COMPENDIUM MUSICAE: LA TEORÍA MUSICAL DE DESCARTES Daniel Martín Sáez
Conviene no olvidar su enorme amor por la música, su interés por las clases y modalidades de danza, su conocimiento personal de diferentes academias de baile, incluso su composición de un libreto de ballet en los últimos años de su vida, titulado “Naissance de la Paix” (GABILONDO, A.)
INTRODUCCIÓN: ESTUDIO DE LA OBRA Y SU CONTEXTO El Compendium !usicae presume !usicae presume de ser la primera !ra de Des"artes, el primer atre#imient de a$uel $ue es "nsiderad el padre de la %ils%ía mderna. En su ri&ursa e'psi"in, el "ará"ter ini"iadr de este tratad tr atad a de ser tenid en "uenta "m un te't en el $ue la %ils%ía "artesiana n de*a de #islum!rarse+ pr un lad, en las rela"ines matemáti"as pr tr, en la metdl&ía lle#ada a "a!, esen"ialmente matemáti"a. -r tant, a de ser leída "m una !ra !ra de *u#entud "ua imprtan"ia imprtan"ia radi"aría, si n tant en el dis%rute de una !ra plenamente desarrllada, desarrllada, sí en el entendimient de su #ida sus primeras in$uietudes, $ue sn, al %in al "a!, las de un %utur %ils%. -r tra parte, #erems $ue se trata de una !ra im!uida i m!uida en su /p"a $ue alardea de ser una *usti%i"a"in de las re&las armni"as de su tiemp, pr l $ue $uizás de!a ser en"uadrada dentr dentr del ám!it de la tería musi"al de su si&l. El mism Des"artes, !a* la mdestia $ue le "ara"teriza en sus es"rits, iz ntar este e" de !ra primeriza "uand "ali%i" el "mpendi "m 0este i* de mi espíritu, tan in%rme seme*ante al %et de una sa re"i/n na"ida1. Desde lue&, n %ue es"rita para ser pu!li"ada, numersas numersas "artas indi"an indi"an $ue su psi"in %ue más !ien la de impresinar impresinar al matemáti" Isaa" Bee"2man, al $ue "n"i durante su estan"ia en el e*/r"it de Mauri"i Nassau. Allí Des"artes pare"ía más interesad 0pr la &emetría la m3si"a1 $ue pr el arte militar. Bee"2am es a$uel a $uien está dedi"ada la !ra el mism $ue le prpus el pre"t de es"ri!irla despu/s de l "ual, tal "m indi"a 4i"ard 5atsn, 0Des"artes tra!a* en este pr!lema día n"e, al "a! de unas semanas, el 67 de di"iem!re de 7879 present a Bee"2man su :mpendi de M3si"a (en latín)1.
Es imprtante su!raar la imprtan"ia de Bee"2man en la #ida !ra de Des"artes. Aun$ue n #l#ería a #erle desde la dedi"a"in del "mpendi asta "tu!re del a; 78<9, n puede ne&arse de nin&3n md su in%luen"ia. Bee"2man %ue un de ls primers estudiss $ue pus en prá"ti"a la %ísi"a matemáti"a. De e", "m ns #uel#e a indi"ar 5atsn, 0ls "uaderns de Bee"2man, "uidadsamente reda"tads e ilustrads ( sl pu!li"ads en 7=6=) "ntienen la primera %rmula"in "n"ida de la le de la iner"ia1. En una de sus "artas en a&st de 78<=, el matemáti" es"ri!ía+ 0a"e diez a;s "muni$u/ a Des"artes l $ue a!ía es"rit s!re las "ausas de la dulzura de la armnía1. Si a est le a;adims una "arta diri&ida a Bee"2man en la $ue a%irma Des"artes+ 0amadme sa!ed $ue l#idaría a las musas antes $ue l#idars a #s, pr$ue me unen a #s "n un laz de etern a%e"t1, n ns $uedará nin&una duda de su in%luen"ia en el *#en %ils%. N !stante, esta rela"in a"a!aría a raíz de una "medida reerta en la $ue se a"us a Bee"2man, td indi"a $ue in*ustamente, de a!er tmad "m suas las ideas del "mpendi en sus "ír"uls amistss, l $ue daría "m resultad $ue Des"artes si&uiera su prpi "amin durante al&3n tiemp.
Un joven instruio + De al&3n md, "m $uería a"er ntar más allá la timidez de la !ra, sería ilí"it *ear el Compendium !usicae "m una simple !ra de *u#entud. Aun$ue Des"artes era a3n *#en, su !a&a*e "ultural n pdía "ali%i"arse de i&ual md. El %ils% >n&el Ga!ilnd ns e'pli"a "m pr a$u/l entn"es Des"artes pud 0#isitar sin tra!as ls imprtantes %nds de la !i!lite"a a""eder in"lus a ls li!rs pri!ids de la In$uisi"in, "m ls de :rneli A&ripa, Giam!attista della -rta, Mi"el de Mntai&ne -ierre :arn1. -r tant, pdems respaldar la "apa"idad de Des"artes, "n Ga!ilnd, a"iend re%eren"ia a sus estudis de retri"a, &ramáti"a, tel&ía, es"lásti"a %ils%ía (espe"ialmente aristt/li"a), así "m a su &radua"in en Dere" pr la ?ni#ersidad de -itiers sus "n"imients de danza, entre tras "sas. Di" est, n $ueda sin entrar en pr%undidad en el análisis del Compendio de !úsica.
I!"ort#n$i# e %# !&si$#: $onte'to !usi$#%()i%os*)i$o+ L# innov#or# "reo$u"#$i*n "or e% ,usto e $orte !oerno+ Aun$ue parez"a un tema !aladí "ua e'"entri"idad n a de ser e#aluada, el prpi Bee"2man "nsidera!a la m3si"a "m 0el dmini pr e'"elen"ia para desarrllar sus ideas1 s!re la %ísi"a@matemáti"a. Est a "ndu"id, se&3n indi"an al&uns autres, al
0desarrll de la "ien"ia mderna desde la perspe"ti#a de la "ien"ia musi"al1 (Ga!ilnd). Del mism md, la realiza"in de "iertas pes$uisas en trn a la m3si"a su rela"in "n la naturaleza umana n sl es sumamente interesante para ls teri"s del si&l II, sin tam!i/n para nstrs misms. De al&3n md, el 4ena"imient Cre"ientemente anterir a ls pensadres mdernsC e'alt al m!re de un md tal $ue las le"turas umanísti"as %uern las más a!undantes. Las artes li!erales del tri#i el "uadri#i, entre las "uales se en"ntra!a la m3si"a, tmarn un au&e inesperad $ue se re%le*aría en el si&l II "n un pr&res "ientí%i" sin paran&n $ue en arte "n%rmaría la esen"ia del !arr" (Mnte#erdi). Est %a"ilit el "amin a %ils%s "ientí%i"s para $ue a!lasen de la m3si"a. -er s!re td serían las matemáti"as la !ase de ls %ils%s de este si&l. N sl Des"artes, sin tam!i/n pensadres "m Spinza, -as"al, Male!ran"e Lei!niz (ra"inalistas), utilizarn las matemáti"as en sus e'pli"a"ines. En "uant a la m3si"a, el pr&res n %ue menr. Ls a#an"es en la armnía, en mans de "mpsitres "m Ba" eleman, pre"edida pr ls pr&ress medie#ales de insi&nes "mpsitres "m Lenin -etrnin, re%le*an un de ls mares pr&ress e'presi#s de la umanidad. De e", la pera, $ue psterirmente sería pretendida pr 5a&ner "m la s"ntesis de todas las artes, "menza!a pr a$uel entn"es una pr&resin Ce'plí"ita s!re td en la en"mia!le !ra #rfeo, de Mnte#erdiC "u punt de !#eda sería t"ad, psterirmente, en el rmanti"ism (bell canto). -r su parte, "ientí%i"s "m epler, $ue trat la rela"in de la m3si"a "n el uni#ers (7), arían $ue /sta %uese "nsiderada, de al&3n md, "m una "ien"ia. Además, ilustres persna*es "er"ans a la /p"a de Des"artes, a sea en matemáti"as, %ils%ía "ien"ia, n de*arn de aprtar su punt de #ista s!re la m3si"a. Galilei, "n su $iscurso Mersenne, "n su %rmon"a &niversal , DFAlem!ert, "n la slu"in de la e"ua"in de ndas, Euler su Nueva teor"a musical . Si a este a!ani" de &enis, de ls $ue lue& a!larems, le a;adims la apari"in de teri"s imprtantes "m -ietr :erne en Italia "n#endrems en $ue la m3si"a "mienza, &ra"ias al si&l II, su #erdadera independiza"in %rente a las re&las "n#en"inales. Es, sin duda, el pas $ue %a"ilita 0la autnmía de la m3si"a el rena"er de un nue# inter/s pr el len&ua*e musi"al1. -sterirmente, n sl matemáti"s se an interesad pr la m3si"a, sin $ue in"lus "mpsitres "ntempránes, "m De!uss, Messiaen, -ierre Bulez St"2ausen, se an
interesad pr la matemáti"a. E*empl de ell es el inter/s de parte de ls "mpsitres pr la denminada Proporción 'urea ()* . -er sin duda la in%luen"ia más desta"a!le, además de Bee"2am, e*er"ida s!re Des"artes es la de arlin, "mpsitr teri" musi"al italian. La e'pli"a"in de Ga!ilnd al respe"t ns resultará ilustrati#a+ +eún -arlino, existe entre los intervalos una razón matem.tica fundada en la naturaleza misma de los sonidos y ésta se encuentra en las relaciones entre los elementos, es decir, en el mundo de los fenómenos naturales /l fundamento de estas razones naturales 0a de buscarse en los sonidos armónicos -ara Des"artes est es l #erdaderamente imprtante+ la rela"in entre la naturaleza (al"anza!le desde la razn, la matemáti"a) la m3si"a. -r a$u/l entn"es era presente tda#ía una distin"in radi"al entre m3si"a "m "ien"ia m3si"a "m arte (en realidad eredada pr el medie#alism platni"), la "ual n en"ntraría su dislu"in de%initi#a "m di"tmía irredu"ti!le asta el si&l III. arlin a!&a!a pr la primera p"in, "m era natural entn"es, sin em!ar& empezarn a sur&ir en a$uel mment partí"ipes de la se&unda. En su $ialoo della musica antica e della moderna (7H97) $ue antes "itá!ams, el prpi i"enz Galilei, padre de Galile, es "ntrari a las ideas de arlin. La pala!ra la em"in umana sn para /l las &uías de la m3si"a. Estams pues, ante una nue#a realidad musi"al. La m3si"a (l $ue nstrs llamams m3si"a+ la m3si"a "m arte) n es al& sin imprtan"ia a $ue dis"utir s!re ella. Se trata de un "am!i espe"ta"ular en la istria de las Ideas de una amplia reper"usin, $ue a mi *ui"i se sit3a en el punt "entral del #alr artísti" pr"lamad pr el 4manti"ism. -er esa es tra "uestin. En l t"ante a Des"artes, a!ría un d!le *ue& "n am!as tradi"ines. -r un lad, la !3s$ueda !*eti#a "ientí%i"a ns presentan una tería "n#en"inal, nada re#eladra pr a$uel entn"es, $ue prnt pasaría a ser al& ana"rni"a. -r tra parte, la pre&unta pr el arte desde un punt de #ista su!*eti# supne un #uel", mu prpi de la %ils%ía mderna $ue el prpi Des"artes inau&ura, en la %rma de "mprender el arte, pre"isamente en la dire""in Jartísti"aJ indi"ada. Este d!le *ue& #endría %a"ilitad pr la inn#a"in tras"endental de intrdu"ir al& así "m una "ien"ia su!*eti#a del &ust. -er entn"es resulta $ue Des"artes estaría *u&and más a %a#r del se&und pl, inau&urand en "ierta medida una mirada "u punt "entral depende de
una pre"upa"in est/ti"a. Ell, pr tant, l situaría mu le*s de a$uellas terías $ue a"ían de la m3si"a una simple "ien"ia. A$uí es ne"esari analizar el &ust. Aun$ue a!lams de "ien"ia, /sta n se "entra en su !*et, sin en el su*et $ue tiene sentimients est/ti"s. -r tant, de al&3n md el pl artísti" estaría pr en"ima del "ientí%i". En tras pala!ras+ la pre"upa"in de Des"artes e'pli"ar la m3si"a es"u"ada, n la pensada. Kl mism n duda en a%irmar $ue el *ui"i s!re el &ust es sub1etivo , al mism tiemp, $ue ell n le impide %r*ar una "ien"ia musi"al, 0del mism md $ue pre%erir las li#as a la miel n impide sa!er $ue /sta es más dul"e $ue a$u/llas1 (6). Ga!ilnd se;ala est, apad pr -. Dumnt, "m un 0pas de%initi#1. Est se #e re%le*ad en una de sus "artas a Mersenne+ /n cuanto a la preunta acerca de si se puede establecer la razón de lo bello, es exactamente la misma 2ue me 0ac"a antes sobre por 2ué un sonido es m.s aradable 2ue otro en eneral ni lo bello ni lo aradable sinifican nada sino una relación de nuestro 1uicio con el ob1eto no se puede decir 2ue lo bello ni lo aradable tenan ninuna medida determinada 3 no lo podr"a explicar me1or 2ue como lo 0ice otra vez con la música se re%iere al "mpendi (). La m3si"a es, pues, un me"anism "ndi"inad $ue depende de nuestra %isil&ía psi"l&ía. N es una "ien"ia puramente !*eti#a $ue dependa sl de la naturaleza del !*et. am!i/n es su!*eti#a. 0L $ue uste a la maría @sstiene en tra de sus "artas a Mersenne@, pdrá llamarse simplemente l más !ell, l $ue n pdrá ser determinad1 (el su!raad es mí). L imprtante es, sin duda, a"lamar $ue la &ran "apa"idad de la m3si"a es la de e'presar distints estads de em"ines+ 0se su!raa "laramente así la "rrespnden"ia entre las affectiones del snid ls affectus del alma1 (H). :m "n"ilia el su!*eti#ism "n la "ien"ia musi"al $uedará e'pli"ad más adelante, mediante la e'pli"a"in de re&las inerentes a td ser uman, "m la medida la prpr"in. inalmente, antes de dar pr "ulminada esta intrdu""in, es pre"is admitir $ue el Compendium !usicae si&ue pasand inad#ertid en nuestrs días pr mti#s relati#amente razna!les, l $ue a"e $ue el de!ate en trn a ella sea es"as, a n ser en un entrn espe"ializad en la terías del si&l. En "uant a la estru"tura de la !ra, si&ue un m/td dedu"ti# !asad en rela"ines matemáti"as de tintes pita&ri"s,
!asándse, a su #ez, en raznamients matemáti"s empíri"s "us resultads sn la !ase de l tratad.
SÍNTESIS Y AN-LISIS DE LA OBRA La !ra se di#ide en d"e punts, en "ada un de ls "uales se dis"urre s!re una temáti"a distinta rela"inada "n la anterir, a md de un se&uimient dedu"ti#. En primer lu&ar, Des"artes e'pli"a las rela"ines e'istentes entre las "ualidades del snid (ritm, altura) nuestrs sentimients. Se&uidamente, en l $ue pdríams denminar el punt ds, e'pne " "nsidera"ines pre#ias de las "uales se ser#irá psterirmente para a!straer trs apartads. En el punt ter"er, trata el tiemp. En el "uart, del snid. Siend ls si&uientes punts ls si&uientes+ 0de la "ta#a1, 0de la $uinta1, 0de la "uarta1, 0del ditn, de la ter"era menr de las se'tas1, 0de ls &rads tns musi"ales1, 0de las disnan"ias1, 0de la manera de "mpner de ls mds1, , %inalmente, 0de ls mds1. De!id a la !re#edad de al&un de ells , s!re td, a su es"asa imprtan"ia en un tra!a* de este tip, se realizará la síntesis del Compendium !usicae en &eneral, si&uiend "ada un de ls títuls en el rden del tratad , "uand n se a&a (para mar "laridad), se ará men"in a ls apartads "rrespndientes. Des"artes "mienza su e'psi"in tratand la "ualidad intrínse"a de la m3si"a de prdu"ir en nstrs em"ines (0su %inalidad es deleitar pr#"ar en nstrs pasines di#ersas1). Se&3n el md "mpsiti#, la m3si"a ns transmitirá tristeza, ale&ría, a!urrimient, et". Di" md "mpsiti# dependerá tant del ritm de la a""in musi"al "m de la altura (0las prin"ipales prpiedades del snid sn ds, a sa!er, sus di%eren"ias en razn de la dura"in del tiemp, en razn de la altura relati#a al a&ud al &ra#e1). -er tam!i/n de la medida. En el apartad 0el tiemp1, Des"artes a%irmará, pr e*empl, $ue las medidas lentas prdu"en en nstrs m#imients lents, "m la tristeza en "ntraste "n las medias rápidas, $ue prdu"en en nstrs m#imients rápids, "m la ale&ría. La respuesta ante ests estímuls es natural. Ante ell de!ems entender la a%inidad de Des"artes a un de ls mares apte&mas ra"inalistas, a sa!er+ la "reen"ia en lo innato. :lar e*empl de l "ual es tra de sus a%irma"ines en este mism "apítul, la $ue estima $ue, pr un 0impuls natural1, al "mienz de "ada medida el snid se emite más %uerte. De este md, entendems $ue el "mpsitr de!erá tener en "uenta estas rea""ines umanas a la
ra de "mpner. Est es, si es"ri!e un r/$uiem ls ritms lents serán ls más aprpiads, mientras $ue si musi"aliza un amane"er, en prin"ipi serán ls ritms ale&res, rápids, ls más aprpiads. L&i"amente, estams a!land del tiemp en tant $ue /l mism, sin "nsidera"ines adi"inales de tras #aria!les, l "ual n si&ni%i"a $ue el tiemp, pr sí sl, l de"ida td. -rnt #erems "m el tiemp n es el 3ni" %a"tr distinti#, de md $ue, en una "mpsi"in ale&re, se pdrán in"lus "m!inar ritms lents "n snids a&uds &ra#es $ue "ausen tras em"ines $ue n eran "ara"terísti"as del prpi tiemp de la altura, per $ue sí l sn de td el "n*unt. Si&uiend la línea del tiemp, la matemáti"a "artesiana a"e a$uí in"api/ de %rma de"isi#a. La di#isin del tiemp, *unt "n la ele""in de la altura, es la "ara"terísti"a más imprtante de la m3si"a. en&ams en "uenta $ue en el 4ena"imient slía a!larse de la m3si"a "m del arte del tiemp. Des"artes a"e a$uí /n%asis en una di#isin proporcional (0el tiemp en ls snids de!e estar "nstituid pr partes i&uales1). La m3si"a sl es psi!le si la di#isin de su tiemp atiende a di#isines i&uales, en prpr"in. De!e tenerse en "uenta, en este punt, la devaluación $ue a"e Des"artes de ls sentids. -ara /l ls sentids sn in"apa"es de #erdad sl la razn es pseedra de ella. Esta idea, $ue tant se re%le*ará en su $iscurso del !étodo, en la maría de sus !ras, apare"e a en este "mpendi. L&i"amente, esta de#alua"in "nlle#a la idea de $ue ls sentids an de ser deleitads, si se me permite la e'presin, "n rela"ines a"rdes a su insi&ni%i"an"ia. (-r supuest, la idea de $ue la m3si"a n puede deleitar rmpiend la prpr"in está ttalmente desmentid pr la m3si"a rmánti"a "ntempránea. -er "re $ue ell n elimina el "lar pensamient "artesian+ la m3si"a depende de ls sentids, pr ell de!e tenerls en "uenta. ?na m3si"a demasiad #aria!le @entendid ell "m %uera@ pdría a"a!ar "n el sentimient est/ti".) -r ell a%irma $ue 0estas se re%iere a las partes i&uales sn las $ue el sentid per"i!e "n mar %a"ilidad1. Es de"ir, n se pdrán #ariar demasiad ls tiemps, a $ue el íd n será "apaz de "aptar, si sn mu"s, di"s "am!is , pr tant, le resultarán desa&rada!les. Del mism md, admite $ue n pdrán ser "am!is demasiad %á"iles, su es"u"a resultará tedisa. (Est es e#idente "nstitue una re%le'in imprtante+ la m3si"a es antrpl&i"a, n di#ina "m pretendían ls medie#ales. ?na m3si"a antrpl&i"a de!e limitarse a las "apa"idades umanas l "ual de!e si&ni%i"ar $ue n puede ser una m3si"a demasiad sen"illa @pensems, pr
e*empl en la m3si"a ppular@, ni demasiad "mpli"ada @$uizás n dispnems de nin&3n e*empl, per para a"erns una idea, pensems en al&3n tip enre#esad de pli%nía medie#al.) Sl a un tip de m3si"a, pr llamarl de al&3n md, $ue a Des"artes n se le es"apa $ue "ntradi"e esta e'pli"a"in. Es el "as de la per"usin. En ella, de!id a su simpli"idad (estri"tamente a!lams slamente de ritm), la #ariedad será ne"esaria. La mar"a militar es el e*empl $ue a Des"artes se le ant*a "m el más prtun. En este "as, el ritm de!e determinar pr sí mism un sentimient, sea el de la dis"iplina, el rden el $ue se $uiera. En "ual$uier "as, en ls mments paradi&máti"s de la "rea"in musi"al, la di#isin del tiemp a de ser aritm/ti"a, en partes iuales. El e*empl de Des"artes a"er"a de pr$u/ an de ser aritm/ti"as n, pr e*empl, &em/tri"as, #iene dad en el mism "apítul del si&uiente md+
:as A
:as B
En la prpr"in aritm/ti"a ("as A) 0n a $ue ad#ertir Cdi"e Des"artesC tan &ran "antidad de "sas1. La prpr"in se "apta me*r en el "as A $ue en el B, pr l $ue las medidas, en el "as B, n 0pueden ser per%e"tamente "n"idas al mism tiemp pr el sentid, sin sólo en orden a la proporción aritmética1. En este punt, el apte&ma "n $ue "ntin3a, $ue deri#a del e*empl anterir, es %ulminante prpi de su %ils%ía psterir+ 0es e#idente $ue el sentid se en&a;a "ntinuamente1. -r su parte, el "as de la altura (&ra#es a&uds) "rre pare* al del tiemp. Le*s de la e'pli"a"in anterir, $ue tam!i/n sería apli"a!le a la altura, la dis"usin "artesiana &ira en trn a 2ué snids sn ls ade"uads. Atendiend a l e'pli"ad, las di%eren"ias entre ls snids n an de ser a"usadas, sin %á"iles de per"i!ir, a $ue 0la de!ilidad de ls íds n puede distin&uir sin es%uerz mares di%eren"ias de ls
snids1. De este md, ls snids a!rán de ser di#idids "n%rme a la misma prpr"in de la $ue a!lá!ams antes. Des"artes l e'pli"a audándse de la si&uiente ima&en+
A
D
:
E
B
Siend AB el punt de partida, la !3s$ueda de ls snids a de lle#arse a "a! del si&uiente md, sl de /ste+ di#idi/ndse AB tantas #e"es "m se $uiera. Sl a una restri""in, $ue una #ez sea di#id AB en, pr e*empl, A: :B, n se di#ida, a su #ez, A: :B en más partes, sin $ue sl se di#ida, "m de"íams, AB. De md $ue ls snids "ntenids en AB, resultad de la di#isin en "uatr partes iuales, serían AD, A:, AE, DB, :B EB. A partir de ara empiezan ls temas relati#s a las rela"ines armni"as+ "nsnan"ias disnan"ias. Es de"ir, las "ta#as, $uintas, "uartas, et". Las "nsnan"ias sn a$uellas "uas partes sn i&uales (0tdas las "nsnan"ias "nstan de partes i&uales1). L $ue /l llama 0la primera de tdas las "nsnan"ias1 0la más imprtante de tdas las "nsnan"ias1 es la "ta#a. L&i"amente, es la más per%e"ta, pues n es más $ue la misma nta en un re&istr más a&ud (8). La $uinta, en "am!i, es 0la más a&rada!le de tdas las "nsnan"ias la más dul"e a ls íds1, pr l $ue su imprtan"ia es radi"al la en"ntrams mar n3mer de #e"es en tdas las "mpsi"ines. La e'pli"a"in "artesiana, en este "as, es pre#isi!le+ la rela"in matemáti"a es la más primiti#a. De e", en el 3ltim "apítul del Compendio de !úsica, Des"artes a%irmará de la $uinta $ue 0es la más &rata a ls íds tda la "antinela pare"e $ue a sid "mpuesta slamente para ella1. La "uarta es 0la más imprdu"ti#a de tdas las "nsnan"ias1 se emplea 0pr a""idente1. De"ir est en nuestrs días sería pner en ries& el $ue a un l llamasen "nser#adr radi"al. A"tualmente $uintas "uartas pueden utilizarse indistintamente, sin pr ell a"reditarse de mala !uena a una "mpsi"in. N !stante, de!e tenerse en "uenta la /p"a de Des"artes su mentalidad matemáti"a, la e'pli"a"in es $ue la "uarta 0está tan pr'ima a la $uinta $ue, %rente a la sua#idad de /sta, pierde tda su &ra"ia1. En "ual$uier "as, su ase#era"in n de*a de ser interesante. :ulminará su
aprta"in s!re el tema en el apartad titulad 0del ditn, de la ter"era menr de las se'tas1 "uand a%irme de la "uarta ser 0el mnstru de la "ta#a una "ta#a de%e"tusa1. En "uant al ditn, 0es más per%e"t $ue la "uarta1 de /l na"e la ter"era menr del md $ue na"e la "uarta de la $uinta (es de"ir, de %rma indire"ta). A su #ez, la ter"era 0es más imper%e"ta $ue la "uarta, "m el ditn es más imper%e"t $ue la $uinta1. -r su parte, las se'tas si&uen las si&uientes re&las. La se'ta mar, de un md distint a la ter"era menr, 0pr"ede del ditn1, la se'ta menr 0de la ter"era menr1. eniend en "uenta $ue la ter"era menr na"e del ditn, la se'ta menr tam!i/n pr"ederá de /l de %rma indire"ta (a""idental).
-r l $ue, en "n"lusin de ests 3ltims temas ar&ue Des"artes $ue 0el ditn la se'ta mar sn más a&rada!les más ale&res $ue la ter"era la se'ta menr1, 0a $ue ems pr!ad $ue la ter"era menr pr"ede del ditn pr a""idente en "am!i, la se'ta mar pr naturaleza, pr$ue n es sin un ditn "mpuest1. En "uant a ls &rads tns musi"ales, se ne"esitan pr ds raznes+ en primer lu&ar 0pr$ue "n su auda se a"e el pas de una "nsnan"ia a tra1 , en se&und lu&ar, 0para $ue se di#ida en al&uns determinads inter#als td el espa"i $ue el snid re"rre, de tal manera $ue el "ant siempre penetre "n más "mdidad a tra#/s de a$u/lls ls &rads $ue pr las "nsnan"ias1. Di" de tr md, ls &rads musi"ales %a"ilitan la utiliza"in de las distintas "nsnan"ias. En el si&uiente "apítul, Des"artes, se "entra en 0la manera de "mpner ls mds1. De!id a su !re#edad e imprtan"ia, reprdu"ir/ de %rma te'tual las tres !ser#a"ines $ue realiza al prin"ipi de este "apítul, "n el %in de tenerlas en "uenta en el desarrll psterir del mism.
Podemos componer !úsica sin rave error o solecismo si observamos estos tres principios4 7. 5ue todos los sonidos 2ue se emitan a la vez disten entre s" aluna consonancia, excepto la cuarta, 2ue no debe ser o"da la m.s ba1a, es decir, enfrentada a la voz ba1o <. 5ue la misma voz no se mueva sucesivamente, sino por rados o consonancias 6. Por último, 2ue, ni si2uiera en relación, admitamos el tritono o la falsa 2uinta A est a;ade seis !ser#a"ines $ue pdems resumir del si&uiente md (#/anse las ntas a pie de pá&ina @"rrespndientes a ls n3mers@ "uand "rrespnda)+ (a) de!ems "menzar pr las "nsnan"ias más per%e"tas (!) n se an de intrdu"ir ds "ta#as ds $uintas una inmediatamente despu/s de la tra, pues sn tan per%e"tas $ue la plenitud de su satis%a""in de!e ser repartida (P). En "am!i, tras "nsnan"ias más imper%e"tas si pueden ser mantenidas, pues ns arán esperar "n dese la reslu"in en una "nsnan"ia más per%e"ta , "uand esta lle&ue, la re"i!irems "n a&rad (") $ue se a#an"e, en la medida de l psi!le, pr m#imients "ntraris (9) para "nse&uir una #ariedad mar (d) siempre diri&irns a la "nsnan"ia más "er"ana, en "as de ir de una "nsnan"ia mens per%e"ta a una más per%e"ta (e) $ue al %inal ls íds se sientan satis%e"s 0 "nsideren $ue la "an"in es per%e"ta1, est se "nsi&ue mediante las "aden"ias (=) (%) %inalmente, $ue la "mpsi"in est/ "ntenida 0dentr de "ierts límites, a ls $ue llaman mds1. Antes de pasar a ls mds, "n "ua reslu"in a"ae"e el %in del "mpendi, es pre"is desta"ar en este mism "apítul la distin"in $ue a"e Des"artes s!re las distintas #"es de la armnía+ la del ba1o, el tenor , el contratenor la #z superir ($ue nrmalmente es llamada spran, s!re td si /sta es nta!lemente a&uda) (7Q). El ba1o, la más &ra#e de tdas las #"es, 0es la prin"ipal1 #z (77) el tenor , pr ser la más pr'ima al !a*, 0"ntiene el su*et de tda la mdula"in es "m el ner#i1 el contratenor , pr su parte, 0se pne a la tenr1 es imprtante de!id a 0su #ariedad1, puest $ue suele a#anzar pr m#imients "ntraris (7<) pr salts (76) pr 3ltim, la #z superior , $ue nrmalmente se denmina spran $ue a$uí es llamada superir de!id a $ue el re&istr a&ud $ue le pertene"e n es mu "m3n en la #z mas"ulina, 0se pne a la !a*, asta tal punt $ue, "n %re"uen"ia, se diri&en una
a"ia la tra "n m#imients "ntraris1 (7). Ksta, al ser la más a&uda, e'pli"a Des"artes de %rma a"eptada, "n arre&l a la armnía de su /p"a, de!e a#anzar pr &rads, pr$ue &randes salts resultarían desa&rada!les a ls íds. Además, #uel#e a a"ertar Des"artes, la #z superir suele ser la $ue lle#a un ritm más #elz , pr el "ntrari, el !a* lle#a un m#imient más lent. La razn es simple, e'pli"a Des"artes, 0un snid más rela*ads &lpea el íd "n mar lentitud /ste n pdría sprtar un "am!i tan rápid pr$ue n se le daría reps para ír "ada tn distintamente1. Ls mds, de ls $ue a!la en el 3ltim "apítul del :mpendi de M3si"a, na"en, se&3n Des"artes, 0pr$ue la "ta#a n está di#idida en &rads i&uales1. Est $uiere de"ir $ue en una es"ala en"ntrams tns semitns. L&i"amente, a d"e mds+ puest $ue a siete ntas, "a!ría esperar $ue a "atr"e (pues "ada un de ests siete mds prin"ipales 0puede a su #ez ser di#idid pr la $uinta en ds mds1), per sl a d"e puest $ue ds de ells sn ls "ausantes de una 0%alsa $uinta1 (7H). A su #ez, de ests d"e "uatr sn ls 0mens ele&antes1, puest $ue sus $uintas distan sl tres tns (78). De tal manera, uns mds "ausan en las persnas una rea""in tra. A$uí se #e el %a"tr empíri" del $ue antes a!lá!ams, "uand de"íams $ue el &ust es su!*eti# en Des"artes, pues a%irma 0ls prá"ti"s sa!en mu" de /sts (de ls mds), per instruids 3ni"amente pr la e'perien"ia1. R de este md %inaliza Des"artes+ 0"iertamente, de!ería tratar a "ntinua"in pr separad "ada m#imient del alma $ue la M3si"a puede e'"itar, de!ería mstrar pr $u/ &rads, "nsnan"ias, tiemps tras "sas seme*antes de!en ser e'"itads tales m#imients per est e'"edería ls límites de un "mpendi1. R así %inaliza. 0erminad en Breda de ls !ra#atins, la #íspera de las "alendas de *uni del a; 78791.
CONCLUSIÓN Las pes$uisas realizadas pr Des"artes en este intens re"rrid armni"@matemáti", sn interesantes s!re td desde un punt de #ista de istri"@est/ti". Si, "iertamente, &uarda al&una rela"in la di#isin matemáti"a del snid "n ls sentimients umans, n es pr tant al& simplemente "ultural apreendid, entn"es pdría a!larse de unas re&las "mpsiti#as a las "uales de!iera su*etarse td !uen "mpsitr, a %in de &arantizar el deleite de ls sentids. Esta idea pare"e
inssteni!le. La m3si"a a"tual, eredera desde %inales del si&l I de la llamada Se&unda Es"uela de iena, anti"ip una m3si"a e'u!erante en disnan"ias %uera de tda tnalidad $ue, n !stante a pesar de las e'tra#a&an"ias sur&idas de ella en "asines, puede a&radar. El prin"ipal representante de la "itada es"uela, S"en!er&, %ue el "readr de l $ue %ue denminad atonalismo dodecafon"a. -asad l "ual, trs "mpsitres "m el a3n #i# St"2ausen, radi"alizarn la elimina"in de lees en trn al arte musi"al, dnde td tip de e'"/ntri"s ruids ritms "n%rman su !ra. En tds ests "ass, se ns a demstrad $ue el arte es su!*eti# de ser "read del md $ue se $uiera, sin apenas limita"ines. Aun$ue est parez"a di&n de apte&ma, ls "ríti"s estudiss del mment de%ienden a di"s "mpsitres, li!res de tda tradi"in esteti"ista, an"lads en un nue# pre"t $ue prmete ser di&n de "ierta li!ertad umana. -r tra parte, es "iert $ue la m3si"a de St"2ausen trs "mpsitres del si&l #einte se aseme*a tant a l $ue entendems pr ruid, $ue, para ls n a"stum!rads, puede resultar ine%a!le, ine'pli"a!le e in"lus insprta!le. En este sentid, las "n"lusines "artesianas pdrían ser tmadas "m apte&ma de su apl&ía. En su de%ensa $uizás pdríams a%irmar $ue e'isten snids $ue, pr ser demasiad %uertes (pn&ams pr "as el snid de una !m!a) pdrían a"a!ar "n nuestra "apa"idad auditi#a. Es impli"a $ue a "iertas limita"ines, la idea "nsi&uiente de $ue n pdríams in"luir "ual$uier "sa en una dis"iplina $ue se #ana&lria del deleite de ls sentids. am!i/n en de%ensa de ells pdríams ar&ir $ue una "ierta medida (el ritm), es mu" más a&rada!le "uant más *ue&a "n nstrs nuestras "apa"idades, es de"ir, $ue tal m3si"a es !uena en tant $ue n se ns presenta "n demasiada %a"ilidad, pr ell ns tienta (tienta, al mens, a nuestra inteli&en"ia) a !us"arle el sentid, , pr tra parte, en tant $ue n es mu di%i"ultsa, al mens n de un md tal $ue n pdams ni si$uiera entenderla. e a$uí, pr tant, l $ue me pare"e el a"iert "artesian+ nuestrs sentids n sn per%e"ts, "m tamp" sn per%e"tas sus "apa"idades (mu"s animales ns demuestran $ue en me*r $ue nstrs #en "n mar "laridad), pr ell, a de "rearse una rela"in armni"a de a"uerd a nuestrs sentids, "m re&la mínima. (El símil a n a"erl sería es"ri!ir un li!r llen de pala!ras sin re%eren"ia, en un rden aleatri "n tinta in#isi!le.). Sin em!ar&, me tem $ue la limita"in es $uizá, aun$ue imprtante, demasiad JmínimaJ. A partir de la ne"esidad antrpl&i"a pueden sur&ir in%initas #ías musi"ales. das ellas "n#ierten a la tería "artesiana, en esen"ia, en una d"trina %alsa. El redu"ir
la m3si"a a pera"ines matemáti"as, "m n iz sl /l sin tam!i/n trs pensadres "m DFAlam!ert Euler, puede ser #ist "m al& "ntrapuest a la %rma del arte. :re $ue puede dar sus %ruts, per $ue n de!e pretender una rela"in e'"luente "n el arte. Las artes, re%ul&en de #alr &ra"ias pre"isamente a su "ntenid emti#, relati# a ls sentimients, pueden n apr#e"ars de las matemáti"as, en sí mismas demasiad ra"inales rdenadas "m para "aptar td l ne"esari. -er n de!ems e$ui#"arns. das ellas sn ideas de #aris si&ls $ue "n%rman nuestra tradi"in intele"tual. Est/n n en l "iert, su "n"imient es ne"esari para e#aluar el e" artísti" en pr%undidad. :re sin"eramente en la impsi!ilidad de "n"er nuestra m3si"a sin "n"er tratads "m /ste. Es "iert $ue la m3si"a pud se&uir "amins in%inits. N !stante, durante mu" tiemp eli&i este. amp" ell "nstitue un %all, sin una simple ele""in. R de!ems re"n"er $ue esta ele""in n de*a de tener sentid. La prpr"in, al %in al "a!, representa mu" más $ue una simple idea entre tras. :nstitue $uizás, desde nuestra perspe"ti#a, td un mund sim!li" $ue puede "n"itar en nstrs ls más alts #alres+ a"as ls #alres umanísti"s del 4ena"imient el amr pr la i&ualdad, la !3s$ueda de un arte $ue n %uera slamente em"inal, sin $ue tu#iera su sede en la razn umana en el inter/s pr desentra;ar el sentid del mund. La m3si"a entn"es $uis ser matemáti"a, más $ue pr una simple ele""in entre tras, pr$ue se #eía en ella una ele""in di&na, $ue nstrs pdems respetar, "mprender dis%rutar. -r su parte, Des"artes am la m3si"a, %ue su pasin a"ia ella, de la $ue n tm sl parte teri"a sin tam!i/n prá"ti"a (7P), l $ue le insti& a es"ri!ir el Compendio de !úsica. En "ual$uier "as, para ls $ue ns resi&nams a la matematiza"in, ns pare"erá me*r a"er "as a S"penauer, $ue, "rri&iend a Lei!niz en su ada&i s!re la m3si"a, exercitium arit0meticae occultum nescientis se numerare animi (es de"ir, la m3si"a es un e*er"i"i de la aritm/ti"a in"ns"iente, en la $ue el espíritu n sa!e $ue "uenta) pr%iri+ !usica est exercitium metap0ysices occultum nescientis se p0ilosop0ari animi est es, la m3si"a es un e*er"i"i de la meta%ísi"a in"ns"iente, el $ue se entre&a a ella n sa!e $ue %ils%a (79).
NOTAS A PIE DE P-.INA
(7) Se&3n la tería de leper, re"uperada de ls pita&ri"s, ls planetas prdu"ían "n su m#imient uns snids $ue, aun$ue imper"epti!les pr ls seres umans de!id a nuestra a!itua"in a ells, tds *unts %rma!an una armnía, es l $ue se denmin la armnía de las es%eras. (<) El N3mer >ure, tam!i/n "n"id "m prpr"in áurea di#ina prpr"in, representad pr la letra &rie&a T (%i, en nr al es"ultr &rie& idias), es un n3mer irra"inal (7,879...) $ue %ue des"u!iert en la anti&edad $ue n se re%ería a una 0unidad1, sin a una 0prpr"in1 $ue se en"uentra en distintas %i&uras &em/tri"as. El prpi -latn "nsider di" n3mer "m la me*r rela"in matemáti"a la lla#e a la %ísi"a del "sms. De al&3n md, la prpr"in áurea se "n#ertiría en un sím!l de !elleza e$uili!ri. Lenard da in"i, pr e*empl, en la Gi"nda utiliza re"tán&uls áures implí"its en el rstr de Elisa. En el al"an"e de la prpr"in áurea las matemáti"as sn, "m es l&i", impres"indi!les. En "uant al a m3si"a, la prpr"in se !us"a en la armnía. Ls pita&ri"s sn el más "lar e*empl de ell, en su a%án de identi%i"ar la armnía del uni#ers de la m3si"a "n la armnía del alma umana (de aí la puri%i"a"in de la m3si"a, $ue a"e la #ez de mediadra entre el uni#ers, ls dises la m3si"a). (6) :arta a Mersenne del de marz de 786Q () :arta a Mersenne del de marz de 786Q. Compendio de música, introducción de 6abilondo, %. (H) Misma edi"in de Ga!ilnd. (8) Est, $ue Des"artes da pr e", es de!id a las #i!ra"ines+ las #i!ra"ines de la nta DO a&ud, sn *ust el d!le $ue las de DO &ra#e. Así, pr e*empl, la "ta#a de DO &ra#e es DO a&ud, la de 4E &ra#e es 4E a&ud, así su"esi#amente. (P) En la m3si"a de la Edad Media, se a!us s!re td de las $uintas, en la /p"a del Barr" el :lasi"ism, de!id a $ue se intent inn#ar, se pr"ura!a n usarlas de %rma se&uida. L&i"amente, #ems "m Des"artes está in%luid pr la tería armni"a del mment. (9) Esta era tra de las re&las de la armnía "lási"a. De e", "ual$uier estudiante de primer de armnía en el "nser#atri estudiará est "m re&la. Aun$ue a$uí
Des"artes n l indi"a, "m !ien sa!ems, el m#imient de "ntraris suele dar más independen"ia a las distintas #"es. (=) A$uí #ems la in%luen"ia de arlin, a $uien "ita se&uidamente ala!and su enumera"in de las "aden"ias, 0en las $ue e'pli"a, di"e Des"artes, $u/ "nsnan"ias pueden pnerse despu/s de "ual$uiera tra en tda la "antinela1. (7Q) La armnía tradi"inal se suele estudiar en trn a estas "uatr #"es. De este md, un estudiante de "nser#atri a"tual $ue "mien"e sus estudis de armnía, aprendería a enlazar estas "uatr #"es. (77) Ntese $ue esta distin"in n la a"e Des"artes, sin $ue es puramente l&i" $ue l sea, pues es la $ue me*r se per"i!e, *unt "n la superir , además, es, en el si&l die"isiete, la #z a tra#/s de la "ual se enlazan las demás #"es. Además, "m !ien indi"a Des"artes a "ntinua"in, el !a* suele ir pr salts ( sea, n pr rados con1untos Cntas se&uidas@ "m d@re, re@mi, mi@%a sin pr ntas n se&uidas, a salts, "m d@%a d@sl) (7<) ?n m#imient "ntrari es a$uel $ue #a en "ntra de la #z del !a*. -r e*empl, si la #z del !a* pasa de DO a SOL (de %rma as"endente), el "ntratenr de!ería "am!iar de %rma des"endente (pr e*empl, de MI a LA (%rma des"endente). De %rma $ue una #z a!rá id de %rma as"endente tra de %rma des"endente. Est, "m es l&i", dta de #ariedad ri$ueza a la m3si"a. (76) /ase nta 77. (7) Ntese $ue la #z del !a* se es"ri!e en el penta&rama in%erir, mientras $ue la spran se es"ri!e en la #z superir, pr l $ue sn las ds #"es más ale*adas las $ue más se es"u"an. (7H) La %alsa $uinta es una $uinta imper%e"ta, "ua prpr"in matemáti"a n es e'a"ta. (78) Est se "n"e "m tritono. (7P) Se&3n Ga!ilnd, 0resulta #ersímil "reer $ue Des"artes dispne de un la3d de una %lauta, l $ue le permite utilizarls para medir "iertas prpiedades li&adas, pr un lad, a la resnan"ia , pr tr, a las redupli"a"ines de inter#als en la "ta#a1
(79) S:O-ENA?E4, A. $ie 7elt als 7ille und 8orstellun (el mund "m #luntad representa"in)
Es"rit pr Daniel Martín Sáez Desde Espa;a e"a de pu!li"a"in+ A!ril del