ARITMÉTICA
4 2ariable -ue cumple ciertas propiedades. propiedades.
Ejemplo: /eterminar por etensión y comprensión las siguientes agrupaciones4
I.- IDEA DE CONJUNTO Intu Intuit itiv ivam amen ente te se enti entien ende de por por conj conjuunto nto a una agrupaci agrupación, ón, colección colección o reunión reunión de objetos objetos reales reales o ideale idealess a los los cuale cualess se les denom denomina ina elemen elementos tos del conjunto. A los conjuntos conjuntos generalment generalmentee se les representa representa con letr letras as mayú mayúsc scul ulas as de nuest uestro ro alfa alfabe beto to y a sus sus elementos separados por comas y encerrados por signos de agrupación (llaves, corchetes, etc.)
Ejemplo:
M !", #,$, %& ' !os Alumnos de la Academia ! *, +, ", , &
GALILEO&
II. RELACIÓN DE PERTENENCIA
as 5staciones del a3o. os números pares positivos de dos cifras. os cuadrados de los números impares. impares .
Po$ E%&e'(*':
! 2erano, Invierno, 8to3o, 9rimavera&
! :; , :" :" , :# , :$ , . . . . . ,<% &
! :" , 0" , 1", . . . . . &
Po$ Comp$e'(*':
!= 7 = es una estación del a3o&
'i un objeto es un elemento de un conjunto, se dice -ue pertenece ( ) a este conjunto, en caso contrario se dir -ue no pertenece ( ) a dicho conjunto. a relación de pertenencia es una relación eclusiva de elemento a conjunto.
NUMERO CARDINAL4 5l número cardinal de un conjunto
Ejemplo: /ado /ado el conjunto
@A@, nos indica la cantidad de elementos -ue posee, y se denota por n(A).
A !0, !1&, !n, "&, m& Indicar verdadero verdadero (2) o falso (F) según
m A 1 A % A " A !1& !1& A !n& A
( ( ( ( ( (
) ) ) ) ) )
III. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO /eterminar un conjunto es especificar o se3alar, en forma forma precis precisa, a, -uien -uienes es son son los los elemen elementos tos -ue lo conforman. a) POR POR EXT EXTEN ENSI SIÓN ÓN O EN FORM FORMA A TA TAULA ULAR4 5s cuando se se3ala a cada uno de los elementos de un conjunto enumerndolos o indicndolos en forma sobre entendida.
!)
!"7 > 1 #<&
!("n?:) "7n >&
EJEMPLOS:
corresponda:
POR POR COM COMPREN PRENSI SIÓN ÓN O EN FORMA ORMA CONSTRUCTI"A:
5s cuando se mencionan una o ms caracter6sticas comunes y eclusivas a los elementos del conjunto. ES#UEMA:
! f ( ) 7 tiene cierta caracter6stica& donde4 f ( ) 4 Indica la forma del elemento del conjunto.
A !os planetas de del sistema&
n(9) <
/ !", #, $, %, ........#;;&
n(/)";;
5 !a, a, a, ", ",!0,#&,!"&&
n(5)#
I". RELACIONES ENTRE CONJUNTOS a) I'+l,(*': 'e dice -ue un conjunto A esta incluido en B, si todos los elementos de A son tambiCn elementos de B. 'e denota4 A B 'e lee4 @A est incluido en B@ @A est contenido en B@ @A es subconjunto de B@
Ejemplo(: ) D !as gallinas&
A !os animales& D A ) M !", 1, a& > !:, ", 0, 1, a, b& 9 !a, ", b, 0, c, :, 1, $& M > > 9 entonces M 9 /) /ado el conjunto4 ' !;,:,!"&,0& Indicar verdadero (2) o falso (E) ' ( ) !:& ' ( ) !"& ' ( ) 0
' ( ) ' ( ) !!"&& I0,al1a1: Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales, cuando poseen los mismos elementos. 'e denota4 A B 'e define4 !",;&
!)
AB A B B A
Ejemplo: 'ean los conjuntos4 A !:, 0, a, b& B !a, 0, b , b, :, :,:& Fomo4 A B B A entonces A B OSER"ACIÓN: /os conjuntos diferentes A y B son comparables, cuando uno de los conjuntos est incluido en el otro, es decir
A BóB A +)D(j,'&o(: /os conjuntos son disjuntos cuando no poseen elementos comunes. EJEMPLO:
G+ !:,",0,#,1,......& GH !?:,?",?0,?#,?1,......& G+ y G ? son disjuntos
+)
D2e$e'&e( 3
) 4 /os conjuntos son diferentes
si uno de ellos tiene por lo menos un elemento -ue no tiene el otro.
A B A B B A
!) Co'j,'&o U'&a$o o S'0le&*': 5s a-uel conjunto -ue tiene un sólo elemento.
Ejemplo:
A !;& n(A) : B !& n(B) : F ! G + 7 ; & n(F) :
+) Co'j,'&o U'5e$(al: 5s un conjunto referencial -ue se toma convenientemente para el estudio de una situación particular -ue presentan otros conjuntos incluidos en Cl. >o eiste conjunto universal absoluto y se denota generalmente con la letra .
Ejemplo: 9ara los conjuntos4 9 !os pavos& D !as gallinas& os posibles conjuntos universales -ue contiene a los anteriores son4 :!los animales& "!las aves& 0!los aves gallinceas&
1) Co'j,'&o 1e Co'j,'&o( o Famla 1e Co'j,'&o(: 5s a-uel conjunto cuyos elementos son todos conjuntos. K ! ! " & , ! 0 & , ! # , & , & e) Co'j,'&o Po&e'+a: /ado un conjunto A, se denomina conjunto potencia de A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A. 'e denota4 9(A)
". CLASES DE CONJUNTOS: a) F'&o: n conjunto es finito, si posee una cantidad limitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos tiene fin en el tiempo.
Ejemplo:
J ! 7 es un continente& n(J) 1 !) I'2'&o: n conjunto es finito, si posee una cantidad ilimitada de elementos diferentes, es decir el proceso de contar sus elementos no tiene fin en el tiempo.
Ejemplo:
A !:, #, <, :$, "1, 0$,....& > ! K 7 " L L 0 &
"I. CONJUNTOS ESPECIALES: a) Co'j,'&o "a+4o o N,lo: 5s a-uel conjunto -ue no tiene elementos. 'e denota4 ó ! &
Ejemplo:
2 ! G 7 L L%& 2 ! &
NOTA: 5l conjunto vac6o ( ) es subconjunto de todo conjunto ecepto de si mismo
9(A)!7 A& Ejemplo: /ado el conjunto4 A !:,0& n(A) "
Subconjuntos de A
, { 1 }, { 3 }, { 1 , 3} 9(A) ! , ! : & , ! 0 & , ! : , 0 & & n 9(A)N""
O!(e$5a+o'e(:
* /ado un conjunto @A@ con n(A) elementos entonces4
Osubconjuntos de A n9( A)N " n ( A ) * 'e denomina subconjunto propio de A, a a-uel subconjunto diferente al conjunto A.
Ode 'ubconjuntos propios de A "n ( A )H: Ejemplo:
Sub conjuntos de A
/ado el conjunto4 A ! m , n&
, {m},{ n } ,{ m, n} Sub conjuntos propios de A
'e denota4 A B 'e lee 4@ A o B @ 'e define4 A B ! 7 A B & /iagramas4 A B4
"II.-
DIAGRAMAS DE "ENN - EULER:
'on regiones planas limitadas por figuras geomCtricas cerradas, -ue se utiliPan para representar grficamente las relaciones y operaciones entre conjuntos. 5l rectngulo representa generalmente al conjunto universal. NOTA: Adems otros diagramas para representar grficamente a los conjuntos son4 .- Da0$ama 1e Le6(-Ca$$ol: 'e utiliPa generalmente para representar conjuntos disjuntos.
U
U
A
B
B
A
A
B
Ejemplo: 5n una reunión asistieron > personas, de las cuales se sabe -ue la cantidad de hombres ecede a la de mujeres en $. 'i hay :1 mujeres bailando y entre los -ue no bailan hay 0 hombres por cada " mujeres. Funtos hombres asistieron a la reunión.
Sol,+*':
Hombres
'i4 B A entonces A B A
Mujeres
U Bailan
15
No Bailan
3p
O!(e$5a+*': .-INTERSECCIÓN:
15
a intersección de dos conjuntos @A y B@ es el conjunto formado por los elementos -ue pertenecen a @A y B@ a la veP.
2p
'e denota4 A B 'e lee 4@ A y B @ 'e define4 A B ! 7 A B&
/iagramas A B4
Q?$M 5ntonces4 0p H $ "p
p78 To&al 1e 9om!$e( 7 ; /p 7 //
A
B
A B
.-Da0$ama L'eal4 'e utiliPa para representar la relación de inclusión entre conjuntos. A !americanos& B !bolivianos& 9 !peruanos& F !cus-ue3os& !lime3os&
A
B
Sol,+*': A B
P
L
C
O!(e$5a+*':
B =
'i4 B A entonces A B B
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS .-UNIÓN O REUNIÓN: a unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de @A@ como los de @B@.
A
/.-DIFERENCIA:
a diferencia de dos conjuntos A y B (en dicho orden) es el conjunto formado por los elementos de @A@ pero no de los de @B@. 'e denota4 A ? B 'e lee 4 @A pero no B @ 'e define4 A ? B ! 7 A B&
'e observa Adems4 A B ( A B ) ? ( A B)
.- COMPLEMENTO /iagramas4 A ? B4 U
A
U
B
A B
5l complemento de un conjunto @A@, es el conjunto formado por los elementos -ue pertenecen al conjunto universal @@ pero no a @A@ . 'e denota 4 FA R A R AF R AS 'e lee 4@ no A @ 'e define 4 AS ! 7 A& /iagrama AS4
A
U
A
B
APLICACIONES <.-DIFERENCIA SIM=TRICA a diferencia simCtrica de dos conjuntos A y B, es el conjunto formado por los elementos -ue pertenecen a @A@ o @B@ pero no a ambos. 'e denota4 A B 'e lee 4@ A ó B @ @o bien A o bien B@
A
'ean los conjuntos4 A !,%,",0& B !",0,<& !",0,#,,%,<& Falcular4 . A B . A B . A ? B 5. B ? A 5. A B 5. AS 5. BS 5. (A B)c
Sol,+*' :
B A
B
!" $"
#" 3"
%" &"
(A H B ) (B H A) A B
'e define4 A B ! 7 (A? B) ( B? A)& /iagramas4 A B4 U
A
B
A B
. A B . A B . A H B 5. B H A 5. A B 5. AS 5. BS 5. (A B)c PAR ORDENADO
!,%,",0,<& !",0& !,%& !<& !,%,<& !<,#& !,%,#& !",0,#&
d) !"+7 T : %& e)>.A
5s un conjunto de sólo dos elementos, no necesariamente diferentes, en el cual interesa el orden de cada uno de ellos. 'e denota4
0.
'i 4 A !a" +:, 0a?:& B !0+y , ?y+%& 'on conjuntos unitarios hallar a++yU a) 1 y $ b) # y 0 c) < y % d) 0 y 1 e) # y $
#.
/ados los conjuntos unitarios4 A !( + y ) , % & B !( y ? ) , # & Qallar4 + y U a) "; b) 0; c) #; d) #1 e) "1
1.
5n un salón de clase de $; alumnos se sabe -ue #; de ellos tienen aptitud para las ciencias y 0" para las letras VFuantos alumnos tienen aptitud para las ciencias como para las letrasU a) :; b) :" c) "; d) "# e) "1
$.
5n una asamblea de $; integrantes de un club, 1; son estudiantes, # trabajan y # no trabajan ni estudian VFuantos solamente trabajan y estudianU a) :1 b) "; c) "1 d) 0; e) >.A
(a R b)
Prmera Componen.e
Seg/nda componen.e
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS
(a R b)(c R d ) (a c b d ) Ejemplo: /eterminar +y 'i4 (0+"y R :)(:" R " ? y)
Po$ 0,al1a1:
0 +"y :" " ? y :
" y0
PRODUCTO CARTESIANO P$o1,+&o: /ado dos conjuntos A y B no nulos, el conjunto producto @A B @ es a-uel conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados, donde las primeras componentes pertenecen al conjunto A y las segundas componentes al conjunto B. 'e define4 A B !(a ,b) 7a A b B& EJEMPLO:
.
A !:, ", 0& B !a, b& A B !(:Ra),(:Rb),("Ra),("Rb),(0Ra),(0Rb)& B A !(aR:),(aR"),(aR0),(bR:),(bR"),(bR0)&
O'ser(ac*n: A B B A A B A B B A A B n(A B) n(A).n(B)
%.
'abiendo -ue los conjuntos4 A!#a+0b R "0& B!0a+b R #:& 'on unitarios 4 Qallar a+b a) " b) # c) 1 d) e) < 'i 4 !>aturales&, A!"7 > =L$&
,+& B! F!
PROLEMAS :.
".
/eterminarlo por comprensión A ! , :",:, "", .....,%#"& a) !7 1n+" , nT ;n:$%& b) !7 n+" , nG ;n:$%& c) !7 1n nG ; n :$%& d) !7 1n?" ,nG ; n :$%& e) >.A 'i A!;, ",$, :", ";,0;,#",1$ & /eterminar este conjunto por comprensión a) !"+:7 T & b) !"+7 T $& c) !(+:)7 T &
# 7 A& #- + 1 3
7 yB&
VFuantos elementos tiene FU a) : b) " c) 0 d) # e) 1 <.
'i un conjunto A tiene :% elementos, otro conjunto B tiene "# elementos. VFuntos elementos tendr A B, sabiendo -ue AB tiene :1 elementosU a) "# b) "1 c) "$ d) " e) "%
:;.
/urante el mes de febrero del ";;:, 5rnesto salió a pasear con Watia, Maribel o con ambas. 'i :$ d6as paseó con Watia y "" d6as con Maribel. VFuntos d6as paseó con ambas, sabiendo -ue el d6a de los enamorados salió sólo con DloriaU a) :: b) < c) %
d) :; ::.
/e un grupo de <1 deportistas se observó -ue4 :1 son atletas, -ue practican el fútbol y la natación. 1" son atletas. 11 son nadadores. odos los futbolistas son atletas y :" son deportistas -ue sólo practican el atletismo. :1 deportistas no practican los deportes mencionados. VFuntos deportistas son atletas y nadadores, pero no futbolistasU a) :; b) :" c) "" d) 0" e) #"
:".
a intersección de 9 y X tiene :"% subconjuntos, la diferencia de 9 respecto a X tiene $# subconjuntos. 5l producto cartesiano 9 X presenta :%" pares luego podemos afirmar -ue (X ? 9) tiene4 a) :; elementos b) % elementos c) $ elementos d) < elementos e) elementos
:0.
:#.
e) :" a) (A ? F) (B?F) b) (F?B)Y (A?F) c) (AB) H F d) (A?F)(B?A) e) (A B) H (A BF) :$.
/e 11 alumnos -ue estudian en una universidad se obtuvo la siguiente información4 0" alumnos estudian el curso A "" alumnos estudian el curso B #1 alumnos estudian el curso F :; alumnos estudian los tres cursos. VFuntos alumnos estudian simultneamente dos cursosU a) "" b) ": c) "1 d) "0 e)"#
:.
Fierto número de medallas de 8ro, plata y bronce es distribuido entre :;; atletas en un festival deportivo. 'e sabe -ue #1 atletas reciben medallas de oro, #1 reciben medallas de plata, $; reciben de bronce, :1 reciben medallas de oro como de plata, "1 atletas reciben medallas de plata y bronce, "; reciben medallas de oro y de bronce, 1 reciben de oro, plata y bronce. VFuntos atletas no recibieron medallasU a) 0 b) # c) $ d) 1 e)
:%.
$; alumnos rinden un eamen -ue consta de tres partes, si se sabe -ue4
/ados 4 A !a" + < , b+" & B !?<, :;& 'i se sabe -ue ABR a >, Falcular4 (a+b) a) < b) :" c) ?:; d) ?< e) ?:" /ado los conjuntos 4 A!a"+: R b R a? c & B! ?0 R a" R 1 & F! > 7 b?aL L a+c & /onde4 a > , b > ,y AB 5ntonces afirmamos4
I.? 5l numero cardinal de F es # II.? AF!#R1& III.? F?A !a& 'on ciertas 4 a) I y II b) I y III c) II y III d) odas e) solo I :1.
:; aprobaron sólo la primera parte "; aprobaron la primera parte "1 aprobaron la segunda parte ": aprobaron la tercera parte $ aprobaron la segunda parte y tercera parte pero no la primera aprobaron las dos primeras partes 0 aprobaron las tres partes.
VFuntos desaprobaron las tres partesU
a región sombreada est representada por4
a) :: d):" :<.
b) :; e) :0
c) :#
5n un club hay $: personas, tal -ue4
1 mujeres tienen : a3os :$ mujeres no tienen : a3os :# mujeres no tienen :% a3os :; hombres no tienen : ó :% a3os.
VFuntos hombres tienen : ó :% a3osU a) "1 b) 0; c) "%
d) 0:
e) 0"
";.
'ea a un conjunto vació, definido por A ! Z> 7a L 1& VFul puede ser el valor de [a\U a) 0 b) 0,1 c) # d) #,1 e) 0,<<<]
":.
'i A es un conjunto unitario, hallar (a + b).
A a) : d) #
&a 10# ' %03a & b) " e) 1
c) 0
"". 5n una encuesta tomada a $;; personas en una Pona de ima, se obtuvieron los siguientes datos4 "1; leen el Fomercio, ""; leen la Kepública y :;; leen ambos periódicos. VFuntos no leen el Fomercio ni la KepúblicaU a) :;; b) "1; c) ""; d) "0; e) "#;
"0. 5n una entrevista realiPada en el aeropuerto se determinó -ue #< viajaban al FuPco, #0 a acna, 0< a Are-uipa, :< sólo a acna y ": sólo a Are-uipa. 'i :$ viajaban a acna y are-uipa y 1 de ellos viajaban tambiCn al FuPco, determinar cuntas personas viajaban sólo al FuPco. a) 00 d) 0$
b) 0# e) 0
c) 01
C,(+o>?@B@
