Diferenciación+numérica

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CALKINI EN EL ESTADO DE CAMPECHE INGENIERIA INDUSTRIAL 6B TRABAJO:

TRABAJO DOCUMENTAL 5. DERIVACIÓN NUMÉRICA 5.1. DERIVACIÓN NUMÉRICA 5.1.1. DERIVACIÓN NUMÉRICA: HACIA ATRÁS, HACIA ADELANTE Y CENTRADAS O DERIVACIÓN NUMÉRICA. DIFERENCIAS FINITAS PROFESOR:

ING. BRIGIDO MANUEL LEE BORGES MATERIA: METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

INTEGRANTES DE EQUIPO: Nombres ROSA ISABEL PECH JURADO

Matricula 3082

JOSE ENRIQUE MAY MAY CAUICH

PERIODO ESCOLAR: 2012-2013

DERIVACION NUMERICA

INDICE

Tabla de contenido Tabla de contenido..................................................................................................................2 RESUMEN..............................................................................................................................2 ABSTRACT............................................................................................................................3 INTRODUCCION..................................................................................................................4 OBJETIVOS...........................................................................................................................5 Derivación numérica...........................................................................................................6 FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS DE ORDEN SUPERIOR ..........11 EJEMPLO.............................................................................................................................15 ANEXOS...............................................................................................................................21 CONCLUSION.....................................................................................................................22 10 PREGUNTAS..................................................................................................................23 10 EJERCICIOS....................................................................................................................24 BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................26

RESUMEN La deriva derivació ción n numéri numérica ca es una técnic técnica a de análisis análisis numérico numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma. El teorema de Taylor Taylor y su formula formula la la serie serie de Taylor es de gran gran valor en el estudio de los método s numéricos. En esencia, la serie de Taylor proporciona un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función función y de sus derivadas derivadas en otro punto. En particular el teor ema de Taylor establece que cualquier función suave puede aproximarse por un p olinom olinomio. METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

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Diferenciación de fórmulas de alta exactitud: Se pueden generar fórmulas de alta exactitud al incluir términos adicionales en la expansión de la serie de Taylor . Teniendo en cuenta el término de la segunda derivada El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce únicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremos el análisis de error de dichas formulas.Un método consiste en aproximar la función en la vecindad del punto en que se desea la derivada, mediante una parábola de segundo, tercer o mayor grado, y utilizar entonces la derivada de la parábola en ese punto como la derivada aproximada de la función. Expresión de en Xi .

Diferencias Centrales

correspondiente a la tercera derivada de

Y

Por este método se pueden obtener derivadas sucesivas de mayor orden, pero como requieren la solución de un número cada vez mayor de ecuaciones simultáneas, el proceso se vuelve tedioso. La misma técnica se puede utilizar también para encontrar expresiones más precisas de las derivadas utilizando términos adicionales en el desarrollo en serie de Taylor. En la diferenciación numérica, las expresiones de diferencias hacia adelante se utilizan cuando no se dispone de datos a la izquierda del punto en que se desea calcular la derivada, y las expresiones de diferencias hacia atrás, se utilizan cuando no se dispone de datos a la derecha del punto deseado. Sin embargo, las expresiones de diferencias centrales son más precisas que cualquiera de las otras dos. Lo que sigue es un resumen de las fórmulas de diferenciación que se pueden obtener a base de desarrollos en serie de Taylor.

ABSTRACT Numerical derivation is a numerical analysis technique to calculate an approximation to the derivative of a function at one point using the values and properties of the same. Taylor 's theorem and the Taylor series formulation is of great value in the study of numerical methods. In essence, the Taylor series provides a means for predicting METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

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the value of a function at a point in terms of the value of the function and its derivatives at another point. In particular Taylor's theorem states that any smooth function can be approximated by a polynomial. Differentiation high accuracy formulas: Formulas can generate high accuracy by including additional terms in the expansion of the Taylor series. Considering the end of the second derivative The calculation of the derivative of a function can be a "difficult" either by how complicated the analytical definition of the function or that this is known only in a discrete number of points. (This is true whether the function is the result of an experiment). In this lesson techniques to approximate the derivatives of a function and see the error analysis method is such formulas.Un approximate the function in the vicinity of the point where the derivative is desired by a parabola of the second, third or more degree, and then use the derivative of the parabola at the point as the approximate derivative of the function. Central expression of differences corresponding to the third derivative of Y in Xi. By this method you can obtain successive derivatives of higher order, but as requiring the solution of a growing number of simultaneous equations, the process becomes tedious. The same technique can also be used to find more accurate expressions of the derivatives using additional terms in the Taylor series expansion. Numerical differentiation, the forward difference expressions used when no data is available to the left of the point where the derivative is to be calculated, and the backward difference expressions are used when no data is available to the right desired point. However, the central difference expressions are more accurate than either of the other two. What follows is a summary of the differentiation formulas that can be obtained based on Taylor series expansions.

INTRODUCCION Este trabajo habla de la derivación numérica y se muestran diversos métodos para la resolución de problemas relacionados con la vida cotidiana.

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Se explican algunas técnicas de aproximación para la resolución de diferenciales como lo son la fórmula de derivación numérica hacia adelante, hacia atrás y centradas, así como la de alta exactitud y también relacionado todo esto con la serie de Taylor, cada una detallada con ejemplos sencillos para su fácil comprensión. También se discuten métodos desarrollados específicamente para el problema formulado como una diferenciación numérica. Hay varias razones para llevar a cabo la diferenciación numérica. Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función. Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable

OBJETIVOS

•

Conocer las diferentes formas de obtener fórmulas de derivación numérica • •

Interpolación Desarrollo de Taylor


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DERIVACION NUMERICA • •

•

•

•

Coeficientes indeterminados Derivación numérica (hacia atrás, hacia adelante, centradas)

Aprender a obtener el error de la fórmula Reconocer las ventajas de las fórmulas centradas.

Comprender que el error depende no solo de la fórmula numérica y de la función a derivar sino del punto en que se calcula y del valor de espaciado h.

5. Derivación numérica 5.1. Derivación numérica 5.1.1. Derivación numérica: hacia atrás, hacia adelante y centradas o Derivación numérica. Diferencias finitas Derivación numérica METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

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DERIVACION NUMERICA

Diferenciación numérica es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de a función matemática o función subprograma usando valores de la función y quizás del otro conocimiento sobre la función. Una valoración simple del dos-punto es computar la cuesta de un próximo línea secante a través de los puntos ( x ,f (x)) y ( x+h,f (x+h)). Elegir un número pequeño h, h representa un cambio pequeño adentro x , y puede ser positivo o negativa. La cuesta de esta línea es Esta expresión es Neutonio's cociente de la diferencia. La cuesta de esta línea secante diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h. Como h los acercamientos ponen a cero, la cuesta de la línea secante acercamientos la cuesta de la línea de la tangente. Por lo tanto, el verdad derivado de f en x es el límite del valor del cociente de la diferencia mientras que las líneas secantes consiguen cada vez más cerca de ser una línea de la tangente: Desde inmediatamente el sustituir 0 para h resultados adentro división por cero. Una valoración simple del tres-punto es computar la cuesta de una línea secante próxima a través de los puntos ( x-h,f (x-h)) y ( x+h,f (x+h)). La cuesta de esta línea es Más generalmente, la valoración del tres-punto utiliza la línea secante a través de los puntos ( x − h1,f ( x − h1)) y( x + h2,f ( x + h2)). La cuesta de esta línea es La cuesta de estas líneas secantes diferencia de la cuesta de la línea de la tangente por una cantidad a la cual sea aproximadamente proporcional h2 de modo que la valoración del tres-punto sea una aproximación más exacta a la línea de la tangente que la valoración del dos-punto cuando h es pequeño. A la ecuación 1 se le conoce con el nombre especial en el análisis numérico, se le llama diferencias divididas finitas.

Se puede representar generalmente como: METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

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o

Donde al diferencial se le conoce como la primera diferencia hacia adelante y a h se le llama tamaño del paso, esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama diferencia " hacia adelante " ya que usa los datos(i) e (i+1) para estimar la derivada. Al termino completo (o sea, la diferencial entre h ) se le conoce como primera diferencia dividida finita. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas, utilizando las diferencias hacia atrás o las diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación 2. Las primeras usan a, mientras x con sub-indice i+1 que las segundas usan información igualmente espaciada alrededor del punto donde esta estimada la derivada. Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto.


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Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y ordenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando como se deriva cada una de ellos.

APROXIMACION A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS HACIA ATRÁS. La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, dada por:

Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene:

Donde los errores es 0 (h) y el diferencial indica la primer diferencia dividida hacia atrás.

APROXIMACIONES A LA PRIMER DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES. Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restar la ecuación 4 de la expansión en serie de Taylor hacia adelante:

para obtener

que se puede resolver para

o METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

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La ecuación es una representación de las diferencias centrales (o centradas) de la primera derivada. Nótese que el error de truncamiento es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación mas exacta de la derivada. Por ejemplo, si se parte el tamaño del paso a la mitad usando diferencias hacia atrás o hacia adelante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales, el error se reduce a la cuarta parte.

APROXIMACIONES A DERIVADAS DE ORDEN MÁS ALTO USANDO DIFERENCIAS FINITAS. Junta a la primera derivada, la expansión de la serie de Taylor se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior. Para hacerlo, se escribe una expansión en la serie de Taylor hacia adelante para en términos de de la siguiente forma:

La ecuación 8 se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación 10 para obtener:

que se puede resolver para


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A esta relación se le llama diferencias divididas finitas hacia adelante de segundo orden. Se pueden usar procedimientos similares para obtener las versiones hacia atrás y centrales. Las aproximaciones a tercer orden de las diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales también pueden obtenerse ( véase en fórmulas mas adelante ). En todos los casos, las diferencias centradas dan una mejor aproximación.

FORMULAS DE EXACTITUD PARA DIFERENCIAS DE ORDEN SUPERIOR Todas las estimaciones anteriores truncaron las estimaciones dadas por la serie de Taylor después de algunos términos. Las fórmulas de mas exactitud se pueden desarrollar incluyendo términos adicionales. Por ejemplo, la expansión hacia adelante (Ecuación 6) se puede resolver para:

En contraste con la ecuación 2, se puede retener el término de segundo orden sustituyendo la ecuación 12 en la ecuación 13 para obtener:

agrupando términos

Nótese que la inclusión del termino con segunda derivada ha dado una exactitud. Se pueden desarrollar versiones mejoradas similares para diferencias hacia atrás y centrales así como para las aproximaciones de derivadas de orden superior.


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FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ATRÁS. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA


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.FORMULAS ADELANTE.

DE

DIFERENCIAS

DIVIDIDAS

FINITAS

HACIA

SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDAFORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA.


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FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

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TAYLOR POR

LO

TANTO

ES

MAS

EXACTA.

.

EJEMPLO METODOS NUMERICOS APLICADO PARA INGENIERIA

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EJEMPLO 23.1 fórmulas de diferenciación numérica con alta exactitud Planteamiento del problema. Recuerde que el ejemplo 4.4 estimamos la derivada de F(x) = -0.1x4 – 0.14x3 – 0.5x2 – 0.25x +1.2 en x= 0.5 usando diferencias divididas

finitas y un tamaño de paso: h = 0.25, Hacia adelante

Hacia atrás

centrada

O(h)

O(h)

O(h 2 )

estimació n

-1.155

-0.714

-0.934

εt (%)

-26.5

21.7

-2.4

FORMULAS DE DIFERENCIAS ATRÁS. SE PRESENTAN DOS


DIVIDIDAS FINITAS VERSIONES PARA

HACIA CADA

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DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA


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DERIVACION NUMERICA FORMULAS DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS FINITAS HACIA ADELANTE. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDAFORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR Y, POR LO TANTO ES MAS EXACTA.


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FORMULAS DE DIFERENCIAS FINITAS CENTRALES. SE PRESENTAN DOS VERSIONES PARA CADA DERIVADA. LA SEGUNDA FORMA INCLUYE MAS TERMINOS DE LA SERIE DE TAYLOR POR LO TANTO ES MAS EXACTA.


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Solución Los datos necesarios para este ejemplo son

Xi-2 = 0 Xi-1= 0.25 Xi= 0.5 Xi+1= 0.75 Xi+2= 1

f (xi-2 )= 1.2 f ( Xi-1)= 1.1035156 f ( Xi)= 0.925 f ( Xi+1)= 0.6363281 f ( Xi+2)= 0.2

La diferencia hacia delante de exactitud o (h2) se calcula como sigue (figura 23.1) con una valor verdadero de -0.9125

= -0.859375 εt = 5.82%

F’ (0.5) =

Diferencia hacia atrás de exactitud o (h2) = -0.878125 εt = 3.77%

F’ (0.5) =

Diferencia centrada de exactitud (h 2) = -0.9125 εt = 0%

F’ (0.5) =

Hacia adelante

Hacia atrás

centrada

O(h)

O(h)

O(h 2 )

estimació n

-0.859375

-0.87812

-0.9125

εt (%)

5.82%

3.7%

0.0%


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Como se espera, los errores para la diferencias hacia adelante y hacia atrás son considerablemente menores y los resultados más exactos que los del ejemplo. Sin embargo, de manera sorprendente, la diferencia centrada da un resultado perfecto. Esto es porque las formulas se basan en la serie de Taylor, y son equivalentes a polinomios que pasan a través de los puntos asociados con los datos.

ANEXOS

•

Estas graficas son para comprender mejor los resultados que nos arrojan el método de derivación numérica, hacia atrás, hacia adelante y centradas.

El azul es de aproximación y el verde de la derivada verdadera

HACIA ADELANTE

.HACIA ATRAS


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.CENTRALES

CONCLUSION

En conclusión la derivación numérica es una técnica de análisis numérico para calcular una aproximación a la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma. La aproximación de la derivada por este método de diferencias hacia atrás entrega resultados aceptables con un determinado error. Para minimizar los errores se estima que el promedio de ambas entrega la mejor aproximación numérica al problema dado. Las fórmulas de derivación numérica aparecen en el desarrollo de algoritmos para la solución de problemas de contorno en ecuaciones diferenciales ordinarias (y en ecuaciones en derivadas parciales). Las primeras derivadas son para encontrar las estimaciones pero la derivada que contiene más formulas es la exacta ya que mientras más datos tenga es mucho mejor. Concluyendo este tema es de gran importancia para poder saber que estimación tienen el problema y cuanto de error total cuenta basándose en el valor verdadero.


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10 PREGUNTAS 1; es una técnica de análisis numérico para producir una estimación del derivado de una función matemática a) Diferenciación numérica 2; Se le llama diferencia "

" ya que usa los datos (i) e (i+1) para estimar la derivada.

a) Hacia delante 3; es del orden de en contraste con las diferencias divididas hacia adelante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h.

a) Error truncamiento 4; ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada.

a) Serie de Taylor 5; se puede usar para una estimación numérica de las derivadas de orden superior.

a) Serie de Taylor 6; cuales son las tres diferencias numéricas que existen en la aproximación del tercer orden

a) diferencias divididas hacia adelante, hacia atrás y centrales 7; La ecuación es una representación de las diferencias centrales o derivada. a) Centradas


de la primera

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DERIVACION NUMERICA 8, se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual a) Serie de Taylor 9; como se le llama a h a) Tamaño del paso 10; no es sino una de tantas que se pueden desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas.

a) Diferencia dividida hacia adelante

10 EJERCICIOS Dada la función F(x) = -0.1x 4 – 0.14x3 – 0.5x2 – 0.25x +1.2 en x= 0.5 usando diferencias divididas finitas y un tamaño de paso: h = 0.25 Los datos necesarios para este ejemplo son

Xi-2 = 0 Xi-1= 0.25 Xi= 0.5 Xi+1= 0.75 Xi+2= 1

f (xi-2 )= 1.2 f ( Xi-1)= 1.1035156 f ( Xi)= 0.925 f ( Xi+1)= 0.6363281 f ( Xi+2)= 0.2

1; Encuentre la estimación hacia adelante F’ (x 1 )= 0.6363281- 0.925/0.25= -1.155

2; encuentre la estimación hacia atrás F’ (x 1 )= 0.925- 1.1035156/0.25=-0.714

3; Encuentre la estimación centrada F’ (x 1 )= 0.6363281- 1.1035156/2(0.25)=-0.934

4; Encuentre la primer derivada hacia ADELANTE F’ (0.5) =


= -0.859375

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5; Encuentre la PRIMERA derivada hacia atrás F’ (0.5) =

= -0.878125

6; Encuentre la primera derivada centrada F’ (0.5) =

= -0.9125

7; Encuentre el error total de la primer derivada hacia ADELANTE -0.859375-(-0.9125)=0.053125*100=5.31% 8; Encuentre el error total de la primer derivada hacia atrás -0.878125-(-0.9125)=0.0343*100=3.43% 9; Encuentre el error total de la primer derivada centrada -0.9125-(-0.9125)=0% 10, encuentre el valor verdadero F’ (0.5)=-0.4x3-0.45x2-1x-0.25 F’ (0.5)=-0.4(0.5)3-0.45(0.5)2-1(0.5)-0.25 F’ (0.5)=-0.9125


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BIBLIOGRAFIA

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Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, sexta edicion métodos numéricos para ingenieros, páginas de 595 a 598 Erwin kreyszing, tercera edición matemáticas avanzadas para ingeniería, paginas 419 a 432 Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, cuarta edición métodos numéricos para ingenieros, páginas de 662 a 665


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