INDICE
CRISTALOGRÁFIA……………………………………………………………………….3 PLANOS CRISTALOGRÁFICOS ………………………………………………………..3 ÍNDICES DE MILLER ……………………….…………………………………………….5 DIRECCIONES DE CELDA ……………………………………………………………...7 NOTACIÓN DE PLANOS………………………………………………………………...8 LEY DE SCHMIDT ……………………………………………………………………....11 DIFUSION………………………………………………………………………………...12 PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE FICK ………………………………………………..13
CRISTALOGRÁFIA La cristalografía es la ciencia que se dedica al estudio y resolución de estructuras cristalinas. La mayoría de los minerales adoptan formas cristalinas cuando se forman en condiciones favorables. La cristalografía es el estudio del crecimiento, la forma y la geometría de estos cristales. La disposición de los átomos en un cristal puede conocerse por difracción de los rayos X. La química cristalográfica estudia la relación entre la composición química, la disposición de los átomos y las fuerzas de enlace entre éstos. Esta relación determina las propiedades físicas y químicas de los minerales. Cuando las condiciones son favorables, cada elemento o compuesto químico tiende a cristalizarse en una forma definida y característica. Así, la sal tiende a formar cristales cúbicos, mientras que el granate, que a veces forma también cubos, se encuentra con más frecuencia en dodecaedros o triaquisoctaedros. A pesar de sus diferentes formas de cristalización, la sal y el granate cristalizan siempre en la misma clase y sistema. En teoría son posibles treinta y dos clases cristalinas, pero sólo una docena incluye prácticamente a todos los minerales comunes y algunas clases nunca se han observado. PLANOS CRISTALOGRÁFICOS Dirección en la celda a menudo, es necesario referirnos a posiciones específicas en las redes cristalinas. Esto es especialmente importante para metales y aleaciones con propiedades que varían con la orientación cristalográfica. Para cristales cúbicos los índices de las direcciones cristalográficas son los componentes vectoriales de las direcciones resueltos a lo largo de cada eje coordenado y reducido a los enteros más pequeños.
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Para indicar en un diagrama la dirección en una celda cúbica unitaria dibujamos un vector de dirección desde el origen (que es normalmente una esquina de la celda cúbica) hasta que sale la superficie del cubo. Las coordenadas de posición de la celda unidad donde el vector de posición sale de la superficie del cubo después de ser convertidas a enteros son los índices de dirección. Los índices de dirección se encierran entre corchetes sin separación por comas.
Planos en una celda unitaria Las superficies cristalinas en celdillas unidad HCP pueden ser identificadas comúnmente utilizando cuatro índices en lugar de tres. Los índices para los planos cristalinos HCP, llamados índices Miller-Bravais, son designados por las letras h , k , i , l y encerrados entre parentesis ( hkil ) . estos indices hexagonales de 4indices estan basados en un sistema coordenado de 4 ejes . Existen 3 ejes basicos , a1 , a2 , a3, que forman 1200 entre si. El cuarto eje o eje c es el eje vertical y esta localizado en el centro de la celdilla unidad. La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1 a2 a3 es la distancia entre los átomos a lo largo de estos ejes. la unidad de medida a lo largo del eje es la altura de la celdilla unidad . Los recíprocos de las intersecciones que un plano cristalino determina con los ejes , a1 , a2 , a3 proporciona los indices h , k e i mientras el recíproco de la intersección con el eje c da el índice l
Notación para planos Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla unidad puesto que el plano basal de la celdilla HCP es paralelo a los ejes, a1, a2 , a3 las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito . Así, a1 = ¥ , a2 = ¥ a3 = ¥ El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad . Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los índices de Miller-Bravais para el plano Basal HCP. Así , H =0 K=0 I = 0 y L=1. El plano basal es , por tanto un plano cero-cero-cero-uno o plano (0001) . 3
Importancia del índice de Milller A veces es necesario referirnos a planos reticulares específicos de átomos dentro de una estructura cristalina o puede ser interesante conocer la orientación cristalográfica de un plano o grupo de planos en una red cristalina. Para identificar planos cristalinos es estructuras cristalinas cúbicas se usa la notación de Miller. Los índices de Miller de un plano cristalino están definidos como los recíprocos de las intersecciones, que el plano determina con los ejes x , y , z de los tres lados no paralelos del cubo unitario .Las aristas de una celda cúbica unitaria presentan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias .El procedimiento de determinación de los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico es el siguiente: - Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0) - Determinar las interacciones interacciones del plano en base base a los ejes x,y,z cristalográficos para un cubo unitario , estas interacciones pueden ser fraccionarias - Construir los recíprocos de estas intersecciones - Despejar fracciones y determinar el conjunto más pequeño de números esteros que estén en la misma razón que las intersecciones. Esos números enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. La notación (hkl) se usa para indicar índices de Miller en sentido general, donde h, k, y l son los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico de ejes x, y, z respectivamente. ÍNDICES DE MILLER Para poder identificar unívocamente un sistema de planos cristalográficos se les asigna un juego de tres números que reciben el nombre de índices de Miller. Los índices de un sistema de planos se indican genéricamente con las letras (h k l).
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Los índices de Miller son números enteros, que pueden ser negativos o positivos, y son primos entre sí. El signo negativo de un índice de Miller debe ser colocado sobre dicho número.
Obtención de los Índices de Miller 1.- Se determinan las intersecciones del plano con los ejes cristalográficos. Para poder determinarlas se utiliza como unidad de medida la magnitud del parámetro de red sobre cada eje. 2.- Se consiguen los recíprocos de las intersecciones. 3.- Se determinan los enteros primos entre sí que cumplan con las mismas relaciones. 4.- tienen que ser enteros. Supongamos una red con parámetros de red: a b c Tenemos un plano que se interseca con los ejes x, y, z -estos ejes también se pueden designar con las letras a, b y c- en los puntos 1a 1/2b 2c. Entonces realizamos el recíproco de las intersecciones 1a, 1/2b, 2c y obtenemos 1/a, 2/b, 1/2c y de ahora en adelante trabajamos sólo con los números, es decir: 1, 2, 1/2. Determinamos los enteros primos entre sí que cumplan las mismas relaciones: Esto lo logramos multiplicando por el m.c.m. (mínimo común múltiplo) es decir(1 2 1/2) = (2 4 1) (Nótese que cumplen con las características de los índices de Miller: Enteros y primos entre sí) Entonces los índices de Miller para el sistema de planos del ejemplo es: (2 4 1)
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DIRECCIONES DE CELDA Se define como celda unitaria, la porción más simple de la estructura cristalina que al repetirse mediante traslación reproduce todo el cristal. Todos los materiales cristalinos adoptan una distribución regular de átomos o iones en el espacio. Se trata de un arreglo espacial de átomos que se repite en el espacio tridimensional definiendo la estructura del cristal. Se caracteriza por tres vectores que definen las tres direcciones independientes del sistema de coordenadas de la celda. Esto se traduce en seis parámetros de red, que son los módulos, , y , de los tres tres vectores, y los los ángulos , y que forman entre sí. Estos tres vectores forman una base del espacio tridimensional, de tal manera que las coordenadas de cada uno de los puntos de la red se pueden obtener a partir de ellos por combinación lineal con los coeficientes enteros. La posición de un átomo dentro de la celda unidad se describe normalmente usando coordenadas fraccionarias. La simetría traslacional de una estructura cristalina se caracteriza mediante la red de Bravais, existen 14 redes de Bravais diferentes y todas las estructuras cristalinas minerales conocidas encajan en una de esas 14 disposiciones. Estas redes pueden ser: -
Tipo P: Se denomina primitiva y tiene puntos de red en los vértices de la celda.
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-
Tipo I: Red centrada en el interior. Esta presenta puntos de red en los vértices de la celda y en el centro de la celda.
-
Tipo F: Red centrada en todas las caras. Presenta puntos de red en los centros de todas las caras, así como en los vértices.
-
Tipo C: Red centrada en la base. Una red tipo C se refiere al caso en el que la la simetría traslacional coloca puntos de red en los centros de las caras delimitados por las direcciones a y b así como en el origen.
Además de la simetría traslacional descrita en una red cristalina existen elementos de simetría. Estos elementos son: Centro de inversión. Plano de reflexión. Ejes de rotación de orden 2, 3, 4 y 6. Ejes de rotación-inversión de orden 3, 4 y 6. Los elementos de simetría anteriores pueden coexistir en una estructura cristalina dando lugar a lo que se conoce como grupo puntual de simetría. Existen 32 grupos puntuales de simetría y el nombre alude a que las operaciones asociadas forman un grupo matemático y los elementos tienen un punto en común que no se mueve al realizar las operaciones. Cuando se acoplan traslación con los ejes de rotación y planos de simetría surgen nuevos elementos de simetría: ejes helicoidales y planos de deslizamiento. Cuando se combinan los 32 grupos puntuales de simetría con los elementos de simetría traslacional y las 14 redes de Bravais se obtienen los 230 grupos espaciales de simetría posibles. Estos grupos determinan los tipos y posiciones de los elementos de simetría que son posibles para una estructura cristalina. Los puntos de red que muestran la simetría traslacional de una estructura pueden ser conectados mediante los planos de red. Cada plano pertenece a un conjunto de planos equiespaciados que contienen todos los puntos de red. Estos planos se nombran
usando
los
índices
de
Miller.
Estos
índices
se
designan
convencionalmente h, k, y l, se escriben entre paréntesis (h,k,l) y son enteros positivos, negativos o cero. La separación de los planos se conoce con el término 7
de espaciado dhkl. La relación entre el espaciado d y los parámetros de red puede determinarse geométricamente y depende del sistema cristalino. NOTACIÓN DE PLANOS
Ejem1: Consideremos una celda elemental cúbica. •Paso 1: Considerar un plano cualquiera de la serie y medir las longitudes de los
segmentos que sus intersecciones con los ejes determinan sobre ellos, a partir del origen, empleando como módulo para cada medida la longitud de la arista correspondiente. En este caso la intersección con el eje x tiene lugar en x=a y la superficie es paralela a los ejes y, z (consideramos que los corta en ∞). Los cortes son a, ∞, ∞ •Paso 2:
Calcular los recíprocos de esas longitudes. Son 1/a, 0, 0. •Paso 3: Buscar los tres menores números enteros que estén en la misma
relación que esos recíprocos. Encerrados entre paréntesis constituyen los índices de la serie correspondiente. Por tanto el plano del dibujo es el (100) del cristal cúbico.
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Notación de los planos cristalográficos Los índices de Miller encerrados entre paréntesis designan solamente a una serie de planos paralelos. Ejem:(100) = (100) + (200) + (300) + ( 100) + … •Encerrados entre llaves representan todas las series de planos que son
cristalográficamente equivalentes (permutando h, k y l con todos los índices positivos y con uno, dos o los tres índices negativos). El símbolo { } representa el conjunto de las tres series: Ejem:{100} = (100) + (010) + (001) {110} = (110) + (101) + (011) + (11 0) + (101 ) + (011 ) •Los índices negativos se nombran en la dirección -x, -y, -z.
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LEY DE SCHMIDT Se puede entender las diferencias en el comportamiento de los metales que tienen diferentes estructuras, examinando la fuerza requerida para iniciar el proceso de deslizamiento. Supongamos que se aplica una fuerza unidireccional F a un cilindro de metal que es un cristal. Simple o mono cristal. Es posible ubicar el plano de deslizamiento y la dirección del desplazamiento al aplicar la fuerza, definiendo los ángulos λ y φ. λ es el ángulo entre la dirección del desplazamiento y la fuerza aplicada, y φ es el ángulo entre la normal al plano de desplazamiento y la fuerza
aplicada. Para que la dislocación se mueva en el sistema de deslizamiento, se necesita que actúe una fuerza de en la dirección del desplazamiento, producida por la fuerza aplicada F. DIFUSION Es el movimiento de los átomos, iones o moléculas, dentro de un material. Estos se mueven de manera predecible, tratando de eliminar diferencias de concentración y producir una composición homogénea y uniforme. Observar la evolución de una gota de tinta en un vaso de agua, o de un cristal de alguna sustancia coloreada en el solvente adecuado, los olores que llegan a nosotros, son experiencias diarias de fenómenos de difusión en gases y líquidos, estados en los que por su misma situación de movilidad, los átomos difunden con rapidez. Sin embargo este fenómeno es una tendencia general en la naturaleza, y aunque más lento, es igualmente observable en sólidos. Las “imperfecciones”.
Se han definido como sólidos a aquellos materiales cuyos átomos, iones o moléculas están ordenados en una forma fija y regular de mínima energía, llamada red cristalina. Aun siendo regulares, las redes cristalinas naturales pocas veces son perfectas: la descripción y el control de las imperfecciones existentes, y aun la creación de imperfecciones en una red cristalina perfecta, son un aspecto importante de la ingeniería de los materiales .Las imperfecciones de la red pueden consistir en la ausencia de uno o más átomos en los puntos correspondientes de 11
la misma (vacancias) ó en la aparición de un átomo diferente (de mayor o menor radio) lo que provoca tensiones y distorsiones en la red. Los átomos más pequeños pueden acomodarse también en los huecos dejados por los átomos de la red (sitios intersticiales) constituyendo otro tipo de imperfección. Y aún los mismos, los átomos, iones o moléculas ordenados en la red tienen energía como para desplazarse de un punto a otro, intercambiando posiciones con otro átomo idéntico, siguiendo las tendencias homogéneas . Puesto que no todos los átomos tienen la misma energía, se podrá aplicar un criterio estadístico. PRIMERA Y SEGUNDA LEY DE FICK La ley de Fick es una ley cuantitativa en forma de ecuación diferencial que describe diversos casos de difusión de materia o energía en un medio en el que inicialmente no existe equilibrio químico o térmico. Recibe su nombre de Adolf Fick, que las derivó en 1855. En situaciones en las que existen gradientes de concentración de una sustancia, o de temperatura, se produce un flujo de partículas o de calor que tiende a homogeneizar la disolución y uniformizar la concentración o la temperatura. El flujo homogeneizador es una consecuencia estadística del movimiento azaroso de las partículas que da lugar al segundo principio de la termodinámica, conocido también como movimiento térmico casual de las partículas. Así los procesos físicos de difusión pueden ser vistos como procesos físicos o termodinámicos irreversibles. Criterios La Ley de Difusión de Fick toma en cuenta ciertos criterios para determinar que tan fácil es que difunda una sustancia dada dependiendo de las siguientes características: - Magnitud de gradiente - Área de superficie - Liposolubilidad de la sustancia (entre más liposoluble, más rápido difunde) - Peso molecular (entre menos peso, pasa más rápido) - Distancia de difusión
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