TEORÍA DE CONJUNTOS I 1. Concepto
1
4. Relación de pertenencia (∈)
El término CONJUNTO es aceptado en Matemáticas como un "CONCEPTO PRIMITIVO", PRIMITIVO" , es decir, decir, se acepta
sin denición. Intuitivamente, un CONJUNTO es una colección o agrupación de objetos llamados elementos.
Si un elemento está en un conjunto o es parte de él, diremos que "PERTENECE" a dicho conjunto y lo denotaremos con el símbolo "∈" , en el caso de no pertenecer por "∉".
Ejemplos:
Ejemplo:
i. El conjunto de los días de la semana. ii. El conjunto de los profesores profesores del del colegio TRILCE. iii. El conjunto de los números 3; 5; 12 y 18.
Dado el conjunto: A = {2; {2; 5; 7; 8}
2. Notación
Generalmente los conjuntos se denotan por letras mayúsculas "A", "B", "C", ..., etc. y los elementos por letras minúsculas, mayúsculas u otros símbolos, separados por comas o por puntos y comas, y encerrado entre llaves. Ejemplos: A = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} B = {Jorge, Alberto, Mario, Manuel, Nestor, Nestor, Ricardo} C = {3; 5; 12; 18} 3. Determinación de conjuntos
Existen dos formas de determinar un conjunto: 3.1.. Por extensión o en forma tabular.- Cuando 3.1
se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplos: A = {a, m, o, r} B = {1; 3; 5; 7; 9} 3.2. Por comprensión o en forma constructiva.-
Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.
Ejemplos: A = {x/x es una letra de la palabra amor} B = {x/x es un número impar menor que 10}
Entonces:
2∈A
4∉A
7∈A
5. Conjuntos especiales 5.1. Conjunto vacío o nulo.- Es aquel conjunto que
carece de elementos. Se le denota por: φ ó { }
Ejemplos: A = {x/x es un número par terminado en 5} → A = { } B = {x/x es un hombre vivo de 200 años} → B = { } 5.2. Conjunto unitario o singleton.- Es aquel
conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplos: A = {x/x ∈ IN ∧ 6 < x < 8} → A = {7} B = {2; 2; 2} → B = {2} 5.3. Conjunto universal (U).- Es aquel conjunto que
se toma como referencia, para un determinado problema, y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando. Se le denota por la letra "U". Ejemplo:
Si: A = {1; {1; 2; 3} B = {-1; 0; 4} Un conjunto universal uni versal para “A” “A” y “B” podría ser: U = {-1; 0; 1; 2; 3; 4} Pues los elementos de “A” y “B” están en “U”. Otros también podrían ser: U = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} U = {x / x ∈ ZZ}
2
6. Cardinal de un conjunto
8. Conjunto potencia
Sea "A" un conjunto nito, el cardinal de un u n conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por: n(A).
Dado el conjunto “A “A””, se denomina conjunto potencia de "A" y se denota por: P(A) , al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de "A".
Ejemplos:
Ejemplo:
A = {3; 4; 7; 9; 13} Þ n(A) = 5 Se lee: "El cardinal de “A” “A” es 5". B = {a; b; c; b; a; a} = {a; b; c} Þ n(B) = 3 Se lee: "El cardinal de "B" es 3".
Si: A = {2; 5}
7. Relaciones entre conjuntos 7.1. Inclusión.- Diremos que "A" está incluido en
"B" o es subconjunto de "B"; si y sólo sól o si todos los elementos de “A” son también elementos de "B". Se denota por: "A ⊂ B" y se lee: "A está incluido en B" o "A es un subconjunto de B".
Entonces: P(A) = {∅; {2}; {5}; {2; 5}} ↑
siempre es un subconjunto de "A "A””. Nota: Si un conjunto nito "A", tiene como cardinal
n(A).
Se cumple:
n[P(A)] = 2n(A)
La negación de: A ⊂ B, se escribe: A ⊄ B
Donde: n[P(A)] es el número de elementos del conjunto potencia o número de subconjuntos del conjunto "A".
Ejemplo 1:
Ejemplo:
A = {1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3; 4; 5} ⇒ A ⊂ B
Si: n(A) = 5 ⇒ n[P(A)] = 2n(A) = 25 = 32 Es decir, decir, "A" tiene 32 subconjuntos.
Ejemplo 2: Dado el conjunto: A = {3; {6}; 9; 10} Entonces se cumple: {3} ⊂ A {{6}} ⊂ A
{3; 9} Ì A {3; 6} ⊄ A
Propiedades
i. A ⊂ A,
∀
∀
A importante!!
7.2. Igualdad.- Dos conjuntos "A" y "B" son iguales si
y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por: A = B. Se dene:
1. Unión o reunión (∪)
Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama unión o reunión al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A", a "B" o a ambos a la vez. Notación:
A
ii. A ⊂ B y B ⊂ C → A ⊂ C iii. ∅ Ì A,
Operaciones entre conjuntos
A=B ↔ A⊂B ∧ B⊂A
Ejemplo: A = {2; 3; 4} B = {x/x Î IN, 1 < x < 5}
A ∪ B = {x/x ∈ A ∨ x ∈ B}
(∨ = se se le lee “o” “o”))
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 6; 7; 8}; C = {4; 7; 8} Entonces: A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} B ∪ C = {2; 4; 6; 7; 8} A ∪ C = {1; 2; 3; 4; 6; 7; 8} Grácamente: A
B
.1 .3
.2 .6
.4 .7 .8
⇒ A = B, pues: B = {2; 3; 4} A ∪ B
B
A
C
C
.2 .4
.8 .7
.1 .3
.2
.4 .7
.6
.6
B∪C
A ∪ C
.8
3
Teoría de conjuntos I Propiedades
Ejemplo:
Las más importantes son:
Sean los conjuntos: A = {1; 2; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 4; 6; 7; 8}; 8}; C = {4; 7; 8}
i. ii. iii. iv.
A∪B=B∪A A∪A=A A ∪ ∅= A A∪U=U
(conmutativa) (idempotencia) (elemento neutro)
2. Intersección (∩)
Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama intersección al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A" y "B" a la vez; es decir es el conjunto formado por los elementos comunes a "A" y "B".
Entonces: A - B = {1; 3} B - C = {2; 6} A - C = {1; 2; 3; 6} Grácamente: A
.1 .3
Notación:
B
B
.2 .6
.4
A
.2 .4
.7 .8
.6
(∧ = se se lee lee “y”) y”)
.1 .2 .3 .6
.8 .7
B-C
A - B
A ∩ B = {x/x ∈A ∧ x∈B}
C
C
.4 .7
.8
A - C
Propiedades
Las más importantes son:
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 6; 7; 8}; C = {4; 7; 8} Entonces:
Dado un conjunto "A" que está incluido en el universo "U", se denomina complemento del conjunto "A", a todos los elementos que están fuera de "A", pero dentro del universo.
Grácamente: B
.1 .2 .4 .7 .6 .3 .8
A ∩ B
A-A=∅ A-∅=A ∅-A=∅ A - B ≠ B - A, “A ≠ B”
4. Complemento de un conjunto
A ∩ B = {2; 6} B ∩ C = {4; 7; 8} A∩C={ }
A
i. ii. iii. iv.
B
A
.2
C
.1
.8 .4 .7 .6
.3
B∩C
.2
C
.4
A' = A C = {x/x ∈ U ∧ x ∉ A}
.7
.6
.8
A ∩ C = φ
Además: A’ A’ = U - A Ejemplo: Sean los conjuntos: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}; A = {1; 3; 4; 7; 8}
Propiedades
Las más importantes son: i. A ∩ B = B ∩ A ii. A ∩ A = A iii. A ∩ A’ = ∅ iv. A ∩ U = A v. A ∩ ∅ = ∅
Notación:
(conmutativa) (idempotencia)
Entonces: A' = {2; 5; 6} Grácamente: U A .1
(elemento neutro)
.2
.6
.3 .7 .8
.4
.5
3. Diferencia (-)
Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama diferencia de "A" y "B", al conjunto formado por todos los elementos de "A" y que no pertenecen a "B"; es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen exclusivamente a "A". Notación: 4
A - B = {x/x ∈ A ∧ x ∉ B}
A'
Propiedades
Las más importantes son: i. (A')' = A (involución) iii. U' = φ v. A ∩ A' = φ
ii. φ' = U iv. A ∪ A' = U
Leyes de Morgan: (A ∪ B)' = A' ∩ B' (A ∩ B)' = A' ∪ B'
5. Diferencia simétrica (∆)
Dados dos conjuntos "A" y "B", se llama diferencia simétrica al conjunto formado por los elementos que pertenecen a "A - B" o "B "B - A". A". Notación:
A ∆ B = (A - B) B) ∪ (B - A)
También:
A ∆ B = (A ∪ B) - (A ∩ B)
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3; 6}; B = {2; 4; 6; 7; 8} Entonces: A - B = {1; 3} B - A = {4; 7; 8} Luego:
A ∆ B = {1; 3; 4; 7; 8}
Grácamente: A .1 .3
.2 .6
.4
B
.7 .8
A ∆ B
Propiedades
Las más importantes son: i. A ∆ B = B ∆ A iii. A ∆ ∅ = A
ii. A ∆ A = ∅ iv. A ∆ U = A'
Propiedades del número de elementos de un conjunto
Si "A" y "B" son dos conjuntos nitos se cumple:
1. Indicar verdadero verdadero (V) o falso (F) según corresponda, para el conjunto: A = { 5 ; 7 ; {3} {3} } I. n(A) = 3 III. {3} ∈ A a) VVFF d) VFVF
II. 5 ∈ A IV. {7} ∈ A b) FVVF e) FFVV
c) VVVF
2. Dado el conjunto: A = { x + 3 / x ∈ IN , 5 ≤ x ≤ 10 } hallar la suma de los elementos. a) 36 d) 72
b) 48 e) 81
c) 63
3. Dados los conjuntos unitarios “A” “A” y “B”: “B”: A = { a + b ; 16 } B={a–b;4} hallar el valor de "a . b" a) 36 d) 50
b) 42 e) 60
c) 45
4. Si: A = { x ∈ IN / 7 < x < 13} B = { x ∈ IN / 3 < x < 10} hallar: A ∩ B a) c) e)
{8} {7;8} {9}
b) { 8 ; 9 } d) { 7 ; 8 ; 9 }
5. Dados los conjuntos : A = { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 8 } B = { x / x ∈ IN , 1 < x < 8 } hallar: B - A a) { 2 ; 4 } b) { 2 ; 6 } c) { 2 ; 4 ; 6 } d) { 3 ; 5 ; 7 } e) { 3 ; 5 ; 8 } 6. Hallar la suma de elementos del conjunto “M”: M = { x2 +1 / x ∈ ZZ , -2 ≤ x ≤ 4 } a) 32 d) 35
b) 34 e) 40
c) 36
a) 10 d) 16
b) 11 e) 18
c) 15
1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 2. n(A - B) = n(A) - n(A ∩ B) 7. Si los conjuntos "A" y "B" "B" son iguales: 3. Si: A ∩ B = φ, entonces: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) A = { n2 + 1 ; -6 } B = { 2 – m ; 10 } hallar el valor de “m+n” (m, n ∈ IN)
8. ¿Cuántos subconjuntos tiene “A “A”: ”: A = { a ; r ; i ; t ; m ; e ; t ; i ; c ; a } ? 5
Teoría de conjuntos I a) 64 d) 8
b) 128 e) 1 024
c) 256
9. ¿Cuántos elementos tiene un conjunto con 31 subconjuntos propios? a) 4 d) 8
b) 5 e) 9
c) 6
a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
I. {5} ∈ A → {8} ⊂ A II. {8; 10} ∈ A ∧ {5} ⊂ A III. {{10; 11}} ⊂ A ↔ {5; 8} ⊂ A a) FFV d) FFF
b) VFF e) VVF
c) VFV
17. Dados los conjuntos “A”, “B” y “C” subconjuntos del universo “U”. 10. Dados los conjuntos “A” y “B” subconjuntos del U = { x / x ∈ IN , x < 10} universo “U”: A = { 5 ; 6 ; 8 ; 9 } A = {2x / x ∈ IN , 1 < x < 4} B={2;3;4;6;7} B = {x –1 / x ∈ IN ; 2 < x < 9} U = { x / x ∈ IN , 1 < x < 10} C = {x +1 / x ∈ B} hallar: n( A’ ∩ B) hallar el cardinal de: ( A’ A’ – B )’ ∩ ( B ∆ C )’ a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Dado el conjunto: A = { {8} ; {2 ; 4} ; 7 } 18. Si: n(A) = 7 y n(B) = 4 ¿Cuántas de las siguientes armaciones son verdaderas? ¿cuál es el máximo número de subconjuntos que puede tener: A ∪ B? I. {2 ; 4} ∈ A II. { {8} } ⊂ A III. II I. { {7} } ⊂ A IV.. IV { {8} ; 7 } ∈ A a) 27 b) 28 c) 29 V.. { 7 } ∉ A V d) 210 e) 211
12. Dado el conjunto : A = { x2 + 1 / x ∈ ZZ ∧ -3 ≤ x ≤ 4} ¿Qué proposiciones son verdaderas? I. n(A) = 5 II. “A “A”” tiene 16 subconjuntos III. “A” “A” tiene 31 subconjuntos propios propio s a) Solo I d) I y III
b) Solo III e)
c) I y II Solo II
13. ¿Cuántos subconjuntos propios tiene "M"? M = { x / x ∈ IN , -2 < x < 5 } a) 15 d) 7
b) 31 e) 127
c) 63
14. Si: A ⊂ B y B ⊂ C, simplicar: ( A ∪ C) ∩ [ ( A – B ) ∪ (B ∩ C)] a) A d) A – B
b) B e) B - A
c) C
15. ¿Cuántos subconjuntos tiene: A = {14 ; {4} ; 14 ; φ } ?
19. En un salón de clases de 65 alumnos se observó: • 30 son hombres • 40 son del ciclo semestral • hay 10 señoritas que no son del ciclo semestral ¿Cuántos son los hombres que no estudian en el ciclo semestral? a) 20 d) 15
b) 25 e) 10
c) 40
20. En un salón de 100 alumnos se observa que 40 son mujeres, 73 estudian geografía y 12 son mujeres que no estudian geografía. ¿Cuántos hombres no estudian geografía? a) 11 d) 17
b) 13 e) 19
c) 15
21. Un alumno durante todas las mañanas del mes de marzo desayuna jugo y/o leche. Si durante 25 mañanas desayuna jugo y 18 mañanas desayuna leche, ¿cuántas mañanas desayuna jugo y leche? a) 10 d) 13
b) 12 e) 14
c) 15
22. De 150 soldados que participaron en una cruenta batalla, 80 perdieron un ojo, 70 perdieron una oreja a) 16 b) 15 c) 8 y 50 perdieron una pierna. 20 perdieron un ojo y una d) 4 e) 32 oreja, 25 perdieron un ojo y una pierna, 30 perdieron una oreja y una pierna y 10 perdieron un ojo, una 16. Dado el conjunto “A”, indicar verdadero (V) o falso oreja y una pierna. ¿Cuántos escaparon ilesos? (F) según corresponda: A = { 5 ; {6} ; 8 ; {10; 11} } 6
a) 10 d) 15
b) 13 e) 76
c) 17
23.De 100 personas que leen por lo menos dos de tres revistas "A", "B" y "C" se observa que 40 leen la revista "A" y "B", 50 leen "B" y "C" y 60 leen "A" y "C". ¿Cuántas personas leen por lo menos tres revistas? a) 15 d) 30
b) 20 e) 35
c) 25
24. De un grupo de turistas: - 31 visitaron el Callao. - 29 visitaron Trujillo. - 34 visitaron el Cuzco. - 38 visitaron sólo y nada más que un solo lugar lugar.. - 22 visitaron exactamente dos lugares.
a) 645 d) 675
b) 625 e) 700
c) 715
27. En un salón hay 72 alumnos que se preparan para postular a la UNI y/o Católica, la cantidad de postulantes a la UNI es el quíntuple de quienes sólo postulan a la Católica, la cantidad de los que sólo postulan a la UNI es el triple de los que postulan a la UNI y a la Católica. ¿Cuántos de los postulantes se presentarán solamente a una universidad? a) 48 d) 61
b) 52 e) 64
c) 57
28. Un "gordito" ingresa a un restaurante en el cual se venden cinco platos distintos y piensa: “Me gustan todos pero debo llevar como mínimo dos platos y como máximo cuatro”. ¿De cuántas maneras puede ¿Cuántos visitaron los tres lugares y cuántos eran en escoger el “gordito”? total? a) 25 b) 20 c) 23 a) 6 y 66 b) 5 y 65 c) 4 y 64 d) 30 e) 26 d) 4 y 55 e) 5 y 84 29. En un distrito se determinó que el 30% de la población 25. De un grupo de 55 personas, 25 hablan inglés, 32 no lee Caretas, que el 60% no lee Gente y que el hablan francés, 33 hablan alemán y 5 los tres idiomas. 40% leen Caretas o Gente pero no ambas. Si 2 940 ¿Cuántas personas del grupo hablan sólo dos idiomas? personas leen Gente y Caretas, ¿cuántas personas hay en la población? a) 20 b) 25 c) 30 d) 22 e) 27 a) 6 000 b) 3 500 c) 4 200 d) 8 400 e) 12 600 26. En un evento internacional el 60% de los participantes habla inglés y el 25% habla castellano. Si el 20% de 30. Si: n(A ∪ B) = 30; n(A - B) = 12; n(B - A) = 8; hallar los que hablan inglés también hablan castellano castel lano y son el valor valor de: 5.n(A) – 4.n(B) 1200 los que hablan sólo inglés, ¿cuántos no hablan ni inglés ni castellano? a) 38 b) 60 c) 48 d) 70 e) 100
1. Colocar el valor de verdad a cada proposición, si: A = { 2 ; 3 ; {1} {1} ; { 2 ; 1 } } * Φ∈A
* {1} ⊂ A
* 3∈A * {3} ⊂ A
* 1∈A * Φ⊂A
4. Si se sabe que: A={a;b;c;d;e} B={a;b;d} C={c;e;b} hallar el cardinal del conjunto: [(A ∩ B) – C] ∪ (A ∩ B)
2. Sabiendo que los conjuntos: A = { 4a + 3b ; 23 } B = { 3a + 7b ; 41 } son unitarios, hallar h allar el valor de “a+b” “a+b”..
5. Si “A” “A”, “B” y “C” son subconjuntos subconju ntos de “U”, “U”, y además se cumple: U = { x ∈ lN / 3 < x < 20} A = { 5 ; 8 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 } 3. Dados: B = { 4 ; 5 ; 7 ; 6 ; 10 ; 15 ; 19 } 2 A = { a + 9 ; b + 2 } C = { 6 ; 7 ; 8 ; 13 ; 14 ; 19 } B = { - 9 ; 10 } hallar la suma de los elementos del conjunto: Si se sabe que: A=B, calcular un posible valor de “a+b” [( A – B) ∩ C]’ 7
Teoría de conjuntos I 6. Para dos conjuntos “A” “A” y “B” “B” subconjuntos de “U” se cumple que: * n(A’) = 12 * n(B) = 11 * n(A ∩ B) = 3 * n(U) = 20 Calcular el valor de: n(A ∆ B). 7. Sabiendo que: U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} A ∪ B = {1 ; 2 ; 3 ; 4} A ∩ B = {1 ; 3} A – B = {2} Luego el conjunto “B” es:
Entonces es cierto: a) B = C d) A = C
b) A = B ∪ C c) A = B ∩ C e) B – A = A – C
15. Dado el conjunto: A = {x + 2 / x ∈ ZZ ∧ x2 < 9} Calcule la suma de los elementos del conjunto “A “A””. 16. Sea: A = {x / x ∈ lN ∧ 5 < x < _ 15} B = {y + 8 / y ∈ lN ∧ ( 2√ y + 1) ∈ A} ¿Cuál es la suma de los elementos de “B”?
8. Para tres conjuntos conjunto s “A” “A”,, “B” y “C”, “C”, contenidos contenid os en un 17. Se tiene tres conjuntos “A”, “B” y “C” cuyos números universo “U” donde C ⊂ B, se cumple: de cardinales son consecutivos, además se sabe que: * n(A – C) = 5 * n(B – C) = 4 n [P(A)] + n [P(B)] + n [P(C)] = 896 * n(A – B) = 3 * n(A ∪ B) = 10 hallar cuántos elementos puede tener como máximo ¿Cuántos subconjuntos propios tiene “C”? el conjunto: P (A ∪ B ∪ C) 9. Si: A = { x ∈ ZZ / 10 1 0 < x _ < 20} B = {(y+5) ∈ ZZ /(√ y + 15) ∈ A} ¿Cuál es la suma de los elementos de “B”?
18. Sean los siguientes conjuntos: A = {x/x es peruano nacido en Lima} B = {x/x es un estudiante universitario} C = {x/x tiene un trabajo estable} 10. Dado el conjunto universal “U” y los subconjuntos “A” “A”,, Si Juan es un joven nacido en Tacna que está ”B” y “C” de “U”, se cumple: matriculado en la universidad, que se ayuda U=A∪B∪C económicamente dando clases particulares de vez en A = {x ∈ lN / x es # par ∧ x < 18} cuando; entonces Juan pertenece al siguiente conjunto: B = { x ∈ lN / “x” es divisor de 30} a) (A ∩ B) – C b) B – (A ∪ C) C = { x ∈ lN / x < 10} c) (B – A) ∩ C d) (B – C ) ∩ A ¿Cuántos elementos tiene: [ C ∩ ( A ∪ B) ] ∆ B ’ ? e) (B – A ) ∩ (C – B ) 11. Dados los siguientes conjuntos iguales: 19. Indicar el cardinal del conjunto: A = { a + 2 ; a + 1} B = { b + 1 ; c + 1} M = { x + 1 / 3x ∈ lN ∧ x < 72} C = {7 – a ; 8 – a} 2 D = { b + 2 ; 4} 20. La unión de dos conjuntos “A” y “B”, tiene 126 subconjuntos más que su intersección que es un calcular el valor de “a + b + c” c”.. conjunto unitario. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto “A”, “A”, si: (B – A) tiene dos subconjuntos? 12. Sean “A” “A” y “B” dos conjuntos conjunt os tales que: * n(A – B) = 9 21. Para dos subconjuntos “A” y “B” de los números enteros * n(B – A) = 6 se tiene que: * n(A ∪ B) = 18 * A ∪ B = { x / 2 < x < 9} hallar el valor de: 5 n(A) + 2 n(B) * A ∩ B = {5} * A – B = {4 ; 6 ; 7} 13. Se tiene dos conjuntos “A” “A” y “B” tales que: Hallar la suma de los elementos de “B”. * n(A) – n(B) = 3 * n(B’) = 9 22. Consid ere dos conju ntos c omparabl es cuyo s * n [P(A ∪ B)] = 2048 cardinales son números que se diferencian en * n [P(A ∩ B)] = 16 3, además la diferencia de los cardinales ¿Cuántos subconjuntos tiene “ A’ “? de sus conjuntos potencias es 112. Indicar el número de elementos que posee la intersección. 14. Sean los conjuntos: A = {x ∈ ZZ / x = ((-1) 1) n, n ∈ ZZ } B = {y ∈ lN / y2 = (y – 3)2 – 3} C = {z ∈ ZZ /
8
3z 2
+ 3 = 2z +
7 2
}
23. Sean “A”, “B” y “C” tres conjuntos contenidos en un universo de 60 elementos. Si (B – C) ∪ (C – B) tiene 40 elementos; el conjunto A – (B ∪ C) tiene 10 elementos; la intersección de los tres conjuntos tiene 5 elementos y el conjunto (B ∩ C) – A es vacío. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto ( A ∪ B ∪ C) ’ ?
24. Sabiendo que un conjunto tiene 40 elementos 28. Dados los conjuntos “A”, “B” y “C” tales que: * n (B) = 4 * A – C = { 4; 6} y otro conjunto tiene 60 elementos; además la ∩ *A C=Ø * B ∩ C = {1; 3} intersección de ellos tiene 30 elementos. Hallar el * C – B = {2; 5} *A ⊂ B número de elementos que tiene la intersección de los calcular: n(B – A) + n(C) complementos de estos conjuntos, sabiendo que el cardinal del universo es 120. 29. Si: n(A) = 160; n(B) = 150; n(C) = 120; n(A ∪ B ∪ C) = 180 25. Si: n(A ∪ B) = 12; n(A) = 5 y n(B) = 10 calcular la cantidad mínima de elementos de: calcular el número de subconjuntos propios de: A ∩ (A ∩ B ∩ C) B. 26. De 140 personas, 60 no leen y 50 no escriben. 30. Los conjuntos “A” y “B” son unitarios tales que: A = { 12 ; x + y }, }, B = { x - y ; 4 } Sabiendo que 30 solamente leen, ¿cuántas personas calcular el valor de: x + 2y leen y escriben? 27. Sean “A”, “B” y “C”, tres conjuntos tales que: n(A) = n(B) = n(C) = 20 n(A ∩ B ∩ C) = 3 n(A ∩ B) = n(A ∩ C) = n(B ∩ C) = 10 hallar el valor de: n(A ∪ B ∪ C)
9
TEORÍA DE CONJUNTOS II a) 1 d) 4
2 b) 2 e) 5
c) 3
1. De un total de 60 deportistas que practican practican fútbol o 7. En un colegio 95 alumnos han rendido tres exámenes, de ellos 30 aprobaron el primero, 45 el segundo y natación se sabe que 38 practican fútbol y 32 practican 40 el tercero; 5 aprobaron los tres exámenes, 20 no natación. ¿Cuántos practican ambos deportes? aprobaron ningún examen; 10 aprobaron el primero y el segundo pero no el tercero; 15 no aprobaron a) 10 b) 12 c) 14 ni el primero ni el tercero pero sí el segundo; 15 no d) 16 e) 18 aprobaron el primero ni el segundo pero sí el tercero. Determinar cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2. En un corral donde se encuentran 90 pollos, se observa dos cursos. que los que comen maíz son el doble do ble de los que comen sólo trigo, los que comen maíz y trigo son la tercera a) 30 b) 25 c) 35 parte de los que comen sólo maíz. ¿Cuántos pollos d) 20 e) 40 comen uno y sólo uno de estos alimentos? a) 30 d) 60
b) 75 e) 45
c) 20
3. En una ciudad el porcentaje de la población que fuman y beben, de las que sólo fuman y sólo beben, es la mitad, tercera y cuarta parte del porcentaje que no fuman ni beben. Determinar qué porcentaje de la población fuman o beben. a) 48% d) 51%
b) 49% e) 52%
c) 50%
8. Se realizó una encuesta con 550 personas. Se encontró que para enterarse de las la s noticias, 130 veían la l a TV, TV, 215 escuchaban la radio y 345 leían periódicos. Más aún 100 leían periódicos y escuchaban radio, 35 veían TV y escuchaban la radio, 65 veían TV y leían periódico. Si 20 personas se enteraban de las noticias por los tres medios, ¿cuántas personas no utilizaban ninguno de los tres medios para informarse? a) 51 d) 35
b) 45 e) 30
c) 40
4. De un total total de 80 80 personas se conoce que 43 personas 9. De un grupo de turistas que visitó Perú, México y Cuba, se tiene que: consumen el producto "A", 52 personas consumen - todos los que visitaron visitaron Cuba también visitaron el el producto "B" y además 5 personas no consumen Perú. ninguno de estos productos. Determinar cuántas - 16 visitaron Cuba. personas consumen los dos productos a la vez. - 28 visitaron México pero no el Perú. Perú. - 72 visitaron Perú Perú o México. a) 18 b) 19 c) 20 - 6 visitaron Perú y México México pero no Cuba. d) 22 e) 25 - el número de turistas que visitó sólo el Perú es el doble de los que visitaron Cuba y México. 5. De 90 alumnos de un club deportivo se sabe que 42 ¿Cuántos visitaron sólo Cuba y Perú? practican fútbol, 38 básket, 34 voley, voley, 5 practican los 3 deportes, 13 no practican ninguno de ellos, ¿cuántos a) 6 b) 8 c) 7 practican tan solo uno de los deportes mencionados? d) 5 e) 4 a) 38 b) 45 c) 27 10. De un grupo de 50 personas se sabe que 10 d) 35 e) 42 hombres no tienen 17 ni 18 años, 5 mujeres tienen 17 años, 14 mujeres no tienen 17 años, 14 mujeres 6. De una muestra recogida a 200 turistas se determinó no tienen 18 años, ¿cuántos hombres tienen 17 años, lo siguiente: 67 eran norteamericanos, 86 europeos, si 15 personas tienen 18 años? 90 eran mecánicos y de estos últimos 30 eran norteamericanos y 15 europeos. ¿Cuántos no eran a) 10 b) 15 c) 8 norteamericanos ni mecánicos ni europeos? d) 11 e) 5 10
11. De un grupo de 95 personas se observa que: 16. En un salón de clases 40 alumnos tenían lapiceros - 15 son atletas que practican el fútbol y la natación. azules, 30 tenían lapiceros negros y 30 lapiceros - 52 son atletas. rojos, 8 tenían solamente lapiceros azules y negros, 6 - 55 son nadadores. tenían solamente lapiceros negros y rojos y 12 tenían - todos los futbolistas son atletas y 10 son solamente lapiceros azules y rojos. Si 5 tenían los tres deportistas que sólo practican el atletismo. lapiceros de distintos colores y 6 escriben con lápices, - 15 personas no practican los deportes ¿cuántos alumnos tenía el salón? mencionados. a) 50 b) 60 c) 70 ¿Cuántos deportistas son futbolistas? d) 80 e) más de 80 a) 30 d) 25
b) 40 e) 28
c) 35
17.. En un salón se encuentran 17 encuent ran 52 alumnos, de los cuales 30 son hombres y 12 mujeres no tienen 18 años. Si 30 personas tienen 18 años, ¿cuántos hombres tienen 12. En una población se determinó que el 28% comen 18 años? espinacas; el 30% comen apio; el 42% comen nabo; el 8% espinaca y apio; el 10% espinaca y nabo; el a) 20 b) 10 c) 12 5% apio y nabo y el 3% comen espinaca, apio y nabo. d) 22 e) 30 ¿Qué porcentaje de la población no comen ninguno de estos tres alimentos? 18. En un examen de admisión se observó que 2 900 postulantes usaron lapicero negro, 4 000 no usaron a) 10% b) 20% c) 40% lapicero azul y 1 900 no usaron ni azul ni negro. d) 80% e) 60% ¿Cuántos postulantes usaron lapicero azul y negro, si los postulantes fueron 6 600? 13. En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos “A”, “B” y a) 1 100 b) 500 c) 1 000 “C” como los más importa importantes. ntes. Se analizaro analizaronn “M” d) 800 e) 1 200 productos con el siguiente resultado: - 1/3 de los productos poseen el defecto “A “A””. 19. De un grupo de 40 personas se observa que 14 van al - 1/4 de los productos poseen el defecto “B”. “B”. teatro solamente, los que van al cine y al teatro son - 1/5 de los productos poseen el defecto “C”. “C”. la tercera parte de los que van al cine y 8 no van a - 1/15 de los productos poseen exactamente dos dos ninguno de los dos sitios. ¿Cuántos no van al teatro? defectos. - 10 productos poseen exactamente tres defectos. a) 12 b) 20 c) 14 - 105 productos no poseen defecto defecto alguno. alguno. d) 6 e) mal propuesto ¿Cuántos productos poseen sólo un defecto? a) 195 d) 155
b) 185 e) 145
c) 165
20.
De un grupo de 80 personas, 27 leían la revista “A “A” ” pero no leían la revista “B”, 26 leían “B” pero no “C” y 19 leían “C” pero no “A”. “A”. Si 2 leían las tres revistas, ¿cuántas preferían otras revistas?
14. De un grupo de personas que va a viajar, viajar, se observa a) 2 b) 3 c) 4 que 40 mujeres viajan al extranjero, 37 hombres d) 5 e) 6 viajan a provincias, 28 casados viajan a provincias, 28 casados viajan al extranjero, 45 solteros viajan a 21. En una ocina, 20 empleados conversan en voz provincias; hay 42 hombres casados, ¿cuántas mujeres baja para no despertar a los 10 que duermen, 18 solteras viajan a provincia, si las mujeres solteras están echados, de los cuales 3 de ellos duermen y 5 viajan al extranjero? conversan en voz baja. Si en total hay 60 empleados, ¿de cuántos se puede decir: “quizá están trabajando”? a) 32 b) 40 c) 49 d) 38 e) 44 a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 15. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican natación, nat ación, 55 practican karate y 75 ping pong. 20 alumnos 22. En un barrio donde hay 29 personas, 16 compran en practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno de el mercado, 15 en la bodega y 18 en el supermercado, ellos, ¿cuántos alumnos practican exactamente 2 de 5 en los dos últimos sitios únicamente, 6 en los dos los deportes mencionados? primeros únicamente y 7 en el primero y el último únicamente. ¿Cuál es el número de personas que a) 50 b) 45 c) 55 compran solamente en el mercado? d) 60 e) 35 11
Teoría de conjuntos II a) 2 d) 5
b) 3 e) 6
c) 4
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
23.
De una muestra recogida a 200 secretarias, 40 eran 27. De 100 estudiantes de la Universidad, 49 no llevan rubias, 50 eran morenas y 90 tienen ojos azules, de MBI y 53 no llevan Lengua. Si 27 alumnos no llevan éstas últimas 65 no son rubias y 60 no son morenas. El MBI ni Lengua, ¿cuántos alumnos llevan uno solo de número de secretarias que no son rubias, ni morenas, tales cursos? ni tiene ojos azules es: a) 17 b) 42 c) 48 a) 75 b) 60 c) 68 d) 26 e) 22 d) 40 e) 65 28. En un cesto hay manzanas, peras y naranjas. Un grupo 24. En una encuesta a los alumnos del colegio se obtuvo de 72 niños comieron frutas de la siguiente manera: 32 la siguiente información: niños comieron manzanas, 33 niños comieron peras y - El 60% aprobó física. 20 niños comieron naranjas; 4 niños comieron peras - El 40% aprobó química. y manzanas, 7 niños comieron peras y naranjas y 5 - El 75% aprobó matemática. niños comieron naranjas y manzanas. ¿Cuántos niños - El 10% aprobó los tres cursos. comieron los tres tipos de frutas diferentes? - 10% aprobaron física solamente. - 15% aprobaron física y química. a) 1 b) 2 c) 3 - 30% aprobó química y matemática. d) 4 e) 5 El porcentaje de alumnos que lamentablemente no 29. En una población, el 45% de los habitantes lee las aprobó curso alguno, es: revistas “A” “A” o “B” pero no las dos a la l a vez, el 75% no lee la revista revist a “B”, “B”, el 50% no lee “A” y 4 800 personas leen le en a) 1% b) 2% c) 3% “A”” y “B”. “A “B”. ¿Cuántos habitantes hay en la población? d) 4% e) 5% a) 45 000 b) 48 000 c) 4 000 25. Jeny contaba que durante el mes de Febrero del d) 32 000 e) 30 000 2000 salió a pasear con José, con Juan o con ambos. Si 16 días salió con José y 20 con Juan, ¿cuántos días 30 30.. En una asamblea comunal participaron 400 salió con ambos, si el día de los enamorados salió con vecinos; el número de limeños gobiernistas era igual otra persona? a: - 1/4 del número de los que no son limeños ni a) 12 b) 10 c) 7 gobiernistas. d) 8 e) 9 - 1/10 del número de limeños. - 1/3 del número de gobiernistas. 26. En una biblioteca habían 17 personas, de las cuales 8 leyeron la revista “A”, 9 la revista “B” y 7 leyeron ¿ Cuántos limeños no eran gobiernistas? ambas revistas. ¿Cuántos no leyeron estas revistas? a) 225 b) 200 c) 180 d) 135 e) 215
12
1. En un avión viajan 120 personas, de las cuales: - la tercera parte de ellas beben. - la quinta parte de ellas fuman. - 18 personas fuman y beben.
10. En una academia de computación se observa que todos los que estudian Power Point estudian Corel Draw; 15 estudian Power Point, Corel Draw y Macromedia Flash; 60 estudian Macromedia Flash y 80 estudian Corel Draw.. La cantidad de los que estudian Corel Draw y Draw Macromedia Flash, pero no Power Point es el doble de ¿Cuántas personas no fuman ni beben? los que estudian sólo Macromedia Flash y a su vez es el triple de los que estudian sólo Corel Draw. ¿Cuántos 2. De un grupo de 300 personas, 180 conocen Cusco, 160 estudian Power Point pero no Macromedia Flash? conocen Arequipa y 20 no conocen Cusco ni Arequipa. ¿Cuántos conocen una sola ciudad? 11. De una muestra recogida a 200 transeúntes se determinó lo siguiente: 60 eran mudos; 70 eran 3. 90 alumnos del 4to 4to año asisten a la clase de cantantes callejeros y 90 eran ciegos; de estos computación, 70 a entrenamientos de diferentes últimos, 20 eran mudos y 30 eran cantantes callejeros. callejeros . deportes y 5 no se interesan ni en computación ni ¿Cuántos de los que no eran cantantes callejeros no en deportes. Si 30 asisten tanto a deportes como a eran ni mudos ni ciegos? computación, ¿cuántos alumnos hay en 4to año? 4. De un grupo de 120 alumnos, 70 preeren preeren los cursos 12. En el conservatorio de música hay 250 alumnos; de los cuales 110 estudian guitarra, 120 violín y 100 “A”” o “B” pero no ambos cursos a la vez. Los que no “A trompeta; además 54 estudian guitarra y violín; 40 preeren ninguno de dichos cursos, son el cuádruple violín y trompeta; 46 guitarra y trompeta y además de los que preeren ambos cursos. ¿Cuántos alumnos 10 personas estudian los tres instrumentos. ¿Cuántas preeren ambos cursos? personas no estudian ninguno de estos instrumentos? 5. En una población el 50% 50% toma leche, el 40% come 13. En una competencia atlética conformada por 15 carne y además sólo los que comen carne o solo los pruebas participaron 50 atletas, observándose que al que toman leche son el 54%. ¿Cuál es el porcentaje nal 4 conquistaron medallas de oro, plata y bronce, de los que no toman leche ni comen carne? 7 conquistaron medallas de oro y plata, 6 de plata y bronce y 8 de oro y bronce. ¿Cuántos atletas no 6. En una colonia china, 3 480 chinos comen arroz sin conquistaron medallas? sal y 5 700 comen arroz con sal. Si los que no comen arroz son el doble de los que comen arroz con sal y 14. En una encuesta se reveló que: sin sal, ¿cuántos no comen arroz, si en total hay 10 - el 25% lee la revista MÓNICA 000 chinos? - el 18% lee la revista MAGALY - el 15% lee la revista GISELLA 7. De un grupo de 100 atletas, 54 lanzan jabalina y 45 - el 9% lee MÓNICA y GISELLA lanzan bala. Si 28 practican los dos deportes, entonces, - el 6% lee MAGALY y GISELLA ¿cuál será el número de atletas que no practican bala - el 10% lee MÓNICA y MAGALY ni jabalina? - el 3% lee las tres revistas 8. De una encuesta realizada a 120 alumnos sobre ¿Qué porcentaje no lee dichas revistas? cierta preferencia se obtuvo las respuestas: “sí” de parte de 80 alumnos y “por supuesto” respondieron 15. De 65 personas que leen por lo menos dos de tres diarios, se observa que 27 personas leen El Comercio 50 alumnos. ¿Cuántos alumnos no respondieron con y La República, 35 personas leen El Trome y La las frases anteriores, si el número de alumnos que República y 33 personas leen El Comercio y El Trome. respondieron “sí, por supuesto” es la cuarta parte de ¿Cuántas personas leen los tres diarios a la vez? los que dijeron “sí” solamente? 9. En una encuesta realizada en un centro de idiomas se 16. En una estación de transporte habían 100 personas, de las cuales 40 hombres eran provincianos, 30 mujeres obtuvo los siguientes resultados: 60 no hablan inglés, eran limeñas y el número de mujeres provincianas 70 no hablan francés y 60 hablan inglés y/o francés. Si excede en 10 al número de hombres limeños. ¿Cuántos entre los 100 encuestados ninguno habla otro idioma hombres hay en el aula? además del materno, inglés o francés, ¿cuántos hablan a lo más dos idiomas?
13
Teoría de conjuntos II 17. En una esta donde había 70 personas, 10 eran 23. En una un a encuesta a 60 personas se recogió la siguiente hombres que no les gustaba la música ROCK y 20 eran información: 7 personas consumen los productos “A” mujeres que gustaban de esta música. Si el número de y “B” pero no “C” y 6 personas consumen “B” y “C” hombres que gusta de la música ROCK es la tercera pero no “A”. Si 3 personas consumen “A” y “C” pero parte de las mujeres que no les gusta esta música, ¿a no “B”, “B”, 50 personas consumen al menos uno de estos cuántos les gusta la música ROCK? productos y 11 personas consumen “A” y “B”, hallar los que consumen un producto. 18. De un grupo de turistas: - 9 conocen Cusco o Piura pero no Arequipa, Arequipa, de 24. De un grupo de 300 personas: 180 conocen Cusco, 160 los cuales 8 conocen Cusco y 4 conocen Piura. conocen Arequipa y 20 no conocen Cusco ni Arequipa. - 25 han visitado Arequipa o Piura, de los cuales 9 ¿Cuántos conocen una sola ciudad? conocen Cusco. - 4 conocen las tres ciudades. 25. En un grupo de 60 estudiantes, 26 hablan francés y 12 solamente francés; 30 hablan inglés y 8 solamente ¿Cuántos turistas conocen Arequipa pero no Cusco? inglés y 28 hablan alemán y 10 solamente alemán. También se sabe que 4 hablan los tres idiomas 19. De 60 alumnos, 38 estudian álgebra, 24 estudian mencio-nados. ¿Cuántos hablan inglés y alemán pero biología, 48 estudian castellano y 5 estudian los tres no francés? cursos. El número de alumnos que estudian sólo dos de los cursos es: (todos estudian por lo menos uno 26. En un u n salón de clase, c lase, 7 aprobaron apr obaron sólo s ólo “A”, “A”, 6 sólo “B”, de los tres cursos). 5 sólo “C”; 5 aprobaron los tres cursos; de los que aprobaron “A”, 17 aprobaron “B” o “C”; de los que 20. Para estudiar la calidad de un producto se considera aprobaron “B”, 16 aprobaron “A” o “C” y de los que tres defectos: “A”, “B” y “C”. Se analizaron 100 aprobaron “C”, 12 aprobaron “A” o “B”. ¿De cuántos productos con el siguiente resultado: alumnos, por lo menos, se compone el aula? - 33 productos tienen el defecto “A”. - 37 productos tienen el defecto “B”. “B”. 27. De los 7 000 primeros números naturales, ¿cuántos - 44 productos tienen el defecto “C”. “C”. son divisibles entre 5 y entre 14 pero no entre 3? - 53 productos tienen exactamente un defecto. - 7 productos tienen los tres defectos. 28. En una sección de la academia formada por 42 alumnos entre hombres y mujeres, se sabe que: ¿Cuántos productos tienen exactamente dos defectos? - 13 hombres aprobaron geometría. - 8 hombres aprobaron trigonometría. 21. Se tomó una encuesta a 300 personas sobre las - 4 hombres y 6 mujeres mujeres no aprobaron ninguno de preferencias de tres diarios “A”, “B” y “C”, averilos dos cursos. guándose que: - 7 aprobaron los dos cursos. - 250 leen “A “A”” o “B”. - 24 aprobaron geometría. - 100 leen “A” pero no leen “B”. - 24 hombres hay en la sección. - 120 leen “B” pero no leen “A”. - 20 no leen estos diarios. ¿Cuál es el número de mujeres que aprobaron - no n o más de 10 leen los tres diarios mencionados. trigonometría? ¿Cuál es el mínimo número de personas que podrían leer “A” y “B” pero no “C”? 22. El IPD organiza competencias de clasicación en los deportes de atletismo, gimnasia y box. Hay deportistas inscritos en todas las disciplinas, de los cuales 200 participan en atletismo, 180 en gimnasia, 240 en box, 300 en atletismo o gimnasia, 40 en atletismo y gimnasia pero no en box y 80 sólo en box. ¿Cuántos deportistas participan en tres deportes?
14
SISTEMA DE NUMERACIÓN I
3
A pesar de su enorme importancia y simplicidad, pasaron siglos antes de que la humanidad usara este concepto La humanidad en su desarrollo histórico ha creado con facilidad. La primera aparición indiscutible del cero tal diferentes formas de nombrar y denotar a los números como se usa hoy fue en la India, en una inscripción del año naturales. En cada pueblo y en cada época los números 876 de nuestra era. Los árabes lo llevaron a Europa en el naturales se representaron con diferentes símbolos. siglo XII, junto con los números llamados indoarábigos. Introducción
Así: Nombre
Cinco Diez Diez
Símbolo
5 X
Trece
Pueblo
Indo-arábigo Romano Egipcio Maya
Karl Menninger, en su clásica obra Number Words and Number Symbols, señala la inscripción IVc V en una iglesia medieval, indicando el año 1 505, donde se ve una combinación de cifras romanas con la notación posicional y el cero indicado con una “c” minúscula. M
Al combinar los símbolos mediante ciertas reglas se puede representar todos los números naturales. El conjunto de símbolos y reglas que permiten combinarlos recibe el nombre de sistema de numeración. Sistema decimal de numeración
C
.. .
D U
. . . . . Tabla de contar de la Edad Media . . . indicando el número 3 028 ..
Los mayas de Yucatán también utilizaron el cero desde el principio de la era cristiana, mucho antes de la llegada l legada de los europeos.
Este sistema de numeración fue inventado por los hindúes La palabra cero deriva probablemente de zephirum, forma y difundido después por los árabes, razón por la cual latinizada del árabe sifr que es, a su vez, una traducción se llama sistema indoarábigo. Este sistema es el que de la palabra hindú sunya, que signica vacío o nada. actualmente utilizamos y usa diez símbolos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 Principio posicional
que se llaman cifras (dígitos). Gran parte de nuestros actuales conceptos respecto a los
Aunqu e es cier Aunque cierto to que el conce concepto pto del cero simpl simplicó icó notablemente la operación de contar y el manejo de los números, existe otro concepto igualmente importante: el de posición, según el cual, el valor de cada dígito depende de su posición.
números se derivan de costumbres romanas. Por ejemplo, la palabra dígito deriva del latín dígitos, que signica dedo. Nuestro actual sistema decimal está basado en diez dígitos, en la misma forma que los primitivos romanos basaron su sistema de numeración en los diez dedos de la mano. Por ejemplo:
La mayor diferencia entre nuestro sistema y el de los 4 7 8 4 posición de unidades (4 x 1) romanos radica en que éstos no incluían al cero como dígito, posición de decenas (8 x 10) lo cual les obligaba a tener un símbolo diferente dif erente para cada posición de centenas (7 x 100) número que quisieran expresar (por ejemplo de existir el posición de millares (4 x 1000) cero, 10 podría expresarse como I 0 en lugar de X). El 4 en la posición de millares tiene un valor diferente al El cero del 4 en la posición de unidades. Esta diferencia de valores se aprecia claramente cuando leemos el valor del número: La innovación más importante de toda la matemática es cuatro mil setecientos ochenta y cuatro. quizás el cero, con él y los otros nueve dígitos se puede representar cualquier cantidad por muy grande que sea.
15
Sistema de numeración I Así pues, cada dígito de un numeral tiene un valor absoluto 5. Un numeral de tres cifras que empieza en la cifra 2 o digital y un valor de posición o relativo. es igual a 22 veces la suma de sus cifras. Hallar el producto de sus cifras. 0 4 7 8 4 valor absoluto 4; valor relativo 4 x 10 a) 36 b) 39 c) 42 valor absoluto 8; valor relativo 8 x 101 d) 48 e) 56 valor absoluto 7; valor relativo 7 x 102 valor absoluto 4; valor relativo 4 x 103 6. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de sus cifras? Obsérvese que los valores relativos de los dígitos aumentan según las potencias crecientes de 10, de derecha a izquierda. izquier da. a) 1 b) 2 c) 3 Es fácil determinar el exponente que corresponde a una d) 4 e) 5 posición de dígito determinada contando el número de posiciones que quedan a la derecha del dígito en cuestión. 7. Una persona nació en el año 19aa y en el año 19bb cumplió (a + b + 6) años. ¿En qué año nació? Principio aditivo
a) 1977 b) 1966 c) 1988 Todo numeral debe interpretarse como la suma de los d) 1855 e) 1944 valores relativos de las cifras que lo forman. Así el numeral 4 784 denota la suma: 8. Si a un número de tres cifras se le agrega dos ceros a la derecha, el número aumenta en 34 452. Hallar el 4 784 = 4 x 10 3 + 7 x 102 + 8 x 101 + 4 x 100 número original y dar la suma de sus cifras. Lo anterior nos indica que los números nú meros o expresiones que manejamos son formas abreviadas de expresar sumas.
a) 12 d) 15
b) 13 e) 17
c) 14
Cuando un número se expresa por medio de una suma, 9. Hallar el mayor número de tres cifras que al restarle decimos que el número se ha descompuesto en forma 459 da como resultado la suma de sus cifras. polinómica. a) 539 b) 579 c) 499 d) 479 e) 509 10. Si: abcd = 37ab + 62cd hallar el valor de “a + b + c + d”. d”. a) 15 d) 17
1. Si se sabe que: ab + ba = 165 hallar el valor de “a + b”. b”. a) 12 d) 16
b) 14 e) 10
c) 15
11.
a) 311a d) 310a
b) 321a e) 315a
c) 312a
b) 3 e) 12
c) 9
4. ¿Cuántos numerales numerales de dos cifras son iguales a cuatro veces la suma de sus cifras? a) 1 d) 4
16
b) 2 e) 5
c) 3
b) 10 e) 14
c) 6
12. Si se cumple que: abc = ab + bc + ca hallar el valor de “a – b + c”.
3. Si al numeral ab de cifras signicativas le restamos el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus 13. cifras, se obtiene 72. Hallar el valor de “a + b” b”.. a) 7 d) 10
c) 14
Hallar la suma de las cifras del mayor número que excede en 32 a cinco veces la cifra de las unidades. a) 8 d) 13
2. Luego de descomponer polinómicamente: (3a)(2a)(a) se obtiene:
b) 16 e) 19
a) 1 d) 4
b) 2 e) 0
c) 3
Si a un número de dos cifras se le agrega la suma de sus cifras, se invierte el orden de sus cifras. Hallar el producto de las cifras de dicho número. a) 20 d) 14
b) 24 e) 15
c) 18
14. Al multiplicar un número de dos cifras por 3, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 8 al número que se obtiene al invertir el orden de sus dígitos. ¿Cuál es dicho resultado?
a) 216 d) 72
b) 144 e) 145
c) 128
23. A un número de dos cifras se le suma el que resulta de invertir el orden de sus cifras y se obtiene 11 veces la diferencia de estos números. Hallar la suma de las 15. Un número que está comprendido entre 100 y 300, es cifras del número inicial. tal que leído al revés excede en 50 al doble del número que le sigue al original. Hallar la suma de cifras del a) 6 b) 7 c) 8 número original. d) 9 e) 10 a) 10 d) 13
b) 11 e) 14
c) 12
24. Hallar un número de tres cifras que empieza en 4, tal que al elimi eliminar nar el el 4, se obtiene un numera numerall que q ue es 1/177 del número original. Dar como respuesta la suma 1/1 de sus cifras. 16. El triple de un número es de la forma ab , pero si al número se le multiplica por 18 y luego se le divide a) 10 b) 11 c) 12 entre 5 se obtiene ba . Hallar “a + b”. d) 13 e) 14 a) 6 b) 7 c) 8 25. Se tiene un número de dos cifras tal que si se agrega d) 9 e) 10 un 2 a la izquierda del número se convierte en un número igual a cinco veces el número original. Hallar 17. Un número de tres cifras que comienza en 8, es tal la suma de las cifras de dicho número. que al suprimirle esta cifra se obtiene un número que es igual a 1/33 del número original. ¿Cuál es la suma a) 5 b) 6 c) 7 de sus cifras? d) 8 e) 9 a) 10 b) 13 c) 15 26. Si un número de dos dígitos es “n” veces la suma de d) 18 e) 21 sus dígitos, el número que se obtiene al intercambiar los dígitos, es la suma de los dígitos multiplicada por: 18. Dada la siguiente igualdad: abc + 2a + 2b + 2c = 690
Hallar “a + b + c” a) 8 d) 11
b) 9 e) 12
c) 10
19. Determinar el producto de las tres cifras de un número, cuyas dos primeras cifras son iguales, tal que sea igual a trece veces la suma de sus cifras. a) 7 d) 20
b) 12 e) 50
c) 15
20. Un número aumentado en el triple de su cifra de decenas resulta 93. Hallar la suma de sus cifras. a) 6 d) 9
b) 7 e) 10
c) 8
a) 10 – n d) n – 1
b) 11 – n e) n + 1
c) 9 + n
27.. Si a un numeral de tres cifras que empieza con la cifra 27 6, se le suprime esta cifra, el numeral resultante es 1/26 del numeral original. Hallar el producto de las cifras del numeral. a) 36 d) 72
b) 60 e) 56
c) 48
28. Un depósito tiene ab litros de agua, se empieza a llenar con caudal constante, al cabo de media hora se tiene ba litros y cumplida la primera hora a0b litros. Hallar el caudal en litros por hora. a) 60 d) 80
b) 70 e) 90
c) 75
21. Determinar un número de tres cifras comprendidas 29. Hallar el mayor numeral de dos cifras signicativas, tal que al sumarle el numeral que se obtiene de invertir entre 100 y 200 que es igual a 11 veces la l a suma de sus el orden de sus cifras da 77. cifras. Dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 75 d) 48
b) 72 e) 40
c) 56
a) 52 d) 72
b) 81 e) 61
c) 62
22. ¿Cuántos números de dos cifras son tales que al 30. Hallar un numeral de dos cifras que sea igual a 3 veces la suma de sus cifras. Dar como respuesta la restarle el número que resulta de invertir invertir el orden de diferencia de sus cifras. sus cifras se obtiene 45? a) 1 d) 4
b) 2 e) 5
c) 3
a) 4 d) 2
b) 5 e) 1
c) 8 17
Sistema de numeración I
1. Dado el numeral capicúa: hallar “a × b”.
a(b + 1)(7 - b)(8 - a)
2. Si el numeral de la forma: la suma de sus cifras.
(a - 2)a(3a)
13. Si a un número de tres cifras se le agrega el número de decenas enteras que posee se obtiene 376. Hallar la suma de las cifras del número.
existe, hallar
14. En el primer año bisiesto de la década de los 90, la edad de un padre es ac años (a>c) y la de su hijo 3. ¿Cuántos numerales de dos dos cifras cifras signicativas signicativas cumplen es “a” años. En el siguiente año bisiesto, la edad del padre es 5 veces la edad del hijo. ¿Cuál será la suma que, al incrementarles el numeral que se obtiene al invertir el orden de sus cifras, se obtiene 55? de las cifras de la edad del padre en el año 2000? 4. Si “A” “A” es un numeral de tres cifras y “B” es otro numeral 15. ¿Cuántos números de dos cifras son iguales a 3 veces de dos cifras, hallar el mayor valor que puede tomar la suma de sus cifras? “A - B” B”. Dar la suma de las cifras del resultado. resultado. 16. La suma de las cifras de un número es 11 y si al número 5. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son se le suma 27, las cifras del número se invierten. Hallar H allar iguales a 6 veces la suma de sus cifras? el producto de las cifras del número. 6. Hallar la cifra cifra de mayor orden de un número menor 17. La diferencia de las cifras de un número ab es 3. Si a que 900, tal que la cifra de las l as unidades sea la mitad 17. este número se le agrega el doble del número con las de las decenas y que ésta sea la cuarta parte de la de cifras invertidas, resulta result a 102. Hallar el valor de “a + b”. las centenas. 7. Si a un número de tres cifras se le altera el orden 18. Si a un número de tres cifras que empieza en la cifra 9 se le suprime esta cifra, el número resultante es 1/21 de las unidades con las decenas, éste aumentará en del número original. ¿Cuál será la suma de las tres 45 unidades; pero si se invierten las decenas con las cifras de dicho número? centenas, disminuirá en 270. Halla en cuanto se altera si se invierte el orden de las centenas y unidades. 19. A una persona se le pide que multiplique su edad por 8. Si a un numeral decimal de cuatro cifras se le agrega la 2, sume 5 al resultado, multiplique por 50 lo obtenido, suma de los valores absolutos de sus cifras, se obtiene le reste 365 y nalmente le sume un entero de dos 7 368. Hallar la cifra de segundo orden más la cifra de cifras que represente la cantidad de céntimos menor cuarto orden. que 100, que tiene en el bolsillo. Si la respuesta es 1 745, averigüe la edad y el número de céntimos. 9. Un número consta de dos dígitos cuya suma es 11. Si se intercambian sus cifras resulta un número que ex- 20. Se tiene un número de seis cifras que comienza a la cede en 5 al triple del número primitivo. Hallar dicho izquierda con 2. Si se pasa la cifra 2, del sexto orden número. donde se encuentran al primer orden se obtiene un número que será el triple del número original. Dar la 10. Se tiene la siguiente igualdad: suma de las cifras del número. ab + ac + bc + cb + ca = 110
hallar el valor de “a + b + c” c”.. 11. Sabiendo que se cumple: abc1 = 3 × 2abc
calcular el valor de “a + b + c” c”.. 12. ¿Cuál es la suma de las cifras del número que excede en 57 a 20 veces la cifra de sus unidades? 18
21. ¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual su cifra de tercer orden ocupa el cuarto lugar? 22. Hallar un u n numeral de tres cifras cuya cifra de segundo orden sea el doble de la cifra de primer orden y la cifra de tercer orden sea el triple de la cifra de segundo orden. Dar la suma de sus cifras.
27.. Hallar un número de tres cifras que cumpla que la cifra = 132. 27 de decenas sea la cuarta parte de la cifra de centenas y la cifra de unidades sea la mitad de la de decenas. Dar la cifra de decenas. ab 24. Juan tiene años y dentro de “7a” años tendrá 56 28. Sea: N = ab un número de dos cifras y N1 = ba . años. Hallar el valor de “a + b”. Si además se cumple que: (N + N1)/11 = 14 y a - b = 4, calcular el valor de (N 1)2. 25. Si se cumple que: abab = N.ab , hallar la suma de cifras de “N”. 29. Si a un numeral de cuatro cifras se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 4 767. Hallar la suma de las 26. Un numeral capicúa es de la forma: (a - 1)(a 1)(a3 )(b + 4)c 4)c . cifras de primer y tercer lugar lu gar.. Hallar el valor de “a × b × c” c”.. 23. Si se sabe que: a – b = 2 y además: Hallar “a × b”.
ab + ba
19
SISTEMA DE NUMERACIÓN II
4
segundos, así como en el sistema análogo de medición de los ángulos: 1 grado = 60 minutos y 1 minuto = 60 Un accidente fisiológico, el hecho de que tengamos segundos). diez dedos en las manos y diez dedos en los pies, ha determinado la adopción del sistema decimal de Según Stanley famoso explorador de África, varias tribus numeración; aunque con el correr de los siglos se han africanas emplearon el sistema quinario. Es evidente la relación de este sistema con la forma de la mano del propuesto y utilizado otros sistemas. hombre, "máquina computadora" primaria. Por ejemplo, tuvo bastante difusión el sistema duodecimal. Indudablemente su origen también está ligado al cálculo La civilización Maya oreció en Mesoamérica alrededor n uestra era. Todavía Todavía no se han descifrado por los dedos: puesto que los cuatro dedos de la mano (a del siglo IV de nuestra todos los jeroglícos mayas, pero se sabe que tenían excepción del pulgar) tienen 12 falanges en total, pasando el dedo pulgar por estas falanges se puede contar de dos sistemas de numeración, ambos en base vigesimal. 1 hasta 12. Los vestigios del sistema duodecimal se han Para los cálculos astronómicos y cronológicos, los mayas posicio nal de base 20 pero asignaban conservado en la lengua hablada hasta nuestros días: en utilizaban un sistema posicional el valor 360, en lugar de 400 (20 x 20) al número que lugar de "doce" a menudo decimos "docena". Muchos objetos (cuchillos, tenedores, platos, pañuelos, etc.) suelen ocupaba la unidad de tercer orden; agregaban después acercándo se así a los 365 días del año. contarse por docenas y no por decenas (recuérdese, por cinco días nefastos, acercándose ejemplo, que las vajillas son, como regla general, para 12 ó 6 personas y muy rara vez para 10 ó 5). Hoy día casi no Para otros usos tenían un sistema vigesimal estricto con se emplea la palabra "gruesa", que signica doce docenas, docen as, dos notaciones diferentes: pero hace unas decenas de años era una palabra bastante 19 y extendida especialmente en el mundo comercial. La docena - En una de las notaciones, cada dígito del 1 al 19 el cero está representado por una cabeza distinta, de gruesas se llamaba "masa" aunque hoy día pocas relacionada con los dioses mayas: personas conocen esta signicación de la palabra "masa". Otros sistemas de numeración y sus orígenes
Los ingleses conservan indudables vestigios del sistema duodecimal: en el sistema de medidas (1 pie = 12 pulgadas) y en el sistema monetario (1 chelín = 12 peniques). En Babilonia antigua, cuya cultura (incluyendo la En esta gura están representados los dioses correspondientes a los números 1; 2 y 3. matemática) era bastante elevada, existía un sistema sexagesimal muy complejo. Los historiadores discrepan en cuanto a sus orígenes. Una hipótesis, por cierto no muy - La otra notación es más práctica y consta de solo tres símbolos: dedigna, es que se produjo la fusión de dos tribus, una · para el uno el punto: de las cuales usaba el sistema senario y la otra el sistema para el cinco la barra: decimal. Otra hipótesis es que los babilonios consideraban para el cero el caracol: el año compuesto de 360 días lo que se relacionaba de modo natural con el número 60. Tampoco esta hipótesis ... .. ... . .. puede considerarse sucientemente argumentada: siendo Ejemplos: 3 6 12 18 20 bastante elevados los conocimientos astronómicos de los antiguos babilónicos, cabe pensar que su error al estimar - Los números mayores que 20 se escriben en columnas la duración del año era mucho menor que 5 días. A pesar y se leían de arriba abajo empezando por el orden más de que no están muy claros los orígenes del sistema alto, por ejemplo: 1351 sexagesimal, está comprobada con suciente seguridad la existencia y amplia difusión en Babilonia. 3 grupos de 20 x 20= 1 200 .. 7 grupos de 20 = 140 . 11 unidades Este sistema, igual que el duodecimal se ha conservado = 11 en cierta medida hasta nuestros días (por ejemplo, en la Total 1 351 subdivisión de la hora en 60 minutos y el minuto en 60 .. .
20
-
Los aztecas también usaban un sistema vigesimal Leibnitz vió en este sistema la imagen de la creación; se utilizando los signos siguientes: imaginó que la unidad (1) representaba rep resentaba a Dios y el cero (0) la nada, e inventó un sistema losóco en esas premisas. El número 67 en base 10 se escribe en distintas bases: 6710 = 1760 = 3720 = 5712 = 6111 = 10000112
Los aztecas sólo usaban el principio aditivo, representaban representaba n los otros números repitiendo esos cuatro signos todas las veces que fuera necesario. Para indicar 100 bolsas de plumas blancas, dibujaban una bolsa de plumas blancas y cinco banderitas (5 x 20 = 100). 1. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Existen innitos sistemas de numeración. II. En cualquier sistema sistema de numeración, la base no se utiliza como cifra. III. En el sistema binario se puede representar el numeral 4. El sistema vigesimal era también empleado por los celtas a) V F V b) V V F c) V F F que se establecieron en el Occidente de Europa desde el d) V V V e) F V F segundo milenio antes de nuestra era. Algunos vestigios del sistema vigesimal de los celtas subsisten en el moderno idioma francés: por ejemplo, "ochenta" en francés es 2. Si se sabe que: 3 N = 2 x 6 + 5 x 62 + 3 x 6 + 1 "quatre-vingt", o sea, literalmente "cuatro veces veinte". El número 20 gura también en el sistema monetario ¿cómo se escribe el número “N” en base seis?. Dar francés: el franco, unidad monetaria, consta de 20 sous. como respuesta la suma de sus cifras. Los cuatro sistemas de numeración mencionados a) 9 b) 10 c) 11 (duodecimal, quinario, sexagesimal y vigesimal) que junto d) 12 e) 13 al sistema decimal desempeñaron un papel notable en el desarrolloo de la cultura humana están ligados (a excepción desarroll del sexagesimal, cuyos orígenes no han sido aclarados) 3. Hallar el valor de “a” 186 “a”,, en: 3a4 (7) = 186 a una u otra forma de contar con los dedos de las manos (o de las manos y de los pies), es decir son de origen a) 1 b) 2 c) 3 "anatómico" indudable igual que el sistema decimal. d) 4 e) 5 En el siglo XVIII, el naturalista francés Georges L. Buffon 4. Hallar el valor de “a” “a”,, si se sabe que: propuso un sistema de base 12, este sistema emplea 12 2a2a (7) = 1000 símbolos diferentes, los diez símbolos habituales más X para el diez y Z para el once. Una de las ventajas de a) 6 b) 5 c) 4 este sistema es que 12 tiene más divisores (1; 2; 3; 4; d) 3 e) 2 6; 12) que 10 (1; 2; 5; 10) y se simplican así muchas operaciones con fracciones. 5. Si se sabe que los numerales: b45(8) ; aa3(b) ; 25(a) Joseph L. Lagrange (1 736 736 - 1 813), matemático francés, están correctamente escritos, hallar el valor de “a. “a.+.b” b”.. propuso un sistema de once símbolos (base 11). Siendo 11 un número primo, todas las fracciones en este este sistema a) 12 b) 13 c) 15 serían irreductibles y las operaciones con fracciones d) 16 e) 20 quedarían así simplicadas. Gottfried W. Leibnitz (1 646 - 1 716) inventó el sistema 6. Sabiendo que: a02(9) = aa11(4 ) determinar el valor de “a”. binario (base 2) utilizado hoy en las l as computadoras, en el cual sólo se necesitan dos símbolos, el 0 y el 1; todas las a) 1 b) 2 c) 3 operaciones quedan simplicadas al máximo. d) 1 ó 3 e) 1 ó 2
21
Sistema de numeración II 7. Sabiendo que los numerales están correctamente escritos: 2m3(p) ; 54n(7) ; 213(m) ; 3p1(n) hallar el valor de “m + n + p”. p”. a) 15 d) 10
b) 14 e) 8
c) 12
8. Un número se escribe en el sistema binario como 101..010. ¿En qué base se representará como 132? 101 a) 6 d) 7
b) 8 e) 9
c) 5
b) 7 y 276 e) 8 y 528
c) 7 y 547
a 13(a-1)(a) = (a + 1) 2 (8)
b) 2 e) 6
11. Si se cumple que:
c) 3
a) 4 d) 8
b) 5 e) 10
a) 4 d) 9
c) 6
c) 5
18. Hallar el valor de “a + b + c” c”,, si: b) 8 e) 12
a) 12 d) 14
aaa (7) = bc1
c) 7
19. Hallar el valor de “k” en:
(k − 1)(k − 1) (k ) = 143 143
b) 13 e) 16
246(n) = 11α(12) ; (α = 10)
b) 7 e) 11
3a8(12) = 73b ( 8)
b) 10 e) 7
20. Expresar en base 10:
hallar el valor de “n”. a) 9 d) 10
3a(2b) (6) = b0ba(5)
hallar el valor de “a + b”.
a) 9 d) 11
10. Determinar el valor de “a”, si:
a) 1 d) 4
16. Si se cumple que:
c) 3
17. Hallar el valor de “a + b”, si:
9. Hallar la suma de los valores absolutos y relativos del numeral: 2311(6) a) 7 y 435 d) 8 y 508
hallar el valor de “a + b”. a) 2 b) 4 d) 5 e) 6
c) 15
23
___
42
5
_
c) 8
12. Determinar el valor de “n” “n”,, sabiendo que:
a) 44 d) 47
b) 45 e) 48
21. Hallar “a + b”, si:
c) 46
7a1(n) = 60b (9)
donde: 0 = cero 4210(n) = nnn
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
a) 8 d) 10
b) 9 e) 13
c) 19
22. Un alumno se equivoca y en vez de escribir el numeral abc en base 7 lo hace en base 6, resultando que 13. Indicar verdadero (V) o falso (F) en cada caso: al transformar luego a base 10 hay un error de 55 unidades. Determinar el valor de “a + b”. I. En la igualda igualdad: d: abc (m) = xyzw(n) , se cumple que: n>m II. En el sistema senario se utilizan 6 cifras signicativas. a) V V d) F F
b) V F c) F V e) no se puede determinar
14. Si se cumple que: M = 2 x 54 + 1 x 5 3 + 8 ¿cómo se escribe el número “M” en base 5? a) 21013(5) d) 20113(5) 15. Sabiendo que: 22
b) 2113(5) e) 20013(5) ab3( 4 ) = ba4 (5)
c) 21113(5)
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
23. Determinar la suma de cifras del numeral 2785 (n) cuando se convierte a la base (n + 1). a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
c) 7
24. Dar el valor de “x”, si: 121 x = 361 a) 17 d) 20
b) 18 e) 16
c) 19
25. El menor capicúa de 15 cifras de la base 6 al expresarlo 28. Hallar la suma de cifras del numeral 315(6) al ser en base 10, ¿en qué cifra termina? expresado en base 9. a) 1 d) 7
b) 3 e) 4
c) 5
a) 6 d) 9
26. Expresar: 44444445 en base 10. a) 56 d) 57 – 1
b) 56 – 1 e) 56 + 1
c) 57 + 1
a) 233(5) d) 231(5)
b) 213(5) e) 214(5)
c) 203(5)
30. Descomponer polinómicamente el mayor numeral de tres cifras de la base “n”.
13 131313(n)= 121(4) b) 12 e) 13
c) 8
29. Expresar el menor numeral de tres cifras diferentes del sistema octal, en el sistema quinario.
27.. Dar el valor de "n", en: 27
a) 10 d) 11
b) 7 e) 10
a) n3 d) n3 – 1
c) 14
b) n3 +1 e) n4 + 1
c) n4 – 1
1. Sabiendo que: M = 4 x 73 + 6 x 72 + 24 ¿cómo se escribe el número “M” en base siete?
10. ¿En qué sistema de numeración se cumple la siguiente operación: 43 + 57 = 122?
2. Si sabemos que: 213(n) = 81 hallar el valor de “n”.
11. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 120 se representa con tres cifras?
3. Hallar el valor de “a” en:
13a0 (4)
4. Determinar el valor de “b” en:
12. Expresar “M” en el sistema octal: M = 6 x 84 + 7 x 83 + 3 x 82 + 35
= 120.
b64 = b0b4 (5).
13. Hallar “a + b + c”, c”, si se cumple: 315(8) =
abc (6)
5. Si los numerales mostrados: n23 (m) ; p21 (n) ; n3m (6); 14. Hallar “x + y + z”, si los numerales están correctamente 1211(p) están correctamente escritos, hallar el valor de escritos: z34(y) ; 3x2(8) ; 411(z) ; y52(x) “m + n + p”. p”. 6. Hallar “a + b + c”, c”, si los numerales: 11a (4) ; b0b0 (c) están correctamente escritos.
2bc (a)
7. Calcul Calcular ar el valor de “a” “a”,, si se sabe que:
;
15. Hallar “n” si se sabe que: 43(n) + 56(n) = 121(n) 16. Calcular el valor de “a + b + c”, si los siguientes numerales están correctamente escritos: 10a(4) ; 2bc(a) ; bb8(c)
334 (a) = 1142(5)
17.. Hallar el valor de “a + n”, si se cumple: 17 8. Sabiendo que:
a0b(11) = b0a(13) 6n0
hallar el valor de “a + b”. b”. 9. Calcular el valor de de “a + b” en:
(8)
=
1a66
(n)
18. Calcular el valor de “m + n”, n”, si: 456 4567 = a0 a0bb6
pppp (5)
=
mn8 .
19. Hallar “m + n” n ”, si los numerales están correctamente escritos: 5m7(8) ; 435(n) ; n36(m) 23
Sistema de numeración II 20. Hallar el valor de “a + n”, si:
a53(n) = a10(7) .
26. Expresar “N” en base 13. N = 2 x 13 4 + 5 x 133 + 8 x 132 + 72
21. Convertir el menor número que se puede escribir con 27.. Calcular “a + b + c + d + e + f + n” en: todas las cifras impares del sistema heptal, al sistema 27 1122(3) = abcdef (n) nonario. 22. Calcular “a + b”, si se cumple:
nnn(8) = ab1
23. Hallar el valor de “n”, si: 126(n)
= 256(8)
24. Hallar “a + n” en:
46a(n) = 287(9)
25. Hallar “a + n”, si se cumple:
28. Sabiendo que el numeral: (a - 2)12a está expresado en base 4, hallar el menor valor que puede tomar “n” en: aa...aaa (n – 1). 29. Expresar en el sistema quinario el mayor número de tres cifras diferentes del sistema octal.
a56(8) = (a+1)60(n)
30. Si se cumple que: a a a = 6 4 2 (9)
expresar:
24
bd (a+1)
en base diez.
bcd ,
