ECUACION DE CONTINUIDAD
Cuando un fluido fluye por u conducto de diámetro variable, su velocidad cambia debido a que la sección transversal varia de una sección de conducto a otra. La ecuación de continuidad no es más que un caso particular del -principio de conservación de la masa. Se basa en que el caudal (Q) del fluido ha de permanecer constante a lo largo de toda la conducción. Dado que el caudal es el producto de la superficie de una sección del conducto por la velocidad con que fluye el fluido, tendremos que en dos puntos de una misma tubería se debe cumplir que:
Que es la ecuación de continuidad y donde:
S es la superficie de las secciones transversales de los puntos 1 y 2 del conducto. v es la velocidad del flujo en los puntos 1 y 2 de la tubería.
Se puede concluir que puesto que el caudal debe mantenerse constante a lo largo de todo el conducto, cuando la sección disminuye, la velocidad del flujo aumenta en la misma proporción y viceversa.
En la imagen puedes ver como la sección se reduce de A 1 a A2. Teniendo en cuenta la ecuación anterior.
v2=v1. Es decir la velocidad en el estrechamiento aumenta de forma proporcional a lo sección. que se reduce la sección.
Ejemplo 1.
Una manguera de agua de 2.00 cm. de diámetro es utilizada para llenar una cubeta de 20.0 litros. Si la cubeta se llena en 1.00 min., ¿cuál es la velocidad con 3 la que el agua sale de la manguera? (1 L = 103 cm ) Solución: El área de la sección transversal de la manguera es
2
= cm =
A=r =
2
cm2
De acuerdo con los datos proporcionados, la tasa de flujo es igual a 20.0 litros/min. Si se iguala esto con el producto Av se obtiene
Av=20.0 = v=( )( ) Si el diámetro de la manguera se reduce a 1.00 cm, y suponiendo el mismo flujo ¿cuál será la velocidad del agua al salir de la manguera? Respuesta: 424 cm/s
Ejemplo 2.
El tubo horizontal estrecho ilustrado en la figura, conocido como tubo de Venturi, puede utilizarse para medir la velocidad de flujo en un fluido incompresible. Determinaremos la velocidad de flujo en el punto 2 si se conoce la diferencia de presión P1 -P2.
Solución:
Puesto que el tubo es horizontal , puntos 1 y 2 produce
, la ecuación de Bernoulli aplicada a los
P1+ pv12 =P2+ pv22 Según la ecuación de continuidad se tiene que
A1V1=A2V2, o bien v1= v2 Al sustituir esta expresión en la ecuación anterior se obtiene=
v () v =A √ ( P1+ 2
2
2
=P2+
2 2
1
También se puede obtener una expresión para v1 utilizando este resultado y la ecuación de continuidad. Es decir,
) √ ( (
V1=A2
Como En otras palabras, la presión se reduce en la parte estrecha del tubo. Este resultado en cierto modo es análogo a la siguiente situación: Considérese un cuarto atestado de personas. Tan pronto se abre la puerta la gente empieza a salir y el arremolinamiento (presión) es menor cerca de la puerta donde el movimiento (flujo) es mayor.
Ejemplo 3 . Un tanque que contiene un líquido de densidad ρ tiene un agujero en uno de sus lados a una distancia y1 desde el fondo. El diámetro del agujero es pequeño comparado con el diámetro del tanque. El aire sobre el líquido se mantiene a una presión P. Determine la velocidad a la cual el fluido sale por el agujero cuando el nivel del líquido está a una distancia h arriba del agujero.
Solución:
Debido a que el fluido está aproximadamente en reposo en la parte superior, punto 2. Al aplicar la ecuación de Bernoulli a los puntos 1 y 2 y considerando que en el agujero
, se obtiene
+pgy
P0+ Pero
1=pgy2
,de manera que v1=
El flujo de agua por el agujero es
√ () Cuando P es grande comparada con la
presión atmosférica (el término 2gh puede ignorarse), la velocidad de salida del flujo es principalmente una función de P. Si el tanque está abierto a la atmósfera, entonces En otras palabras, la velocidad de salida del flujo para un tanque abierto es igual a la adquirida por un cuerpo que cae libremente desde una altura h. Esto se conoce como la ley de Torricelli.
Ejemplo 4.
Calcular la potencia de salida de un aerogenerador que tiene un diámetro de aspa de 80 m, suponiendo una velocidad del viento de 10 m/s y una eficiencia total de 15%. Solución: Puesto que el radio del aspa es igual a 40 m, el área de la sección transversal del rotor es
= (40m) =5.0x
A=
2
Si pudiera extraerse 100% de la energía del viento disponible, la máxima potencia disponible sería Potencia máxima=
( )( )()
Como la eficiencia total es de 15%, la potencia de salida es Potencia=0.15(potencia maxima)0.45x10 6W
3
En comparación, una gran planta de turbina de vapor tiene una salida de potencia de 1 GW. En consecuencia, se requerirían 2200 aerogeneradores para igualar su salida a la potencia de la planta de turbina. El gran número de generadores requeridos para una salida de potencia razonable es, sin duda, una desventaja fundamental de la generación eólica. Ejemplo 5.
La figura muestra cómo la corriente de agua que sale de un grifo se estrecha conforme va cayendo. La superficie transversal A 1 es 1.2 cm 2 y la de A 2 es 0.35 cm2.Los dos niveles están separados por una distancia vertical h (45 mm). ¿Con qué rapidez fluye el agua del grifo?
Solución:
Considerando que el flujo de volumen es constante,A 1V1=A2V2 Por otro lado, aplicando la conservación de la energía a un elemento del fluido de masa m, entre los 2 puntos, se tiene que K 2+U2=K1+U1 Es decir, eliminar v2 entre las dos ecuaciones y al resolver para v 1 se obtiene que
Al
V =√ 1
Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene que v1 = 28.6 cm/s. El flujo = A1v1 = πr 12v1 = (3.1416)(1.2 cm2)(28.6 cm/s) = 34 cm 3/s. Con este flujo, el chorro tardaría unos 3 s para llenar un recipiente de 100 mI.
Ejemplo 6
Un tinaco a una altura h = 32 m y de diámetro D = 3.0 m suministra agua a una casa. Un tubo horizontal en su base tiene un diámetro d = 2.54 cm (1 pulgada). Para atender las necesidades de la casa, el tubo ha de suministrar agua con una rapidez R = 0.0025 m 3/s (cerca de 2/3 de galón por segundo). a) Si el agua fluye con la rapidez máxima, ¿qué presión tendría el tubo horizontal? b) Un tubo más pequeño, de diámetro d' = 1.27 cm (0.5 in), abastece el tercer piso de la casa, situado a 7.2 m sobre el nivel del suelo. ¿Cuáles son la rapidez de flujo y la presión del agua en este tubo? No tenga en cuenta la viscosidad del agua.
Solución:
(a) Aplicamos la ecuación de Bernoulli a lo largo de la línea de corriente ABC que se ve en la figura. En los puntos A y B, se tiene que
P A+
2 A +pgh=pB+
2 B +0
En A la presión p A = p0, la presión atmosférica. Para la presión en B se obtiene
( )
pB=p0+pgh+
Por otro lado, considerando que el flujo es constante, se tiene que v A A A = vB AB = Flujo. Considerando el valor del flujo ( = 0.0025 m 3/s) y las áreas en cada punto, las velocidades en cada punto son
m/s
V A=
VB=
Nótese que el término con el término
en la expresión de p es muy pequeño comparado B
.En otras palabras, la rapidez del flujo en la parte superior del
tanque es muy pequeña, debido a su enorme superficie transversal. Ahora se obtiene para la presión en el punto B . pB=1.01X10 5Pa+(1.0x10 3kg/m3)(9.8m/s 2)(32m) -0.5(1.0x10 3kg/m3)(4.9m/s) 2 =1.01x10 5Pa+3.14x10 5Pa-0.12x10 5Pa=4.03x10 5Pa.
Si el agua en el tubo horizontal no fluyera (es decir, si la válvula estuviera cerrada), la presión estática en B incluiría sólo los dos primeros términos, lo cual es igual a 4.15 x 10 5 Pa. La presión cuando el agua fluye se reduce de este valor estático en la cantidad correspondiente a la presión dinámica. (b) Si se quiere que el tubo más estrecho que conduce al tercer piso tenga la misma rapidez de flujo, la velocidad en C deberá ser
vc=
es decir, cuatro veces el valor en B. Por otro lado, aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos A y C se obtiene
o bien p =p + ( )( ) p A+
c
0
pc=1.01x10 5Pa+(0.5)(1.0x10 3kg/m3)(19.7m/s) 2 +(1.0x10 3kg/m3)(9.7m/s 29(32m-7.2m) Dada la mayor velocidad de flujo a través del tubo más pequeño, la contribución dinámica a la presión es mucho más grande en C que en B. Los efectos estáticos y dinámicos tienden a aminorar la presión en este lugar en relación con B.
TIPOS DE FLUJO O REGIMEN Regimen estable ,permanente o estacionario : cuando un punto cualquiera , la velocidad de las sucesivas particulas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes es la misma . pero puede variar de un punto a otro ,es decir ser variable respecto de llas coordenadas espaciales . Flujo uniforme : tiene lugar cuando el modulo la direccion y el sentido de la velocidads no varian de un punto aotro del fluido. Flujo rotacional: los liquidos en depositos que estan girando constituyen un ejemplo en las que la velocidad de cada particula varia en proporcion directa a la distancia del centro de rotacion. Flujo laminar : las particulas fluidas se mueven según trayectorias paralelas formando el conjunto de las laminas o planos paralelos .los modulos de las velocidades de capas adyacentes no tienen el mismo valor Flujo turbulento : cuando las particulas del fluido se mueven de forma desordenada en todas las direcciones. EJERCICIOS
Dos fluidos se mezclan en forma homogénea quedando burbujas en la suspensión. La mezcla con las burbujas ocupa un volumen total de 1.2 lit. Si las densidades y masas de cada fluido son
P1=1gr/cm3, m1=600gr, p2 =0.8gr/cm3 y m2=400gr 1.
considerando despreciable la masa del aire en las burbujas, calcule: a) El volumen total de las burbujas b) La densidad de la mezcla. Solución inciso a): El volumen de la mezcla está dado por la suma de los volúmenes individuales de los fluidos 1, 2 y de las burbujas, B.
()
Despejando V B, obtenemos
()
3 V M = 1200 cm , el volumen de la mezcla es dato; y los volúmenes de los fluidos 1 y 2 se obtienen de los datos del problema de la siguiente forma:
v 1=m1 /p1=600gr/1cm3=600cm3 V 2=m /p2 =400gr/0.8gr/cm3=500cm3 2 Sustituyendo los valores anteriores en (2), obtenemos:
Solución inciso b): La densidad de la mezcla está dada por la masa de la mezcla entre el volumen de la misma.
⁄ 2. Se mezclan homogéneamente tres fluidos, cuyas fracciones de volumen y 3 3 densidades son X 1 1 = 1.2 gr/cm ; X2 2 = 0.85 gr/cm y X 3 3 3 = 1 gr/cm , respectivamente. Si el volumen de la mezcla es V M = 766.27 cm 3, calcular: a) La densidad de la mezcla.
Solución: La densidad de la mezcla está dada por
Sustituyendo
, se obtiene
( ⁄) (⁄) (⁄) ⁄
3. Se realiza una aleación de oro y cobre, en proporciones desconocidas, para formar un lingote con dimensiones de 20cmx10cmx5cm y masa de 12 Kg. Calcular: a) La densidad de la aleación,P L =? b) El “quilataje” del oro en la aleación Nota: Recuerde que un quilate de oro equivale a un 4.16% de este en la aleación. Solución: a) Utilizando la ecuación 1.1 que define la densidad de un cuerpo,
,
donde mM y VM son datos del problema con los que obtenemos la densidad del lingote formado por oro y cobre.
()()() b) Para obtener el “quilataje” necesitamos saber el porcentaje de masa de oro en el lingote, para lo cual utilizamos la ecuación 1.10, desarrollada con el propósito de conocer, la fracción de volúmenes de los componentes en la mezcla, y obtener el porcentaje de masa del componente 1, en este caso el oro. Para mayor facilidad nos remitimos al ejemplo 4 de esta misma sección, en donde observamos que hemos hecho este mismo ejercicio, pero sin calcular los quilates de oro en la muestra. Utilizando la ecuación 1.12ª de ese ejercicio, obtenemos que el porcentaje de oro está dado por:
() Con las respectivas fracciones de volumen del
oro y del cobre en la aleación.
Recordando que X Au + XCu = 1, obtenemos:
() Por lo que despejando la fracción de oro en la mezcla, X Au:
Despejando la masa de oro, de la última ecuación:
()() Por lo que el porcentaje de oro en la muestra será X Au %= 5.712Kg/12Kg = 47.6%. Es decir el oro ocupa un 47.6% en la aleación, por lo que sus quilates serán:
,
entonces, los quilates XK, correspondientes a ese
porcentaje de oro calculado son:
Como puede observarse, al tener como datos la masa y el volumen de la mezcla y las densidades de los componentes, la no fue necesario calcular el porcentaje del cobre para obtener los quilates de oro.
