COORDENADAS Polares
Prof. José Torrealba
UNEFA
Objetivos: • Definir coordenadas polares e identificar sus elementos. • Representar puntos en coordenadas polares. • Convertir coordenadas y ecuaciones rectangulares a polares y viceveresa. • Representar gráficamente ecuaciones en coordenadas polares.
Coordenadas Rectangulares o Cartesianas En el sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, un punto del plano se localiza por medio de una única parea de números reales (a,b), !ue son los "alores de las distancias dirigidas desde los ees x e y #asta el punto. Estos ees son dos rectas numéricas perpendiculares $ el punto en !ue se cortan es el origen de coordenadas.
%ené &escartes 'atem(tico francés
$
)a,b*
b
a
+
Coordenadas Polares
Este sistema consiste en un punto - llamado polo $ en un ra$o llamado ee polar !ue tiene a - como e+tremo. 0as coordenadas de un punto P se representan por )r,*, donde r es la distancia del el par ordenado punto al polo $ es la medida del (ngulo desde el ee polar al segmento -P. uando el (ngulo se mide a fa"or de las manecillas del relo es negati"o, $ en contra positi"o. /i la distancia del polo al punto se mide en el sentido del (ngulo, es positi"a, si no es negati"a.
REPRESENTAC!N DE COORDENADAS PO"ARES Se comienza determinando el ángulo de inclinación recordando !ue si es positivo se mide en sentido anti" horario y si es negativo en sentido horario. Después se determina la distancia r al polo, para ello se utilizan los radios de las circunferencias.
Eje#$los:
)2,345*
)2,6345*
)2,78345*
)72,9345*
)72,72345*
En todos los eemplos anteriores se #a representado el mismo punto. -bser"e !ue algunos pares tienen distancias negati"as. &espués de localizado el (ngulo, las distancias positi"as se miden en el ra$o !ue parte del polo en la direcci1n del (ngulo, las distancias negati"as se miden en la prolongaci1n del ra$o en sentido contrario. -bser"e !ue a diferencia de las coordenadas rectangulares, un mismo punto puede tener infinitas
F1rmulas de con"ersi1n
/en : $4r por lo tanto $ : r sen os : +4r por lo tanto + : r cos Tan : $4+ por lo tanto : tan7;)$4+* r < : +< = $<
COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES Pasos: #" Representar el par ordenado. $" Determinar el cuadrante al !ue pertenece el ángulo. 27 Determinar %r& por r $'($)y$ *" Determinar %& por 'tan "#+y(-
y por el cuadrante. s costum/re dar r01 y en 21,$3- o 21o,4516-
Ejemplos: P = (-2,2) II Cuadrante x = -2, y = 2 r= θ
2
x + y 1
−
2
r=2 2
= tan ( y / x)
θ = tan
1
−
( −1)
θ
=
3π /4
Respuesta: P(2 2,3π /4 ) ----------------------------------------------------P(0,-2) Cuadrantal x = 0 y = -2 r=2
θ
= 3π /2
Respuesta: P(2,3π /2)
COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES Pasos: #" Representar el par ordenado. $" Determinar el cuadrante al !ue pertenece el punto. 4" Determinar %(& por ( ' r cos *" Determinar %y& por y ' r sen Compro/ar !ue la respuesta esté en el mismo cuadrante !ue el par dado.
Ejemplos: P(4,5π / 6) II Cuadrante r = 4 x = r!sθ x = 4 !s (5π /6) y
=
rsenθ
y
=
4 sen (5π /6)
θ
= 5π /6
x = -2 3 y=1
Respuesta: (-2 3, 1) 77777777777777777777777777777777777777777777777777777 P( 3, −
π )
−
x = r!sθ y
=
rsenθ
Cuadrantal r = -3
θ
= -π
x = -3 !s (-π )
x = 3
-3 sen (-π )
y=0
y
=
Respuesta: (3 0)
EC%ACONES RECTAN&%"ARES A PO"ARES + = 2$ : 9 + = 2$ : 9 sustitu$endo + : r cos $ : r sen r cos = 2 r sen : 9 sacando r factor común r )cos = 2 sen * : 9 despeando r r : 9 4 )cos = 2 sen *
Otro eje#$lo $ : +$ = 2+ )Par(bola* $ : +$ = 2+ sustitu$endo + : r cos , $ : r sen r sen : r < cos< = 2 r cos como r > ?, podemos di"idir entre r r cos< : sen 7 2 cos di"idiendo entre cos < r : )sen 7 2 cos * 4 cos < r : sec ) tan @ 2 *
ECUACIONES POLARES A RECTANGULARES r ' 5 sen como r 7 1, multiplicamos por r r$ ' 5 r sen sustituimos r$ ' ($ ) y$, r sen ' y ($ ) y$ ' 5 y si completamos cuadrados ($ ) +y 8 4-$' 9 C:rculo con C+1,4- r'4
Otro eje#$lo: ' $$;o ' $$;o mpleamos ' tan"#+y(tan"#+y(- ' $$;o y( ' tan $$;o y( ' # y ' ( <:nea recta, función identidad
&R'CAS DE EC%ACONES EN COORDENADAS PO"ARES =tilizando la calculadora #" n >?D cam/ie @unc por Aol $" ntre la fórmula de la función utilizando la tecla y' 4" Aida la gráfica con BRA Si tiene !ue modificar las escalas utilice EFGD?E. Audiera tener !ue verificar si tra/aHa con grados o radianes.
Gráficas en el papel de Coordenadas Polares #" aga una ta/la de valores con los ángulos de #1o en #1o desde 1o a 4516. $" =tilice la calculadora para hallar el valor de %r& para cada ángulo. 4" Represente todos los puntos y Inalos.
