Metoda respingerii Folosita pt var aleatoare care indeplinesc anumite conditii; valoarea var se gaseste in [a;b], iar func de respindere a var aleat e marginita pe [a;b] Oricare
x
apartine
[a;b]
=>
⌠min<=⌠(x)<= ⌠max, unde
⌠(x)=densitatea de prob a lui x Algoritmul de construire a valorilor: PAS 1 – se aduc val din [a;b] in [0;1] Xbarat = x-a/b-a, xbarat apart [0;1] => x=(b-a)xbarat+a PAS 2 – se construieste o noua functie ⌠barat(x) = 1/⌠max *
⌠(x)=1/⌠max * ⌠(xbarat) => ⌠(xbarat) apartine [0;1] PAS 3 – generarez 2 siruri de nr pseudoaleat u.d. pe [0;1] Z11, z22, z31... Z12,z22, z32,.... PAS 4 – se eval valoarea funct ⌠barat in z 11 si comparam cu primul element
Daca ⌠barat(z11)>= z12 => se accepta perechea ( z 11, z 12)=> x1=(ba)*z11+a
Daca ⌠barat(z11)< z 12=> ⌠barat(z11) PAS 3 - ⌠barat(z12) si tot asa mergand cu algoritmul atat cat am nevoie de elemente Metoda pt var aleat cu repart normala X-var aleatoare; X~-> N(m,∂) <=> f(x)=1/∂√2 pi * e la (-1/2*(x-m)la
patrat / ∂ la patrat), unde M=M(x), ∂lapatrat=D(x) F(X)=∫de la -∞ la x din f(t)dt=∫de la -∞ la x din 1/∂√2 pi * e la ( 1/2*(x-m)la patrat / ∂ la patrat) dt [F(x)]-1 e ft greu de explicitat, dar in aplicatie avem nevoie de ea pt a putea folosi m.t.i. Se aplica procedeele de generare PAS 1 L se face o schimbare de var; se not cu z=x- m/∂ => => F(x)~>ᴓ(X) este fct Laplace ᴓ(X)= ∫de la -∞ la z din / √2 pi* e la (-1/2*z). Functia Laplace e tabelata, cont cu val in [0;1] PAS 2 - se construieste un sir de nr pseudoaleat u.d in [0;1] [0;1] : y1,y2,y3,...,yi,.... PAS 3 – oricare yn apartine {yi} i=1,k => exista xn barat apartine R ai ᴓ(Xnbarat) = yn PAS 4 – pe baza ᴓ(Xnbarat) = yn si a tabelului functiei Laplace se
cauta acel xnbarat care satisface relatia : x1barat=∂ xn barat + m Se reia procedeul de la pas 3 pt fiecare element al sirului Generarea unor succesiuni aleatoare In procesele de reparatie si intretinere ale uti lajelor PAS 1 – se gen uniform un nr h apartine {1,2,...n} PAS 2 – se identifica activ care se afla pe locul h PAS 3 – aceasta activ, in mom in care hdiferitn ( h nu este ultima activ), iar locul este liber lasat de aceasta se muta ult act; daca h=n se trece la pas 4. PAS 4 – se cons nr elem ramase pt a fi reordonate este n-1, adica se va reordona secv incepand cu poz a doua. Pt cele n-1 activ ramase se reia alg de la pas 1 in care h va fi un nr generat u rep h apartine {2,..,n} Metoda compunerii/amestecarii Se aplica unei va cu o propr specifica. Genereaza val pt o var aleat x care are fuct de rep F(x) =
∑=
, unde 1>pk>0, suma
pk=1, gk st functii de rep cun sau date.
PAS 1 – initial un contor j=0 si construim pe Fj=
∑=
PAS 2 – se gen un nr u rep in int [0;1], u ud in [0;1], marim pe j la 1, j=1 PAS 3 – maresc val contorului j=j+1 PAS 4 – compar u cu Fj: u>Fj => pas 3; u<=Fj=> x=Zj ( o identif ca fiind acea var aleat j pt care a fost indeplinita conditia – una din var care comp fct de repart) Metoda Monte Carlo Se util pt a desemna tehnica prin care se inloc un fenomen real, un exp statistic, care va fi studiat cu ajutorul tehnicilor moderne de calcul si in care var aleat care intervin in model sunt obt prin procedee de gen adecvate. Isi dem efic in analiza fen si proceselor carac de un nr mare de var si param, prin rel complexe intre componentele sist, cat si prin factori perturbatori si modifc ale ev sist modelat in timp. Descrierea metodei: Fol met M-C pp asocierea unui model stohastic fen ce urm a fi analizat. 1 – se stab var aleat x1,...xn ce trb luate in cons 2 – pt fiecare var aleat luata in cons se va face un nr de obs 3 – pe baza unor procedee de generare a nr aleat se genereaza siruris de nr aleat care au o distributie coresp var aleat estimate 4 – tinand seama de modelul elaborat, dar si de obiectiv se aplica metoda pt a pune in evidenta cu aj sirurilor de nr aleat dif variante posib cat si dif solutii viabile. Dupa aceasta se face un studiu statistic al val fct obiectiv sau al val ce trb estimate 5- daca abat medie patrat este > decat cea impusa at se mareste nr de termeni ai sirului de nr pseudoaleat cu scopul de a obt gradul de precizie dorit. Metoda are avantajul ca e simpla in aplicare si este generala. Dezavantajul consta in convergenta lenta ( ceonvergenta probabilistica). Se bazeaza pe leagea nr mari din t h probabil.
∫dela a la b f(x) dx; PAS 1 – se genereaza un sir de nr pseudoaleat X1barat, x2barat,...xnbarat u.d. in [a;b]; PAS 2 – pt fiecare elem generat din acest sir se const val fct ce trb integrata : f(xbarat), f(x2barat)...f(xnbarat); PAS 3 – folosind cun de statistica ne ocupam de media sirului de val de la pas 2 M=1/n suma de la i=1 la n din f(xibarat); PAS 4 – se calc media teoret a var aleat u.d pe [a;b]
∗ ℎ − ∫ ∫
,
h= dens de prob a var aleat ud pe [a;b], h(xbarat)=1/b-a; PAS 5 – se ident media teoretica cu media selectiei 1/b-a * I = 1/n
∑=
, I=b-a/n
∑=
, cu cat n este mai
mare cu atat aprox lui I e mai buna.
Metoda observatiilor instantanee(metoda flash) Este o metoda de control si conducere care se bazeaza pe obs facute intermitent asupra unui proces. Este folosita pt masurarea gradului de ocupare a unui utilaj asau a unei pers care executa un anumit serviciu. Avantaje: inlocuieste obs permanenta a unui proces cu una discontinua; nu necesita din partea obs o pregatire deoserbita sa obs si sa constate val acestei stari; se poate det gradul de precizie al rezult. Specific acestei metode este faptul ca pe baza unor evaluari calitative ale unui fen, evaluari ce vor fi preluate dupa anumite reguli, se trag concluzii cantitative. Ea ia in cons o sg var care poate lua – fie 2 val (0 daca se constata inexistenta fen urm, 1 in caz contrar), fie poate avea un nr de val ( at cand st mai multe stari ale fen sutdiat si care pot fi ident instantaneu). METODA PERT In prob de det a duratei min de executie a unui proiect, metoda pert asociaza fiecarui proiect o retea sau un graf in care reprezentarea activ se face prin arce sau prin noduri. Nu tine seama,insa de prosibilele variatii ale duratelor de exec ale diverselor activ. Met pert permite det timpului mediu de executie in det unui proiect, identif activ critice precum si estimarea prob de realizare a termenelor planificate. Ipoteze 1 – pt oricare activ care porneste dintr-un mod si se opreste in alt mod i se asociaza 3 tipuri de durata( durata optimista de realizare aij, durata cea mai probabila a activ de la i la j mij, durata pesimista bij. 2 – durata oricarei activ e cons o var aleat ce are o distributie de tip beta : beta(p,q) =
1
∫ 1 ∗1
; 3- tbarat de ij = media duratei in activ = aij+4*mij+bij/6; 4 –
factorul disp in activ Dij=∂ij2= [(bij-aij)/]2; 5 – durata activ totale e o var aleatoare Tbarat = media duratei totale de exec a intregului proiect = Suma de tij; D=dispersia duratei totale = suma Dij; 6 – prob ca proiectul sa fie executat la un termen planificat tplan se calc fol fact de prob z care are formula = tplan-tbarat/radicat din D + tabelul Laplace=>P(tbarat<=tplan); 7 – pp ca nr de activ din cadrul unui graf asociat proiectului e destul de mare, iar duratele asociate activ st var aleat indep; Aceste consideratii facute pt a putea aplicat Th lim centrale care duce la calc probab; 8 – daca in plus pt fiecare activ din retea este prevazut termen de executie at se poate calc pt fiecare activ probab ca activ sa fie exec la termenul planificat. Tijtplan = termenul la care se doreste a fi executata activ; tj la t = termenul minim de terminare a activ care are drept nod final nodul j. Factorii de probabil : zij=Tijplan – tjla T / radicat din Dij + tabelul laplace => putem calcula pt fiecare activ ca term minim sa fie sub term plan Algoritm rezolvare : PAS 1 – se calc pt fiecare activ dur medie de realizare tbarat de ij; PAS 2 – folosind aceste dur si dupa metodele analizei drumului critic se det termenele min, max de incepere si de terminare a tuturor activ din retea, cat si drumul critic ; PAS 3 – pt fiecare activ se det dispersia sa conform formulei 4 – (bij-aij)/6 la a 2 a; PAS 4 – se calc pt intregul proiect dur de executie, cat si dispersia acestei durate ; PAS 5 – se det probab de realizare a duratei planificate fol formulele specificate in 4 ; PAS 6- se analizeaza probab calc la pas 5 tinand seama de urm criterii: 1) daca probab p(tbarat<=tplan)<=0,25 => exista un mare risc ca proiectul sa nu se mai execute la termenul planificat si se impune urgentarea activ care se afla de dr critic; 2) daca P(Tbarat<=Tplan) ~ 0,5 => exista sanse mari de realizare a proiectului la termenul planificat 3) daca P(Tbarat<=Tplan) apartine (0,25;0,5) rezultat incert => reluam proiectul 4) daca P(Tbarat<=Tplan) >= 0,6 => proiectul se poate realiza la term plan, insa cu un consum exceisv de resurse ; PAS 7- daca pt oricare activ exista un Tplan at se calc pt fiecare activ P(Tbarat<=Tplan) : 1) daca P(Tbarat<=Tplan) <=0,6 => activ respec are sanse sa se realizeze cu greutate la term indicat 2) daca P(Tbarat<=Tplan)>0,6 => sansele st bune pt ca proiectul sa se realizeze la termen Algoritm de simulare : PAS 1 – folosind siruri de nr p.a se genereaza durate ale activ din graf conform distrib lor; PAS2 – plecand de la aceste durate se det drumul critic cat si activ critice, cat si termenele min si max, de incepere si de terminare ale actv; PAS 3 – se det durata totala a proiectului; PAS 4 – se reia alg de la pas 1 determinand astfel o mult f mare de durate totale ale proiec; PAS 5 – se det durata medie a proiec ca fiind: N-nr de cicluri in care s-au reluat pasii 1,2,3; k->Tk – durata totala a proiec
∑∑==
Tbarat- durata medie in urma aplicarii alg de sim = 1/N dispersia duratei totale a proiectului : D(T)=1/N
2
si
; PAS 6 – pt fiecare activ se det un indice de
criticabilitate cij=ᴓij/N = de cate ori activ de la i la j a fost critica in cele N cicluri de simulare.
Generare nr pseudoaleatoare 1.
Metoda mijlocului patratului
X0=samanta sirului, are un nr par de cifre X0=1587; (1587)la puterea a2a= 2518569. Metoda presupune ca nr la patrat sa aiba de 2 ori nr de cifre pe care il are nr initial. Se va completa
nr
cu
0
in
fata.
In procesul de simulare avem nev de siruri de nr pa unif distrib pe [0;1]. Ca atare, sirul construit il vom aduce la un nr in [0;1] prin impartirea
lui
la
10
la
puterea
de
cifre
a
samantei(1587/10laa4a=0,15; 5185/10laa4a-0.51 etc.) Metoda congruentiala multiplicativa Se fol de un set de 3 elem [x0,a,m], a=multiplicator, m=f mare, prim, la care import, a~= √m, x0=prim Xi=(a*xi-1)modulo m; x0=2, a=5, m=11 2*5 modulo 11 = 10; 10*5 modulo 11 = 6; 6*5 modulo 11 = 8; 8*5 modulo 11 =7; 7*5 modulo 11 =2 2,10,6,8,7,2=>2/11,10/11, . .. Metoda congruentiala mixta [x0,a,c,m], Xi=(xi-1*a+c)modulo m, unde x0=5, a=3, c=8, m=13 3*5+8 modulo 13 = 10, 3*10+8 modulo 13=12, 3*12+8 modulo 13=5; 5,10,12,5....; 5/13,10/13,12/13,5/13 = 0,38, 0,76.... Simularea rez posibile ale unui exp statistic Se considera o retea de telecom data prin urm graf:
A12
A13
A23
A24
0.53
0.71
0.78
0.91
0.41
DA
0.84
NU
0.26
DA
0.42
DA
0.15
DA
0.59
NU
0.02
DA
0.36
DA
A35
A46
A56
0.65
0.53
0.85
Cod 1 sau 0
0.52
DA
0.83
NU
0.83
DA
1
0.85
NU
0.85
NU
0.90
NU
0
La final calculam P=n1/n, n1=de cate ori apare cod 1, n=total Metoda FLASH Are drept scop det gradului de ocupare a unui sistem fizic, utilaj, muncitor etc. ex: O firma special in for unor echipe de specialisti primeste o comanda si vor sa evalueze gradul de ocupare a unui tinichigiu. Se cun fapt ca din norma zilnica de 10h, 84% din timp trb sa rep lucrul efectiv, iar 16% pauza. Sa se verifice cu met flash masura in care aceste prop st resp in sit reale. Se realizeaza o fisa a obs asupra munc si se constata ca s-au facut 40 de obs – 32 cu cod 1, 8 cu cod 0. X=starea sist ocupat X:
4 48
. Media x|=0,8,
D=0,16 => abat∂=0,4=radical(M(x^2)-(M(x))^2). Formula erorii max: S=2∂/x|√N sau S%=2∂/x|√N%; =0,05=> 1- =0,95.
∝
∝
Daca eroarea apartine [0%;8%] => x| se ia; Daca eroarea nu apartine [0%;8%] => se stab pe baza datelor care ar fi min necesar de obs ca sa aduc eroarea in [0%;8%]. S%=15,81%>8%=> br de obs nu e suficient de mare, marim nr de obs
2∂/ x|√N*100=8 => |√N=12,5 => N=[156,25]=156 -138-1 lucra=ocupat,
18-0
≈0. 32
abat=0.3195
nu
lucra=neopcupat.
; S=6%. Concluzia: Cu o abat de
X|=0.8846;
≈0. 32
gr de
ocup al tinich este de 88% adica el lucreaza 8,8 ore din 10/zi, iar rez e obt cu o eroare de GESTIUNE STOCURI
≈
6%.
Landa = 6t/zi, aproviz din 3 in 3 zile cu cost de achizitie de 10um.t, cost lansare = 1000/comanda. Procesul de stocare: a) cererea satisfacuta, cost stocare de 25um/tona/zi si cost depreciere 5um/tona/zi; b)cand cererea este nesatisfacuta se incearca lansarea unei comenzi speciale in afara celor ce fac obiec contract cu un cost suplim = 10um/tona/zi. Prob com spec=0,25 si primita in aceeasi zi, cost penalizare 150um/tona/zi; daca nu exista pos lansarii =>cpenal =300um/zi/tona Managerul trebuie sa aleaga din 3 var de gest- orizont de sim de 20 de zile. V1 – stoc initial 7t, reaprov 3 in 3 zile cu o cant =10t. V2- stoc intiail de 7 t si reaprov 3 in 3 cu o cant = suma cererilor din ult 2 zile. V3- stoc initial 5 t si reap 3in3 suma cererilor din ult 2 zile.
Preg sim: identificam var aleat cererea X:
∗!
unde k
∈
{0,1,...,n}. Notaţii: k reprezintă cererea zilnică ; p (k) reprezintă probabilitatea că nivelul cererii să fie k; ∑p (k) este valoarea cererii de repartiţie pentru nivelul cererii
(.75 .5)
Var aleat com speciala CS:
pt amandoua
+ tabel cu intervale
II.Simularea propriu-ziua 2 var aleatoare=> 2 siruri de nr pseudoaleatoare in (0;1) pe baza carora sa simulam decizii
privind
cererea
si
comanda
speciala:
uic={0,52;....}; ui cs={0,11,....} Zi
STOC
REAPROV
CEREREA
CSPEC
CANT LIVR -
1
7
-
0.52 6
-
2
1
-
0.68 7
0.11 DA
6
CS
CPEN
CL+CA
CSUP
CDEPR
CT
1*25= 25 -
-
-
-
1*5=5
30
6*150=900
-
6*10= 60
-
960
CTV1=1/n CTV2=1/n CTV3=1/n
∑∑= ∑==
dupa le compar sa vad rez final
FIRE DE ASTEPTARE
O unitate fast food mcdrive cu o sg statie de serv si un sg vanz. Clientii fac comanda,o platesc, o primesc si pelaca . Statia de serv e solicitata intre 13-21 6 pers urm pleaca. Lege poison cu lambda=20pers/ora. Comenzi pe 3 categ. S-a evaluat pt fiecare client prob ca un client sa sol astfel de comanda, val medie a com, durata medie de serv in min. Tip comanda(ti)
P(ti)
D(ti)
V(ti)
T1 – mica
0.4
6’
35
T2 - medie
0.35
12’
65
T3 - mare
0.25
18’
85
FIFO, seriviti in urm ordine : lanseaza comanda, primeste, plateste, pop infinita, fir de ast nel. La 13:00 un client are o comanda medie in curs de servire, intrand in servire la 12:51, nu exista niciun client in firul de astept. Se cere: sa se simuleze activ pct de serv pe orizont de 18 per de lung = 6min Pregatirea simularii: 1- comanda va 2-nr clienti sositi intr-o per va Cream intervalele pe baza carora luam decizii pi
Suma pi
[ )
T1 – mica
0.4
0.4
[0;0.4)
T2 - medie
0.35
0.75
[0.4;0.75)
T3 - mare
0.25
1
[0.75;1)
20 clienti ... 1h=60min
λ ∗! −
Lambda1 ... 6 Lambda 1 = 20*6/60=2 => 2 clienti/6min ( 0 1 2 3 4 5 6) jos lambda aferent (pt 0 avem 2^0*e^-2/0!) . Dupa facem tabelul cu intervale Generam siruri de nr pa Pt nr clienti sositi u r generam 18 nr pt ca st 18 per; un nr max de 6*18=108 cu care pot sa lucrez (nr pers)(nr comenzi): Simularea propriu zisa: Nr crt 1 2
3
Cod client
Per(int orar) 1313:06 13:0613:12
Nr clienti 0.04 0
Cod client -
Timp servire -
0.72 3
123
0.96t1=18’ 0,24t2=6’ 0,55t3=12’
13:1213:18
0.14 1
4
0.41t4=12’
Tip comand a
Fir ast (coada )
Starea statiei(oc/lib ) cod client care ocupa
Val com incasat e
ren
acc
-
-
-
0.04 0
-
65
-
3,2, 1 4
T3,T1,T2
-
NU
-
T2
3,2
Da 1->6’
-
