Introdução Considerando a energia cinética de um sistema antes e depois de uma colisão. Pode-se dizer que uma colisão inelástica ocorre quando não há conservação da energia cinética antes e depois. Considere uma bola de borracha que, ao ser solta de uma altura (h i), chega ao chão com uma velocidade (v i). Durante o contato com o chão, a bola comprime-se e perde parte de sua energia; em seguida salta com velocidade (v j), atingindo uma certa altura (h j)
Na colisão com o chão, a perda de energia cinética(E c) da bola pode ser obtida pela equação: Ec= ½*m*(vi²-v j²)= ½*m *vi² *(1-r²)
eq.1
Em que m é a massa da bola e r é chamado de coeficiente de restituição da colisão e pode ser obtido pela equação: r = v j / vi
eq.2
Em uma colisão inelástica, como parte da energia é dissipada, temos que r<1. Em cada colisão com o chão, a bola perde parte de sua energia cinética e atinge, sucessivamente, alturas cada vez menores. Para determinar o coeficiente de restituição (r), mede-se as alturas e, considerando que há conservação da energia mecânica nos intervalos ‘antes’ e ‘após’ cada colisão.P colisão.Podem odemos os obter obter as Energia Energias s mecânica mecânicas s antes(Eme antes(Emeca) ca) e depois depois (Emecd) pelas equações: Emeca= ½*m* vi²=m*g*hi Emecd= ½*m* v j²=m*g*h j eq.4
eq.3
Portanto o coeficiente de restituição, com base na eq.2, é dado pela equação: r²= h j / hi
eq.5
Dessa forma, a altura que a bola atinge após colidir com o chão será sempre uma fração fixa da altura inicial de que ela caiu. 1
Parte experimental Objetivo Determinar o coeficiente de restituição (r) na colisão de uma bola de borracha com o chão. (h j) (hi).
Material utilizado Fita métrica fixada em um suporte de madeira
Bola de borracha
Procedimento Solta-se a bola de uma altura inicial (h o) de aproximadamente 2 metros e anota-se a altura que a bola atinge após a primeira colisão(h 1). Repete-se essa operação por cinco vezes e determina-se o valor médio das ‘alturas atingidas’(valores médios de h 1) partindo de um mesmo ponto inicial (h 0). Calcula-se também o desvio de h 1. Em seguida, repetese esse procedimento, soltando a bola de h 1 e determinando h 2. Repetese o procedimento até que se obtenha h 6. .Anota-se os valores observados em uma tabela e constrói-se um gráfico h n versus n, em que n é o número de colisões com o chão sucessivamente. Utilizando a eq.5 como base, temos que: hn = h0 * r²n
eq.6
Lineariza-se o gráfico obtido e, em seguida, com base na eq.6, obtemos uma regressão linear para determinar o coeficiente de restituição ( r ) e seu respectivo erro. Compara-se o valor de h 0 encontrado a partir do gráfico com o valor medido. Utilizando o valor de r, determina-se a fração percentual da energia cinética dissipada em cada colisão da bola com o chão.
Resultado Os valores das alturas de h 1 até h6 encontram-se na tabela 1, abaixo: (considerando que h 0=2m) Altura (h1) 1,11 1,13 1,11 1,11 1,10
Altura (h2) 0,63 0,64 0,62 0,64 0,63
Altura (h3) 0,36 0,37 0,39 0,38 0,37
Altura (h4) 0,24 0,22 0,22 0,20 0,23
Altura (h5) 0,15 0,16 0,15 0,15 0,16
Altura (h6) 0,10 0,09 0,10 0,09 0,09 2
Usando a equação abaixo, para calcular o erro: Erro= (hmaior – hmenor)/ 2*√3
eq.7
Temos que a media das alturas (de h 1 até h6 ) com seus respectivos erros são: h1 h2 h3 h4 h5 h6
= = = = = =
( ( ( ( ( (
1,11 0,63 0,37 0,22 0,14 0,09
± ± ± ± ± ±
8,63*10-3) m 5,77*10-3) m 8,66*10-3) m 11,54*10-3) m 2,88*10-3) m 2,88*10-3) m
Com os valores das alturas acima constrói-se um gráfico h n versus n que encontra-se na página 7. Para se obter o valor de r, com base na eq.7, faremos um gráfico do logaritmo neperiano de h n versus 2n, este por sua vez, encontra-se na página 8. De acordo com o gráfico da página 8, e a sua regressão linear, temos a seguinte equação: ln(h n)=ln(h0)+ln(r)*2*n eq.8 O valor de ln(r) é –0,25886 (oferecido pela regressão linear) e seu respectivo erro é de 0,00618. Logo o valor de r=0,77.
Conclusão O valor do coeficiente de restituição (r) é de 0,77. O valor de sua incerteza será de 0,01
Bibliografia
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Aurélio Campos, A., Salomão Alves, E., & Lúcio Speziali, N. (2008). Física Experimental Básica na Universidade. Belo Horizonte: Editora ufmg.
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