CUADERNILLO-RESÚMEN-NÚMEROS-REALES

Cuadernillo de apoyo para el curso de nivelación académica en matemáticas Dirigido a alumnos de nuevo ingreso

Agosto de 2012 CENTRO DE ESTUDIOS TECNOLOGICOS INDUSTRIAL Y DE SERVICIOS No.79 ACADEMIA LOCAL DE MATEMATICAS

1

Curso de Nivelación Académica

CETIS 79

Elaboraron: Ing. Leticia Castillo Jiménez---Ing. Silvia Leticia Castro Ramírez.

INDICE 1. ARITMETICA 1.1

SISTEMAS NUMÉRICOS 4 1.1.1. 1.1.2. 1.1.4. 1.1.5.

1.2

Números Naturales 4 Números Enteros 1.1.3. Números Racionales Números Irracionales 7 Números Reales. 7

5

OPERACIONES CON LOS SISTEMAS NUMÉRICOS 1.2.1 Operaciones con números enteros 7 1.2.1.1 Problemas de aplicación Con Números Enteros 9 1.2.2 Aplicación con números racionales 9 1.2.2.1. Forma práctica de realizar operaciones con números racionales 10 1.2.2.2 Multiplicación y división de de Fracciones 11 Ejercicios con números racionales 12 Problemas de aplicación de números racionales 13 Problemas de aplicación con números reales 15

1.3 MÚLTIPLO DE UN NÚMERO. DIVISIBILIDAD. NÚMERO PRIMO 16 1.3.1 Potencia de un número. 17 Descomposición de un número en sus factores primos. 17 1.3.2 Calculo del m.c.m. 18 1.3.3 Calculo del m.c.d.. 18 Ejercicios. Y Problemas de aplicación 19 1.4 Leyes de los exponentes 20 1.5 RADICACIÓN 21 Ejercicios 23 1.6 RAZONES Y PROPORCIONES 26 Ejemplos de aplicación 27 Problemas de aplicación 29 Ejercicios y problemas de porcentajes 30

1. INTRODUCCIÓN AL ALGEBRA 2.1. Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico 32 2.2. Notación algebraica 34 2.3. Tabla resumen de signos algebraicos 34 2.4 Expresiones algebraicas 35 2.5 Clasificaciones de los términos algebraicos 36 Actividad de conformación de conocimientos 37

2


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DESCRIPCIÓN: El objetivo de este curso de Nivelación Académica de Matemáticas es mejorar tus conocimientos, habilidades y aptitudes, en matemáticas a fin de que adquieras una base sólida en formación matemática y facilitar tu adaptación en este nivel bachillerato. Impartido con una metodología eminentemente práctica, este curso es una ayuda tanto para manejar con soltura los métodos y técnicas propios de las Matemáticas como para revisar conceptos fundamentales de aritmética y álgebra, adquiridos en la secundaria.

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1 ARITMÉTICA La Aritmética es la rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones que con ellos se pueden realizar. Esta rama sobresale por su exactitud y precisión, es extensa y útil en sus aplicaciones, se estudian las propiedades esenciales de los números, las relaciones numéricas entre sí y las 4 operaciones fundamentales (suma, resta, multiplicación y división) con enteros y fracciones; así como el cálculo de potencias, resolución de problemas de razones y proporciones así como determinación de porcentajes. 1.1.

SISTEMAS NUMÉRICOS

Iniciemos primero definiendo: ¿QUE ES UN NÚMERO? Un número es un ente (algo intangible, por decirlo así) que nos sirve para contar y establecer un orden de sucesión entre las cosas. Los números se pueden clasificar en: Naturales, Enteros, Fraccionarios, Irracionales y reales. Cada conjunto de números engloba a otros, como puedes observar en esta imagen:

I N

Z

Q

R 1.1.1 NUMEROS NATURALES (N) A través de la historia el ser humano ha tenido la necesidad de contar, y diferentes ideas para poder hacerlo, probablemente en sus inicios lo hizo utilizando los dedos de sus manos y después con rayas en el suelo, piedras, varas etc., motivando con ello el tener que agrupar y formar los diferentes Sistemas Numéricos. Pero, ¿qué contaba?, contaba la cantidad de animales que tenía que cazar, la extensión de sus tierras, la cantidad de personas de las tribus enemigas, etc.

4


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Los números naturales son los que sirven para contar, lo representamos con la letra N. Contar un conjunto es coordinar sus elementos con una parte de la serie de los números naturales comenzando con el uno. En forma resumida: Los números naturales son aquellos que normalmente utilizamos para contar. Son aquellos números positivos y sin parte decimal.

N=

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7...}

1.1.2 NUMEROS ENTEROS (Z) Son todos los números naturales y sus opuestos, es decir, los números enteros positivos y negativos. Z = {0, 1 , -1 ,2 , -2 , 3 , -3 , 4 , -4... } Los números enteros son el conjunto formado por los enteros positivos y negativos incluyendo al cero. Los podemos representar gráficamente sobre la recta numérica, teniendo el cero como medida central:

NEGATIVOS

POSITIVOS -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1.1.3 NUMEROS RACIONALES (Q) Son todos aquellos que se pueden escribir en forma de fracción. Incluyen los naturales y los números enteros. Los números racionales son aquellos números en forma de fracción:

a b

a y b son número enteros y

b0

porque la división por cero

no existe Los números enteros a y b reciben el nombre de “términos de la fracción”, separados mediante una línea horizontal, como se muestra:

2

Numerador

7

Denominador

Indica las partes que se toman de la unidad

Indica el número de partes en que se divide la unidad

Otras formas de representación son:

a) Como una división b) Como una razón:

a  k  a b b a = a:b b

(representación con decimales)

(comparación de partes iguales “a es a b”) 5


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Las cuales pueden ser escritas en tu calculadora científica mediante la tecla: a/b/c Una fracción puede ser: a) Impropia: Si el numerador es mayor que el denominador, ejemplo: b) Propia: Si el numerador es menor que el denominador, ejemplo:

8 5 5 8

Nota: Cuando el denominador es la unidad, esta se omite. Se expresa como simplemente 8 Fracción Equivalente: Es aquella que se representa en forma diferente, pero tiene el mismo valor, ejemplo:

1 2

es equivalente a

5 10

Las fracciones equivalentes son muchas y variadas, para hallarlas bastará con multiplicar al numerador y denominador por un mismo número, ejemplos:

 3  2  6      5  2  10  5  4  20      7  4  28 La comparación de cada par de números racionales, nos proporciona una razón de orden, indicado con los símbolos: > Mayor que < Menor que Las fracciones equivalentes con el signo: = Igual Para determinar si una fracción es mayor o menor que otra se efectúan los productos cruzados siendo mayor la fracción que tenga mayor numerador. Ejemplo:

8 3  5 7 8, por lo tanto

(8)(7)  56 (5)(3)  21

El numerador que genera el mayor producto es

8 , es la fracción mayor. 5

Por lo tanto, por simple inspección se puede afirmar que: 6


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6 3  7 5

2 8  3 12

1.1.4 NUMEROS IRRACIONALES (I) Los números irracionales son elementos que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo, puede definirse al número irracional como decimal infinito no periódico. Es decir, son los números que poseen infinitas cifras decimales Entonces, decimos con toda propiedad que el número raíz cuadrada de dos es aproximadamente igual a 1,4142135 en 7 decimales, o bien es igual a 1,4142135 ... , es decir, los tres puntos hacen referencia a los infinitos decimales que hacen falta y que jamás terminaríamos de escribir. Son ejemplos de este tipo de número todas las raíces cuyo resultado no sea exacto. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son identificados mediante símbolos especiales; los dos principales son los siguientes: p = 3,1415923, 1.1.5

e = 2,7182818...., También:

7,

10 , 3 28

NUMEROS REALES: (R)

Incluyen todos los números anteriormente descritos. Cubren la recta real y cualquier punto de esta es un número real.

4

-7

0 3 5

Se pueden realizar entre los NUMEROS REALES potenciación y la radicación.

 las 4 operaciones básicas, la

I.2 OPERACIONES CON LOS SISTEMAS NUMERICOS Operaciones con números enteros: 7


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Los aspectos preliminares para la realización de las cuatro operaciones básicas, es el uso de la ley de los signos y el uso de los signos de agrupación que auxilian a la demostración de las propiedades: a) Asociativa: Sin importar de qué manera se agrupen los sumandos, la suma o total no se altera ejemplo: 3 + 4 + 5 + 6 = ( 3 + 4) + ( 5 + 6 ) = 3 + (4 + 5 + 6 ) b) Conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma ejemplo:

2+3+4=3+2+4=4+3+2=2+4+3

c) Distributiva: Esta ley relaciona el producto con la suma, y dice; un producto puede ser igual a una suma y recíprocamente, la suma igual a un producto, puesto que la igualdad es simétrica. ejemplo : 3 ( 4 + 5 ) = ( 3 ) ( 4 ) + ( 3 ) ( 5 ) 3 (9 ) = 12 + 15

27 = 27 Signos de agrupación: (

) Paréntesis

[

] corchetes

{

} Llaves

Vínculo

Jerarquía de las operaciones: Deben efectuarse en el siguiente orden, el cual es el utilizado por las calculadoras científicas:

a) Primero Potencias y Raíces b) Después Cocientes y Productos c) Y al final Sumas y Restas 1.- Realiza en tu libreta las siguientes adiciones y sustracciones: a) ( 4 + 5 + 3 ) + 8 =

e) 150 – [ ( 5 – 1 ) - ( 4 – 3 ) ] =

b) 60 – ( 8 + 5 + 7 ) =

f)

c) ( 43 – 15 ) – 19 =

g) 500 – { 6 + [ ( 14 – 6 ) – ( 7 – 2 ) + ( 4 – 1 ) ]} =

d) ( 9 – 4 ) + ( 3 + 2 + 5 ) =

h) [ 8 + ( 4 – 2 ) ] + [ 9 – ( 3 + 1 ) ] =

450 – [ 6 + { 4 – ( - 3 – 1 )}]

2.- Realiza los siguientes productos: a) ( 20 –14 ) ( 8 – 6 ) = b)

( 50 x 6 x 42 x 18 ) 9 =

c) ( 11 – 4 ) 5 – 4 ( 6 + 2 ) + 4 ( 5 – 3 ) – 2 ( 8 – 6 ) = 8


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d) 6 [ 3 + ( 5 – 1 ) 2 ] =

3.- Obtén los siguientes cocientes respetando la jerarquía: a) 8 + 6  3 = b) 6  2 + 8  4 = c) (5 x 6 x 3 )  15 = d) ( 9 – 6 )  3 + ( 15 – 3 )  ( 7 – 3 ) + ( 9  3 ) =

1.2.1.1 Problemas de aplicación con números enteros (Resuelve en tu cuaderno) 1. Un emperador romano nació en el año 63 a. C. y murió en el 14 d. C. ¿Cuántos años vivió? 2. Una bomba extrae el petróleo de un pozo a 975 m de profundidad y lo eleva a un depósito situado a 48 m de altura. ¿Qué nivel supera el petróleo? 3. ¿Qué diferencia de temperatura soporta una persona que pasa de la cámara de conservación de las verduras, que se encuentra a 4 ºC, a la del pescado congelado, que está a −18 ºC? ¿Y si pasara de la cámara del pescado a la de la verdura? 4. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 9 ºC cada 300 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −81 ºC? 5. En un depósito hay 800 l de agua. Por la parte superior un tubo vierte en el depósito 25 l por minuto, y por la parte infe rior por otro tubo salen 30 l por minuto. ¿Cuántos litros de agua habrá en el depósito después de 15 minutos de funcionamiento? 1.2.2 Aplicación de números racionales. Ejemplos: 1. Al repartir un pastel para nueve personas, habrá que dividir el pastel en nueve partes iguales llamadas: 9


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R = novenos 2. Un padre de familia deja un terreno como herencia a sus tres hijos, el terreno tiene las siguientes dimensiones: 63 m. de largo y 15 m de ancho ¿cuánto le corresponde en fracciones de terreno a cada hijo? 1) Se obtiene el área del terreno: A = b x h = 63 m x 15m = 945 m2 2) Se divide dicha área por el número total de hijos:

945m2

=

315 m2/hijos

3 hijos Lo que representa del total del terreno,

1 3

Escribe los símbolos de > ó < ó =, entre cada pareja de números racionales según corresponda:

1)

3)

4

2

7

5

1

2

2

4

2)

4)

31

19

8

7

7

21

2

6

Existen diversas operaciones con fracciones que se utilizan en aritmética: suma, resta, multiplicación y división. 1.2.2.1 FORMA PRÁCTICA DE EFECTUAR OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES (FRACCIONES) Con el mismo denominador Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

4 1 3   7 7 7 4 1 5   7 7 7 Con distinto denominador En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

10


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5 1 30  4 26 13     4 6 24 24 12 5 1 30  4 34 17     4 6 24 24 12 Multiplicación de Fracciones: Se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. El resultado se simplifica si es posible. Ejemplos:

3 2 6 1 x   4 3 12 2

4 7 28 13 x  1 5 3 15 15

5 3 2 3 x x  2 7 5 7

NOTA: En el producto de tres o más fracciones se efectúa el mismo procedimiento. División de Fracciones: Regla: Existen dos formas de poder efectuar la división de fracciones: Método 1: Se multiplica el primer numerador por el segundo denominador y se coloca el resultado como numerador de la nueva fracción, después se multiplica el primer denominador por el segundo numerador y se coloca el resultado como denominador de nuestra nueva fracción, se simplifica si es necesario y ese será el resultado. (En zigzag) Ejemplo:

3 4



1 =

3

9

1

4

2

5

3



=

5

6

Método 2: Se invierte la segunda fracción de la división y ésta se convierte en una multiplicación de fracciones por lo que habrá que aplicar la regla ya conocida para un producto de fracciones.

INVERTIR

Ejemplo:

5



3

5

2 =

6

x

3

6 2

30 =

6

=

5

INVERTIR 4 5



4

2 8

=

5

x

8 2

32 =

10

16 =

5 11


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Ejercicios resueltos de fracciones Instrucciones: En tu libreta, utilizando las técnicas ya explicadas Resuelve:

1) 2 3

+

5 3

3) 4 3

2 5

5) 2 5

+

7) 4 9

+

9) 1 2

-

3 4 3 7 2 5

=

2)

=

4)

=

6)

=

8)

=

10)

1

+

4 4

-

+

=

1

=

5 -

4 3

2 7

2 3

=

8

5 7

2

1

=

3 -

7

2

=

9

Aplicando las reglas para productos y cocientes con fracciones a. Resuelve:

1)

5

x

9 3)

5

12 x

8 5)

3

x

4 3

2)

=

4)

=

6)

=

8)

2 3

x

=

3 4

5 7)

3

7 2

12



2 4

5 

7 2

x

=

12 4



=

6 9

3 2

2

=

3

7

8

2

5

= 12

9)

7 2



3 4

=

10)

3



6

=


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Asociar cada fracción de hora con los minutos correspondientes:

Problemas de aplicación RESUELVE EN TU CUADERNO LOS EJERCICIOS Y PROBLEMAS CON FRACCIONES COMUNES. 1. Calcula qué fracción de la unidad representa: a) La mitad de la mitad. b) La mitad de la tercera parte. c) La tercera parte de la mitad. d) La mitad de la cuarta parte. 2. Para preparar un pastel, se necesita: 1/3 de un paquete de 750 g de azúcar, 3/4 de un paquete de harina de kilo, 3/5 de una barra de mantequilla de 200 g. Halla, en gramos, las cantidades que se necesitan para preparar el pastel. 3. Un depósito contiene 150 l de agua. Se consumen los 2/5 de su contenido. ¿Cuántos litros de agua quedan?

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4. De una pieza de tela de 48 m se cortan 3/4. ¿Cuántos metros mide el trozo restante? 5. Una familia ha consumido en un día de verano: Dos botellas de litro y medio de agua, 4 botes de 1/3 de litro de zumo, 5 limonadas de 1/4 de litro. ¿Cuántos litros de líquido han bebido? Expresa el resultado con un número mixto. 6. ¿Cuántos tercios de litro hay en 4 l? 7. Un cable de 72 m de longitud se corta en dos trozos. Uno tiene las 5/6 partes del cable. ¿Cuántos metros mide cada trozo? 8. Una caja contiene 60 bombones. Eva se comió 1/5 de los bombones y Ana 1/2. ¿Cuántos bombones se comieron Eva, y Ana? ¿Qué fracción de bombones se comieron entre las dos? 9. Ana ha recorrido 600 m, que son los 3/4 del camino de su casa al instituto. ¿Qué distancia hay de su casa al instituto? 10. Dos automóviles A y B hacen un mismo trayecto de 572 km. El automóvil A lleva recorrido los 5/11 del trayecto cu ando el B ha recorrido los 6/13 del mismo. ¿Cuál de los dos va primero? ¿Cuántos kilómetros llevan recorridos cada uno? 11. En las elecciones locales celebradas en un pueblo, 3/11 de los votos fueron para el partido A, 3/10 para el partido B, 5/14 para C y el resto para el partido D. El total de votos ha sido de 15.400. Calcular: a) El número de votos obtenidos por cada partido. b) El número de abstenciones sabiendo que el número de votantes representa 5/8 del censo electoral. 12. Elena va de compras con 180 €. Se gasta 3/5 de esa cantidad. ¿Cuánto le queda? 13. Hace unos años Pedro tenía 24 años, que representan los 2/3 de su edad actual. ¿Qué edad tiene Pedro? 14. Un padre reparte entre sus hijos 1800 €. Al mayor le da 4/9 de esa cantidad, al mediano 1/3 y al menor el res to. ¿Qué cantidad recibió cada uno? ¿Qué fracción del dinero recibió el tercero? 15. Los 2/5 de los ingresos de una comunidad de vecinos se emplean combustible, 1/8 se emplea en electricidad, 1/12 en la recogida de basuras, 1/4 en mantenimiento del edificio y el resto se emplea en limpieza. A) ¿Qué fracción de los ingresos se emplea en limpieza? B) De acuerdo con la fracción de

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ingresos empleada, ordena las partidas enumeradas de menor a mayor.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS REALES En una planta industrial los trabajadores tienen una jornada diaria de trabajo de 8 hrs. de lunes a sábado. Todo trabajo realizado después de este tiempo se contabiliza como tiempo extra y se lleva un registro por trabajador. La empresa paga el salario mínimo* durante el tiempo normal y por cada hora extra paga el doble, de lunes a viernes. Paga el triple, por tiempo extra del sábado, y si labora en domingo paga el cuádruple por hora trabajada. El supervisor de producción recopiló la siguiente información de un equipo de trabajo:

HORAS DIARIAS TRABAJADAS NOMBRE

LUN. MAR. MIE. JUE.

VIE.

SAB.

DOM.

A. MARTINEZ

8

9.5

12.4 11.3

8

12.5

3.1

J. CRUZ

8

8.5

9.3

8.5

9.4

2

R. NAVARRETE

10

9.6

12.5 8

11.5 8.3

3.5

HERNÁNDEZ

8

8

8

8.7

8

9

0.0

R. ALBOR

8.5

9.8

8.7

8

9.3

9.5

2.5

N. AGUILAR

9

9.5

8.2

8

8

10.5

3.5

C. FERNANDEZ

8.5

8.5

9.5

10.3

10.5 9.7

9

2

*salario mínimo $62.33 CONTESTA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS: 1. ¿Qué trabajador semanalmente?

ha

laborado

el

mayor

número

de

horas

de

trabajo

R.- ___________________________________________ 15


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2. ¿Cuál es el que laboró el menor número de horas extras? R.- ___________________________________________ 3. ¿Cuánto ganó Martínez por su horario normal? R.- ___________________________________________ 4. ¿Cuánto pagó la empresa a la semana por este equipo de trabajo? R.- ___________________________________________ 5. ¿Cuánto pagó la empresa por las horas extras? R.- ___________________________________________ 6. Por el horario normal ¿cuánto pagó la empresa? R.- ___________________________________________ 7. Sí estos empleados trabajaran bajo el mismo ritmo durante un mes ¿Cuál sería la nómina a pagar mensualmente?, ¿Cuánto al año? R.- ___________________________________________ I.3 MULTIPLO DE UN NÚMERO Un número entero "a" es múltiplo de otro entero "b" cuando existe otro número natural que multiplicado por b nos da como resultado el número a. Por ejemplo: a=18 b=9 a=2·b En este caso, 2 es el número natural que cumple con la condición anteriormente descrita y se dice que 18 es múltiplo de 9. Los múltiplos de un número son aquellos que resultan de multiplicarlo por la secuencia de números enteros. Así, Los múltiplos del número 2 serían 2,4,6,8,10,12,... Los múltiplos del 3 serían 3,6,9,12,15,... DIVISIBILIDAD Decimos que un número entero b es divisible entre otro entero a (distinto de cero) si existe un tercer entero c tal que: 16


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b=a·c Se suele expresar de la forma b|a, que se lee a divide a b, o a es divisor de b, o también b es múltiplo de a. Por ejemplo, 6 es divisible por 3, ya que 6 = 3·2; pero no es divisible por 4, pues no existe un entero c tal que 6 = 4·c. Es decir, el resto de la división euclídea (entera) de 6 entre 4 no es cero. NÚMERO PRIMO es un número natural que tiene exactamente dos divisores naturales distintos: él mismo y el 1. Euclides demostró alrededor del año 300 a. C. que existen infinitos números primos. Se contraponen así a los números compuestos, que son aquellos que tienen algún divisor natural aparte de él mismo y del 1. El número 1, por convenio, no se considera ni primo ni compuesto. Los números primos menores que cien son los siguientes: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97 Son ejemplos de números compuestos: 4, es divisible por 1, 2 y por 4. 12, es divisible por 1,2,3,4,6,12 I.3.1 Potencia de Un número. Es el resultado tras la sucesiva multiplicación de un número por sí mismo. La potenciación es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo. En la expresión de la potencia de un número se consideran dos partes: LA BASE. Es el número que se multiplica por sí mismo. EL EXPONENTE es el número que indica las veces que la base aparece como factor. Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha el exponente, de tamaño más pequeño. Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 3 se dice “elevado al cubo”. En los demás caso se dice “elevado a la cuarta, quinta, sexta,…potencia” Más adelante se expondrán las leyes que siguen la potenciación de una cantidad. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS Todo número puede expresarse como producto de factores primos. Para descomponer un número en sus factores primos, se debe seguir el siguiente procedimiento: 17


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1. Dividir el número por el menor número primo posible. 2. Si el resultado puede dividirse nuevamente por ese número, realizar la división. 3. Si el resultado no puede volver a dividirse por ese número, buscar el menor número primo posible para continuar dividiendo. 4. Seguir con el procedimiento hasta obtener el cociente igual a uno. Ejemplo: descomponer 90 en sus factores primos:

I.3.2 CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M) Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, por ejemplo el m.c.m de 72 y 50 será:

72  2 3

3 2

50  215 2

Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

1.3.3 CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) El máximo común divisor de dos números puede calcularse determinando la descomposición en factores primos de los dos números y tomando los factores comunes con su menor exponente, el producto de los cuales será el m.c.d. Por 18


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ejemplo, para calcular el máximo común divisor de 48 y de 60 obtenemos la factorización en factores primos

De las factorizaciones de 48 y 60:

El mcd son los factores comunes con su menor exponente, esto es:

Ejercicios del m.c.m. y m.c.d, resolver en tu libreta: 1. Calcular el m.c.d. de 55 y 280 2. Calcular el m.c.m. de 105 y 350 3. Indicar cuál de las siguientes expresiones son correctas: a. m.c.d. (15,28) = 6 b. m.c.d. (3,25) =3 c. m.c.d.(6,12,42)= 6 d. m.c.m. ( 15,28)=210 e. m.c.m.(25,3)275 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MCD Y MCM (Resuelve en el cuaderno) 1. Un ebanista quiere cortar una plancha de madera de 256 m de largo y 96 m de ancho, en cuadrados lo más grandes posibles. ¿Cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado? ¿Cuántos cuadrados se tienen de la plancha de madera? 2. Un viajante va a Sevilla cada 18 días, otro va a Sevilla cada 15 días y un tercero va a Sevilla cada 8 días. Hoy día 10 de agosto han coincidido en Sevilla los tres viajantes. ¿Dentro de cuantos días como mínimo volverán a coincidir en Sevilla? 3. Andrés tiene en su tienda los botones metidos en bolsas. En la caja A tiene bolsitas de 24 botones cada una y no sobra ningún botón. En la caja B tiene bolsitas de 20 botones cada una y tampoco sobra ningún botón. El número de botones que hay en 19


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la caja A es igual que el que hay en la caja B. ¿Cuántos botones como mínimo hay en cada caja? 4. Se encuentran en el autobús dos amigos magos que se veían hace mucho tiempo. Dice uno: “Tengo tres hijas, el producto de sus edades es 36 y la suma es el número del autobús en el que vamos. ¿A que no sabes qué edades tienen?” El otro hace unos cálculos y exclama: “Me hacen falta datos”. Bueno, la mayor toca el piano”. “Ah, ya sé las edades de tus hijas” ¿Qué edades tienen? (A. Einstein). 5. Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes. 6. Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona. ¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona? 7. ¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48, en cada caso, da de resto 9? 8. En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las cap acidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan. 9. El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho. Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas. 10. Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo númer o de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias. 1.4 LEYES DE LOS EXPONENTES Para el cálculo de potencias enteras de números racionales es necesario conocer las propiedades o leyes de los exponentes. Potenciación: 1.- Cualquier número elevado a la potencia cero es igual a la unidad

Ejemplo

20 = 1; 60 = 1; 15.10 =1; etc. 2.- Cuando dos potencias de la misma base

suman.

se multiplican, sus exponentes se

Ejemplo: (32 ) ( 34 ) = 32 + 4 = 36

20


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3.- Cuando dos potencias de la misma base se dividen, se escribe la misma base y

se eleva a la diferencia de los exponentes, el del numerador menos el del denominador. Ejemplo:

36 3

36-2

=

=

34

2

4.- Si una potencia se eleva a un exponente, se escribe la base elevada al producto de los exponentes. Ejemplo: ( 52 )3 = 5(2)(3) = 56 5.- Si un término cualquiera formado por dos o más factores se eleva a un exponente, éste afecta por igual a cada factor. Ejemplos: a) ( 3 x 8)2 = 32 x 82 b)

2

3

=

32 82

8

6.-Si una cantidad está elevada a un exponente negativo dicho signo se vuelve positivo con cambiar dicha cantidad de numerador a denominador ó viceversa, según donde se encuentre dicha cantidad. Ejemplos: 4-2 =

1 4

2

,

1 5

-3

= 53

1.5 Radicación: La radicación es la operación inversa a la potenciación.

8 2  64

64  8 Un radical, es un signo que representa exponentes fraccionarios, siendo la base de la potencia el radicando, el numerador del exponente será el exponente del radicando, y el denominador el índice de la raíz. Ejemplos:

x3 = x

3

2

x5 = x

5

2

6

x7  x

7

6

21


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Exponente del radicando

Indice

n

am  a

Radicando

m

n

Índice de la raiz

Base

Nota: el único índice que no se indica es el 2. Reglas de los signos de radicación: a) Si el índice es impar y el radicando es positivo, la raíz es única y positiva 3

64  4

b) Si el índice es impar y el radicando es negativo, la raíz es única y negativa 3

 8  2

Si el índice es par y el radicando es positivo, existen dos raíces de igual valor absoluto, pero de diferente signo.

25  5

25  5

c) Sí el índice es par y el radicando es negativo, no hay solución en el campo de los números reales, ya que su resultado es imaginario.

7 = i

hay solución en el campo de los números reales, porque no existe un número que al multiplicarse por sí mismo nos dé un resultado igual a – 7. No

22


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Ejercicios de potencias, resuelve en tu cuaderno: Escribe en forma de una sola potencia:

1 33 · 34 · 3 = 2 57 : 53 = 3 (5 3 ) 4 = 4 (5 · 2 · 3) 4 = 5 (3 4 ) 4 = 6 [(5 3 ) 4 ] 2 = 7 (8 2 ) 3 8 (9 3 ) 2 9 25 · 24 · 2 = 10 2 7 : 2 6 = 11 (2 2 ) 4 = 12 (4 · 2 · 3) 4 = 13 (2 5 ) 4 = 14 [(2 3 ) 4 ] 0 = 15 (27 2 ) 5 = 23


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16 (4 3 ) 2 = Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1 (−2) 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = 2 (−8) · (−2) 2 · (−2) 0 (−2) = 3 (−2) − 2 · (−2) 3 · (−2) 4 = 4 2−2 · 2−3 · 24 = 5 22 : 23 = 6 2−2 : 23 = 7 22 : 2−3 = 8 2−2 : 2−3 = 2 9 [(−2) − 2 ]

3

· (−2) 3 · (−2) 4 =

10 [(−2) 6 : (−2) 3 ] 3 · (−2) · (−2) − 4 = Realizar las siguientes operaciones con potencias:

1 (−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4 = 2 (−27) · (−3) · (−3) 2 · (−3) 0 = 3 (−3) 2 · (−3) 3 · (−3) − 4 = 4 3−2 · 3−4 · 34 = 5 52 : 53 =

24


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6 5−2 : 53 = 7 5

2

: 5

−3

=

8 5−2 : 5−3 = 9 (−3) 1 · [(−3) 3 ] 2 · (−3) − 4 = 10 [(−3) 6 : (−3) 3 ]

3

· (−3) 0 · (−3) − 4 =

Realiza las siguientes operaciones con potencias:

1

2 3 4

5 6

7

8

9

10

25


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11

12

13 Efectúa:

Opera:

Calcula los valores de las siguientes potencias:

1 2 3 4

1.2.5 RAZONES Y PROPORCIONES Razón: Es la relación comparativa que existe entre dos cantidades de la misma especie. Cuando se comparan dos cantidades, pueden hacerlo por diferencia (aritmética) y por cociente (geométrica). La razón se compone de dos términos, antecedente y consecuente, ejemplo: 26


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Antecedente


9 - 5

consecuente

9

Antecedente

5

Consecuente

Proporción: Se define como la igualdad entre dos razones Proporción 2

6

= 1 Razón

3 Razón

2 : 1 :: 6 : 3 Esto se lee: “2 es a 1, como 6 es a 3” Proporcionalidad: Dos cantidades son proporcionales cuando al variar una de ellas, la otra también varía. Proporcionalidad directa: Cuando al aumentar una cantidad la otra también aumenta o cuando disminuye una la otra también lo hace. Proporcionalidad inversa: Cuando al aumentar una cantidad la otra disminuye o cuando disminuye una de ellas la otra aumenta. Porcentaje: Cantidad que resulta de multiplicar un numero por el tanto por ciento en fracción decimal. n% =

n 100

EJEMPLOS DE APLICACIÓN 1. La mamá de Luis va a comprar tela para mandarse hacer un vestido. El metro de tela de popelina cuesta $15.00, mientras que el de seda cuesta $90.00. Con la compra de un metro de tela de seda, ¿cuántos metros de popelina puede comprar?, ¿Cuál es la diferencia entre el costo de un metro de seda y un metro de popelina? Datos: Precio del metro de popelina = $15.00 Precio del metro de seda = $90.00 27


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X = diferencia de precio de seda y popelina Y = cociente de precio de seda entre popelina Operaciones: X = precio de 1mt. de seda – el precio de 1mt. de popelina X = $90.00 - $15.00 X = $75.00 ; este resultado se le llama razón aritmética Costo de un metro de seda y= Costo de un metro de popelina

Y

y=

90 6 15

6 veces más caro el metro de seda; a este resultado se le llama razón geométrica

2. Un alumno del CETIS. no. 79 va a comprar sus útiles escolares y cursará 7 materias; en cada una utilizará una libreta que le cuesta $15.00 ¿cuánto tendrá que pagar por 7 libretas? Datos: Una libreta = $15.00 7 libretas = $X Operaciones:

1 7  15 X

También: 1:15 :: 7:x (Esta es una proporción)

Despejando X resulta: X = (7) (15) X = 105 Se observa que a más libretas compradas más dinero gasta, a esto se le llama proporción directa. 3. Dos alumnos de computación tardan en capturar un trabajo 2.5 hrs.; 5 alumnos ¿cuánto tiempo necesitan para realizarlo? Datos: a) b) c) d)

2 alumnos 5 alumnos tiempo 1 = 2.5 hrs. tiempo 2 = X

Operaciones: Procediendo en forma directa quedaría:

28


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2 2.55  5 x x

2.555  6.25 2

Esto es ¡un error! ya que no es posible que 5 alumnos ocupen más tiempo en realizar el trabajo, lo cual nos indica que la proporción no es directa, sino inversa, y procedemos de la siguiente manera: Se invierte cualquiera de las razones para convertir a proporción inversa, es decir:

2 x  5 2.55 x

22.55x  1Hr 5

¡Este es el resultado correcto!

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1.- Pedro tiene $20.00 y Juan $10.00, ¿Cuáles son las razones aritmética y geométrica de lo que tiene Pedro en relación a lo que tiene Juan?

2.- El costo normal de un refrigerador es de $8,200.00, pero al pagar al contado se

hace un descuento del 12%, ¿Cuánto paga un cliente al adquirir al contado el refrigerador?

3.- La distancia de una ciudad a otra es de 220 km., un autobús tarda en recorrer

ésta distancia 2.75 hrs. a 80 km/hrs, ¿Cuánto tardará en recorrer la misma distancia si aumenta la velocidad a 110 km/hrs?

.

4.- Si al papá de Juan le aumentan el sueldo en un 10%, a la quincena ganaría $3,795.00, ¿Cuánto gana actualmente?

5.- En un grupo de 54 alumnos, el 33.33% son mujeres, ¿Cuántos hombres hay en el grupo?

6.- Si una camisa cuesta $60.00 y tiene un descuento del 20%. ¿Cuánto pagó? 7.- Un agricultor quiere comprar un tractor que le cuesta $130,000.00, pero él tiene

$80,000.00 y le han prometido rebajarle un 12% de lo que pueda pagar al contado y lo restante lo pagará en letras mensuales cargadas al 8%, ¿Cuánto pagará el agricultor finalmente?

8.- Calcule el tanto por ciento de: 29


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

20% de 50



140% de 1000



0.5% de 200


EJERCICIOS Y PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS DE PORCENTAJES 1. De los 800 alumnos de un colegio, han ido de viaje 600. ¿Qué porcentaje de alumnos ha ido de viaje? 2. Una moto cuyo precio era de 5.000 €, cuesta en la actualidad 250 € más. ¿Cuál es el porcentaje de aumento? 3. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8800 €, nos hacen un descuento del 7.5%. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo? 4. Al comprar un monitor que cuesta 450 € nos hacen un descuento del 8%. ¿Cuánto tenemos que pagar? 5. Se vende un artículo con una ganancia de l 15% sobre el precio de costo. Si se ha comprado en 80 €. Halla el precio de venta. 6. Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido a 180 € para ganar al venderlo el 10%. 7. ¿Qué precio de venta hemos de poner a un artículo co mparado a 280 €, para perder el 12% sobre el precio de venta? 8. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 €.

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2. INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA ALGEBRA es la Parte de las Matemáticas que se dedica en sus aspectos más elementales a resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Los algoritmos de resolución de ecuaciones y de sistemas de ecuaciones han ocupado a muchos matemáticos a lo largo de la historia. Así, se conoce la existencia de problemas resueltos por procedimientos algebraicos, que datan del año 1900 a. C. El lenguaje simbólico utilizado en estos procesos se atribuye a los árabes. EL ARTE DE PLANTEAR ECUACIONES El idioma del álgebra es la ecuación. Isaac Newton en su manual de álgebra titulado Aritmética Universal escribió: «Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades basta con traducir dicho problema, del inglés u otra lengua al idioma algebraico» También mostró con ejemplos como debía efectuarse dicha EN EL IDIOMA DEL ÁLGEBRA traducción. He aquí a LA VIDA DE DIOFANTO. La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Reproducimos esta inscripción: EN LA LENGUA VERNÁCULA ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los x números pueden mostrar, ¡oh milagro!, cuán larga fue su vida, Cuya sexta infancia.

parte

constituyó

su

x/6

Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando x/12 de vello cubriose su barbilla. Y la séptima parte de su existencia x/7 transcurrió en un matrimonio 31


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estéril. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso 5 primogénito, Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, que duró tan sólo la x/2 mitad de la de su padre a la tierra. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4 cuatro años al deceso de su hijo.

2.1 Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico y viceversa. El lenguaje algebraico es la manera correcta de escribir y leer las expresiones algebraicas, relacionando los elementos y símbolos de la aritmética con los algebraicos Los matemáticos tienen un idioma con el cual se pueden comunicar mundialmente, el Lenguaje algebraico. Éste le ha permitido eliminar prácticamente todas las confusiones que pudieran surgir para la realización de su trabajo. En éste tema aprenderemos a “convertir” los problemas cotidianos al lenguaje algebraico y nos daremos cuenta que es más fácil resolver los problemas que involucran números y comprobar sus resultados de ésta forma.

Algunas expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico:

a) Un número cualquiera

...............................................x

b) La suma de tres cantidades

................................. a + b + c

c) La edad de María es el doble de la de

..................................... M = 2J

Juan d) El volumen de una esfera es 4/3  por el

............................. V = 4/3  r3

radio al cubo e) El cuadrado de la hipotenusa es igual a

............................. c2 = a2 + b2

la suma del cuadrado de los catetos

32


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Traducción de algunas expresiones algebraicas al lenguaje común:

a) (a + b ) (a – b)........................................

El producto de la suma y diferencia de los mismos números El seno de cualquier ángulo al

b) sen2  + cos 2  = 1................................

cuadrado mas el coseno del mismo ángulo al cuadrado es igual a la unidad.

c) (A + B )2 ..................................................

El cuadrado de la suma de dos números.

d) a2 + b2......................................................

La suma de los cuadrados de dos números.

podrás observar, el lenguaje algebraico la 2

2

e) a - b .....................................................

La diferencias del cuadrado de dos números El área es igual al producto de la

f) A = bh .................................................

base por la altura

Actividad de estudio:

a) Convierta al lenguaje común las siguientes expresiones algebráicas, realiza la actividad en tu cuaderno.

1. 2. 3. 4. 5.

A =  r2 ................................................................... ( A – B )2 ................................................................ C =  d ................................................................... D = V * t ................................................................. A = l * a ..................................................................

b) Convierta las siguientes expresiones del lenguaje común al algebraico: 1. El perímetro de un rectángulo es la suma de dos veces el largo y dos veces el ancho. ________________________ 2. El interés simple es el producto del capital por el interes en fracción decimal. _________________________ 3. Energía es igual a un medio de la masa por el cuadrado de la velocidad. 33


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___________________________ 4. Momento lineal es igual a la masa por la velocidad de desplazamiento de la masa. ____________________________ 5. Trabajo es igual a la fuerza por la distancia. ____________________________ 2.2. Notación algebraica La Notacion algebraicas es la forma como se deben escribir las expresiones algebraicas. Al estudiar el lenguaje algebraico observamos la relación entre letras y números, ahora estudiaremos otros elementos que son básicos en la notación algebraica, los cuales se denominan signos del algebra, cuya clasíficación es:

a) Signos de operación b) Signos de relación

Signos del algebra

c) Signos de agrupación

2.3.TABLA DE RESUMEN DE SIGNOS ALGEBRAICOS

Signos de operación

.

Signos algebraicos.

Signos de relación.

+ Más. - Menos. x Por.  División. xn exponente.  Radical. = Igual. > Mayor que.  mayor o igual que: < Menor que.  Menor o igual

que ( ) Diferente Ordinario.de. Signos de Agrupación

[ ] Corchete.   Llave. ___ Vínculo. 34


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Expresiones algebraicas Expresión algebraica: Es una representación que se aplica a los números y letras que conforman las operaciones básicas. Ejemplos: 3x2 ;

2mn + n ;

7x – 2y + z

Clasificación de las expresiones algebraicas:

MONOMIO

BINOMIO

Consta de un término –2X3 Consta de dos términos –2X3 +3x

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

POLINOMIO

TRINOMIO

4 O MÁS TÉRMINOS

Consta de tres términos 6x2 + 2x - 4 3X5 + 2X4 – X3 –X2 + X – 9 ay4 – by3 + cy2 – dy + 12

Término algebraico: Es cualquier parte de una expresión que consta de uno o varios símbolos separados entre si por el signo “+” o “-“. Ejemplo: x + 3m – 2xy + 1/3 y Elementos de un término: Son las partes que lo forman como signo, coeficiente, literal, y grado (donde al exponente se le conoce como grado)

35


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Ejemplo 1:

Exponente 1 Signo +

an Literal

Coeficiente 1

Ejemplo 2:

Exponente 1 Signo +

 6mn2 Coeficiente 1

Literales

El coeficiente es el número de veces que se suma la base y generalmente es el primer factor que conforma un término, pero este puede ser de dos clases:

NUMÉRICO

-7XY el coeficiente es 7.

COEFICIENTE LITERA LLL

a xy el coeficiente es a.

Los términos se pueden clasificar de la siguiente manera:

5x 2 5 x 2ac TERMINO FRACCIONARIO. Es el que tiene una literal en el denominador b , yb

TERMINO ENTERO. Es aquel que no tiene denominado literal como 3ª, 7x2,

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TERMINO RACIONAL. Es el que no tiene radical, como lose ejemplos anteriores, y se llaman IRRACIONALES término que esta baja el signo racal o tiene exponente fraccionario.

2a , x

1 3

TERMINOS HOMOGENEOS. Son los que tienen el mi

5x smo grado absoluto. 4 x 4 y 2 ,

6x 2 y 3 Son términos con grado absoluto igual a 5. (El grado absoluto de un término, se obtiene sumando los exponentes de las literales). TERMINOS HETEROGENEOS. Son los que tienen disferente grado absoluto: 2x, 4x 3 Actividad de confirmación de conocimientos: 1.- Dados los siguientes términos identificar sus elementos: TÉRMINO

SIGNO

COEFICIENTE

LITERAL

GRADO

-y2 nx - 4x3y 2abcx

2.- Identifica anotando en el renglón la clase de términos a la que pertenecen las siguientes expresiones:

a) 4ax _______________________ b) 5ab / c _____________________ c)

7y

_____________________

d) 5ax, 7ax2, 5a2x ______________ e) 8x2y, 7xy3 __________________

37

CUADERNILLO-RESÚMEN-NÚMEROS-REALES

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