CAPITULO V :
DINAMICA DE UN SISTEMA S ISTEMA DE PARTICULAS. DINAMICA DE UN CUERPO RIGIDO
I. SISTEMA DE PARTICULAS Cuando en el movimiento interactúa más de una partícula, se tiene un sistema de partículas. Este sistema posee características particulares como posición, velocidad, aceleración. Para poder determinarlas es necesario idealizarlas como una sola partícula ubicad en el centro de masa de todo el sistema.
1.1 CENTRO DE MASA. El C.M. de un sistema de partículas es el punto en el cual se considera está concentrado todo el sistema, es decir todo el sistema de partículas se mueve como se mueve el C.M. En un sistema de coordenadas rectangulares se tiene:
x M M =
; y M M =
m1
Z
; z M M =
m2
m3
CM (xm. ym, zm)
que son las coordenadas del CM.
mi O
X
Y
4.2 MOVIMIENTO DEL CENTRO DE MASAS.
POSICION. Lo constituye el vector posición con respecto a un punto fijo como el origen de coordenadas. m1
r CM CM =
Z
m2
mi r2
r CM CM = Y
VELOCIDAD. V CM CM =
r1
=
ri rCM
CM (xm. ym, zm) X
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
ACELERACION. a CM CM =
=
ECUACION DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTÍCULAS Para un sistema de partículas:
∑Fi = ∑mi ai = ∑mi ai ( ) = ∑mi ( = M aCM
MOMENTUM LINEAL O CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UN SISTEMA DE PARTICULA P ARTICULAS. S. o
MOMENTUM LINEAL DE UNA PARTICULA P ARTICULA:: p. p = mV
La cantidad de movimiento de una partícula es una cantidad vectorial, que resulta de multiplicar la masa m de la partícula por su velocidad lineal. La cantidad de movimiento puede ser variable, dependiendo de las características de la velocidad lineal. Trayectoria de la masa m
m P1 V1
P2 m V2
Además. Como p = mV, se cumple: dp =d (mV). Si la masa es constante. =
m
= ma = ∑Fi
El cambio de la cantidad de movimiento de una partícula en el tiempo,
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
o
MOMENTUM LINEAL DE UN SISTEMA DE PARTICULAS: P. Para un sistema de n partículas, la cantidad de movimiento se mide como:
PTOTAL = ∑pi = ∑mi Vi = ∑mi Vi ) = M VCM La cantidad de movimiento de un sistema de partículas es una cantidad vectorial, que resulta de sumar la cantidad de movimiento de cada una de los partículas en un momento determinado Trayectoria de la masa m
m1 P1 V1
P2 m2
V2
Además. =
d(M VCM) = M aCM =∑Fi
…….. 2ª Ley de Newton
COLISIONES Y CHOQUES
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
DINAMICA DE CUERPO RIGIDO CUERPO RIGIDO. Es aquél que se considera estar formado por un número infinito de partículas el cual no sufre deformaciones cuando actúa sobre él un sistema de cargas, es decir, la distancia entre dos partículas del cuerpo se mantiene constante con o sin la presencia de cargas. F1 F2 A
B
A
B
Fi SIN CARGAS
F3 CON CARGAS
MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO Se considera que el movimiento de un cuerpo rígido puede presentarse de dos formas:
Movimiento traslacional: Cuando el segmento de línea que une a dos puntos del cuerpo rígido se mantiene paralelo a sí mismo durante todo el movimiento. Esta traslación puede ser rectilínea o curvilínea. Movimiento rotacional: Cuando cada una de la s partículas del cuerpo se mueven siguiendo trayectorias circulares cuyos centros están sobre un eje fijo. El CR gira sobre este eje.
Q
Q
Q
Traslación Rectilínea Pura
Traslación Curvilínea Pura
Q
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
CANTIDAES ANGULARES. Si el eje de rotación coincide con el eje Z, tenemos:
VELOCIDAD ANGULAR: Es la rapidez de cambio de la coordenada angular de posición θ. ω=
k
ACELERACION ANGULAR: Es la rapidez de cambio de la velocidad angular. α=
k
VELOCIDAD TANGENCIAL V = ; V= ωxr = ωrsenϕ ACELERACION a = = = ωx + x r a = ωxV + αxr = ωx(ωxr) + αxr a = aN + at
Z
ω ρ
V
dθ
ϕ
X
r
O Y Eje de rotación fijo
MOMENTUM ANGULAR DE UN CR. LCR =( rCM x mVCM) + ICM ω, donde: LCR: momentum angular del cuerpo rígido. ICM: momento de inercia con respecto al centro de gravedad del CR. ω : velocidad angular del CR. ICM ω : momentum angular del cuerpo rígido respecto a su CM.
Si la rotación se produce en un plano, es decir el movimiento es planar, la ecuación anterior se reduce a: LCR = Io ω I0: momento de inercia con respecto cualquier eje perpendicular al plano. Si la rotación se produce en un plano, y el cuerpo gira en torno a su eje de simetría, tendremos:
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
CALCULO DE MOMENTOS DE INERCIA. En general:
I = ∫ r 2 dm dm
r: distancia del eje de rotación a cada partícula dm: masa de la partícula.
r
Pero: ρ=m/V; m= ρV; dm = ρdV, cuando ρ es constante. I = ∫ r 2 dm= I = ∫ r 2 ρdV = ρ ∫ r 2 dV dV: diferencial de volumen, que según el caso puede clasificarse como líneas, áreas o sólidos. Ejemplo : Para una barra delgada como la de la figura siguiente, el momento de inercia respecto al eje Y será: Iy = ∫ x2 dm dm= ρdV y M = ρV entonces:
;
=
;
Y
de aquí dm =
Iy = ∫ x2 dm = Iy = ∫ dx Iy =
L-h
dx
h
x
dx
M,L,A
X
Si h=0: Iy =
Si h=L/2: I y =
(momento de inercia respecto al CM)
2. A continuación se presentan los momentos de inercia de las principales figuras planas, lineales y cúbicas.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS O TEOREMA DE STEINER. Un CR tiene infinitos momentos de inercia, de acuerdo al eje con respecto al cual se deseen determinar a éstos. Por tanto, conocido el momento de inercia respecto a un eje que pasa por su CM, se puede determinar el momento de inercia con respecto a otro eje que pase por cualquier punto como: Eje CM
Eje P
IP = ICM + Md2 CM
P
d
Ejemplo: Hallar el momento de inercia de un disco delgado de masa M y radio R alrededor de un eje perpendicular a su plano en el borde. IX´= IX + Md2 IX´= ½ MR2+ MR2 IX´= 3/2 MR2
CM
X d=R X´
ECUACION DEL MOVIMIENTO DE UN CR. El movimiento de un CR en general, queda determinado por las siguientes ecuaciones:
∑Fi = M aCM ; ∑Mp = Ip α ; Es decir:
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
Trusted by over 1 million members
Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.
ENERGIA CINETICA DE ROTACION DE UN CR. Sabemos que: Ec = ½ mv 2. Pero v=rω. Entonces Ec = ½ m(r ω)2 = ½ mr2ω2 Siendo I = mr 2
Ec = ½ I ω 2. …….Energía cinética de rotación.
Rotación y traslación: Rotación pura:
EJEMPLOS DE APLICACION
Ec = ½ M V 2 CM + ½ ICM ω 2 Ec = ½ ICM ω 2