Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
1. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todos los focos que produce esta empresa. n =30
= 40
= 780 α= 0.04 x
x
n
40
780
30
Z
x
n
2
Z
2
Z 0.02 780
40 30
Z 0.02
765 795
2. A muchos pacientes con problemas cardiacos se les implantó un marca pasos para controlar su ritmo cardiaco. Se monta un módulo conector de plástico sobre la parte superior del marca pasos. Suponga una desviación estándar de 0.0015 y una distribución aproximadamente normal, encuentre un intervalo de confianza de 95% para la media de todos los módulos conectores que fabrica cierta compañía. Una muestra aleatoria de 75 módulos tiene un promedio de 0.310 pulgadas. n = 75
= 0.0015
= 0.310 α= 0.05 x
x
n
0.310
Z
x 2
0.0015 75
n
Z
2
Z 0.025 0.310
0.0015 75
Z 0.025
0,309661 0,310339
1
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
3. Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios muestra una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Construya un intervalo de confianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes de la universidad.
n = 50
= 6.9
= 174.5 α= 0.02 x
x
n
Z
x 2
174.5
6.9 50
n
Z
2
Z 0.01 174.5
6.9 50
Z 0.01
172.23 176.77
4. Una muestra aleatoria de 10 barras de chocolate energético de cierta marca tiene, en promedio, 230 calorías con una desviación estándar de 15 calorías. Construya un intervalo de confianza de 99% para el contenido medio real de calorías de esta marca de barras de chocolate energético. Suponga que la distribución de las calorías es aproximadamente normal. n = 10 s = 15 = 230 α= 0.01
x
x
s n
230
t
n 1 x 2
n
15 10
s
t 0.005
t
n 1 2
10 1 230
15 10
t 0.005
10 1
214.58 245.42
2
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
5. Las siguientes mediciones se registraron para el tiempo de secado, en horas, de cierta marca de pintura de látex: 3.4; 2.5; 4.8; 2.9; 3.6; 2.8; 3.3; 5.6; 3.7; 2.8; 4.4; 4.0; 5.2; 3.0; 4.8 Suponga que las mediciones representan una muestra aleatoria de una población normal, encuentre un intervalo con 95% de confianza para el promedio de los tiempos de secado. n = 15 s
= 0,971
= 3,787 α = 0.05 x
s
x
n
t n 1 x 2
s
x
15
t 0.025
s n
t n 1 2
15 1 x
s
15
t 0.025
15 1
3.249 4.324
6. En una muestra aleatoria de 1000 casas en cierta ciudad, se encuentra que 228 se calientan con petróleo. Encuentre el intervalo de confianza de 99% para la proporción de casas en esta ciudad que se calientan con petróleo. n = 1000 p ˆ
= 228/1000 = 0.228
= 0.01
α
p Z
p1 p ˆ
ˆ
ˆ
p p Z
p1 p ˆ
ˆ
ˆ
2
n
0.228 Z 0.005
0.228 1 0.228 1000
2
n
p 0.228
Z 0.005
0.228 1 0.228 1000
0.194 p 0.263
3
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
7. Calcule un intervalo de confianza de 98% para la proporción de artículos defectuosos en un proceso cuando se encuentra que una muestra de tamaño 100 da 8 defectuosos.
n = 100 p ˆ
= 8/100 = 0.08
= 0.02
α
p Z
p1 p ˆ
ˆ
p p Z
ˆ
p1 p ˆ
ˆ
ˆ
n
2
0.08 1 0.08
0.08 Z 0.01
100
n
2
p
0.08
Z 0.01
0.08 1 0.08 100
0.029677 p 0.165946
8. Se considera un nuevo sistema de lanzamiento de cohetes para el despliegue de cohetes pequeños de corto alcance. El sistema existente tiene p = 0.8 como probabilidad de lanzamiento exitoso. Se realiza una muestra de 40 lanzamientos experimentales con el nuevo sistema y 34 resultan exitosos. a) Construya un intervalo de confianza de 95% para p. b) ¿Concluiría que el nuevo sistema es mejor? n = 40 p ˆ
= 0.8
= 0.05
α
p Z
p1 p ˆ
ˆ
p p Z
ˆ
0.8 Z 0.025
p1 p ˆ
ˆ
ˆ
n
2
0.8 1 0.8 40
p 0.8
2
Z 0.025
n
0.8 1 0.8 40
0.676041 p 0.923959
n = 40 p ˆ
= 0.85
= 0.05
α
0.85 Z 0.025
4
0.85 1 0.85 40
p 0.8 Z 0.025
0.85 1 0.85 40
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
0.739344 p 0.960656
Ya que p=0.8 cae en el intervalo de confianza, no se puede concluir que el nuevo sistema es el mejor.
9. Un fabricante de baterías para automóvil afirma que sus baterías durarán, en promedio, tres años con una varianza de un año. Si cinco de estas baterías tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 años, construya un intervalo de confianza de 95% para 2 y decida si la afirmación del fabricante de que 2 = 1 es válida. Suponga que la población de duraciones de las baterías se distribuye de forma aproximadamente normal. n=5 = 0.05
α
1 s
n
2
n
2
1
2
n
1 s
2
1
5 1 *1 5 1
2
1
5 1 *1 5 1
2
2
n
2
2
0.025
0.293
2
2
0.975
6.730
De acuerdo al intervalo de confianza para la varianza, se puede afirmar que la 2 = 1. 10. Una muestra aleatoria de 20 estudiantes obtiene una media de 72 y una varianza de 16 en un examen de colocación en matemáticas. Suponga que las calificaciones se distribuyen normalmente y construya un intervalo de confianza de 98% para 2. n = 20 s= 4
x = 72 0.02
α=
n
2
5
1 s n
2
2
1
2
n
1 s
2
1
n
2
1
2
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
20 1 *16 20 1
2
2
0.01
8.4
2
20 1 *16 20 1 2
0.99
39.8
11. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviación estándar de 40 horas. Pruebe la hipótesis de que = 800 horas contra la alternativa 800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duración promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04. H 0 : 800 vs H 1 : 800
n = 30 = 788 = 40 x
Con (1-0.04)100% de confianza rechace
H 0 a
x 0
n
788 40
N 30
Media 788,00
Z
favor de H 1 si:
2
800
30
Error estándar de la media IC de 96% 7,30 (773,00; 803,00)
Z 0.02
Z -1,64
P 0,100
Como el valor p=0,10 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la Hipótesis Nula H 0 , lo que quiere decir, que se distribuye en promedio 800 horas de luz.
6
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
12. Pruebe la hipótesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribución del contenido es normal.
H 0 : 10 vs H 1 : 10
n = 10 x = 10,06 s = 0,2459 Con (1-0.01)100% de confianza rechace
x 0 s x s
Variable contenido
N 10
Media 10,0600
n
10 10
H 0 a
T
favor de H 1 si:
(n 1) 2
T 0.005
Desv.Est. 0,2459
(9)
Error estándar de la media 0,0777
IC de 99% (9,8073; 10,3127)
T 0,77
P 0,460
Como el valor p=0,460 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la Hipótesis Nula H 0 , lo que quiere decir, contenido promedio de los envases de un lubricante particular es de 10 litros.
13. Un ingeniero civil está probando la resistencia de compresión del concreto. Prueba 12 muestras y obtiene los siguientes datos: 2216 2237 2249 2204 2225 2301 2281 2263 2318 2255 2275 2295 Las especificaciones indican que la resistencia media del concreto debe ser 2250 psi. ¿Se puede concluir que este concreto cumple con las especificaciones? Use un nivel de significancia de 0.05 H 0 : 2250 vs H 1 : 2250
7
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza
n = 12 = 2259,9 s = 35,6
x
Con (1-0.05)100% de confianza rechace
x 0 s
n
x
2250 12
s
Variable resistencia
N 12
Media 2259,9
T
Desv.Est. 35,6
H 0 a
favor de H 1 si:
(n 1) 2
T 0.025 (11)
Error estándar de la media 10,3
IC de 95% (2237,3; 2282,5)
T 0,97
P 0,355
Como el valor p=0,355 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la Hipótesis Nula H 0 , es decir, que cumple con las especificaciones.
14. En cierto proceso industrial se afirma que la variabilidad del mismo, medida a través de la desviación estándar, no supera las 5 unidades. Una muestra aleatoria de tamaño 10 proporcionó una desviación estándar de 3.58 unidades. ¿Es válida la afirmación de que la desviación estándar es menor a 5 unidades? Use =0.05 H 0 :
5
5
vs H 1 :
n = 10 s = 3.58 Con (1-0.05)100% de confianza rechace
n 1 s
favor de H 1 si:
2
2
0
2
1 a
25
* 3.58
n 1
n 1
10 1*12.8164
8
H 0 a
5
2
2
0.95
9
0.95 9
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza Estadística Método Chi-cuadrada
de prueba 4,61
GL 9
Valor p 0,133
Como el valor p=0,133 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la Hipótesis Nula H 0 , es decir, que la desviación estándar es menor a 5 unidades.
15. Se estudia la fracción de circuitos integrados defectuosos producidos en un proceso de fotolitografía. Se prueba una muestra aleatoria de 300 circuitos, la cual da como resultado 13 circuitos defectuosos. Según el departamento de calidad la proporción de fallas es del 5%. ¿se puede afirmar que los departamento de calidad tienen razón? Use un nivel de significancia de 0.05. H 0 : p 0.05 vs H 1 : p 0.05
n = 300 x = 13 p ˆ
= 13/300 = 0.04
Con (1-α)100% de confianza rechace H0 a favor de H1 si:
p p 0 ˆ
p 0 1 p 0
Z
2
n
0.04
0.05
0.05 1 0.05
Z 0.025
300
Muestra 1
9
X 13
N 300
Muestra p 0,043333
IC de 95% (0,023272; 0,072961)
Valor p exacto 0,605
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
Maestría en Mejora de Procesos Profesor: Marcos Mendoza Como el valor p=0,605 se puede concluir que no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la Hipótesis Nula H 0 , es decir, que la proporción de fallas es aproximadamente del 5%.
10
Texto: Probabilidad y Estadística para Ingenieros, Walpole, Myers, Myers
