Critical Book Report Teori Bilangan.docx

CRI T I CAL BOO BOOK R E PORT PORT

OLEH :

MATA KULIAH : TEORI BILANGAN

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM 2018 PENGANTAR

Pemahaman suatu materi sangat ditentukan oleh berbagai faktor termasuk referensi atau sumber belajar yang digunakan. Salah satu referensi yang digunakan adalah buku. Berbagai buku banyak sekali ditemukan dengan berbagai gaya penulisan pengarang buku

Titles you can't find anywhere else

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.













tersebut. Varian dalam menulis buku tersebut haruslah dikritisi dan dikaji lebih lanjut. Setiap buku pastilah memiliki cara pandang si pengarang yang berbada melalui variasi penulisan buku tersebut. Pada makalah ini, buku yang dikritisi hanya pada bab Bilangan Prima saja. Tentulah kita tidak asing dengan bilangan prima. Kajian tentang bilangan prima mendapat perhatian di kalangan ilmuwan dan para ahli. Bahkan studi ilmu pengetahuan ada mengaitkannya dengan konsep bilangan prima. Sejauh kita ketahui dari defenisi bilangan prima, yaitu bilangan yang hanya memiliki dua buah faktor pembagi positif yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Kajian terus dilakukan pada bilangan prima. Hasilnya Hasiln ya cukup signifikan. Terdapat berbagai teorema yang lahir dari konsep bilangan prima itu sendiri. Pengembangan lebih lanjut dapat dilihat dari berbagai prinsip matematika tertentu. Yakni dimana pada umumnya suatu bilangan bulat merupakan hasil dari berbagai pengoperasian bilangan prima. Dimisalkan saja adalah bilangan 1. Bilangan ini dapat dinyatakan sebagai 20 dimana 2 merupakan bilangan prima. Kita ambil sampel contoh yang lain, yaitu angka 100. Bilangan ini dapat dinyatakan sebagai 5 2x2, dimana 5 dan 2 adalah dua buah bilangan prima. Konsep bilangan prima penjelasannya dapat dilihat dari berbagai buku, salah satunya adalah buku dikritisi kali ini. Aspek-aspek penting yang wajib dipahami dari konsep bilangan prima melalui penyampaian materi mater i pada buku tersebut haruslah dipahami. Artinya harus ada dasar yang tidak boleh dilupakan yang harus dimiliki dari para pembaca untuk membahas lebih lanjut konsep bilangan prima pada buku ini.

RINGKASAN ISI BUKU













Saat ini, kita menggunakan istilah prima pada bentuk kunonya yang berarti sebuah bilangan bulat lebih dari satu yang tidak dapat dapat direduksikan. Demikian halnya sebuah bilangan bulat positif p adalah prima jika p > 1 dan faktorisasi p = ab kedalam bilangan bulat positif menyiratkan bahwa antara a = 1 atau b = 1. Teorema 1.1 , teorema dasar aritmatika, akan ditekankan lebih lanjut. Faktanya bilangan-bilangan prima membangun membangun semua bilangan bulat. Kenyataannya, bilangan prima dibangun dari semua bilangan bulat. Kajian ini membuka peluang bagi para ahli untuk melakukan studi khusus misalnya tingkat atom. 1.1 Teorema Euclid dan Bilangan Prima

Konsekueni pertama dari teorema dasar aritmatika itu untuk bilangan prima adalah banyaknya tak terbatas jumlahnya. Teorema 1.2 Ada banyak tak hinga hinga bilangan prima Untuk menekankan keragaman pendekatan terhadap teori bila ngan, diberikan beberapa bukti dari hasil yang terkenal sebagai berikut : 1. Bukti Utama Euclid dalam formula modern. modern. Jika ada banyak terbatas bilangan prima dapat didaftarkan P 1, P2,…Pr. Dimisalkan N = P 1,… 1,… P r = 1 Denan teorema dasar aritmatika N bisa difaktorisasikan, jadi harulah itu bisa dibagi oleh beberapa bilangan prima P k dari dari daftar. Ejak P k juga juga membagi P 1….Pr , haruslah dapat dibagi perbedaan N – P P 1…Pr = 1 Yang mana tak mungkin untuk P k > 1. 2. Bukti Analisis uler Dimisalkan ada banyak bilangan prima yang terbatas, jadi dapat didaftarkan sebagai P 1…Pr . pertimbangkan hasil :



− 1    1 













1 1 1 1  1  1  …. 1  1 1 ≥ 1 1  1  ⋯  1 1  ≥ 1 1  12  21  ⋯  21 11  13  31  ⋯  31 1 1      ⋯   1 1     …    1  12  13  14  ⋯    1

Untuk setiap K tetap, kita menyimpulkan bahwa

Hubungkan ini kedalam formulasi X memberikan

…

menunjukkan himpunan semua bilangan asli dengan property yang masing-masing f aktor prima yang tidak lebih dari K kali. Perhatikan bahwa bahwa identitas 1.1 memunculkan teorema

∈ 1  ≥ = 

dasar aritmatika. Diberikan suatu bilangan kita menyimpulkan

, jika K cukup besar maka

∈

maka

Ruas di sisi kanan (dikenal sebagai bentuk harmonic ) meyimpang hingga tak terbatas, tetapi x terbatas. Sekali lagi la gi telah dicapai sebuah kontadiksi dari asumsi bahwa ada banyak terbata bilangan prima. Seperti teorema 1.2, ada banyak cara untuk membuktikan ini, pertama adalah dasar sedangkan yang kedua membandingkan bentuk dengan s ebuah pengintegralan. B ukti dasar sar

Perhatikan bahwa

11













15  16  17  18 ≥ 12 ≥1 12  1  2 1 2  ⋯  2+1 ≥ 2. 2+1  12

Dan seterusnya. Untuk suatu k

Yang berarti bahwa

 1  =  ≥ 2   ≥ ≥ 1 Dan itu mengikuti simpangan

1 =  Yang tersembunyi pada argument terakhir adalah beberapa indikasi tingkat yang mana seri atau bentuk berbeda karena penjumlahan

2+



suku pertama melebihi , jumlah dari N

suku pertama kira-kira C log N untuk beberapa konstanta positif C. bukti kedua meningkatkan formulasi 1.2 yang memberikan bata bawah serta bata atas yang lebih tajam. 1.2 Jumlah Seluruh Bilangan Prima

Kita mulai bagian ini lagi dengan bukti lain bahwa ada banyak bilangan tak hingga. Ingat bahwa P menunjukkan himpunan bilangan prima. Teorema 1.3 seri diverges

∈ 1 Beberapa bukti diberikan, masing-masing memberikan wawasan berbeda. Kita ambil konvensi bahwa P selalu menunjukkan yang utama, untuk c ontoh

∑> 

menunjukkan













Perhatikan bahwa teorema 1.3 memberitahukan kita sesuatu tentang urutan bulangan prima yang dimulai dari dibatasi untuk semua

0

 2,   3, +,…

misalnya urutan

 



dari

tidak dapat

Bukti pertama teorema 1.3 kita berdebat dengan kontradiksi : mengganggap bahwa seri

menyatu. Maka ada beberapa N seperti

> 1 < 12 Biarkan

≤  Menjadi produk dari semua bilangan prima kurang dari atau sama dengan N. jumlah

1,∈ Tidak pernah habis dibagi bilangan prima kurang dari N karena bilangan prima tersebut membagi Q. Sekarang pertimbangkan

1 <  21  1  = > = ∞

∞

Kita menganggap bahwa

 1 1 = 1    = > ∞

∞

Karena setiap istilah disebelah kiri muncul disisi kanan setidaknya sekali. (yakinkan diri anda pada klaim ini dengan mengambil dan menemukan beberapa istilah di sisi kanan). Itu mengikuti















Namun

persamaan

1.3

seri

dalam

persamaan

 1 1 1 = 1 ≥ 2 = 

meyimpang

→

Untuk semua K, dan sisi kanan menyimpang sebagai K membuktikan teorema.

∞.

Kontradiksi ini

Bukti kedua teorema 1.3. kita akan membuktikan hasil yang lebih kuat, yaitu

≤ 1 log2    {∈ℕ∶      ℎ        ∈  1  ≤1−  −  −  ⋯  −− 1 ≤  , ∈ ≤ 1  ∈ 1  ∑  ∏ 1−− Perbaikan N dan biarkan

ŋ

)

Kemudian,(sama seperti pada bukti analitis euler dari teorema 1.2 di p.8)

ŋ

Jika n

tentu tentu saja n

ŋ(N), jadi

ŋ

Itu mengikuti persamaan 1.2 bahwa

pada













f’(v) = v(1-2v) exp( bahwa f(v) 1.6.

≥

    ≥

0 untuk v

∈ 0, 

, jadi terbukti bahwa f(0) = 1 menyiratkan

∈0,  −− −  − 1 ≤ ≤

1 untuk semua v

, untuk semua bilangan bulat p, v =

Kombinasi dari persamaan 1.5 dan pengambilan logaritma memberikan

−  − loglog  ≤ Akhirnya, kita amati bahwa

 1 < = 12 < 1 ∞

Defenisi 1.4 Fungsi Riemann zeta didefenisikan oleh

Ϛ  = 1 1 Ϛ    1  −− ∞

Teorema 1.5 representasi produk produk euler euler untuk semua

Untuk semua

1,

  

, jadi batas













Sekarang biarkan P menjadi sebuah bialngan prima besar dan ulangi argument yang sama dengan masing-masing bilangan prima 3,5,…,p pada gilirannya. Ini memberikan

1  2− 1  3−1  5− … 1  − ∑ →  >  =1+

Bukti ketiga teori 1.3. representasi tak menunjukkan bahwa, untuk setiap

Ϛ   l og1  − 1 1 1        =     =  ∞

1

∞

Perhatikan bahwa seri yang terlibat konvergen secara mutlak, jadi pengaturan ulang tidak memungkinkan. Untuk prima P apaun,

1  1 ≥ 12  = 1 <  = 1   1 1 1−  2  1 2Ϛ2<2Ϛ2 Ϛ2 1    1 ∞

∞

Yang menunjukkan bahwabjumlah ganda terakhir dalam persamaan 1.10 dibtasi.

Batas 2

berlaku untuk salah satu

, dan jumlah ganda menyatu untuk

, jadi













mempertimbangkan masalah mencari semua bilangan prima hingga 50. Pertama mengatur semua bilangan bulat antara 1 hingga 50 dalam kotak. Sekarang melakukan analisa saringan. Eleminate 1, kemudian mulai dengan 2 dan mencoret semua angka yang lebih besar dari 2 dan dibagi oleh 2. Kemudian mengambil nomor bertahan berikutnya 3 dan mencoret semua kelipatan dari 3 yang lebih besar dari 3. Ulangi dengan nomor bertahan berikutnya dan terus sampai angka-angka yang dibagi oleh 7 dicoret. Tabel 1.1 awal bilangan prima pemburu Nama

Tanggal

Terikat

Pietro Cataldi

1588

750

T. Brancker

1688

100000

Felkel Kulik

1876

100330200

Derrick Henry

1909

10006721

Lehmer

Tabel 1.1 adalah daftar singkat dari beberapa perhitungan tabel utama dalam sejarah dalam setiap kasus semua bilangan prima hingga terikat t erdaftar. Masalah yang agak berbeda adalah untuk menemukan persis berapa bilangan prima ada di bawah tertentu terikat (tanpa menemukan mereka semua). Kulik terdaftar faktor-faktor yang terkecil dari semua bilangan bulat hingga nya terikat khususnya khususnya menemukan semua bilangan prima hingga terikat nya. 1.3.1 Fungsi yang menghasilkan bilangan prima













Banyak hal ini memerlukan wawasan dari Prima (n-1) pertama untuk menghasilkan nth Perdana, dan tidak satupun dari mereka tampaknya akan produk berguna. Kita perlu lemma yang mengatakan sesuatu tentang pertumbuhan dalam produk semua bilangan prima sampai n. Seperti biasa p akan digunakan untuk menunjukkan Perdana. Lemma 1.8 Untuk setiap n ≥ 1 ,

M=

log<2log2 ≤     + +  …….  + 21  !  =

Ini adalah koefisien binomial, jadi itu adalah bilangan bulat. Koefisien M muncul dua kali dalam ekspansi binomial 2 m 2 + 1 = (1 + 1)2 m + 1, jadi M < 2 2 M + 1. Jika m + 1 < p ≤ 2 m + 1 untuk beberapa p. prima maka p membagi pembilang m tetapi tidak membagi dominator, jadi

          ∈  Dimana A(m) menunjukkan himpunan bilangan prima p dengan dengan m + 1 < p ≤ 2 m + 1. Dikatakan bahwa:

  log log<2   1 log2<2log2 ∈ ∈− Oleh hipotesis induktif. Jika k aneh, menulis k = 2 m + 1 dan kemudian

 log    log   log   log  <2l <2log 2 <2  1 log2















n < p ≤ 2n 2n Bukti : Untuk setiap bilangan bilangan real x , biarkan

 

demikian

 

menunjukkan bagian integer x. Dengan menunjukkan

adalah bilangan bulat terbesar kurang dari atau sama dengan x. Biarkan p adalah Biarkan p

menjadi Perdana apapun. Kemudian

[]  []  []  ……   ≤

Adalah kekuatan kekuatan terbesar terbesar p membagi membagi n!. Memperbaiki Memperbaiki n ≥ 1 dan membiarkan membiarkan

Menjadi dekomposisi Prima n = (2n)! / (n!) 2. jumlah kali bahwa p utama diberikan membagi N membagi N adalah adalah perbedaan antara jumlah kali ini membagi (2n)! dan (n!) 2. begitu

 2     2       = Dan masing-masing istilah dalam jumlah 0 atau 1, tergantung pada apakah



ganjil ganjil













Memahami pola angka masih hidup tetap menjadi salah satu tantangan besar yang dihadapi matematika dua ribu tahun setelah Eratosthenes. Metode ini memiliki nilai yang besar, yang memungkinkan orang-orang sepanjang sejarah untuk dengan cepat membuat daftar bilangan prima. Ia gagal untuk memenuhi tujuan jangka penyendiri namun. Ini Ini elegan dan efisien menghasilkan daftar bilangan prima tanpa harus melakukan percobaan Divisi tetapi tidak membantu untuk memutuskan jika sejumlah besar diberikan (dengan ratusan digit, contoh fpr) adalah Perdana. 1.3.2 Bilangan Prima Mersenne

Mersenne niticedthat 22 - 1 = 3, 2 3- 1 = 7, 2 5 - 1 = 31 dan 2 7 - 1 = 127 semuanya bilangan prima. Dia menyarankan berdasarkan percobaan bahwa 2p - 1 akan menjadi prima setiap kali p adalah bilangan prima yang melebihi 3 atau kurang bahkan 2 kekuatan. Lemma 1.11 jika 2n - 1 adalah prima, maka n adalah prima

Teorema 1.12. [Fermats little theorem] untuk p prima dan bilangan bulat apa pun a, a p ≡ a (mod p) Sesuai dengan filosofi kami tentang pendekatan yang berbeda, kami menyajikan dua prooff dari teorema kecil fermat.













1.3.4 Bilangan prima Mersenne di era komputer

Kedatangan komputer elektronik diperpanjang batas-batas besar Mersenne Perdana berburu secara dramatis. Tabel 1.3 adalah sebuah daftar singkat yang menampilkan bagaimana ukuran Mersenne dikenal terbesar Perdana telah berkembang selama beberapa tahun terakhir; # M pmenunjukkan jumlah desimal di M p. Pada tahun 1978, Nickol dan Noll adalah 18-tahuntua siswa. Kita tidak membedakan di sini Prima Mersenne yang dikenal terbesar pada waktu dari Prima Mersenne yang diketahui semua lebih kecil Mersenne bilangan prima. Lihat referensi untuk diskusi lebih rinci. Di tabel 1.3, (G) menunjukkan GIMPS dan (P) menunjukkan PrimeNet; ini adalah komputer terdistribusi pencarian menggunakan waktu idle pada ribuan komputer di seluruh dunia. Karena sifat khusus Mersenne nomor (dan terkait jumlah bentuk khusus), biasanya sudah kasus bahwa nomor Perdana secara eksplisit dikenal terbesar adalah bilangan prima Mersenne . 1.4 Bilangan Fermat

Fermat menyadari bahwa ekspresi

  2  1

mengambil Perdana nilai untuk nilai-













2

Sekarang .(mod 641).

5 625≡16

modulus 641 dan

162

. Oleh karena itu

1≡2 ≡

Tentu saja, argumen ini elegan ini berguna hanya sekali kami menduga bahwa 641 adalah faktor F faktor F 5. Euler juga digunakan beberapa licik untuk mencapai titik itu.

  2+  1

Lemma 1,17. Kira p Perdana dengan p│F n. Kemudian

untuk beberapa

∈.

Contoh 1,18.ketika 1,18. ketika n = 5, Lemma 1,17 menunjukkan bahwa jika p jika p adalah Perdana membagi F 5, kemudian

  21641

untuk beberapa k . Jadi daftar mungkin pembagi sangat

berkurang. Kita hanya perlu menguji menguji F F 5untuk dibagi oleh 65, 129, 193, 257, 321, 385, 449, 513, 577, 641... 65 yang, 129, 193, 257, 321, 385, 449, 513,... tidak bilangan prima. Oleh karena it u kita hanya perlu menguji 193, 257, 257, 449, 577, 641,... 641,... dan sebagainya. Pada usaha usaha kelima, kita

menemukan bahwa 641│ F 5. BUKTI LEMMA 1,17. Misalkan p Misalkan p adalah adalah Perdana dengan p│F n, jadi p│F n , so

1

modulus p modulus p dan dan p p adalah aneh. Oleh karena itu

2 ≡













1.5 Pengujian Primality

Kami telah membahas cukup banyak alasan untuk melihat tantangan yang dilontarkan oleh pengujian primitif. Dengan diberi bilangan bulat kecil, seseorang dapat menentukan apakah itu prima dengan menguji untuk dibagi dengan bilangan prima kecil yang diketahui. Metode ini menjadi sangat tidak mungkin dengan sangat cepat. Kami benar-benar mencoba untuk memperhitungkan. Kemampuan untuk secara cepat memfaktorkan bilangan bulat besar tetap merupakan Cawan Suci teori bilangan komputasional. Nanti kita akan melihat beberapa teknik yang lebih canggih dan memperkirakan kisaran bilangan bulat yang dapat diterapkan. Untuk saat ini, kami berkonsentrasi pada sifat-sifat bilangan prima yang dapat digunakan untuk membantu menentukan primality. Teorema Kecil Fermat adalah sebuah contoh, meskipun itu tidak memberikan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk primality, hanya yang diperlukan. Hasil selanjutnya memberikan kondisi yang diperlukan dan cukup; ini dikenal sebagai Teorema Wilson karena pernyataan untuk efek ini yang diduga dibuat oleh John Wilson pada 1770 oleh matematikawan Edward Waring. Bukti awal diterbitkan oleh Lagrange pada 1772. Teorema ini pertama kali tampaknya telah dicatat oleh al-Haytham sekitar 750 tahun sebelum Wilson.















Kami menemukan kejeniusan Euclid yang sesungguhnya setelah kami mencoba membuktikan Teorema Dasar Aritmatika. Ada dua bagian di dalamnya: keberadaan dan keunikan. Bagian keberadaannya tidak sulit. Biarkan n> 1 menjadi bilangan bulat dan pilih r dengan 2r > n. Jika n itu sendiri tidak habis dibagi dengan apa pun dengan 1
≥ 2r, memberikan kontradiksi. Jadi n harus merupakan produk tidak lebih dari faktor prima. Ini adalah ketika kita datang ke bagian unik dari bukti bahwa kita menemukan suatu kehalusan - yaitu, bahwa definisi perdana sebagai elemen tak dapat direduksi tidak benar benar cukup untuk membuktikan Teorema Dasar Aritmatika. Misalkan kita mencoba untuk













Menandakan himpunan pembagi non-identifity dari a. Set D adalah nonempty karena berisi, sehingga memiliki elemen terkecil, yang kami nyatakan p. Unsur terkecil ini harus menjadi prima karena jika memiliki pembagi trivial yang akan menjadi elemen yang lebih kecil dari D. Jadi kita memiliki dekomposisi. a = pb, p prime, b
di mana p prima tidak muncul. Khususnya, q1 ≠ p. Selain itu, dengan definisi p, q1> p sejak q1 Є D, 1 ≤ q1 - p
a0 = a - pc = p (b-c) = (q1 - p) c.













.… Adalah komponen utama dari a, dan tidak memiliki dekomposisi utama lain yang melibatkan prima p. misalkan a memiliki memiliki dekomposisi utama lainnya p,

   …   ≠   ∈ ,    <   … ,,        1   <     Dimana p prima tidak muncul, khususnya

karena

Sekarang

1 1

.biarkan

dan pembagi (b-c),

p. lebih dari, dengan defenisi p,

dan defenisi

, dan c semuanya kurang dari a.

 













Oleh karena itu, G tidak sama dengan salah satu dari angka A, B, dan C, dan dengan hipotesis itu adalah prima. Oleh karena itu, bilangan prima A, B, C, dan G telah ditemukan, yang lebih dari banyak yang ditetapkan A, B, dan C. Oleh karena itu, bilangan prima lebih banyak dari bilangan prima yang ditetapkan. ditetapkan. Ada sedikit di antara argumen ini dan bukti Euclid dalam bentuk modern pada hal. 8. Euclid tidak memiliki pengertian modern tentang ketidakterbatasan, jadi dia membuktikan bahwa ada lebih banyak bilangan prima daripada jumlah yang ditentukan. Dia juga sering menyatakan bukti menggunakan contoh (dalam hal ini, apa yang dia benar-benar membuktikan bahwa ada lebih dari tiga bilangan prima), tetapi jelas dia memahami kasus umum. Ada kemungkinan bahwa bagian dari alasan untuk ini adalah kesulitan notasi yang terlibat dalam berurusan dengan daftar benda terbatas yang besar dan sewenang-wenang.













Goldbach menunjukkan bagaimana seseorang dapat menggunakan urutan bilangan bulat dengan properti yang merupakan tindak lanjut tak terbatas adalah coprime berpasangan untuk memberikan bukti yang berbeda. GOLBACH'S BUKTI TEOREM 1.2. Kami mengklaim bahwa angka Fermat adalah coprime berpasangan:

≠→gcd,   1  2 … −   ≥ ≥ 1    .  … −     2  2 12  1

  2  1

Langkah pertama adalah menunjukkan dengan menginduksi itu

Untuk melihat mengapa hal ini benar, perhatikan dulu bahwa asumsikan bahwa Persamaan (1,30) berlaku untuk

. Kemudian

(1.30)

 2

dan















Euclid ditampilkan dalam situs Web Halaman Utama [25]; Buku Ribenboim [125] menjelaskan tidak kurang dari 11 bukti. Contoh 1.7 terkait dengan masalah halus dalam teori bilangan aljabar; lihat buku Ribenboim [125] untuk diskusi dan referensi terperinci. Bahwa nilai-nilai positif dari sebuah polinomial dalam beberapa variabel dapat bertepatan dengan bilangan prima pada dasarnya adalah produk p roduk samping dari solusi Matijasevic Matijas evic untuk salah satu masalah Hilbert yang terkenal. Beberapa sejarah dan referensi dan dua polinomial eksplisit













situs Web-nya [86]; Situs web ini didasarkan pada beberapa terjemahan karya Euclid, tetapi sumber utama dan paling mudah diakses tetap terjemahan oleh Heat [53]. Latihan 1,24 diambil dari Hardy dan Wright [75]. Bukti Furstenberg tentang Teorema Euclid muncul di [63]. Latihan 1,23 diambil dari makalah Clement [31]. Hasil Brun dalam Persamaan 1,25 muncul awalnya dalam makalahnya [24]; bukti modern dapat ditemukan dalam buku Le Veque [100]. Akhirnya, kami membuat beberapa komentar terkait Bagian 1.7.2.













a. Kelengkapan sub topik yang diperlukan untuk menjelaskan isi topik utama Buku yang dikritik sudah cukup lengkap pemberian sub topiknya. Bahkan buku tersebut membahas sejarah pemahaman konsep bilangan prima di masa lalu. Buku ini juga memberikan berbagai teorema yang mendukung materi pokok dari bab tersebut. Teorema-













Bahasa yang dipakai sangat matematik. Artinya tidaklah menggunakan penekanan bahasa yang umum atau bahasa yang dipakai masyarakat sehari-hari. Bahasa yang demikian sangatlah mendidik dan menunjukkan eksistensi budaya pendidikan itu, terutama dalam matematika. Tidak heran bahwa sulit bagi para pemula untuk menerima bahasa yang demikian apalagi belum memiliki pengalaman dalam pendidikan. Bahasan buku ini sudah ditulis sangat runtut dan mengikuti pola pikir yang logis. Artinya













KELEMAHAN BUKU

a. Kelengkapan sub topik yang diperlukan untuk menjelaskan isi topik utama Sub topik yang dibahas memang sudah sangat baik dan lengkap. Namun lengkapnya subtopik ini akan membuat pemikiran dari para pembaca tidak mengarah atau mengikuti







































Critical Book Report Teori Bilangan.docx

Recommend Documents