SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS............................................................................................4 LISTA DE TABELAS............................................................................................5 RESUMO.............................................................................................................6 1.0 OBJETIVOS...................................................................................................7 2.0 INTRODUÇÃO...............................................................................................8 3.0 METODO EXPERIMENTAL........................................................................13 3.1 Materiais............................................................................................13 3.2 Métodos............................................................................................13 4.0 RESULTADOS E DISCUSSÃO...................................................................14 5.0 CONCLUSÃO..............................................................................................17 6.0 REFERÊNCIAS...........................................................................................18
LISTA DE FIGURAS Figura 1...............................................................................................................9 Figura 2..............................................................................................................11
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LISTA DE TABELAS Tabela 1: Valores para alcances obtidos pelas esferas 1 e 2...........................14 Tabela 2: Valores de velocidade para cada esfera...........................................14 Tabela 3: Valores de energia cinética obtidos para cada esfera.......................15 Tabela 4: Valores obtidos na conservação do momento linear antes e após a colisão................................................................................................................15
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RESUMO Com o objetivo da representação vetorial do momento de dois corpos e análise de colisões elásticas em duas dimensões tenta-se verificar a conservação da energia cinética e do momento linear de ambos os corpos que colidem. Na segunda prática em laboratório de Física calculamos um exemplo de colisão entre partículas, utilizando duas pequenas bolas para o tal. Uma bola desceria por uma rampa, antes de se chocar à outra ao final da descida. A rampa é posicionada à uma certa altura à mesa, sendo que após o choque, as duas caem em cima de um papel milimetrado, onde será medida a distância da queda em relação à origem. A partir disso, é realizado o cálculo da velocidade em que as bolas se moveram, desde a descida da rampa, até o choque com o plano, lembrando-se dos erros de precisão. Para se marcar o ponto em que as bolas se chocam no plano, é utilizado papel carbono por cima do papel milimetrado. Além disso, o lançamento é realizado 10 vezes, para se obter o resultado mais exato possível. Depois de realizados os experimentos em laboratório, calculamos o momento linear e a energia cinética das duas esferas, para saber se houve conservação dos dois. E como foi mostrado, realmente houve a conservação de ambos, porém a energia cinética teoricamente não se conservaria. Como o erro não teve muita precisão por outros fatores que não foram analisados, tivemos a conservação dentro da margem de erro.
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OBJETIVO Representar vetorialmente o momento linear de dois corpos e comprovar a conservação do momento linear e da energia cinética total de um sistema em que há colisão elástica bidimensional entre duas partículas.
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INTRODUÇÃO Na linguagem do dia a dia, uma colisão ocorre quando objetos sofrem um impacto contra o outro. Em nossa experiência diária as coisas que colidem podem ser bolas de bilhar, um martelo e um prego, uma bola de beisebol e um bastão e até mesmo automóveis. Pode-se dizer que uma pedra largada ou atirada a terra colide com ela. Quando existe uma colisão dois corpos exercem forças de grande intensidade um sobre o outro, por um intervalo de tempo relativamente curto. Tais forças são internas ao sistema de dois corpos e são significativamente maiores do que qualquer força externa durante a colisão. As leis de conservação de energia e do momento linear, aplicadas imediatamente antes e depois de uma colisão, permitem-nos predizer o resultado da colisão e entender as interações entre corpos em colisão. Normalmente se discutem choques mecânicos entre esferas que colidem frontalmente, ou seja, a direção de suas velocidades é a mesma antes e após a colisão. É o denominado choque (ou colisão) unidimensional, uma vez que os centros de massa permanecem sempre sobre a mesma reta. Para entender, por exemplo, casos de espalhamento de partículas leves que se chocam com partículas pesadas, coisa comum no mundo atômico, devemos estender nossa análise para mais de uma dimensão. As colisões em duas dimensões são governadas pela conservação do vetor momento linear, uma condição que leva as duas equações para componentes. Estas determinarão o movimento final, se a colisão for perfeitamente inelástica. De outra forma, as leis de conservação do movimento linear e da energia geralmente levam a equações que não podem ser resolvidas completamente, a menos que outros dados experimentais estejam disponíveis, como a direção final de uma das velocidades. (DA SILVA) Colisão bidimensional também pode ser definida como aquela que ocorre entre partículas num plano, sendo que essas partículas se movimentam em direções diferentes, é possível verificar que a soma vetorial da quantidade imediatamente depois da colisão permaneceu constante. Quando se assiste a um jogo de bilhar, pode-se questionar: Por que quando duas bolas colidem, a bola com maior velocidade pára (ou diminui sua velocidade), e a bola que estava parada ganha velocidade pra alguma direção? A ciência da física pode explicar ocorrências como neste caso de colisão. A resposta é simples: O que ocorre entre as duas bolas, chamamos de transferência de momento linear. Matematicamente, o momento linear é
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definido como a massa de um corpo multiplicado pelo seu vetor velocidade (⃗ ⃗ - Equação 01-i). Tomando como exemplo o jogo de bilhar, assumimos o momento da bola que se movimenta em direção a bola que está em repouso como ⃗⃗⃗⃗⃗, e o momento da bola para como ⃗⃗⃗⃗⃗. Explica-se a transferência do momento:
Figura 1
Como não há transferência de massa, ocorre uma transferência de velocidade que inclui: módulo, direção e sentido. O valor dos ângulos e , que são os ângulos de saída das bolas após a colisão dependem do parâmetro de choque (b), que é a distância que a partícula incidente passaria da outra se não houvesse colisão. Se b = 0, a colisão é unidimensional, ou seja, ocorre frontalmente e os ângulos e não existem. Se b for maior que a soma dos raios das esferas, então não ocorrerá colisão. Estando entre uma das possibilidades ( colisão bidimensional.
), haverá uma
Considerando a colisão como um sistema isolado de duas partículas e tomando como base a 3ª Lei de Newton, sabe-se que a resultante de todas as forças internas do sistema é nula, portanto a conservação do momento linear total desse sistema. Portanto: 7
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ Como a ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
(1)
, temos: ⃗⃗⃗⃗⃗
(2)
(3)
Partindo novamente do conceito de colisão elástica, além da conservação do momento linear, temos a conservação da energia cinética. A conservação da energia cinética é dada matematicamente por: (⃗⃗⃗⃗⃗)
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
(4) Como
(⃗⃗⃗⃗)
(
⃗⃗⃗⃗⃗
)
(
⃗⃗⃗⃗⃗
) (5)
O produto vetorial dos momentos lineares deve ser nulo, ou seja: (6) Observemos a figura que tem o objetivo de simular uma colisão bidimensional usando um trilho inclinado, para efetuar a colisão entre as esferas 1 e 2 (fig. 2). Estudaremos então a projeção no plano da mesa do movimento pelas esferas após a colisão. Ao soltarmos a esfera 1 ela irá rolas pela rampa e colidir com a esfera 2. As duas esferas irão deixar a rampa e movimentaram-se em planos verticais a bancada. Na fig. 1, os pontos o1 e o1 são as projeções dos centro das esferas num plano horizontal, xo é o alcance da esfera 1 quando solta sem a presença da esfera 2, x1 e x1 são os alcances das esferas 1 e 2 respectivamente quando a esfera 1 é solta com a esfera 2, isto é após a colisão.
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Figura 2
O movimento das esferas podem ser estudados decompondo-os em dois movimentos: vertical e horizontal. Após cada esfera abandonar o trilho, desprezando o atrito do ar, no plano horizontal o movimento é uniforme, isto é, com aceleração nula e o movimento na vertical é acelerado, devido a aceleração da gravidade g. Assim sendo, podemos determinar as velocidades simplesmente usando as equações horárias do movimento para o caso em que a aceleração é constante. A força externa que atua no sistema na projeção horizontal do movimento das esferas, é nula tanto antes como após a colisão, desprezando a força de atrito, portanto, podemos considerar que o momento linear horizontal conserva-se durante a colisão. No procedimento desse experimento, é importante que a colisão ocorra somente no plano horizontal, assegurando apenas componentes do momento linear, após a colisão no plano horizontal. Para isso, os centros das esferas 1 e 2 devem estar no mesmo nível. Para que a colisão seja bidimensional a esfera 2 deve estar posicionada não frontalmente à esfera 1. Na prática desempenhada, primeiramente foram definidas as condições iniciais antes da colisão, como: parâmetro de choque, velocidades iniciais das esferas, lembrando que uma das esferas (m2) estava em repouso. O plano de colisão é paralelo a base de lançamento e encontra-se a uma altura H da mesma. Foram encontradas as massas das duas esferas e constatou-se que 9
elas eram muito próximas, podendo considerá-los iguais de acordo com o erro adotado. A projeção da posição da esfera m 2 foi escolhida como origem do sistema coordenada. Mediu-se a velocidade inicial da esfera m1, que estava a uma altura h em a altura H da rampa ao plano de colisão. A esfera m 1 foi lançada sobre a rampa em torno de 10 vezes para colidir com a esfera m 2, com a finalidade de a partir dos pontos marcados no plano, obter os vetores velocidades com o objetivo de confirmara conservação da energia cinética e do momento linear em uma colisão elástica bidimensional.
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3.0 MATERIAIS E MÉTODO 3.1 Materiais Utilizados Para a realização da prática foram necessários os seguintes materiais: rampa de Lançamento Horizontal Moller composto por um tripé e três sapatas niveladoras, uma rampa de lançamento com escala de posicionamento vertical, haste, suporte regulável de apoio da esfera alvo, um prumo removível e mufla abraçante. Duas esferas metálicas m1 e m2 com massas m1=m2=16g, duas folhas de papel carbono e uma folhas de papel milimetrado; fita adesiva, lápis, régua e transferidor; balança OHAUS com precisão de duas casas decimais. 3.2 Procedimento Experimental Inicialmente fez-se a pesagem de duas esferas metálicas para determinar suas massas. Em seguida mediu-se a altura H, distância da rampa à mesa, e a altura h, distância do topo da rampa à base da mesma. Foi presa sobre a mesa uma folha papel milimetrado com fita adesiva, e duas folhas de carbono unidas com fita adesiva, para cobrir toda a folha de papel milimetrado. Foi necessária a fixação dos papéis para que não houvesse deslocamento dos mesmos no momento em que as esferas m a mesa. Nivelou-se então a rampa, de modo que esta ficasse paralela à mesa. Lançou-se, do topo da rampa a esfera de massa m1, sem nenhum obstáculo. Repetiu este procedimento por 10 vezes. Verificou o seu alcance médio D1i, e o seu desvio longitudinal e transversal. Lançou-se, então, a mesma esfera m1 de diferentes pontos ao longo da rampa curva para definir no papel milimetrado a direção da partícula. A segunda esfera de massa m2 foi ajustada para que o parâmetro de choque fosse menor que duas vezes o raio da esfera, ou seja, menor que seu diâmetro. Colocou-se então a esfera m1 na parte superior da rampa, e a esfera m2 perto da saída da rampa. Soltou-se a esfera m1 do alto da rampa de modo que colidisse com a esfera m2, caindo sobre o papel carbono e milimetrado, marcando assim o ponto de impacto com a mesa. Repetiu este procedimento 10 vezes. Verificou o ângulo de incidência das duas partículas. . A partir dos registros obtidos no papel pode-se então determinar os vetores velocidade, momento linear e a energia cinética total do sistema.
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4.0 RESULTADOS E DISCUSSÕES Pesou – se as duas esferas, sendo m1 a massa da esfera 1 e m2 a massa da esfera 2, e obteve – se os seguintes valores: m1 = m2 = 0,016 kg ± 0,001 kg. Mediu se a altura entre a rampa e a mesa, sendo H, obteve- se H=24,1 cm, e a altura total da rampa (h) foi de h = 12,8 cm. Parte 1: Lançou-se a esfera 1 por 10 vezes (E1) na rampa sem nenhum obstáculo, obteve-se o alcance A1 e seu erro. Parte 2: Lançou-se novamente a E1, porém desta vez colidindo com a esfera 2 (E2), e mediu –se os alcances obtidos para cada esfera( A1 e A2) e o erro obtido. Os dados obtidos em componentes foram admitidos com o eixo x = y = 0 passando pela direção da extremidade inferior da rampa. Os valores obtidos encontram-se na tabela 1: Parte 1: Alcance ± erro (cm)
Parte 2: Alcance ± erro (cm)
E1
21,9±0,3 j
14,8±3,5 = -(11,2±0,5) i + 9,7±0,5 j
E2
-
16,3±2,5 = 10,8±0,4 i + 12,2±0,7 j
Tabela 1: Valores para alcances obtidos pelas esferas 1 e 2.
Os erros admitidos para o alcance foram medidos a partir do tamanho da nuvem de pontos, o erro da massa referente à balança foi considerado como 5x10-4 kg. Através das equações 5 e 6 foi possível calcular a velocidade inicial da esfera 1 pois a esfera 2 inicialmente está em repouso, e a partir da equação 7 (que é equivalente as equações 5 e 6) obteve-se as velocidades finais. Para a esfera 1 calculou – se a velocidade inicial analisando – se a parte 1 do experimento, através do tempo que a esfera demorou para atingir o A 1. os valores obtidos encontram-se na tabela 2, admitiu –se g=9,8m/s², e para o cálculo do erro nas velocidades, na energia cinética e no momento linear foram utilizados as equações 1, 2, 3 e 4 : Velocidade inicial (m/s)
Velocidade final (m/s)
E1
9,9 ±0,1 j
6,7±0,3 = -5,1±0,2i + 4,4±0,2j
E2
-
7,4±0,4 = 4,9±0,2i + 5,5±0,3j
Tabela 2: Valores de velocidade para cada esfera.
A energia cinética é dada pela equação 8. Como as velocidades foram obtidas anteriormente, é possível calcular a energia cinética do sistema. Sendo 12
K1 a energia cinética da esfera 1, e K2 a energia cinética da esfera 2. Os valores calculados para a energia cinética inicial e final são encontrados na tabela 3: Energia cinética inicial Ki (J)
Energia cinética final Ef (J)
E1
K1i = 0,79±0,04
K1f = 0,36±0,05
E2
-
K2f = 0,43±0,06
Tabela 3: Valores de energia cinética obtidos para cada esfera.
Como há a conservação de energia no sistema, e as massas das esferas são iguais, então a energia cinética inicial deve ser igual a energia cinética final, e após fazer essa analise percebe – se que foi esse o resultado obtido, então houve a conservação da energia cinética. Ki = Kf (7) K1f + K2f = (0,36±0,05) + (0,43±0,06) = K1i = (0,79 ± 0,11) J (8) A partir dos dados das velocidades e dos valores das massas das esferas (m1 = m2 = 0,016 ± 5x10-4 kg) é possível calcular o momento linear inicial e final e fazer a análise se houve a conservação do momento linear. Na tabela abaixo estão os valores obtidos para o cálculo do momento linear (P).
E1
Início Pi (kg.m/s)
Final Pf (kg.m/s)
0,16 ± 6,5x10-3 j
0,11 ± 8,1x10-3 = -0,08±5,7x10-3 i+0,07±5,4x10-3j 0,12 ± 0,01 = 0,08 ± 5,6x10-3 i + 0,09±7,6x10-3 j
E2
Tabela 4: Valores obtidos na conservação do momento linear antes e após a colisão.
Sendo Pt = Ptotal = Pi + Pf = 0, e para que haja a conservação do momento linear total é necessário que a somatória dos momentos do sistema seja igual a 0, pois desconsiderou-se a ação de forças externas agindo sobre o sistema. Fazendo a análise do momento em x, obtêm-se: P xi = 0 (9) Pxf = -0,08±5,7x10-3 i + 0,08 ± 5,6x10-3 i = 0 (10) então P xi = P xf (11) Analise do momento em y:
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Pyi = 0,16 ± 6,5x10-3 j (12) Pyf = 0,07±5,4x10-3j + 0,09±7,6x10-3 j = 0,16 ± 0,01 j (13) e Pyi = Pyf (14) Então, obtêm-se Pt = 0 Observa-se que os valores obtidos são os esperados, então pode-se afirmar que houve a conservação do momento linear total. Considerando o caso particular de uma colisão elástica entre corpos de mesma massa, isto é: M1=M2=M. Logo, as equações de conservação se resumem a: P1i=P1f + P2f (15) P1i ² = P1f ² + P2f² (16) A combinação destas duas equações (15 e 16) revelam a seguinte condição entre os momentos lineares finais: P1f ● P2f = 0 (17)
ou
= 90° (18)
Logo, as direções de movimento de dois corpos de massas iguais, após uma colisão elástica com uma delas inicialmente em repouso, fazem um ângulo de 90°, independente do valor do parâmetro de impacto. (ESPINOZA) Ao efetuar as medições dos ângulos entre as esferas obtêm-se =50°±2º e = 40°±1º, e sendo = 90°, então pode-se afirmar que houve a conservação do momento linear. Ao ser realizado este experimento foi tomado certos cuidados, quanto a transferência de momento para o parafuso que deve ser o menor possível, deve-se reconhecer que há força de atrito, que foi admitida como desprezível, e certos cuidados que também devem ser tomados quanto as posições das esferas e pontos de colisões, para assim minimizar os erros possíveis de ocorrer e obter uma prática satisfatória.
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6.0 CONCLUSÃO Os resultados foram obtidos com êxito. Comprovou-se de maneira satisfatória a conservação da energia do sistema e do momento linear. Os erros foram minimizados devido aos cuidados dos operadores ao fazer o lançamento da bola 1 sobre a rampa, o ótimo posicionamento do parafuso, a medida correta da altura da esfera em relação a mesa. Por consequência os cálculos do momento linear, da energia cinética do sistema e o cálculo da velocidade da bola 1, foram excelentes. Porém deve-se levar em consideração os erros do papel milimetrado, da régua e da caneta. Pode-se, ainda, perceber que o ângulo formado entre as partículas após a colisão é satisfatório, sendo de 90°, comprovando a conservação do momento linear.
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5.0 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS QUIÑONES, F. R. E. Apostila de Aula prática: Colisão elástica bidimensional. Centro de engenharias e ciências exatas. UNIOESTE. Paraná, 2011. DA SILVA, D. N. Física Mecânica volume 1. Editora Ática. Paraná.
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Anexo 01 Potência : (x±
)n = xn ± n.xn-1. x (1)
Adição: (x± x) + (y±
) = (x+y) ±( x +
(2)
Multiplicação: (x + ∆x) * (y + ∆y) = (x * y) ± (y * ∆x + x * ∆y) (3) Divisão: (x + ∆x)/ (y + ∆y) = (x / y) ± 1(y * ∆x + x * ∆y)/y² (4) H0 = ½ g t² Vo =
(5) (6)
V1f= A1f/√(2H/g) e V2f= A2f/√(2H/g) K=
(7)
(8)
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