1. El juego mecán mecánico ico que se se muestra muestra en la figura 12-32a 12-32a consist consiste e en una silla silla que gira en una trayectoria circular horizontal de radio r, de modo que la velocidad angular
y
la
aceleración
angular
del
razo
!"
son
θ´ y
θ´ ,
res# res#ec ectiv tivam amen ente te.. $ete $eterm rmin ine e las las com# com#on onen ente tes s radi radial al y trans transve vers rsal al de la velocidad y aceleración del #asajero, cuya estatura no se toma en cuenta en el cálculo.
r=r
´r = 0
´r = 0
v r =´r = 0 v θ =r θ´ ar =´r −r θ´ = r ´θ 2
2
aθ =r θ´ + 2 r´ ´θ =r ´θ
2. %a arra arra !& en la figu figura ra 12-33 12-33a a gira gira en el #lan #lano o hori horizo zont ntal al de modo modo que θ´ =( t ) rad. &l mismo tiem#o, el collar " se desliza hacia fuera a lo largo de 3
2
!& de modo que
r =( 100 t ) mm. 'i en amos casos t está en segundos,
determine la velocidad y aceleración del collar cuando t (1 s.
v =´r u r +´r uθ θ´ v = 200 u r + 100 ( 3 ) u θ=[ 200 ur + 300 uθ ] mm / s
La magnitud de v es: v =√ ( 200 ) +( 300 ) =361 mm / s 2
( )=¿ 300 200
2
56.3 °
δ + 57.3 °
−1
δ = tan ¿
Como se muestra en la figura 12-33(c):
La magnitud de a es:
a = √ (700 ) +( 1800 ) =1930 mm / s 2
φ =tan
( )=
−1 1800
700
2
68.7 °
2
( 180 ° −φ ) + 57.3 ° =169 °
3. El faro uscador en la figura 12-3)a emite un rayo de luz a lo largo de un muro situado a 1** m. $etermine las magnitudes de la velocidad y aceleración a las cuales el rayo de luz #arece viajar a trav+s del muro en el instante θ=¿ ). El faro uscador gira a una velocidad constante de
r =100 / cos θ=100 secθ
Velocidad y aceleración
´r =100 ( secθ tan θ ) θ´ ´r =100 ( secθ tan θ ) θ´ + 100 secθ ( secθ2 ) ´θ ( ´θ ) + 100 secθ tan θ ( θ´ ) ´r =100 secθ tan θ ( θ´ ) + 100 secθ ( θ) + 100 ( sec θ tan θ ) θ´ 2
Remplaamos
2
3
2
θ´ = 4 rad / s :
r =100 sec ( 45 ° )=141.4
´r =100 ( sec 45 ° tan 45 ° )=565.7 ´r =1600 ( sec 45 ° tan
2
45 °
+ sec
3
45 °
)= 6788.2
Como se muestra en la figura 12-3!"#
θ´ = 4 rad / s
v =´r u r + r ´θ uθ v =(565.7 ur + 565.7 u θ) m / s v = √ ( 565.7 ) +( 565.7 ) =800 m / s 2
2
Como se muestra en la figura 12-3!c
a =( ´r − r θ´ ) ur + ( ´ rθ −2 ´r θ´ ) uθ 2
2
[
]
[
]
a = 6788.2−141.4 ( 4 ) ur + 141.4 ( 0 )+ 2 ( 4525.5 ) u θ 2
2
a =√ ( 4525.5 ) + ( 4525.5 ) = 6400 m / s 2
2
). $eido a la rotación de la arra ahorquillada, la ola en la figura 12-3a se mueve alrededor de una trayectoria ranurada, una #arte de la cual tiene la forma de un cardioide, θ
r = 0.5 ( 1−cos θ ) #ies, donde
está en radianes. 'i la velocidad de la ola es
v() #iess y su aceleración es a(3* #ies s instante
2
en el
θ=¿ 1/*, determine la velocidad angular.
θ´ y la aceleración angular. θ´ de la horquilla.
Velocidad y aceleración: r = 0.5 ( 1−cos θ )
´r = 0.5 ( sin θ ) θ´ ´r = 0.5 ( cos θ ) θ´ ( θ´ ) +0.5 ( sin θ )
2
$valuando cuando r =1 pie
θ=180 °
´r = 0
´r =−0.5 θ´
2
v =4 pies / sreemplazamos :
Como
v = √ ( r´ ) +( r ´θ ) 2
4
2
=√ ( 0 ) +( 1 θ´ ) 2
2
θ´ = 4 rad / s
´ %el mismo modo# θ se determina con la ecuación 12-3& a = √ (´r − r θ´ ) +(r ´θ + 2 ´r ´θ ) 2 2
30= √ (−0.5 ( 4 )
2
2
2 2 2 −1 ( 4 ) ) +( 1 θ´ + 2 ( 0 ) ( 4 ) )
−24 ¿ ¿ ( 30 ) =¿ 2
θ´ =18 rad / s
2
. El razo !& ranurado gira hacia la izquierda sore ! con una velocidad ´ angular constante de θ .El movimiento de #in " está restringido de tal manera que se mueve en la circular fija de la su#erficie y a lo largo de la ranura en la !&. $eterminar las magnitudes de la velocidad y la aceleración del #asador " como una función de θ .
%erivados del tiempo:
r =2 a cos θ
´r =−2 a sin θ ´θ ´r =−2 a [ cos θ ´θ ´θ + sin θ ´θ ]=−2 a [ cos θ ´θ +sin θ ´θ ] 2
'i
θ´ es constante#
θ´ = 0 .entones
´r =−2 a cos θ ´θ2
Velocidad: v r =´r =−2 a sin θ ´θ
v θ =´r θ =2 a cos θ ´θ
v = √ v r + vθ =√ (−2 a sin θ ´θ ) +(2 a cos θ ´θ ) =√ 4 a θ ( sin θ + cos θ )=2 a ´θ 2
2
2
2
2
2
2
2
celeracion: ar =´r −r ´θ
2
=−2 a cos θ θ´ 2−2 a cos θ´ 2 θ=−4 a cos θ ´θ2
aθ =r θ´ + 2 r´ ´θ =2 ( −2 a sin θ ´θ ) ´θ=− 4 a sin θ ´θ
a =√ ar
2
2
2 2 + a θ2=√ ( −4 acosθ ´θ 2) +( −4 asinθ θ´ 2 ) =√ 16 a2 θ2 ( cos θ2 + sin θ2 )= 4 a ´θ2
0. n coche se des#laza a lo largo de la curva circular de radio velocidad constante de
r = 400 pies con una
v =30 pies / s . $eterminar la velocidad angular de rotación
de la lnea radial y la magnitud de la aceleración del automóvil.
r = 400
´r = 0
v r =r = 0
´r = 0
v θ =rθ =400 ( θ )
θ
400 ¿´
¿ ¿2 ¿ ( 0 )2+¿ v = √ ¿
θ´ = 0
θ= 0.075 rad / s
ar =´r −r θ´ =0 −400 ( 0.075 ) =−2.25 pies / s 2
2
2
aθ =rθ + 2 ´r θ= 400 ( 0 ) + 2 ( 0 ) ( 0,075 )=0 a = √ (−2.25 ) +( 0 ) =2.25 pies / s 2
2
2
4. 5artiendo del re#oso , el ni6o corre hacia el e7terior en el dirección radial desde el centro de la #lataforma con una aceleración constante de 'i la #lataforma está girando a una velocidad constante
0.5 m
θ´ = 0.2 rad / s ,
2
/s .
determine loscom#onentes radial y transversales de la velocidad y la aceleración de el ni6o cuando t ( 3 s . $escuidar su tama6o
Velocidad: t3 s #posicion del ni*o
s =( s 0 )r + ( v 0 )r t +
r= 0 +0+
1 2
1
2
( ac )r t 2
( 0.5 ) ( 9 )= 2.25 m
$l componente radial de velocidad esta dada por :
v r =( v 0 )r + ( a c )r t = 0 + 0.5 ( 3 )= 1.5 m / s
$l componente velocidad transverso del ni*o :
v θ =r θ´ =2.25 ( 0.2 ) =0.45 m / s
celeracion :
ar =´r −r θ´ =0.5 − 2.25 ( 0.2 ) = 0.41 m/ s 2
2
2
aθ =rθ + 2 ´r θ=2.25 ( 0 ) + 2 ( 1.5 ) ( 0.2 )=0.6 m / s
2
.
´ /. 'i la leva gira en sentido horario a una velocidad angular constante de θ=¿ rads, determine las magnitudes de la velocidad y aceleración del seguidor &" en el instante θ=¿ 3*. %a su#erficie de la leva tiene la forma de lima8on definida #or
r =( 200 + 100cos θ ) mm.
r =( 200 + 100 cos θ )
´r =( −100 sin ´θ θ ) mm / s
2
´r =−100 ( sin θ ´θ + cos θ ´θ ) 2
Cuando
θ=30 °
r = ( 200 + 100cos 30 ° ) =286.6 mm
´r =( −100 sin 30 ° ( 5 )) =−250 mm / s ´r =−100 [ sin 30° ( 6 )+ cos30 ° ( 25 ) ]=−2465.1 mm
Velocidad 9 v r =´r =−250 mm / s
celeracion 9 ar =´r −r θ´
2
=−2465.1−286.6 ( 25 )=−9630 mm / s2
:. El automóvil desciende de un estacionamiento #or una ram#a es#iral cilndrica a una ra#idez constante de v(1. ms. 'i la ram#a desciende una distancia de 12 m #or cada revolución com#leta, θ= 2 π rad , determine la magnitud de la aceleración del automóvil a medida que desciende #or la ram#a, r(1* m. 'ugerencia9 #ara una #arte de la solución, oserve que la tangente a la ram#a en cualquier #unto forma un ángulo −1
β = tan (
12
[ 2 π ( 10 ) ]
)= 10.81 °
con la horizontal. tilcelo #ara determinar las
com#onentes de velocidad determinar
v θ y
v z , que a su vez se utilizan #ara
θ´ y ´ z
v r =0 v θ =1.5cos 10.81 ° =1.473 m / s v z=−1.5sin 10.81 ° =−0.2814 m / s
'i 9
r =10
´r = 0
´r = 0
v θ =r θ´ =1.473
'i 9
θ=
1.473 10
=0.1473
θ= 0
ar =r −´r θ =0 −10 ( 0.1473 )= 0 2
aθ =´r θ´ + 2 rθ =10 ( 0 )+ 2 ( 0 ) ( 0.1473 )= 0 a z=´ z = 0
a =√ (−0.217 ) +( 0 ) +(0 ) = 0.217 m / s 2
2
2
2
1*. %a caja desciende #or una ram#a helicoidal definida #or r(*. m, θ=( 0.5 t ) rad , y z =( 2− 0.2 t 3
2
)
, donde t está en segundos. $etermine las
magnitudes de la velocidad y aceleración de la caja en el instante θ= 2 π rad.
r = 0.5 m
´r =´r =0
θ´ =( 1.5 t ) rad / s
θ´ = 9 trad / s
2
2
2
z =2− 0.2 t
z´ =−0.4 t m / s
;uando
z´ =−0.4 m / s
θ= 2 π rad 9 t =2.325 s
3
=0.5 t
2 π
'i
2
t =2.325 s 9
[
]
θ´ = 1.5 ( 2.325 ) =8.108 rad / s 2
θ´ = 9 (2.325 )=6.975 rad / s
2
z´ =−0.4 t =−0.4 ( 2.325 )=−0.92996 m / s v =√ v r + vθ + v z = √ ( 0 ) +( 4.05385 ) +(−0.92996 ) = 4.16 m / s 2
2
2
2
2
2
&celeracion 9 ar =´r −r θ´ =0 −0.5 ( 5.108 ) =−32.867 m / s 2
2
2
aθ =r θ´ + 2 r´ ´θ =0.5 ( 6.975 ) + 2 ( 0 ) ( 8.108 ) =3.487 m / s 2
2
a z= z´ =−0.4 m / s
2
a =√ ar + a θ + a z =√ (−32.867 ) +( 3,487 ) +(− 0.4 ) =33.2 2
2
2
2
2
$+ercisios propuestos
2
1.
El #asador " de 1** g se desliza a lo largo de la ranura en elrazo rotatorio !; y a lo largo de la ranura $E, la cual se cortó en una #laca horizontal fija. 'i se
´ ignora la fricción y se sae que el razo !; gira a una razón constante θ0=¿ 12 rads, determine #ara cualquier valor dado de ϴ. a< las com#onentes radial y transversal de la fuerza resultante , que se ejerce sore el #asador ", < las fuerzas y . ejercidas sore el #asador " #or el razo !; y la #ared de la ranura $E, res#ectivamente.
2.
El deslizador ; tiene un #eso de &/0 l" y #uede moverse
#or
una ranura cortada en un razo &", el cual gira a θ´ 0=¿
razón constante
1& rads en un #lano
horizontal. El deslizador se encuentra unido a un resorte con razón constante k = 2.5 lb / ft
que se encuentra sin estirar cuando
r = 0 .'i el deslizador se
suelta desde el re#oso sin velocidad radial en la #osición en
cuenta
la
r =18 ∈ . y no se toma
fricción,
determine #ara la #osición r =12 ∈ .
com#onentes
,
a<
las
radial
y
transversal de la velocidad deslizador,
<
com#onentes
radial
del
las y
transversal de su aceleración, c< la fuerza horizontal ejercida sore el deslizador #or el razo &".
3.
n collarn de
3 lb
#uede deslizarse sore una varilla horizontal la
cual gira liremente alrededor de un eje vertical. El collarn se sostiene inicialmente en & mediante una cuerda unida al eje y com#rime un resorte con una constante de 2 lft, el cual está sin deformar cuando el collarn se localiza en &. ;uando el eje gira a la tasa
θ´ =16 rad / s , la cuerda se corta y el collarn se mueve hacia
fuera a lo largo de la varilla. 'i se des#recia la fricción y la masa de la varilla, determine a< las com#onentes radial y transversal de la aceleración del collarn en &, < la aceleración del collarn relativa a la varilla en &, c< la com#onente transversal de la velocidad del collarn en ".
).
n avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de )/* =mh a una altitud constante de 1** m. %a #royeccion sore el suelo de la trayectoria del avion #asa :**m al norte de un radar seguidor.$eterminar la celeridades y aceleraciones de
´ rotacion θ , Ӫ
ϕ´ , y´ϕ
que hay que dar a la antena #ara seguir al avion cuando +ste
est+ 1/** m al este de la estacion del radar.
.
%a gr>a gira en torno al eje ;$ a la razón constante de 3 radmin. &l mismo tiem#o, el aguilón &" de 2* m de largo va descendiendo a la razón constante de de radmin. ;alcular la velocidad y aceleración del #unto " cuando (3*.
0.
n avion vuela hacia el oeste con una velocidad consante de 1** ms a una altitud constante de 1** m. %a #royeccion sore el suelo de la trayectoria del avion #asa 2=m al norte de una estacion de radar .$eterminar la celeridades y
´ aceleraciones de rotacion θ , Ӫ
ϕ´ , y´ϕ
que hay
que dar a la antena #ara seguir al avion cuando +ste est+ en el mismo meridiano que la estacion del radar .
˙
4.
El dole anillo liso de *. =g #uede deslizarse liremente sore el razo &" y la arra gu?@a circular. 'i el razo gira a un velocidad
angular constante de
θ´ ( 3rad s, determine la fuerza que el razo
ejerce sore el anillo en el instante A ( ) . El movimiento ocurre en el #lano horizontal.
/.
El cilindro ; liso de 2 =g tiene un #asador 5 a traves de s u centro el cual #asa #or la ranura en el razo !&. 'i se hace que el razo gire en el #lano vertical a una razón constante
θ´
( *.rad s,determine la fuerza que ejerce
el razo sore la clavija en el instante A ( 0*.
:.
na lata ; de *. =g de masa se mueve a lo largo de una ranura horizontal. %a ranura tiene la forma de una es#iral, la cual esta deBnida #or la ecuacion r ( C*.1A
θ´ =¿
)rad s en el #lano horizontal, determine la fuerza que ejerce en la lata en el instante A ( D rad. gnore la fricci ?on y el tamano de la lata.
