Cours1 Amphi

Cours ECN : Méthode des Eléments Finis

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Méthode des Eléments Finis « MEF » UE-35 : MEEFI Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation Formulations variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application

H. OUDIN MMGC – SIM [email protected]


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Objectifs de cet enseignement Présenter les principes de base de la MEF Problèmes élémentaires

« comprendre »

Formulations variationnelles

« généraliser »

Méthodes numériques

« appliquer »

Î Parcours pédagogique (site Web, poly) – – – –

Treillis Portiques Méthodes variationnelles « EDP » Méthodes numériques – MEFLAB


Objectifs de cet enseignement Présenter la notion de Modèle Hypothèses de modélisation Comment formuler un problème de physique pour pouvoir le traiter numériquement Hypothèses de discrétisation Comment le traiter numériquement.

Utiliser un code de calcul industriel Aborder les problèmes d’analyse et de validation de modèles via des exemples simples.

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Projet pédagogique L’étudiant est l’acteur principal de sa formation Le parcours pédagogique est organisé en thèmes

Travail en Autonomie Supports pédagogiques sur le WEB + le poly Vous pouvez travailler chez vous

Activités proposées Comprendre Apprendre Appliquer Valider

Vidéo & Présentations PowerPoint (site) Polycopié + exercices corrigés (site) + QCM (site) Exercices (site) – MEFLAB (site) – Maple Exercices traités en TD


Projet pédagogique Site WEB

Le menu donne accès aux documents en ligne Objectifs : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/ Travail en autonomie régulier Pouvoir réagir en TD sur vos difficultés

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Projet pédagogique

Pour finir

Les TD Valider votre compréhension des principaux points de cours, Répondre à vos questions sur le thème étudié.

Travail personnel avant les TD

Conférence (2*1h) Grégory LEGRAIN Nicolas CHEVAUGEON

« l’erreur de discrétisation » « XFEM »

Evaluation Note individuelle (coef 7) Note collective (coef 4)

DS sans documents Projet pondéré par votre TA


Méthode des Eléments Finis Projet pédagogique - site WEB

Méthodes d’approximation Formulations variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application

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Méthodes d’approximation : généralités Système physique continu Mise en équations formulation mathématique du problème (EDP) Formes différentielles Problème aux limites

Discrétisation du milieu

Formulation mathématique du problème (PTV) Forme Variationnelle

Résidus pondérés

Méthodes des éléments finis

Système physique discret Formulation mathématique du problème

Formes intégrales

(éq. de Lagrange)

Méthodes Numériques

Discrétisation

Forme matricielle


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Résidus Pondérés : Formulation Modèle math. posé sur un domaine continu Î Système d'équations différentielles : "EDP" Conditions aux limites ∀ M ∈∂ D C(u ) = e( M , t )

∀M ∈ D

L (u ) = f ( M , t )

Si u solution approchée R(u) : résidu (erreur commise)

Résoudre R (u ) = L (u ) − f

⇔ ∀ϕ

(M , t)

= 0 sur D

∫ ϕ R (u ) dV

=0

D

fonction de pondération

1ère forme intégrale Ne tient pas compte des conditions aux limites du problème

Annulation du Résidu pondérée sur le domaine


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Résidus Pondérés : Approximation n

Soit une approximation à n paramètres:

u = ∑ wi ( M ) qi i =1

∀ϕ

∫ϕ

n ∑ i =1

R(

D

w q ) dV = 0 i i

Fcts de forme Une équation à n inconnues

Comment construire un système matriciel ?

∫P

∀ i de 1 à n

i (M)

R(

n ∑ w (M) q j j j =1

) dV = 0

D

Nombre fini de Fcts de pondération

Système matriciel

Attention Fcts de forme doivent vérifier toutes les CL en pratique c’est impossible pour un Pb de l’ingénieur


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Résidus Pondérés : Exemple Écoulement d'un fluide visqueux incompressible dans une conduite

∀M ∈ Ω

Δ (u ) =

Champ inconnu

p 2 − p1

μ

Coefficient de viscosité cinématique du fluide.

u = u ( x, y ) z

le champ des vitesses

Soit l’approximation à 1 paramètre u ( x , y ) = ( x 2 − a 2 )( y 2 − a 2 ) q elle vérifie les conditions aux limites ∀ M ∈ Γ p 2 − p1 « collocation » μa2 p 2 − p1 = − 0, 31 q « Galerkin » μa2 2 p 2 − p1 − 0, 2947 a Solution de référence au centre q = − 0, 25

μ

u=0


Méthode des Eléments Finis Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation

Formulations variationnelles MEF: les éléments finis Exemples d’application

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Formulation variationnelle EDP ⎧ R(u) = 0 dans D ⎨ ⎩ CL sur ∂ D

Forme intégrale 1 ⎪⎧ ∀ ϕ ∫D ϕ R(u) = 0 ⎨ Formulation ⎪⎩ CL sur ∂ D forte

Objectif : transformer la Forme intégrale 1 Pour faire apparaître les CL Î intégration par parties Forme intégrale 1 ⎧⎪ ∀ ϕ ϕ R(u) = 0 ∫ D ⎨ ⎪⎩ CL sur ∂ D

TH d'Ostrogradsky

⎧⎪ ∀ ϕ g (ϕ , u ) + ∫ h (ϕ , u ) = 0 ∫ D Γ2 ⎨ Formulation ⎪⎩ CL1 sur Γ 1 faible « PTV » C L 2 su r Γ 2

CL sur les « flux » : dérivées spatiales de u


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Formulation variationnelle : Exemple EDP

Conduction thermique dans un Four

Champ inconnu : T température

⎧divq + r = 0 ⎪ ⎨ q.next = Φ d ⎪T =T d ⎩ avec

q = −λ

dans

Τ2

Ω

sur ∂ 2 Ω sur ∂ 1Ω

Résistance

Four

Condition de flux Condition sur T

Γo Flux nul

Γo Pièce à chauffer

Flux nul

g r a d T flux de chaleur Τ1

Annulation de l’erreur pondérée ∀ δ T

∫ (divq + r ) δ T

dV = 0

Ω

∀δ T

∫λ

Ω

gradT . gradδ T dV +

∫ r δ TdV + ∫

Ω

C’est la forme variationnelle du problème

∂ 2Ω

Φ d δ TdS +

∫

Φ iδ TdS = 0

∂ 1Ω

flux inconnu


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Formulation variationnelle : Exemple Choix δ T = 0 sur ∂ 1Ω Champ virtuel thermiquement admissible ∀ δ TTh − admissible

∫λ

Ω

gradT . gradδ T dV +

∫ r δ TdV + ∫

Ω

Φ d δ TdS = 0

∂ 2Ω

Nous obtenons une équation à 1 champ « T »

Il faut satisfaire la condition :

T = Td

sur ∂ 1Ω

La Formulation variationnelle est directement utilisable dans la Méthode des Éléments Finis . Résultat MEFLAB d’optimisation des résistances pour que la température dans la pièce soit proche de la consigne fixée (c’est un projet EF). Ce que nous venons de présenter pour un Pb de conduction thermique Peut être fait pour d’autres Pb de physique (cours en ligne, poly, exo de cours)


Méthode des Eléments Finis Projet pédagogique - site WEB Méthodes d’approximation Méthodes variationnelles

MEF: les éléments finis Exemples d’application

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Méthode des Eléments Finis : MEF Idées de base Point de départ : Formulation Variationnelle Approximation de la solution par sous-domaines : éléments finis • forme simple • approximation sur des variables physiques Forces nodales

Charge répartie Déplacements imposés

Domaine continu

Domaine discrétisé


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MEF : Approximation éléments finis Formulation Variationnelle ⇔ PTV en Mécanique ∀ δ uCA

∫ρ

u .δ u dV

D

+ ∫ σ : δε dV −

⎧u = u d sur ∂ D1 : ⎨ ⎩δ u = 0

D

∫

f .δ u dV −

D

Efforts donnés sur ∂ D2

Approximation Éléments Finis

D = ∪ De ⇒ W = ∑ W e

Pour chaque élément :

{u ( M )} = [ N ( M ) ]{U e } {δ u } = [ N ( M ) ]{δ U e } (Galerkin)

Mêmes familles de fonctions pour u et δ u

∫

∂D2

T .δ u dS = 0


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MEF : Ecriture matricielle Pour les efforts internes

∫σ

: δε dV = ?

D

Rappel : Notation matricielle T ε → {ε } =< ε xx , ε yy , ε zz , 2ε xy , 2ε xz , 2ε yz >

σ : δε

T = {δε } {σ }

{σ } =< σ xx , σ yy , σ zz , σ xy , σ xz , σ yz > {ε ( M ) } = [ L ] {u ( M )} Opérateur gradient en petites déformations {σ ( M ) } = [ D ( M ) ]{ε ( M ) } Loi de comportement σ

→

T

Approximation EF {ε ( M ) } = [ L ] [ N ( M ) ] {U e } = [ B ( M ) ] {U e } {σ ( M ) } = [ D ( M ) ][ B ( M ) ]{U e }

∫ σ : δε dV = {δ U e } [ K e ]{U e } T

De

avec

[ K e ] = ∫ [ B ( M )]T [ D ( M )] [ B ( M )]

dVe

De

Matrice raideur élémentaire


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MEF : Ecriture matricielle

∫

Pour les efforts externes

f .δ u dV e =

De

∫

{δ u }T { f } dV e

De

Approximation EF

{δ u } = [ N ( M ) ] {U e }

= {δ U e }

T

T

De

Assemblage

Vecteur force généralisée élémentaire

D = ∪ De ⇒ W = ∑ We

~

[K ] = ∑ [K e ] e

[ K ]{

∫ { N ( M )} { f } dV e

~

On défini un vecteur global

{U }

{ F } = ∑ { Fe }

U } = {F }

e

Système global

Pour la statique

Démarche utilisée pour l’étude des treillis et des portiques


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MEF : Techniques numériques Approximation nodale Exemple 1D

T1

T(s)

T2

0

s

« Pb de température »

1

2 nœuds Î approximation à 2 paramètres : T = a0+ a1 s

Identification aux nœuds : Fonctions d’interpolation

T ( 0 ) = T1 ⎫ ⎬ T (1) = T2 ⎭

⇒

⎧ T1 ⎫ T ( s ) = [1 − s ; s ] ⎨ ⎬ ⎩T2 ⎭

Variables nodales signification physique

Exemple : approximation utilisant 3 éléments


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Techniques numériques

Éléments à une dimension

Base polynomiale

(1 x )

Linéaire

(1 x x2 )

Quadratique

(1 x x2 x3 )

Cubique

Type Lagrange

Interpolation 1 1

NN11

1N2N1

N2

N2

N N3

3N

N1

1

2 1

s

ss

N4

00

0

11

1

s

Type Hermite 2 variables par nœud exemple : élément poutre v et θ


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Éléments à deux dimensions

Éléments triangulaires

Les bases polynomiales sont complètes Éléments quadrilatéraux

Les bases polynomiales sont incomplètes Éléments toriques

zo symétrie cylindrique



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Éléments à trois dimensions

Éléments tétraédriques

Les bases polynomiales sont complètes Éléments prismatiques bases incomplètes Éléments hexaédriques bases incomplètes


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Techniques numériques Dréf

Transformation géométrique

Dréel

s,t,u

x,y,z

⎧ x =< N g ( s , t , u ) > {x n } ⎪ ⎨ y =< N g ( s , t , u ) > {y n } ⎪ z =< N ( s , t , u ) > {z } g n ⎩ nœuds

{x n }, {y n }, {z n }

Dérivation : on montre ⎧∂ ⎫ ⎧∂ ⎪ ∂ x⎪ ⎪ ∂ ⎪∂ ⎪ −1 ⎪ ∂ ⎨ ∂ y ⎬ = [J ] ⎨ ∂ ⎪ ⎪ ⎪∂ ∂ ⎪⎩ ∂ ⎪⎩ ∂ z ⎪⎭

⎫ s⎪ ⎪ t⎬ ⎪ u ⎪⎭

J matrice jacobienne de la transformation Fct de Ng et

==> matrices [B(s,t,u)]e

Intégration : on montre

∫f De

(x, y, z)

dxdydz

=

{xn },{yn },{zn }

∫ Dref

f (s

t, u)

det [J ] dsdtdu


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Intégration numérique

∫f

dv ≅

Dref

Npi

∑ f (ξ )ω i

i

i =1

Calcul des matrices élémentaires [M e ] = ∫ < N ( ξ ) > T ρ < N ( ξ ) > det [J ] dv ref Dref

[K e ] = ∫ [ B (ξ )] T [ D ] [ B (ξ )]

det [J ] dv ref

Dref

Pour chaque élément

Ng et {x n }, {y n }, {z n }

Pour chaque point d ’intégration Calcul de [J] et [J]-1 au point d ’intégration Construction de [D] et [B] Calcul de [B]T [D] [B] det[J] ωi Calcul de ρ [N]T [N] det[J] ωi Accumuler dans [K] et [M]


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Bilan : Démarche éléments finis Domaine continu Discrétisation géométrique Construction de l’approximation nodale {u } = [N e ]{u e }

Calcul des matrices élémentaires

2 E de =

∫

σ : ε dV = {u n }T

De

Assemblage

∫B

T

D B dV {u n }

De

~

[K ] = ∑ [K e ]

{u n }T [K e ]{u n }

e

Prise en Compte des Conditions aux limites et Résolution de l’équation matricielle Évaluation des grandeurs élémentaires

[K ]{U } = {FD }+ {FI } Résolution

{σ

(M )

⎧{U } déplacemen ts nodaux ⎨ ⎩{FI } efforts de liaisons

} = [D ( M )]{ε ( M ) } = [D ( M )][B ( M )]{u n }


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Exemples d’application

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Refroidissement d'une jante en alliage d'aluminium

Le remplissage, le refroidissement, le transfert de chaleur de la pièce au moule, et la solidification sont modélisés.

Laboratoire de métallurgie physique de l'EPFL Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne


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SNCF Mannequin HYBRID III 50% déformable

Modèle éléments finis du siège impacté

Didier LEVEQUE


31

En biomécanique Interface os - prothèse

Articulation du genou ligaments, tendons, cartilages, ménisques

Jean ROYER - MMGC


« Orange II »

Design : Gilles Ollier

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Mat 45 m Voiles 1000 m2 110 Pieds ( 37,80m ) 30 Tonnes Carbone-Nomex

Gilles MARCKMANN – Laurent GORNET - MMGC


ECN - SNECMA

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Modélisation de la perte d’une aube dans un réacteur

Laurent STAINIER - MMGC


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Éléments finis et Level Set method

Voir le site de FEDKIW : Stanford

Émilie MARCHANDISE – JF. REMACLE : UCL Nicolas CHEVAUGEON : MMGC


A vous de jouer Soyez acteur de votre formation pour en profiter pleinement

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Cours1 Amphi

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