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Control 7 Jorge Olguín Leiva Lógica Matemática y Digital Instituto IACC 09/03/2019

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Desarrollo 1. Demostrar mediante la técnica necesaria que, si m, n, p, son números enteros y (m + n) y (n + p), son números enteros pares, entonces (m + p) también es un número entero par.

-

Hipótesis: m, n y p son números enteros y (m + n) y (n + p) son números enteros pares.

-

Conclusión: (m + p) son números enteros pares. Solución; Como sabemos que m, n y p son números enteros y que (m + n) y (n + p) son pares enteros solo es verdadera si necesariamente m, n y p son enteros pares a la vez o m, n y p son números impares a la vez. Por lo tanto la conclusión será verdadera; Si m = 2, n = 4 y p = 6

ó

Si m = 1, n = 3 y p = 5

Acá se cumple que: (m + n) y (n + p) (2 + 4) y (4 + 6) 6 Por lo que:

y

10

(m + n) y (n + p) (1 + 3) y (3 + 5) 4

y

(m + p)

(m + p)

(2 + 6)

(1 + 5)

8

6

Entonces: m = k, n = k+2 y p = k+4 (es una posible solución).

8



2. Demostrar que la suma de los primeros “n” números naturales es igual a

.

Para esto usaremos la técnica de demostración por inducción matemática, donde se debe cumplir con tres pasos.

-

Base: acá se evalúa con 0 o 1. En este caso evaluaremos con 1

1(1 + 1) 2

2 = = 1 2

Se cumple.

-

Paso inductivo: en este caso se evalúa con cualquier número natural, en este caso usaremos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 lo que da como resultado 28.

7(7 + 1) 2

=

56 2

= 28

Vemos que se cumple también.

-

Me falto el paso 3, paso post inductivo ya que no lo entendí muy bien.



3. Demostrar el siguiente enunciado. No existe una estrella gemela al Sol fuera de la Vía Láctea o existe un planeta en esa estrella llamado Némesis. Los dinosaurios desaparecieron de la faz de la Tierra debido a un cataclismo producido por la aproximación a nuestro planeta de un cuerpo celeste de considerable tamaño. Si, si existe una estrella gemela al Sol fuera de la Vía Láctea, su planeta Némesis destruirá la Tierra, entonces no es cierto que los dinosaurios desaparecieron de la faz de la Tierra debido a un cataclismo producido por la aproximación a nuestro planeta de un cuerpo celeste de considerable tamaño. Por tanto, no es cierto que si es cierto que existe un planeta llamado Némesis en la estrella gemela al Sol que se halla fuera de la Vía Láctea, destruya la Tierra.

Demostración indirecta, por pasos. p: existe una una estrella estrella gemela gemela al Sol Sol fuera de la vía láctea láctea q: existe un planeta en esa estrella llamado Némesis r: los dinosaurios desaparecieron de la faz de la tierra debido a un cataclismo producido por la aproximación a nuestro planeta de un cuerpo celeste de considerable tamaño s: el planeta némesis destruirá la tierra 1) ¬ p v q

premisa

2) r

premisa

3) (p -> s) -> ¬ r

premisa

4) ¬ (p -> s)

M.T. (3 y 2)

5) p Λ ¬ s

Neg. de Implicación (4)

6) p

Simplificación Simplificación (5)

7) q

Silog. Dis. (1 y 6)

8) ¬ s

Simplificación Simplificación (5)

9) q Λ ¬ s

Adjunción (7 y 8)

10) ¬ (q -> s)

Neg. de Implicación Implicación (9)



Bibliografía Link 1 ACCESO Link 2 ACCESO Material entregado

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