DERIVADAS_PARCIALES__MAXIMOS_Y_MINIMOS_

Apuntes Prof: Jeanette Reyes R.

1

DERIVADAS PARCIALES MAXIMOS Y MINIMOS Extremos de una función de varias variables Sea z = f(x,y) continua y derivable (primeras y segundas derivadas), calculando:

=0

=0 Si:

A =

B=

C = C =

Sea el discriminante: 1°. Si

∆

∆

= AC – AC – B2 , entonces:

> 0, la función tiene un extremo en el punto P(a, b) y este es

a) un máximo si A si A < 0 (o C < C < 0 ) b) un mínimo si A si A > 0 (o C > 0 ) 2°. Si

∆

< 0, en el punto P(a, b) b) no existe extremo.

3°. Si

∆

= 0, la existencia de extremo de la función en el punto P(a, b) queda

indeterminada. La función f(x, y) tiene un Máximo Local en el punto ( x 0 , y 0 ) si f ( x, y ) < f ( x 0 , y 0 ) para todos los puntos (x, y) lo suficientemente cercanos a ( x 0 , y 0 ) con excepción de ( x 0 , y 0 ) mismo.


2

La función f(x, y) tiene un Mínimo Local en el punto ( x 0 , y 0 ) si f ( x, y )

> f ( x0 , y 0 )

para todos los puntos (x, y) lo suficientemente cercanos a ( x 0 , y 0 ) con excepción de

( x 0 , y 0 ) mismo. El valor correspondiente de f ( x 0 , y 0 ) se llama valor Máximo Local o Mínimo Local según corresponda, de la función f Un Punto Crítico de una función f(x, y) es un punto ( x 0 , y 0 ) en que:

∂ f ( x , y ∂ x 0 0)

=

∂ f ( x , y ) = 0 ∂ y 0 0

Por lo definido anteriormente, diremos que todo extremo local de una función debe ser un punto crítico, crítico, pero no todo punto punto crítico crítico es extremo. Con respecto respecto a esto 2 2 último existen funciones como por ejemplo z = x –y tiene un punto crítico que no es ni máximo ni mínimo, la sección vertical de su gráfica determinada por el plano y = 0 tiene un mínimo local en el origen, mientras que su sección vertical definida por el plano x = 0 tiene un máximo local, esto es lo que se denomina Punto de Silla y ocurre cuando ∆ < 0. Propiedad 1: Sea ( x 0 , y 0 ) un punto crítico de la función f(x, y) para la cual: ∂ f ∂ x

( x 0 , y 0 )

=

∂ f ∂ y

( x0 , y 0 ) = 0

2 2     ∂ ∂   Sea ∆( x, y ) =  2 f ( x, y )  ⋅ f ( x , y )   ∂ y 2  − ∂ x     ∂2 ∂2 f ( x, y ) < 0 , f ( x, y ) < o y a. Si ∂ x 2 ∂ y 2

2

 ∂ 2   f ( x, y )    ∂ x∂ y  ∆( x0 , y 0 ) > 0

entonces f(x, y) tiene

∆( x0 , y 0 ) > 0

entonces f(x, y) tiene

un Máximo Local en (x 0,y0) b.

Si

∂2 ∂2 f ( x, y ) > 0 , f ( x, y ) > o ∂ x 2 ∂ y 2

y

un Mínimo Local en (x 0,y0) Si ∆( x 0 , y 0 ) < 0 entonces ( x 0 , y 0 ) no es extremo local de f(x, y), sino Punto de Silla. Ejemplo: 3 2 Dada la función: f(x,ý) = x + y − 3 x − 4 y + 7 , determine los máximos, mínimos o punto de silla si los hay. c.

Calculemos:

∂ f ( x, y ) = 3x2 –3 ∂ x

y

∂ f ( x, y ) = 2y – 4 ∂ y


3

Igualemos cada una de las derivadas parciales anteriores a cero: 3x2 – 3 = 0 3x2 = 3

x = ± 1 x = ± 1 2y = 4 y=2 Por lo tanto tenemos dos puntos críticos: (1 ,2) y (-1 , 2) Determinemos las segundas derivadas:

∂2 f ( x, y ) = 6 x ∂ x 2 ∂2 f ( x, y ) = 2 ∂ y 2 ∂2 ∂ ( 2 y − 4) f ( x, y ) = ∂ x∂ y ∂ x = 0 2  ∂ 2  ∂2 ∂2 Calculemos ∆(1,2) = f (1,2) ⋅ 2 f (1,2) −  f (1,2)   ∂ ∂ x y ∂ x 2 ∂ y   ∆(1,2) = 6 ⋅ 2 − 0 =12 2 ∂2 ∂ ∆(1,2) > 0 , y f (1,2) > 0 . Entonces la función tiene un f (1,2) > 0 y 2 2 ∂ y ∂ x mínimo local en (1,2) Analicemos para el punto (-1,2) Calculemos

 ∂ 2 ∂2 ∂2 ∆(−1,2) = 2 f (−1,2) ⋅ 2 f (−1,2) −  ∂ x ∂ y  ∂ x∂ y

∆(−1,2) = (-6) (2) –0 = - 12 ∆(−1,2) < 0 por lo tanto (-1, 2) es un Punto de Silla

2

 f (−1,2)   

Ejemplo:  La utilidad al producir x unidades de un producto manufacturado de tipo A y la utilidad en y unidades de otro producto tipo B responde a la función función bivariada:

U ( x, y ) = 8 x + 10 y − (0,001)( x 2

+ xy + y 2 ) − 10000

miles de pesos.

Determinar la cantidad de unidades x e y a producir que permiten la máxima máxima utilidad y el monto de dicha utilidad. utilidad. Solución: Solución: Con el propósito propósito de maximizar maximizar la función de efectúan efectúan las derivadas derivadas parcia parciales les y se iguala iguala a cero cero la primer primera a derivad derivada a para obtene obtenerr los valore valores s críticos:

U xx

= 8 − (0,001)(2 x + y )


4 U yy

= 10 − (0,001)( x + 2 y )

Resolviendo paréntesis, se obtiene:

8 − 0,002 x − 0,001 y

=0 10 − 0,001 x − 0,002 y = 0 Multiplicando por 1000 ambas ecuaciones y haciendo los arreglos pertinentes se llega al sistema de ecuaciones:

2 x + y

= 8000 x + 2 y = 10000 al resolver el sistema en calculadora gráfica se tiene que :

= 2000

x

e

y

= 4000

son los valores críticos críticos que deben verificar si son máximos o mínimos. mínimos. Lo cual se logra con el criterio de la segunda derivada parcial :

U xx U yy U xy

= −0,002 = −0,002 = −0,001

∆ = U xxU yy − (U xy ) 2

en este caso

∆ > 0 y

U xx

<0

por lo

tanto los valores críticos calculados son máximos , por que se deben producir 2000 unidades del tipo A y 4000 unidades del tipo B y obtener una utilidad de $18 millones. 

En la fabricación fabricación de dos producto producto X e Y, se establece establece que por la venta de ellos se debe obtener un ingreso de :

I ( x, y ) = −5 x 2

− 8 y 2 − 2 xy + 42 x + 102 y

en dólares

calcular a partir de esta función ingreso los valores de X e Y que la hacen máxima. Solución: Derivando parcialmente la función ingreso e igualando a cero cada derivada, se tiene que :

= −10 x − 2 y + 42 = 0 I y = −16 y − 2 x + 102 = 0 10 x + 2 y = 42 2 x + 16 y = 102 I x

x = 3 e y = 6 resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que : que representan los valores críticos de la función que se han de corroborar con la segunda derivada:


5

= −10 I yy = −16 I xy = −2 I xx

∆ = (−10)(−16) − (−2) 2 > 0

y I xy

como

<0

los valores valores crítico críticos s obteni obtenidos dos maximiz maximizan an la funci función ón Ingres Ingreso. o. deben vender 3 artículos X y 6 artículos Y.

Por lo cual cual se

Ejemplo: 

Una Una em empr pres esa a pose posee e dos dos plan planta tas s de prod produc ucci ción ón,, para para los los prod produc ucto tos s de exportación R y S. Si el costo de producción de A unidades del primer producto es:

C 1 = 0,02 A 2 + 4 A + 500 pesos y el costo de producción de B unidades del segundo producto es :

C 2

= 0,05 B 2 + 4 B + 275 pesos

Si cada cada producto producto se vende vende a $ 15 la unidad, unidad, calcular calcular la cantidad cantidad que se debe producir en cada planta con el fín de hacer máxima la utilidad y determinar el valor de esta utilidad. Solución: La utilidad esta dada por : U = I − C Por

U = 15( A + B ) − C 1

lo

tanto

− C 2

U = 15 A + 15 B − 0,02 A 2

− 4 A − 500 − 0,05 B 2 − 4 B − 275 U = 11 A + 11 B − 0,02 A 2

− 0,05B 2 − 775

derivando parcialmente con respecto a A y a B:

U A U b

= 11 − 0,04 A = 11 − 0,10 B

Haciendo igual a cero las derivadas parciales y resolviendo la ecuación resultante:

11 − 0,04 A = 0 11 − 0,10 B A = 275 y B se obtienen los valores críticos.

=0 = 110


6 U AA

Según criterio de segunda derivada:

U BB U AB

= −0,04 = −0,10 =0

∆ = (−0,04)(−0,10) − (0) 2 > 0 y U AA < 0 la utilidad utilidad es máxima máxima para 275 unidades del tipo A y 110 unidades unidades del tipo tipo B. El monto de esta utilidad máxima alcanza a los $1342,5. En algunas situacion situaciones, es, es necesario necesario minimizar minimizar o maximizar maximizar funciones funciones sujetas sujetas a restricciones de las variables que intervienen.  Determine los extremos de la función f(x, y) = x 2 + y2 bajo la restricción

x+y=1 El problema planteado trata de Maximizar o Minimizar una función, pero sujeta a una ciert ierta a res restri tricción ción,, para para esto esto uti utilizar izarem emos os lo que que se deno denomi mina na multiplicadores de Lagrange. Formamos la función de Lagrange:

L( x, y , λ ) = x 2

+ y 2 − λ ( x + y − 1) .

Los extremos de la función de Lagrange f(x, y) condicionados por la restricción g(x, y) = 0, se producen en los puntos críticos de la función de Lagrange:

L( x, y , λ ) = f ( x, y ) − λ g ( x, y )

A contin continuac uación ión determ determina inaremo remos s la derivad derivada a parcia parciall de L con respec respecto to a x, la derivada parcial de L con respecto a y la derivada parcial de L con respecto a λ , ya que ellas nos darán las condiciones necesarias de los extremos de la función.

∂ L = 2 x − λ ∂ x

;

∂ L = 2 x − λ ∂ y

;

∂ L = − x − y + 1 ∂λ

Igualamos cada una de las derivadas parciales anteriores a cero para determinar los puntos críticos: 2 x − λ = 0 2 y − λ = 0 Resolviendo este Sistema de 3 x 3

− x − y + 1 Tene Tenemo mos s

=0

x = y =

1 2

 1 , 1   ,  2 2 

, con lo cual el único punto crítico es P 

obtenido

cuando λ = 1 Este λ es lo que se denomina Multiplicador de Lagrange. Para determinar si este punto crítico crítico es un Máximo Máximo o un Mínimo, determinamos el

∂ 2 L ∂ 2 L ∂ 2 L 2 ∆ = ( 2 )( 2 ) − ( ) . ∂ x∂ y ∂ x ∂ y *


7

∂ 2 L =2 ∂ x 2 ∂ 2 L =2 ∂ y 2 ∂ 2 L =0 ∂ x∂ y Como la segunda segunda derivada derivada parcial parcial de L con respecto respecto a x parcial parcial con respecto respecto a y son positivas positivas y

y la segunda segunda derivada derivada

 1 1  ∆* > 0 , entonces el punto  ,  es  2 2 

punto mínimo.

El Multiplicador de Lagrange, puede estar precedido por un signo más en lugar de un signo menos; el único cambio que resulta en la solución solución es el cambio de signo de λ . En esencia, esencia, el método método de los multipli multiplicad cadores ores de Lagrange Lagrange explora explora entre entre los los posibles valores Máximos Máximos o Mínimos, a fin de elegir sólo a aquellos que satisfacen satisfacen la restricción. Recordemos que para Máximos y Mínimos sin restricción, cuando ∆ < 0, el Punto Crític Crítico o no es Máximo Máximo ni Míni Mínimo, mo, sin embar embargo, go, cuando cuando se trat trata a de Máximo Máximos s y * Mínimos restringidos ∆ < 0, el Punto Crítico puede ser realmente un valor Máximo o un Mínimo. Mínimo. Esto correspond corresponde e al hecho de que un Punto puede ser un Máximo Máximo o un Mínim Mínimo o de la Func Funció ión n Rest Restri ring ngid ida, a, aunq aunque ue no lo sea de la Funci Función ón sin restricción. En algunas ocasiones nos enfrentamos con problema de maximizar o minimizar una func funció ión, n, la cual cual está está sujet sujeta a a algú algún n tipo tipo de rest restri ricc cció ión n de las las vari variab able les s que que intervienen. Para Para solu soluci cion onar ar un una a probl problem emát átic ica a de este este tipo, tipo, util utiliz izar arem emos os el mé méto todo do de multiplicadores de Lagrange. Supongamos que nos interesa determinar los valores extremos de la función f(x, y, z) sujeta a la restricción g(x, y, z) = 0. Para lo cual construiremos una Función Objetivo: F(x, y, z, λ ) la que definiremos : F(x, y, z, λ ) = f(x, y, z) - λ g ( x, y , z ) . La nueva variable λ la llamaremos multiplicador de Lagrange. Los Máximo Máximos s o Mínimo Mínimos s condic condicion ionado ados s por una restri restricci cción, ón, se produc producen en en los puntos críticos de la función de Lagrange. Las condiciones necesarias del extremo de una función de Lagrange vienen dadas por el sistema de ecuaciones:

∂ F ∂ ∂ = f ( x, y, z ) − λ g ( x, y, z ) = 0 ∂ x ∂ x ∂ x ∂ F ∂ ∂ = f ( x, y, z ) − λ g ( x, y, z ) = 0 ∂ y ∂ y ∂ y ∂ F ∂ ∂ = f ( x, y, z ) − λ g ( x, y, z ) = 0 ∂ z ∂ z ∂ z ∂ F = − g ( x, y, z ) = 0 ∂λ


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Para resolver el sistema anterior, eliminamos λ de las dos primeras ecuaciones y el resultado obtenido lo sustituimos en la tercera. ter cera. Condiciones suficientes para la existencia de extremos, en el caso de dos variables: Sea P ( x 0 y 0 ) un punto crítico de la función de Lagrange F ( x, y , λ ) , obtenido para un valor concreto λ = λ 0 . Formamos la función de Lagrange par ese λ = λ 0 .

F ( x, y , λ 0 ) = f ( x, y ) − λ 0 ⋅ g ( x, y ) Para determinar si en el Punto Crítico existe un Máximo o un Mínimo, determinamos ∆* > 0 y las segundas derivadas parciales de la Función Objetivo, con respecto a los Puntos Críticos, es decir,

∂ 2 F ∂ x 2

;

∂ 2 F ; ∂ y 2

Por lo tanto, si ambas

son positivas el Punto Punto Crítico restringido es un Mínimo; y si ambas son negativas negativas el Punto Crítico Restringido es un Máximo. 

Determine los puntos críticos de la siguiente función sujeto a una restricción, mediante el método de los multiplicadores de Lagrange: f(x, y) = 3x + 2y bajo la restricción: x2 + y2 = 13

Formemos la función de Lagrange: F ( x, y , λ ) = 3 x + 2 y − λ ( x

2

+ y 2 − 13)

Para hallar los puntos críticos componemos el sistema:

∂ F = 3 + 2λ x = 0 ∂ x ∂ F = 2 + 2λ y = 0 ∂ y ∂ F = − x 2 − y 2 + 13 = 0 ∂λ

y 

= ±2 , luego x = ±3

por lo tanto los puntos críticos son (3, 2) y (–3,-2)

Una empresa empresa puede elaborar elaborar su producto producto en dos de sus plantas. plantas. El Costo Costo de Producir x unidades en su primera planta e y unidades en la segunda planta 2 2 está dada por la función Costo conjunto C ( x, y ) = x + 2 y + 5 xy + 700. Si la empresa tiene un orden de suministrar suministrar 500 unidades, ¿cuántas unidades debe producir en cada planta con el objeto de minimizar el Costo Total? Determinamos la Función Objetivo.

F ( x, y , λ ) = x 2

+ 2 y 2 + 5 xy + 700 − λ ( x + y − 500)

Derivando la Función Objetivo parcialmente con respecto a las restricciones y el multiplicado de Lagrange e igualando igualando a cero, cero, tenemos:

∂ F = 2 x + 5 y − λ = 0 ∂ x ∂ F = 4 y + 5 x − λ = 0 ∂ y ∂ F = − x − y + 500 = 0 ∂λ ∴ x = 125 ; y = 375 ;

λ = 2,125

2 x + 5 y − λ = 0 5 x + 4 y − λ = 0

− x − y = −500


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Ejemplo 1 Averiguar los extremos de la función: z = f (x, y ) = 3axy 3axy - x 3 - y 3

Desarrollo

=0

=0

la solución del sistema es x = x = y = y = 0, x 0, x = = y = y =

a

A = B=

C = C =

Sea el discriminante: (i). como

∆

∆

= AC – AC – B2 =36 x =36 x y y - 9a 9a2, entonces:

> 0, la función tiene un extremo en el punto P(a, a) y este es

un máximo ya que A < 0 (o C < C < 0 ) (ii). como

∆

< 0, en el punto P (0,0) (0,0) no existe extremo.

Extremo Condicionado Se llama Extremo Condicionad o de una función f(x, y) en el caso más simple, al máxi máximo mo o míni mínimo mo de esta esta func funció ión n alca alcanz nzad ado o con con la condi ondici ción ón de que que sus sus ϕ argume argumento ntos s estén estén ligado ligados s entre entre sí por la ecuaci ecuación ón (x, y ) = 0 (ecuación de enlace). Para hallar el extremo condicionado de la función f (x, y) con la ecuación de enlace ϕ ( x, y ) = 0, se forma for ma la llamada función de Lagrange Lagrange:: F (x, y) = f(x, y) + λ ϕ (x, y)

λ es el multiplicador constante indeterminado, y se busca el extremo ordinario de esta esta funció función n auxili auxiliar. ar. La condic condicion iones es necesa necesaria rias s para para que haya haya un extrem extremo o se reducen al sistema de tres ecuaciones:


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con tres incógnitas, x, incógnitas, x, y, λ , , de las que, en general, se pueden deducir éstas. El problema de la existencia existencia y el carácter carácter del extremo condicionad condicionado o se resuelve resuelve sobre la base del estudio del signo que tiene la segunda diferencial de la función de Lagrange:

para el sistema de valores de x, de x, y, λ , , con la condición de que dx y dx y dy estén dy estén relacionados entre si por la e ecuación: cuación:

La función f(x, y) tendrá un: 1° Máximo condicionado, si 2° Mínimo condicionado, si

<0 >0

 Determine las máximos y/ o mínimos locales de la función: f(x, y) = x 2 + y2 –2x

+4y + 7 Paso1. En forma muy similar al estudio de máximos y mínimos relativos de 1 variable, en el cual derivamos e igualamos a cero, en el caso de funciones de dos variables hacemos algo similar, con la diferencia que encontraremos valores para x y valores para y los cuales cuales llamaremos puntos críticos.

∂ f ( x, y ) = 2 x − 2 ∂ x ∂ f ( x, y ) = 2 y + 4 ∂ y Igualando cada una de estas derivadas a cero, obtenemos: 2x – 2 = 0, de donde x = 1 2y + 4 = 0, de donde y = - 2 Paso 2. Determinemos las siguientes segundas derivadas:


11

2

∂ ∂ x

2

f ( x , y ) =2

2

∂ ∂ y

2

f ( x, y ) =2

 ∂2 ∂  ∂ f ( x, y ) =  f ( x, y )   ∂ x∂ y ∂ x  ∂ y  ∂ = ( 2 y + 4) =0 ∂ x 2  ∂ 2  ∂2 ∂2 Paso 3. Calculemos : f ( x, y ) ⋅ 2 f ( x, y ) −  f ( x, y )   ∂ ∂ x y ∂ x 2 ∂ y   2⋅ 2 − 0= 4 La operación anterior que llamaremos ∆ nos dio un valor positivo, si esto ocurre x = 1 e y = -2 puede ser un valor Máximo o un valor Mínimo, para tomar esta decisión, analizaremos la Segunda Derivada Parcial con respecto a x y la Segunda Derivada Parcial con respecto a y , vemos que las dos son positivas, por lo tanto diremos que x = 1 e y = -1 es un Punto Mínimo. Si ∆ hubiese sido positivo, pero la Segunda Derivada Parcial con respecto a x y la Segunda Derivada Parcial con respecto a y menores que cero, tendríamos un Punto Máximo. En el caso que ∆ sea menor que cero no existe ni Máximo ni Mínimo.

Problemas de Aplicación. 1.

Una empresa produce pantalones y short. El costo diario total de producir x 2 2 pantalones pantalones e y short short viene dado por: por: C ( x, y ) = 250 − 4 x − 7 y + 0,2 x + 0,1 y (en pesos) pesos).. Determ Determine ine el número número de pantal pantalone ones s y short short que la empres empresa a debe debe producir al día para minimizar el costo total. Calculemos

∂C ∂ x

y

∂C ∂ y

∂C = −4 + 0,4 x ∂ x ∂C = − 7 + 0,2 y ∂ y Igualemos cada una de las derivadas anteriores a cero, para encontrar los valores críticos -4 + 0,4x = 0 x = 10 -7 + 0,2y = 0 y = 35 Punto crítico: (10, 35) Para determinar si el punto crítico encontrado es un máximo o un mínimo, determinemos:

∂ 2 C ∂ 2 C ; ∂ x 2 ∂ y 2

y

∂ 2 C ∂ x∂ y


12

2

∂ C ∂ x

2

= 0,4

2

∂ C ∂ y

2

= 0,2

∂ 2 C ∂C = ( − 7 + 0,2 y ) ∂ x∂ y ∂ x =0 Determinemos el valor de ∆ = (0,4)(0,2) – 0 ∆ > 0 , como ∆ > 0 y la segunda derivada de la función con respecto a x e y son positivas, entonces P(10, 35) es un punto mínimo, esto significa que para minimizar el costo total, se deben producir 10 pantalones y 30 short Una compañía fabrica dos tipos de productos M y N, por el producto M obtiene una utilidad de 4 euros por unidad y por el producto N la utilidad es de 6 euros por unidad. Esta producción, está restringida por la ecuación de transformación 2 2 del producto, la cual viene dada por: x + y + 2 x + 4 y − 4 = 0 , x e y indi indican can el núm úmer ero o de unida nidade des s prod produc ucid ida as sem eman ana almen lmente te (en miles iles)) de M y N respectivamente. Determine en el número de unidades que se deberían producir de cada tipo para maximizar la utilidad. La utilidad viene dada por U(x, y) = 4x + 6y; la restricción viene dada por: 2 2 g(xy)= x + y + 2 x + 4 y − 4 = 0 , por lo tanto formemos la función de Lagrange.

2.

L(x, y, λ ) = 4 x + 6 y + λ ( x + y + 2 x + 4 y − 4) A continuación, derivemos parcialmente, para determinar los puntos críticos. 2

2

∂ L = 4 + 2λ x + 2λ = 0 ∂ x ∂ L = 6 + 2λ y + 4λ = 0 ∂ y ∂ L 2 2 = x + y + 2 x + 4 y − 4 = 0 ∂λ

Considerando las dos primeras ecuaciones, tenemos:

4 + 2λ x + 2λ = 0

6 + 2λ y + 4λ = 0

λ (2 x + 2) = − 4 λ (2 y + 4) = −6 λ = − λ = −

4 2 x + 2 6 2 y + 4

por lo tanto;

−

4 2( x + 1)

=−

de donde:

6 2( y + 2)


λ =

2

=

x + 1

13

3 y + 2

Producto de los medios igual producto de los extremos; 2(y + 2) = 3(x + 1), despejando y en función de de y

=

(3x − 1) 2

Reemplazando este valor en la ecuación:

+ y 2 + 2 x + 4 y − 4 = 0 2 3 x − 1    3x − 1  − 4 = 0 2 x +   + 2 x + 4   2   2  x 2

Simplificando la ecuación anterior, obtenemos:

13 x 2

+ 26 x − 23 = 0

Resolviendo la ecuación cuadrática obtenemos: x 1 = 0,664 x2= -2,664 Recuerde que Ud. puede resolver la ecuación anterior utilizando su calculadora gráfica. Con respecto al resultado anterior solo nos sirve la solución positiva, por lo tanto reemplazando este valor en y =

(3x − 1) 2

obtenemos y = 0,496.

Por lo tanto para maximizar la utilidad se deberían producir 664 unidades de M y 496 unidades de N a la semana, con una utilidad máxima de U = 4(0,664) + 6(0,496) = 5,63 o sea 5.630 euros semanales.

Ejercicios propuestos. 1.-Determine 1.-Determine los puntos críticos de la función f(x, y),= x restricción

2 x + 3 y

2

+ y 2

, sujeto a la

=7

 14 , 21   .  3 13 

Respuesta : 

2.-Una 2.-Una empresa produce dos tipos de pantalones uno de de trevira y otro de casimir, casimir, si se producen x unidades del primer tipo e y unidades del segundo tipo, la 2 2 función conjunta del costo viene dada por: C ( x, y ) = x + 1,5 y + 300 . Si la empresa decide producir un total de 200 pantalones. ¿Cuantas unidades de cada tipo se deben fabricar para minimizar el costo total? Respuesta: 120 y 80 3.-Una 3.-Una fábrica produce chicles en dos tamaños, cuyos costos unitarios son $10 y $20 , cada uno. Las demandas anuales x 1 y x2 (en miles) miles) vienen vienen dadas dadas por: x1 = p 2 − p1 y x 2 = 60 + p1 − 3 p 2 en donde p1 y p2 son los precios en pesos de los chicles en los dos tamaños. Calcule los precios p 1 y p2 que maximizan las utilidades anuales. Respuesta: p1 = $20 y p2 = $25


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