Análisis cinemático Análisis cinemático: Se obtienen las posiciones, velocidades y aceleraciones del mecanismo mediante la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas no lineales. El análisis cinemático puede dividirse en los siguientes problemas: • Problema de la posición inicial: Consiste en encontrar la posición de todos los elementos del sistema multicuerpo una vez conocida la posición del elemento o elementos de entrada. Es un problema no lineal y que además puede presentar varias soluciones perfectamente válidas.
Análisis cinemático 1
1
L4 L2
−
x1 ) 2
( x1 − x 2 ) (x 2
−
2
x B )2
(yA
+ +
−
y1 ) 2
( y1 − y 2 )
+
(y2
−
2
−
L22
=
2 − L3 =
yB )2
−
L24
=
θ3
1
0
Solución 2
0
L2 0
A
L4 θ4 B
B
Sistema de ecuaciones algebraico no lineal
(x A
Solución 1
θ2
A
θ2
A
θ3
L2
L3
2
L3
θ2
L3 2
θ4 B
L4
Análisis cinemático • Problema de posiciones sucesivas (o desplazamientos d esplazamientos finitos): Este problema es una variación del problema de posición inicial. Dada Dada una posición inicial conocida, consiste en encontrar la posición de todos los elementos del sistema multicuerpo una vez conocida la posiciones sucesivas (en desplazamientos finitos) de los elementos de entrada.
Análisis cinemático • Problema de velocidades y aceleraciones: Dada las posiciones y velocidades de los elementos de entrada, el problema de velocidad velocidad consiste en encontrar las velocidades de todos los demás elementos. De la misma forma el problema de aceleración consiste en encontrar las aceleraciones de todos los elementos dada las posiciones y velocidades de todos los elementos. • Simulación cinemática: La simulación cinemática consiste en poder observar el rango completo del movimiento del mecanismo obteniendo trayectorias de puntos, pudiendo detectar problemas como como la colisión colisi ón con elementos del mismo o circundantes.
Síntesis cinemática Síntesis cinemática cinemática:: Es el proceso de encontrar la mejor geomet geo metría ría y dimen dimension siones es del mecani mecanismo smo que que producirá producirá el movimiento deseado. Aná álisis cinem cinemá ático ático Análisis Da Dato tos: s: ge geom omet etrí ría ay Datos: dimensiones del mecanismo y posición de los elementos de entrada Res Result ultado: ado: Po Posici sición ón ini inicial cial,, Resultado: desplazamientos finitos,
vs.
Síííntesis S ntesis cinem cinemá ática ática Da Dato tos: s: Po Posi sici ción ón inic inicia ial, l, Datos: desplazamientos finitos, velocidades y aceleraciones. Re Resul sulta tado dos: s: ge geom omet etrí ría ay Resultados: dimensiones del mecanismo y posición de los elementos
Síntesis cinemática Problema de síntesis: Encontrar el mecanismo que pase por las 5 posiciones de la figura
y
x
Síntesis cinemática Síntesis de tipo o Reuleaux: Consiste en encontrar el tipo y número de elementos elementos y pares cinemáticos para formar un mecanismo que cumpla con las condiciones de movimiento impuestas. Síntesis dimensional: Para un mecanismo estructuralmente definido (elementos y pares cinemáticos), consiste en encontrar las dimensiones de los elementos que proporcionen las características de movimiento que cumplan con la condiciones impuestas.
Dinámica Análisis dinámico: Estudia el movimiento causado por la acción de las fuerzas aplicadas sobre el mecanismo. Para obtener el movimiento del sistema es necesario resolver ecuaciones diferenciales lo que le convierte en un problema relativamente más complejo que el problema cinemático. El análisis dinámico puede dividirse en los siguientes problemas:
Dinámica de cuerpo rígido Posición de equilibrio estático: Consiste en encontrar la posición del del sistema en la cual todas las fuerzas de gravedad, externas, elásticas y reacciones se encuentran en equilibrio. No es puramente un problema dinámico pero al intervenir las características dinámicas del sistema se le considera dentro de este apartado. El problema de la posición de equilibrio estático tiene importancia en vehículos para determinar dicho equilibrio en los sistemas de suspensión.
Dinámica de cuerpo rígido Problema dinámico inverso: Consiste en encontrar las fuerzas o moment momentos os necesarios en motores y/o actuadores del mecanismo para producir un determinado movimiento. Es un análisis híbrido entre el análisis cinemático y dinámico. Primero se resuelve el problema cinemático con la completa determinación de posición, velocidad y aceleración. Posteriormente se obtienen las
¿ Par ?
Vel.
Tiene una gran importancia para seleccionar los motores y/o actuadores que deben ser empleados para producir el
Dinámica de cuerpo rígido •Problema dinámico directo: Conocidos las fuerzas y momentos aplicados por los motores y/o actuadores consiste en obtener el movimiento del sistema multicuerpo. Es lo que habitualmente se conoce como simulación dinámica. El problema dinámico directo implica la resolución de un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias que deben ser integradas numéricamente.
Par
¿Vel.?
Dinámica de cuerpo flexible Dinámica inversa y directa de sistemas sist emas multi multicuer cuerpos pos flex flexibles ibles:: En los casos anteriores se ha asumido que los elementos de los sistemas multicuerpo eran rígidos. Esta hipótesis es válida si la deformación de los elementos es muy pequeña en comparación con los desplazamientos. desplazamien tos. Sin embargo, en algunas ocasiones no puede despreciarse y debe considerarse los elementos como flexibles. En esta caso, la complejidad y el tamaño del problema crece considerableme considerablemente nte ya que deben considerarse todas las variables que intervienen en la deformación.
¿Vel.? Par
Percusiones e impactos Percusiones: Una percusión es una fuerza aplicada con un elevado valor durante un periodo de tiempo muy pequeño. En las percusiones el valor de la fuerza aplicada es conocido.
Impactos: El impacto implica la colisión entre dos cuerpos. En este caso también aparece una fuerza elevada durante un periodo muy corto de tiempo, pero esta fuerza es completamente desconocida a priori .
Capítulo I: Tema 2
I.2. Definición de mecanismo, elemento y par. 1. De Deffinición de me mecanismo. 1. Elementos. 2. Par cinemático.
2. Cla Clasi sifi ficac cació ión n de el elem ement entos os y pare pares s cine cinemá máti tico cos. s. 1. Cl Clas asif ific icac ació ión n de de los los el elem emen ento tos. s. 2. Cl Clas asif ifica icaci ción ón de lo los s par pares es cin cinem emát átic icos os..
Definición de mecanismo Mecanismo: es un conjunto de elementos mecánicos, uno de los cuales es fijo, en contacto con otros de forma que pueden tener movimiento relativo entre ellos, y este movimiento tiene una forma determinada (no caótico ni aleatorio). Como consecuencia el movimiento de un mecanismo está restringido, y se puede estudiar independientemente de las fuerzas que lo producen.
Definición de mecanismo Un mecanismo: Se define como un si sist stem ema a mu mult ltic icue uerp rpo o formado por la unión de dos o más cuerpos rígidos (también llamados elementos) unidos a través de unas uniones imperfectas llamada pares cinemáticos o simplemente pares. Elementos Elementos Pares
Pares
Definición de mecanismo Ejemplos de mecanismos
Elementos Elemento (o barra): Elemento barra): Cad Cada a una de las las partes partes en que que puede descomponerse descomponerse el sistema mecánico de forma que tenga movimiento relativo respecto de las demás partes y en relación a las cuales existe una discontinuidad de tipo físico.
Elementos Elementos
Par cinemático
Pares
Pares
Par Cinem Cinemá ático: ático: tico ti co:: o si simp mple leme ment nte e pa par par, r, r se de defi fine ne as asíí a la unión imperfecta existente entre dos elementos. Una unión imperfecta es aquella que permite el movimiento en algún grado de libertad.
Clasificación de los elementos CLASIFICACION CLASIFICACIONDE DELOS LOS ELEMENTOS ELEMENTOS
POR POREL ELNUMERO NUMERODE DE PARES PARES
Unario. Unario. Binario. Binario. Terciario. Terciario. n-ario. n-ario.
Unario
POR PORLA LANATURALEZA NATURALEZADE DE LOS ELEMENTOS LOS ELEMENTOS
POR POREL ELTIPO TIPODE DE MOVIMIENTO MOVIMIENTO
Rígidos. Rígidos. Unirígidos. Unirígidos. Flexibles. Flexibles. Fluidos. Fluidos.
Binario
T
i
Manivela. Manivela. Balancín. Balancín. Biela. Biela.
P
t i
Clasificación de los elementos Por la naturaleza: • El Elem emen ento tos s rígi rígido dos: s: Ele Eleme ment ntos os for forma mado dos s por por sól sólid idos os rí rígi gido dos s o bie bien n por por la unión de varios sólidos rígidos sin movimiento relativo entre si. • El Elem emen ento tos s unir uniríg ígid idos os:: elem elemen ento tos s que que son son rígi rígido dos s cuan cuando do lo los s esfu esfuer erzo zos s son aplicados en una dirección (cables, correas, cadenas, etc.). • El Elem emen ento tos s flex flexib ible les: s: aqu aquel ello los s cuya cuyas s defo deform rmac acio ione nes s son son comp compar arab able les sa las de sus propios movimientos. m ovimientos. Son elementos continuos o formados por varios elementos continuos deformables (p.e. muelles). Por el tipo de movimiento: • Ma Mani nive vela las: s: el elem emen ento tos s que que gi gira ran n com compl plet etam amen ente te al alre rede dedo dorr de de un un eje eje fijo. • Ba Ballanci cin nes: si osc sciilan alr lred ede edo dorr de un eje fi fijo jo.. • Ba Barr rras as fl flot otan ante tes: s: gi gira ran n al alre rede ded dor de un ej eje e in inst stan anta tane neo o de ro rota taci ción ón..
Clasificación de los pares cin. CLASIFICACION DE LOS PARES CINEMATICOS
POR EL NUMERO DE ELEMENTOS QUE UNE EL PAR
Binarios. Ternarios. Cuaternarios. etc.
POR EL GRADO
POR EL CIERRE
POR LA CLASE
Lineales 1er grado. Superficiales 2º gr grad ado. o. Espaciales 3er grado.
Cierre de forma. Cierre de fuerza. Cierre de cadena.
Clase I. Clase II. Clase III. Clase IV. Clase V.
POR EL CONTACTO
Pares superiores. Pares inferiores.
Clasificación por el grado: Clasificación • 1err gr 1e grad ado o o lin linea eale les: s: El lu luga garr ge geom omét étri rico co de la las s pos posib ible les s pos posic icio ione nes s re rela lati tiva vas s de un punto de un elemento respecto al otro elemento es una línea. • 2º grado o su sup perfi fic ciale les s: el lugar ge geo ométr tric ico o es una superfici cie e.
Clasificación de los pares cin. Clasificación por el cierre: Clasificación • Ci Cier erre re de forma: cu cua ado la su sup per erffic icie ie de co cont ntac actto gar ara ant ntiz iza a la unión de los elementos. • Cierre de de fu fuerza: cuando el el co contacto en entre el elementos se se garantiza mediante una fuerza. • Ci Cier erre re de cad aden ena: a: cu cua and ndo o es la di disp spo osi sic ció ión n de lo los s el ele eme ment ntos os lo que garantiza el contacto.
Cierre de forma
Cierre de cadena F
Clasificación de los pares cin. Clasificación por la clase: Clasificación Un par cinemático permite el movimiento en ciertos grados de libertad y restringe el movimiento en otros. Par Clase I: Permite el movimiento en 1 grado de libertad. Par Clase II: Permite el movimiento en 2 grados de libertad. Etc.
y Δy Δθ
Restringe 2 gdl Permite 1 gdl
Δx x
Par Clase I
Clasificación de los pares cin.
Contacto puntual
Contacto lineal
Pares superiores
Contacto superficial
Pares inferiores
Capítulo I: Tema 2
2.3. Cadenas cinemáticas. 1. Defi Defini nici ción ón de ca cade dena na ci cine nemá máti tica ca.. 2. Con Confi figu gura ració ción n ci cine nemá máti tica ca o es estr truc uctu tura rall 3. Movilidad.
Definición de cadena cinemática Cadena cinemática: Conjunto de elementos unidos entre sí por pares pares cine cinemáti máticos cos de modo modo que que sea sea posible posible el movimiento relativo entre ellos.
Definición de cadena cinemática Tipos: cinemática ca abierta: cuando algún elemento se une al • Cadena cinemáti conjunto mediante un único par cinemático. • Cadena cinemáti cinemática ca cerrada: cuando todos los elementos se unen al conjunto por más de un par cinemático.
Configuración cinemática o estructural Se denomina configuración cinemática o estructural de una cadena al número de pares y elementos que la forman. Se representa como: (n 2, p2, n3, p3, …), donde: n2: nº de ele elemen mentos tos bin binari arios. os. p2: nº nº de pa pares res bi bina nario rios. s. n3: nº de ele elemen mentos tos tern ternari arios. os. p3: nº de pa pares res ter terna nario rios. s. Conf. Estructural: (4,4) 6 1
Cadenas isomorfas: son aquellas aquella s cadenas cinemáticas que tienen la misma configuración estructural.
3
2
5 4
Movilidad Movilidad (M): número de parámetros que es necesario conocer para que quede quede perfectamente definida la posición de la cadena cinemática. Y L3
M=3
Y
θ
θ3
y x
L2
X
θ2
L1
Y
M=5
θ1
y1 θ
y
ϕ
x1
X
Movilidad Movimiento sin restricciones Espacio
Plano θ3
x O1
z
x O1
θ1 R1
θ2
Z R1
y
y
Y
Y X
X
O
O T
R
θ
T
=
=
[x y z]
[θ 1 θ 2 θ 3 ]
θ
T
R θ
T
= =
[x y]
[θ ]
Movilidad y ∆y ∆x x
x1 O1
θ1 R1
∆θ
x2 O2
θ2
y2
y2
R2
Y X O
M = 3 (só (sólilido do 1) + 3 (sól (sólid ido o 2) 2) – 1 (Δx) (Δx) – 1 (Δy) (Δy) = 4 Movilidad en el movimiento plano M = 3N – 2 PI -PII
N: número de elementos.
Capítulo I: Tema 2
2.4. Mecanismos. 1. Def efin iniición de de mec meca anismo. 2. Inversiones.
Definición de mecanismo Mecanismo es una cadena cinemática en la que se ha fijado uno de sus elementos. A este elemento fijo se le denomina: SOPORTE, BASTIDOR o BANCADA.
Elemento fijo
Inversiones Inversiones: son las diferentes mecanismos que pueden obtenerse fijando una de las barras de la cadena cinemática. 6 6 1
1
3
3
2 2
5
5 4
6
6 1
1
3
3
Cadena cinemática de Watt 2
5 4
4
6
6
3
2
1
1
5
2
5
2
3
5
Inversiones 1 1
3
3 6
1
6
3
4
4 3
6 2
4
5
6 4
2 5
2 5
Cadena cinemática de Stephenson
1
1
3
3
1 6 6
4
4
2
2 2
5
5
2.4. Grados de libertad. 1. Def efin iniición de gra rad dos de libertad. 2. Criterio de de Grübler. 3. Otros criterios.
Defi De fin nición de de gra grad dos de de lib libe ert rta ad (g (gdl ó G) Se define grados de libertad (G) como el número de parámetros mínimo para que quede completamente definida la posición de un mecanismo.
θ2
G=1
θ3
θ2
G=2 θ4
θ2
θ2
G=1
G=3
θ3
El número de grados de libertad define el número el número de elementos elementos
Criterio de Grübler El crite criterio rio de Grübl Grübler er sir sirve ve para para la determ determinac inación ión del del número de grados de libertad de un mecanismo. El criterio para el caso de mecanismos planos es el siguiente: G = 3( 3(N N-1) – 2 PI -PII N: número de elementos. PI: nº nº de pa pare res s clas clase e I. I. PII: nº de pa pare res s clas clase e II. II.
Los pares pares Cla Clase se I permit permiten en el movi movimien miento to en 1 gdl gdl y lo restringen en 2 gdl. Los pares Clase II restringen el movimiento en 1 gdl.
Criterio de Grübler Ejemplos N: 4 PI : 4
G = 3(4 3(4-1) -1) – 2 4 -0 = 1 gdl gdl
PII: 0
N: 4 PI: 4 PII: 0
G = 3(4 3(4-1) -1) – 2 4 -0 = 1 gdl gdl
Criterio de Grübler Ejemplos N: 3 PI: 3
G = 3(3 3(3-1) -1) – 2 3 -0 -0 = 0 gd gdll
PII: 0
N: 6 PI : 8 PII: 0
G = 3(63(6-1) 1) – 2 8 -0 = -1 gd gdll
Criterio de Grübler Ejemplos N: 5 PI: 5 PII: 0
N: 6 PI : 6 PII: 0
G = 3(5 3(5-1) -1) – 2 5 -0 = 2 gdl gdl
G = 3(63(6-1) 1) – 2 6 -0 = 3 gdl gdl
Criterio de Grübler Ejemplos N: 4 PI: 3 PII: 1
G = 3(4-1 -1)) – 2 3 - 1 = 2 gdl
Rodadura + deslizamiento
N: 3 PI : 2 PII: 1
G = 3(3 (3-1 -1)) – 2 2 - 1 = 1 gdl
Criterio de Grübler Clasificación Se puede establecer la siguiente clasificación: • G<0 <0;; Est stru ruct ctu ura hi hipe perres esttát átiica ca.. Estructuras • G=0; Es Estructura is isostática. • G=1; Me Mecanismo de desm smod odrróm ómiico: dada la posición de un elemento se conoce la posición de todos los demás elementos. Mecanismos • G=2; Mecanismo diferen enc cial. • G>2; Mecanismo con n grados de de libertad.
Criterio de Grübler Incongruencias N: 5 PI : 6 PII: 0
G = 3(5 (5--1) – 6 2 - 0 = 0 gdl
Incongruencias
N: 9 PI: 12 PII: 0
G = 3(9 (9-1 -1)) – 6 12 12 - 0 = 0 gd gdl
N: 9 PI: 12 PII: 0
G = 3(9 (9--1) – 6 12 - 0 = 0 gdl
Estructura isostática
Criterio de Grübler Incongruencias
Rodadura pura = 1 gdl Rodadura + deslizamiento = 2gdl
¿Rodadura pura? o ¿Rodadura + deslizamiento?
N: 4 PI : 3 PII: 1
G = 3(4 (4-1 -1)) – 2 3 - 1 = 2 gdl
Rodadura + deslizamiento
Criterio de Grübler Incongruencias Soluciones: • Las ba barr rras as de dell mec mecan anis ismo mo no deb deben en te tene nerr una unas s dime dimens nsion iones es exactas. • Id Iden enti tifi fica carr par parte tes s que que so son n sól sólid idos os rí rígi gido dos. s. • En ro rodadura pu pura eli elim minar 1 gdl.
Rodadura pura G = 3( 3(44-1) 1)
2 3 1 = 2 gdl gdl
Criterio de Grübler Mecanismos espaciales G = 6(N-1) – 5 PI – 4 PII – 3 PIII – 2 PIV - PV
N: 4 PI: 4 PII= PIII = PIV = PV = 0
G = 6(4-1) – 5 4 – 4 0– 3 0 – 2 0 – 0 = -2
Otros criterios Procedimientos de teoría de estructuras:
N=5 P=4 En estruc estructura turas s isostá isostática ticas s se cumple que el número elementos menos los 3 primeros es igual al doble del número de nudos memos los 3 primeros.
N – 3 = 2(P – 3) N + 3 = 2P
N=7 P=5 N: elementos P: nudos.
