elde edilir. y (0) = 1 ’den x = 0 ve y = 1 yerine yazılırsa, c = denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u x2 y 2 2
−1 bulunur. O halde
− x − y + 1 = 0
olur.
Soru 3 :
− −
dr r 2 sin θ = dθ 2r cos θ 1 θ (2) = π
C ¸¨ oz¨ um : (2r cos θ r2 sin θ i¸cin
−
− 1) dr
diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz.
r2 sin θ dθ = 0 denkleminde M = (2r cos θ
,
∂M = ∂θ
− 1) ve N =
−2r sin θ = ∂N ∂r
oldu˘ gundan denklem bir tam diferensiyel denklemdir. Dolayısıyla ¨oyle bir U (r, θ) fonksiyonu vardır ki, M = ’dir.
∂U = (2r cos θ ∂r
=− − 1) ve N = ∂U ∂θ
r 2 sin θ
− 1) e¸sitli˘gini r ’ye g¨ore integre edersek,
∂U dr = ∂r
(2r cos θ
− 1) dr ve U (r, θ) = r 2 cos θ − r + ϕ (θ) = c
∂U = r 2 sin θ oldu˘g u g¨ oz ¨on¨une alınırsa, ∂θ r2 sin θ e¸sitli˘ginden, ϕ (θ) = 0 ve ϕ (θ) = c bulunur. B¨oylece,
bulunur. Ayrıca, N =
−
∂U = (2r cos θ ∂r
−
U (r, θ) = r 2 cos θ
−r2 sin θ + ϕ (θ) =
− r = c
elde edilir. θ (2) = π ’den r = 2 ve θ = π yerine yazılırsa, c = halde denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u
−4 − 2 = −6 bulunur. O
r 2 cos θ
− r + 6 = 0
olur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki tam diferensiyel denklemleri ¸c¨ oz¨ un¨ uz
−
a) 3x (xy 2) dx + x3 + 2y dy = 0 b) 2x3 xy 2 2y + 3 dx x2 y + 2x dy = 0
− − − c) (2xy − y) dx +
x2 + x dy = 0
5
d) [2x + y cos(xy)] dx + x cos(xy) dy = 0 e) (r + sin θ cos θ) dr + r (cos θ + sin θ) dθ = 0 f) 2xy cos x2 2xy + 1 dx + sin x2 x2 dy = 0 g) sin θ 2r cos2 θ dr + r cos θ (2r sin θ + 1) dθ = 0 h) (2xy tan y) dx + x2 x sec2 y dy = 0
− − − − − − − −
i) w2 + wz 2 j)
z dw + z 3 + w 2 z
w dz = 0
Cevaplar :
a)x3 y b) x 4
− 3x2 + y2 = c − x2y2 − 4xy + 6x = c
c) y (x + 1) 3 = cx d) x2 + sin (xy) = c e) r 2 + 2r (sin θ cos θ) = c f) y sin x2 x2 = c x g) r sin θ r 2 cos2 θ = c
− − − −
h) x 2 y
−
x tan y = c
i) w2 + z 2
2
= 4wz + c
6
Ayrılabilir Diferensiyel Denklemler dy + 2x 2x sin y = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dx dy C ¸¨ oz¨ um : cos y + 2x (1 sin y) = 0 denkleminin her tarafını cos y ile b¨olersek, dx
Soru 1 : cos y
−
−
dy = dx
−2x (1 −cossiny y)
ve d¨ uzenlersek cos y dy + 2xdx = 0 1 sin y
−
ayrılabilir dif. denklemi elde edilir. Buradan,
− ln |1 − sin y| + x2 + c = 0 e¸sitli˘ginden 1
2
− sin y = ex +c
bulunur.
Soru 2 : (xy + 2x + y + 2) dx + x2 + x dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : Katsayıları ¸carpanlarına ayırırsak, (x + 1) (y + 2) dx+(x + 1) xdy = 0 elde edilir. Buradan, aynı de˘gi¸skeni i¸ceren ifadeleri bir araya getirmek i¸cin her tarafı (y + 2) (x (x + 1)) ile b¨olersek, dx dy + =0 x y + 2 elde edilir. Bu denklemin integre edilmesiyle ln x + ln y + 2 = ln c veya x (y + 2) = c bulunur.
||
|
|
dy = (x + y + 1) 2 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dx dy du du C ¸¨ oz¨ um : x + y + 1 = u ve 1 + = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile denklem = u2 + 1 olur. Bu dx dx dx 1 ayrılabilir diferensiyel denklemdir. 2 du = dx ’in integre edilmesiyle arctan u = x + c u +1 ve buradan arctan (x + y + 1) = x + c veya tan (x + c) = x + y + 1 elde edilir.
Soru 3 :
Soru 4 : sin x cos ydx + cos x sin ydy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um 4 : Bu denklemin bir tam diferensiyel denklem oldu˘gu g¨or¨ulerek ¸c¨oz¨ulebilir. Fakat, aynı zamanda bu denklem bir de˘gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemdir. Ger¸cekten her tarafı cos x cos y ile b¨olersek, 7
sin x sin y dx + dy = 0 cos x cos y elde edilir. Bu denklemin integre edilmesiyle cos x cos y = c elde edilir.
− ln |cos x| − ln |cos y|
=
− ln |c| veya
√ 2x + y + 1 diferensiyel denklemini ¸co¨z¨un¨uz. dy du du C ¸¨ oz¨ um 5 : 2x+y +1 = u, 2 + = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile, − 2 = 2√ u veya du = 2 (√ u + 1) Soru 5 : y =
dx dx dx elde edilir. Bu de˘gi¸skenlerine ayrılabilen bir diferensiyel denklemdir. integralini hesaplayalım. Bunun i¸cin
dx 1 du = u + 1
√
2dx
√ u + 1 = z , √ 1 du = dz d¨on¨u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım. 2 u
Buradan, 1 du = 2 u + 1
√
1
z
−
1 z
− ln z) √ oldu˘ g u g¨ or¨ ulebilir. O halde, 2 (z − ln z) = 2x + c e¸sitli˘ginde z = 2x + y + 1 + 1 yerine z
dz = 2
− 1
dz = 2 (z
yazılırsa,
2 elde edilir.
√
2x + y + 1 + 1
− ln √ 2x + y + 1 + 1
= 2x + c
Soru 6 : y = cos (x + y) diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. dy du du C ¸¨ oz¨ um 6 : x +y = u , 1+ = d¨on¨ u¸su ¨m¨ u ile, 1 = cos u de˘gi¸skenlerine ayrılabilen dx dx dx diferensiyel denklem elde edilir. Buradan,
−
du = 1 + cos u
dx
du du = x + c bulunur. S¸imdi, integralini hesaplayalım, 1 + cos u 1 + cos u u du du u bunun i¸cin cos u = 2 cos2 1 ¨ozde¸sli˘gini kullanırsak, = ve = v u 2 1 + cos u 2 2cos2 2 d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u ile e¸sitli˘ginden,
−
du
u = 2cos2 2
olur. B¨ oylece, tan v = x + c veya tan
dv = tan v cos2 v
x + y = x + c elde edilir. 2
Soru 7 : y = tan (x + y) diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dy du = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile denklemimiz C ¸¨ oz¨ um : x + y = u, 1 + dx dx 8
du dx
− 1 = tan u
olur. Buradan du = dx tan u + 1 ve du tan u + 1
x + c = bulunur .Sa˘g tarafın integrali
tan u = v , 1 + tan2 u du = dv d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u ile
du = tan u + 1
dv (v + 1) (v 2 + 1)
olur. A B v + C 1 + 2 = v + 1 v +1 (v + 1) (v 2 + 1) ifadesinden A = 1/2, B = x + c =
1 2
dv v + 1
−1/2 ve C = 1/2 bulunur. B¨oylece, − 1 v − 1 dv = 1 ln (v + 1) − 1 2vdv + 1
2 v2 + 1 1 x + c = ln (v + 1) 2
−
2 4 v2 + 1 1 1 ln v 2 + 1 + arctan v 4 2
ve v = tan(x + y) ifadesini yerine yazarak 1 x + c = ln(tan (x + y) + 1) 2 genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunur.
y y2 dy Soru 8: = dx x (y 2
− 14 ln
2
dv v2 + 1
1 tan2 (x + y) + 1 + arctan (tan (x + y)) 2
− x2 − 1 diferensiyel − x2 + 1)
denklemini x = r cos θ ve y = r sin θ
d¨ on¨ u¸ su ¨ m¨ u yaparak ¸ c¨ oz¨ un¨ uz.
C ¸¨ oz¨ um : x = r cos θ ve y = r sin θ ifadelerinin diferensiyelini alırsak dx = cos θdr
− r sin θdθ
dy = sin θdr + r cos θdθ 9
olur. Bunları denklemde yerine yazalım.
2
r sin θ (r sin θ) sin θdr + r cos θdθ = cos θdr r sin θdθ r cos θ (r sin θ)2
−
2
−
− (r cos θ) 1 − (r cos θ)2 + 1
sadele¸stirmeler yapılırsa
sin θ r2 cos2θ + 1 sin θdr + r cos θdθ = cos θdr r sin θdθ cos θ (r 2 cos2θ 1)
−
−
ve buradan
(sin θdr + r cos θdθ)cos θ r2 cos2θ ¸carpımından
− 1 = sin θ
r2 cos2θ + 1 (cos θdr
− r sin θdθ) :
sin θr 2 cos θ cos2θdr + r 3 cos θ cos2θ cos θdθ
− cos θ sin θdr − r cos2 θdθ = r 2 sin θ cos2θ cos θdr + sin θ cos θdr − r3 sin θ cos2θr sin θdθ − r sin2 θdθ ve buradan
− sin2θdr +
− r3
r cos2θdθ = 0
de˘ gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. O halde, 2dr r3
−r
cos2θ dθ sin2θ
=2
e¸sitli˘ginin intergarsyonu ile, ln c + ln sin2θ =
||
| −2
|
’den
dr + r
dr
r
r2 1 ln c sin2θ = ln r2
|
|
veya c sin2θ = bulunur. c2r sin θr cos θ = r2 oldu˘ gundan,
dr r + 1
− −
1
+
r2 1 r2
−
− 1 denkleminden x = r cos θ, y = r sin θ ve r2 = x2 + y 2 10
c2xy = x2 + y 2
−1
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
Soru 9 : y (1 + xy) dx + x (1 xy) dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : xy = u , xdy + ydx = du d¨on¨u¸su ¨ m¨ u uygulayalım. Bu durumda, denklem
−
u (1 + u) dx + x (1 x
− u) xdu x−2 udx = 0
haline gelir. Bu denklem d¨uzenlenirse, u (1 + u) dx + (1 u) (xdu udx) = 0 u2 dx + (1 u) xdu = 0
− −
−
ayrılabilen diferensiyel denklemi elde edilir. Buradan, dx 1 u + du = 0 x u2 dx du du + 2 =0 x u u
−
−
integralini alırsak,
| | − u1 − ln |u| = c
ln x
ln
x 1 = c + u u 1 x = e c+ u u 1 1 c+ xy = e y
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki de˘ gi¸ skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklemleri ¸ c¨ oz¨ un¨ uz.
a) y = e 2x−y b) 2x (y + 1) dx
− ydy = 0,
y (0) =
c) x 2 yy = e y d) dr = a (cos θdr + r sin θdθ) e) ye2x dx = 4 + e2x dy f) y ln x ln ydx + dy = 0 g) (1 + ln x) dx + (1 + ln y) dy = 0
−2
h) e2x + 4 y = y 11
Cevaplar
a) 2ey = e 2x + c b) x 2 = y ln y + 1 + 2 c) x (y + 1) = (1 + cx) ey d) r = c (1 a cos θ)
− |
|
−
e) c 2 y 2 = 4 + e2x f) x ln x + ln ln y = x + c g) x ln x + y ln y = c h) y 8 1 + 4e−2x = c 2
| |
12
Homojen Diferensiyel Denklemler
M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 birinci mertebeden diferensiyel denklemini g¨oz ¨on¨ une alalım. dy y E˘ ger bu denklemi + g = 0 formunda yazabilirsek bu denklem homojen bir diferendx x y siyel denklemdir. Bu t¨ur denklemleri ¸c¨ozmek i¸cin = u d¨on¨u¸su ¨ m¨ u uygulanarak denklem x ayrılabilen diferensiyel denkleme d¨on¨ u¸st¨ ur¨ ul¨ur.
Soru 1 : co ¸ ¨z¨ un¨ uz.
y y 2x sinh + 3y cosh dx x x
y 3x cosh dy = 0 diferensiyel denklemini x
−
C ¸¨ oz¨ um : Denklem birinci dereceden homojen bir diferensiyel denklemdir. Denklemin her tarafını x b¨olelim ve y = ux, dy = xdu + udx d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım.Bu durumda denklem, (2 sinh u + 3u cosh u) dx 3cosh u (udx + xdu) = 0 2sinh udx 3x cosh udu = 0
−
−
ayrılabilir diferensiyel denklemine d¨on¨ u¸su ¨ r. 2 dx x denklemini integre ederek, 2 ln x
u du = 0 − 3 cosh sinh u
− 3 ln(sinh u) = ln c veya x 2 = c sinh3 xy bulunur.
Soru 2 : (x y ln y + y ln x) dx + x (ln y C ¸¨ oz¨ um : Denklem d¨uzenlenirse,
−
− ln x) dy = 0
x x + y ln y
dx
− x ln xy dy = 0
veya
x x + ln y y
homojen diferensiyel denklemi elde edilir.
dx
− xy ln xy dy = 0
x = u , dx = udy + ydu d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa, y
(u + ln u) (udy + ydu) u ln udy = 0 u2 dy + y (u + ln u) du = 0
−
ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. 13
dy (u + ln u) + du = 0 y u2 (u + ln u) ln u du = ln u + du u2 u2
||
1 1 1 son integralde kısmi integrasyon uygulayalım, ln u = w, 2 du = dv, ve du = dw, = v u u u d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ unden ln u du = wv u2
oldu˘ gundan
−
vdw =
−lnuu +
−
du = u2
− lnuu − u1
dy (u + ln u) + du = 0 ifadesinin integrasyonundan y u2
| | − lnuu − u1 = c
ln y + ln u
||
veya u =
x i¸cin y
| | − y ln xy = cx + y
x ln x genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunur.
Soru 3 : y
x2
+ y 2 dx
− −
x2 + y 2 dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz.
x x +
C ¸¨ oz¨ um : Her tarafı x 2 ile b¨olelim. Bu durumda denklem y x
y x
1+
2
dx
1+
1+
y x
2
dy = 0
olur. Bu homojen denklemde, y = ux ve dy = xdu + udx d¨on¨ u¸su ¨ m¨ uyle
√ u 1 + u2 dx −
√ 1 + 1 + u2
(xdu + udx) = 0
denklemi elde edilir. Gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa,
veya
√ 1 + 1 + u2
1 + u
√ 1 + u2 u
xdu + udx = 0
14
du +
dx =0 x
√
1 + u2 olur. du integralini hesaplayalım. Bunun i¸c in, 1 + u2 = v 2 , 2udu = 2vdv u d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa,
√
v2 v 2 dv dv = = dv + u2 v2 1 1 1 1 = v + dv dv 2 v 1 v + 1
1 + u2 du = u
1
− − − − √ √ − | − | √ | | √ √ − √
1 v 1 = v + ln = 2 v + 1
1 + u2
v2
1 + u2
1 + ln 2
1
1
1 + u2 + 1
bulunur. Buna g¨ore, diferensiyel denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u
ln u +
ve
y = u oldu˘gundan, x y 1 ln + x x
1 + u2
x2
1 + ln 2
+ y 2
1 + ln 2
bulunur.
1 + u2 1 + u2
x2
1
= ln cx
+1
+ y 2
− x
x2 + y 2 + x
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki homojen diferensiyel denklemleri ¸c¨ oz¨ un¨ uz.
− − − − − − −
a) x2 xy + y 2 dx xydy = 0 b) (xy) dx + x2 + y 2 dy = 0
−
c) (xy) dx x2 + 3y 2 dy = 0 d) (x y) (4x + y) dx + x (5x y) dy = 0 y e) x csc y dx + xdy = 0 x f) xdy ydx- x2 y2 dx = 0
−
g) x3 + y 3 dx + 3xy 2 dy = 0 h) ydx = x +
y2
x2 dy
Cevaplar :
y a) (y x) e x = c b) y 2 2x2 + y 2 = c y c) x 2 = 6y 2 ln c
−
15
= ln cx
dv
d) x (x + y)2 = c (y x y e) ln = cos c x
2x)
− y
f) cx = e arcsin x g) x 4 + 4xy 3 = c x y h) arcsin = ln y c
16
Lineer Diferensiyel denklemler dy + P (x) y = Q (x) formundaki lineer diferensiyel denklemlerde η = e P (x)dx intedx grasyon ¸carpanıdır ve genel ¸c¨oz¨ um y = e
−
P (x)dx
Q (x) e
P (x)dx
dx + c
((*L*))
e¸sitli˘giyle hesaplanabilir.
Soru 1 . y = csc x y cot x diferensiyel denklemini ¸ c¨ oz¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : y + y cot x = csc x lineer bir diferensiyel denklemdir. P (x) = cot x ve Q (x) = csc x ifadeleri (*L*) denkleminde yerine yazarsak,
−
y = e − e¸sitli˘ginden
cot xdx =
cot xdx
cot xdx
csc xe
dx + c
cos x 1 dx = ln sin x ve csc x = oldu˘ gu g¨ oz¨ on¨ une alnırsa, sin x sin x
|
1 y = sin x
|
1 1 sin xdx + c = (x + c) sin x sin x
bulunur.
−
x2 dx + dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dy + 2xy = 2x3 lineer diferensiyel denklemi elde edilir. C ¸¨ oz¨ um : Denklem d¨uzenlenirse, dx 3 P (x) = 2x ve Q (x) = 2x ifadelerini y = e− P (x)dx Q (x) e P (x)dx dx + c de yerine yazarsak,
Soru 2 : 2x y
y = e −
2xdx
2
2x3 e
2xdx
2
dx + c = e −x
2
ex 2x3 dx + c
bulunur. ex 2x3 dx integralini hesaplayalım. Bunun i¸cin x2 = s, 2xdx = ds d¨on¨ u¸su ¨myle ex 2x3 dx = es sds elde edilir. Kısmi integrasyon uygularsak, s = u, es ds = dv den es = v ve ds = du e¸sitliklerini yazarsak, 2
udv = uv
−
vdu = ses
−
−
ex + c
elde edilir. B¨oylece dif. denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u, 2
y = e −x
2
x2 ex
17
es ds = se s
2
− es
elde edilir. dx y2 + xy = 2y 2 + 1 Soru 3 : dy y (2) = 1
diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz.
dx x 2y2 + 1 C ¸¨ oz¨ um : Her ile b¨olersek x de˘gi¸skenine g¨ore lineer + = diferensiyel dy y y2 1 2y2 + 1 denklemi elde edilir. P (y) = ve Q (y) = oldu˘ gundan, y y2 tarafı y 2
x = e
1 dy − y
x =
x =
1 y
1 y
2y +
1 y2
1 2y2 + 1 y dy e dy + c y2
2y 2 + 1 ydy + c y2 1 2 dy + c = y + ln y + c y
bulunur. x = 2 ve y = 1 yazılırsa, 2 = 1 + 0 + c e¸sitli˘ginden c = 1 bulunur. B¨oylece dif. denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u yx = y 2 + ln y + 1 olur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki birinci mertebeden lineer diferensiyel denklemleri ¸c¨ oz¨ un¨ uz.
a) ydx + (3x xy + 2) dy = 0 b) 2 y 4x2 dx + xdy = 0 c) y = x 2y cot2x dy d) n, m R olmak u ¨ zere my = ne mx dx e) dy = (x 3y) dx
− − − ∈ −
−
Cevaplar
a) xy 3 = 2y 2 + 4y + 4 + cey b) x 2 y = 2x4 + c c) 4y sin2x = c + sin 2x d) y = (nx + c) emx e) 9y = 3x 1 + ce−3x
− 2x cos2x
−
18
Bernoulli Diferensiyel Denklemi
− − −
Soru 1: 1 x2 y xy = axy 2 (a R) diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : Her tarafı y 2 1 x2 ile b¨olersek,
∈
y −2
dy dx
− 1 −x x2 y−1 = 1 −axx2
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. y −1 = u,
dy du = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u ile −y−2 dx dx
ux ax = − du − dx 1 − x2 1 − x2 veya x (u + a) = − du dx 1 − x2 diferensiyel denklemi elde edilir. Bu de˘gi¸skenlerine ayrılabilir bir dif. denklemdir. B¨oylece, du x + dx = 0 u + a 1 x2
−
denkleminin integrasyonu ile ln u + a
|
| − 12 ln 1 − x2 = ln c
veya
√ u + a = c 1 − x2 y −1
olur. lunur.
√ − −
= u yerine yazılarak dif. denklemin ¸c¨oz¨ um¨ uy= c 1
dy = cos y dx
x2
a
−1
olarak bu-
− x cos2 y diferensiyel denklemini ¸c¨oz¨un¨uz. dy du ¨ cos y = u , − sin y = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygularsak, C ¸¨ oz¨ um : Oncelikle dx dx du = u − xu2 veya + u = xu 2 bulunur. Bu denklemin her tarafını u 2 ile b¨olersek, − du dx dx Soru 2 : sin y
u−2
du + u−1 = x dx 19
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. O halde u−1 d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ unden, dv v = x lineer diferensiyel denklemi elde edilir. B¨oylece, dx
−
= v,
−u−2 du dx
=
dv dx
−
−
(−1)dx
v = e x
−
v = e − (−1)dx e¸sitli˘ginden
( x) e
xe−x dx + c
dx + c
xe−x dx kısmi integrasyon ile x = m, e −x dx = dn ve dx = dm, e−x = n uygulanırsa mdn = mn ndm den xe−x dx = xe−x + e−x bulunur. B¨oylece
−
−
−
v = e x (xe−x + e−x + c)
ve cos y = u, u−1 = v oldu˘gu g¨ oz¨ on¨ une alınırsa cos y = (x + 1 + cex )−1 elde edilir. dy = 5x 3sin y diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. dx dy du C ¸¨ oz¨ um : sin y = u, cos y = d¨on¨u¸su ¨m¨ u uygulanırsa, dx dx
Soru 3 : 2x2 cot y
−
2x2
du = 5xu dx
− 3u2
elde edilir. Her tarafı 2x2 ile b¨olersek 2
5xu 3u + = − du dx 2x2 2x2 olur. u 2 ile her tarafı b¨olersek 5 −1 3 + u = 2 −u−2 du 2x dx 2x Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. u −1 = v,
dv = d¨on¨u¸su ¨ m¨ unden, −u−2 du dx dx
dv 5 3 + v = dx 2x 2x2 lineer diferensiyel denklemi elde edilir. Buradan, 20
v = e
−
5 dx 2x
5 dx 3 − 2x dx + c = e ln|x| e 2 2x
5/2
x
3 ln|x| e 2x2
5/2
dx + c
e¸sitli˘ginden v = x −5/2 v = x −5/2
3 5/2 x dx + c 2x2
3 2 3/2 . x + c = x −5/2 x3/2 + c 2 3
ve (sin y)−1 = u −1 = v den (sin y)−1 = x −1 + cx−5/2 bulunur.
Soru 4 : 6y 2 dx = x 2x3 + y dy diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. C ¸¨ oz¨ um : x 2x3 + y dx dx x x4 = e¸sitli˘ginden = + 2 elde edilir. Her tarafı x −4 ile b¨olerek 2 dy 6y dy 6y 3y
x−4
dx dy
− x−3 6y1 = 3y12
Bernoulli diferensiyel denklemi elde edilir. x −3 = u,
du = d¨on¨ u¸su ¨ m¨ uyle −3x−4 dx dy dy
u 1 = 2 − 13 dy − dy 6y 3y veya dy u + = dy 2y
− 1y2
lineer diferensiyel denklemi elde edilir.
u = e
dy − 2y
−
dy
1 e 2y dy + c y2
e¸sitli˘ginden u = y −1/2
y −3/2 dy + c = y −1/2 21
−
2y −1/2 + c
ve x −3 = u e¸sitli˘ginden x−3 = y −1/2 bulunur.
Soru 5 : y
− 2xy = 2xex √ y ,
−
2y −1/2 + c
2
y (0) = 1 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. π 2π Soru 6 : xy + y = x 2 y 2 sin x , y = diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz. 3 3 ¨z¨ un¨ uz. Soru 7 : yy + y 2 cot x = csc 2 x diferensiyel denklemini ¸co dy cos x 1 C ¸¨ oz¨ um : y + y2 = denklemi bir Bernoulli diferensiyel denklemidir. y 2 = u, 2 dx sin x sin x dy du 2y = d¨on¨u¸su ¨ m¨ u ile denklem dx dx
du cos x 2 + 2u = dx sin x sin2 x lineer diferensiyel denklemine d¨on¨ u¸su ¨ r. P (x) = 2 u = e
−
2 cos x dx sin x
e¸sitli˘ginden
cos x 2 ve Q (x) = oldu˘gundan, sin x sin2 x
2 cos x dx 2 e sin x dx + c sin2 x
u = sin−2 x
2dx + c
y 2 sin2 x = 2x + c bulunur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki verilen diferensiyel denklemlerin ¸c¨ oz¨ um¨ un¨ u bulunuz.
a) y = y xy3 e−2x b) y tan x sin2y = sin2 x + cos2 y c) 2x3 y = y y 2 + 3x2 d) y = 1 + 6xex−y e) y 6y 2 x 1 dx + 6y3 dx = 0
−
− −
a) e 2x = y 2 x2 + c b) sin2 x + 3 cos2 y sin x = c c) y 2 (c x) = x 3 d) e x−y = 3x2 + c e) y 2 (6 + ce−x ) = x
−
22
˙ Integrasyon C ¸ arpanının Belirlenmesi M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 diferensiyel denklemi i¸cin ∂M ∂ N f (x)dx ∂y ∂x a) = f (x) , sadece x ’e ba˘glı bir fonksiyon ise η = e bir integrasyon N ¸carpanıdır. ∂M ∂ N g(y)dy ∂y ∂x b) = g (y) , sadece y ’ye ba˘glı bir fonksiyon ise η = e bir integrasyon M ¸carpanıdır. 1 c) M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 denklemi homojen ise η = bir integrasyon M x + Ny ¸carpanıdır.
− −
−
Soru 1 : 2xy 4 ey + 2xy3 + y dx + x2 y 4 ey x2 y 2 3x dy = 0 diferensiyel denklemini co ¸ ¨z¨ un¨ uz. ∂M = 8xy 3 ey + 2xy 4 ey + 6xy2 + 1 ∂M ∂N = oldu˘ gundan tam diferensiyel C ¸¨ oz¨ um : ∂y ∂N ∂y ∂x 4 y 2 = 2xy e 2xy 3 ∂x de˘ gil.
−
∂M ∂y
−
−
−
− ∂∂xN = 8xy3ey + 8xy2 + 4
ve ∂M ∂y
− ∂∂xN M
=
4 = y
−g (y) (Sadece y ’ye ba˘glı bir fonksiyon)
O halde, η = e
g(y)dy
integrasyon ¸carpanıdır. Denklemi η =
x 1 2xey + 2 + 3 y y
= e
−4 dy y
= e −4 ln|y| =
1 y4
1 ile ¸carpılırsa, y4
dx + x2 ey
x 2 y2
− −
x 3 4 y
dy = 0
∂U tam diferensiyel denklemi elde edilir. O halde ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, = ∂x M ’dir.
23
U (x, y) =
x 1 2xey + 2 + 3 y y
dx = x 2 ey
x 2 x + + 3 + ϕ (y) y y
oldu˘ gundan, ∂U = x 2 ey ∂y
x 2 y2
− − 3 xy4 + ϕ (y) = N
e¸sitli˘ginden ϕ (y) = 0 ve ϕ (y) = c bulunur. Dolayısıyla, diferensiyel denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u x2 ey +
x 2 x + 3 = c y y
bulunur.
Soru 2 : x2 + y 2 + 2x dx + 2ydy = 0 diferensiyel denklemini ¸co ¨z¨ un¨ uz. ∂M = 2y ∂M ∂N ∂y = oldu˘ gundan tam diferensiyel de˘gil. C ¸¨ oz¨ um : ∂N ∂y ∂x =0 ∂x
∂M ∂y
− ∂∂xN = 2y
ve ∂M ∂y
− ∂∂xN N
= 1 = f (x) (Sadece x ’e ba˘glı bir fonksiyon)
O halde, η = e
g(x)dx
= e
dx
= e x
integrasyon ¸carpanıdır. Denklemi η = e x ile ¸carpılırsa,
ex x2 + y 2 + 2x dx + 2ex ydy = 0 tam diferensiyel denklemi elde edilir. O halde ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, N ’dir. U (x, y) = oldu˘ gundan,
2ye y dy = y 2 ex + ϕ (x)
∂U = y 2 ex + ϕ (x) = M ∂x 24
∂U = ∂y
e¸sitli˘ginden
ϕ (x) = e x x2 + 2x ve ϕ (x) =
ex x2 dx +
ex x2 + 2x dx =
ex 2xdx
(∗∗∗)
∗ ∗ ∗) i¸cin x 2 = u, 2xdx = du, exdx = dv ve e x = v denilirse, ϕ (x) = ex x2 + 2x dx = ex x2 dx + ex 2xdx = x 2 ex − ex 2xdx +
olur. (
bulunur. Dolayısıyla, diferensiyel denklemin ¸c¨oz¨ um¨ u
ex 2xdx = x 2 ex
U (x, y) = y 2 ex + x2 ex = c bulunur.
− − −
Soru 3 : x2 y 2xy dx + 3x2 y x3 dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. ∂M = x 2 4xy ∂M ∂N ∂y C ¸¨ oz¨ um : = oldu˘gundan tam diferensiyel de˘gil. Ayrıca ∂N ∂y ∂x 2 = 6xy 3x ∂x verilen denklem homojen bir diferensiyel denklemdir. O halde, integrasyon ¸carpanı
−
η =
1 = xM + yN x (x2 y
−
1 2xy) + y (3x2 y
− x3)
=
1 x2 y2
olur. Denklemi integrasyon ¸carpanı ile ¸carpıp d¨ uzenlersek, x
− 2y dx + 3y − x dy = 0 y2
xy
∂U tam diferensiyel denklemi elde edilir. O halde ¨oyle bir U (x, y) fonksiyonu vardır ki, = ∂x M ’dir. U (x, y) =
− − x
2y xy
1 y
dx =
2 x
dx =
x y
− 2 ln |x| + ϕ (y)
oldu˘ gundan, ∂U = ∂y e¸sitli˘ginden ϕ (y) = ¸co¨z¨um¨ u
− xy2 + ϕ (y) = N
3 ve ϕ (y) = 3 l n y bulunur. Dolayısıyla, diferensiyel denklemin y
||
x y
− 2 ln |x| + 3ln |y| = c 25
veya x y 3 + ln 2 = c y x bulunur.
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki diferensiyel denklemler i¸ cin integrasyon ¸ carpanını buluarak, diferensiyel denklemi ¸ c¨ oz¨ un¨ uz
a) 4xy + 3y2 x dx + x (x + 2y) dy = 0 b) y (x + y + 1) dx + x (x + 3y + 2) dy = 0 c) y (x + y) dx + (x + 2y 1) dy = 0
−
−
a) η = x 2 , x3 4xy + 4y 2 x = c b) η = y, xy 2 (x + 2y + 2) = c c) η = e x , y (x + y
−
− 1) = ce−x
26
˙ de˘gi¸skenli Lineer Katsayılı Diferensiyel Denklemlerin Iki C ¸ ¨oz¨ um¨ u Soru 1 :(x + 2y 4)dx (2x + y 5)dy = 0. diferensiyel denklemini ¸ c¨ oz¨ un¨ uz. x + 2y 4 = 0 denklem sisteminin ¸c¨oz¨ um¨ unden x = 2 ve y = 1 bulunur. C ¸¨ oz¨ um : 2x + y 5 = 0 Dolayısıyla, x = u +2 ve y = v +1 d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u yapılırsa, diferensiyel denklem (u + 2v) du (2u + v) dv = 0 homojen diferensiyel denklemine d¨on¨u¸su ¨ r. u O halde, = z , du = zdv + vdz d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u yaparsak, v
−
− −
−
−
−
(z + 2) (zdv + vdz)
− (2z + 1) dv = 0
veya d¨ uzenlenirse
− z2
1 dv + v (z + 2) dz = 0
de˘ gi¸skenlerine ayrılabilir diferensiyel denklem elde edilir. Yani, dv (z + 2) dz + =0 v z2 1
−
olur. Bu denklemi, dv A B + + =0 v z 1 z + 1
−
¸seklinde yazarsak, A + B = 1 ve A O halde integrasyon ile
− B = 2 denklemlerinden A = 32 ve B = − 12 bulunur.
3 ln v + ln z 2
||
| − 1| − 12 ln |z + 1| = ln |c|
veya v 2 (z elde edilir. z =
u x = v y
− 1)3 = c (z + 1)
− 2 yerine yazarsak −1 (x − y − 1)3 = c (x + y − 3)
¸co¨z¨um¨ u elde edilir.
Soru 2 : (2x + 3y 1) dx + (2x + 3y + 2) dy = 0 diferensiyel denklemini ¸c¨ oz¨ un¨ uz. 2x + 3y 1 = 0 C ¸¨ oz¨ um : denklem sisteminin katsayıları orantılı oldu˘g undan bu 2x + 3y + 2 = 0 do˘ grular paraleldir ve sistemin ¸c¨oz¨ um¨ u yoktur. Dolayısıyla bir ¨onceki soruda uygulanan d¨ on¨ u¸su ¨ m uygulanamaz. Burada, 2x + 3y = v, 2dx + 3dy = dv d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulanırsa,
− −
27
(v
− 1) dx + (v + 2)
dv
− 2dx 3
= 0
veya (v
− 7) dx + (v + 2) dv = 0
ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir.
− 7 + 9 dv = 0 v−7 9 dx + 1 + dv = 0 v−7 x + v + 9ln |v − 7| = c 1 dx +
v
olur. B¨oylece, x + y + 3 ln 2x + 3y
|
− 7| = c
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
Soru 3:
2x3 + 3y2
co ¸ ¨z¨ un¨ uz.
−7
3x2 dx
−
3x3 + 2y 2
−8
ydy = 0 diferensiyel denklemini
3 = u ve y 2 = v d¨ ¨ on¨ u¸su ¨m¨ u uygulayalım. Bu durumda denklem C ¸¨ oz¨ um : Oncelikle x
(2u + 3v
− 7) du − (3u + 2v − 8) dv = 0
2u + 3v 7 = 0 olur. denklem sisteminin ¸co¨z¨um¨ unden, u = 2 ve v = 1 bulunur. O 3u + 2v 8 = 0 halde u = m + 2 ve v = n + 1 d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa,
− −
(2m + 3n) dm
− (3m + 2n) dn = 0
homojen diferensiyel denklemi elde edilir.
m = z ve dm = zdn + ndz d¨on¨ u¸su ¨ m¨ unden, n
(2z + 3) (zdn + ndz)
− (3z + 2) dn = 0
veya
−
2 z2
1 dn + (2z + 3) ndz = 0
ayrılabilir diferensiyel denklemi elde edilir. 2 2z + 3 dn + 2 dz = 0 n z 1 2 1 dz 5 dz dn + =0 n 2 z + 1 2 z 1
−
−
−
28
denkleminin integrasyonu ile 4 ln n
| | − ln |z + 1| + 5ln |z − 1| = ln |c|
bulunur. z =
u v
− 2 = x3 − 2 yerine yazılıp gerekli d¨uzenlemeler yapılırsa, − 1 y2 − 1
x3
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
Soru 4: (x co ¸ ¨z¨ un¨ uz.
− y2 − 1 5 = c
x3 + y 2
−3
− 2sin y + 3) dx − (2x − 4sin y − 3)cos ydy
= 0 diferensiyel denklemini
C ¸¨ oz¨ um : sin y = u , cos ydy = du d¨on¨u¸su ¨ m¨ u yapılırsa, (x elde edilir.
− 2u + 3) dx − (2x − 4u − 3) du = 0
x 2u + 3 = 0 2x 4u 3 = 0
− − −
denklem sisteminin katsayıları orantılı oldu˘ gundan bu
do˘ grular paraleldir ve sistemin ¸c¨oz¨ um¨ u yoktur. Bu durumda x d¨ on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulayabiliriz. Bu durumda
dv = − 2u = v , 1 − 2 du dx dx
(v + 3) dx (2v 3) du = 0 2v + 6 du dv =2 =1 2v 3 dx dx
−
−
−
−
denkleminden 2v 3 dv = dx 4v + 3 9 1 dv = 2dx 4v + 3
−
− olur. Bu denklemin integrasyonu ile v
− 94 ln |4v + 3| = 2x + c1
veya 4v
− 9 ln |4v + 3| = 8x + c
olur. Ba¸slangı¸cta yaptı˘ gımız d¨on¸su ¨ mleri g¨oz¨ on¨une alırsak 4 (x
− 2sin y) − 9 ln |4 (x − 2sin y) + 3| = 8x + c 29
veya 4x + 8 sin y + 9ln (4x
− 8sin y + 3) = c
bulunur.
Soru 5 : (x C ¸¨ oz¨ um :
− y − 1) dx − (x + 4y − 1) dy = 0 diferensiyel denklemini ¸co¨z¨un¨uz.
Soru 6 : y =
2x + y 1 diferensiyel denklemini ¸ co ¨z¨ un¨ uz. 4x + 2y + 5
−
ALIS¸TIRMALAR A¸ sa˘ gıdaki diferensiyel denklemleri ¸co ¨z¨ un¨ uz
a) (2x y) dx + (4x + y 6) dy = 0 b) (x 4y 3) dx (x 6y 5) dy = 0 c) (x y + 2) dx + 3dy = 0 d) (x + y 1) dx + (2x + 2y + 1) dy = 0
− − − − − − − − − e) (x − 1) dx − (3x − 2y − 5) dy = 0, y (2) = 1 a) (x + y 3)2 = c (2x + y 4)2 b) (x 2y 1)2 = c (x 3y 2)
− − −
− − − c) x + c = 3 ln |x − y + 5 | d) x + 2y + c = 3 ln |x + y + 2 | e) (2y − x + 3)2 = 9 (y − x + 2)
30
Riccati Diferensiyel Denklemi y = A (x) y2 + B (x) y + c (x) tipindeki diferensiyel denklemlerde y1 bir ¨o zel ¸c¨oz¨ um 1 verilirse y = y 1 + d¨on¨u¸su ¨ m¨ u yapılarak genel ¸c¨oz¨ um bulunur. v
Soru 1 : y +y2 3y tan x+tan2 x 1 = 0 diferensiyel denkleminin bir ¨ ozel ¸ co ¨z¨ um¨ u y = tan x ise genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunuz. 1 dy 1 dv C ¸¨ oz¨ um : y = tan x + ve = 1 + tan2 x d¨on¨ u¸su ¨m¨ un¨ u uygulayalım.Bu duv dx v 2 dx rumda denklem
−
−
−
1 + tan2 x
−
1 dv 2 x + 1 + 2 tan x + tan v 2 dx v2 v
− 3tan2 x − 3v tan x + tan2 x − 1 = 0
olur. Sadele¸stirmeler yapılırsa, 1 + = tan x − v1 dx dx v veya dv + v tan x = 1 dx lineer diferensiyel denklemi elde edilir. P (x) = tan x ve Q (x) = 1 oldu˘ gundan,
− tan xdx
sin x dx = 1 cos2 x
−−
v = e
e
tan xdx dx + c
= sin x
dx + c sin x
olur. dx = sin x
−
1 2
du = 1 u2
du
1 2
du = u + 1
− − − 1
u
−
−
1 1 u ln 2 1 + u
Buna g¨ore, v = sin x bulunur.
− −
1 1 cos x ln + c = 2 1 + cos x y
−
1 tan x
Soru 2 : y = y 2 csc2 x+y cot x 1 diferensiyel denkleminin bir ¨ ozel ¸ co ¨z¨ um¨ u y = sin x ise genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunuz. 1 dy 1 dv C ¸¨ oz¨ um : y = sin x + ve = cos x d¨on¨ u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım.Bu durumda v dx v 2 dx denklem
−
−
cos x
−
1 dv = v 2 dx
1 sin x sin x + 2 + 2 v v 2
31
1 + sin2 x
1 cos x sin x + v sin x
− 1
veya cos x
dv 1 2 cos x = 1 + 2 2 + + cos x + − v12 dx − 1 v sin x v sin x v sin x
olur. Gerekli sadele¸stirmeler yapılırsa,
dv + dx
2 + cos x sin x
v =
−1
sin2 x
lineer diferensiyel denklemi elde edilir. 2 + cos x 1 ve Q (x) = sin x sin2 x
−
P (x) = oldu˘ gundan, −
e
2+cos x dx sin x
= e
−
cos x + sin x
2 sin x dx
= e −(ln|sin x|+ln|1−cos x|−ln|1+cos x|)
(1 + cos x)2 = sin3 x
bulunur. O halde, (1 + cos x)2 v = sin2 x
−
1 sin3 x dx + c sin2 x (1 + cos x)2
olur. sin x dx = (1 + cos x)2
−
dw w −3 (1 + cos x)−3 = = ve v = w2 3 3 y
−
−
−
1 sin x
oldu˘ gu g¨ oz¨ on¨une alınırsa, 2
y
−
1 (1 + cos x) = sin x sin2 x
−3
(1 + cos x) 3
−
+ c
veya
y
−
3 = sin x
−
(1 + cos x)−1 + c (1 + cos x)2 2 sin x
genel ¸c¨oz¨ um¨ u bulunur.
Soru 3 : y =
−4
+ (3
− cot x) y + y2 sin x diferensiyel
denkleminin bir ¨ ozel
sin x 1 ise genel ¸co¨z¨um¨ u bulunuz. co ¸ ¨z¨ um¨ u y = sin x 1 1 dy cos x 1 dv + ve = d¨on¨u¸su ¨ m¨ un¨ u uygulayalım. Bu durumda C ¸¨ oz¨ um : y = 2 sin x v dx v 2 dx sin x denklem
−
−
32
− cos x − sin2 x
1 dv 4 = + (3 v 2 dx sin x
−
− cot x)
1 1 + sin x v
+
1 1 + sin x v
2
sin x
veya sa˘g taraf d¨ uzenlenirse
− cos x − sin2 x
1 dv 5 = v 2 dx v
x cot x sin x − cot − v + v2 sin x
olur. Gerekli sadele¸stirmeler yapılırsa, dv + (5 dx
− cot x) v = − sin x
lineer diferensiyel denklemi elde edilir. P (x) = 5
v = e − (5−cot x)dx
− cot x ve Q (x) = − sin x oldu˘gundan,
− − −− ( sin x) e
(5−cot x)dx dx + c
v = e −5x+ln|sin x| ( sin x) e5x−ln|sin x| dx + c v = sin xe−5x e5x dx + c v =
ve v =
sin xe−5x
e5x + c 5
sin x oldu˘gu g¨ oz¨ on¨une alnırsa y sin x 1
−
1 y sin x
−1
−15 + ce−5x
=
genel ¸c¨oz¨ um¨ u elde edilir.
33
E˘ gri ailelerinin y¨or¨ ungelerinin denkleminin bulunması Soru 1: 2xyy = y 2
− x2 diferensiyel denkleminin integral e˘grilerinin ortogonal
y¨ or¨ ungelerinin denklemini bulunuz.
C ¸¨ oz¨ um : y yerine
− y1 yazalım. Bu durumda, 2xy =
− x2
y 2 y homojen diferensiyel
denklemi elde edilir. Bu denklemin her tarafı x 2 ile b¨ol¨ un¨ urse y 2 = x olur.
−
y 2 dy x2 dx
1
y dy du = u , = u + x d¨on¨ u¸su ¨ m¨ u uygulanırsa, x dx dx
− u2
2u = 1
du u + x dx
− u3 − xu2 du dx du u3 + u = x 1 − u2 dx 2 1 − u du dx =
2u = u + x
du dx
x
u3 + u
ayrılabilir diferensiyel denklem elde edilir. 1 u2 A Bu + C u2 (A + B) + Cu + A = + 2 = u3 + u u u +1 u3 + u
−
e¸sitli˘ginden C = 0, A = 1 ve B =
−2 oldu˘gu g¨or¨ul¨ur. Dolayısıyla
− − 1
u2 du = u3 + u
du u
2udu = ln u u2 + 1
| | − ln u2 + 1 = ln
olur. B¨oylece diferensiyel denklemin genel ¸c¨ oz¨um¨ u
u2
u +1
u u ln x + ln c = ln 2 veya cx = 2 ’dir. u +1 u +1
||
Ayrıca,
||
y = u oldu˘gundan genel ¸co¨z¨um c y 2 + x2 = y olarak bulunur. x
Soru 2: Kutupsal koordinatlarda verilen r2 = 2c2 cos2θ lemniskat ailesinin ortogonal y¨ or¨ ungelerinin denklemini bulunuz.
¨ r2 = 2c2 cos2θ denkleminden sabit sayıyı yok ederek bu e˘gri ailesinin C ¸¨ oz¨ um : Oncelikle diferensiyel denklemini olu¸sturalım. bunun i¸cin t¨ urev alırsak, 34
2rr
=
−
4c2 sin2θ
ve c 2
=
−
rr 2sin2θ
ifadesi r 2 = 2c2 cos2θ denkleminde yerine yazılırsa,
r =
r cos2θ −sin2θ
veya r sin2θ = r cos2θ
−
diferensiyel denklemi elde edilir. Kutupsal koordinatlarda verilen e˘grilerin ortogonal r2 y¨ or¨ungelerinin denklemini bulmak i¸cin r yerine yazılır. O halde r
−
−r2 = − tan2θ
rr r = tan2θ r dr = cot2θdθ r 2 ln r = ln sin2θ + 2ln c r2 = c 2 sin2θ
||
|
|
||
olarak bulunur.
ALIS¸TIRMALAR 1. A¸ sa˘ gıdaki dik koordinatlarda verilen e˘ g ri y¨ or¨ ungelerinin diferensiel denklemlerini bulunuz.
ailelerinin
ortogonal
a) y 2 = cx 3 b) x = ce y c) x 2 y2 = cx x3 d) y 2 = a x e) y = c 1 (sec x + tan x) 2
−
−
2. A¸ sa˘ g ıdaki kutupsal koordinatlarda verilen e˘ gri ailelerinin ortogonal y¨ or¨ ungelerinin diferensiel denklemlerini bulunuz.
a) r = a (1 + cos θ) b) r = a cos2 θ c) r 2 = a sin2θ d) r 2 cos2θ = c 1 e) r = a 1 + sin2 θ
Cevaplar
35
1. a) 2x2 + 3y 2 = m 2 2
b) y = c 1 e−x c) y y2 + 3x2 = c 1
d) x2 + y 2
2
= b 2x2 + y 2
e) y 2 = 2 (c2 sin x) 2. a) r = b (1 cos θ) b) r 2 = b sin θ c) r 2 = b cos2θ d) r 2 sin2θ = c 2 e) r 2 = b cos θ cot θ
− −
36
