ColeccionProblemasCA3.pdf

Colecci´ on on de Prob Proble lema mas s de Contr Co ntrol ol Auto Au tom´ m´ atic at ico o 3 Ingeni Ing enier er´ ´ıa Indust Ind ustria riall o

´ F. Salas, T. Alamo, F. Cuesta, D. Limón on y C. Vivas

Depto. Depto . Ingenier Inge nier´ ´ıa de Sistemas Sist emas y Automática atica Universidad de Sevilla

1

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. atica. ESI. ESI. US. US.

ii


ii

Parte I

Dise˜ no de controladores en el no dominio frecuencial

1

Control Autom´ a tico, 3

o

3

Ing. Industrial.

Problema I.1 Cuesti´ on 1 Parcial 2000-01

Dada la función de transferencia: G(s) =

10 s(s + 1)2

Se pide:

1. Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia. 2. Dise˜ nar una red mixta de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de 50 grados y un error en r´ egimen permanente frente entrada en rampa sea del 2 por ciento. 3. Dise˜ nar para el mismo sistema un controlador PD que tenga una ganancia tal que el error en régimen permanente frente entrada en rampa sea del 5 por ciento.

Problema I.2 Cuesti´ on 1 Final 2000-01

Para el sistema cuyo diagrama de bode aparece en la figura I.2.a:

1. Obtenga la funci´ on de transferencia G(s) del sistema. Justifique la respuesta. 2. Como puede apreciarse en el diagrama de bode del sistema, si éste fuese controlado con acción proporcional el sistema se har´ıa cr´ıticamente estable para un valor de K = 10. Se pide: (a) Indicar sobre el bode original, el bode del sistema controlado K G(s) para K = 10. (b) Para el sistema del apartado 2a, diseñar una red de avance de fase tal que el sistema resultante tenga un margen de fase de 60 grados. 3. Dise˜ ne un controlador PID para el sistema original utilizando alguno de los m´ etodos de Ziegler-Nichols (ver tabla adjunta). Justifique la respuesta. K p B.A. B.C.

1.2T KL

0.6K cr

T d 2L 0.5P cr

T i 0.5L 0.125P cr

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US.

4

Figura I.2.a:

Problema I.3 Cuesti´ on 1 Sept 2000-01

Dado el sistema con función de transferencia: G(s) =

1 s(s + 2)(s + 3)

Se pide:

1. Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia. 2. Calcular la ganancia de un controlador proporcional que garantice un error en régimen permanente frente a una entrada en rampa inferior al 6%. 3. Dise˜ nar una red mixta tal que el error en r´ egimen permanente frente a entrada en rampa sea inferior al 6% y el margen de fase sea superior a 50 o .


Dado el siguiente diagrama de bloques (Fig. I.4.a):


o

5

Ing. Industrial.

+

K (s)

+

+

−

Figura I.4.a:

• Dibuje

el diagrama de Bode del sistema sin compensar.

ongase • Sup´

que el controlador viene dado por K (s) =

1 + τ s 1 + ατ s

(4.1)

donde τ = 10 y α = 0.1. Calcule el margen de fase del sistema compensado, as´ı como el error en régimen permanente frente entrada rampa. • Suponiendo

que α = 0.1, seleccione el valor de τ de forma que el sistema compensado tenga el mayor margen de fase posible.

ongase • Sup´

ahora que



1 K (s) = K 1 + T i s



(4.2)

Calc´ ulese K y T i de forma que el sistema compensado tenga un margen de fase de 30 grados.


Dado el siguiente diagrama de bloques de un sistema compensado:

+

K ( s ) −

Figura I.5.a:

+

+

+

6


1.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como gu´ıa: usar valores de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separaci´ on del valor central (en grados)

0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

2.- Suponer que K(s) es un controlador PI. Diseñar éste de forma que el margen de ganancia del sistema compensado sea de 20 dB. 3.- Suponer que K(s) es una red mixta. Diseñar ésta de forma que el sistema realimentado tenga un error en régimen permanente frente entrada escal´ on menor o igual del 1% y margen de fase de 30 grados. 4.- Suponer que K(s) es un controlador PID. Dise˜ nar éste de forma que se parezca lo más posible a la red mixta diseñada en el punto anterior. 5.- Indique ventajas e inconvenientes del controlador PID del apartado 3 frente a la red del apartado 4.

Problema I.6 Cuesti´ on 1 Septiembre 2001-02

Dado el diagrama de bode de un sistema G 1 (s) (Fig: ) τ 1.- Se introduce una red de adelanto Ga (s) = K a 1+1+ con αa = 0.2 y con su cero α τ s en 1/τ a = 20. ¿Cómo se debe cambiar la ganancia K a para obtener una frecuencia de corte en ω c = 20rad/s ? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea para obtener su respuesta. a

a

a

Dibujar el sistema compensado en l´ınea discontinua o en otro color utilizando la siguiente tabla como referencia para dibujar la fase. Frecuencia relativa al polo Separaci´ on del valor central (en grados)

0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

2.- Calcular el tiempo de subida aproximado del sistema compensado en 1. Explique su respuesta. 3.- A˜ nadida a la red de adelanto del apartado 1, se emplea otra red de retardo de fase τ Gr (s) = K r 1+1+ para reajustar la ganancia al valor inicial (con G1 (s)) de la α τ s constante de error de velocidad estática K v1 y conseguir igualmente ωc = 20rad/s. ¿Cuáles son los valores requeridos de K r y αr ? Explicar paso a paso el procedimiento que emplea para obtener su respuesta. Dibujar el sistema compensado e indicar en la figura los márgenes de fase y de ganancia. r

r

r


o

) B d ( d u t i n g a M

7

Ing. Industrial.

40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40 -60 -80 -100 -90 -100 -120 -140

) s o d a r g ( e s a F

-160 -180

-220 -240 -260 -270 0

10

1

2

10

10 Frecuencia (rad/s)

Figura I.6.a:

3

10

8




1 s(s + 1)2

Se pide:

1.- Dibujar el bode del sistema y calcular márgenes de fase y ganancia. Frecuencia relativa al polo Separaci´ on del valor central (en grados)

0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

2.- Se desea controlar el proceso de forma que el sistema controlado cumpla EXACTAMENTE TODAS las siguientes especificaciones: •

Error en régimen permanente ante entrada escal´ on = 0

Error en régimen permanente ante entrada en rampa > 0 • Margen de fase = 45 o •

Para ello se pide diseñar (si es posible) los siguientes controladores: (JUSTIFIQUE LA RESPUESTA) (a) Control PD (b) Control PI (c) Red de retardo de fase 3. Dise˜ nar una red de avance de fase para que el sistema controlado cumpla las siguientes especificaciones: •

Error en régimen permanente ante entrada escal´ on = 0

Error en régimen permanente ante entrada en rampa > 0 • Margen de fase ≥ 45 o •

•

ωc ≥ 1rad/s




o

9

Ing. Industrial.

+

K (s) −

1 (10s +1) (s +1)

Figura I.8.a:


0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

2.- Suponer que K(s) es una red de retardo. Dise˜ nar ésta de forma el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 5% y el margen de fase de 35 grados. 3.- Suponer que K(s) es un PID. Diseñar éste de forma que el sistema realimentado tenga un error en r´ egimen permanente frente entrada en rampa sea del 10% y margen de fase de 45 grados.



+

K (s)

1000 (s +1) s

−

11s

+

10s

+

Figura I.9.a:


0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

10


2.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional. ¿Se puede controlar el sistema de manera que el sistema resultante cumpla las especificaciones de error en régimen permanente ante entrada en rampa<10% y margen de fase ≥ 40o ? 3.- Adem´ as, con ob jeto de garantizar la rapidez del sistema se desea que la frecuencia de corte del sistema con 0dB sea superior a 20 rad/s. Diseñar una red de compensación que cumpla las 3 especificaciones.

Problema I.10 Cuesti´ on 1 parcial 2003-04


+

K (s)

+

+

−

Figura I.10.a:


0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

2.- Obtenga un controlador K (s) = K c (1 + T d s) de forma que el sistema compensado tenga ganancia 0 dB en ω c = 5rad/s y margen de fase de 45 grados 3.- Dise˜ ne una red de avance tal que ésta tenga una máxima aportaci´ o n de fase de 50 grados y el margen de fase del sistema compensado sea de 45 grados. 4.- Obtenga una red de retardo de forma que el error en r´ egimen permanente frente entrada en rampa sea del 20 por ciento y el margen de fase de 45 grados


o

11

Ing. Industrial.



K (s + 50) s(2s + 1)(s + 1) 2

Se pide:


0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

2.- ¿Para qué valor aproximado de K > 0 se hace el sistema en bucle cerrado cr´ıticamente estable? Sintonice los parámetros de un PID por las reglas de Ziegler-Nichols en bucle cerrado: K p = 0.6K cr , T i = 0.5P cr y T d = 0.125P cr . 3.- ¿Es necesario controlar G(s) con un PID para conseguir que el sistema en bucle cerrado tenga error nulo en régimen p ermanente ante entrada en escalón? Justifique su respuesta 4.- ¿Se podr´ıa controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0? Justifique con el diagrama de Bode si su respuesta es negativa, o diseñe un PD si su respuesta es positiva. 5.- Dise˜ ne una red de retardo de fase con K = 1 para que el margen de fase sea mayor que 20o .




0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

12


+

−

K (s)

10 (10s + 1)(0.1s + 1)

Figura I.12.a:

2.- Suponer que K (s) es una red de red de avance. Diseñar, si es p osible, ésta de forma que el error en régimen permanente frente entrada escal´ on sea del 1% y el margen o de fase de 50 . Justifique su respuesta. 3.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional derivativo. Dise˜ nar, si es posible, éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 1% y el margen de fase de 45 o . Justifique su respuesta. 4.- Suponer que K(s) es un controlador proporcional integral. Dise˜ nar, si es posible, éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea inferior al 1% y el margen de ganancia de 30 dB. Justifique su respuesta.


Se desea controlar un sistema dinámico con un esquema de realimentación unitaria que se muestra en el siguiente diagrama de bloques en el cual, K(s) representa el controlador. Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante un escalón unitario con una sobreoscilación inferior al 20% y que alcance el valor 1 en régimen permanente. Se desea además que el error en r´ egimen permanente cuando la entrada es una rampa sea inferior a 0.1.

Figura I.13.a:


o

13

Ing. Industrial.

1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia as´ı como la ganancia m´ınima que debe tener el controlador. 2.- Dibuje el diagrama de Bode del sistema sin compensar. (Como gu´ıa: usar valores de 0o y -90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas y la siguiente tabla para las intermedias) Frecuencia relativa al polo Separaci´ on del valor central (en grados)

0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

3.- Dise˜ nar (si es posible) una red de avance que controle el sistema. 4.- Dise˜ ne (si es posible) una red de retardo que controle el sistema. 5.- Dise˜ ne (si es posible) una red mixta que controle el sistema. 6.- Trace (de forma aproximada) y compare las respuestas ante escal´ on unitario del sistema controlado con una red de retardo y una mixta, indicando salida en régimen permanente, sobreoscilación y tiempo de subida.

Figura I.13.b:

Problema I.14 Cuesti´ on 1 final 2004-05

Se desea controlar la temperatura de salida de una caldera de vapor actuando sobre la válvula de regulación de combustible. Para que la caldera funcione aceptablemente se debe cumplir que para una temperatura deseada de 200 o C, la temperatura no supere 230 o C y en r´ egimen permanente la temperatura sea superior a 198 o C. Para ello se modela dicho sistema obteniéndose la siguiente función de transferencia.

G(s) =

1 (100s + 1)(10s + 1) 3

1.- Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia as´ı como la ganancia m´ınima que debe tener el controlador.

14



0.01 45

0.1 40

0.3 30

0 0

3 -25

10 -40

100 -45

3.- Dise˜ nar (si es posible) una red de avance que controle el sistema. 4.- Dise˜ ne (si es posible) una red de retardo que controle el sistema. 5.- Dise˜ ne (si es posible) una red mixta que controle el sistema. 6.- Finalmente se decide implementar la red mixta diseñada en el apartado anterior y al probarla sobre el sistema se observa que el comportamiento de la caldera es aceptable, aunque se desea que fuese más rápido, es decir, con un menor tiempo de subida. Justifique razonadamente c´ omo ajustar el controlador para este fin.


Se desea controlar un sistema del cual se conoce su diagrama de Bode, que se muestra en la figura I.15.a. El sistema en bucle cerrado debe cumplir que el error en posición sea nulo, en velocidad inferior a 0.01 y la sobreoscilaci´ on inferior al 20% (Margen de Fase superior a 45o ).Se pide:

1.- Calcular (si es posible) una red de avance que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones. 2.- Calcular (si es posible) una red de retardo que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones. 3.- Calcular (si es posible) una red de mixta que controle el sistema cumpliendo todas las especificaciones. 4.- Estime los tiempos de subida de cada uno de los controladores anteriormente diseñados. 5.- Dise˜ ne un controlador PID mediante el método de Ziegler-Nichols en bucle cerrado (Kc=0.6 Kcrit, Ti=0.5 Pcrit, Td=0.125 Pcrit ), siendo Kcrit la ganancia cr´ıtica y Pcrit el periodo cr´ıtico.


o

Ing. Industrial.

Figura I.15.a:

15

16



Se desea controlar un sistema dinámico con un esquema de realimentación unitaria, como se representa en la figura, donde K (s) representa el controlador. Se desea que el sistema en bucle cerrado tenga una respuesta ante escalón con una sobreoscilaci´ on inferior al 5%, un tiempo de subida inferior a 1s, y un error de seguimiento ante entrada en rampa inferior al 10%.

+ -

s+0.1τ s(s+1)2 (s+10τ )

K (s)

Figura I.16.a:

1. Determinar las especificaciones del sistema compensado en el dominio de la frecuencia, as´ı como la ganancia m´ınima que debe tener el controlador. (Puede aproximar el tiempo de subida por la expresión t s ≈ 2πω ) c

Para τ = 1, Dibujar el diagrama de Bode del sistema sin compensar (con la ganancia m´ınima calculada en el apartado anterior), y calcule los m´ argenes de fase y ganancia del sistema. Como gu´ıa: usar valores de 0o y −90o para el valor de la fase de un polo en las frecuencias extremas, y la siguiente tabla para las intermedias (Tome valores sim´ etricos para un cero). Frecuencia relativa al polo Separaci´ on del valor central (en grados)

0.01 45

0.1 40

0.3 30

1 0

3 -30

10 -40

100 -45

2. Para τ = 1, ¿Podr´ıa diseñar una red de avance que compensase el sistema?, ¿y un PD?, ¿quizás un PI?. Razone las respuestas. 3. Para τ = 1, dise˜ ne (si es posible), una red de retardo que controle el sistema. Si no pudiese diseñar una red de retardo para cumplir todas las especificaciones, relaje la restricción de sobreoscilaci´ on, y estime la sobreoscilación resultante para el sistema controlado. 4. Para τ = 1, dise˜ ne (si es posible), una red mixta que controle el sistema. 5. Suponga ahora que τ puede tomar valores entre 0.1 y 1. Redise˜ n e la red mixta del apartado anterior para que el controlador verifique las restricciones para todo el rango de valores de τ . 1 Nota: Observe que el sistema original, puede descomponerse como s(s+1) 2 en cascada con una red de avance que depende de τ .


17

Ing. Industrial.

o

Problema I.17 Cuesti´ on 3 final 2005-06

En una planta de producci´ on de biocombustible se ha diseñado un control proporcional para controlar la concentraci´ on del producto de un reactor mediante la manipulació n de la válvula de refrigerante. El sistema controlado no tiene un comportamiento adecuado y se ha decidido su mejora. Para ello, se ha procedido a la obtenci´ on de un diagrama de Bode experimental del sistema a controlar, obteni´ endose la siguiente gráfica: Bode Diagram 60 40 20 0 ) B −20 d ( d u −40 t i n g a −60 M

−80 −100 −120 −140 0 −45 −90

) s o d −135 a r g ( e −180 s a f s −225 e D

−270 −315 −360 −3

10

−2

10

−1

10

0

10

1

10

2

10

Frequency (rad/sec)

Figura I.17.a:

Las condiciones deseables del sistema en bucle cerrado son un error en r´ egimen permanente frente a entrada en escalón inferior al 1% y una sobreoscilación inferior al 20%. Responda y justifique las siguientes cuestiones:

1. El controlador P se hab´ıa dise˜ nado tomando K c = 1. ¿Cumple el sistema realimentado las especificaciones impuestas? Para ello calcule el error que tendr´ıa el sistema realimentado en régimen permanente, la sobreoscilaci´ on y el tiempo de subida ante

18


una entrada en escalón. 2. Calcule las especificaciones en el dominio de la frecuencia. 3. Dise˜ ne (si es posible) una red de avance de fase que controle el sistema. 4. Dise˜ ne (si es posible) una red de retardo de fase que controle el sistema 5. Dise˜ ne (si es posible) una red de mixta de fase que controle el sistema. En este caso, procure que el sistema realimentado sea lo más rápido posible.

Problema I.18 Cuesti´ on 2 septiembre 2005-06

En el denominado Control sin hilos de los aviones, el movimiento de los alerones se lleva a cabo por un sistema de posicionamiento hidráulico, uno de los cuales se muestra en la siguiente figura

u(t)

Figura I.18.a: en la cual se observa cómo un motor el´ ectrico impulsa una bomba que a su vez suministra la presión de alimentaci´ on de un pistón al cual se haya conectado el alerón. De esta forma, variando la tensión de alimentación del motor, por mediació n de la se˜ nal u(t) de entrada del amplificador de potencia, se puede variar la posición del aleró n. El modelo dinámico de éste sistema es 0.1 G(s) = s(s + 3)(s + 1)2 siendo la entrada u(t) en voltios y la salida θ(t) grados. Se desea controlar el posicionamiento del alerón con un error en velocidad en r´ egimen permanente que no supere 0.1 grados. Para ello se pide:

1.- Trazar el diagrama de Bode del sistema sin compensar.


o

Ing. Industrial.

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2.- Calcular una red de retardo de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un 20% de sobreoscilaci´ on y posea un margen de ganancia superior a 20 dB. 3.- Dise˜ nar un PID por las reglas de Ziegler Nichols en bucle cerrado. (K = 0.5K cr , T i = 0.5P cr , T d = 0.125P cr ). 4.- Dise˜ nar una Red Mixta de forma que el sistema en bucle cerrado no supere un 20% de sobreoscilación y el ancho de banda del sistema en bucle abierto sea superior a 1 rad/s.


20

Parte II

Dise˜ no de controladores usando el lugar de las ra´ıces

21


o

Ing. Industrial.

23

Problema II.1 Cuesti´ on 2 Parcial 2000-01


1 (s + 2)(s + 3)(s + 4)

Se pide:

1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las ra´ıces cuando el control es proporcional con ganancia K negativa. 2.- Si al controlador del apartado anterior con K negativa se a˜ nade un polo en s = −1 , ¿cuál ser´ıa el valor de K para obtener un sistema en bucle cerrado con coeficiente de amortiguamiento δ = 0.6? 3.- Si se introduce en el controlador un cero adicional al polo en en el intervalo ( −1, 0), ¿se podr´ıa hacer el sistema estable para cualquier valor de K < 0? Dibujar el lugar de las ra´ıces aproximado (sin calcular valores numéricos del lugar) para alg´ un valor del cero propuesto con el fin de justificar la respuesta. 4.- Calcule el rango de valores de K > 0 válidos para obtener un sistema con coeficiente de amortiguamiento δ ≥ 0.6 y tiempo de subida ts ≤ 1.5 si el sistema sólo tuviese los polos en s = −2 y s = −3.


Dado el sistema a controlar: G(s) =

K (s + 8) (s + 1)(s + 3)(s + 10)

Se pide:

1.- Dibujar detalladamente con trazo grueso y puntas de flecha el lugar de las ra´ıces cuando el control es proporcional con ganancia K positiva. No hace falta calcular puntos de separaci´ on o ingreso. Para ellos aportar una solución cualitativa. 2.- ¿Se puede despreciar el efecto del polo en s = −10 , en el sistema original, para cualquier valor de K ? Razone su respuesta.

24


3.- Estudiar cualitativamente la variaci´ on de la sobreoscilació n con K en el sistema original y en el sistema modificado eliminando el polo en s = −10 . Dibujar el lugar de las ra´ıces aproximado del sistema modificado (sin calcular valores numéricos del lugar) para justificar la respuesta. 4.- Si se modifica nuevamente el sistema, eliminando tanto el polo en s = −10 como el cero en s = −8, calcular el rango de K para que se cumplan las siguientes especificaciones de diseño: •

erp (escalon) ≤ 20%

•

δ ≥ 0.6

•

ts < 1s

Problema II.3 Cuesti´ on 2 septiembre 2000-01

Al sistema servomecanismo G(s) = s(s1+1) se le aplica un controlador consistente en un amplificador de ganancia K A > 0 y una realimentació n de la se˜ nal de velocidad medida con un tacómetro de ganancia K T > 0 como se muestra en el diagrama de bloques de la figura.

R(s) +

E(s) -

KA

U(s)

+ -

1 s +1

V(s)

1

P(s)

s

KT

Figura II.3.a:

1.- Obtener el lugar de las ra´ıces generalizado del sistema en bucle cerrado respecto a la variaci´ on de la ganancia K T si se fija K A = 4. Dibujar detalladamente el lugar con trazo grueso y puntas de flecha. 2.- ¿Para qué valor de K T el sistema en bucle cerrado deja de tener sobreoscilación?. 3.- Si se elige K T = 5, ¿qué rango de valores de K A consigue que el sistema no tenga sobreoscilaci´ on?


o

25

Ing. Industrial.



K (Xs − 1)(s + 3) s2 + 2s + 2

Se pide:

1.- Dibujar el lugar de las ra´ıces y estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro X para K = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa. 2.- Dibujar el lugar de las ra´ıces y estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro K para X = 1. Suponiendo realimentación unitaria y negativa. 3.- Para el caso del apartado 2 (X = 1, K variable), dibujar cualitativamente cómo se modificar´ıa el lugar de las ra´ıces al introducir un polo doble en s = −2, sabiendo que no existen puntos de separación e ingreso. 4.- Para el caso del apartado 2, dise˜ nar un controlador PI (si es posible) para que el error en régimen permanente ante una entrada en escal´ on sea nulo.

Problema II.5 Cuesti´ on 2 final 2001-02

1.- Dado el sistema con funci´ on de transferencia: G(s) =

K (s + 1) s2 + 2s + 2

Dibujar detalladamente el lugar de las ra´ıces del sistema realimentado para cualquier valor de K (tanto positiva como negativa). Indicar también el rango de valores de K para los cuales el sistema es estable en bucle cerrado. 2.- Dado el sistema con dos ceros imaginarios puros: G(s) =

K (s + pj)(s − pj) s(s2 + 1)

Se pide representar el lugar de las ra´ıces del sistema realimentado para K > 0, y para los casos p = 0.5, y p = 1.5. Indicar, en ambos casos, el rango de valores de K para los que el sistema es estable en bucle cerrado. (Nota: no existen puntos de separaci´ on ni ingreso).


26

Problema II.6 Cuesti´ on 2 Septiembre 2001-02


K (T s + 1) (0.2s + 1)(0.5s + 1)(s + 1)

Se pide: 1.- Suponga que T es igual a cero. Dibuje el lugar de las ra´ıces (K > 0) y determine la estabilidad del sistema en funció n de K suponiendo realimentación unitaria y negativa. 2.- Determine el valor de T de forma que el lugar de las ra´ıces (K > 0) pase por el punto −3.25+5 j. Dibuje para dicho valor de T el lugar de las ra´ıces (no es necesario calcular el punto de separación). Calcule el valor de K para que el sistema en bucle cerrado (realimentaci´ on unitaria y negativa) tenga un polo en −3.25 + 5 j.



3 (s + 1)(s + 3)

Se pide: 1.- Utilizar el lugar de las ra´ıces para calcular un controlador prop orcional que minimice el error en régimen permanente frente entrada escalón y garantice una sobreoscilación no superior al 20%. (Supóngase realimentaci´ on unitaria negativa). 2.- Supóngase que se quiere controlar el sistema a trav´ es de un controlador proporcional derivativo. Calc´ ulese la ganancia de éste de forma que el error en régimen permanente frente entrada escalón sea del 10%. Represente el lugar de las ra´ıces generalizado en función del tiempo derivativo (T d ) (As´ umase valores tanto positivos como negativos para T d ). 3.- Dado el lugar de las ra´ıces generalizado del apartado anterior determine para qu´ e rango de valores de T d el sistema no sobreoscila. Calcule el valor de T d que hace que el sistema compensado tenga una sobreoscilación del 20%.


o

27

Ing. Industrial.



K s((s + 4)2 + 16)

Se pide:

1.- Calcule y dibuje con detalle el lugar de las ra´ıces para todo valor de K. 2.- ¿Se podr´ıa calcular un controlador PI que estabilizase el sistema para todo valor de K > 0? Razone su respuesta y dibuje los lugares que precise a mano alzada. 3.- Considere el PD GP D (s) = K (s+c). Encuentre el rango de valores de c que garantiza que el sistema compensado G(s)GP D (s) en bucle cerrado es estable para cualquier valor de K > 0.



K (s + 6) s2 + 2s + a

Se pide:

1.- Supóngase que a = 17. Para dicho valor de a, dibuje el lugar de las ra´ıces (para valores positivos y negativos de K ). 2.- b) Supóngase que el sistema representado por la función de transferencia G(s) se controla a través de un controlador proporcional de ganancia K = 0.1 (realimentaci´ on unitaria negativa). Utilizando el lugar de las ra´ıces generalizado, determine si existe un rango de valores del parámetro a que garantice que la sobreoscilación del sistema se encuentre entre el 10% y el 20%.


28



K (s + 2)(s + 3) s(s + 1)

Se pide:

1.- Dibuje el lugar geométricos de las ra´ıces para K > 0. (a) Indique c´ omo es la sobreoscilaci´ on de la respuesta del sistema en bucle cerrado para todo el rango de K > 0. (b) ¿Para qué valor de K > 0 es el error en régimen permanente ante entrada en escal´ on menor o igual que el 10%? Justifique su respuesta. (c) ¿Dónde se podr´ıa añadir un polo real no positivo para que el sistema en bucle cerrado se volviera cr´ıticamente estable para alg´ un valor de K > 0? Justifique su respuesta. 2. Dibuje el lugar geométricos de las ra´ıces para K < 0. ¿Podr´ıa estabilizarse el sistema para todo valor de K < 0 añadiendo alg´ un controlador de los estudiados en este curso? Justifique su respuesta.



K (s + 50) s(2s + 1)(s + 1) 2

Se pide:

1.- Dibujar el lugar de las ra´ıces para K > 0. No es necesario calcular puntos de separaci´ on ni de ingreso. 2.- ¿Se podr´ıa controlar con un PD para hacer el sistema estable para todo K > 0? Dise˜ ne un PD si su respuesta es afirmativa, y tanto si es afirmativa como negativa dibuje un b oceto del lugar de las ra´ıces resultante.


o

29

Ing. Industrial.



K (T s + 1)(s + 2) (s + 3)(s + 4)

Se pide: 1.- Suponiendo que T = 1, dibujar el lugar de las ra´ıces para K mayor o igual a cero. 2.- Suponiendo que T = 1, determinar el valor positivo de K que hace máxima la sobreoscilaci´ on del sistema en bucle cerrado. 3.- Determinar el valor de K y T de forma que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en −1.5 + 0.3 j.

Problema II.13 Cuesti´ on 3 parcial 2004-05

Dado el siguiente sistema:

Figura II.13.a: Se pide 1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las ra´ıces en función de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa). 2.- Dise˜ nar un controlador PD de forma que el sistema compensado tenga como frecuencia natural ωn = 5rd/s y coeficiente de amortiguamiento δ = 0.5 (considérese ganancia positiva). 3.- Compruebe cualitativamente que utilizando el lugar de las ra´ıces que al controlar el sistema con un PI con cualquier T i > 0, el sistema es estable para algún valor de la ganancia positivo.


30



Figura II.14.a: Se pide:

1.- Suponiendo que K(s) es un controlador proporcional dibujar el lugar de las ra´ıces en función de la ganancia del controlador (tanto positiva como negativa). 2.- Suponer que K(s)=5+(Ki/s). Dibujar el lugar de las ra´ıces generalizado en función del parámetro Ki>0. (Nota: el lugar generalizado tiene un solo punto de separación, el cual no es necesario que se calcule con exactitud) 3.- Utilizando el lugar generalizado del apartado anterior, calcular el rango de valores positivos de Ki tales que el error en r´ egimen permanente frente entrada rampa sea inferior al 10% y la sobreoscilación menor del 20%.



G(s) = K

(1 + τ s) 0.1 (1 + ατ s) (s + 3)(s + 4)

Se solicita:

1.- Suponiendo que α = 0.1 y τ = 2 dibujar el lugar de las ra´ıces para valores positivos y negativos de K. 2.- Dibuje el lugar de las ra´ıces generalizado respecto al parámetro 1/τ suponiendo que K = 10 y α = 0.1.


o

31

Ing. Industrial.

Problema II.16 Cuesti´ on 3 parcial 2005-06

Se desea controlar la concentración (y) de un reactor actuando sobre la válvula de reactivo (u). Para ello se modela el comportamiento din´ amico del sistema obteniéndose la siguiente función de transferencia G(s) =

1 (s + 1)(s + 2)(s2 + 6·s + 13)

El sistema se debe controlar de forma que el error en r´ egimen permanente ante una referencia constante sea inferior al 1% y que la dinámica en bucle cerrado se aproxime a la de un sistema de segundo orden con δ = 0.5 y ω n = 2 rad/s. 1.- Trazar el lugar de las ra´ıces del sistema. Nota: los posibles puntos de separación e ingreso son −1.44, −2.65 ± 1.34 j 2.- Justifique si es posible controlar el sistema con un controlador P. 3.- Para controlar este sistema se ha elegido un controlador PID que responde a la siguiente función de transferencia C (s) = K

1 + T i ·s + T i ·T d·s2 s·T i ·(α·T d ·s + 1)

Dise˜ nar el controlador mediante el lugar de las ra´ıces y determinar el valor de los parámetros T i , T d , K y α.( Asumir que los ceros del PID son reales.)


Dado el sistema: r

+

K

( s + 1)( s + 2) -

a a + s

Figura II.17.a: Se solicita:

y

32


a) Determinar el valor de K > 0 y a > 0 para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en −1.3 + 2 j. b) Suponga que K = 1. Dibuje el lugar de las ra´ıces generalizado en funci´ o n del parámetro a > 0. (No es necesario calcular con precisión los puntos de separación e ingreso).


Dado el sistema representado por el siguiente diagrama de bloques K (s)

+ -

1 (s+1)(s+2)(s+4)

Figura II.18.a:

1.- Suponga que K (s) = τ ·K ; obtenga utilizando el lugar de las ra´ıces el valor de K c s+1 y τ para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s0 = −1 + j. Trace, de forma aproximada, el lugar de las ra´ıces resultante. c

2.- Suponga que K (s) = τ ·K · s+a ; obtenga utilizando el lugar de las ra´ıces el valor de s+1 s+b K c , τ , a y b para que el sistema en bucle cerrado tenga un polo en s 0 = −1 + j y el error en régimen permanente frente entrada a escal´ on sea inferior al 10%. c

Parte III

Automatismos

33


o

Ing. Industrial.

35

Problema III.1 Cuesti´ on 4 Parcial 2000-01

Se desea controlar de forma automática el acceso a un banco mediante un sistema de dos puertas (ver figura III.1.a). El funcionamiento del mismo es el siguiente:

Figura III.1.a: PROCESO DE ENTRADA AL BANCO

Cuando una persona entra en la zona intermedia se cierra la puerta exterior y se comprueba si lleva algún objeto de metal. En ese caso, se activar´ a una alarma (AL) y se abrirá la puerta exterior para que la persona salga (la alarma se desactivará una vez que la persona haya salido). En caso contrario (no metal), se abrir´ a la puerta interior y cuando la persona se encuentre dentro del banco se cerrará la puerta interior y se abrirá la exterior. PROCESO DE SALIDA DEL BANCO

Cuando una persona desee salir deberá pulsar y soltar el botón (P). Una vez pulsado, se cerrará la puerta exterior, se abrirá la interior y la persona pasará a la zona intermedia. Una vez all´ı, se cerrará la puerta interior y se abrirá la exterior para que pueda abandonar el recinto. SE PIDE

Dise˜ nar una red de petri que permita controlar el sistema. NOTAS IMPORTANTES

• La

puerta exterior se encuentra inicialmente abierta y la interior cerrada.

• Una

persona no podrá acceder a la zona intermedia mientras esta est´ e ocupadada.


36

• En

cada puerta se dispone de un sensor ( SE en la puerta exterior y SI en la puerta interior) que permite detectar el paso de una persona mediante una activación y desactivación consecutivas.

• La

detección de metales se realiza mediante el sensor SM (SM=1 -¿metal detectado).

• Las

se˜ nales PE (puerta exterior) y PI (puerta interior) permiten abrir y cerrar las puertas (1 abrir, 0 cerrar).

•

Sólo puede pasar una persona a la vez.

Problema III.2 Cuesti´ on 4 final 2000-01

Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores ( SS y SB) que indican respectivamente cuando el toldo está completamente subido o bajado y de un pulsador (P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo. El funcionamiento que se desea es el siguiente: Suponemos el toldo inicialmente subido. Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se vuelva a pulsar P, momento en el que debe pararse el toldo. Si una vez parado se vuelve a pulsar P, el toldo deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior o se pulse nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En resumen, el pulsador P para el toldo y cambia el sentido de movimiento. Se pide: Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando ( MB).


Se desea controlar de forma automática el funcionamiento de un semáforo de peatones que dispone de un botón (P) para que los peatones soliciten cruzar. El esquema de funcionamiento es el siguiente:


o

• El

Ing. Industrial.

37

semáforo cambia de rojo (R) a verde (V), y de verde a rojo cada minuto.

• Si

el semáforo est´ a en rojo y el peatón pulsa el botón de solicitud de cruce, el semáforo debe cambiar a verde, teniendo en cuenta lo siguiente: si el semáforo lleva m´ a s de 30 segundos en rojo, el cambio se realizará de forma inmediata, pero si lleva menos de 30 segundos deberá esperar otros 30 segundos para realizar el cambio.

Se pide: Dise˜ nar una red de petri que permita controlar el proceso. NOTAS:

• El

semáforo estar´ a inicialmente en rojo.

• El

peatón sólo puede cruzar cuando el semáforo est´ a en verde.

• Se

dispone de un único temporizador de 30 segundos.

• No

es necesario soltar el botón P para que se realice la conmutación

Problema III.4 Cuesti´ on 4 septiembre 2000-01

Se desea automatizar el elevalunas el´ ectrico de un coche. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar la ventanilla, de dos sensores ( VS y VB) que indican respectivamente cuando la ventanilla está completamente subida o bajada y de un pulsador ( P) que va a servir para controlar la subida y bajada de la ventanilla. El funcionamiento que se desea es el siguiente: Suponemos la ventanilla inicialmente subida. Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final o hasta que se suelte P, momento en el que debe pararse la ventanilla. Si una vez parada se vuelve a pulsar P , la ventanilla deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior o se suelte nuevamente P , casos en los que debe pararse. En resumen, el pulsador P para la ventanilla y cambia el sentido de movimiento. Se pide: Obtener la matriz de fases del automatismo correspondiente, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando ( MB).


38


Se desea controlar de forma automática la entrada y salida de productos en un almacén, utilizando cintas transportadoras y un robot (para desplazar los productos de una cinta a otra), como se muestra en la figura III.5.a.

Figura III.5.a: El n´ umero m´ aximo de piezas que puede haber en el almacén es de 100. Asimismo es necesario controlar que el almacén esté vac´ıo o que esté lleno. El funcionamiento del almacén es como sigue:

•

Cuando se desea almacenar una pieza, el operario la coloca sobre la cinta de entrada y pulsa el botón de entrada (PE). En ese momento la pieza debe ser transportada sobre la cinta ( CE) hasta llegar al final de la misma ( SE). Si el almacén está lleno, la pieza permanecerá en dicha posición hasta que se saque alguna pieza del mismo. Cuando haya sitio, el robot deberá recogerla y depositarla en la cinta auxiliar 2. Para ello, será necesario activar la señal RE, de modo que el robot se acerque a la posición de entrada, y esperar 30 segundos para que el robot complete el movimiento.

•

Del mismo modo, cuando se desee sacar una pieza se pulsará el botón de salida (PS). Si no hay piezas, la petición será ignorada. En caso contrario la pieza se desplazará sobre la cinta de salida hasta la posición SS y esperará all´ı para ser trasladada por el robot a la cinta auxiliar 1. Para dicho traslado ser´ a necesario activar la señal RS y esperar 30 segundos para completar el movimiento.

Se pide: Dise˜ nar una red de petri que permita controlar el proceso. NOTAS IMPORTANTES:


39

Ing. Industrial.

o

• Se

dispone de un contador de 100 piezas con dos entradas ( IC, DC, para incrementar/decrementar el contador) y dos salidas ( C100, C0, que valen 1 cuando el contador vale 100 y 0, respectivamente).

• Es

necesario incrementar/decrementar el contador cuando se finalice el proceso de entrada/salida de piezas.

• La

cinta de entrada se pone en marcha/paro con la señal (CE), y la de salida con (CS).

• Las

cintas auxiliares están siempre en funcionamiento. ” Se dispone de un temporizador de 30 segundos.

• El

robot sólo puede atender una petició n a la vez, por lo que no se deben activar simult´ aneamente las señales RE y RS.

• Se

dará prioridad a la salida de piezas frente a la llegada.

Problema III.6 Cuesti´ on 2 parcial 2001-02

Para describir el comportamiento de un sistema de gestión de alarma ante intruso en una habitaci´ on se utilizó la matriz de fase de la figura III.6.a, donde M activa el sistema de alarma (si M pasa a ”0” no se desactiva), P lo desactiva, D es un detector de movimiento dentro de la habitación, S es un indicador de sistema de alarma activo o no y A es la se˜ nal que enciende el altavoz de alarma (que ha de sonar cuando se active D) o lo apaga

M P

+ -

S AUTÓMATA GESTOR

SISTEMA DE ALARMA A

D DETECTOR DE MOVIMIENTO

Figura III.6.a:

a) Descubra 4 errores en la matriz de la figura III.6.b indicando la soluci´ on correcta. b) Rellene los huecos libres.

40


Notas: M y P no se pulsa uno mientras se suelta el otro (01 → 10) ni se pulsan a la vez (00 → 11). D puede cambiar a la vez que se pulsa M ó P (000 → 101 o´ 000 → 011) y en estos casos las salidas S y A corresponden a las funciones de M ó P.

MPD MPD MPD MPD MPD MPD MPD MPD MPD MPD MPD MPD 0 00

001

010

0 11

100

101

S

A

0

1

2

3

4

5

0

0

0

1

2

3

4

5

0

0

0

1

2

3

-

-

0

0

2

3

-

0

1

1

-

3

4

5

1

0

6

7

-

-

4

5

6

7

2

3

4

5

1

0

6

7

2

3

5

1

1

0

Figura III.6.b:


Se desea diseñar nar una Red de Petri (RdP) que modele el funcionamiento del limpiaparabrisas de un coche (figura III.7.a) mediante una palanca de 4 posiciones: parado, sin paradas (Posici´ on on 0=P), paradas de 5 seg. (Posici´ (Posici´ on on 1=P1) y paradas de 10 seg. (Posici´ (Posici´ on on 2=P2). El sistema sistema pose p oseee dos contac contactos tos de fin de carrera carrera que indican indican la posici´ posici´ on on final de medio ciclo B y de ciclo completo A. PALANCA Parad o P=Posición 0 P1=Posición 1 P2=Posición 2

Figura III.7.a:

Se pide completar la RdP de la figura III.7.b, desde donde se ha dejado, sin posibilidad de a˜ nadir nadir en más as lugares las señales nales de motor derecha (MD) y motor izquierda ( MI).

Control Automátic a tico, o, 3

o

Ing. Industrial.

41

Figura III.7.b:


Un sistema de gestión on de alarma anti-intruso funciona con las siguientes señales: nales: • MI:

Activa (MI=1) el sistema anti-intruso.

• PI: Desactiva ( PI=1)

el sistema anti-intruso.

• SI:

Enciende una luz piloto indicando si el sistema anti-intruso está activado (SI=1) o no (SI=0).

• DI:

Sensor de detección on del movimiento (DI=1) dentro de la habitación. on. El sensor funciona independientemente de que el sistema anti-intruso anti-intruso est´ e activado activado o no.

• A:

Hace sonar (A=1) o apaga (A=0) el altavoz de alarma.

El funcion funcionami amien ento to del sistema sistema es el siguie siguient nte: e: el altav altavoz oz sonar´ sonar´ a cuando se detecte movimiento movimiento y el sistema anti-intruso est´ e activo, y no dejará de sonar hasta que se pulse an an pulsados a la vez). PI. (NOTA: MI y PI nunca est´ Se pide: a) Dibujar una red de Petri que describa el comportamiento comportamiento del sistema. sistema.


42

b) Utiliz Utilizando ando el sensor sensor de mo movim vimien iento to DI, se desea que la luz L de la habita habitaci´ ci´ on on se encienda automáticamen aticamente te (L=1) siempre que se detecte movimiento en dicha habitaci´ on. La luz se mantendrá encendida durante 5 minutos excepto en el caso en on. el que el sistema anti-intrus anti-intrusos os estuviera haciendo sonar el altavoz altavoz,, caso en el que deberá permanecer encendida hasta que se desactive el sistema anti-intrusos (es decir, que se pulse PI). Vuelva uelva a dibujar su red de a) y compl´ complétela etela para realizar dicha dicha tarea teniendo teniendo en cuenta lo siguiente: • Una

vez encendida la luz de la habitación, o n, NO se podrá activar el sistema de detecci´ on de intrusos hasta que la luz se haya apagado. on

• Se

dispone de un temporizador de 5 minutos ( AT, FT).

c) Volviendo olviendo al caso del apartado apartado a) (sin control control de la luz de la habitaci´ on), on), se instala adicionalmente un sistema de detección on de incendios que comparte el altavoz A con el de anti-intrusos. El sistema de detección on de incendios maneja señales nales con funcionalidades análogas alogas a las del sistema anti-intruso, a saber, MF, PF, SF, DF (para activar, desactivar, indicar indicar funcionamien funcionamiento to del sistema y detectar detectar fuego), fuego), con las que controla controla el altavoz altavoz A de forma similar al detector de intrusos. intrusos. Adem´ as, dispone de una luz indicadora as, de fuego F que debe ser activada (F=1) cuando se detecte un fuego, y cuya misión es distinguir desde el exterior si el altavoz suena por un incendio o por un intruso. Vuelva uelva a dibujar su red del apartado apartado a) y compl´ complétela etela para realizar realizar dicha dicha funci´ on on teniendo en cuenta lo siguiente: • Si

cuando está sonando la alarma por intruso se detecta fuego, NO se activará el indicador indicador F.

• La

prioridad en el uso del altavoz la tendrá el sistema ante incendio.


El cuadro de relaci´ relaci´ on entre estados de la figura III.9.a rige el funcionamien on funcionamiento to del c´ odigo odigo de seguridad del autorradio de un autom´ ovil. Dicho autorradio dispone de dos pulsadores ovil. (A y B) que deben ser accionados en la secuencia descrita en dicha matriz para ponerlo en funcionamiento. Se pide:

1.- Describir Describir el funcionamiento funcionamiento de dicho código odigo de segurid se guridad ad (3 ( 3 l´ıneas ıneas máximo). aximo). 2.- Minimizar Minimizar la matriz de fases a trav´ través es de la tabla de inferencia inferencia analizando analizando la compatibilidad patibilidad de estados estados de modo que se reduzca reduzca al m´ınimo n umero u ´ mero de estad estados. os. Es necesario que se describa dicho análisis alisis de compatibili compatibilidad dad de forma expl´ expl´ıcita. ıcita. No debe limitarse a poner el resultado, caso éste este en el que no tendr´ tendr´ıa validez. validez.


o

43

Ing. Industrial.

3.- Realizar una Red de Petri que controle el funcionamiento del sistema.

AB

00

01

11

10

Salida (S)

Q

0

0

-

1

0

Q

2

-

0

1

0

Q

2

3

-

0

0

Q

4

3

0

-

1

Q

4

4

-

4

1

Figura III.9.a:


Se desea automatizar los accesos y salidas de un aparcamiento con dos entradas y una salida y con un aforo máximo de 100 veh´ıculos. Barrera 1

Barrera 2 Entrada 2

Entrada 1 PE1

PE2

SABEi SE1

MABEi

SE2

SF

SF GARAJE

MBBEi

Barrera i PS

SSS

SBBEi

Salida

Figura III.10.a: El esquema del sistema a automatizar es el que se muestra en la figura y que se describe a continuaci´ on:


44

• Para

controlar el número de coches se dispone de un contador que tiene dos señales de entrada (IC) para incrementar el contador y ( DC) para decrementarlo y una de salida (C100) para indicar que se han contado 100 coches ( C100=1).

• El

sistema consta de 2 entradas cada una con una barrera que funciona de la misma forma: – Se dispone de un motor que levanta la barrera (MABEi) y que la baja ( MBBEi), y de dos sensores, uno de barrera totalmente levantada (SABEi) y otro de barrera bajada (SBBEi). Adem´ as existe un pulsador ( PEi) que se usa para que

se levante la barrera, y un sensor que indica cuando ha pasado el coche en su totalidad (SEi). a el siguiente: Al llegar un veh´ıculo, el conductor – El proceso de entrada ser´ deber´ a pulsar el pulsador ( PEi), una vez pulsado se levantará la barrera que permanecerá levantada hasta que el coche haya entrado en el garaje, en ese momento el contador debe incrementarse en una unidad y bajar la barrera. omata debe controlar también que no entren dos coches al mismo tiempo – El aut´ por ambas puertas. • La

salida se hará a través de una u ńica barrera que consta de un motor que la levanta (MABS) y que la baja ( MBBS), y de dos sensores, uno de barrera totalmente levantada (SABS) y otro de barrera bajada (SBBS). Además existe un pulsador (PS) que se usa para que se levante la barrera, y un sensor que indica cuando ha pasado el coche en su totalidad (SS). El proceso de salida será el siguiente: Al llegar un veh´ıculo, el conductor deberá pulsar el pulsador (PS), una vez pulsado se levantar´ a la barrera que permanecerá levantada hasta que el coche haya salido del garaje, en ese momento el contador debe decrementarse en una unidad y bajar la barrera.

•

En el caso de que el garaje esté completo deberá encenderse un semáforo (SF) y no se podrá entrar en el garaje por ninguna puerta hasta que haya plazas libres.

SE PIDE REALIZAR LA RED DE PETRI CORRESPONDIENTE A LA AUTOM´ DEL SISTEMA ATIZACION


Se desea realizar un automatismo para controlar el nivel de un depósito alimentado por una tuber´ıa de entrada cuyo flujo se controla por una v´ alvula de control de nivel (FCV). Para ello se dispone de dos sensores S1 y S2 colocados como se muestra en la figura III.11.a. El comportamiento deseado es el siguiente: En caso de que el nivel esté por debajo de los dos sensores debe abrirse la válvula de control de nivel ( FCV=1), si partiendo de este


o

45

Ing. Industrial.

funcionamiento el nivel sube por encima de S1 la válvula debe seguir abierta, y si supera S2 debe cerrarse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S2, vuelve a bajar por debajo de alvula cerrada) el S1 debe permanecer abierta. Si partiendo de un nivel superior a S2 (v´ nivel disminuye por debajo de S2 la válvula debe permanecer cerrada y si disminuye por debajo de S1 debe abrirse. Si por el contrario, sin llegar al nivel S1, vuelve a subir por encima de S2 debe permanecer cerrada. En resumen el sistema debe comportarse con una caracter´ıstica de histéresis. Se pide: Realizar la matriz de fases que modele el comportamiento deseado del sistema, reducir dicha matriz eliminando los estados compatibles y realizar el diagrama de contactos del automatismo necesario para controlar el sistema. Nota:

• Suponer

que el nivel del depósito es inicialmente inferior a S1.

• Los

sensores S1 y S2 se activan ( S1=1, S2=1) si está n cubiertos de agua y se desactivan si no lo están. FCV

S2 S1

Figura III.11.a:


Se desea automatizar el mecanismo de subida y bajada de un toldo. Para ello se dispone de un motor para subir y bajar el toldo, de dos sensores ( SS y SB) que indican respectivamente cuando el toldo está completamente subido o bajado y de un pulsador (P) que va a servir para controlar la subida y bajada del toldo.


46

El funcionamiento que se desea es el siguiente: Suponemos el toldo inicialmente subido. Si se pulsa el pulsador P, empezará a bajar hasta que llegue al final (permanezca P pulsado o no) o hasta que se vuelva a pulsar P , momento en el que debe pararse el toldo. Si una vez parado se vuelve a pulsar P, el toldo deberá empezar a moverse hacia arriba hasta que vuelva a llegar a la posición superior (permanezca P pulsado o no) o se pulse nuevamente P, casos en los que debe pararse el toldo. En resumen, el pulsador P para el toldo y cambia el sentido de movimiento. Se pide: Dise˜ nar la red de Petri que controle el comportamiento del sistema, suponiendo que el motor puede estar parado (MP), subiendo (MS) o bajando (MB). NOTA: Una vez pulsado el botón P en cualquiera de los casos este podrá ser soltado o permanecer pulsado, debiendo tener el mismo comportamiento en ambos casos.


Con vistas a mejorar la calidad de las tostadas de la cafeter´ıa se propone instalar una tostadora autom´ atica, de modo que mediante un conjunto de interruptores situados en su frontal (H, A, M, T, Y, S, P, PT) es posible seleccionar cómo de hecha se quiere la tostada, el acompa˜ namiento y un complemento. En concreto: • Debe

ser posible elegir entre tostadas poco hechas (30 segundos) ( H=0) o normales (1 minuto) (H=1).

• La

tostada puede ir acompa˜ nada de aceite (A=1) o mantequilla (M=1) o nada.

• Como

complemento se puede incluir tomate ( T=1), jam´ on york (Y =1), jam´ on serrano (S=1) o nada.

• IMPORTANTE:

sólo se puede seleccionar un complemento.

Para utilizarla, el camarero deberá 1o ) situar el pan en la tostadora; 2 o ) seleccionar poco hecha o normal con el botón H; 3o ) pulsar los botones correspondientes para seleccionar el acompa˜ namiento (A ó M o ninguno); 4o ) pulsar los complementos ( T, Y, S o nada) y 5o ) pulsar el interruptor de puesta en marcha P, momento en el que comienza a prepararse la tostada de forma automática con las opciones elegidas. Una vez lista la tostada se activar´ a una campana (C=1) indicando que está preparada. La campana estar´ a activa hasta que el camarero desconecte el interruptor P.


o

Ing. Industrial.

47

Además: • Para

que el pan se tueste, el sistema de control debe mantener activa una señal llamada TOSTAR que enciende los filamentos de la tostadora.

•

La tostadora dispone de unos mecanismos para aplicar de forma autom´ atica las porciones de aceite, mantequilla, etc. Para aplicar los distintos elementos el sistema de control debe activar y desactivar de forma consecutiva la señal de control correspondiente (AA: Aplicar aceite, AM: Aplicar mantequilla, AT: Aplicar tomate, AY: Aplicar york, AS: Aplicar serrano). (Ej: haciendo consecutivamente AM=1, AM=0 el sistema deposita una porción de mantequilla sobre la tostada). ´ del complemento (tomate, york o serrano) se aplicar´ a SIEMPRE DESPUES acompa˜ namiento b´ asico (aceite,).

• El

• Se

dispone de un temporizador de 30 segundos ( AT1: Activar temporizador, FT1: fin de temporización).

• Asimismo,

para evitar un posible tostado excesivo, existe un pulsador PT que permite detener el proceso de tostado en cualquier instante, pasando el sistema a aplicar el acompa˜ namiento y complemento. Este pulsador sólo detiene el tostado no el proceso de preparación.

Se pide:

a) Indicar claramente las se˜ n ales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. b) Realizar una red de p etri que controle el sistema.


a) Se desea automatizar un elevador en un centro comercial. Dibuje una red de Petri que describa el comportamiento del autómata que proporcione dos se˜ nales al motor del elevador y una a la puerta del elevador: • S para

SUBIR elevador

• B para

BAJAR elevador

a • PA deber´

estar a 1 para mantener la puerta abierta

a partir de las entradas

48

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. • de

LLAMADA desde cada planta del centro comercial A: LA1, LA2 y LA3

• desde

tres pulsadores en el ELEVADOR: E1, E2 y E3

• desde

los SENSORES de planta: S1, S2 y S3 que están a 1 cuando el elevador esté en cada planta.

Cuando el elevador se para en una planta la puerta PA se abre durante 10 s y se cierra. S´ olo en ese momento queda disponible para ser llamado desde el elevador o desde la planta. También se abre la puerta durante 10 s cuando se le indica ir a la planta en la que está. En las plantas 2 y 3, si el elevador no es llamado desde otra planta durante el siguiente minuto en que está la puerta cerrada, bajar´ a a la planta primera y esperará all´ı. Consid´ erese inicialmente el elevador en la planta 1 con la puerta cerrada. Se dispone de un temporizador de 1 minuto de entrada AT1 (activación de temporizador) y salida FT1 (fin de temporizació n), y de otro de 10 s (AT10, FT10).

CENTRO COMERCIAL A

LA3

S3

LA2

S2

CALLE

GARAJE B

S1

LA1

PA S

AT10

LB1

E1 E2 E2

TEMP 10 s

AT30

B PB

FT10

AT1

TEMP 30 s

TEMP 1 min

FT1

FT30

Figura III.14.a:

b) El elevador es compartido con los clientes para subir del garaje B adosado en la primera planta. Para ello dispone de una PUERTA al garaje (PB a 1 cuando puerta abierta. Dise˜ ne la red que gestiona el elevador desde el garaje según lo siguiente: Cuando el elevador se para en la planta primera la puerta PB permanece cerrada hasta que es llamado con el pulsador de planta LB1. En ese caso se abre PB durante 30 sg (para ello se dispone de un temporizador de señales AT30 y FT30) y tras cerrarse sube hacia la tercera planta, abre durante otros 30 sg, cierra y vuelve a bajar. Cuando un cliente del garaje utiliza el elevador la puerta PA permanece cerrada en dichas plantas. Considere al comienzo el elevador en la primera planta. Indique en la red que acaba de dibujar cómo se comparte el elevador con el centro comercial, marcando las transiciones de a) que necesite con etiquetas de la forma


o

Ing. Industrial.

49

TRANS-1, TRANS-2, ... (y los lugares con etiquetas LUG-1, LUG-2, etc) y referenci´ andolas desde la red b).


Dado el automatismo definido por la siguiente matriz de fases:

Figura III.15.a: Se pide:

a) Simplificar dicha matriz al n´ umero m´ınimo de estados. b) Obtener la funci´ on lógica m´ınima correspondiente a la salida del sistema (funci´ on de lectura).


Se desea controlar el proceso de entrada y salida a un parking con una capacidad máxima para cien veh´ıculos, y en el que los veh´ıculos deben atravesar una rampa estrecha por la que sólo puede circular un veh´ıculo en cada momento. Para ello se dispone de un sem´ aforo de entrada (SME) y uno de salida ( SMS) que permiten, respectivamente, que un veh´ıculo entre o salga del parking (SME=1 (SMS=1) pone el semáforo de entrada (salida) en verde, SME=0 (SMS=0) semáforo en rojo). Inicialmente ambos semáforos se encuentran en rojo.

50


Asimismo, se dispone de un sensor ( SE1) que indica la presencia ( SE1=1) de un veh´ıculo que desea entrar en el parking. Si el semáforo de entrada est´ a en rojo o el parking está lleno el veh´ıculo esperará en este punto hasta que pueda entrar. En ese momento el semáforo de entrada se pondrá en verde para permitir que el veh´ıculo pase, e inmediatamente que haya cruzado se pondrá de nuevo en rojo para que no pase ningún otro veh´ıculo. Para saber que el veh´ıculo ha terminado de entrar en el parking se dispone de otro sensor (SE2) que se pone a 1 cuando un veh´ıculo está cruzando en ese carril por delante del mismo. An´ alogamente, para gestionar la salida de veh´ıculos se dispone de sendos sensores (SS1 y SS2 ). Si el semáforo de salida está en rojo o hay otro veh´ıculo entrando o saliendo deber´ a esperar junto al sensor SS1. De nuevo, para permitir sólo la salida de un veh´ıculo el semáforo de salida debe ponerse a verde e inmediatamente que cruce a rojo. Al igual que antes, el sensor SS2 permite saber que el veh´ıculo ha completado el proceso de salida. Se dispone de un contador con dos entradas (IC, DC) para incrementar y decrementar, y una u ´ nica salida (C100) que se pone a 1 cuando en el contador vale 100. La salida de veh´ıculos tendrá prioridad frente a la entrada.

SS2

SMS

SS1

PARKING

SE1

SME

SE2

Figura III.16.a:



Se desea automatizar el secador de un t´ unel de lavado de coches para que se mantenga a una altura fija de la carrocer´ıa del coche. Para ello se dispone de un secador con dos sensores, SS (sensor superior) y SI (sensor


o

51

Ing. Industrial.

inferior), m´ as un sensor de presencia de coche en la parte de secado del túnel de lavado (SC). Se dispone tambi´ en de varias señales de actuación (MA y MB para subir o bajar el secador respectivamente y S para poner en marcha el secador) SS

MA

S

SI

MB

SC

Figura III.17.a: El funcionamiento del sistema es el siguiente: Cuando el coche llegue al sensor SC deberá ponerse en funcionamiento el proceso de secado, que comenzará poniendo en marcha el secador ( S=1). En ese momento el secador debe acercarse lo más posible al coche y permanecer cerca de él usando los sensores SS y SI , de tal forma que si ninguno de los sensores está activado significa que el secador está lejos del coche y debe bajar hasta que el sensor SI se active; a partir de ese momento, si se activa el sensor SS el secador debe subir para alejarse del coche hasta que deje de activarse y si dejase de activarse SI debe bajar hasta que vuelva a acercarse al coche de nuevo. Por el contrario, si al activarse el sensor SC estuvieran también activos los sensores del secador (SS y SI) el secador debe alejarse primero hasta que sólo esté activo SI y posteriormente proceder de la forma descrita anteriormente. Una vez el coche haya pasado totalmente por el sensor SC el secador se parará y se quedar´ a a la espera de la llegada de un nuevo veh´ıculo. Se pide dise˜ nar una red de Petri que controle el funcionamiento del sistema. Nota: El coche es desplazado sobre un rail por el t´ unel de lavado y su movimiento no es gobernado por el automatismo que se ha de diseñar.


El nuevo ZEAT IBISA viene equipado con un novedoso sistema de cierre centralizado que además permite el cierre automático de las ventanillas al dejar el veh´ıculo.


52

La cerradura del conductor tiene tres posiciones: Centro (posición de reposo), girada a la izquierda para Abrir Puerta (AP) y girada a la derecha para Cerrar Puerta (CP). Para pasar de la posición AP a CP, o viceversa, es necesario pasar siempre por la posición central (momento en el cual tanto AP como CP estarán a cero). Obviamente, es f´ısicamente imposible que AP=1 y CP=1 simultáneamente. El coche se supone inicialmente con la cerradura en posición de reposo (AP=0, CP=0). Cuando el conductor gira la llave a la posición de cerrar puertas (CP se pone a 1) y la mantiene as´ı durante cinco segundos (CP a 1 cinco segundos), el sistema sube automática y simultáneamente la ventanilla derecha (SVD enciende el motor para Subir la Ventanilla Derecha) y la ventanilla izquierda (SVI), hasta que ambas estén cerradas (VDC es un sensor para saber que la Ventanilla Derecha está Cerrada (VDC=1) y VIC, para la Ventanilla Izquierda). Importante: para evitar da˜ nos en los motores de los elevalunas eléctricos, éstos deben ser apagados en cuanto la ventanilla correspondiente se cierre completamente. Es decir, si se están cerrando ambas ventanillas (SVD=1, SVI=1) y, por ejemplo, la Ventanilla Derecha se Cierra antes (VDC=1,VIC=0), entonces se parará el motor de Subir Ventana Derecha (SVD=0) pero el de la izquierda seguirá en marcha (SVI=1) hasta que se haya cerrado por completo. Además, si el conductor gira la llave a la posición de reposo los elevalunas se detendrán inmediatamente en la posición en la que se encuentren. Si vuelve a girar la llave durante cinco segundos se repetirá el proceso. Se dispone de un temporizador de 5 segundos (AT, activa temporizador; FT indica fin de temporizador).



Se desea controlar el funcionamiento del nuevo cepillo dental eléctrico ORAL-P de BRAUM. Dicho cepillo cuenta con un pulsador ( P) que permite poner en marcha y detener el funcionamiento del mismo. Cuando el usuario desea poner el cepillo en marcha debe pulsar y soltar el botón P. En ese instante, el cepillo debe empezar a funcionar.


o

Ing. Industrial.

53

Teniendo en cuenta que, para una correcta higiene bucal, el cepillado debe durar al menos 120 segundos, el cepillo no se podrá parar durante ese tiempo. Transcurridos los 120 segundos, el cepillo debe emitir una señal para que el usuario sepa que ya han pasado dos minutos. Dado que el cepillo no dispone de un altavoz, para avisar al usuario realizar´ a una peque˜ na vibración. Para ello, detendr´ a el motor durante 1 segundo, lo pondrá en marcha durante otro segundo, lo volverá a parar durante un segundo y, posteriormente, seguir´ a funcionando indefinidamente hasta que el usuario pulse y suelte P, momento en el que deberá quedar preparado para un nuevo cepillado. Para conseguir que el motor gire, el sistema de control debe mantener la señal M a uno (si M vale cero el motor se para). Se dispone de un contador con dos entradas ( BC, IC ) para poner a cero e incrementar el contador, respectivamente, y una única salida (C120) que toma valor 1 cuando en el contador vale 120. El contador se encuentra inicialmente a cero. Asimismo, se dispone de un único temporizador de 1 segundo, el cual es gestionado mediante las se˜ nales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporización, respectivamente. Se pide: a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador b) Dise˜ nar una Red de Petri que controle el proceso

Problema III.20 Cuesti´ on 3a final 2004-05

Con objeto de garantizar el buen funcionamiento de los servidores inform´ aticos de la escuela, es necesario mantener la temperatura de la sala de ordenadores donde están instalados a una temperatura pr´ oxima a 15o C. Para lograrlo se ha adquirido un aparato de aire acondicionado al que se pretende dise˜ nar un control todo-nada con hist´ eresis de ±5o C . Para ello se dispone de dos sensores T10 y T20. El primero de ellos se activa (T10=1) cuando la temperatura es inferior a 10 o C y el otro lo hace (T20=1) cuando la temperatura es superior a 20 o C. El funcionamiento que se pretende es el siguiente: Si la temperatura es superior a 20o C el aire acondicionado deberá estar funcionando (AIRE=1), si baja por debajo de 20o C pero es superior a 10o C debe seguir funcionando y si baja por debajo de 10o C debe apagarse (AIRE=0).


54

Si por el contrario la temperatura es inferior a 10 o C (el aire acondicionado debe estar apagado (AIRE=0)) y la temperatura sube por encima de 10 o C el aire debe permanecer apagado hasta que se suba por encima de 20 o C momento en el que debe encenderse. Se pide: Dise˜ nar el automatismo que implemente el control todo-nada con histéresis antes descrito, calculando la matriz de fases, reducción de estados, matriz de fases reducida, simplificaci´ on usando tablas de Karnaught, indicando la función de transición y la de salida y realizando la implementaci´ on mediante la lógica de contactos.

Problema III.21 Cuesti´ on 3b final 2004-05

Se pretende controlar la iluminaci´ on de una sala, de manera que la luz esté encendida cuando haya alguien dentro de la sala y apagada cuando est´ e vac´ıa, para ello se dispone de dos sensores (S1 y S2) situados en la puerta que indican cuando una persona ha salido o entrado de la habitación de la siguiente forma: • Entrada: • Salida:

activaci´ on/desactivaci´ on de S1 y despu´ es lo mismo de S2.

activación/desactivaci´ on de S2 y después lo mismo de S1.

Además se dispone de un contador con el que se pretende saber si la habitación está vac´ıa, hay alguien o se ha superado el aforo máximo de 100 personas. Para ello el contador tiene dos entradas (IC: Incrementa contador y DC: Decrementa contador) y dos salidas (C0: Contador=0 y C100: Contador=100). El funcionamiento que se pretende es que si la sala está vac´ıa la luz esté apagada (LUZ=0) y si hay alguien est´ e encendida (LUZ=1). Asimismo si se supera el aforo de 100 personas debe encenderse la señal de aviso de sala completa (COMPLETO=1) y permanecer encendida hasta que el número de personas sea inferior a 100. Se pide dise˜ nar la red de Petri que implemente el comportamiento deseado. NOTAS: • Suponer

que inicialmente la sala está vac´ıa y el contador a 0.

• Una

vez completado el aforo puede seguir entrando gente, pero la señal de completo debe estar activa hasta que se deje de superar las 100 personas.

• Es

imposible que una persona salga a la vez que otra entra.


o

Ing. Industrial.

55

• Suponer

que una vez empezado el proceso de entrada o de salida éste se completa en su totalidad.

Problema III.22

Cuesti´ on 4 septiembre 2004-05

Se desea controlar el sistema de apertura y cierre de las puertas de los vagones del futuro Metro de Sevilla. Cada vag´ on dispone de dos puertas (A y B) identificadas con la letra y el número de vagón correspondiente (por ejemplo, A1, es la puerta A del vagón 1, y B7 es la puerta B del vagón 7). Para abrir cada puerta se dispone de una señal Apv, donde p indica la letra de la puerta y v el número de vagón (p.ej., mientras las señales AA1 y AB2 está n a 1, la puerta A del vagón 1 y la puerta B del vagón 2, respectivamente, permanecerán abiertas). Cuando el metro llega a la estación y se para (el sensor MPE=1, indica que el Metro está Parado en la Estación) se deberán abrir todas las puertas. Las puertas permanecerán abiertas durante 10 segundos, y además, durante los 5 u ´ ltimos segundos se activará una se˜ n al sonora de aviso (ACP) de que las puertas está n pr´ o ximas a cerrarse. Una vez transcurrido ese tiempo se cerrarán todas las puertas. No obstante, para evitar atrapar a alg´ u n pasajero con la puerta, se dispone de un sensor Spv, que indica que hay alguien obstruyendo la puerta correspondiente (p.ej, si el sensor SB2 está a uno significa que hay un pasajero obstruyendo la puerta B del vagón 2). De este modo, transcurridos los 10 segundos desde que se paró el metro, se deberán cerrar todas las puertas en las que no haya nadie obstruyendo la entrada, debiendo mantenerse abiertas las restantes puertas. Estas puertas se deberán ir cerrando conforme dejen de estar obstruidas. Mientras haya alguna puerta obstruida se activar´ a una alarma sonora (AL). Una vez que todas las puertas hayan sido cerradas, el sistema de control deberá activar la se˜ nal Puertas Cerradas (PC) para que el conductor sepa que puede iniciar la marcha camino a la próxima estación, y deberá mantenerse activa hasta que el metro deje de estar parado en la estación. Se dispone de un único temporizador de 5 segundos, el cual es gestionado mediante las se˜ nales (AT, FT) para activar y avisar de fin de temporización, respectivamente. Se pide: a) Indicar claramente las entradas y salidas del controlador. b) Dise˜ nar una Red de Petri que controle el proceso para dos vagones.

56



Se desea automatizar el funcionamiento de una mesa de mecanizado con dos puestos de trabajo y un brazo manipulador que se encarga de la alimentación y descarga de piezas a la mesa. El esquema de la mesa de mecanizado puede verse en la figura III.23.a.

Puesto de avellanado y descarga

Puesto de taladrado

G120

ROBOT

Puesto de carga

Figura III.23.a: Esquema de la mesa de mecanizado El proceso de mecanizado consta de dos procesos que han de hacerse de forma secuencial en los dos puestos de trabajo (puesto de taladrado y de avellanado), el autómata deber´ a tambi´ en de gestionar la carga y descarga de piezas a la mesa por parted del robot (en los puestos de carga y de avellanado/descarga), as´ı como el giro de la misma para llevar las piezas de un puesto a otro. El proceso de carga y los de mecanizado en cada puesto se realizarán de forma simultanea, la evacuación de las piezas se hará una vez hayan terminado todos los procesos. Para ello el sistema cuenta con los siguientes elementos y señales:

• Pulsadores PM :

Pone en marcha el sistema y PAR que inicia el proceso de parada.

de mecanizado. •

Señales CAR (Indica al robot que deba cargar una pieza en la mesa) y FCAR(El aut´ omata la recibe del robot cuando ha terminado de cargar la pieza)

•

Señal G120 (Gira la mesa) y sensor FG120 (Indica cuando la mesa ha terminado de girar 120o )

• Sensores TA (Taladro •

arriba) y TB (Taladro abajo)

Señales ST (Subir taladro), BT (Bajar taladro) y MT (poner en marcha el taladro)

• Sensores AA (Avellanadora arriba) y AB (Avellanadora •

abajo)

Señales SA (Subir Avellanadora), BA (Bajar Avellanadora) y MA (poner en marcha la Avellanadora)


o

•

Ing. Industrial.

57

Señales DESCAR (Indica al robot que deba descargar una pieza de la mesa) y omata la recibe del robot cuando ha terminado de descargar la FDESCAR(El aut´ pieza).

El sistema consta de tres modos de funcionamiento diferenciados:

1. Puesta en marcha: El sistema de mecanizado se pondrá en marcha cuando se pulse el pulsador PM . A partir de ese momento se realizará la puesta en marcha del sistema que consiste en el siguiente proceso: • Carga

de pieza en la mesa en el puesto de carga: Se realizará enviando al robot la se˜ nal CAR y habrá acabado cuando se reciba la señal FCAR del robot. vez cargada la pieza se girará la mesa 120o mediante la se˜ nal G120 para que la pieza cargada quede debajo de puesto de taladrado. El giro debe terminar cuando se activa la señal FG120.

• Una

• Ahora

debe producirse el proceso de carga de otra pieza en el puesto de carga y el de taladro de la pieza que está en el puesto de taladrado.

• Una

vez terminados los procesos de carga y taladrado la mesa debe volver a girar 120o y pasar al siguiente modo de funcionamiento.

2. Funcionamiento normal: Durante este modo de funcionamiento el sistema debe: • Realizar

de manera simultanea la carga, el taladrado y el avellandado de la piezas que hay en cada puesto de trabajo.

• Una

vez terminados los tres procesos se sacará la pieza desde el puesto de avellanado/descarga enviando la se˜ nal DESCAR al robot (acaba cuando se recibe la se˜ nal FDESCAR)

• volver

a girar 120 para que haya una pieza en cada punto de trabajo.

Este proceso debe repetirse hasta que despu´ es de la descarga de pieza se detecte que se ha activado la señal PAR, momento en el que debe comenzar el proceso de parada. En resumen, durante el funcionamiento normal cada pieza debe ser cargada en el puesto de carga, taladrada, avellanada y ser descargada desde el puesto de avellanado y descarga, finalizando as´ı su proceso de mecanizado. 3. Parada: En el proceso de parada el sistema debe de sacar todas las piezas de la mesa a través del puesto de avellanado independientemente de si están mecanizadas o no, de manera que la mesa quede libre de piezas. En ese momento el sistema volverá al estado inicial.

El proceso de taladrado consiste en: poner en marcha el taladro con la se˜ nal MT, bajar el taladro hasta TB, mantenerlos durante 10 segundos, volver a subirlo, pararlo y esperar otros 10 segundos hasta que se enfr´ıe la pieza.

58


An´ alogamente, el proceso de avellanado consiste en poner en marcha la avellanadora con la se˜ nal MA, bajarla hasta AB, mantenerla durante 10 segundos, volver a subirla, pararla y esperar otros 10 segundos hasta que se enfr´ıe la pieza. NOTAS:

•

El proceso de carga y descarga por parte del robot no est´ a gobernado por el aut´ omata, éste sólo indica cuando debe comenzar y retoma el control del proceso cuando haya terminado.

on) • Se dispone de un temporizador de 10 segundos con señales AT (activa temporizaci´ y FT (Fin de temporización). Se pide:

1. Indicar claramente las se˜ n ales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. 2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso de mecanizado.


Se desea controlar de manera automática los niveles de los tanques de la figura actuando sobre sus válvulas. Cuando se pulsa uno de los botones (T1T2 o T2T1), el sistema activa los elementos para la transferencia de fluido de la salida en la base de un contenedor hacia la entrada superior del otro, hasta que se pulse parar, se llene el contenedor destino o se vac´ıe el contenedor origen . Los sensores de nivel se ponen a 1 cuando el fluido está por encima del sensor.

LTH1

VLL1

VLL2

Tanque 1

BOMBA

LTH2 Tanque 2

LTL2

LTL1 VV2

VV1

T1T2

T2T1

PARAR

Figura III.24.a: Sistema de dos tanques.


o

Ing. Industrial.

59

Para ello se dispone de los siguientes elementos y señales

• LTH1

y LTH2 Sensores de nivel superior de los tanques 1 y 2 respectivamente.

• LTL1 y LTL2 Sensores

de nivel inferior de los tanques 1 y 2 respectivamente.

y VLL2 Señales que gobiernan las vá lvulas de llenado de tanques 1 y 2 respectivamente ( Señ al a 1 = Válvula abierta)

• VLL1

nales que gobiernan las válvulas de vaciado de tanques 1 y 2 respec• VV1 y VV2 Se˜ tivamente ( Se˜ n al a 1 = Válvula abierta) Señal que gobierna la bomba que se encarga de mover el l´ıquido entre ambos tanques (BOMBA a 1 = bomba en marcha).

• BOMBA

y T2T1 Pulsadores que indican al proceso el paso de fluido del tanque 1 al 2 o viceversa, respectivamente.

• T1T2

• PARAR Pulsador

de paro del proceso

Se pide:

1. Indicar claramente las se˜ n ales de entrada y salida del autómata que controle el proceso. 2. Realizar la Red de Petri que automatice el proceso.


Se desea automatizar la gestión de entrada y salida de veh´ıculos a un aparcamiento que admite dos tipos de veh´ıculos: abonados y público en general. Los abonados tienen una tarjeta que los identifica y les garantiza aparcamiento en caso de falta de espacio para aparcar. El programa debe gestionar los accesos al parking del siguiente modo. Cada vez que un veh´ıculo solicita entrar, se comprueba si hay espacio en el parking (contador). Si el parking está a no más del 50% de su capacidad, cualquier veh´ıculo que lo solicite entrará, pero si está por encima del 50%, sólo los veh´ıculos abonados tendr´ an permiso de entrada. El automatismo debe gestionar el funcionamiento del semáforo de entrada al parking as´ı como de las barreras de entrada y salida del mismo. Para ello se dispone de las siguientes se˜ nales:


elula • SE: C´

60

fotoeléctrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para entrar.

• AB:

Indica si el veh´ıculo que está esperando para entrar está abonado (AB=1) o no (AB=0).

• SPE:

C´ elula fotoeléctrica colocada en la barrera de entrada que se usa para saber si el coche está pasando bajo la barrera.

• SS:

C´ elula fotoeléctrica (sensor) que indica que hay un coche esperando para salir.

• SPS:

C´ elula fotoeléctrica colocada en la barrera de salida que se usa para saber si el coche está pasando bajo la barrera.

´ : • SEMAFORO

´ Pone el semáforo de entrada en verde SEMAFORO =1 o en rojo ´ =0. SEMAFORO

nal para subir la barrera de entrada. Debe de permanecer activada mientras la • BE: Se˜ barrera esté levantada. Si no está activada, se supone que la barrera estará bajando o bajada. No se consideran necesarios sensores de barrera totalmente subida o bajada. • BS:

Igual que BE pero para la salida.

El funcionamiento que se desea es el siguiente:

• Cuando

se detecte un coche en la entrada, el automatismo debe:

– decidir si el coche puede entrar (viendo si es abonado o no y dependiendo del

número de coches que haya dentro). – Si el coche no es admisible el semáforo debe permanecer en rojo y la barrera

de entrada bajada. – Si el coche si puede entrar el automatismo debe poner el semáforo en verde,

levantar la barrera e incrementar el contador de coches. En el momento en que el coche que esté entrando active el sensor SPE el sem´ aforo debe ponerse en rojo. Cuando hayan pasado dos segundos desde que ha pasado totalmente el coche por la barrera debe bajarse la misma. • Cuando

se detecta un coche en la salida el proceso debe ser similar al de entrada, pero sin el semáforo. – Debe decrementar el contador, levantar la barrera y mantenerla levantada hasta

que hayan pasado 2 segundos desde que el coche ha pasado totalmente por ella. – En caso de que otro coche pase por la barrera durante esos dos segundos el

contador debe decrementarse de nuevo y la barrera debe estar levantada hasta 2 segundos después de que pase el nuevo coche. • Se

dispone de dos temporizadores de 2 segundos con señales AT1, FT1 y AT2, FT2.


o

Ing. Industrial.

• Se

61

dispone de un contador con señales IC (incrementa contador), DC (decrementa contador), C0 (contador=0), C50 (contador≥ 50%) y C100 (contador =100 %).

• Los

procesos de entrada y salida pueden realizarse simultáneamente.

Se pide realizar la Red de Petri correspondiente al automatismo indicado.

Soluciones de Problemas de Control Autom´ atico 3er Curso de Ingenier´ıa Industrial

Departamento de Ingenier´ıa de Sistemas y Automática Universidad de Sevilla

´ Teodoro Alamo Federico Cuesta Daniel Lim´ on Francisco Salas Carlos Vivas Manuel Ruiz Arahal


ii

Parte I

Dise˜ no de controladores en el dominio frecuencial

1


o

3

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema I.5 1.- Diagrama de bode del sistema sin compensar El sistema presenta tres polos localizados en s = por tanto de un sistema estable a lazo abierto.

−0.2, s = −1 y s = −10. Se trata

El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.5.a módulo asintótico de G(w*j) 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 −120 −140 −160 −180 −200

Mg

ω

c

10

−2

10

−1

0

1

10

10

10

2

10

3

Fase de G(w*j) 0 −45 −90

Mf

−135 −180

ω

180

−225 −270 10

−2

10

−1

0

10

Figura I.5.a: Bode de G(s) =

1

10

10

2

10

3

5 (5s+1)(s+1)(s+10)

Con w 180 = 3.48rd/s y M g = 41.65dB. 2.- Dise˜ no de controlador PI para que M g = 20dB. El margen de ganancia del sistema sin compensar es 41.65 db, superior al requerido. Por tanto es posible aumentar la ganancia del sistema para incrementar la frecuencia de corte del sistema. Podemos tomar la ganancia proporcional del PI igual a 21db para recortar el margen de ganancia hasta los 41.65dB 21dB = 20.65dB, ligeramente por encima de los 20dB requeridos. No es conveniente apurar demasiado porque la introducción del t´ ermino integral provoca una ligera disminuci´ o n de la frecuencia ω180 del sistema compensado, que lleva asociado una disminución del margen de ganancia.

−

Tomamos por tanto K p = 21dB = 11.22. Si representamos del diagrama de bode K p G(s), tal como muestra la figura I.5.b

·

Puede observarse que la frecuencia de corte de K p G(s) es ω c = 1rd/s con un margen de fase de 48.3◦ . Nos resta fijar el tiempo integral, T i , de modo que se incremente la ganancia de baja frecuencia (aumenta el tipo del sistema), sin afectar sensiblemente a los márgenes de fase y ganancia. Tal y como se ha descrito en teor´ıa es necesario localizar 1/T i por debajo de la frecuencia de corte del sistema, en una d´ ecada y década y media. Podemos tomar, por ejemplo, 1/T i = ω c /50, es decir, T i = 50s.

·

4

Depto. Ing. de Sistemas y Automática. ESI. US. módulo asintótico de G(w*j) 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 −120 −140 −160 −180

M

f

−2

10

−1

0

10

1

10

2

10

10

3

10

Fase de G(w*j) 0 −45 −90 −135

M

g

−180 −225 −270

−2

10

−1

0

10

1

10

2

10

10

3

10

Figura I.5.b: Bode de K p G(s)

·

El controlador finalmente resulta K (s) = 11.22

s + 0.02 s

con una frecuencia de corte ωc = 1rd/s, M f = 47.0147◦ , y ω180 = 3.47rd/s, M g = 20.62dB. El bode del sistema compensado con el PI puede observarse e n la figura I.5.c. 3.- Dise˜ nar Red mixta para ep rp

≤ 1% y M ≥ 30. f

Para satisfacer la especificación de error en régimen permanente, eprp ponemos: 1 eprp = 0.01 k p 99 1 + k p

≤

con

⇒

≤ 1%, im-

≥

5 1 + α1 τ 1 s 1 + τ 2 s K c = 0.5kc s→0 (5s + 1)(s + 1)(s + 10) 1 + τ 1 s 1 + α2 τ 2 s

k p = lim luego kc

≥ 198. Se puede tomar por tanto k = 198 = 45.94dB c

Dado que no tenemos especificaciones en frecuencia de corte podemos tomar como frecuencia de corte deseada ω c′ la frecuencia de 180 ◦ , ω 180 . En este caso, y ya que ∠G( jω c′ ) = 180◦ , el aporte de fase de la red mixta debe coincidir con el margen de fase deseado, más el aporte extra necesario para compensar la disminución de la frecuencia de corte inherente al método de dise˜ n o de la red. Es ◦ ◦ ◦ decir, tomamos Φm = 30 + 5 = 35 , de donde deducimos

−

α2 =

1 senΦm = 0.271 1 + senΦm

−


o

5

Ing. Industrial. módulo asintótico de G(w*j)

80 60 40 20 0

M

g

−20 −40 −60 −80 −100 −120 −4 10

−3

10

−2

−1

10

0

10

1

10

2

10

10

Fase de G(w*j) 0 −45 −90 −135 M

f

−180 −225 −270 −4 10

−3

10

−2

−1

10

0

10

10

1

2

10

10

Figura I.5.c: Bode del sistema compensado K (s) G(s)

·

Interesa localizar el máximo avance de fase de la red en la frecuencia de corte deseada para el sistema compensado. Dado que el m´ aximo avance de fase se produce en 1/ α2 τ 2 , tendremos

√

1 √ α12τ 2 = ω ′ = ω180 ⇒ √ 0.271τ c

= 3.48rd/s

2

⇒

τ 2 = 0.552rd/s

Sabiendo que la ganancia a ba ja frecuencia de la red mixta es K c , y que K c G( jω c′ ) = M g = 41.65dB, podemos calcular

|

K c M g = 20log10

−

1 1 10log10 α1 α2

−

⇒

45.94dB 41.65dB = 20log10

−

|

1 1 10log10 α1 0.271

−

Ecuaci´ on de la que deducimos que α 1 = 0.319. Por u ´ltimo seleccionamos τ 1 para localizar el polo de la componente de retardo de la red suficientemente por debajo de la frecuencia de corte ωc′ , pero no demasiado alejado para evitar la aparici´ on de dinámicas lentas en lazo cerrado. En la práctica suele bastar con separar ambas frecuencias entre una década y década y media, por ejemplo 1 ωc′ = = 0.348rd/s α1 τ 1 10 luego τ 1 = 9rd/s. As´ı pues, la red de compensación resulta K (s) = 198

1 + 2.872s 1 + 0.552s 1 + 9s 1 + 0.15s

La figura I.5.d muestra el diagrama de bode del sistema compensado, donde puede observarse una frecuencia de corte ωc = 3.5rd/s con margen de fase M f = 31.04◦ ,

6


y ω180 = 7.25rd/s y margen de ganancia M g = 7.06dB. Se verifican por tanto las especificaciones impuestas. módulo asintótico de G(w*j) 60 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 −120 −140 −160

−2

−1

10

0

10

10

1

2

10

10

3

10

Fase de G(w*j) 0 −45 −90 −135 −180 −225 −270

−2

−1

10

0

10

10

1

2

10

10

3

10

Figura I.5.d: Bode del sistema compensado mediante una red mixta

4.- Dise˜ no de un PID de caracter´ısticas similares a la red mixta del apartado anterior. La red mixta y el controlador PID presentan una estructura id´ entica en la zona de frecuencia intermedia. Las diferencias se localizan en la zonas de ba ja y alta frecuencia, donde la red mixta introduce un cero y un polo respectivamente, para limitar la ganancia en estas zonas del espectro. Para obtener un controlador PID que coincida con nuestra red mixta en la zona de frecuencia intermedia sólo es necesario fijar los dos ceros del PID en 1/α1 τ 1 y 1/τ 2 , y ajustar la ganancia para que coincida con la de la red mixta entre estas dos frecuencias. Es decir, si tomamos un PID de la forma

−

−

C (s) = K

1 + T 1 s (1 + T 2 s) T 1 s

es fácil comprobar que este controlador tiene dos ceros localizados en 1/T 1 y y ganancia K en la zona de frecuencia intermedia (entre los dos ceros).

−

Igualando la posici´ on de los ceros de la red mixta con los del PID tenemos 1 T 1 1 T 2

= =

1 = 0.348rd/s α1 τ 1 1 1 = rd/s τ 2 0.552

⇒ ⇒

T 1 = 2.872s T 2 = 0.552s

e igualando las ganancias en la zona de frecuencia intermedia tenemos K = k c α1

⇒

K = 198 0.319 = 63.16

·

−1/T 2,


o

7

Ing. Industrial.

Diagrama de Bode 60

55

Módulo PID

) B 50 d ( o l u d ó 45 M

Módulo Red Mixta 40

35 −2 10

−1

0

10

10 (rad/s)

1

10

2

10

ω

100

50 ) s o d a r g ( e s a F

Fase Red Mixta 0

−50 Fase PID −100 −2 10

−1

10

0

10 (rad/s)

1

10

2

10

ω

Figura I.5.e: Bode del controlador PID y la red Mixta

La figura I.5.e representa el diagrama de Bode del controlador PID y la Red Mixta.

5.- Ventajas e inconvenientes de un controlador PID frente a la red mixta. Tal como se ha descrito en teor´ıa, los efectos sobre un sistems de un controlador PID y una red mixta presentan importantes similitudes, especialmente en la zona de frecuencias intermedias. Las diferencias esenciales aparecen en las zonas de baja y alta frecuencia. As´ı, por ejemplo, si atendemos a la zona de bajas frecuencias, observamos que un controlador PID introduce un polo en el origen que induce un incremento del tipo en el sistema controlado. En el diagrama de bode este cambio es observable como una aumento creciente de la ganancia a bajas frecuencias (idealmente, ganancia infinita a frecuencia cero). Como principal ventaja de este cambio tenemos una mejora en el comportamiento de de régimen permanente y ante p erturbaciones mantenidas externas. Por ejemplo, un sistema tipo 0, controlado con un PID puede diseñarse para presentar error de seguimiento en posición nulo ante entradas en escalón, y rechazar igualmente con error de seguimiento en posición nulo, perturbaciones mantenidas sobre el sistema. Un inconveniente asociado a las altas ganancias a baja frecuencia de PID, se encuentra en el fenómeno de saturación de efecto integral, que aparece por efecto de las saturaciones de la acción de control, y que deteriora el comportamiento en el régimen transitorio del sistema. La red mixta en cambio, no introduce polos en el origen y por tanto no cambia el tipo del sistema. El controlador no tiene capacidad de rechazar perfectamente las perturbaciones mantenidas (inconveniente), aunque si puede limitar en gran medida su efecto. La ganancia limitada a bajas frecuencias reduce el efecto de saturaci´ on del término integral (ventaja).


8

En la zona de altas frecuencias, la ganancia creciente del PID con la frecuencia, presenta el inconveniente de la amplificación de ruidos, normalmente localizados en esta zona del espectro. La red mixta mitiga este efecto introduciendo un polo de alta frecuencia que limita la ganancia a altas frecuencias y por tanto la amplificaci´ on del ruido.


o

9

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema I.9 1.- Diagrama de bode del sistema sin compensar En primer lugar calculamos los polos y ceros de la función de transferencia en bucle abierto, que en este caso son: ceros s = 1 y polos s = 0, s = 1 y s = 10, por lo que como se deduce fácilmente se anulan en polo y el cero en s = 1 y el sistema a controlar queda:

−

G(s) =

−

−

−

1000 100 = s s(s + 10) s( 10 + 1)

Por lo tanto el diagrama de Bode queda módulo asintótico de G(w*j) 80 60 40 20 wc

0 −20 −40 −60 −80 −1 10

0

1

10

2

10

3

10

10

Fase de G(w*j) −100 −120 −140 −160 Mf −180 −1 10

0

1

10

2

10


Con w c = 31.5rd/s, M f = 17.60 y M g =

3

10

10

1000 s(s+10)

∞.

2.- Dise˜ no de controlador proporcional para que ev rp

≤ 10% y M ≥ 400 . f

En primer lugar calculamos la ganancia necesaria para cumplir la especificació n de error en régimen permanente 1 0.1 K v K v = lim sC (s)G(s) = 100K c

evrp =

≤

s

→0

por lo tanto para que se cumpla la especificación de error en régimen permanente el controlador proporcional ha de cumplir K c 0.1

≥

10


Para cumplir la especificación en margen de fase, si nos fijamos en el bode del sistema sin compensar, es necesario desplazar hacia la izquierda la ωc de tal forma que la fase quede por encima de 1400 .

−

Este desplazamiento hacia la izquierda debe hacerse disminuyendo la ganancia del controlador, p or lo tanto si para la ganancia m´ınima que cumple la especificaci´ on de 0 error en régimen permanente el sistema tiene un M f 40 ya tendr´ıamos resuelto el problema y en caso contrario no se p odr´ıan cumplir las especificaciones con un controlador proporcional.

≥

En el diagrama de bode de 0.1G(s) de la figura I.9.b se observa que la el margen de fase es de 450 y por lo tanto se cumplen ambas especificaciones para un controlador C (s) = 0.1. módulo asintótico de K *G(w*j) c

60 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 −1 10

0

1

10

10

2

3

10

10

Fase de K *G(w*j) c

−90

−135

−180 −1 10

0

1

10

10

2

3

10

10

Figura I.9.b: Bode de 0.1G(s)

3.- Dise˜ no de controlador proporcional para que ev rp

≤ 10%, M ≥ 400 y ω ≥ 20rd/s. f

c

Del diagrama de bode del sistema es fácil ver que no es posible cumplir las tres especificaciones sólo variando la ganancia del sistema en bucle abierto por lo que será necesario recurrir a otro tipo de controlador. Dado que tenemos que aumentar la fase sin disminuir el ancho de banda del sistema recurriremos a una Red de Avance de fase. C (s) = K c

1 + τs con α < 1 1 + ατ s

En primer lugar elegimos la ganancia K c de tal forma que se cumplan las especificaciones de error en régimen permanente y de ω c y dibujamos el bode de K c G(s). En nuestro caso vamos a coger K c = 1 que cumple ambas especificaciones y además ya tenemos dibujado su diagrama de bode (ver figura I.9.a).


o

11

Ing. Industrial.

Una vez elegida la ganancia diseñamos el resto de la red de avance. El margen de fase del sistema K c G(s) es de 170 y por lo tanto la suma máxima de fase de la red debe ser:

φm = M f d

sin φ − M + ∆ = 400 − 170 + 50 = 280 ⇒ α = 11 +− sin φ

m

f

= 0.4

m

Una vez calculado el valor de α, la suma de magnitud por parte del controlador en la frecuencia ω m a la que se se produce el máximo incremento de fase φ m es A = 10log

1 = 4dB α

Buscando en el diagrama de bode de K c G(s) la frecuencia para la que la magnitud es A, ésta será la nueva ω c′ = ω m = 40rd/s. Por lo tanto

−

ωm =

1 1 √ √ α = 0.04 τ = ⇒ τ α ω m

As´ı pues la red de avance queda C (s) =

1 + 0.04s 1 + 0.016s

y el diagrama de bode de C (s)G(s) será el de la figura I.9.c con ωc = 40rd/s y M f = 400 módulo asintótico de C(s)G(s) 60 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −100

0

10

1

10

2

10

3

10

Fase de C(s)G(s) −90

−135

−180

0

10

1

10

2

10

Figura I.9.c: Bode de C (s)G(s)

3

10

12


Soluci´ on del problema I.10 1.- Diagrama de bode del sistema sin compensar El sistema presenta tres polos a lazo abierto localizados en s = 0, s = El diagrama de Bode resulta tal como muestra la figura I.10.a

−1 y s = −5.

módulo asintótico de G(w*j) 60 40 20

M

0

g

ω

c

−20 −40 −60 −80 −100 −120 −140 −160

−1

0

10

1

10

2

10

10

Fase de G(w*j) −90

−135

M

f

−180

ω

180

−225

−270

−1

0

10

1

10

2

10

10


10

s(s+1)(s+5)

Con ω c = 1.42rd/s, M f = 19.29◦ , ω 180 = 2.23rd/s y M g = 7.92dB. 2.- Dise˜ nar un controlador PD para que tenga una ganancia de 0dB en ωc = 5rd/s y margen de fase de 45. Para desplazar la frecuencia de corte del sistema compensado a ωc′ = 5rd/s necesitamos en primer lugar conocer que ganancia debe aportar el PD a esa frecuencia. As´ı calculamos

|G( jω ′ )| c

dB

= 20log10 10 20log10 ( jω c′ ) 20log10 ( jω c′ +1) 20log10 ( jω c′ +5) =

−

−

−

−25.12dB

El PD deberá aportar por tanto 25.12dB en ωc′ = 5rd/s. Análogamente, si calculamos

′ = 0 − 90 − ∠( jω ′ + 1) − ∠( jω ′ + 5) = −213.7◦ c c concluimos que el PD debe aportar −180◦ + 45◦ − ( −213.7◦ ) = 78.7◦ ≃ 80◦ en ωc′ = 5rd/s, para obtener un margen de fase de 45 ◦ para el sistema compensado. De ∠G( jω c )

esta condición podemos deducir T d de la expresión ∠(1 +

T d ωc′ j) = 80◦

⇒

T d ωc′ = tan 80◦

⇒

T d = 1.134rd/s

Conocido T d , calculamos K c imponiendo la condición de módulo

|K (1 + T ω′ j)| = 25.12dB ⇒ |K | c

d c

c dB +

|T ω′| ≃ 25.12dB d

dB


13

Ing. Industrial.

o

de donde deducimos K c = 25.12dB

− 20log10 (5 · 1.134)dB = 10.05dB

La figura I.10.b muestra el diagrama de Bode del sistema compensado con el controlador PD, mostrando una frecuencia de corte de 5.05rd/s y margen de fase 46 ◦ . módulo asintótico de G(w*j) 60 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 10

−1

0

10

10

1

10

2


−135

−180 10

−1

0

10

10

Figura I.10.b: Bode del G(s) =

1

10 s(s+1)(s+5)

10

2

compensado con un PD

3.- Dise˜ no de una red de avance con Φ m = 50◦ y margen de fase del sistema compensado de 45◦ . Una aportaci´ on de fase Φ m = 50◦ se corresponde con un valor de α α =

1 senΦm = 0.1325 1 + senΦm

−

Para obtener un marge de fase de 45 ◦ , el máximo aporte de fase debe producirse a la frecuencia, ωc , en que ∠G( jω c ) = 185◦ .

−

Podemos calcular esta frecuencia de la expresión ∠G( jω c )

= 0◦

= −185◦ − 90◦ − ∠( jω + 1)( jω + 5) = −90◦ − arctan 5 6ω 2 −ω c

c

c

c

de donde obtenemos 6ωc = tan 95◦ = 2 5 ωc

−

−11.43 ⇒

ωc = 2.514rd/s

El módulo del sistema a esta frecuencia puede calcularse

|G( jω )| = 20log10 10 − 20log10 ( jω ) − 20log10 ( jω c

c

c +1)

− 20log10 ( jω

c +5)

=

−11.61dB

14


Conocida la frecuencia de corte del sistema compensado, calculamos τ sabiendo que el máximo aporte de fase se produce a la frecuencia √ 1ατ

√ 1ατ = ω ⇒ c

τ = 1.093s

Resta por determinar la ganancia K c de la red de avance, que podemos calcular imponiendo que el sistema compensado tenga su frecuencia de corte en la frecuencia ωc previamente calculada. Es decir K c

|

dB +

1 + G( jω c ) = 0 α

10 log 10

|

|

K c

⇒

|

dB

= 2.83dB

La red de avance diseñada queda pues K (s) = 1.386

1 + 1.025s 1 + 0.1358s

4.- Dise˜ no de una red de retardo para obtener ev rp

≤ 20% y M

f

= 45◦

Para comenzar, imponemos la especificación de régimen permanente evrp = kv = lim sK c s

→0

1 kv

≤ 0.2 ⇒

kv

≥ 5

1 + τs 10 = 2K c 1 + ατ s s(s + 1)(s + 5)

≥ 5 ⇒

K c

≥ 2.5

Tomamos por tanto K c = 2.5 Si dibujamos el diagrama de Bode de K c G(s), tal como muestra la figura I.10.c, podemos observar que el sistema presenta frecuencia de corte ωc = 2.23rd/s y margen de fase M f = 0.

·

Tomamos a continuaci´ on la frecuencia ω ′ ωc a la cual ∠G( jω ′ ) = En nuestro caso ′ ◦ ◦ ◦ ∠G( jω ) = 180 + 45 + 5 = 130◦

≤

−

−180+ M

f d + ∆.

−

expresión que puede resolverse según se mostró en el apartado 3 6ω′ ′ ◦ ∠G( jω ) = −90 − arctan

= −130◦ ′ 2 5−ω

6ω ′ = tan 40◦ = 0.8391 ω ′ = 0.64rd/s ′ 2 5 ω Calculamos el valor de α imponiendo que la frecuencia de corte del sistema compensado esté en ω ′ , o lo que es lo mismo

⇒

−

|K G( jω ′ )| = 20log10(α)dB ⇒ c

α = 6.53

Para finalizar fijamos τ , para que la red no produzca una ca´ıda apreciable de fase en el sistema. Como se ha discutido en teor´ıa, una regla práctica consiste en localizar el cero del controlador, 1/τ , entre una década y d´ ecada y media por debajo de la frecuencia de corte del sistema. Podemos tomar por ejemplo 1 ω′ = = 0.032rd/s τ 20

⇒

τ = 31.25s


15

Ing. Industrial.

o

módulo asintótico de G(w*j) 60 40 20 0 −20 −40 −60 −80 −100 −120 −140 −160 10

−1

0

10

10

1

10

2


−135

−180

−225

−270 10

−1

0

10

10

1

Figura I.10.c: Bode de K c G(s) =

·

10

2

25

s(s+1)(s+5)

La red de retardo final resulta K (s) = 2.5

1 + 31.25s 1 + 204.06s

con la que es fácil comprobar que el sistema compensado cumple las especificaciones impuestas, presentando el error en régimen permanente requerido, y una frecuencia de corte ω c = 0.64rd/s, con un margen de fase de 47.64◦ .

16


Soluci´ on del problema I.16 1.-

• Ganancia m´ınima del sistema

La constante de error en velocidad del sistema puede expresarse como kv = lim s kc s

→0

·

s + 0.1τ = 0.01kc s(s + 1)2 (s + 10τ )

Luego ev =

1 kv

≤ 10%

⇒

kc

≥ 0.6

⇒

≥ 1000

• Sobreoscilación De la gráfica proporcionada obtenemos SO

≤ 5%

⇒

δ

M f

o

≥ 60

• Tiempo de subida ts

≈ 2ωπ ≤ 1s c

⇒

ωc

≥ π2 ≈ 1.6rd/s

Diagrama de Bode 100

) B d ( o l u d ó M

50

0

−50

−100 −2 10

−1

10

0

10 ω (rad/s)

1

10

2

10

−50 −100 ) s o d−150 a r g ( e s−200 a F

−250 −300 −2 10

2.-

−1

10

0

10 ω (rad/s)

1

10

Figura I.16.a: Bode para τ = 1 con kc = 1000

2

10


17

Ing. Industrial.

o

3.- El sistema con kc = 1000 presenta un M f =

o

−34.15

luego

• Con una red de avance necesitamos incrementar la fase del sistema en ∆M = 60 − (−34.15 ) = 94.15 . Valor mayor que los teóricos 75 recomendables como f

o

o

o

o

máximo para una red de este tipo.

• Con un PD, tampoco es posible por el mismo motivo.

En teor´ıa podr´ıamos alcanzar un avance de fase m´ aximo de 90o , si bien este valor es excesivo en la práctica por cuestiones de sensibilidad del control y amplificaci´ on de ruidos.

• Un PI, incrementa en 1 el tipo del sistema, por lo que no es necesario fijar

kc = 1000 (ev = 0 con independencia del valor de la ganancia), pero el margen de fase del sistema a la frecuencia de corte deseada, 1.6rd/s es 51.30 , menor que los 60o requeridos. Luego, un PI tampoco nos sirve.

4.- La red de retardo, al igual que el PI, no aporta fase al sistema, luego la máxima frecuencia de corte que podremos obtener a lazo cerrado será aquella para la cual el sistema sin compensar presente el margen de fase requerido. Esto es, tomamos como frecuencia de corte deseada ω ′ , tal que ∠G( jω ′ ) = 180o + 60o + 5o = 115o . De la gráfica del Bode deducimos que ω ′ = 1.27rd/s, valor que es inferior a los 1.6rd/s requeridos, luego el diseño con una red de retardo no es posible.

−

−

Si no imponemos restricciones a la sobreoscilación, no tendremos tampoco restricción sobre el margen de fase, por lo que podemos diseñar la red de retardo fijando la frecuencia de corte deseada en ω ′ = 1.6rd/s. As´ı, podemos calcular α de la expresión

|k G( jω ′)| = 20log10 α c

resultando α = 27.86, valor que proporciona un margen de fase de 51.3o (ya calculado en el apartado anterior) que se corresponde a su vez con una sobreoscilación aproximada del 15% seg´ un la gráfica. 5.- Calculamos en primer lugar el aporte de fase necesario a la frecuencia de corte deseada ω ′ = 1.6rd/s. M f d + ∆ = 180 o

− ∠G( jω ′ ) + Φ

m

Expresión que particularizamos para obtener 60o + 7 o = 180o + ( 128o ) + Φm . Es decir. necesitamos aportar Φm = 15o , valor que nos proporciona un

−

α2 =

1 senΦm = 0.59 1 + senΦm

−

Dado que pretendemos que el máximo avance de fase se produzca a la frecuencia de corte deseada, tendremos ωm =

√ α12τ 2 = ω ′ = 1.6rd/s

→

τ 2 = 0.815rd/s

18


Para el dise˜ n o de la parte de retardo de la red imponemos en primer lugar, la condici´ on de que el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuencia deseada. Es decir

|k G( jω ′ )| = 20log10 ( α11 ) − 10log10 ( α12 ) c

expresión de la que obtenemos un valor α1 = 0.028. Finalmente alejamos lo suficiente (una década) la red de retardo de la frecuencia de corte, para no deteriorar el avance de fase conseguido 1 ω′ = τ 1 = 224.11s α1 τ 1 10

→

La red dise˜ nada ser´ a por tanto K (s) = 1000

1 + 6.25s 1 + 0.815s 1 + 224.11s 1 + 0.48s

Para que el dise˜ n o sea válido para el rango de valores de τ requerido, es suficiente con dise˜ nar para el caso más desfavorable. Podemos determinar cual es el caso más desfavorable si tenemos en cuenta la descomposición del sistema mencionada en el enunciado. Si trazamos el bode, tal como representa la figura, de G 1 (s) = s(1000 junto con la ”red de avance” asociada para s+1) τ = 0.1 y τ = 1, podemos observar que la red de avance está siempre situada a frecuencias inferiores a la frecuencia de corte del sistema, ωc = 10rd/s, por lo que ésta no var´ıa aunque modifiquemos τ . Ademá s es fácil comprobar que, para frecuencias superiores a 1rd/s, el aporte de fase de la red disminuye a medida que disminuye τ (ver figura). Por tanto, el caso más desfavorable, aquel que implica un menor margen de fase del sistema a la frecuencia de corte deseada ω ′ = 1.6rd/s, será el correspondiente a τ = 0.1. Para este valor obtenemos un valor para la fase del sistema en ω ′ = 1.6rd/s ′ 177o ∠G( jω ) = 2

−

Es necesario por tanto aportar como m´ınimo 60o 180o +177o = 57o a la frecuencia de corte deseada, para verificar las especificaciones impuestas. Si a˜ nadimos una o o margen adicional ∆ = 5 , obtenemos Φm = 62 . Este valor proporciona un

−

α2 =

1 senΦm = 0.0622 1 + senΦm

−

Para obtener el máximo avance de fase a la frecuencia de corte deseada, tendremos ωm =

√ α12τ 2 = ω ′ = 1.6rd/s

→

τ 2 = 2.51rd/s

Para el dise˜ no de la parte de retardo de la red, imponemos de nuevo la condición de que el sistema compensado tenga la frecuencia de corte a la frecuencia deseada. Es decir 1 1 kc G( jω ′ )τ =0.1 = 20log10 ( ) 10log10 ( ) α1 α2

|

|

−

expresión en la sustituyendo obtenemos 43.5dB = 20log10 (

1 ) α1

− 12.06dB


19

Ing. Industrial.

o

150

Bode de G 1 (s) =

100 ) B d ( o l u d ó M

50

1000

s(s+1)2

τ = 0.1

0 −50

τ = 1

−100 −150 −3 10

−2

10

−1

0

10

10

1

10

2

10

3

10

100 (rad/s)

ω

) s o d a r g ( e s a F

0

−100

−200

−300 −3 10

−2

10

−1

0

10

10

1

10

2

10

3

10

(rad/s)

ω

Luego α 1 = 0.0017. Finalmente alejamos lo suficiente (una década) la red de retardo de la frecuencia de corte, para no deteriorar el avance de fase conseguido 1 ω′ = α1 τ 1 10

→

τ 1 = 3748.7s

La red dise˜ nada ser´ a por tanto K (s) = 1000

1 + 5.91s 1 + 2.51s 1 + 3748.7s 1 + 0.156s

Cabe comentar sobre este diseño, que el valor obtenido para α1 es muy pequeño (menor que 0.01), lo que puede resultar problemático desde el punto de vista de la implementació n pr´ actica del controlador. Adem´ as valores tan reducidos de α1 , t´ıpicamente introducen polos lentos en el controlador, que hace que la respuesta del sistema a bucle cerrado sea muy lenta.


20

Parte II

Dise˜ no de controladores usando el lugar de las ra´ıces

21


o

23

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema II.2 1.- Lugar de las ra´ıces para K positiva El sistema tiene 3 polos reales en -1, -3, -10 y un cero real en -8

• Lugar de las ra´ıces sobre el eje real : El lugar de las ra´ıces sobre el eje real queda como en la figura II.2.a. 25

20

15

10

5

0

−5

−10

−15

−20

−25 −10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

Figura II.2.a: Lugar de las ra´ıces sobre el eje real

• Puntos de separaci´ on e ingreso : Los puntos de separación e ingreso no es nece-

sario calcularlos (ver enunciado) aunque se puede estimar a la vista del lugar de las ra´ıces sobre el eje real que debe haber uno entre los polos en -1 y -3 ya que habitualmente hay un punto de separación cuando el eje real entre dos polos reales pertenece al lugar de las ra´ıces sobre el eje real.

• As´ıntotas : El sistema tiene tres polos y un cero, por lo que el exceso de polos sobre ceros es dos, con lo que debe haber dos as´ıntotas en ±900 . Efectivamente si aplicamos la fórmula para el cálculo de as´ıntotas γ =

1800 n

+ 3600 l

−m

l = 0 . . . n

−m−1 ⇒

 −

ci



γ 1 = γ 2 =

1800 +3600 0 2 1800 +3600 1 2

∗ = 900 ∗ = 2700

y el centroide queda: σ =

pi n

−m

=

−1 − 3 − 10 + 8 = −3

• Puntos de corte con el eje imaginario: Routh.

2

Para calcularlos usamos el criterio de

24


El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es: dbc (s) = s 3 + 14s2 + (K + 43)s + (8k + 30) La tabla de Routh queda del siguiente modo: 3 2 1 0

1 14 14(43+K ) (8K +30) 14

−

8K + 30

K + 43 8K + 30 0 0

Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que en nuestro caso significa 14(43 + K ) (8K + 30) =0 14 8K + 30

−

⇒ ⇒

K =

−105 K = −3.75

Por lo tanto, como era de esperar no existen cortes con el eje imaginario. As´ı pues el lugar de las ra´ıces del sistema es: 25

20

15

10

5

0

K

1

−5

−10

−15

−20

−25 −10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

Figura II.2.b: Lugar de las ra´ıces del sistema

−1

0


o

25

Ing. Industrial.

2.- La sobreoscilación en el sistema original G(s) =

K (s + 8) (s + 1)(s + 3)(s + 10)

evoluciona de la siguiente forma:

• para valores de K < K 1 el sistema no presenta sobreoscilación puesto que tiene todos sus polos reales

• para valores de K > K 1 la sobreoscilación aumenta a medida que lo hace K , ya que aumenta el ángulo de los polos en bucle cerrado.

El lugar de las ra´ıces del sistema modificado G(s) =

K (s + 8) (s + 1)(s + 3)

es y la sobreoscilación evoluciona de la siguiente forma: 6

K

4

2

2

0

K

K

3

1

−2

−4

−6 −15

−10

−5

Figura II.2.c: Lugar de las ra´ıces del sistema modificado G(s) =

0

K (s+8) (s+1)(s+3)

• para valores de K < K 1 el sistema no presenta sobreoscilación puesto que tiene todos sus polos reales

• para valores de K 2 > K > K 1 la sobreoscilación aumenta a medida que lo hace

K , ya que aumenta el ángulo de los polos en bucle cerrado, teniendo su valor máximo en K = K 2 .

26


• para valores de K 3 >

K > K2 la sobreoscilaci´ on disminuye a medida que aumenta K , ya que disminuye el ángulo de los polos en bucle cerrado, pasando a valer cero en K = K 3 .

• para valores de K > K 3 la sobreoscilación es cero puesto que todos los polos de bucle cerrado son reales.

3.- Las especificaciones temporales del sistema se pueden transformar en especificaciones en el plano complejo

• e (escalon) ≤ 20% ⇒ K > 12 • δ ≥ 0.6 • t < 1s ⇒ ω 2.76 rp

s

n

de tal forma que se produce una región permitida en el lugar de las ra´ıces del sistema modificado K G(s) = (s + 1)(s + 3)

3 2.77

B 0.6

A

2

1

0

−1

−2 0.6

2.77 −3 −3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

Figura II.2.d: Lugar de las ra´ıces del sistema modificado G(s) =

0

K

(s+1)(s+3)

Por lo tanto valores de K que hacen que el sistema tengan los polos entre A (K A ) y


o

27

Ing. Industrial.

B (K B ) cumplirán las especificaciones de transitorio (δ y ω n ). Por lo tanto hay que calcular K A y K B Los polos del sistema en bucle cerrado cuando son complejos serán s = jω n 1 δ 2

√ −

−δω ± n

• El punto A tendrá δω = − 2 y ω = 2.76 por lo tanto el valor del polo es s = − 2 + 1.9 j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la funci´ o n de n

n

transferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de K A = 4.61

• El punto B tendrá δω = −2 y δ = 0.6 por lo tanto el valor del polo es s = −2 + 2.67 j. Si sustituimos ese valor en el denominador de la funció n de n

transferencia en bucle cerrado y despejamos K obtenemos el valor de K B = 8.11

Por lo tanto valores de K comprendidos entre 4.61 y 8.11 cumplir´ an las especificaciones de transitorio (δ y ω n ). Como además para cumplir la especificación de error en régimen permanente ha de cumplirse que K > 12 podemos concluir que no hay ning´ un valor de K que cumpla las tres especificaciones.

28


Soluci´ on del problema II.3 1.- Lugar de las ra´ıces generalizado tomando K A = 4. Es fácil comprobar que la función de transferencia de lazo cerrado del sistema de la figura tiene la forma T (s) =

K A s(s+K T +1) A 1 + s(s+K K T +1)

K A

K A s +s+K = 2 = s + s(K T + 1) + K A 1 + s +K s+sK 2

A

2

T

A

A la vista de la expresión anterior, y teniendo en cuenta el valor K A = 4 impuesto por las especificaciones, resulta evidente que el lugar de las ra´ıces generalizado del sistema en función de K T puede obtenerse como el lugar de las ra´ıces de G ′ (s) = s +ss+4 . 2

El sistema generalizado equivalente tiene 2 polos complejos conjugados en y un cero real en 0.

−1± j √ 15 , 2

• Lugar de las ra´ıces sobre el eje real :

A la vista de la configuració n de polos y ceros del sistema, el lugar de las ra´ıces sobre el eje real coincide con el eje real negativo.

• Puntos de separaci´ on e ingreso: obtenerse imponiendo

dK T dt

Los puntos de separación e ingreso pueden = 0 con K T

(s2 + s + 4) − = s

luego dK T (2s + 1)s (s2 + s + 4)) s2 4) = = =0 dt s2 s2 de donde deducimos que los puntos de separación se encuentran el s = los cuales sólo el punto s = 2 tiene sentido.

−

−

− −

−

±2, de

• As´ıntotas : El sistema tiene dos polos y un cero, por lo que el exceso de polos sobre ceros es uno, con lo que tenemos una única as´ıntota en 1800 . Efectivamente, aplicando la fórmula para el cálculo de as´ıntotas 1800 + 3600 l γ = n m

−

l = 0 . . . n

−m−1

 ⇒

γ 1 =

1800 +3600 0 1

∗ = 1800



El cálculo del centroide no aporta informaci´ on relevante en este caso, pero podemos calcularlo como σ =

 − pi n

ci

−m

• Puntos de corte con el eje imaginario:

=

−1 − 0 = −1 1

Para calcularlos usamos el criterio de

Routh. El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es: dbc (s) = s 2 + s(K T + 1) + 4


o

29

Ing. Industrial.

La tabla de Routh queda del siguiente modo: 2 1 4 1 K T + 1 0 0 4 0 Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse negativo o cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que en nuestro caso implica K T 0. Dado que se asumen valores positivos para K T , podemos concluir que el lugar de las ra´ıces no presenta cortes con el eje imaginario, o equivalentemente, el sistema es estable a lazo cerrado para todo valor de K T 0.

≤

≥

As´ı pues el lugar de las ra´ıces del sistema resulta, tal como muestra la figura II.3.a. 2

1.5

1

0.5 o i r a n i g a m I e j E

0

−0.5

−1

−1.5

−2 −3

−2.5

−2

−1.5

−1 Eje Real

−0.5

0

0.5

1

Figura II.3.a: Lugar de las ra´ıces del sistema

2.- Valor de K T para que el sistema no presente sobreoscilación a lazo cerrado. El sistema a lazo cerrado es de segundo orden sin ceros, luego la sobreoscilación desaparece valores del amortiguamiento cr´ıtico (δ = 1) y superiores, o equivalentemente, para aquel valor de K T que sitúe ambos polos de lazo cerrado sobre el eje real. Podemos calcular este valor a partir del resultado previamente calculado de los puntos de separación del eje real. Sabiendo que el punto de separación está situado en s = 2, podemos imponer la condición de pertenencia al lugar de las ra´ıces y calcular s2 + s(K T + 1) + 4 = 0 para s = 2, y obtener K T = 3.

−

−

30


Por tanto para valores de K T

≥ 3 el sistema no sobreoscila.

3.- Rango de valores de K A que anulan la sobreoscilación con K T = 5. En este caso, a partir de las expresiones desarrolladas en el apartado 1, podemos deducir que el polinomio del sistema a lazo cerrado resulta dBC (s) = s 2 + 6s + K A El sistema no presenta sobreoscilación para aquellos valores de K A que hacen que el polinomio anterior no tenga ra´ıces complejas conjugadas. Esto se verifica si el discriminante del polinomio es positivo, es decir 36 4K A 0. Luego el rango de valores buscado es K A (0, 9].

∈

−

≥


o

31

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema II.8 1.- Lugar de las ra´ıces en función de K . El sistema presenta un par de polos conjugados en s = s = 0.

−4 ± 4 j y un polo real en

A continuación se calculan los parámetros que definen la forma del lugar de las ra´ıces.

• Lugar de las ra´ıces sobre el eje real :

A la vista de la configuraci´ on de polos y ceros del sistema, es inmediato concluir que el lugar de las ra´ıces sobre el eje real coincide con el eje real negativo.

• Puntos de separaci´ on e ingreso: obtenerse imponiendo

dK = dt

Los puntos de separación e ingreso pueden

0 con

K =

−s((s + 4)2 + 16)

luego dK = (3s2 + 16s + 32) = 0 dt expresión que sólo tiene soluciones complejas, s = 2.6667 1.8856 j. Por tanto, no tenemos puntos de separación del eje real.

−

−

±

• As´ıntotas :

El sistema tiene tres polos y ning´ u n cero, por lo que el exceso de polos sobre ceros es tres. Esto indica que tenemos tres as´ıntotas en 600 y 1800 . Aplicando la fórmula para el c´ alculo de as´ıntotas

γ =

1800 n

+ 3600 l

−m

±

 ⇒ 

l = 0 . . . n m 1

− −

El cálculo del centroide nos indica σ =

 − pi n

−m

ci

=

γ 1 = γ 2 = γ 3 =

1800 +3600 0 3 1800 +3600 1 3 1800 +3600 2 3

∗ = 600 ∗ = 1800 ∗ = 3000 = −600

−8 − 0 = −2.67 3

• Puntos de corte con el eje imaginario : Para calcularlos usamos una ve más el criterio de Routh. El denominador de la función de transferencia en bucle cerrado es: dbc (s) = s 3 + 8s2 + 32s + K La tabla de Routh queda del siguiente modo: 3 1 32 2 8 K K 1 32 8 0 0 K 0

−

Por lo tanto para que se produzca un corte con el eje imaginario debe hacerse cero alguno de los elementos de la primera columna de la tabla de Routh, que en nuestro este caso implica

32


32

− K 8 = 0 ⇒

K = 256 K = 0

(0.1)

De estos dos valores, nos interesa tomar el valor K = 256, ya que K = 0 representa trivialmente el corte asociado a la presencia de un polo en el origen. Para obtener el punto de corte con el eje imaginario podemos hacer s = aj en la expresión del denominador de lazo cerrado del sistema, con K = 256. Es decir (aj)3 + 8(aj)2 + 32(aj) + 256 = 0

− a3 ) j + (256 − 8a2) = 0 √ expresión compleja que se verifica para a = ± 32 = ±5.657. (32a

⇒

Es interesante observar que la u ´ ltima ecuación proporciona un método indirecto de verificació n de los cálculos, ya que debemos obtener el mismo valor de a, haciendo nulas tanto la parte real como la imaginaria. Un procedimiento alternativo que requiere en general menos cálculos, puede plantearse a partir de la tabla de Routh. Si hacemos K = 256, obtenemos que la tercera fila de dicha tabla es enteramente nula. Este hecho pone en evidencia que el sistema posee un par de polos complejos conjugados puros que pueden calcularse a partir del factor par de la fila 2. Es decir 8s2 + 256 = 0

⇒

s =

±

√

32 j =

±5.657 j

Con estos datos podemos representar el lugar de las ra´ıces del sistema, tal como muestra la figura II.8.a 2.- ¿Puede un PI lograr que el sistema sea estable a lazo cerrado para todo valor de K > 0? La introducción de un PI, equivale a a˜ nadir un polo en el origen y un cero adicionales. El grado relativo del sistema no var´ıa, sigue siendo 3. Luego la orientació n de las as´ıntotas no var´ıa, y por tanto seguiremos teniendo un sistema con dos as´ıntotas a 600 que se adentran en el semiplano real positivo, lo que implica que siempre podremos encontrar un valor de K que haga inestable el sistema. La respuesta a la pregunta planteada es por tanto negativa.

±

3.- Rango de valores de c para que el PD G P D (s) = K (s + c) haga estable el sistema a lazo cerrado para todo K > 0. En este caso podemos razonar de manera análoga al caso anterior. El PD contribuye con un cero adicional al sistema que reduce el grado relativo del sistema a 2. Tenemos por tanto en este caso únicamente dos as´ıntotas situadas a 900 respecto al eje real. Esta disposición permite encontrar configuraciones en las que el lugar de las ra´ıces est´ e enteramente contenido en el semiplano real negativo, o equivalentemente, en las que el sistema sea estable para cualquier K > 0.

±

Para encontrar estas configuraciones, deberemos encontrar para qu´ e valores de c el lugar de las ra´ıces no presenta cortes con el eje imaginario.


o

33

Ing. Industrial.

10

8

6

4

o i r a n i g a m I e j E

2

0

−2

−4

−6

−8

−10 −6

−5

−4

−3

−2 Eje Real

−1

0

1

2

Figura II.8.a: Lugar de las ra´ıces del sistema

La función de transferencia del sistema a lazo cerrado con el PD resulta T (s) =

K (s+c) s((s+4)2 +16) (s+c) 1 + s((sK +4)2 +16)

=

K (s + c) s3 + 8s2 + (32 + K )s + Kc

Para este sistema la tabla de Routh resulta: 3 1 2 8 1 32 + K 0 Kc

−

32 + K Kc 0 0

Kc

8

El sistema no presenta cortes con el eje imaginario siempre y cuando no haya cambios de signo en los valores de la primera columna. Esto es

≤ 8 + 256 K 0 c≥0 Dado que las expresiones anteriores deben ser válidas para K ∈ (0, +∞), concluimos 32 + K

− K8c ≥ Kc ≥

0

⇒ ⇒

que c debe verificar

0 < c < 8

c

34


Para el caso particular que nos ocupa, este resultado podr´ıa haberse obtenido también razonando sobre la expresión del centroide del lugar de las ra´ıces σ =

 − pi n

ci

−m

=

0 + ( 4 + 4 j) + ( 4 2

−

− − 4 j) − (−c)

Si queremos asegurar que el lugar de las ra´ıces esté ´ıntegramente situado en el semiplano real negativo, deberemos imponer que el centroide σ < 0, para que las ramas que tienden a dichas as´ıntotas no invadan del semiplano real positivo. Luego tendremos 0 + ( 4 + 4 j) + ( 4 4 j) ( c) < 0, o equivalentemente c < 8.

−

− −

−−

Este resultado, a´ un siendo equivalente al obtenido por el primer procedimiento, merece alg´ un comentario adicional. El procedimiento del centroide es, en general, más económico y directo en t´ erminos de cálculo, aunque sólo es fiable si las ramas del lugar que tienden a las as´ıntotas no cambian el signo de su curvatura en todo su recorrido. En otras palabras, si la curvatura cambia de signo, las ramas del lugar de las ra´ıces podr´ıan adentrarse en el semiplano real positivo para un cierto rango de valores de K , y terminar sobre una as´ıntota enteramente situada en el semiplano real negativo, invalidando de este modo el argumento. Verificar la condición de curvatura es a menudo dif´ıcil, por lo que el procedimiento del centroide resulta útil como m´ etodo secundario para comprobar los resultados obtenidos mediante la tabla de Routh, más fiable.

Parte III

Automatismos

35


o

Ing. Industrial.

37

Soluci´ on del problema III.1 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulació n de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración y que los productos l´ ogicos vienen representados por &. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.1.a.

Figura III.1.a:


o

39

Ing. Industrial.

• 11:

Toldo oldo en posici´ posici´ on on superior, pulsador P pulsado y motor parado, (el toldo ha llegado arriba sin que el pulsador se haya soltado, por lo tanto hay que soltar P y volverlo a pulsar para que el toldo se vuelva a poner en marcha).

on intermedia, pulsador P pulsado y motor parado, antes subi• 12: Toldo en posición endo.

• 13:

Toldo oldo en posic posici´ i´ on on intermedi intermedia, a, pulsador pulsador bajando.

P sin sin

pulsar pulsar y motor motor parado, parado, antes antes

Notas: inicialmente te arriba • Supongo que el toldo está inicialmen • se supone que el movimiento del toldo es instantáneo, es decir no da tiempo a soltar el botón on

P antes

de que el toldo abandone la posición superior.


40

Soluci´ on del problema III.3 on NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación on de Simulación o n de red de Petri disponib disponible le en la Web Web de la asigna asignatura tura.. Ha Hay y que tener tener en cuent cuentaa que en esta esta aplica aplicaci´ ción on las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, on, que los productos l´ ogicos vienen representados por & y las sumas lógicas por —. ogicos La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.3.a.

Figura III.3.a:


42

Notas:

• Supongo que la ventanilla está inicialmente arriba • se supone que el movimiento de la ventanilla es instantáneo, es decir no da tiempo a soltar el botón

P antes

de que la ventanilla abandone la posición superior.


o

Ing. Industrial.

43

Soluci´ on del problema III.5 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulació n de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración y que los productos l´ ogicos vienen representados por &. La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.5.a.

Figura III.5.a:


Soluci´ on del problema III.6 La matriz de fases rellena y corregida es la siguiente:

44


o

Ing. Industrial.

45

Soluci´ on del problema III.7 La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.7.a.

Figura III.7.a:


46

Soluci´ on del problema III.8 Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas en las figuras III.8.a, III.8.b y III.8.c.

Figura III.8.a: Red de Petri del problema III.8.a


o

Ing. Industrial.

Figura III.8.b: Red de Petri del problema III.8.b

Figura III.8.c: Red de Petri del problema III.8.c

47

48


Soluci´ on del problema III.10 NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación de Simulació n de red de Petri disponible en la Web de la asignatura. Hay que tener en cuenta que en esta aplicación las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, que los productos l´ ogicos vienen representados por & y las sumas lógicas por .

|

La red de Petri que describe el comportamiento del sistema es la representada en la figura III.10.a.

Figura III.10.a:


o

49

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema III.11 En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento del sistema: S1 S2

00

01

0

0

X

1 2 3

1 0

X X X

11 2

10 1

FCV

1 1 0 0

1 2 3 3 2 

Definici´ on de los estados:

• 0: Estado inicial depósito vac´ıo (Nivel por debajo de S1). • 1: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, subiendo. • 2: Nivel por encima de S2. • 3: Nivel por encima de S1 y por debajo de S2, bajando. Para minimizar el n´ umero de estados hay que hacer la matriz de inferencias:

1

-

2

X

X

3

X

X

-

0

1

2

De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-1) y (2-3). A continuación se agrupan estados n-compatibles entre s´ı para minimizar el número de estados y obtenemos que los grupos son:

(0

− 1) → (2 − 3) →

a b

Una vez minimizado el número de estado obtenemos la matriz de fases reducida como:


o

51

Ing. Industrial.

F CV = Q

Con lo que atendiendo a la función de transición y de lectura el diagrama de contactos queda: S2

q

S1

Q

Q

FCV

Figura III.11.a:

52



|


Figura III.12.a:


o

53

Ing. Industrial.


|


Figura III.13.a:


54

Soluci´ on del problema III.14 Las redes de Petri que describen el comportamiento del sistema son las representadas en las figuras III.14.a y III.14.b.

Figura III.14.a: Red de Petri del problema III.14.a


o

Ing. Industrial.

Figura III.14.b: Red de Petri del problema III.14.b

55


o

59

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema III.16 on NOTA:Esta red de Petri está realizada con la aplicación on de Simulación o n de red de Petri disponib disponible le en la Web Web de la asigna asignatura tura.. Ha Hay y que tener tener en cuent cuentaa que en esta esta aplica aplicaci´ ción on las variables negadas aparecen precedidas de un signo de admiración, on, que los productos l´ ogicos vienen representados por & y las sumas lógicas por . ogicos

|


Figura III.16.a:

60



|


Figura III.17.a:


o

61

Ing. Industrial.


|


Figura III.18.a:

62



|


Figura III.19.a:


o

63

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema III.20 En primer lugar hay que hacer la matriz de fases que describe el funcionamiento del sistema: T10 T20

00

0

0 3 0

1 2

3

3

01 1

11

1

X

10 2 -

X

1

AIRE

0 1 0 1

2

X

2

X

Definici´ on de los estados:

• 0: Estado inicial, temperatura intermedia, AIRE=0 viene de temperatura menor de 10.

• 1: Temperatura por encima de T20 , AIRE=1. • 2: temperatura por debajo de T10. • 3: Temperatura intermedia, viene de temperatura alta. Para minimizar el n´ umero de estados hay que hacer la matriz de inferencias:

1

X

2

-

X

3

X

-

X

0

1

2

De la que se pueden obtener los estados 0-compatibles, que son (0-2) y (1-3). A continuación se agrupan estados n-compatibles entre s´ı para minimizar el número de estados y obtenemos que los grupos son:

(0

− 2) → (1 − 3) →

a b


o

65

Ing. Industrial.

Esta funci´ o n se calcula como la relació n de la salida del sistema con los estados obtenidos en la función de transición

AIRE = Q

Con lo que atendiendo a la función de transición y de lectura el diagrama de contactos queda: T10

T20

q

T10

Q

Q

AIRE

Figura III.20.a:

66



|


Figura III.21.a:


o

67

Ing. Industrial.

Soluci´ on del problema III.23

Rutina de Taladrado (RTAL)

PM CAR

MT, BT

FCAR

TB

G120

MT, AT1

FG120 CAR

FT1 MT, ST

(RTAL) FCAR

TA (RRTAL)

AT1 FT1

G120 FG120 (RRTAL) CAR

(RAV)

(RTAL)

FCAR (RRAV)

Rutina de Avellanado (RRTAL)

(RAV)

MA, BA DESCAR PAR

FDESCAR · PAR

AB MA, AT2

G120 FT2 FG120 MA, SA DESCAR AA FDESCAR AT2 G120 FT2

FG120 DESCAR FDESCAR

(RRAV)

Figura III.23.a:

68



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Figura III.24.a:

ColeccionProblemasCA3.pdf

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