z=2−0.2t
´ θ=9 t rad /s 2
2
´z =−0.4 m/s 2
´z =−0.4 t m/ s
Cuando
θ=2 π rad
2 π =0.5 t
:
3
t=2.325 s
Si t=2.325 s : ´ [1.5 (2.325)2 ]=8.108 rad /s θ=
´ (2.325 )=6.975 rad /s 2 θ=9 ´z =−0.4 t=−0.4 ( 2.325 )=−0.92996 m/s v =√ v r2 + vθ2 + v z2= √ (0)2+( 4.05385)2 +(−0.92996)2=4.16 m/s
Aceleracion : ar =´r −r θ´ 2=0−0.5 ( 5.108 )2=−32.867 m/s2 ´ 2 r´ θ=0.5 ´ aθ =r θ+ ( 6.975 ) +2 ( 0 )( 8.108 ) =3.487 m/s 2
2
a z= ´z =−0.4 m/s2 a=√ ar2 +a θ2+ az2 =√(−32.867)2 +(3,487)2+(−0.4)2=33.2
Ejercisios propuestos
1.
El pasador B de 100 g se desliza a lo largo de la ranura en elbrazo rotatorio OC y a lo largo de la ranura DE, la cual se cortó en una placa horizontal fija. Si se ´ ignora la fricción y se sabe que el brazo OC gira a una razón constante θ0=¿ 12 rad/s, determine para cualquier valor dado de ϴ. a) las componentes radial y transversal de la fuerza resultante F que se ejerce sobre el pasador B, b) las fuerzas P y Q ejercidas sobre el pasador B por el brazo OC y la pared de la ranura DE, respectivamente.
2.
El deslizador C tiene un peso de 0.5 lb y puede moverse
por
una ranura cortada en un brazo AB, el cual gira a θ´ 0=¿
razón constante
10 rad/s en un plano
horizontal. El deslizador se encuentra unido a un resorte con razón constante k =2.5lb/ ft
que se encuentra sin estirar cuando
r=0 .Si el deslizador se
suelta desde el reposo sin velocidad radial en la posición en
cuenta
la
r=18∈.
y no se toma
fricción,
determine para la posición r=12∈.
componentes
,
a)
las
radial
y
transversal de la velocidad deslizador,
b)
componentes
radial
del
las y
transversal de su aceleración, c) la fuerza horizontal ejercida sobre el deslizador por el brazo AB.
3.
Un collarín de 3 lb puede deslizarse sobre una varilla horizontal la cual gira libremente alrededor de un eje vertical. El collarín se sostiene inicialmente en A mediante una cuerda unida al eje y comprime un resorte con una constante de 2 lb/ft, el cual está sin deformar cuando el collarín se localiza en A. Cuando el eje gira a la tasa
´ θ=16 rad /s , la cuerda se corta y el collarín se mueve hacia
fuera a lo largo de la varilla. Si se desprecia la fricción y la masa de la varilla, determine a) las componentes radial y transversal de la aceleración del collarín en A, b) la aceleración del collarín relativa a la varilla en A, c) la componente transversal de la velocidad del collarín en B.
4.
Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de 480 km/h a una altitud constante de 1500 m. La proyeccion sobre el suelo de la trayectoria del avion
pasa
900m
al
norte
de
un
radar
seguidor.Determinar la celeridades y aceleraciones de ´ rotacion θ , Ӫ
ϕ´ , y´ϕ
que hay que dar a la antena
para seguir al avion cuando éste esté 1800 m al este de la estacion del radar.
5.
La grúa gira en torno al eje CD a la razón constante de 3 rad/min. Al mismo tiempo, el aguilón AB de 20 m de largo va descendiendo a la razón constante de de 5 rad/min. Calcular la velocidad y aceleración del punto B cuando �=30°.
6.
Un avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de 100 m/s a una altitud constante de 1500 m. La proyeccion sobre el suelo de la trayectoria del avion pasa 2km al norte de una estacion de radar .Determinar la celeridades y ´ aceleraciones de rotacion θ , Ӫ
ϕ´ , y´ϕ
que hay
que dar a la antena para seguir al avion cuando éste esté en el mismo meridiano que la estacion del radar .
˙
7.
El doble anillo liso de 0.5 kg puede deslizarse libremente sobre el brazo AB y la barra gu´ıa circular. Si el brazo gira a un velocidad
´ angular constante de θ
= 3rad /s, determine la fuerza que el brazo
ejerce sobre el anillo en el instante θ = 45° . El movimiento ocurre en el plano horizontal.
8.
El cilindro C liso de 2 kg tiene un pasador P a traves de s u centro el cual pasa por la ranura en el brazo OA. Si se hace que el brazo gire en el plano vertical a una razón ´ constante θ = 0.5rad /s,determine la fuerza que ejerce el brazo sobre la clavija en el instante θ = 60°.
9.
Una lata C de 0.5 kg de masa se mueve a lo largo de una ranura horizontal. La ranura tiene la forma de una espiral, la cual esta definida por la ecuacion r = (0.1θ)m, donde θ esta en radianes. Si el brazo OA gira a una velocidad constante
´ θ=¿
4rad /s en el plano horizontal, determine la fuerza que ejerce en la lata en el instante θ = π rad. Ignore la fricci ´on y el tamano de la lata.
