Descriptiva-Solucionario

5/17/2018

A

De sc r iptiva -Soluc iona r io - slide pdf.c om

VI T

SISTEMA DIÉDRICO I PI R C S

TEMA

ED

8 AÍ R T E M O EG

Actividad 1 Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta lo siguiente: la intersección de dos planos es una recta i que pertenece a ambos planos y que quedará definida cuando se conozcan dos de sus puntos. 1. Se dibujan las trazas α1- α2 y β1- β2 de los dos planos dados. 2. La traza horizontal H’-H” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1; la traza vertical V”-V’ de i es el punto de intersección de las trazas α2 y β2. 3. Uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas, obtenemos las proyecciones horizontal i’ (H’-V’) y vertical i” (H”-V”) de la recta intersección i de los planos dados.

V’’

β2

i’’

α2

H’’

V’

i’ β1 H’ α1

SOLUCIONARIO - DIBUJO TÉCNICO II - Bachillerato http://slide pdf.c om/re a de r/full/de sc r iptiva -soluc iona r io

70 1/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 2

PI

Los planos proyectantes α y β son perpendiculares al plano horizontal, por lo tanto, la recta intersección i será vertical, y solamente tendrá la traza horizontal H .

R C

1. Se dibujan las trazas α1-α2 y β1-β2 de los dos planos dados.

S

2. La traza horizontal H’-H” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1.

ED

3. La proyección horizontal i’ , que es un punto, se encuentra en H’ , y la proyección i” , perpendicular a la L.T., pasa por H” .

AÍ α2

R T

β2

i’’

E M O EG

H’’

H’ ≡ i’

α1

β1

Actividad 3 Los planos proyectantes α y β son perpendiculares al plano vertical, por lo tanto, la recta intersección i será perpendicular al plano vertical, y solamente tendrá la traza vertical V . 1. Se dibujan las trazas α1- α2 y β1- β2 de los dos planos dados. 2. La traza vertical V”-V’ de la recta i es el punto de intersección de las trazas α2 y β2. 3. La proyección vertical i” , que es un punto, se encuentra en V” , y la proyección i’ , perpendicular a la L.T., pasa por V’ .

α2

β2 V’’ ≡ i’’

V’

i’ α1

β1


71 2/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 4

PI

Todo plano paralelo al plano ver tical corta a un plano cualquiera según una recta frontal de plano; en este caso, el plano frontal β(β1) corta al plano oblicuo α(α1-α 2) según la recta frontal i’-i” , que pasa por el punto H(H’-H”) donde se cortan las trazas horizontales; la traza α2 corta a la traza β2, que es impropia, en el punto del infinito, por lo que i” y α2 han de ser paralelas.

R C S

1. Se dibujan las trazas α 1- α2 y β de los dos planos dados. 2. La traza horizontal H’-H” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1.

ED

3. La proyección horizontal i’ , paralela a la L.T., por H’ , y la proyección i” , paralela a α2, pasa por H” .

AÍ R T E M

α2

O EG

i’’

H’’

β1

i’ H’ α1


72 3/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 5

PI

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes:

R

• La intersecci ón de dos planos es una recta i que pertenece a ambos planos y que quedará definida cuando se conozcan dos de sus puntos.

C S

• Toda recta que pertenece a un plano proyectante horizontal se proyecta horizontalmente sobre su traza horizontal.

ED

1. Se dibujan las trazas α1- α2 y β1- β2 de los dos planos dados. 2. La traza horizontal H’-H” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1; la traza vertical V”-V’ de i es el punto de intersección de las trazas α2 y β2.

AÍ

3. Uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas obtenemos las proyecciones horizontal i’ (H’-V’) y vertical i” (H”-V”) de la recta intersección i de los planos dados; la proyección horizontal i’ está proyectada sobre β1.

E

T

R M O

V’’

EG α2

β2 i’’

V’

H’’

i’

H’

β1

α1


73 4/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 6

PI


R

• La intersección de dos planos es una recta i que perte nece a ambos planos y que quedará definida cuando se conozcan dos de sus puntos.

C S

• Toda recta que pertenece a un plano proyectante vertical se proyecta verticalmente sobre su traza vertical.

ED

1. Se dibujan las trazas α1- α2 y β1- β2 de los dos planos dados. 2. La traza horizontal H’-H” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1; la traza vertical V”-V’ de i es el punto de intersección de las trazas α2 y β2.

AÍ

3. Uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas obtenemos las proyecciones horizontal i’ (H’-V’) y vertical i” (H”-V”) de la recta intersección i de los planos dados; la proyección vertical i” está proyectada sobre β2.

R T E M

α2

β2

O EG

V’’

i’’

H’’

V’

α1

i’

β1

H’


74 5/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 7

PI

Sea el plano α(α1- α2) oblicuo y el plano β(β1-β2) que pasa por L.T. y está definido por el punto P(P’-P’’). Se corta por el plano horizontal δ(δ2) que pasa por el punto P , para ello δ2 pasa por P’’ . El plano δ corta al α según la horizontal h(h’-h’’) cuya traza vertical es V’-V’’ . El plano δ corta al β según la paralela a la L.T. que pasa por P’-P’’ , es la recta t’-t’’ . Las dos rectas, h y t se cortan en el punto I’-I’’ que pertenece a la intersección que buscamos. Como el punto N de L.T. pertenece a los dos planos, también es de la intersección. La solución es i(i’-i’’) que une los N’I’ y N’’I’’ .

R C S ED AÍ R

α2

T E

i’’ δ2

V’’

I’’

P’’

t’’

h’’

M O

N’’ N’

EG

V’ β1

β2 P’

t’

I’

i’ h’

α1


75 6/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 8

PI

Para una mejor comprensión de esta actividad, hemos realizado dos ejemplificaciones, una considerando un plano paralelo a la L.T., y la otra tomando un plano oblicuo.

R C

Actividad ctividad 8a: considerando considerando un plano δ 1- δ 2- δ 3 paralelo a la L. T .

S

El plano δ 1-δ2-δ3 corta a los dos bisectores según las rectas i’-i”-i’’’ e i’-i’’-i’’’ 1 1 1 parelelas a L.T.

ED

1. Se dibujan las trazas δ1-δ2-δ3, β1-β2-β3 y α1-α2-α3 de los tres planos dados. 2. La traza de perfil P’’’ de la recta i es el punto de intersección de las trazas α3 y δ3; la traza de perfil P ’’’ de i1 es el punto de intersección de las trazas δ3 y β3.

AÍ

3. La proyección i’’’ es un punto que está situado en P ’’’, y las proyecciones i’-i” son dos rectas paralelas a la L.T.

R T

4. La proyección i’’’ 1 es un punto que se encuentra en P ’1’’, y las proyecciones i’1 i” 1 son dos rectas paralelas a la L.T.

E M O EG

δ2

α3

δ3

B’’’

B’ ≡ B’’ A’’

A’’’ i’’

α1

α2

P’’’ ≡ i’’’

β1

β2

i’

δ1

A’ i’ 1 ≡ i’’ 1

P’’’ 1 ≡ i’’’ 1 β3


76 7/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 8b: considerando un plano oblicuo cualquiera.

PI

El plano oblicuo α1-α2 corta a los dos bisectores según las rectas i’- i” e i’1 i”. 1

R


C

• La intersecci ón de dos planos es una recta i que pertenece a ambos planos y que quedará definida cuando se conozcan dos de sus puntos.



S

• Un punto de la intersección con los planos bisectores es el punto donde el plano oblicuo corta a la L.T. • Las proyecciones i’ e i” de una recta contenida en el primer bisector forman el mismo ángulo con L.T.

ED

• Todos los puntos del segundo bisector tienen las proyecciones confundidas, y las proyecciones i’1 e i”1 de una recta contenida en el mismo también están superpuestas.

AÍ R

Intersección con el primer bisector:

T

1. Se dibujan las trazas α1-α2 del plano oblicuo.

E

2. Se traza una recta horizontal de plano cualquiera r ’- r ” que pertenezca al plano α 1-α2; sobre esta recta, se sitúa el punto 1’-1” que, por pertenecer al primer bisector, debe tener igual alejamiento que cota.

M O

3. El punto 2(2’-2’’) de L.T. es de la intersección. 4. Uniendo las proyecciones respectivas de estos puntos obtenemos las proyecciones horizontal i’ (2’-1’) y vertical i” (2”-1”) de la recta intersección i del plano oblicuo con el primer bisector. 

Intersección con el segundo bisector:

1. Se dibujan las trazas α1-α2 del plano oblicuo. 2. Se traza una recta horizontal de plano cualquiera r’-r” que pertenezca al plano α1-α2; prolongando las proyecciones r’ y r” se encuentran en el punto 3’-3” del 2º bisector. 3. El punto 2(2’-2’’) de L.T. es de la intersección. 4. Uniendo las proyecciones respectivas de estos pu ntos obtenemos las proyecciones horizontal i’1 (2’-3’) y vertical i”1 (2 ”-3”) de la recta intersección i1 del plano oblicuo con el segundo bisector; estas proyecciones i’1 e i”1 están confundidas.

α2 i’’ 1’’

V’’

3’’

r’’

3’ =

2’’ 2’

N

V’ N =

i’’ 1 ≡ i’ 1 1’

i’

r’ α1


77 8/90

EG

5/17/2018

A


VI T

Actividad 9

PI


R

• Todos los puntos del segundo bisector tienen las proyecciones confundidas, y las proyecciones horizontal y vertical de puntos que pertenecen al primer bisector equidistan de L.T.

C

• La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

S

• Para hallar el punto de int erse cción de una r ecta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que la contenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es la intersección de la recta r con el plano dado.

ED AÍ

Actividad 9a: la recta es horizontal. Sea la recta r(r’-r’’). El primer bisector es el plano α(α1-α2) definido por el punto A’-A’’ ; el segundo bisector es el plano β(β1-β2) definido por el punto B’-B’’ . Hacemos pasar por la recta el plano horizontal δ(δ2). Este corta al primer bisector según la recta i(i’-i’’ -i’’’) paralela a L.T.; esta recta corta a la r en el punto I(I’-I’’-I’’’) , intersección de r con el primer bisector. Las proyecciones I’-I’’ equidistan de L.T.

R

El punto de intersección de la recta r(r’-r’’) con el segundo bisector es el punto P(P’-P’’) que es el único de la recta cuyas proyecciones coinciden.

M

T E O EG

i’’

I’’

r’’

V’’

δ3

P’-P’’

δ2 B’ ≡ B’’

α3 I’’’ i’’’

B’’’

A’’ A’’’

V’ α1

α2

β1

β2

A’

β3 r’

I’

i’


78 9/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 9b: la recta es perpendicular perpendicular,, por ejemplo, al plano horizontal.

PI

La recta es r’-r’’ y los bisectores son α(α1-α2-α3) y β(β1-β2-β3) definidos por los puntos A’-A’’ y B’-B’’ , respectivamente.

R

Se hace pasar por la recta r el plano frontal δ1(δ3) que corta a los bisectores según las rectas i(i’-i’’-i’’’) e i (i’-i’’-i’’’). Estas 1 1 1 rectas cortan a r en I’-I’’-I’’’ e I’-I’’-I’’’ . Obsérvese que I’ e I’’ equidistan de L.T. y que el punto I tiene las proyecciones 1 1 1 1 confundidas.

ED

S

C

δ3

r’’

AÍ

r’’’ α3 B’ ≡ B’’

I’’

i’’

B’’’

I’’’

A’’

R T

P’’’ ≡ i’’’

E

A’’’

M α1

α2

β1

O

β2

A’ δ1

i’

EG

≡ i’’’ P’’’ 1 1 i’ 1 ≡ i’’ 1

r’ ≡ H’≡ I’ ≡ I’ 1 ≡ I’’ 1

I’’’ 1 β3

Actividad 9c: la recta es de perfil. 1. Representamos los planos bisectores α1-α2-α3, β1-β2-β3 y la recta r’-r”-r’’’ dada por las trazas horizontal H’-H”-H y vertical V’-V”-V de la recta r. 2. Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta, en este caso, el paralelo a L.T. δ1-δ2-δ3. 3. Se determinan, (ver actividad 8a), las rectas i’-i”-i’’’ e i’intersección del plano auxiliar δ 1-δ 2-δ 3 con los 1 i” 1 - i’’’ de 1 bisectores. 4. En la intersección de las proyecciones respectivas de estas rectas con la r obtenemos las proyecciones horizontales I’ (i’-r’) e I’ ( i’- r ’) y verticales I” (i”-r”) e I 1” (i” r 1”) de los puntos de intersección I e I 1 de la recta de perfil r con los planos 1 1 1 1 bisectores. r’’ δ2

V’’

V r’’’ B’ ≡ B’’

B’’

α3

δ3

A’’

A’’’ I’’

α1

α2

V’ H’’ β1 I’

δ1

I’’’

i’’

P’’’ ≡ i’’’ H

β2 i’

H’

A’ I’ 1 ≡ I’’ 1 r’

i’ 1 ≡ i’’ 1

P’’’ 1 1 ≡ i’’’ I’’’ 1 β3


79 10/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 10

PI

Los planos que se consideran son los siguientes: plano oblicuo α1-α2, plano oblicuo β1-β2 y plano oblicuo δ1-δ2.

R

1º Representamos estos planos α1-α2, β1-β2 y δ1-δ2.

C

2º Se halla la recta intersección r’-r” de los planos α1-α2 y β1-β2, ver actividad1.

S

3º Se halla el punto de intersección de esta recta r con el plano oblicuo δ1-δ2, para ello:

ED

• Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta r , en este caso, el proyectante horizontal γ 1- γ 2. • Se determina la recta i’-i” de intersección de este plano con el oblicuo δ1-δ2; la traza horizontal H i’- H i” de la recta i es el punto de intersección de las trazas γ 1 y δ1; la traza vertical V 1’-V 1”de i es el punto de intersección de las trazas γ 2 yδ2; uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas obtenemos las proyecciones horizontal i’ (H i’- H i” ) y vertical i” (V 1’-V 1” ) de la recta intersección. • En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos las proyecciones horizontales I’ (i’-r’) y verticales I” (i”-r”) del punto común I’-I” a los tres planos.

T

R

AÍ

M

E O

γ 2 V’’ i

EG

α2 δ2

r’’

β2 I’’

H’ r V’’ r

H’’ r

i’’

V’ r

H’’ i

V’ i

I’

β1

H’ i r’ ≡ i’ ≡ γ 1 α1

δ1


80 11/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 11

PI

Los planos que se consideran son los siguientes: plano oblicuo α1-α2, plano frontal β1 y plano paralelo a la L.T. δ1-δ2.

R

1. Representamos estos planos α1-α2, β1 y δ 1-δ2.

C

2. Se halla la recta intersección r’-r” de los planos α 1-α2 y β1-β2; todo plano frontal corta a un plano oblicuo según una recta que es frontal de plano; para ello: • Se determina la traza H r ’- H r ” de la recta intersección; por H r ’, se traza r’ paralela a L.T., y por H r ”, se traza r” paralela a α2, dado que β2 está en el infinito.

ED

S

3. Se halla el punto de intersección de esta recta r con el plano paralelo a la L.T. δ1-δ2, para ello:

AÍ

• Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta r , en este caso, el proyectante vertical γ 1- γ 2.

R

• Se determina la recta i’-i” de intersección de este plano con el δ 1- δ2; la traza horizontal H i’- H i” de la recta i es el punto de intersección de las trazas γ 1 y δ1; la traza vertical V 1’-V 1”de i es el punto de intersección de las trazas γ 2 y δ 2; uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas obtenemos las proyecciones horizontal i’ (H i’-H i”) y vertical i” (H i’-H i”) de la recta intersección. • En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos las proyecciones horizontales I’ (i’-r’) y verticales I” (i”-r”) del punto común I’-I” a los tres planos.

M

E

T

α2

EG

γ 2

δ2 V’’ i

I’’ r’’ i’’ i

V’

H’’r H’’ i H’ r

I’

r’

β1

i’ δ1 H’ i γ 1

α1


O

81 12/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 12

PI

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta las consideraciones siguientes: • La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

R

• Para hallar el punto de int erse cción de una r ecta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que la contenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es la

S

intersección de la recta r con el plano dado. el plano plano es es uno uno oblicuo oblicuo cualquiera. cualquiera. Actividad 12a: 12a: la recta es de punta y el Actividad

ED

1. Representamos el plano oblicuo α1-α2, y la recta r’-r” , vertical; determinamos la traza horizontal H’-H” de la recta r .

AÍ

C

2. Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta, en este caso, el proyectante horizontal β1-β2.

R

3. La traza horizontal H 1’- H 1” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1; la traza vertical V 1”-V 1’ de i es el punto de intersección de las trazas α2 y β2. 4. Uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas, obtenemos las proyecciones horizontal i’ (H 1’-V 1’) y vertical i” (H 1”-V 1”) de la recta intersección i de los planos dados.

E

T O

M

5. En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta con la r , obtenemos la proyección horizontal I’ (i’-r’) y vertical I” (i”-r”) del punto de intersección I de la recta vertical r con el plano oblicuo.

EG α2

V’’ 1 r’’

i’’

β2

I’’ H’’ 1

V’ 1

H’’ r

i’ r’ ≡ H’ r ≡ I’ H’ 1 β1 α1


82 13/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 12b: la recta es de perfil y el plano uno oblicuo cualquiera.

PI

1. Representamos el plano oblicuo α1-α2, y la recta r’-r” , de perfil dada por las trazas horizontal H’-H” y vertical V’-V” . 2. Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta, en este caso, el oblicuo β1-β2.

R

3. La traza horizontal H 1’- H 1” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1; la traza vertical V 1”-V 1’ de i es el punto de intersección de las trazas α2 y β2.

S

4. Uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas, obtenemos las proyecciones horizontal i’ (H 1’-V 1’) y vertical i” (H 1”-V 1”) de la recta intersección i de los planos dados.

ED

C

5. En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta con la r , obtenemos la proyección horizontal I’ (i’-r’) y vertical I” (i”-r”) del punto de intersección I de la recta vertical r con el plano oblicuo.

R

AÍ T E M

α2

O

β2

EG

1 V’’

V’’ r i’’ I’’ r’’

V’ 1

H’’ 1

V’ r H’’ r i’ I’

r’

H’ 1 α1

H’ r β1


83 14/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 13

PI


R

• Las dos proyecciones de una figura plana contenida en un plano son figuras afines, siendo los elementos de esta afinidad los siguientes: 

Dirección de afinidad: perpendicular a L.T. Dirección Da.



Eje de afinidad: afinidad: la recta intersecció n del plano con el 2º bisector.

ED

S

C

• Los puntos pertenecientes al 2º bisector tienen las proyecciones confundidas.

AÍ

• Los puntos del eje de afinidad son dobles.

R

1. Representamos el plano oblicuo α 1-α 2, y la proyección horizontal de la figura contenida en el plano, el hexágono 1’2’3’4’5’6’ .

E

T

2. Trazamos la recta frontal de plano h’-h” que pasa por 1’-1’’ , y determinamos su traza vertical V’-V” . 3. Definimos el eje de afinidad, recta intersección del plano con el 2º bisector; hallamos el punto M , intersección de las proyecciones h’ y h” . Si la recta h” es afín de h’ , el punto M de intersección de ambas pertenece al eje de afinidad; como el punto N de L.T. también es doble, la recta M-N es el eje de afinidad.

M

4. Se halla una pareja de puntos afines, por ejemplo, el 1” afín de 1’ , por medio de la frontal h’-h” y a partir de éstos se obtienen los demás puntos.

EG

α2

V’’

M

1’’

h’’

E

2’’ 6’’

eje de afinidad 3’’ 5’’ B

4’’ V’

N

1’

6’

D a

A

2’ h’

5’ C

3’ 4’

D α1


84 15/90

O

5/17/2018

A


VI

SISTEMA DIÉDRICO II

T R

PI C S

TEMA

9

ED R

AÍ T E M O EG

Actividad 1 Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta lo siguiente: • Dos rectas son paralelas en el espacio, si sus proyecciones sobre los dos planos de proyección también lo son. 1. Sea el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”) de perfil. Se toma un plano α1-α2 de perfil, y se halla la tercera proyección tanto del punto P como de la recta r . La proyección r’’’ corta a los planos de proyección en H r ’’’ y V r ’’’. 2. Por P’’’ se traza s’’’, paralela a r ’’’ y se obtienen las trazas H s’’’ y V s’’’. La recta s’-s’’ pasa por P’-P’’ y es paralela a r-r’’ que se define por sus trazas H s’ y V s’’.

V’’ r

V’’’ r

P’’’

P’’

V’’’ s

V’’ s

r’’’ r’’

s’’

s’’’ α2

P’ V’ s H’’ s

V’ r H’’ r

s’

r’

H’’’ s

H’’’ r

H’ s α1 H’ r


85 16/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 2

PI

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta lo siguiente:

R

• Dos planos α (α1-α 2) y β(β1-β2) son paralelos en el espacio, si las trazas del mismo nombre también lo son.

C S

Actividad 2a: plano paralelo a un plano proyectante horizontal 1. Se dibuja el plano (

-

) proyectante horizontal, y el punto P(P’-P”).

ED

α α 1 α2

2. Por el punto dado P(P’-P”), se traza la horizontal r(r’-r”), siendo r’ paralela a α1. 3. La traza vertical de la recta r es el punto V” y por éste pasa la traza β2, paralela a α 2.

AÍ

4. La traza horizontal β1 coincide con r’ .

R T

β2

α2

P’’

V’’

E

r’’

M O EG

V’ P’ r’ β1 α1

Actividad 2b: plano paralelo a un plano proyectante vertical 1. Se dibuja el plano α(α1-α2) proyectante vertical, y el punto P(P’-P”). 2. Por el punto dado P(P’-P”), se traza la frontal r(r’-r ”), siendo r” paralela a α 2. 3. La traza horizontal de la recta r es el punto H’ y por éste pasa la traza β1, paralela a α1. 4. La traza vertical β2 coincide con r’’ . α2 β2 r’’

P’’

H’’

r’ H’

α1

P’

β1


86 17/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 3

PI

1. Se dibuja el plano α(α1-α2) paralelo a L.T., y el punto P(P’-P ”).

R

2. Se traza una recta oblicua r(r’-r”) cualquiera contenida en el plano α(α1-α2).

S

C

3. Por el punto dado P(P’-P”), se traza la recta oblicua s(s’-s”) paralela a la r(r’-r”), siendo s’ paralela a r’ y s” paralela a r” .

ED

4. Se determinan las trazas H s(H s’-H s”) y V s(V s’-V s”) de la recta s. 5. Por la traza vertical V s” pasa la traza β2, paralela a α 2, y por la traza horizontal H s’ la traza β1, paralela a α 1.

AÍ R T E

α2

V’’ r

M V’’ s

O

β2

r’’

EG

P’’ s’’ H’’ r

H’’ s V’ s P’ s’ H’ s

H’ r

β1

α1


87 18/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 4

PI

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta los teoremas siguientes:

R

• Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, la s, es paralela a un plano β, sobre el que se proyectan, las proyecciones de ambas son dos rectas r’ y s’ perpendiculares. • Si una recta r es perpendicular a un plano α, la proyección r’ de la recta sobre un plano (por ejemplo, el plano H )

S

C ED

y la intersección del plano con el de proyección, traza α1, son dos rectas perpendiculares. Actividad 4-1º: plano perpendicular a una recta vertical

AÍ

El plano perpendicular a una recta vertical es uno paralelo al PH y, por lo tanto, sólo tiene traza vertical α2, paralela a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán p erpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. 1. Se dibuja la recta r(r’-r”) vertical, y el punto P(P’-P”); se determina la traza horizontal H r(H r’- H r”) de la recta r .

T

R E

2. Basta trazar por P’’ la traza α2 paralela a L.T. ya que así el punto P’-P ’’ pertenece al plano α (α2).

M O

r’’

EG

α2

P’’

H’

P’ H’’ r’

Actividad 4-2º: plano perpendicular a una recta perpendicular al plano vertical El plano perpendicular a una recta perpendicular al plano vertical es uno paralelo al PV y, por lo tanto, sólo tiene traza horizontal α 1, paralela a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. 1. Se dibuja la recta r(r’-r”) perpendicular al plano vertical, y el punto P(P’-P”). 2. Basta trazar por P’ la traza α1 paralela a L.T., ya que así el punto P’-P ’’ pertenece al plano α(α1). r’’ V’’ P’’

V’

P’

α1

r’


88 19/90

5/17/2018

A


VI Actividad 4-3º: plano perpendicular a una recta horizontal

T

El plano perpendicular a una recta horizontal es un plano proyectante horizontal y, por lo tanto, la traza horizontal α1 contiene a P’ y α2 es perpendicular a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta.

R

1. Se dibuja la recta r(r’-r”) horizontal de plano, y el punto P(P’-P”).

C

PI S

2. Por P’ pasa α1 y es perpendicular a r’ . La traza α 2 pasa por N y es perpendicular a la L.T. y por lo tanto a r’’ .

ED

α2

AÍ

P’’

R r’’

T

V’’

E M O

V’

N

EG r’

P’

α1

Actividad 4-4º: plano perpendicular a una recta frontal El plano perpendicular a una recta frontal es un plano proyectante vertical cuya traza vertical α2 contiene a P” y α1 es perpendicular a L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán perpendiculares a las de proyecciones del mismo nombre de la recta. 1. Se dibuja la recta r(r’-r”) frontal de plano, y el punto P(P’-P”). 2. Por P’’ se traza α2 perpendicular a r’’ y α1 perpendicular a r’ .

α2

r’’

P’’

H’’

N

P’

r’

H’

α1


89 20/90

5/17/2018

A


VI Actividad 4-5º: plano perpendicular a una recta de per fil que cor ta a la L.T corta L.T..

T

El plano perpendicular a una recta de perfil es un plano paralelo a la L.T. y, por lo tanto, las trazas α1-α2 son paralelas a la L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta.

R

Se da la recta r(r’-r’’) que es de perfil, corta a L.T. y está definida por el punto A(A’-A’’). También tenemos el punto P(P’ P’’) por donde ha de pasar el plano perpendicular a r . Se pasa a tercera proyección el punto A(A’-A’’) en A’’’ , la recta r en

C

PI

r’’’ y el punto P(P’-P’’) en P’’’ . Por P’’’ se traza la perpendicular α3 a r’’’ y obtenemos las trazas α1 y α2 del plano solución.

ED

S

α2 A’’

AÍ

A’’’

R T

r’’’

r’’

E α2

M

α3

O

P’’’

P’’

EG

V’’ H’’ V’ H’

r’ P’ A’ α1 α1

Actividad 4-6º: plano perpendicular a una recta de perfil que es perpendicular al primer bisector Tenemos la recta r(r’-r’’) de perfil y que es perpendicular al primer bisector por tener sus trazas H’ y V’’ equidistantes de L.T. Tenemos también el punto P(P’-P’’) por donde ha de pasar el plano α perpendicular a la recta r . Se pasa a tercera proyección la recta r en r’’’ y el punto P en P’’’ . Por P’’’ se traza la perpendicular a r’’’ y obtenemos α3 que corta a los planos H y V en α1 y α2. Obsérvese que al devolver α1 a proyecciones las dos trazas α1 y α2 coinciden, lo que indica que es un plano paralelo a L.T. y perpendicular al 2º bisector.

α3

V

V’’

P’’’

P’’

r’’ α2 − α 1

α2

V’

r’’’

H α1

H’’

r’

P’

H’


90 21/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 5

PI

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta los teoremas siguientes:

R

• Si dos rectas r y s son perpendiculares en el espacio y una de ellas, la s, es paralela a un plano β, sobre el que se proyectan, las proyecciones de ambas rectas r’ y s’ son perpendiculares. • Si una recta r es perpendicular a un plano α, la proyección r’ de la recta sobre un plano (por ejemplo, el plano H ) y

S

C ED

la intersección del plano con el de proyección, traza α1, son dos rectas perpendiculares. Actividad 5-1º: recta perpendicular a un plano frontal

AÍ

La recta perpendicular a un plano frontal, es decir, paralelo al vertical, es una recta perpendicular al plano V , y, por lo tanto, sólo tiene traza vertical V(V’-V”); su proyección r’ es perpendicular a L.T., y r” es un punto; por otro lado, se sabe, que las trazas del plano serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Tenemos el plano frontal α(α1) y el punto P(P’-P’’). La recta perpendicular por P a α tiene su proyección r’ perpendicular a α1 por P’ y r’’ coincide con P’’ y con su traza vertical V’’ . En tercera proyección se aprecia con claridad el problema.

T

R

O

M

E

EG

α3

V’’’

P’’ ≡ V’’ ≡ r’’

P’’’

r’’’

V’

P’ α1

r’


91 22/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 5-2º: recta perpendicular a un plano horizontal

PI

La recta perpendicular a un plano horizontal, es decir, paralelo al horizontal H , es una recta vertical o perpendicular al plano H , y, por lo tanto, sólo tiene traza horizontal H(H’-H”); su proyección r” es perpendicular a L.T., y r’ es un punto.

C

R

Tenemos el plano horizontal α ( α 2) y el punto P(P ’-P ’’). La recta perpendicular por P a α tiene su proyección r’’ perpendicular a α2 por P’’ y r’ coincide con P’ y con su traza horizontal H’ . En tercera proyección se aprecia con claridad el problema.

ED

S

r’’

AÍ

r’’’ α2

R

α3

T E

P’’

M

P’’’

O H’’

EG

H’’’

P’ ≡H’ ≡ r’


92 23/90

5/17/2018

A


VI T

A ctividad 5-3º: recta perpendicular a un plano paralelo a L.T L.T..

PI

La recta perpendicular a un plano paralelo a la L.T. es una recta de perfil.

R

El problema se resuelve en la tercera pro yección. Tenemos el plano α (α 1-α 2) paralelo a la L.T. y en α 3 en tercera proyección. Tenemos el punto P(P’-P ’’) que pasamos a P’’’ . Por P’’’ trazamos r’’’ perpendicular a α3, obteniendo las trazas H’’’ y V’’’ que se devuelven a las proyecciones r’-r’’ en H’ y V’’ r r r r . Como se ve la recta es de perfil (proyecciones confundidas pasando por P’-P’’ y perpendicular a α1 y α2). La única parte oculta es el segmento H’ r - H’’ r .

ED

S

C

r’’ r’’’

AÍ

α2

R

P’’’

P’’

T E M

α3

O

H’’’ r

V’ r H’’ r

EG

H’ r V’’ r

V’’’ r

P’

α1 r’

Actividad 5-4º: recta perpendicular a un plano proyectante horizontal La recta perpendicular a un plano p royectante horizontal es una recta horizontal de plano, y, por lo tanto, r” es paralela a la L.T.; por otro lado, se sabe, por el teorema enunciado anteriormente, que las trazas del p lano serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Sea el plano α(α1- α2) proyectante horizontal y el punto P’-P’’ . Por las proyecciones P’-P’’ trazamos las perpendiculares a las trazas α1 y α2 respectivamente y tenemos como solución la recta horizontal r’-r’’ .

α2

V’’ r’’

P’’

V’

P’

r’

α1


93 24/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 5-5º: recta perpendicular a un plano proyectante vertical

PI

La recta perpendicular a un plano proyectante vertical es una recta frontal de plano, y, por lo tanto, r’ es paralela a la L.T .

C

R

Tenemos el plano α(α1-α2) proyectante vertical y el punto P’-P’’ . Como en el ejercicio anterior por P’ y P’’ se trazan las perpendiculares a α1 y α2 respectivamente obteniendo las proyecciones r’ y r’’ .

ED

S

α2

r’’

AÍ

P’’

R T E M

H’’

O EG r’

P’

α1

H’

Actividad 5-6º: recta perpendicular a un plano perpendicular al segundo bisector Las trazas de un plano perpendicular al segundo bisector están en línea recta. La recta perpendicular a un plano al segundo bisector es una rectaanteriormente, oblicua, y, por lo tanto, tiene dos trazas, la vertical y la horizontal; porperpendicular otro lado, se sabe, por el teorema enunciado que las trazas del plano serán perpendiculares a las proyecciones del mismo nombre de la recta. Dado el plano α(α1- α2) y el punto P(P’-P’’), las proyecciones r’-r’’ de la recta perpendicular a α pasan por P’ y P’’ y son perpendiculares a α1 y α2 respectivamente. Se indican las trazas de la recta. V’’

α1

α2

r’’

P’’

H’’

V’

r’

P’

H’


94 25/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 6

PI


R

·• Dos planos son perpendiculares, cuando contiene, al menos, una recta que es perpendicular al otro.

C S

• Dos rectas que pasan por un punto, es decir, que se cortan, forman un plano. Tenemos el plano ( - ) perpendicular al 2º bisector, el plano ( - ) que pasa por L.T. y por el punto A(A’-A’’). 1 2 α α1 α2 Hay que trazar por el punto P(P’-P’’) dado, el plano perpendicular a αβ yββ.βPor P se traza la recta s(s’-s’’) perpendicular a α y la recta r(r’-r’’) perpendicular a β, lo que se hace en tercera proyección pasando por el punto P’-P’’ a P’’’ y el plano β a β3 por medio del punto A’’’ . Uniendo las trazas del mismo nombre H’ r-H’ s y V r’’ - V s’’ de las rectas r y s se tienen las trazas δ 1 y δ 2 del plano solución.

AÍ

ED T

R

s’’ δ2

α1

E

β3

α2

A’’

M

A’’’ V’’ s

V’’ r

O

V’’’ r

EG

r’’’

r’’

P’’’ P’’

V’’ r

V’ s β1

H’’ r

β2

H’’’ r

N

H’’ s

s’ P’ A’

r’ H’ s δ1

H’ r


95 26/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 7

PI

Para resolver esta actividad, hemos de tener en cuenta lo siguiente:

R

• Dos planos α(α 1- α 2) y β(β1- β2) son paralelos en el espacio, si las trazas del mismo nombre también lo son.

C S

Actividad 7-1º: representar el plano paralelo a la línea de tierra que pasa por la recta

2. Definimos las trazas horizontal H(H’-H”-H’’’) y vertical V(V’-V”-V’’’) de la recta r .

ED

3. Como el plano solución ha de contener a r y ser paralelo a L.T., basta trazar por H’ y V’’ las paralelas a L.T. y r r tendremos las trazas β1 y β2 del plano.

AÍ

1. Se dibujan los puntos A(A’-A”-A’’’) y B(B’-B”-B’’’) y se traza la recta r(r’-r”-r’’’) que forman ...

T

R

β2

V’’’ r A’’’

α2

E

V’’ r

M O

A’’

EG

r’’

r’’’ ≡ β 3 H’’’ r

V’ r H’’ r A’ B’’≡ B’’’

β1 H’ r

α1

r’

B’


96 27/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 7-2º: representar el plano paralelo a éste que pase por el punto P( 6, 4, 7)

PI

Partimos del plano (β1-β2 - β3 ) obtenido del apartado anterior.

R

1. Se dibuja el punto P(6,4,7).

C

2. Pasamos el punto a tercera proyección P’’’ y por P’’’ se traza el plano δ3 paralelo a β3 y se obtienen las trazas δ1 y δ2 del plano pedido.

ED

S AÍ

δ2

R α2

T

δ3

E M

7

6

P’’’

P’’

β2

β3

O EG 4

β1

P’

α1

δ1


97 28/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 7-3º: representar el plano definido por la recta AB y el punto C(2,1,-2)

PI

1º Partimos de los punt os A y B y de la recta r(r’-r”) obtenidos en el apartado 7-1º 1º.

R

1. Se dibuja el punto C(2,1,-2).

C

2. Se traza la recta t(t’-t”) que pasa por los puntos B(B’-B”) y C(C’-C”); se determinan sus trazas H t (H t ’-H t”) y V t (V t’-V t”). 3. Uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas H t’-H r ’ y V t”-V r ” obtenemos las trazas (ε1-ε2) del plano solicitado.

ED

S AÍ

α2

R

V’’ r

T

t’

E

ε2

C’

A’’

M

t’’ C’’

O

r’’ V’’ t V’ t

t H’’

EG

V’ r H’’ r

H’ t

A’ B’’ ε1

α1

H’ r

r’

B’


98 29/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 7-4º: trazar un plano paralelo paralelo aa éste éste que que pase pase por por el el punto punto D( 0, 2, 2)

PI

Partimos del plano ε(ε1-ε2) obtenido en el apartado anterior.

R

1. Se dibuja el punto D(0,2,2).

C

2. Se sitúa una recta horizontal de plano cualquiera a(a’-a”) sobre el plano dado ε(ε1-ε2).

S

3. Por el punto D(D’-D”) se hace pasar la recta b(b’-b”), paralela a la a(a’-a”), y se determina su traza vertical V b(V b ’-

ED

V b”). 4. Por la traza vertical V b” pasa la traza γ 2, paralela a ε2, y por el punto N , donde la traza ε2 corta a la L.T., se dibuja la traza horizontal γ 1, paralela a ε1.

R

AÍ T

α2

E M

γ 2

V’’ b

O D’’

b’’

EG

ε2 V’’ s

a’’

N V’ b

V’ s b’

a’ D’

γ 1

ε1

α1


99 30/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 8

PI

1. Se dibujan las trazas β1-β2 de un plano oblicuo cualquiera.

R

2. Sobr e la L.T. se sitúa un punto A(A’-A”-A’’’) cualquiera.

S

C

3. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por A” , r” perpendicular a β2 y por A’ , r’ perpendicular a β1.

ED

4. Sobre esta recta r(r’-r”), se sitúa un punto B(B’-B”-B’’’) cualquiera, y se determina su proyección de perfil B’’’ . 5. Se dibujan las proyecciones (δ1- δ2- δ 3) del plano solución, teniendo en cuenta, que la proyección de perfil δ3 debe contener a r’’’ y a B’’’ , y pasar por la L.T.

R

AÍ

α2

T E

r’’’ ≡ δ 3

r’’ B’’

M O

B’’’

EG

β2

N δ1

δ2

A’’ A’

A’’’

B’ r’

β1 α1


10 0 31/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 9

PI


R

• Todos los puntos del segundo bisector tienen las proyecciones confundidas, y las trazas de un plano perpendicular al segundo bisector están en línea recta. • La distancia D de un punto P a un plano α, se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano dado;

S

C ED

se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida. • La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

AÍ

• Para hallar el punto de i nter sección de una r ecta r con un plano, se hace pa sar por la recta un plano que la contenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es la intersección de la recta r con el plano dado.

T

R

1. Representamos un plano α (α 1-α 2) perpendicular al segundo bisecto r, y situamos un punto P(P’-P ”) en el primer diedro.

M

E

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’ , r’ perpendicular a α1, y por P” , r” perpendicular a α2; se determinan las trazas horizontal H(H’-H”) y vertical V(V’-V”) de la recta r.

EG

3. Se dibuja un plano auxiliar cualquiera que contenga a la recta, en este caso, el proyectante horizontal β(β1-β2). 4. Se determina la recta i(i’-i”) de intersección del plano auxiliar β(β1-β2) con el plano dado α(α1-α2). 5. En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos la proyección horizontal I’(i’-r’) y vertical I”(i”-r”) del punto de intersección I de la recta r con el plano dado. 6. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P” , y la distancia es d’-d” . Por P’ se traza la perpendicular a d’ y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h. El segmento I’N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio. También se puede tomar como cateto la proyección vertical d” y como otro cateto, la diferencia de los alejamientos de los dos puntos.

β2 i’’

r’’

α1 α2

V’’

I’’ h

d’’

P’’

r’ V’ i

V’

i H’’

H’’

H’ i I’ d’ V’’ i

P’ D

h

N

H’ i’ ≡ β1


O

10 1 32/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 10

PI

1. Representamos un plano β( β1- β2- β3) paralelo a la L.T., y dibujamos un punto P(P ’-P”-P ’’’) situado en el segundo diedro. 2. La distancia se puede obtener directamente en verdadera magnitud sobre la tercera proyección.

C

R S

Se pasa el plano β a β3 y el punto P(P’ -P’’) a P’’’ . Por P’’’ la recta r’’’ perpendicular a β3 nos da el punto N’’ ’. La

ED

distancia real es D = P’’’-N’’’ y en proyecciones P’N’ , P’’-N’’ .

AÍ N’

R

P’

E

T M

β1

O E

β3 D

N’’’

P’’’

G P’’ N’’

r’’’

β2


10 2 33/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 11

PI


R

• Las proyecciones r’ y r” de una recta r contenida en el primer bisector forman el mismo ángulo con L.T.

S

C

• La distancia D de un punto P a una recta r, se determina trazando el plano α perpendicular a r por el punto P ; se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida.

ED

• La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos. • Para hallar el punto de int erse cción de una r ecta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que la contenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es la intersección de la recta r con el plano dado. 1. Representamos la recta r(r’-r”) y el punto P(P’-P”) dados.

R

AÍ T

2. Por el punto P(P’-P”) se traza el plano perpendicular a la recta r(r’-r”); para ello, por el punto dado P(P’-P”), se hace pasar una recta del plano que se busca y de la cual conocemos su dirección; esta recta puede ser una frontal s(s’ s”); s’ pasa por P’ , es paralela a L.T., y s” , perpendicular a r” , pasa por P” . 3. Se halla la traza horizontal H s’ de la recta s y por este punto pasa la traza α 1, perpendicular a r’ ; por el punto N , intersección de α1 con L.T , se traza α2, perpendicular a r” .

O

4. Se halla el punto de intersección de la recta r(r’-r”) con el plano α(α1-α2); para ello:

G

M

E

• Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta r, en este caso el proyectante vertical β(β1-β2). • Se determina la recta i’-i” de intersección de este plano con el α(α1-α2); la traza horizontal H i’- H i” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α1 y β1; la traza vertical V i’-V i”de i es el punto de intersección de las trazas α2 y β2; uniendo las proyecciones respectivas de estas trazas obtenemos las proyecciones horizontal i’(H i’-V i’) y vertical i”(H i”-V ”) de la recta intersección. i • En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos las proyecciones horizontales I’(i’-r’) y verticales I”(i”-r”) del punto I(I’-I”) de intersección. 5. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P” , y la distancia es d’-d” . Por I” se traza la perpendicular a d” y sobre ella se lleva la suma de alejamientos h. El segmento P”M es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio. También se puede tomar como cateto la proyección horizontal d’ y como otro cateto, la diferencia de las cotas de los dos puntos.

r’’ ≡ β 2 ≡ i’’ M

D

α2

P’’ s’

h

d’’

H’ s

V’’ i

P’

I’’ = d’ V’ i

H’’ s

N

H’ r h

V’ r V’’ r H’’ r H’’ i

=

s’’

I’ i’

H’ i α1

r’ β1


10 3 34/90

E

5/17/2018

A


VI T

Actividad 12

PI


R

1. Obsérvese la figura del espacio. El triángulo PNB es el que hay que construir. Para ello se abate el punto P sobre el plano H en Po. El cateto PN es igual a la hipotenusa NM del triángulo MP’N. 2. Conociendo NP y la hipotenusa PB = 6 unidades, basta desde P o cortar a la L.T. con radio igual a 6 unidades. Los

S

C ED

puntos A’-A’’ y B’-B’’ son la solución.

AÍ R T E M

P’’

O

A

E G N

P

6

M

B 6 P’ P o

c = 3 P o

P’

M P’’

6 4 = a 3 = c

B’-B’’

A’-A’’ N


10 4 35/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 13

PI

Actividad 13-1º: la recta queda definida por sus trazas

R

P rimer método: utilizando el plano de per fil, es decir fil. decir,, las proyecciones de per perfil.

C S

1. Dibujar las trazas H(H’-H”-H”’) y V(V’-V”-V’’’) de la recta de perfil r . 2. El segmento H’’’V’’’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r limitada por sus trazas H y V .

E D

Segundo método: por medio de las proyecciones d’ y d” d” .. 1. Dibujar las trazas H(H’-H”) y V(V’-V”) y las proyecciones r’-r” de la recta de perfil r .

AÍ

2. Se toma sobre L.T. a partir de V’ el alejamiento h de H’ y el segmento NV’’ es la distancia D en verdadera magnitud.

T

R E

α2

M

r’’

O

V’’

E G

V’’’ D D

r’’’

d’’

H’’’

V’ H’’

N h

h

d’ H’

r’ α1


10 5 36/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 13-2º: la recta queda definida por dos de sus puntos

PI

1. Dibujar los puntos A(A’-A”-A’’’) y B(B’-B”-B’’’) y la recta de perfil r(r’-r”-r’’’) que forman.

R

2. El segmento H’’’V’’’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r definida por los puntos A y B y limitada por sus trazas H y V .

S

C

α2 V’’ V’’’

A’’

E D

A’’’’ D

d’’

AÍ

r’’’

r’’

R T

B’’’

B’’

E

V’ H’’

M

H’’’

A’

O E

d’

G

r’

B’

H’

α1

Actividad Actividad 13-3º: la recta queda definida por uno de sus puntos y el ángulo que forma con uno de los planos de proyección Sea el punto A(A’-A”-A’’’), y la recta r(r’-r”-r‘’’) que, pasando por A, forma 60º con el plano de proyección H . 1. Dibujar el punto A(A’-A”-A’’’) y la proyección de perfil r’’’ que forma 60º con el plano H. 2. Determinamos H’’’ y V’’’ , puntos de intersección de r’’’ con el plano de perfil α1-α2, y definimos el resto de proyecciones. El segmento H’’’V’’’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r definida por el punto A y el ángulo de 60º con el plano horizontal y limitada por sus trazas H y V .

α2 V’’

V’’’

d’’ D

A’’’’

A’’

r’’’

r’’ o

0 6

V’ H’’

H’’’

d’ A’ r’ H’ α1


10 6 37/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 13-4º: la recta queda definida por uno de sus puntos y la distancia de esta recta a L. T .

PI

Sea el punto A(A’-A”-A’’’), y la recta r(r’-r”-r’’’) que, pasando por A, dista de la L.T. el valor x = 29 mm.

R

1. Dibujar el punto A(A’-A”-A’’’), y la circunferencia de radio 29 mm, y centro en L.T., punto O.

C

2. Por A’’’ se traza la proyección r’’’ , tangente a la circunferencia de radio x , y obtenemos H’’’ y V’’’ trazas de la recta r .

S

3. El segmento H’’’V’’ ’ es D, verdadera magnitud de la recta de perfil r definida por el punto A y la distancia a la L.T. y

E

limitada por sus trazas H y V .

D AÍ

α2 V’’

R

V’’’

T

A’’’’

A’’

T’’’ r’’

x

E

D

M

r’’’

O

d’’ V’

E G

O H’’’

H’’ 2 9 m m

A’ d’

r’ α1 H’


10 7 38/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 14

PI


R

• La distancia D de un punto P a un plano β, se determina trazando la perpendicular r por el punto P al plano dado; se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida. • La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

S

C E

• Para hallar el punto de int erse cción de una r ecta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que la contenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es la intersección de la recta r con el plano dado. • La proyección de una recta paralela al plano de proyección sobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

AÍ

D T

R

Actividad 14-1º: el plano es paralelo a la L.T L.T..

E

1. Representamos un plano β(β1-β2-β3) paralelo a la L.T. y dibujamos un punto P(P’-P”-P ’’’) situado en el primer diedro.

M

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’ , r’ perpendicular a β1, por P” , r” perpendicular a β2, y por P”’ , r”’ perpendicular a β3. 3. En la intersección de la proyección r’’’ con β3, se encuentra la proyección I’’’ del punto de intersección I de la recta r con el plano dado. 4. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia del punto al plano son I’’’ y P’’’ , y la verdadera magnitud entre ellos es el segmento I’’’-P’’’ = D, puesto que pertenecen a la proyección de perfil r’’’ de una recta paralela al plano de perfil del sistema, y, como se sabe, la proyección de una recta paralela al plano de proyección sobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

r’’ β2

r’’’

α2 D

P’’

P’’’ β3

d’’ I’’

I’’’

H’’’

V’ H’’ H’ V’’

V’’’

I’ d’ P’ β1 r’

α1


10 8 39/90

G

E

O

5/17/2018

A


VI T

Actividad 14-2º: el plano está deter minado por L. T . y un punto

PI

1. Representamos el plano β(β1-β2-β3) que pasa por L.T. y el punto A(A’-A”-A’’’), y dibujamos un punto P(P’-P”-P’’’) situado en el primer diedro.

C

R

2º Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’ , r’ perpendicular a β1, por P” , r” perpendicular a β2, y por P’’’ , r’’’ perpendicular a β3.

S

3º En la intersección de la proyección r’’’ con β3, se encuentra la proyección I’’’ del punto de intersección I de la recta r con el plano dado.

D

E

4º Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia del punto al plano son I’’’ y P’’’ , y la verdadera magnitud entre ellos es el segmento I’’’-P’’’ = D, puesto que pertenecen a la proyección de perfil r’’’ de una recta paralela al plano de perfil del sistema, y, como se sabe, la proyección de una recta paralela al plano de proyección sobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

T

R

AÍ E

r’’

M

α2 β3

I’’

I’’’

O E

D

G

d’’ P’’ A’’

A’’’

P’’’ r’’’

β1 β 2 A’ I’ d’

P’ r’

α1


10 9 40/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 14-3º: el plano tiene sus dos trazas en línea recta

PI

Primer caso: caso: se trat a de un plano paralelo a la L.T. que, pasando por 1º, 2º y 3º diedros, es perpendicular al 2º bisector.

C

R

1. Representamos el plano β(β1- β2-β3) que es paralelo a la L.T. y perpendicular al 2º bisector, y dibujamos un punto P(P’-P”-P’’’) situado en el primer diedro.

S

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’ , r’ perpendicular a β1, por P” , r” perpendicular a β2, y por P’’’ , r’’’ perpendicular a β3.

D

E

3. En la intersección de la proyección r’’’ con β3, se encuentra la proyección I’’’ del punto de intersección I de la recta r con el plano dado.

AÍ

4. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia del punto al plano son I’’’ y P’’’ , y la verdadera magnitud entre ellos es el segmento I’’’-P’’’ = D, puesto que pertenecen a la proyección de perfil r’’’ de una recta paralela al plano de perfil del sistema, y, como se sabe, la proyección de una recta paralela al plano de proyección sobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

M

E

T

R

α2

O

β3

E

V’’’ I’’ β1 = β2

I’’’

G

D

d’’ P’’ r’’

P’’’ r’’’ 45 o

V’ H’’

H’’’

I’ d’ P’ r’ H’ α1


11 0 41/90

5/17/2018

A


VI T

Segundo caso: caso: se tra ta de un plano perpendicular al 2º bisector.

PI

1. Representamos un plano α (α 1-α 2) perpendicular al segundo bisecto r, y situamos un punto P(P’-P ”) en el primer diedro.

C

R

2. Por cada proyección del punto se traza la recta perpendicular a la traza del mismo nombre del plano, así, por P’ , r’ perpendicular a α 1, y por P” , r” perpendicular a α 2; se determinan las trazas horizontal H r (H r ’-H r ”) y vertical V r (V r ’-V r ”) de la recta r .

E

S

3. Se dibuja un plano auxiliar cualquiera que contenga a la recta, en este caso, el proyectante horizontal β(β1-β2).

D

4. Se determina la recta i(i’-i”) de intersección del plano auxiliar β(β1-β2) con el plano dado α(α1-α2).

AÍ

5. En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos la proyección horizontal I’(i’-r’) y vertical I”(i”-r”) del punto de intersección I de la recta r con el plano dado.

R

6. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P”, y la distancia es d’-d” . Por P’ se traza la perpendicular a d’ y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h. El segmento I’N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio. También se puede tomar como cateto la proyección vertical d” y como otro cateto, la diferencia de los alejamientos de los dos puntos.

M

E

T

E

O

V’’ r

α1

G α2

i’’

r’’

I’’ β2 h

d’’ P’’

V’ r

H’’ r

H’’ i

V’ i H’ i I’ d’ V’’ i

P’ D h

N

r’ ≡ i’ H’ r

β1


11 1 42/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 15

PI


R

• La distancia D de un punto P a una recta r, se determina trazando el plano α perpendicular a r por el punto P ; se halla el punto de intersección I de la recta y del plano y el segmento P-I es la distancia pedida. • La intersección de una recta r’-r” con un plano es un punto que pertenece a ambos.

S

C E

• Para hallar el punto de int ersección de una r ecta r con un plano, se hace pasar por la recta un plano que la contenga, se halla la intersección de ambos planos, recta i, y esta recta corta a la r en el punto I, que es la intersección de la recta r con el plano dado. • La proyección de una recta paralela al plano de proyección sobre la que se proyecta tiene la misma dimensión que la recta original.

AÍ

D T

R

A ctividad 15-1º: a la L.T L.T..

E

Primer méto método: do: utilizando el plano de per fil, es decir, las proyecciones de perfil.

M

1. Dibujar el punto P(P’-P”-P’’’).

O

2. Por este punto, se traza la recta r(r’-r’-r”-r’’’), que corta a L.T. y es perpendicular a ella; se determinan las tr azas H(H’-H”-H’’’) y V(V’-V”-V’’’) de la recta de perfil r .

Segundo método: por medio de las proyecciones d’ y d” . 1. Dibujar el punto P(P’-P”). 2. Dibujar las trazas H(H’-H”) y V(V’-V”) y las proyecciones r’-r” de la recta de perfil r . 3. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son P’-P” y V’-V” , y la distancia es d’-d” . Por P” se traza la perpendicular a d” y sobre ella se ll eva la diferencia de alejamientos h = H’P’ . El segmento V”N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

α2 r’’ h

r’’’ N

P’’

d’’

P’’’

D D

V’ ≡ V’’ H’’ H’ h

V’’’ H’’’

d’

P’

r’ α1


E G

3. El segmento H’’’P’’’ es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

11 2 43/90

5/17/2018

A


VI T

A ctividad 15-2º: a una paralela a L.T L.T..

PI

Primer méto método: do: utilizando el plano de per fil, es decir, las proyecciones de perfil.

R

1. Dibujar el punto P(P’-P”-P ’’’) y la recta r(r’-r”-r’’’), paralela a L.T.

C

2. Por este punto, se traza la recta s(s’-s”-s’’’), perpendicular a r; se determina el punto I(I’-I”-I’’’) de intersección de r con i.

E

S

3. El segmento I’’’P’’’ es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

D

Segundo método: por medio de las proyecciones d’ y d” .

AÍ

1. Dibujar el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”), paralela a L.T. 2. Por este punto, se traza la recta s(s’-s”), perpendicular a r ; se determina el punto I(I’-I”) de intersección de r con i.

T

R

3. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P” , y la distancia es d’-d” . Por I” se traza la perpendicular a d” y sobre ella se lleva la diferencia de alejamientos h = I’P’ . El segmento P”N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

O

M

E E

α2

G

s’’ P’’’

D

P’’

D

d’’ r’’

r’’’ ≡ I’’’

N

I’’ h

s’’’

P’ r’

h

d’ I’ s’

α1


11 3 44/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 15-3º: a una recta situada en el plano vertical

PI

1. Dibujar el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”), situada en el plano vertical.

R

2. Por el punto P se traza el plano β1- β2, perpendicular a r , que es proyectante vertical; la traza β2 pasa por P’’ y es perpendicular a r’’ .

S

C

3. El punto de intersección de r y β es I’-I’’ , estando I’ en L.T., es decir, en r’.

E

4. La distancia en proyecciones es d’-d’’ y en verdadera magnitud es D.

D AÍ

β2

R T

D

I’’

E d’’

M

N

r’’

P’’

O E

h

G

r’ I’ h

d’

P’ β1


11 4 45/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 15-4º: a una recta cualquiera

PI

Tomamos una recta cualquiera, por ejemplo, la recta r(r ’-r”), horizontal de plano. 1. Dibujar el punto P(P’-P”) y la recta r(r’-r”), horizontal de plano; determinar su traza vertical V r (V r ’-V r ”).

R

2. Por el punto P(P’-P”), se traza el plano perpendicular a la recta r(r’-r”); para ello, por el punto dado P(P’-P”), se hace pasar una recta del plano que se busca y de la cual conocemos su dirección; esta recta puede ser la horizontal s(s’-s”); s” pasa por P” y es paralela a L.T., y s’ , perpendicular a r’ , pasa por P’ .

S

3. Se halla la traza vertical V s’’ de la recta s y por este punto pasa α2, perpendicular a r’’ ; por V s’ se traza α1 perpendicular a r’ .

E

C

AÍ

D

4. Se halla el punto de intersección de la recta r(r’-r”) con el plano α(α1-α2); para ello:

R

• Se dibuja un plano cualquiera que contenga a la recta r , en este caso, el proyectante horizontal β(β1-β2).

T

• Se determina la recta i’-i” de intersección de este plano con el α(α1-α2); la recta intersección es una recta perpendicular al plano horizontal; la traza horizontal H i’-H i ” de la recta i es el punto de intersección de las trazas α 1 y β1, su proyección horizontal i’ es un punto que coincide con H i’ , y su proyección vertical i” , perpendicular a L.T., pasa por H i” . • En la intersección de las proyecciones respectivas de esta recta i con la r obtenemos las proyecciones horizontales I’(i’-r’) y verticales I”(i”-r”) del punto I(I’-I”) de intersección.

O

5. Las proyecciones de los puntos que permiten determinar la distancia son I’-I” y P’-P” , y la distancia es d’-d” . Por P’ , se traza la perpendicular a d’ y sobre ella se lleva la diferencia de cotas h. El segmento I’N es D, verdadera magnitud de la distancia en el espacio.

G

M

E

También se puede tomar como cateto la proyección vertical d” y como otro cateto, la diferencia de los alejamientos de los dos puntos.

β2

α2

V’’ s

P’’

s’’ d’’

h

I’’

r’’

V’’ r

i’’ H’’ i

V’ r

V’ s

h

P’ d’ H’ i ≡ i’ ≡ I’

N

D

s’ ≡ α 1

r’ ≡ β 1


11 5 46/90

E

5/17/2018

A


VI

SISTEMA DIÉDRICO III

T R

PI C S

0 TEMA 1

E R

AÍ

D T E M O E G

Introducción Métodos Los métodos que emplea la Geometría Descriptiva son tres: Abatimientos, Cambios de planos de proyección y Giros. Objeto de los métodos Los métodos tienen por objeto facilitar las operaciones necesarias para resolver un problema, que de otra forma, sería su resolución más laboriosa. 1. Abatimientos En el caso de los abatimientos diremos que nos facilitan las operaciones necesarias para obtener la verdadera forma de magnitudes lineales y superficiales contenidas en un plano oblicuo con respecto a los planos de proyección. Abatir un plano sobre otro es hacer coincidir el primero con éste, girándole alrededor de la recta intersección de ambos. 2. Cambios de plano Los cambios de plano de proyección consisten en tomar otros planos de proyección sobre los cuales las proyecciones de una figura o de un cuerpo sean fáciles de deter minar. En este método, los que cambian son los planos de proyección, quedando fijos en el espacio los elementos a proyectar. Los planos se cambian uno por uno y no los dos a la vez. 3. Giros Por medio de ellos se consigue situar los puntos, rectas, planos y cuerpos en la posición más favorable en cada caso. En los giros, los elementos a proyectar son los que varían de posición, permaneciendo fijos los planos de proyección. Los giros se hacen tomando como ejes de giro o de rotación, rectas perpendiculares a los planos de proyección.


11 6 47/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 1

PI

1. Se dibuja el plano α1-α2 paralelo a la L.T. En la figura el plano de perfil se ha abatido directamente sobre el plano H , en vez de girarle previamente hasta el plano vertical y luego abatirle. De este modo, obtenemos la traza ( α2)0, es decir, la traza vertical del plano abatida sobre el plano H y que es paralela a α1, charnela o eje de abatimiento. 2. En un punto cualquiera de α1 se sitúa el punto 1’ ≡ 10, extremo de la diagonal del cuadrado que forma 60º con la traza

S

C

R E

horizontal del plano; esta diagonal corta a (α2)0 en el punto 30, extremo de la misma. 3. Se construye el cuadrado 10- 20-3 0-40 y se desabate utilizando, a tal fin, la diagonal formada por los puntos 20-40. Mediante los arcos de la figura se indica el proceso de desabatimiento del plano o de llevar las proyecciones de los puntos.

R

AÍ

D T E M

3’’

α2

O

N’’

E

2’’

G

d’’

4’’ M’’

3’

1’’ N’ 2 c m

2’

α

d’ 4’

o

α1

6 0

1’ Mo -M’

1o 6 0 o

4 o

d o (d1)o 2 o (α 2 )o 3 o

N o


11 7 48/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 2

PI

Este ejemplo se estudia comparándole con el estudio de las proyecciones de una circunferencia contenida en un plano. Al tratar de las proyecciones de una figura plana contenida en un plano cualquiera, ver actividad 13 del Tema 8, se vio la relación de afinidad que existe entre ellas. Sus elementos, dijimos, eran:

C

R E

S

• Dirección de afinidad: perpendicular a L.T. Dirección Da.

D

• Eje de afinidad: afinidad: la recta intersección del plano con el segundo bisecto r. Pues bien, entre la proyección horizontal de una figura y el abatimiento sobre el plano horizontal existe relación de afinidad cuyos elementos son:

AÍ

• Eje de afinidad: afinidad: La recta intersección de los dos planos, es decir, del H y del que contiene la figura, que es la traza horizontal del plano α1.

T

• Dirección de afinidad: Perpendicular a dicha traza horizontal, D’ a .

E

R M

Un par de puntos afines: La proyección horizontal de un punto y su abatimiento.

O

Las rectas paralelas al eje de afinidad, tienen por afines rectas que también lo son. Si el plano se abate sobre el plano vertical, esta relación de afinidad es la existente entre la proyección vertical de la figura y el abatimiento de la figura en el espacio. El eje de afinidad es la traza vertical del plano y la dirección de afinidad es perpendicular a dicho eje. 1. Representamos el plano oblicuo α (α 1-α2) y el de perfil β(β1- β2), que al cortarse, sus trazas forman el triángulo que circunscribe a la circunferencia. 2. Se abate el plano oblicuo α(α1-α2) sobre el horizontal H ; para ello, seguimos el procedimiento siguiente: • Tomamos el puntoV”-V’ de la traza vertical y como charnela, la traza horizontal α1. El punto N , donde se cortan las trazas, por ser de la charnela, es doble, es decir, es el abatimiento de sí mismo. • Se abate el puntoV”-V’ de la traza vertical α2, para lo cual, con centro en N y radio NV” se corta a la perpendicular a α1 trazada desde V’ en el punto V 0, abatimiento del punto V sobre el plano H . • La recta NV0 es la traza vertical abatida α2, es decir, ( α 2)0. 3. Situamos el centro O0, incentro del triángulo formado por la intersección de los dos planos, y dibujamos la circunferencia inscrita en el mismo, que será tangente al citado triángulo en los puntos T 0, T 1 y T 2 . 0

0

4. Las proyecciones de esta circunferencia son dos elipses cuyos elementos vamos a determinar: • Trazamos los diámetros de la circunferencia A0 B0 y C 0T 1 , paralelo y perpendicular, respectivamente, a la charnela o traza horizontal del plano. 0

• Hallamos los puntos afines de A0, B 0, C 0 y T 1 que son los puntos A’, B’, C’ y T 1’, vértices de la elipse proyección horizontal. 0

• El diámetro A0 B0 es paralelo a α1 y pasa por O0; en su afín A’B’ , paralelo a α1, pasa por O’ , afín de O0. La proyección vertical es el diámetro A”B” . • El afín de T 1 es T 1’, por ser un punto de la charnela. El afín de C 0 es C’ ; al unir C 0 con B0, corta en K al eje de afinidad y este punto, unido con B’ , nos fija el C’ . Estos puntos, referidos a la proyección vertical, son C” y T 1”. 0

• En proyección vertical, los segmentos A”-B” y T 1”-C ” constituyen una pareja de diámetros conjugados de la elipse, suficientes para definirla. 5. Determinar los ejes en proyección vertical. Para ello, seguiremos el siguiente procemiento: • Definimos el eje de afinidad, recta intersección del plano α (α1-α2) con el 2º bisector; para ello, dibujamos el punto N , donde el plano corta a L.T., y el punto M , intersección de las proyecciones h’ y h” . Si la recta h” es afín de h’ , el punto M de intersección de ambas pertenece al eje de afinidad; como el punto N de L.T. también es doble, la recta M-N es el eje de afinidad. • Hallamos los puntos afines de T 0, D0, J 0 e I 0 que son los puntos T” , D” , J” e I” , vértices de la elipse proyección vertical. El eje mayor de la elipse, igual al diámetro de la circunferencia, es el segmento I”-J” .


11 8 49/90

G

E

5/17/2018

A


VI T PI R C S

α2

eje

E

V’’

D

β2

Q

AÍ

C’’ J’’ F’’

R

T’’ 2

T

T’’ h’’

M

E

O’’

A’’

h’

D’’

G’’ 1 T’’

N

A’

S R P

T’

F’

I’

J’

O’ T 1o

G

C’

I o

T o

E

H’’ V’

G’ G o

O

D a

E’’

I’’

Ao

M

B’’

T’ 1

T’ 2

F o O o E o

E’ D’

B’

D o

C o

β1

D’ a

J o V o

B o K

T 2 o (α 2 )o

H’ Incentro

α 1 ≡ eje


11 9 50/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 3

PI

Hallaremos las proyecciones de la circunferencia que pasa por tres puntos dados y está contenida en el plano formado por dichos puntos, a partir de su verdadera forma. 1. Se dibujan los puntos A(A’-A”), B(B’-B”) y C(C’-C”) y se determina el plano α(α1-α2) que forman los citados puntos.

C

R S

2. Se abate el plano oblicuo α(α1-α2) sobre el horizontal H ; para ello, seguimos el procedimiento siguiente:

E

• Tomamos un punto P’-P’’ de la traza vertical y como charnela, la traza horizontal α1. El punto N , donde se cortan las trazas, por ser de la charnela, es doble, es decir, es el abatimiento de sí mismo. • Se abate el punto P’-P’’ de la traza vertical α2, para lo cual, con centro en N y radio NP” se corta, a la perpendicular a α1 trazada desde P’ , en el punto P 0, abatimiento del punto P sobre el plano H .

AÍ

• La recta NP 0 es la traza vertical abatida α2, es decir, ( α2)0.

T

D

3. Se abaten los puntos A’-A” , B’-B” y C’-C” del plano α(α1-α2) sobre el horizontal H ; para ello, seguiremos el proceso siguiente:

R

• Los puntos A(A’-A”) y C(C’-C”) forman la recta horizontal r(r’-r”); al ser la proyección horizontal r’ paralela a la charnela, su abatimiento es la recta r 0, también, paralela a la charnela. Por las proyecciones horizontales A’ y C’ de los puntos, se trazan perpendiculares a la charnela que cortan a la recta r 0 en los puntos A0 y C 0.

M

E

• Los puntos B(B’-B”) y C(C’-C”) forman la recta oblicua s(s’-s”). El punto H s’, traza horizontal de la recta, ya está abatido, por pertenecer a la charnela y por lo tanto H s’ y H s coinciden. Este punto H s , unido con C 0, nos da la recta s0, abatimiento de la s. Por la proyección horizontal B’ , se traza la perpendicular a la charnela que corta a la recta s0 en el punto B0. 0

0

• A partir de estos tres puntos A0, B0 y C 0, dibujamos la circunferencia abatida, de centro O0, cuyas proyecciones hemos de obtener. 4. Las proyecciones de esta circunferencia son dos elipses cuyos elementos vamos a determinar: • Trazamos los diámetros de la circunferencia D0 E 0 y F 0G0, paralelo y perpendicular, respectivamente, a la charnela o traza horizontal del plano. • Hallamos los puntos afines de D0, E 0, F 0 y G0 que son los puntos D’ , E’ , F’ y G’ , vértices de la elipse proyección horizontal. • El diámetro D0 E 0 es paralelo a α1 y pasa por O0; en su afín D’E’ , paralelo a α1, pasa por O’ , afín de O0. La proyección vertical es el diámetro D”E” . • El afín de F 0 es F’ ; al unir F 0 con E 0, corta en M al eje de afinidad y este punto, unido con E’ , nos fija el F’ . El afín de G0 es G’ , pues las rectas D0G0 y F’G’ son afines. D’G’ es la proyección horizontal del eje menor de la elipse. 5. Determinar los ejes en proyección vertical. Para ello, seguiremos el siguiente procedimiento: • Trazamos los diámetros de la circunferencia 10 20 y 3040, paralelo y perpendicul ar, respectivamente, a la traz a vertical abatida del plano, en este caso, a ( α2)0. • Hallamos los puntos afines de 10, 20, 30 y 40 que son los puntos 1’ , 2’ , 3’ y 4’ , y los referimos a la proyección vertical, obteniendo los puntos 1” , 2” , 3” y 4” . • 1”-2” y 3”-4” son las proyecciones verticales de los ejes de la elipse.


12 0 51/90

G

E

O

5/17/2018

A


VI T PI

B’’

1’’

R

3’’

α2

C S

v’’ V’’ t

E’’

t’’ D’’ V’’ r

E

O’’

r’’

D

A’’

C’’ 4’’ P’’

AÍ

2’’

R

s’’

T E

u’’ V’ t

V’ r

N

V’ s H’’ s

M

P’

O

H’ s r’

P o V r o

V’’ s o s H’

t’

E G

s’

V t o (α 2 )o

r o

C’ 4’ D’

G’

t o C o

O’

1’

4 o

u’

2’

G o F’

A’

D o

2 o

v o

α 1 ≡ ch

B’ 3’ Ao

O o 1o

u o

E’ M

s o E o

F o B o

3 o


12 1 52/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 4

PI

1. Se dibuja el plano α(α1-α2-α3) paralelo a L.T.

R

2. Se abate el plano sobre el horizontal fijándose la traza (α2)0; en la figura, se puede apreciar que la traza vertical del plano abatida es paralela a α1. 3. Sobre este plano abatido, dibujamos la circunferencia tangente a los planos de proyección en los puntos30 y 7 0; estos

S

C E

puntos se encuentran situados en las trazas α1 y (α2)0, respectivamente. Dividimos la circunferencia en 8 partes iguales, y sobre ellas, colocamos los puntos 10, 20, 30, 40, 5 0, 6 0, 7 0 y 8 0.

D

4. Se desabate la circunferencia dada por estos puntos, para lo cual se trazan los arcos de la figura que es una forma de indicar el desabatimiento.

R

AÍ T E M O E

7’’

α2

8’’

6’’

6’’’ ≡ 8’’’

O’’

5’’

1’’

3’’’

7’ 3’’

6’

8’

O’

5’

4’ α1

5’’’ ≡ 1’’’

4’’’ ≡ 2’’’

2’’ 4’’

G

7’’’

1’

2’ 3’ 3 o 2 o

4 o

1o

O o 5 o

6 o

8 o

(α 2 )o 7 o


12 2 53/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 5

PI

1. Se dibuja el plano α(α1-α2-α3) paralelo a L.T. y la proyección P’ de un punto de este plano.

R

2. Obtenemos la proyección P’’’ de perfil del punto y la r ’’’ de la recta que lo contiene; dibujamos la proyección r ’’ de la recta y, sobre ella, situamos la proyección P” del punto. 3. Para abatir el punto P , se sigue el procedimiento siguiente:

S

C E

3.1. Sobre el plano H :

D

• Se abate el plano sobre el horizontal fijándose la traza (α2)0; en la figura, se puede apreciar que la traza vertical del plano abatida es paralela a α1; la traza horizontal α1, es la charnela o eje de abatimiento.

AÍ

• Por la proyección P’ del punto, se traza la perpendicular y la paralela a la charnela, sobre la paralela, se lleva la cota h del punto y con centro en A y radio A-( P 0)1 se corta a la perpendicular en el punto P 0, abatimiento del punto P del plano α(α1-α2-α3) paralelo a L.T. sobre el plano H . 3.2. Sobre el plano V:

E

T

R M

• Se abate el plano sobre el vertical fijándose la traza (α1)0; en la figura, se puede apreciar que la traza horizontal del plano abatida es paralela a α2; la traza vertical α2, es la charnela o eje de abatimiento. • Por la proyección P” del punto, se traza la perpendicular y la paralela a la charnela, sobre la paralela, se lleva el alejamiento a del punto y con centro en B y radio B-( P 0)1 se corta a la perpendicular en el punto P 0, abatimiento del punto P del plano α (α1-α2-α3) paralelo a L.T. sobre el plano V .

(α 1 )o

P o

α2

r o

B

P’’

P’’’ r’’’

r’’

(Po )1 h

a

α3

h a

(Po )1

α1

P’

r’

A

P o

r o

(α 2 )o


12 3 54/90

G

E

O

5/17/2018

A


VI T

Actividad 6

PI

1. Se dibuja el plano α ( α 1- α 2) y las proyecciones A’ y B’ , de los puntos A y B, con ayuda de las rectas horiz ontales r( r’-r ”) y s(s’-s”) de este plano situamos las proyecciones A” y B” de los puntos. 2. Se abate el plano α ( α 1-α 2), por ejemplo, sobre el horizontal H . Este problema se resuelve siguiendo las siguientes instrucciones:

C

R

• Tomamos, por ejemplo, la traza vertical V(V’-V”) de la recta s y como charnela la traza α 1; por V’ se trazan la perpendicular y la paralela a la charnela y sobre la paralela se toma la cota del punto V , es decir, V’(V)0 = V”V’ ; con radio M-(V)0 se traza la circunferencia que corta a la perpendicular en el punto V 0, abatimiento de la traza V sobre el plano H .

E

S

• La recta NV 0 es (α 2)0, abatimiento de la traza α 2 del plano.

AÍ

D T

R

3. Se abaten los puntos A’-A” y B’-B” sobre el plano H , obteniendo A0 y B0. Dibujamos el triángulo equilátero A0- B0-C 0, figura F 0; trazando la horizontal to por el punto C o, se obtiene t’ y t’’ y en ella el punto C’-C’’ , tercer vértice del triángulo, figura F’-F’’ .

O

M

E E

α2

V’’

B’’

s’’

F’’

t’’ N

G

A’’

r’’

h

C’’

V’ s’

B’

t’

M

r’

(V)o

A’ h

t o

F’

V o s o B o C’

F o

C o

α 1 ≡ ch

r o

A o (α 2 )o


12 4 55/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 7

PI

1. Se dibuja el plano α ( α 1- α 2), el centro O(O’-O”) y las proyecciones r’-r” de la recta tangente.

R

2. Se abate el plano α(α 1-α2), por ejemplo, sobre el vertical V . Este problema se resuelve prosiguiendo las instrucciones siguientes: • Tomamos, por ejemplo, el punto H(H’-H”) de la traza α1 y como charnela la traza α2; por H” se traza la perpendicular

S

C E

a la charnela y con radio NH’ se traza la circunferencia que corta a la perpendicular en el punto H 0, abatimiento de la traza H sobre el plano V .

D

• La recta NH 0 es (α 1)0, abatimiento de la traza α 1 del plano.

AÍ

3. Se abate la recta r’-r” y el centro O’-O” sobre el plano V , obteniendo r 0 y O0. Dibujamos la circunferencia, figura F 0, de centro O0 y tangente, en el punto P 0, a la recta r 0.

T

R

4. Se desabate la circunferencia siguiendo el procedimiento explicado en la actividad Nº 3, teniendo en cuenta que el plano se ha abatido sobre el plano V .

M

E O

2 o

E

o

B F o

G

C o

h o

1o s o (α 1 )o α 2 ≡ ch

O o

P o

3 o

s’’

Ao D o 4 o

3’’

r o

D’’

C’’

H o 4’’

F’’

h’’

2’’

O’’ r’’ f’’

A’’

H’’ N

B’’

1’’ P’’

H’’ r

V’ r

r’

3’

4’ s’

H’ f’

A’

O’

C’ h’

P’ F’

2’

1’ H’ r

α1


12 5 56/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 8

PI

Las rectas, por ejemplo, son r y s, y los ángulos que forman con α 1 60º y 50º respectivamente.

R

1. Se dibuja el plano α ( α 1- α 2) y el punto O(O’-O”).

C S

2. Se abate el plano α ( α 1- α 2), por ejemplo, sobre el vertical V . Este problema se resuelve del modo siguiente: • Tomamos, por ejemplo, el punto V(V’-V”) de la traza y como charnela la traza ; por V’ se traza la perpendicular α 2 que corta a la perpendicular α 1 en el punto V , abatimiento del a la charnela y con radio NV” se traza la circunferencia 0 punto V sobre el plano H .

E

• La recta NV0 es (α2)0, abatimiento de la traza α 2 del plano sobre H .

AÍ

3. Se abate el centro O’-O” , utilizando para ello la recta horizontal h(h’-h”), sobre el plano H , obteniendo O0. Dibujamos las dos rectas, r 0 y s0, que forman con L.T. 60º y 50º y cortan, respectivamente, a la charnela en los puntos H r y H s .

D

0

T

R

0

4. Se desabaten las dos rectas; para ello, debemos seguir el proceso siguiente:

E

• Los afines de H r y H s son los puntos H r ’ y H s’, pues son puntos dobles por pertenecer a la charnela. 0

M

0

• Uniendo H r ’ y H s’ con O’ obtenemos r’ y s’ ; del mismo modo, al unir H r ” y H s” con O” definimos r” y s” .

O E G

α2

V’’ r

V’’ h

s’’

h’’

O’’

r’’

V’’

N

V’ r

V’ h

V’

H’’ r

H’’ s h’ M

s’

H’ s

O’

H s o

V o

o

5 0

r’

s o o

0 6

V h o

7 0 o

h o

r o

H’ r H’ r o α 1 ≡ ch

O o V r o (α 2 )o


12 6 57/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 9

PI

1. Se dibuja el plano α ( α 1- α 2).

R

2. Se abate el plano α( α1-α 2), por ejemplo, sobre el vertical V . Este problema se resuelve prosiguiendo las instrucciones siguientes: • Tomamos, por ejemplo, el punto H(H’-H”) de la traza α1 y como charnela la traza α2; por H” se traza la perpendicular

S

C E

a la charnela y con radio NH’ se traza la circunferencia que corta a la perpendicular en el punto H 0, abatimiento de la traza H sobre el plano V .

D

• La recta NH 0 es (α 1)0, abatimiento de la traza α 1 del plano sobre V .

AÍ

3. Sobre las trazas (α 1)0 y α 2, situamos los vértices, A0 y B0, del cuadrado A0- B0-C 0- D0 de lado 40 mm. y, a partir de ellos, dibujamos el cuadrado.

T

R

4. A partir de los vértices abatidos del cuadrado A0- B0-C 0 y D0 se obtienen las proyecciones del mismo.

E M O E

4 0

(α 1 )o

G

α 2 ≡ ch

D o C o

r o H r o

s o

M C’’

Ao B o B’’

H s o H o

s’’ D’’ r’’

H’’ s N

H’’

A’’

H’’ r

B’

H’ s’

H’ s

C’

A’

H’ r

r’

D’

α1


12 7 58/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 10

PI

1. Se dibuja el plano α ( α 1-α 2) proyectante vertical que contiene al triángulo equilátero.

R

2. Se abate el plano sobre el vertical V fijándose que la traza (α 1)0, es decir, la traza horizontal del plano abatida es perpendicular a α 2. 3. Se construye el triángulo equilátero A0- B0-C 0 y se desabate. Las proyecciones verticales de los vértices A”-B”-C”

S

C E

están en α 2 y las proyecciones horizontales se obtienen sabiendo que el alejamiento de los puntos es la distancia de los puntos abatidos a la traza vertical del plano. El punto A tiene de alejamiento A0- A” ; el B, B0- B” y el C , C 0-C” , para lo cual se trazan los arcos de la figura que es una forma de indicar el desabatimiento del plano o de llevar los alejamientos respectivos de los puntos.

R

AÍ

D T E M

C o

O t o

b o

E G

(α 1 )o

a o

r’’ ≡ s’’ ≡ t’’

Ao

α 2 ≡ ch

c o

A’’

B o s o

r o

C’’

a’’ ≡ b’’ ≡ c’’ B’’

r’

A’

c’ s’ B’ b’ a’

t’ C’ α1


12 8 59/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 11

PI

1. Se dibuja el plano α (α 1-α 2-α 3) paralelo a L.T. cuyas trazas α 1 y α 2 distan de aquella 9 y 6 cm respectivamente; sobre él, situamos el centro O(O’-O”-O’’’) de cota 25 mm, mediante la recta horizontal s(s’-s”-s’’’). 2. Se abate el plano sobre el horizontal fijándose la traza (α 2)0, y la recta s y el centro O, obteniendo s0 y O0; en la figura, se puede apreciar que la traza vertical del plano abatida y la recta s0 son paralelas a α1, charnela o eje del abatimiento.

C

R

3. Sobre este plano abatido, dibujamos la circunferencia de radio 35 mm. y centro O0. Dividimos la circunferencia en 8 partes iguales, y sobre ellas, colocamos los puntos 10, 20, 30, 40, 5 0, 6 0, 7 0 y 8 0.

E

S D

4. Se desabate la circunferencia dada por estos puntos, para lo cual se trazan los arcos de la figura que es una forma de indicar el desabatimiento.

R

AÍ T E M O E G

α2 α3

7’’

u’’ 8’’

6’’

7’’’ 6’’’ ≡ 8’’’

r’’ m c 6

s’’

5’’

O’’

1’’ s’’’

m

t’’ m 5

4’’ 2

O’’’ ≡ 5’’’ ≡1’’’ 4’’’ ≡ 2’’’

2’’ 3’’ v’’

7’

u’

r’

6’

8’

m c 9

s’

5’

O’

1’

t’ 4’

2’ 3’

α1

3 o

v’ v o

t o

4 o

s o

5 o

2 o

O o 1o

3 5

6 o

r o

8 o 7 o

u o

(α 2 )o


12 9 60/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 12

PI

1. Se dibujan los puntos A(A’-A”) y B(B’-B”).

R

2. La distancia que les separa tiene por proyecciones d’-d” .

S

C

3. Haciendo un cambio de plano vertical la distancia D es la verdadera magnitud buscada, pues la recta, con este cambio de plano, pasa a ser frontal. El cambio de plano se realiza del modo siguiente:

E

• Se traza, a una distancia cualquiera, una nueva L.T paralela a d’ , y se obtienen las proyecciones A” 1 y B” 1 de los puntos dados, teniendo en cuenta que se mantiene el valor de cotas, esto es, hA y hB. Se verifica MB” = PB” 1 y NA” = RA” 1. • La distanciad’-d” , al cambiar el plano vertical por otro V 1, tiene por proyección vertical d” 1, es decir, D, verdadera magnitud de la distancia entre los puntos A y B.

AÍ

D T

R E M O

B’’

E

d’’

G

A’’

B

h

A

h

V M

N

H

A’ d’ R A

h

B’

P

A’’ 1

H V 1

d’’ 1 ≡ D B

h

B’’ 1


13 0 61/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 13

PI

Se sabe que una recta frontal se proyecta en verdadera magnitud sobre el plano V . Según esto, la recta oblicua dada r(r’-r”), por medio de un cambio de plano, se puede colocar frontal en r’-r” 1. 1. Se dibuja la recta r(r’-r”), sus trazas H(H’-H”) y V(V’-V”), y un punto cualquiera P(P’-P”) de la misma; a partir de este punto hemos de llevar sobre ella, en ambos sentidos, el segmento de longitud d.

C

R E

S

2. El cambio de plano se realiza del modo siguiente:

D

• Se dibuja, a una distancia cualquiera, una nueva L.T. paralela a r’ , y se obtienen las proyecciones H” 1 y V” 1 de las trazas y las proyecciones verticales r” 1 y P” 1 de la recta y del punto.

AÍ

• Sobre la proyección vertical r” 1 se toma a partir de P” 1 el segmento d = 30 mm, y los puntos A” 1 y B” 1, al deshacer el cambio, nos dan los puntos A’-A” y B’-B” .

T

R E M O

V’’

E

r’’

B’’

G

P’’ h

A’’

H’’

V

V’

H H

r’

V 1

B’ V’ 1 P’

A’ h

H’

A’’ 1

P’’ 1

B’’ 1

H’’ 1

r’’ 1 d = 3 0 m m

V’’ 1

d = 3 0 m m

D = 6 0 m m


13 1 62/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 14

PI

Se sabe que una recta frontal se proyecta en verdadera magnitud sobre el plano V .

R

1. Se dibuja el plano α (α 1-α 2) y el punto P(P’-P”).

C S

2. La distancia que les separa tiene por proyecciones d’-d” . 3. Se elige un nuevo plano vertical V , tomando la L.T. nueva, perpendicular a la traza del plano y queda éste, 1 α1 después del cambio, proyectante vertical. La nueva traza vertical pasará por el punto N donde α 1 corta a la L.T. La traza α 2 se obtiene cambiando el punto A’-A” de la traza α 2.

E

4. Se cambia el punto y la distancia de P” 1 a α ’ 2 es la pedida en verdadera magnitud y situada en una frontal; por P’ se traza la paralela a L.T. nueva y se obtiene C’ al referir C” 1 y después C” . De esta forma obtenemos la distancia d’d” en proyecciones y la verdadera magnitud d” 1 = D.

AÍ E

T

R

D

M

α2

O

A’’

E G

α’ 2

A’’

C’’

D d ’ 1’ =

d’’ h

P’’ 1

P’’ 1

h

C’’ 1 h

V A’

H

h 1

P’

N

V

d’

C’

1

H

α1


13 2 63/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 15

PI

Para comprender mejor el ejercicio, hemos dibujado una pirámide de base triangular cuyas generatrices son rectas oblicuas. 1. Se dibuja la pirámide de base triangular; los vértices del triángulo son los puntos 1(1’-1”), 2(2’-2”) y 3(3’-3”), las generatrices son las líneas oblicuas r(r’-r”), s(s’-s”) y t(t’-t”), y el vértice de la pirámide el punto V(V’-V”).

C

R

2. La recta oblicua r(r’-r”) se gira alrededor del eje e’-e” , perpendicular al plano horizontal H , y se transforma en una recta frontal. Como una recta frontal tiene su proyección horizontal paralela a L.T., el ángulo girado ha de ser tal que permita colocar r’ según r’ 1, paralela a L.T. Según esto, se traza r’ 1 por V’ , paralela a L.T. y se gira el punto 1’-1” hasta la posición 1’ 1-1” 1. La recta girada queda en la posición r’ 1- r” 1, que es frontal, y, por lo tanto, r” 1 es la verdadera magnitud, D, de la generatriz r .

E

S

3. Para obtener la verdadera magnitud del resto de generatrices se procede del mismo modo.

R

AÍ

D T E M O

V’’

E G

r’’

s’’ 1 s’’

e’’

t’’

t’’ 1

r’’ 1 3’’ 1 2’’ 1

1’’ 1

1’’

2’’

3’’

1’

r’

r’1

1

s’ 2’ 1

t’ 1 e’

1’ 1

3’1

V’ t’

s’

3’

2’


13 3 64/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 16

PI

Para resolver el ejercicio, trazaremos desde un punto cualquiera P(P’-P ”) de la L.T. la recta r perpendicular al plano dado, determinaremos el punto I(I’-I”) de intersección de esta recta con el plano, y hallaremos el ángulo γ que forma la recta s, que se obtiene uniendo I con el punto N de intersección de las trazas del plano, con la L.T. 1. Se dibuja el plano α (α 1-α 2) y un punto cualquiera P(P’-P ”) sobre la L.T.

S

2. Por el punto P(P’-P”), se traza la recta r(r’-r”) perpendicular al plano dado.

E

C

R

D

3. Se determina el punto de intersección I(I‘-I”) de la recta r(r’-r”) con el plano α (α 1-α 2).

AÍ

4. Se dibuja la recta s(s’-s”) uniendo el punto I con el punto N . 5. El ángulo pedido es el que forman la L.T. y la recta s(s’-s”). Se abate la recta s sobre el plano vertical por medio del punto I’-I’’ , que abatido es I o; la recta s abatida es so y el ángulo γ que forma con L.T. es el ángulo que forma el plano α con L.T. 6. E l ángul o γ que forma la recta s0 con la L.T. es el ángulo que forma el plano α (α 1-α 2) con la misma.

E

T

R M O

α2

E G

β2

V’’

I o

r’’ ≡ i’’

I’’

s o

r o

s’’ h

γ

N o

P o

V’

N’ ≡ N’’

M

ch

P’ ≡ P’’

H’’

i’ s’

I’

(I ) o h

r’ β1

H’ α1


13 4 65/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 17

PI

Sea la recta r(r’-r’’) que corta en A(A’-A’’) a L.T. Para hallar el ángulo α que forma r con L.T. basta abatir, por ejemplo, sobre el plano H , el plano que ellas forman. La charnel a ch es la L.T. Se toma un punto P(P’-P ’’) de la recta r y se abate sobre H ; sobre la paralela por P’ a L.T. se toma h = MP = P’N y con centro en M y radio MN se obtiene P o. La recta A0 P 0 es el abatimiento r 0 de r . El ángulo α pedido es el que forma r 0 con L.T.

E

S

C

R

D AÍ R

r’’

T E M

P’’

O E G h

A’’

M

ch

A’-Ao α

h

N P’

r’

P o

r o


13 5 66/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 18

PI

1. Se dibuja la traza horizontal α1 del plano dado que forma 45º con la L.T. y el punto N , intersección de α1 con L.T.

R

2. Se traza, por un punto cualquiera de α1, una recta r(r’-r”) que es l.m.p. del plano dado, es decir, r’ será perpendicular a α1, obteniendo H’-H” y V’ . 3. Para hallar la traza vertical V” de la recta r , y, por medio de ella, la proyección vertical del plano, seguiremos el

S

C E

procedimiento siguiente:

D

• A partir de H’ , y tomando r’ como lado del ángulo, se traza el ángulo de 60º que forma el plano con el plano H ; por V’ trazamos la paralela a α1 que corta al otro lado del ángulo de 60º en el punto V 0, abatimiento sobre H de la traza vertical V de la recta r .

R

AÍ

• Desabatimos V 0 y definimos V” ; uniendo N y V” determinamos α2, traza vertical del plano.

T

4. La traza V” , y con ella α2, se puede obtener también girando la recta r sobre el plano V , tal y como se aprecia en la figura.

M

E O

V’’

E G

α2

h r o

r’’

6 0 o

H o N

o

V’ H’’

5 4

90 o r’

h

60 o H’

r o

α1

V o


13 6 67/90

5/17/2018

A


VI

SISTEMA DIÉDRICO IV

T R

PI C S

11

E D

TEMA

R

AÍ T E M

Actividad 1

O

1. Se dibuja el plano α1-α2 proyectante horizontal, y se abate, por ejemplo, sobre el vertical, estando su traza horizontal abatida (α1)o, sobre la L.T. 2. Se construye el triángulo A0- B0-C 0 en el abatimiento; se hallan las proyecciones de este triángulo y se determina el centro O’-O” de dicha cara. 3. Por el punto O’-O’’ se traza la perpendicular al plano, que es una horizontal de plano y se lleva sobre ella la altura h del tetraedro, determinada previamente por el triángulo rectángulo N-O0- B0.

α2

h C’’

o

C

N

V’’

O’’

Ao

O o

A’’ B’’

B o 3 0 m m

(α 1)o A’ 4 5

o

O’ C’ B’

V’ h

α1


13 7 68/90

G

E

5/17/2018

A


VI T

Actividad 2

PI

Las aristas horizontales son, por ejemplo, la 1-2 y la 3-4; estas aristas se cruzan perpendicularmente entre s í y se proyectan, sobre el plano horizontal, en verdadera magnitud, formando el cuadrado que indica la figura. En proyección vertical estas aristas están separadas por la cota – h-, que es la mínima distancia entre dos aristas opuestas.

C

R

El modo de hallar h se indica en la figura, y como aclaración s e puede ver la perspectiva del sólido y el tr iángulo rectángulo formado N-1-M .

E

S AÍ

D R T

4’’

3’’

E

V’’ s

s’’

M O E h

G r’’

V’’ r

1’’

2’’ V’ s

V’ r

r’ s’ 1’

4 3’

N 4 0

4’

2

2’

1

M

h

3


13 8 69/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 3

PI

La proyección horizontal del hexaedro regular que tiene una diagonal perpendicular al plano H es un hexágono regular. Los triángulos 1’-5’-7’ y 2’-4’-6’ son equiláteros y tienen por lado la diagonal d de una cara en verdadera magnitud; el procedimiento para determinar el valor de d se puede observar en la figura A que se adjunta al dibujo.

S

C

R

Se halla el valor de la diagonal D del hexaedro, tal y como podemos ver en las figuras adjuntas B y C .

E

En proyección vertical, se toma la diagonal 3-8 perpendicular a L.T. Se divide en tres partes iguales y por dichas divisiones se hacen pasar planos horizontales que contienen a los triángulos equiláteros citados anteriormente. Como se ve, los puntos 1”-5”-7” , tiene la misma cota y lo mismo sucede con los puntos 2”-4”-6” .

R

AÍ

D T E

Figura A

M

d

O

3’’

E m m

3/

G 0

D 3 = a

2’’

4’’

6’’

/3 D D

5’’

7’’

A

1’’

Figura B 3/ D D

8’’ d

7’ 6’ B

C

A

m m 3 0 = a

2’ 8’

d

3’ 5’

D

1’ 4’

Figura C

B

d

3/ D

A = 3 0 m m

C


13 9 70/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 4

PI

En proyección horizontal, la cara inferior y la superior se proyectan según dos triángulos equiláteros inscritos en una circunferencia. En proyección vertical, estas dos caras están separadas por la cota h. Según sea la posición de la cara situada en el plano H , el octaedro se proyecta tal y como indican las figuras.

C

R

La cota h es el cateto de un triángulo rectángulo, cuya hipotenusa es la apotema de una cara y el otro cateto, la proyección sobre el plano horizontal de la citada apotema.

E

S AÍ

D R T E M O

30 mm 4’’ ≡ 5’’

6’’

5’’

4’’

E G

6’’

h h

1’’ ≡ 2’’

3’’

1’’ 3’’

5’

5’

2’

3 0 m m

1’ m m 0 3

N

3’

2’

6’

1’

N

4’ h

4’

2’’

6’

6 o 6 o

3’ h


14 0 71/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 5

PI

1. Se dibuja el plano α ( α 1-α 2-α 3) paralelo a L.T. que forma 30º con el plano H , teniendo en cuenta que el prisma hexagonal regular tiene una cara lateral en este plano, es decir, α3 = 30 mm. 2. La proyección de perfil del prisma es un hexágono regular, una de cuyas aristas, por ejemplo, la 4-10, se encuentra en H , y otra cara lateral, en nuestro caso la formada por los puntos 6-12-5-11, se encuentra apoyada en el plano V .

C

R

3. Dibujamos las proyecciones horizontales y verticales de las aristas laterales del prisma de longitud60 mm, es decir, en verdadera magnitud, dado que estas rectas son paralelas a la L.T.

E

S D

4. Las proyecciones verticales y horizontales de las rectas que definen las bases del prisma se encuentran en planos de perfil, y, en consecuencia, son perpendiculares a la L.T.

R

AÍ T E M O

60 mm 1-7

1’’

7’’

8’’ 12’’

6’’ 2’’

9’’ 11’’

5’’ 3’’

5 -11 o

0 3

1’’ 11’ 12’

4’’ 5’ 6’

7’ 10’

4’ 1’

8’

9’

G 2 8

6-12

α2

E

3 0 m m

3 0 m m

3 9

α

3

4 10

α1

3’ 2’


14 1 72/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 6

PI

1. Situada la cara 1672 en el plano H , se abate sobre H el pentágono de una de las bases, 1’-5 0-40-30- 2’ . La charnela es la arista básica 1’-2’ . Este abatimiento nos indica las alturas o cotas de los puntos 3–4 y 5 , que son h y h1. 2. Las aristas laterales son horizontales de plano, y, por lo tanto, sus proyecciones horizontales medirán 60mm, que es su verdadera magnitud, y las verticales serán paralelas a la L.T.

C

R E

S D AÍ

9’’

R T

4’’

E 8’’

10’’

M

3’’

5’’

h

1

O E

h

6’’ 7’’

1’’ 2’’

G

8’

7’ h c

9’

h 1

6’ 3’

h

10’ 2’ 3 o 4’ 6 0 m m

1’ 4 o 5’ 5 o

m m 2 0


14 2 73/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 7

PI

1. Se dibuja el plano proyectante horizontal α(α1-α2) que contiene la base de la pirámide regular.

R

2. Este plano se abate sobre H y en el abatimiento se sitúa el polígono básico que es el cuadrado 1’ - 20-30-40; tomamos como charnela la traza α1. 3. Se desabate este polígono, y se obtienen las proyecciones de la base del prisma.

S

4. Por el centro del cuadrado O’-O” , intersección de las diagonales del mismo, se traza la altura de la pirámide, recta r’-r” perpendicular a α(α1- α2).

D

C

5. Sobre la proyección vertical r” de la recta, y a parir de O” , se lleva en verdadera magnitud, puesto que r’-r” es frontal de plano, la altura h = 60 mm de la pirámide, obteniendo V” .

AÍ

E R

6. Dibujamos V’ sobre r’ y las aristas que definen a la pirámide.

T E M O E G

α2

V’’

6 0 m m

3’’ r’’ 2’’ 4’’

O’’

1’’

1’ V’

r’

1o

4’

2’

2 o

O o O’

3’

4 o

3 o

m m 2 0

α 1 ch


14 3 74/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 8

PI

1. Se dibuja la generatriz g’-g” que se encuentra situada en el plano H .

R

2. Abatiendo sobre H la base, se obtiene la circunferencia de radio R = 20 mm y centro O0, tomando C 0-O0 = R .

C

3. El triángulo rectánguloV’O0C’ está formado por la generatriz C’-V’ = g’ , como hipotenusa, y sus catetos son el radio C’-O0 = 20 mm y la altura O0-V’ = 70 mm del cono; V” se encuentra en g” sobre la L.T.

S

4. Obtenido el punto O , se traza la perpendicular a g’ , obteniendo la proyección horizontal O’ del centro, cuya cota es 0 h = O’-O0. En la figura adjunta A, se representa con más detalle lo expuesto anteriormente.

D

E

5. La traza horizontal del plano que contiene a la base es α1 y la traza vertical α2 se obtiene por medio de la horizontal r’-r” que pasa por O’-O” .

AÍ

6. Desabatimos la circunferencia contenida en el plano α (α 1-α2), tomando como charnela la traza α1, obteniendo la elipse de ejes A’-B’ y C’-D’ , proyección horizontal de la base del cono; la proyección vertical de la base del cono es la elipse de diámetros conjugados A”-B” y C”-D” .

E

T

R M

V’

Figura A

O E

g’

G

E

C’

O’

h

m m 7 0

α2

D’’

O o 3’’

2’’ 1’’ V’’ r

A’’

4’’ B’’

O’’

8’’

h

5’’

7’’

V’ r

N

r’’

V’’

6’’ C’’

g’’

M V r o

s’

V’

r’ s o

(α 2)o

A’

g’

1’ 8’

2’

8 o

Ao

7’ 7 o

1o

C o C’

O’

D’

h

3’

O o

2 o

6 o

6’ 5’

D o

0 R 2

E

4’ B’

O o

5 o 3 o 4 o

B o

α 1 ch


14 4 75/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 9

PI

1. Se dibuja el eje del cilindro de revolución que es la recta de perfil (e’-e”-e), y las trazas horizontal (H’-H”-H) y vertical (V’-V”-V) del mismo. 2. Para obtener las proyecciones del cilindro considerado en el primer cuadrante, se dibuja la circunferencia correspondiente a una sección recta, cuyo diámetro es igual al del cilindro, y se divide en un número determinado

C

R

de partesque iguales, enplanos la figura; por estos puntos se trazan generatrices cilindro, rectascorrespondientes. paralelas al eje (e’-e”-e), cortan12 a los de proyección en una serie de puntos, los cualesdel definen las elipses En la proyección vertical de la figura, se puede apreciar la elipse, cuyos ejes son: 9”-3” el eje mayor y el eje menor 6”-12” = D, diámetro del cilindro, y que está formada por los puntos (1”-2”-3”-4”-5”-7”-8”-9”-10”-11”-12”), y en la proyección horizontal está definida por los puntos correspondientes.

E

S

3. Para obtener el desarrollo de la superficie comprendida entre la sección recta que pasa por la L.T. y el plano horizontal β se procede del modo siguiente:

R

AÍ

D

E

T

• En la proyección de perfil, se dibuja el plano α que pasa por la L.T. y es perpendicular al eje del cilindro, el cual produce la sección recta deseada; por el punto 3, punto más bajo de dicha sección, se traza el plano horizontal β.

M

• Las generatrices trazadas anteriormente, las que pasan por los puntos 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12, y que son cortadas por los planos α y β, permiten determinar el desarrollo de la superficie definida entre los planos α y β; en esta proyección de perfil las generatrices están en verdadera magnitud. • Se toma sobre una recta r el segmento L = 2 π R =2 × 3,1416 × 20 = 125,664 mm, es decir, la longitud de la circunferencia base; esta segmento se divide en 12 partes iguales. Se trazan las generatrices perpendiculares a la recta r y sobre ellas se llevan sus longitudes, cuya magnitud es igual al valor de las generatrices correspondientes tomadas directamente de la proyección de perfil. El valor de la generatriz mayor 9-N = h. • La transformada en el desarrollo de la sección por el plano β es una curva con dos puntos de inflexión en R y S .


14 5 76/90

G

E

O

5/17/2018

A


VI T PI

9’’ 8’’

C

9

8

7’’

R

10’’

10 0 R 2

7

11 12 ≡ 12’’

V

e’’

5’’

10

T

h

1’’

E

8

3 4’’

R

e

1

2

AÍ

9

1

4

D

11 12

5

E

α

V’’

6 ≡ 6’’

S

11’’

R 2 0

2

2’’

M

7

3’’

N

H’’ 3’

4

4’

O

6

3

V’

β

E

H

5

G

2’

5’

1’ e’ 12’

6’

H’

7’

11’ 10’ 8’ 9’

Longitud de la circunferencia base = 125,664 mm

r

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1

2

3

h

S

R

N


14 6 77/90

5/17/2018

A


VI T

Actividad 10

PI

1. Trazamos las proyecciones horizontal, vertical y de perfil del cilindro de revolución de radio R = 15 mm, cuyo eje (e’-e”-e) es paralelo a L.T.

C

3. El plano de perfil β(β1- β2) corta también al sólido definiendo la sección recta, cuya proyección de perfil es el círculo

E

R

2. Se dibuja el plano α(α1-α2) proyectante vertical, que al cortar al cilindro dado produce una sección, cuya proyección horizontal es la elipse, que tiene por ejes los segmentos A’-B’ y C’-D’ . formado por los puntos 1-2-3-4. 4. Para obtener el desarrollo de la superficie comprendida entre ambos planos se procede del modo siguiente: • Las generatrices que vamos a utilizar para determinar el desarrollo son las formadas por los pares de puntos siguientes, B-1, D-4, A-3 y C-2, cuyas proyecciones horizontal y vertical respectivas (B’-1’, D’-4’, A’-3’ y C’-2’) y (B”1”, D”-4”, A”-3” y C”-2”) están en verdadera magnitud. • Se toma sobre la recta r el segmento de longitud L = 2πR =2 × 3,1416 × 15 = 94,248 mm, es decir, la longitud de la circunferencia base. Este segmento se divide en 4 partes iguales, puntos 1-2-3-4. Se trazan las generatrices perpendiculares a la recta r y sobre ellas se llevan sus longitudes; asi, 1-B = 1”-B” = 1’-B’ ; 2-C = 2”-C” = 2’-C’ ; 3-A = 3”-A” = 3’-A’ ; 4-D = 4”-D” = 4’-D’ , tomándolas directamente de la proyección vertical o de la horizontal. Los puntos obtenidos, B, C, A, D y B, se unen por medio de una curva que es la trasformada de la sección, es decir, de la base oblicua del tronco.

S

O

M

E

T

R

AÍ

D

α2 β2

C ≡ D’’

e’’

2’’ 4’’

4

C 2 e

A’’

e’

G D

A -3

3’’

C’

E

1 R 5

B -1

1’’

B’’

2’

B’

A’

1’ 3’

4’

D’ α1

β1

A

A’’ C

D B

C’’-D’’ B

B’’

r 1

4

3

2

1

3’’

2’’-4’’

1’’

Longitud de la circunferencia base = 94,248 mm


14 7 78/90

5/17/2018

A


VI

SISTEMA AXONOMÉTRICO ORTOGONAL

T R

PI C

13

ES D

TEMA

R

AÍ T E M O E G

1

2

3

4


14 8 79/90

5/17/2018

A


VI T PI 5

R

6

C ES D AÍ R T E M O E G


14 9 80/90

5/17/2018

A


VI T 1

PI

2

R C ES D AÍ R T E M O E G

3

4

5

6


15 0 81/90

5/17/2018

A


VI T PI

Ø145

R

Ø125

C

Ø46 Ø30 Ø16

ES D 5 1

AÍ ,5

Ø16 7 2

R 0

T 5

7 1

E M O E 5 1

G

4 agujeros a 90º / Ø80 Ø165

120 0 8 Ø Ø 4 8 0 2

0 4

5 1

0 0 1 0

Ø70 13

Ø14

0 2 0 1

Ø36 4 agujeros a 90º / Ø120 Ø165


15 1 82/90

5/17/2018

A


VI T PI R

145

C

4 8 2 6

4 4

ES

2 5

D 6 8

AÍ

0 5

R 2 1

T E M O E

4 0 5

G

4 2

8 7

8

7 Ø 2 3 0

84

R 1 0

47 5

7 3 R 1

A

Corte A-D

R 4 9 9 3

12 122

1

10

16 9 5

50

1 0 1

Visto por A 2 2 2 4

5 2

Ø27 Ø49 2 0

2 0

C D

5 7

B A

4 9

139 200


15 2 83/90

5/17/2018

A


VI

SISTEMA AXONOMÉTRICO OBLICUO PERSPECTIVACABALLERA

T

4 TEMA 1

ES

C

R

PI

R

AÍ

D T E M O E G

o

45

o

45


15 3 84/90

5/17/2018

A


VI T PI R C ES D AÍ R T E M EO G


15 4 85/90

5/17/2018

A


VI T PI R C ES D AÍ R T E M EO G


15 5 86/90

5/17/2018

A


VI

SISTEMA CÓNICO DE PERSPECTIVA LINEAL (II)

T

ES

C

R

PI

D

16

AÍ R

TEMA

E

T M EO

Actividad 7 (Fig. 28 - Pág. 236)

G

P ≡ V’’

D

D’

LH

B M

N

R A

H

Q

h

cuadro C 1 1

2

3

4 M’

5

6

R

7

8

9

8

9

N’ Altura = H

A’ B’

Q’

V’ 1

2

3

4

5

6

7

cuadro C


15 6 87/90

5/17/2018

A


VI T


PI R C

α2

F’’ 1

V’’ ≡ F’’ 2

P’’

ES D

5’’

1’’

7’’ 8’’ 4’’

3’’

G’’ 4’

E’’

6’’

R T

A’’ 1

2’’ D’’

E M

B’’

C’’

3’ 7’

8’

AÍ

A’’ 2

A’ 1 -A’’ 2

EO

α1

F’ 2

G

B’

C’ 2’ 6’ P’ D’

1’ 5’

7 0 m m

E’

30 o

G’ H’ 1 ≡ H’ 2

Plano del cuadro C

V’

F’ 1

F 1

F 2

P

LH

6 8 5

H 2

2 ωc

4 1

H 1

βc

F’1

H’1 - H’2

G ≡ G’

E ≡ E’

D ≡ D’

P’

C ≡ C’

F’ 2 B ≡ B’

A2

A1

A’1 ≡ A’2


15 7 88/90

5/17/2018

A


VI T


PI R C ES D AÍ LH

R

P-V’’

T E M

7

8

6

5 4

3

1

EO

B’’

B’’ 1

G

2 3’’ 7’

6’ 2’

3’ B’ 1

B’

V’

4’-8’

1’-5’

Plano del cuadro trasladado C’ Cuadro C


15 8 89/90

5/17/2018

A


VI T


PI R C ES D

P-V’’

AÍ

LH

R T

3 B’’ 1

4

2’’ 4’’

E

2

B’’

M EO

1

3’’

1’’

G 4’

B’ 1

3’

1’

V’

Plano del cuadro trasladado C’

Cuadro C 2’

http://slide pdf.c om/re a de r/full/de sc r iptiva -soluc iona r io

90/90

Descriptiva-Solucionario

Recommend Documents